Einführung des Differentialquotienten aus: Fokus Mathematik 11 (Cornelsen), Kapitel 9.1

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1 Einführung des Differentialquotienten aus: Fokus Mathematik 11 (Cornelsen), Kapitel 9.1 Diese umfangreichere Aufgabe geht aus von mittleren Steigungen und führt dann hin zur mittleren Steigung. Zunächst wird ausgiebig der Umgang mit mittleren Steigungen trainiert. Das CAS dient hier als Vehikel zur Ermittlung eines Funktionsterms, mit dessen Hilfe dann Steigungen in beliebig kleinen Intervallen betrachtet werden können.

2 Lösungen: Profilkurve a) Wertetabelle für die Profilkurve h(x) und Durchschnittssteigungen m (angegeben jeweils für das folgende Intervall): x (m) h (m) m 0,067 0,100 0,278 0,294 0,000-0,200-0,111 0,000 0,071 0,079 0,000 0,000 0,385 0,119 0,179 0,000 Profilkurve: b) Durchschnittssteigungen: Siehe Tabelle in Teilaufgabe a). Realistischer Graph der Steigungsfunktion: So gezeichnet, dass zum einen die Stellen mit waagrechter Tangente den Steigungswert Null haben und andererseits die Mittelwerte in den einzelnen Intervallen in etwa angenommen werden.

3 c) Erwartungsgemäß reproduziert der Graph die Profilkurve nur innerhalb des Bereichs, in dem die Stützstellen gewählt wurden, gut. d)

4 e) f)

5 Das Newton-Verfahren aus: Mathematik mit CAS Arbeitsheft (Cornelsen) 1 Beschreiben Sie den Algorithmus des Newton-Verfahrens zur Bestimmung von Näherungswerten für Nullstellen 2 Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren einen Näherungswert für die Nullstelle x von f ( x) = x x 2. Der Startwert ist x 0 = Füllen Sie dazu die Tabelle so weit aus, wie Ihnen sinnvoll erscheint: n x n f ( x n) f ( x n ) f ( xn ) f ( x ) n Ergebnis: x Visualisieren Sie das Vorgehen beim Newton-Verfahren mithilfe des CAS. 3 Bestimmen Sie mit dem CAS jeweils einen Näherungswert für die Nullstelle der Funktion mit dem Term 1 2 f ( x) = x + x 1 2 x Ermitteln Sie zunächst einen sinnvollen, ganzzahligen Startwert. Ein mögliches, effizientes Vorgehen sehen Sie im nebenstehenden Screenshot. Beenden Sie das Verfahren, wenn aufeinanderfolgende Werte in 5 Dezimalstellen übereinstimmen. Tipp: [ans] = letztes Ergebnis.

6 4 In bestimmten Situationen kann der Algorithmus des Newton-Verfahrens versagen. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 3 6 x x 6. Suchen Sie an diesem Beispiel nach einer Situation, in welcher der nächste Schritt des Newton-Verfahrens zu keinem Ergebnis führt. Bestimmen Sie nun einen Startwert, für den dieser Fall beim zweiten Schritt eintritt. a) Graphische Lösung Wählen Sie einen Punkt A auf dem Graphen. Seine x-koordinate ist der Startwert für das Newton-Verfahren. Lassen Sie die Tangente in diesem Punkt zeichnen. Die Nullstelle dieser Tangente ist der erste Näherungswert x 1. Führen Sie ebenso den nächsten Schritt aus. Ermitteln Sie nun den gesuchten ungeeigneten Startwert, indem Sie den Punkt A auf dem Graphen geeignet verschieben. Zeichnen Sie diese Situation in die Skizze ein. b) Rechnerische Lösung Was muss an der Stelle des Ergebnisses x 1 des ersten Schrittes des Newton-Verfahrens gelten, damit der zweite Schritt kein Ergebnis liefert? Ermitteln Sie den Term zur allgemeinen Berechnung von x 1 in Abhängigkeit vom Startwert x 0 und damit nach obiger Überlegung das Ergebnis für x 0 : 5 Die folgenden Beispiele zeigen andere Schwierigkeiten, die bei der Durchführung des Newton-Verfahrens auftreten können. Wenden Sie jeweils das Newton-Verfahren an und erläutern Sie Ihre Beobachtungen. a) b) 1 2 f ( x) = x x + 1 x 0 = 0, f ( x) = x 7 x + 18 x 12 x 0 = 2 4 c) f(x) = x 3 3 x 2 40 x; x 0 = 2,3 bzw. x 0 = 2,4 bzw. x 0 = 2,5 d) f(x) = 2 2x 2 x ; x 0 = 2

