Eine vektorielle Darstellung des Einflusses von Ziel- und Kippachsenfehler auf die Winkelmessung

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1 En vktoll Dastllung ds Enflusss von Zl- und Kppahsnfhl auf d Wnklmssung von Chstan Stahlbg, Bln Zusammnfassung: Duh Enfühung othonomal Dbn mt Uspung m Ahsnshnttpunkt und Anwndung von Rotatonstansfomatonn kann auf nfah Ws d Zusammnhang zwshn dn Ahsnfhln ds hodoltn und hm Enfluß auf d Wnklmssung dagstllt wdn. D Dastllung füht zu aktn Fomln. Summa: ntodung loal oodnat sstms wth th ogns n th ntston pont of as and applng otatons th latonshp btwn th as os of th thodolt and th ffts on angula masumnts an b dmonstatd n a smpl wa. hs appoah lads to at fomula. Kwods: hodolt, Ahsnfhl, Zlahsnfhl, Kppahsnfhl, Wnklmssung, ansfomaton. Enltung n dn Lhbühn zu Vmssungs- und nstumntnkund wdn fü dn Enfluß d Ahsnfhl ntwd nu Nähungsfomln ohn Hltung anggbn (Kahmn, 99) od s folgt n Hltung mt Hlf d sphäshn gonomt (Bn 990, Coop 98, Dumlh 988). D dot anggbnn Endfomln, nämlh f und f sn z tan z (a,b) (f Enfluß ds Zlahsnfhls, f Enfluß ds Kppahsnfhls, z Zntwnkl) vnahlässgn dn gmnsamn Enfluß bd Ahsnfhl und fühn fü kln Zntwnkl z zu nht koktn Egbnssn. Nah (a) wä d Enfluß ds Zlahsnfhls unabhängg vom Kppahsnfhl, was, w m folgndn gzgt wd, nht d Fall st. n dn Hltungn von Bn (990) und Coop (98) snd zwa akt Fomln fü f und f anggbn. D gmnsam Antl ds Enflusss d Ahsnfhl wd jdoh vnahlässgt, wl bd Fhl unabhängg vonnand btahtt wdn. Wthn läßt sh nah (a) d Enfluß ds Zlahsnfhls fü blbg Zntwnkl z fomll bhnn. Andsts st s offnshtlh, daß b Volgn ns Zlahsnfhls und stng lotht Sthahs n Vsu zum Znt übhaupt nht möglh st. atsählh gnt sh d Zntwnkl nht als aamt fü obg Bzhungn, da d Bzhung zwshn Vtkalksablsung und Zntwnkl bnfalls von dn Ahsnfhln bnflußt st. m folgndn wd dshalb anstll von z d am nstumnt dfnt Wnkl (sh Abshntt ) zu Bshbung d Kppung ds Fnohs ngfüht. Bn (990) wähnt dn Enfluß d Ahsnfhl auf d Zntwnklmssung n Fom ns Kommntas. Coop (98) gbt akt Fomln fü dn Enfluß d nzlnn Ahsnfhl an, wob d gmnsam Enfluß wdum nht bükshtgt wd. En Hltung mt Hlf von Vkton, d dn gmnsamn Enfluß d Ahsnfhl auf d Hozontal- und Zntwnklmssung bshbt, fndt man n Matthas (96). Dot wd alldngs d Sthahsnngung nbzogn, d bkanntlh kn nstumntnfhl st und dshalb gtnnt bhandlt wdn sollt. D Hltung von Matthas füht zu komplztn Fomln, d n Matthas (96) nht plzt anggbn wdn. En snnvoll Stuktuung ds oblms fodt s, nstumntll Egnshaftn von äußn Enflüssn zu tnnn. Dshalb untblbt n d folgndn Dastllung n Bzug zu Lothtung und n hodolt wd dah als Ralsung ns blbg onttn othonomaln Dbns (Bass) btahtt. D Übgang auf n Hozontsstm mt Hlf d Sthahsnngung soll an and Stll bhandlt wdn. St

