Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt

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1 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 1 Übung 1. Seien A 1, A 2,..., A k quadratische n n-matrizen über einem Körper K. Zeige, daß das Produkt A 1 A 2... A k invertierbar ist genau dann, wenn alle A i invertierbar sind. Übung 2. Bestimme die LR-Zerlegung der Matrix A = Übung 3. Sei A = Bestimme eine Permutationsmatrix P und Dreiecksmatrizen L, R sodaß P A = L R. Übung 4. (a) Sei A eine invertierbare n n-matrix über einem Körper K und u, v Spaltenvektoren (d.h. n 1-Matrizen), sodaß gilt σ = 1+v t A 1 u 0. Zeige, daß (A+uv t ) invertierbar ist und daß (A + uv t ) 1 = A 1 1 σ A 1 uv t A 1. (b) Wende die Formel an, um die Inversen der Matrizen A 1 = und A 2 = zu bestimmen. Übung 5. (a) Zeige, daß die n n oberen Dreiecksmatrizen, das sind die Matrizen der Gestalt , eine Teilalgebra der n n-matrizen bilden. (b) Zeige, daß eine obere Dreiecksmatrix genau dann invertierbar ist, wenn alle Hauptdiagonaleinträge von 0 verschieden sind und daß dann die Inverse wieder eine Dreiecksmatrix ist. (c) Sei A eine obere Dreiecksmatrix mit ganzzahligen Einträgen und es gelte darüberhinaus, daß die Hauptdiagonaleinträge alle gleich 1 sind. Zeige, daß auch die Inverse lauter ganzzahlige Einträge hat. 1

2 Übung 6. Sei K ein Körper und A K p m, B K n q zwei gegebene Matrizen. Zeige: (a) die Abbildung f : K m n K p q X A X B ist linear. (b) f ist invertierbar genau dann, wenn p = m, q = n und sowohl A als auch B invertierbar ist. Übung 7. Gegeben sei die Permutation σ = ( ) (a) Bestimme die Faktorisierung von σ in ein Produkt durchschnittsfremder Zyklen. (b) Zerlege σ in ein Produkt von Transpositionen σ = τ krlr τ kr 1 l r 1 τ k1 l 1 mit 2 k 1 < k 2 < < k r n und l i < k i. (c) Bestimme die Fehlstände von σ sowie sign σ. (d) Bestimme die Hintereinanderausführung σ 2 von σ mit sich selbst und davon die Zyklenfaktorisierung.

3 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 2 Übung 8. Zeige, daß für invertierbare n n-matrizen A, B, C, D gilt: Wenn (A BD 1 C) invertierbar ist, dann ist auch (D CA 1 B) invertierbar und es ist Übung 9. Seien A 1 B(D CA 1 B) 1 = (A BD 1 C) 1 BD 1. p(x) = x 7 x 5 + x 4 x 3 + x 1 q(x) = x 8 x 5 x 4 + x 3 2 x x 2. Bestimme ggt(p(x), q(x)) mit dem euklidischen Algorithmus über Q[x] sowie Polynome a(x) und b(x), sodaß a(x)p(x) + b(x)q(x) = ggt(p(x), q(x)). Übung 10. Seien p(x) und q(x) nichtverschwindende Polynome vom Grad m und n über einem Körper K. Zeige: (a) ggt(p(x), q(x)) = 1 genau dann, wenn es Polynome a(x) und b(x) gibt mit der Eigenschaft, daß a(x)p(x) + b(x)q(x) = 1. (b) ggt(p(x), q(x)) ist nichttrivial genau dann, wenn es Polynome A(x) und B(x) mit deg A(x) < n und deg B(x) < m, sodaß A(x)p(x) + B(x)q(x) = 0. (c) Seien p(x) = p 0 +p 1 x+ +p m x m und q(x) = q 0 +q 1 x+ +q n x n Polynome vom Grad m und n mit p m, q n 0. Zeige, daß p(x) und q(x) einen nichttrivialen gemeinsamen Teiler haben haben genau dann, wenn die (m + n) (m + n)-matrix p m 0 0 q n 0 0. p m 1 p... m. q n 1 q.. n... p... m 1 0. q.. n 1 0. S(p, q) = p p m q 0... q n. 0 p... 0 p m 1 0 q.. 0 q n p q 0 } {{ }} {{ } n m nichttrivialen Kern hat. Übung 11. Eine Matrix P R n n heißt Permutationsmatrix, wenn jede Zeile und jede Spalte genau eine Eins und sonst Nullen enthält. Π n bezeichne die Menge der Permutationsmatrizen. Sei S n die symmetrische Gruppe der Ordnung n und für σ S n bezeichne P σ = (δ i,σ(j) ) i,j=1,...,n die entsprechende Permutationsmatrix. Zeige: (a) Die Abbildung π : S n Π n, σ P σ ist eine Bijektion. (b) P ρ P σ = P ρ σ (c) Pσ 1 = P σ 1 = Pσ t