7 Kapitel 3.2 Untersuchung von Funktionen LÖSUNG Das Newton-Verfahren 1) Newton-Verfahren: Für einen beliebigen Startwert wird die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle bestimmt. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-achse dient als erster Näherungswert für eine Nullstelle der Funktion f. Der zweite Näherungswert ist der Schnittpunkt der Tangente an an der Stelle mit der x-achse, analog erhält man alle weiteren, besseren Näherungswerte. Das sukzessive Nullsetzen der Tangentengleichungen führt zu der Iterationsformel. 2) Als Näherungswert für die ersten fünf Nachkommastellen ergibt sich nach dem fünften Schritt 1, Zur graphischen Darstellung des Verfahrens benötigt man für jeden Schritt die entsprechende Tangentengleichung. Viele Computeralgebrasysteme stellen zur Berechnung eine vordefinierte Funktion zur Verfügung. Gleichungen der Tangenten: 2,75 9, ,9063 5, ,1242 4, , , ,79957

8 Kapitel 3.2 Untersuchung von Funktionen LÖSUNG 3) a) Zur Bestimmung des Startwerts: Erstellen einer Wertetabelle, z. B, für ganzzahlige x-werte, ergibt 1 2 und lim. Damit ist 1 ein sinnvoller Startwert. Definiert man eine Funktion zur Bestimmung des Näherungswerts für die Nullstelle als, so ist diese Funktion iterativ immer wieder mit dem letzten Ergebnis als Argument aufzurufen. Bei vielen Computeralgebrasystemen gibt es eine Funktion <letztes Ergebnis>, dann ist nur der Aufruf n letztes Ergebnis wiederholt anzuwenden. Folge der Näherungswerte: 1; 0,6; 0,671364; 0,682147; 0,682328; 0, Ergebnis: 0,68233 b) Aus einer Wertetabelle ergibt sich, dass im Intervall 2,3 eine Nullstelle zu finden ist. Folge der Näherungswerte: 2; 2,15535; 2,15535; 2,17976; 2, Ergebnis: 2, ) Erstellt werden kann z. B. eine Tabelle für die Wertepaare ;, in welcher der Wert ein variierbarer Parameter ist. Die Folge der Näherungswerte kann dann in einem Punktdiagramm dargestellt werden. 5) Ein Schritt des Newton-Verfahrens gelingt sicher dann nicht, wenn die Tangente parallel zur x-achse verläuft, d. h. wenn für einen Näherungswert x n gilt 0. Dann gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-achse. In der Iterationsformel ist in diesem Fall der auftretende Nenner Null. a) Für 3 ist 2 und 0. b) Es muss gelten: 0 (siehe oben). Gleichung der Tangenten an den Graphen von f im Punkt :