2 . D hodolt als Ralsung ns othonomaln Dbns D gbäuhlhn Bgff fü d Ahsn und lks ds hodoltn snd an d Lothtung gbundn und wdn h duh Bgff stzt wdn, d sh auf n nstumntll Egnshaftn bzhn. Ds snd Abbldung zu ntnhmn. (Dhahs) Dhahs Zlahs Kppahs Kppks O ϑ λ Dhks α Abb. : Lokal Bass [ ] und hodolt (Rhtung d Nullmak) Nullmak Ablsmak Zl d Wnklmssung st d Bstmmung d Kuglkoodnatn λ und ϑ bzüglh d lokaln Bass [ ], d folgndmaßn dfnt st (Abb. ): D Uspung O bfndt sh m Ahsnshnttpunkt. D Haupthtung ntspht d Dhahs und bldt dn Bassvkto. D Nbnhtung wd duh d Rhtung vom Mttlpunkt ds Dhkss zu sn Nullmak fstglgt und bldt dkt dn Bassvkto. stht htwnklg auf bdn so, daß sh n Lnkssstm gbt. Da kn Ralsung ns abstaktn Sstms pfkt sn kann, hält man statt d Kuglkoodnatn (λ, ϑ) d Ablsungn bzw. d Mßwt (α,). Unt dn Voausstzungn, daß d d Ahsn sh n nm unkt shndn und kn skundän Ahsnfhl aufwsn, d lks htwnklg auf dn ntsphndn Ahsn sthn und zntsh glagt sow f von lungsfhln snd und b bdn lksn kn ndfhl stt, könnn d Ablsungn folgndmaßn gomtsh gdutt wdn: α st n Wnkl zwshn zw Gadn, nämlh zwshn d Gadn duh Mttlpunkt und Nullmak ds Dhkss und d Gadn duh Mttlpunkt ds Dhkss und Ablsmak. Ds zwt Gad stht snkht zu Kppahs. st n Wnkl zwshn zw Ebnn, nämlh zwshn d Ebn aufgspannt duh Kppahs und Dhahs und d Ebn, aufgspannt duh Kppahs und Zlahs. lgt also n n Nomalbn d Kppahs. Auh b nstumntn, b dnn d Ablsung duh nn Vtkalkskompnsato bnflußt st, kann nht d Zntwnkl z abglsn wdn. jdoh st aus dn Vtkalksablsungn bstmmba. St

3 . Dfnton von Zl- und Kppahsnfhl Falls d Zlahs snkht zu Kppahs und d Kppahs snkht zu Dhahs st, snd d gmssnn Wnkl (α, ) dntsh mt dn gsuhtn Kuglkoodnatn (λ, ϑ). Andnfalls lgn Ahsnfhl vo, d w folgt dfnt snd (Abb. ): Zlahsnfhl nnnt man dn Wnkl zwshn Zlahs und d Nomaln zu Kppahs, gmssn n d Ebn aufgspannt duh Kppahs und Zlahs. Kppahsnfhl nnnt man dn Wnkl zwshn Kppahs und d Nomaln zu Dhahs, gmssn n d Ebn aufgspannt duh Dhahs und Kppahs. Dhahs fhlf Kppahs 00 gon al Kppahs 00 gon al Zlahs fhlf Zlahs Abb. : Zlahsnfhl und Kppahsnfhl 4. D Enfluß d Ahsnfhl B Volgn ds Ahsnfhl und unt d Annahm, d o.g. Voausstzungn sn füllt, lassn sh d gsuhtn Kuglkoodnatn (λ, ϑ) als Funktonn d Ablsungn (α, ) und d Ahsnfhl (, ) dastlln: ϑ ϑ(,, ) () und λ λ( α,,, ) bzw. λ α + f mt f f (,, ), () wob d Kokton f dn Wnkl zwshn Ablsmak am Dhks und d ojkton d Zlahs ntlang d Dhahs auf dn Dhks dastllt. Es gnügt nun, nbn () d Bzhung f f (,, ) mathmatsh zu bshbn. D Dastllung kann somt n Dbnn folgn, d nht an d Nullmak, sondn an d Ablsmak ds Dhkss ausghtt snd. Zunähst wd n othonomal Bass [ Y ] vnbat, d ggnüb d othonomaln Bass [ ] um dn Wnkl α um dn gmnsamn Bassvkto Y gdht st. D Bassvkto Y fällt dann mt d Rhtung d Ablsmak ds Dhkss zusammn. Ds ntspht d ojkton d fhlfn Zlahs ntlang d Dhahs auf dn Dhks. D Bassvkto Y ntspht d Rhtung d fhlfn Kppahs. St