4 Übung 12. Eine n n-matrix A mit nichtnegativen Einträgen heißt doppelt stochastisch, wenn jede Zeilensumme und jede Spaltensumme Eins ergibt, z.b. die Permutationsmatrizen aus der vorhergehenden Aufgabe. Zeige: (a) Eine Konvexkombination doppelt stochastischer Matrizen ist doppelt stochastisch; d.h., wenn A 1, A 2,..., A m doppelt stochastische Matrizen sind und λ 1, λ 2,..., λ m 0 mit λ 1 + λ λ m = 1, dann ist auch die Matrix λ 1 A 1 + λ 2 A λ m A m doppelt stochastisch. (b) Eine Permutationsmatrix kann nicht als nichttriviale Konvexkombination verschiedener doppelt stochastischer Matrizen dargestellt werden, d.h., wenn P σ = λ i A i, dann muß für die nichtverschwindenden Koeffizienten λ i gelten, daß A i = P σ.

5 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 3 Übung 13. Berechne die Determinante mit drei verschiedenen Methoden Übung 14. Bestimme die Determinante Übung 15. Im folgenden bezeichnen P i = (x i, y i ) voneinander verschiedene Punkte im R 2. (a) Zeige, daß diejenige Gerade g, die durch die Punkte P 1 und P 2 verläuft, durch die Gleichung { 1 x 1 y 1 } g = (x, y) R 2 : 1 x 2 y 2 1 x y = 0 beschrieben werden kann. (b) Zeige, daß derjenige Kreis k, der durch die Punkte P 1, P 2 und P 3 verläuft, durch die Gleichung { 1 x 1 y 1 x y 2 1 } k = (x, y) R 2 : 1 x 2 y 2 x y2 2 1 x 3 y 3 x y3 2 = 0 1 x y x 2 + y 2 beschrieben werden kann. Was erhält man, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen? (c) Bestimme den Mittelpunkt des Kreises, der durch die Punkte ( 4, 1), ( 2, 3), (4, 5) verläuft. Übung 16. Bestimme die Determinanten a n (a)... 0, (b) a 2 0. a a b c d e f 0 0 g h 0 0

6 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 4 Übung 17. Die Zahlen 46189, 32604, 2431, 40755, sind durch 13 teilbar. Zeige, daß auch die Determinante durch 13 teilbar ist. Übung 18. Seien A, B, C und D K n n. Zeige die folgenden Identitäten für Blockmatrizen: ( ) ( ) A B A B (a) det = det(a+b) det(a B) (b) det = det A det(d CA B A C D 1 B) wobei in (b) vorausgesetzt wird, dass A invertierbar ist. Übung 19. Berechne die Determinante a b 0 a 0 0 b a b c d c 0 0 d 0 c d Übung 20. Sei K ein Körper und a 1, a 2,..., a n K. Zeige, daß 1 a 1 a a n a 2 a a n = j a i ). i<j(a 1 a n a 2 n... a n 1 n Übung 21. Seien p(x) und q(x) die Polynome aus Aufgabe 10 und seien α 1,α 2,...,α m und β 1, β 2,...,β n die Nullstellen von p und q, wobei wir annehmen, dass es sich dabei um m + n paarweise verschiedene Elemente von K handelt. Zeige durch Multiplikation der Matrix S(p, q) aus Aufgabe 10 mit einer geeigneten (m + n) (m + n)-matrix der Gestalt x m+n 1 1 x1 m+n 2 1 x2 m+n 1 x2 m+n xm+n m+n 2 1 x m+n 1 m+n (ähnlich wie in Aufgabe 20), daß i det S(p, q) = p(β i) j q(α j) i,j (β = p n i α j ) mqn m (α i β j ) i,j