4 Zu Efassung ds Kppahsnfhls wd n wt othonomal Bass [ X ] bnötgt, d ggnüb [ Y ] um dn Kppahsnfhl ott st (Abb. ). X Y (Dhahs) O (fhlf Kppahs) Y X (al Kppahs) Y X (Rhtung d Ablsmak) Abb. : Basn zu Dastllung d Ahsnfhl und hs Enflusss Zust st nunmh d Rhtung zu nm Zlpunkt duh snn Enhtsvkto bzüglh d Bass [ X ] dazustlln. Nah n Rotatonstansfomaton auf d Bass [ Y ] gbn sh dann d Wnkl f und ϑ als Kuglkoodnatn ds Zlpunkts. Mt Hlf ds Zlahsnfhls und ds Wnkls läßt sh d Rhtung zu nm Zlpunkt bzüglh d X w folgt dastlln (Abb. 4): Bass [ ] X O X ossn sn osos X X X (al Kppahs) (Rhtung d Ablsmak) Abb. 4: Koodnatn ns Zlpunkts bzüglh d Bass [ X ] St 4

5 4.. D Enfluß ds Zlahsnfhls unt d Annahm 0 Falls kn Kppahsnfhl volgt, snd d Basn [ X ] und [ ] Y dntsh. D Enfluß f ds Zlahsnfhls sow d Kuglkoodnat ϑ könnn dann unmttlba aus dn Ausdükn fü d Y abglsn wdn (Abb. 5): Koodnatn von bzüglh d Bass [ ] sn tan tan f os sn sn (4) Y (Dhahs) O ϑ Y os sn sn os os Y Y f Y (Kppahs) Abb. 5: Enfluß ds Zlahsnfhls (Rhtung d Ablsmak) Aus (4) folgt, daß d Enfluß ds Zlahsnfhls mamal 00 [gon] hn kann. B nm Kppwnkl von 00 [gon] st f. D Bzhung fü ϑ lautt: osϑ os os (5) Falls und f kln Wnkl snd und >>0, könnn tan f duh f, tan duh und duh ϑ stzt wdn. Man hält d Nähungsfoml f & sn ϑ. (6) B lotht Dhahs wä ϑz und damt wä (6) dntsh mt d bkanntn Nähungsfoml (a). St 5

6 St 6 D nahfolgnd abll zgt nn Vglh fü f aus Nähungsfoml und akt Foml: [gon] f aus (6) [gon] f aus (4) [gon] abll : Vglh d Egbnss fü f aus (6) und (4) fü 0. [gon] und 0 [gon] Aus (5) wd shtlh, daß d Kuglkoodnat ϑ m Btag nht kln als wdn kann. abll zgt d Auswkung ds Zlahsnfhls auf ϑ : [gon] ϑ [gon] abll : Egbnss fü ϑ b 0. [gon] und 0 [gon]. 4.. D Enfluß ds Kppahsnfhls unt d Annahm 0 Voausgstzt d Zlahsnfhl st Null lautt d Dastllung von bzüglh d Bass [ ] X (Abb. 6): X X 0 sn os Abb. 6: Enfluß ds Kppahsnfhls Duh Rotaton um X mt dm Rotatonswnkl läßt sh bzüglh d Bass [ ] Y dastlln: ϑ f Y X Y Y X X O (Dhahs) (Rhtung d Ablsmak) (fhlf Kppahs) (al Kppahs) [ ] R X Y Y ( ) (7)

7 Fü d Koodnatn folgt: os sn 0 sn os Somt hält man d Koodnatn bzüglh d Bass [ Y ]: 0 0 sn 0 os sn 0 0 sn os os sn sn os os os Damt läßt sh d Enfluß f ds Kppahsnfhls w folgt angbn: sn os sn tan f sn tan (8) Analog zu dn Nähungn fü (6) läßt sh auh h n Foml abltn, d b lotht Dhahs d bkanntn Nähungsfoml (b) ntsphn wüd: f & tan ϑ (9) Fü ϑ hält man: osϑ os os (0) abll zgt nn Vglh d aktn Foml mt d Nähungsfoml fü vshdn Kppwnkl. [gon] f aus (9) [gon] f aus (8) [gon] abll : Vglh d Egbnss fü f aus (9) und (8) fü 0. [gon] und 0 [gon] D folgnd abll zgt d Auswkung ds Kppahsnfhls auf ϑ : [gon] ϑ [gon] abll 4: Egbnss fü ϑ b 0 [gon] und 0. [gon] 4.. D Gsamtnfluß von Zl- und Kppahsnfhl Zu Hltung ds Gsamtnflusss snd d Koodnatn ds Zlpunkts mt Hlf ds Zlahsnfhls bzüglh d Bass [ X ] dazustlln (sh Abb. 4) und dann mttls d Rotaton (7) n d Bass [ Y ] zu tansfomn: St 7

8 0 0 ossn ossn [ R ( ) ] 0 os sn sn ossn + snosos 0 sn os osos snsn + ososos Y (Dhahs) (fhlf Kppahs) Y O ϑ f Y Abb. 7: Gsamtnfluß von Zl- und Kppahsnfhl (Rhtung d Ablsmak) Ausgdükt n Kuglkoodnatn hält man: snϑ os f os sn snϑ sn f ossn + snosos osϑ snsn + ososos () D Gsamtnfluß f gbt sh daaus zu os sn + sn os os os tan sn tan f + os sn sn tan () Foml () zgt, daß d Enflüss bd Ahsnfhl nht unabhängg snd. D n d as üblh gtnnt Emttlung bd Enflüss st also nht akt und kann b stln Vsun zu btähtlhn Fhln fühn (sh abll 5). Wthn st n () shtlh, daß d Enfluß ds Zlahsnfhls f b nm Kppwnkl von 00 [gon] m allgmnn nht glh dm Zlahsnfhl st. Fü d Kuglkoodnat ϑ gbt sh: osϑ os os os sn sn () Um d Gößnodnung ds gmnsamn Antls zu vdutlhn st n abll 5 d Gsamtnfluß f d Summ aus f und f ggnübgstllt. [gon] f +f [gon] f [gon] abll 5: Egbnss fü f +f und f b 0. [gon] und 0. [gon] Aufgund d Rundung shnn d Wt fü f+f und f glh zu sn. D gnaun Wt lautn f +f [gon] und f [gon]. St 8

9 Shlßlh st n abll 6 d Auswkung bd Ahsnfhl auf d Kuglkoodnat ϑ dagstllt. [gon] ϑ [gon] abll 6: Egbnss fü ϑ b 0. [gon] und 0. [gon] 5. Mssung n bdn Fnohlagn Zu Bshbung d Mssung n bdn Fnohlagn wtt man unt Vzht auf d Endutgkt d Kuglkoodnatn dn Dfntonsbh d Koodnat ϑ um das ntvall [-π..0]. Damt stn Sätz von Kuglkoodnatn, d d Rhtung zu nm Zlpunkt bshbn. snϑ osλ snϑ sn λ osϑ snϑ osλ snϑ sn λ osϑ mt ϑ ϑ und λ λ + π Wüdn kn Ahsnfhl volgn, so wän d Ablsungn n bdn Lagn dntsh mt dn ntsphndn Kuglkoodnatn, also ϑ und α λ fü Mssung n Lag bzw. ϑ und α λ fü Mssung n Lag und somt und α α + π. W shn d Bzhungn zwshn dn Mssungn n Lag und Lag aus, wnn Ahsnfhl volgn? Ds Bzhungn solln anhand d Basn [ ] und [ ] läutt wdn. D Bassvkto bd Basn fällt mt d Dhahs zusammn. D Bassvkto bd Basn fällt mt d Rhtung d Ablsmak ds b Mssung n Lag. D Basn könnn Dhkss zuammn; fü [ ] b Mssung n Lag, fü [ ] also duh Rotaton um dn Bassvkto nnand übfüht wdn. D Rhtung bzüglh [ ] (Rhtung d Ablsmak n Lag ) wd gmäß () bshbn duh snϑ os f os sn snϑ sn f osϑ snsn + ososos [ ] ossn + snosos [ ] Nah dm Übgang n Lag st dslb Rhtung mt Hlf d Ablsung n d Bass [ ] (Rhtung d Ablsmak n Lag ) zu bshbn: os sn ossn + snosos snsn + ososos [ ] Da ldglh n Rotaton um stattfndt, muß d. Koodnat ab bzüglh bd Basn dslb sn, das hßt: St 9