7 Übung 22. Löse das Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel. 7 x x 2 3 x 3 = 1 4 x 1 8 x x 3 = 0 2 x 1 3 x 2 + x 3 = 2 Übung 23. Bestimme mit möglichst wenig Aufwand die Koeffizienten von x 3 und x 4 in der Determinante 5x x x x 3 x 1 2 2x

8 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 5 Übung 24. Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix über R und C. Übung 25. Sei A = Bestimme die Eigenwerte und stelle fest, ob A diagonalisierbar ist, und zwar über den Körpern (a) Q, (b) R, (c) C, (d) Z 11, (e) Z 17. Übung 26. Bestimme die Eigenwerte und Vielfachheiten der reellen Matrix Ist die Matrix diagonalisierbar? Wenn ja, gib jeweils eine Basis von Links- und Rechtseigenvektoren an. Übung 27. Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren der reellen n n-matrix Übung 28. Sei A eine reguläre Matrix. Zeige, daß die Eigenwerte von A 1 gegeben sind durch spec(a 1 ) = {1/λ : λ spec A} Übung 29. Sei K ein Körper und A K m n, B K n m. Zeige: (a) AB und BA besitzen die gleichen Eigenwerte (mit der möglichen Ausname von 0). (b) Wenn darüberhinaus m = n ist, dann stimmen auch die charakteristischen Polynome überein. (Für den Beweis darf angenommen werden, daß zumindest eine der beiden Matrizen invertierbar ist).

9 Übung 30. Sei A eine reelle n n-matrix mit der Eigenschaft, daß A 2 = I. Bestimme die Eigenwerte von A und zeige, daß n gerade ist. Übung 31. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f, g : V V linear mit f g = g f. Zeige: Ist λ ein Eigenwert von f und E λ der zugehörige Eigenraum, dann ist g(e λ ) E λ.

10 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 6 Übung 32. Sei K = Z 7 und A = Bestimme eine Matrix M K 3 3 sodaß M 1 AM eine Diagonalmatrix ist. Übung 33. Die Exponentialfunktion einer reellen oder komplexen Matrix ist definiert durch exp A = A n n=0. Berechne exp A für die Matrix n! ( ) 0 α A = α 0 mit α R. Übung 34. Bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Abbildung S : C C (z 1, z 2,... ) (z 2, z 3,... ) Übung 35. Sei A eine n n-matrix über einem Körper K, v ein Links- und w ein Rechtseigenvektor zu verschiedenen Eigenwerten λ und µ, d.h. Zeige, daß v t w = 0. v t A = λv t Aw = µw. Übung 36. (a) Sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung, sodaß jeder Vektor v V ein Eigenvektor ist. Zeige, daß f ein Vielfaches der identischen Abbildung ist. (b) Sei A eine n n-matrix, sodaß jeder (n 1)-dimensionale Unterraum invariant ist. Zeige, daß A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. Hinweis: Gegenteil annehmen und (a) benutzen. Übung 37. Sei A eine n n-matrix über einem Körper K. Zeige, daß folgende Aussagen äquivalent sind: (i) A besitzt Rang 1 (ii) Der Eigenwert 0 hat geometrische Vielfachheit n 1 (iii) Es gibt Vektoren v, w K n \ {0} sodaß A = vw t. Wieviele weitere Eigenwerte gibt es? Wie sehen ggf. die zugehörigen Eigenvektoren aus? Übung 38. Sei A eine diagonalisierbare n n-matrix über einem Körper K mit (Rechts-)Eigenvektoren v 1, v 2,..., v n. Zeige, daß A auch n Linkseigenvektoren besitzt. Hier werden Spaltenvektoren als n 1-Matrizen aufgefaßt

11 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 7 Übung 39. Sei A K n n eine diagonalisierbare Matrix. Zeige, daß es Matrizen E 1, E 2,..., E n vom Rang 1 gibt, sodaß A = λ 1 E 1 + λ 2 E λ n E n wobei λ 1, λ 2,..., λ n die Eigenwerte von A sind und daß darüberhinaus für alle k N gilt A k = λ k 1E 1 + λ k 2E λ k ne n. Bestimme diese Matrizen für die Matrix A aus Beispiel 32. YYY Im Rest dieses Übungsblatts sei der Einfachheit halber ebenfalls angenommen, daß A eine diagonalisierbare Matrix über einem Körper K ist. Übung 40. (a) Sei χ A (x) das charakteristische Polynom. Zeige, daß χ A (A) = 0 (Nullmatrix). (b) Sei p(x) ein Polynom und λ ein Eigenwert von A. Zeige, daß p(λ) ein Eigenwert von p(a) ist. Übung 41. (a) Sei Ann(A) = {p(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + x n : p(a) = 0} die Menge aller Polynome mit führendem Koeffizienten 1, sodaß nach Einsetzen von A die Nullmatrix herauskommt. Zeige, daß es in Ann(A) ein eindeutiges Polynom m A (x) mit minimalem Grad gibt, das alle anderen Polynome in Ann(A) teilt. Hinweis: Divisionsalgorithmus. (b) Zeige, daß die Nullstellen des in Teil (a) gefundenen Polynomes m A (x) genau die Eigenwerte von A sind. (c) Gib ein Beispiel einer Matrix A, für die m A (x) χ A (x). Übung 42. Zeige, daß im Fall, daß A invertierbar ist, die inverse Matrix als Polynom geschrieben werden kann. A 1 = b 0 + b 1 A + + b m A m

12 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 8 Übung 43. Eine Matrix A R erfülle die folgenden Gleichungen: dim ker(a I) 1 = 2 dim ker(a I) 2 = 4 dim ker(a I) 3 = 5 dim ker(a I) 4 = 6 dim ker(a 2I) 1 = 2 dim ker(a 2I) 2 = 3 dim ker(a 2I) 3 = 4 Wie lautet die Jordansche Normalform von A? Übung 44. (a) Berechne die Jordansche Normalform der folgenden Matrix: A := (b) Finde eine reguläre Matrix M R 5 5, sodass M 1 AM die Jordansche Normalform von A ist. Übung 45. (a) Sei A C n n beliebig. Zeige, dass es eine diagonalisierbare Matrix D und eine nilpotente Matrix N gibt mit A = D + N und DN = ND. (b) Zeige, daß exp A = exp D exp N (c) Stelle die Matrix A aus Aufgabe 44 als Summe von entsprechenden Matrizen dar. (d) Berechne exp A für die Matrix A aus Aufgabe 44. Übung 46. (a) Seien A, B C n n beliebig. Zeige, dass A und B genau dann ähnlich sind (d. h. es gibt eine reguläre Matrix M C n n mit B = M 1 AM), wenn sie dieselbe Jordansche Normalform haben. (b) Zeige unter Verwendung von a), dass jede Matrix A C n n zu ihrer transponierten Matrix A t C n n ähnlich ist. Übung 47. Zeige, daß das charakteristische Polynom der Matrix a 1 a 2... a m 1 a m A = gegeben ist durch χ A (x) = ( 1) m (x m a 1 x m 1 a 2 x m 2 a m 1 x a m ).

13 Übung 48. Löse die lineare Rekursion x n+4 = 24x n+3 210x n x n x n für n 0 und die Anfangswerte x 0 = 2, x 1 = 9, x 2 = 106, x 3 = 1229.