10 sn sn + os os os sn sn + os os os Ds Bdngung st offnshtlh fü füllt. Enstzn gbt: os sn( ) os sn ossn + snosos( ) snsn + ososos( ) snsn + ososos [ ] ossn + snosos [ ] Shlßlh st noh d Rotatonswnkl γ zu mttln, d d Koodnatn von bzüglh [ ] Koodnatn bzüglh [ ] duh Rotaton um dn Bassvkto übfüht. Man hält zunähst n d os sn osγ snγ 0 ossn ossn + snosos + snγ osγ 0 ossn snosos sn sn + os os os sn sn + os os os 0 0 D Ausdük fü d. und. Koodnat könnn duh Enstzn d Kuglkoodnatn gmäß () vnfaht wdn: snϑ os f osγ snγ 0 snϑ os f snϑ sn f snγ osγ 0 snϑ sn f osϑ osϑ 0 0 Ausmultplzn füht zu Glhungn, wob Glhung unabhängg von γ st. Glhungn und fühn zu folgndn Ausdükn snγ sn f os f sn f sn( f ) sn( π + f ) osγ sn f os f (os f sn f ) os f os( π f ) os( π + f ), aus dnn γ π + f folgt. D Alhdad und damt d Ablsmak muß also um γ π + f gdht wdn, damt n Lag dslb unkt unt dm Kppwnkl angzlt wd, w n Lag unt dm Kppwnkl. Das bdutt fü d Ablsungn am Dhks: α α + π + f D üblh Mttlung d Dhksablsungn Enfluß d Ahsnfhl. α + α π α + f λ bstgt also tatsählh dn D Mttlung d Kppksablsungn nah + ( π ) + ( π ( )) gwünshtn Kuglkoodnat ϑ, sondn zu. füht hnggn nht zu D Enfluß d Ahsnfhl auf d Kppksablsungn kann dmnah nht duh Mssung n bdn Lagn bstgt wdn. Ds atsah st dot zu bahtn, wo gnau Zntwnkl bnötgt wdn, nsbsond b stln Vsun (vgl. abll 6), w s u.a. n d ndustvmssung und d astonomshn Otsbstmmung aufttn. n nm solhn Fall snd d Ahsnfhl zu bstmmn und d Zntwnkl hnsh zu kogn. St 0

11 Dank: An ds Stll möht h of. D. Dt Llgmann dankn, d d Angung zu ds Dastllung gab. Wthn glt mn Dank mnm Kollgn Rhad Stubnvoll, d das glh oblm auf and Ws untsuht hat und m sowohl sn Üblgungn als auh sn Egbnss zu Vfügung stllt. Shlßlh dank h D. Svtoza tov, d duh sn ktsh Btahtungsws und duh vl fuhtba Dskussonn ds Abt maßgblh untstützt. Ltatu Bn, D.: Godtsk nstumnt. Skolska Knjga, Zagb, 990. Coop, M.A.R.: Modn thodolts and lvls. nd dton, Ganada ublshng, London-oonto-Sdn- Nw Yok, 98. Dumlh, F.: 988. nstumntnkund d Vmssungsthnk. 8. Auflag, VEB Vlag fü Bauwsn, Bln, Kahmn, H.: Vmssungskund. 8. Auflag, Walt d Gut, Bln-Nw Yok, 99. Matthas, H.: Umfassnd Bhandlung d hodoltahsnfhl auf vktoll Gundlag unt spzll Bükshtgung d aumlfhl d Kppahs. Mttlungn aus dm Godätshn nsttut d EH Züh, N. 0, Vlag Lmann, Züh, 96. St