14 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 9 Übung 49. (a) Sei A eine quadratische Matrix über C und ( ) A I à = 0 A die mit der entsprechenden Null- und Einheitsmatrix ergänzte Blockmatrix. Zeige, daß für ein beliebiges Polynom p(x) gilt ( ) p(a) p p(ã) = (A), 0 p(a) wobei p (x) die Ableitung bezeichnet. (b) Sei m A (x) = (x λ i ) k i das Minimalpolynom der Matrix A (siehe Aufgabe 41). Zeige, daß das Minimalpolynom der oben definierten Blockmatrix à gegeben ist durch mã(x) = (x λ i ) ki+1. Hinweis: Es darf die Tatsache verwendet werden, daß x 0 Nullstelle der Vielfachheit m eines Polynoms p(x) ist genau dann, wenn für die Ableitungen an der Stelle x 0 gilt { p (k) = 0 0 k < m (x 0 ) 0 k = m Übung 50. Eine quadratische Form auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit gegebener Basis ist eine Funktion Q : V R, die bezüglich dieser Basis als homogenes quadratisches Polynom p(x 1, x 2,..., x n ) in den Koordinaten darstellbar ist. Homogen heißt, daß nur Terme der Ordnung 2 vorkommen, d.h., p(λx 1, λx 2,..., λx n ) = λ 2 p(x 1, x 2,..., x n ). (a) Zeige, daß diese Definition nicht von der Wahl der Basis abhängt, d.h., daß eine quadratische Form bezüglich einer gewählten Basis auch bezüglich jeder beliebigen anderen Basis als homogenes quadratisches Polynom darstellbar ist. Wie sieht das entsprechende Polynom nach der Basistransformation aus? (b) Sei B(x, y) eine Bilinearform auf V. Zeige, daß Q(x) = B(x, x) eine quadratische Form ist. (c) Sei Q(x) eine quadratische Form. Zeige, daß F (x, y) = (Q(x+y) Q(x) Q(y))/2 eine symmetrische Bilinearform definiert. Was erhält man, wenn man diese Konstruktion auf die quadratische Form aus Teil (b) anwendet? Übung 51. Sei V der Vektorraum der symmetrischen reellen 2 2-Matrizen. Zeige, daß det : V R eine quadratische Form ist und bestimme die zugehörige symmetrische Bilinearform aus Aufgabe 50c, inklusive der Matrix derselben bezüglich der Basis ( ), ( ), ( )

15 Übung 52. Sei T die Drehung mit Matrixdarstellung ( ) 0 1 T =. 1 0 (a) Bestimme alle symmetrischen Bilinearformen x, y auf R 2, sodaß für alle x R 2 gilt, daß x, T x = 0. (b) Bestimme alle Sesquilinearformen x, y auf C 2, sodaß für alle x C 2 gilt, daß x, T x = 0. Übung 53. Zeige, daß für beliebiges fixiertes k N die Abbildung n x i y j B k (x, y) = i + j + k i,j=0 eine positiv definite Bilinearform auf R n+1 = {(x 0, x 1,..., x n ) : x i R} darstellt. Hinweis: Um Positivität zu zeigen, ist es vorteilhaft, die Vektoren zunächst als geeignete Polynome zu interpretieren und letztere miteinander zu multiplizieren. Übung 54. Sei V ein Vektorraum mit innerem Produkt.,.. Zeige, daß eine Familie von Vektoren v 1, v 2,..., v n V linear unabhängig ist genau dann, wenn die Matrix v 1, v 1 v 1, v 2... v 1, v n v 2, v 1 v 2, v 2... v 2, v n ( v i, v j ) i,j=1,...,n =.. v n, v 1 v n, v 2... v n, v n vollen Rang besitzt.

16 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 10 Übung 55. Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Beweise die folgenden Aussagen: (a) A B = B A. (b) A (A ). (c) A = ((A ) ) Übung 56. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über R mit gegebener Basis B = {b 1, b 2,..., b n } und F : V V R eine Bilinearform. Sei R = {v V : F (u, v) = 0 u V } Zeige, daß R = {0} genau dann, wenn die Matrix A = (F (b i, b j )) i,j=1,2,...,n invertierbar ist. Übung 57. Sei Tr(A) = die Spur einer reellen oder komplexen n n-matrix A. Zeige: (a) Tr : K n n K ist linear und für A K n m, A K m n gilt Tr(AB) = Tr(BA), aber im Allgemeinen nicht Tr(ABC) = Tr(ACB). (b) Für n n-matrizen A, B mit B invertierbar gilt Tr(B 1 AB) = Tr(A). (c) Zeige, daß es keine Matrizen A und B gibt, sodaß AB BA = I. (d) Finde eine reelle Matrix A, sodaß Tr(A 2 ) < 0. (e) Sei K = R. Zeige daß A, B = Tr(B t A) ein positiv definites Skalarprodukt auf dem Raum der Matrizen definiert. (f) Sei S = {A R n n : A = A t } der Unterraum der symmetrischen Matrizen. Bestimme S bezüglich des Skalarprodukts aus (e), d.h., den Unterraum {B R n n : Tr(AB) = 0 A S}. Übung 58. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über R und U, W V zwei m-dimensionale Unterräume. Zeige: Wenn es u U \ {0} gibt mit u W, dann gibt es w W \ {0} mit w U. Übung 59. Bestimme eine Orthonormalbasis des R 4 bezüglich des Skalarprodukts n i=1 a ii x, y = x t Ay wobei A = durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die kanonische Basis.

17 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 11 Übung 60. Bestimme die Projektion des Vektors (1, 1, 1, 1) auf den durch die Gleichungen gegebenen Unterraum des R 4. x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 x 1 + x 3 + x 4 = 0 Übung 61. (a) Bestimme eine Orthonormalbasis des von den Polynomen {1, x, x 2, x 3 } aufgespannten Unterraums W R[x] bezüglich des Skalarprodukts p(x), q(x) = 1 0 p(x) q(x) dx (b) Bestimme die Matrix der Orthogonalprojektion P : W W auf den Unterraum W 0 = {p(x) W : p(x) = p(1 x)} bezüglich der Basis {1, x, x 2, x 3 }. Übung 62. Sei f(x) 0 eine stetige Funktion auf [0, 1], die nicht überall verschwindet. (a) Zeige, daß auf dem Vektorraum R[x] der reellen Polynome durch p, q = 1 0 f(x)p(x)q(x) dx ein positiv definites Skalarprodukt erklärt wird. (b) Sei p n (x) eine Folge von Polynomen der Gestalt p n (x) = x n + a n,n 1 x n a n,1 x + a n,0 mit der Eigenschaft, daß p m, p n = 0 für m n. Zeige, daß es Zahlen α n, β n gibt sodaß xp n (x) = p n+1 (x) + α n p n (x) + β n p n 1 (x) (c) Zeige, daß dabei β n > 0 sein muß. Übung 63. Sei V ein euklidischer Vektorraum und w V ein Einheitsvektor. Wir definieren S w : V V v v 2 v, w w (a) Zeige, daß S w eine lineare isometrische Abbildung ist. (b) Zeige, daß S w S w = id V und S w orthogonal ist. (c) Zeige, daß v span{w} gilt S w (v) = v und v w hingegen S w (v) = v. Wie kann man S w geometrisch interpretieren? Übung 64. Sei V = R 2 und f : V V die lineare Abbildung mit Matrixdarstellung A = ( ) Bestimme die zu f adjungierte Abbildung bezüglich des inneren Produkts u, v = u t Mv wobei M = ( ).

18 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 12 Übung 65. Sei V = R[x] mit dem Skalarprodukt f, g = 1 f(x) g(x) dx und D : V V, D(f) = f 0 die Ableitung. (a) Bestimme die adjungierte Abbildung der Einschränkung D W auf den Unterraum W = {f V : f(0) = f(1) = 0}. (b) Zeige, daß es kein Polynom g V gibt sodaß g, f = f(0) für alle f V. (c) Zeige, daß D : V V keine adjungierte Abbildung besitzt. (d) Bestimme die zu D adjungierte Abbildung auf dem Unterraum R[x] 1 der Polynome vom Grad 1. Übung 66. Sei A = Bestimme eine unitäre Matrix U, sodaß U AU diagonal ist. Übung 67. Zeige: Eine komplexe Matrix A ist normal genau dann, wenn Re A = A+A und Im A = 2 miteinander kommutieren. A A 2i Übung 68. Zeige oder widerlege: Eine Matrix ist unitär genau dann, wenn sie normal ist und alle Eigenwerte Betrag 1 haben. Übung 69. Sei A R m m, B R m n, D R n n. Zeige, daß die Blockmatrix ( ) A B 0 D normal ist genau dann, wenn B = 0 und sowohl A als auch D normal sind. Übung 70. Zeige, daß eine komplexe Matrix A normal ist genau dann, wenn ein Polynom p(x) existiert, sodaß p(a) = A ist. Hinweis: Interpolation. Übung 71. Zeige, daß eine komplexe Matrix A normal ist genau dann, wenn es eine unitäre Matrix U gibt sodaß A = AU.

19 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 13 Übung 72. Sei A eine selbstadjungierte positiv semidefinite Matrix. Zeige, daß max i,j a ij = max i a ii. Übung 73. (a) Zeige: Eine Matrix A C n n ist genau dann positiv semidefinit, wenn es Spaltenvektoren x 1, x 2,..., x m C n 1 gibt, sodaß m A = x i x i (b) Seien A, B C n n positiv semidefinit. Zeige, daß die Matrix A B := (a ij b ij ) n i,j=1 ebenfalls positiv semidefinit ist. Hinweis: Teil (a) kann hilfreich sein. i=1 Übung 74. Sei A eine positiv definite Matrix. Zeige, daß es eine positiv definite Matrix B gibt sodaß B 2 = A. Übung 75. Sei B R m n. Zeige, daß die Blockmatrix ( Im B B t I n ) genau dann positiv definit ist, wenn die Eigenwerte von B t B kleiner als 1 sind. Übung 76. Bestimme die Choleskyzerlegung der Matrix Übung 77. Bestimme die kleinsten Konstanten C pq (n), p, q {1, 2, }, sodaß für alle x R n gilt wobei x 1 = i=1 x p C pq (n) x q, n ( n ) 1/2 x i x 2 = x i 2 x = max x i i i=1 Übung 78. Sei A F = Tr(A t A) 1/2 die vom Skalarprodukt aus Aufgabe 57 (e) induzierte Norm auf R n n und A die Spektralnorm ( λ max (A t A)). (a) Zeige, daß für eine beliebige Matrix A gilt A A F n A. (b) Zeige, daß für eine beliebige Matrix A und eine beliebige symmetrische Matrix S gilt A A + At 2 A S. (c) Sei A invertierbar. Zeige, daß für die Eigenwerte von A gilt A 1 1 λ A.

20 Lineare Algebra 2 SS2012 Übungsblatt 14 Übung 79. Bestimme den Typ und die Normalform der Quadrik x x 1 x x 1 x x x x 2 x 3 38 x 2 2 x x 3 6 = 0 sowie die Transformation (Drehung + Translation), die sie in die Normalform überführt. Übung 80. Sei K der Drehkegel im R 3, der durch Rotation der Geraden y = 2x um die x-achse entsteht. Bestimme den Typ des Kegelschnitts, der durch Schnitt dieses Kegels mit der Ebene x + y + z = 3 entsteht. Hinweis: Ebene mit einer Orthogonalbasis parametrisieren. Übung 81. Zeige, daß eine nichtnegative n n-matrix genau dann irreduzibel ist, wenn der gerichtete Graph G = (V, E) mit V = {1, 2,..., n} und E = {[i, j] : a ij > 0} stark zusammenhängend ist. Übung 82. (a) Sei A strikt nichtnegativ, d.h., alle a ij > 0. Zeige, daß die Inverse von A nicht nichtnegativ sein kann. (b) Sei A eine nichtnegative stochastische Matrix mit nichtnegativer Inverser. Zeige, daß A eine Permutationsmatrix sein muß. Übung 83. Welche der folgenden Matrizen sind irreduzibel/primitiv? (a) A 1 = (b) A 2 = (c) A 3 = (d) A 4 = Bestimme die zugehörigen Graphen und soweit möglich auch die Eigenwerte. Übung 84. Sei A eine irreduzible nichtnegative n n-matrix. Zeige: (a) A ist primitiv, wenn zumindest einer der Diagonaleinträge nicht null ist. (b) Die Umkehrung gilt für n = 2, aber nicht für n 3.

21 Tutorium Lineare Algebra 2 Stefan Rosenberger Erste Einheit 5. März 2012 Beispiel 3 Zuerst wollen wir uns den Beweis aus der VO genauer ansehen: Aus dem Gauss-Algorithmus erhalten wir für eine n n - Matrix eine Folge von Dreiecks-Matrizen und Permutations-Matrizen, sodass es eine obere Dreiecksmatrix R gibt mit der Darstellung: R = F r (T r,ir F r 1 )(T r 1,ir 1 F r 2 )... (F 1 T 1,i1 )A Wenn wir uns diese Zerlegung etwas genauer ansehen erhalten wir, da T i,k T i,k = id gilt folgt F r (T r,ir F r 1 )(T r 1,ir 1 F r 2 )... (F 1 T 1,i1 ) = F r (T r,ir F r 1 T r,ir )T r,ir (T r 1,ir 1 F r 2 )... (F 1 T 1,i1 ) Somit erhalten wir eine Darstellung: = F r F r 1(T r,ir T r 1,ir 1 F r 2 T r 1,ir 1 T r,ir )(T r,ir T r 1,ir 1... (F 1 T 1,i1 ) R = LP A L 1 R = P A P T L 1 R = A (Bemerkung: Offensichtlich gilt: (P 1 P 2... P n ) 1 = (P 1 P 2... P n ) T ). = F r F r 1F r 2... F 1(T r,ir T r 1,ir 1... T 1,i1 ). Nun betrachten wir folgendes Beispiel: Bestimme eine Permutations-Matrix P und Dreiecksmatrizen L, R sodass P A = P = LR Wir können nun zwei Varianten anwenden um das Problem zu lösen: 1. Wir berechnen Schrittweise die Permutations- und Frobenius-Matrizen bis wir eine obere Dreiecksmatrix erhalten. Danach berechnen wir jeweils die Permutierten Frubenius-Matrizen (T LT = L ), invertieren das Produkt dieser und erhalten P A = LR. Dies ist im Prinzip gleich wie in Beispiel Die zweite Möglichkeit ist es sich zu überlegen wie der Algorithmus genau aussieht: Wenn man in jeden Schritt eine Umformung macht, so bekommt man für A eine Folge von Darstellungen (wobei R i keine oberen Dreiecksmatrizen sind, erst für i = r): A = [P 0 L 0 R 0 ] A = [P 1 L 1 R 1 ].. A = [P r L r R r ] Man kann sich leicht überlegen (VO Lineare Algebra 1) wie die Matrizen L i aussehen müssen (Einträge sind die additiv inversen Einträge der Frobeniusmatrizen, und das P i durch vertauschen der 1

22 Spalten entsteht. Jetzt wollen wir diese Beobachtung praktisch umsetzen: Dazu fassen wir die drei Matrizen in eine Große zusammen. Die erste Matrix steht für die Permutationsmatrix in der die Spalten vertauscht werden. Die zweite Matrix steht für das inverse Produkt der Frobeniusmatrizen. Die dritte Matrix ist die durch Gauß veränderte Matrix A: [P 0 L 0 R 0 ] = Zuerst wird die dritte Zeile mit der Ersten vertauscht, für unser P bedeutet das, dass die dritte Spalte und die 1. Spalte tauschen: [P 1 L 0 R 0 ] = /4 1.Zeile bleibt gleich /2 1.Zeile Damit erhalten wir (wobei bei der mittleren Matrix die additiv inversen Einträge des Algorithmus geschrieben wird) : [P 1 L 1 R 1 ] = / / Nun wird die 3. mit der 2. Zeile vertausch (bei P tauschen wir wieder die Spalten): [P 2 L 1 R 1 ] = / / /4 2.Zeile Damit erhalten wir: [P 2 L 2 R 2 ] = / / 2 1 / /4 3.Zeile Nun brauchen wir keine Zeilen zu vertauschen, P bleibt also gleich: [P 3 L 3 R 3 ] = / / 1 2 / 4-1 / 4 1 Und schließlich folgt: A = P 3 L 3 R 3 P T 3 A = L 3 R Es leicht zu überprüfen ob man einen Fehler gemacht hat, denn nach jedem Schritt muss gelten A = P i L i R i 2