9 Kapitel 3.2 Untersuchung von Funktionen LÖSUNG Nullstelle davon:. Damit ist 16. Die Lösung der Gleichung 0 (nach dem unbekannten Startwert ) ergibt 3. c) Zunächst wird die Stelle a, an welcher der Graph von f die Steigung Null hat, ermittelt (a = 2). Anschließend wird wie oben die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f im Punkt aufgestellt. Den gesuchten Wert für erhält man dann aus der Forderung, dass die gefundene Tangente an der Stelle a ihre Nullstelle haben soll, dass also Einsetzen des Werts a (= 2) in den Funktionsterm der Tangente den Wert Null ergeben soll. 6) a) Hier ergibt sich als Nullstelle der Tangente an den Graphen von f im Punkt 0,5 0,5 der Wert 7,14. Die Funktion f ist aber nur für 0 definiert, das Newton-Verfahren kann also nicht fortgesetzt werden. b) Das Verfahren springt zwischen den beiden Werten 2 und 4 hin und her. c) Für 2,3 konvergiert das Newton-Verfahren schließlich gegen die Nullstelle 5, für 2,4 konvergiert es gegen die Nullstelle 8. Für 2,5 wird die Nullstelle 8 schon mit dem ersten Schritt exakt erreicht. In ungünstigen Fällen kann also das Ergebnis, gegen welches das Newton- Verfahren konvergiert, sehr empfindlich von der Wahl des Startwerts abhängen. d) In diesem Fall bewegt sich die Folge der Nullstellen der Tangenten immer weiter von der Nullstelle weg.

10 Experimentieren und Entdecken aus: Mathematik mit CAS Arbeitsheft Jahrgangsstufe 11 (Cornelsen) 1. Ableitung bei mehrfachen Nullstellen 2. Kettenregel

11 3. Nullstellen und Polstellen gebrochenrationaler Funktionen

12 1. Ableitung bei mehrfachen Nullstellen: 2. Kettenregel:

13 3. Nullstellen und Polstellen gebrochenrationaler Funktionen

14 Die natürliche Exponentialfunktion aus: Mathematik mit CAS Arbeitsheft Jahrgangsstufe 11 (Cornelsen) Nächster möglicher Schritt: Betrachtung des Grenzübergangs lim h 0 a h 1 h durch Darstellen des Graphen zu ax 1 x.

15 Kapitel 6.1 Die natürliche Exponentialfunktion LÖSUNG Die Eulersche Zahl e 1) Die Graphen können nacheinander durch Variation des Parameters a gezeichnet werden, oder gleichzeitig als Scharfunktion. Monotonieverhalten: - für 0 < a < 1 ist der Graph streng monoton fallend. - für a = 1 sind die Funktionswerte konstant: y = 1. Die Steigung ist 0. - für a > 1 ist der Graph streng monoton steigend. 2) a > 1: - Im Negativen nähert sich der Graph asymptotisch an die x-achse an, die Funktionswerte gehen gegen 0, die Steigung ebenso. - Für wachsende x-werte steigen die Funktionswerte erst langsam, dann immer stärker, ebenso wächst die Steigung erst langsam, dann immer stärker. a = 1: Sowohl Funktionswerte, als auch die Steigung sind konstant: y = 1, Steigung m = 0. 0 < a < 1: analog zu a > 1, nur entgegengesetzt.

16 Kapitel 6.1 Die natürliche Exponentialfunktion LÖSUNG 3) Für a x ist keine Ableitungsregel bekannt. Daher wird die Ableitungsfunktion mithilfe des Differentialquotienten ermittelt und gezeichnet. Wie in Aufgabe 1 kann hier der Parameter a wieder dynamisch variiert werden, oder es werden die Graphen für mehrere Parameter gezeichnet. Man erkennt, dass für a 2,7 die Graphen übereinander verlaufen. Mit den Zoomfunktionen und der Iteration des Parameters a wird man a auf mehrere Dezimalen festlegen können: a = 2,71 (= e) 4) f ' x a f lim h 0 a x h x x h x x h x h f x a a a a a a a 1 h a lim h 0 h lim h 0 Hierbei wird die Existenz des Grenzwertes für c vorausgesetzt. Wenn man für x = 0 einsetzt, erhält man genau den Term c f ' h a lim h 0 0 h a h a 1 lim. h 0 h x h a 1 lim f a h 0 h x c Bei dieser Rechnung wird es sicherlich notwendig sein, hilfreiche Tipps an die Schüler zu geben. Man könnte z.b. fragen, durch welche Einsetzung man das a x im vorletzten Rechenschritt zum Verschwinden bringt.

17 Kapitel 6.1 Die natürliche Exponentialfunktion LÖSUNG Alles kalter Kaffee 1) Beispielmessung: Zeit/min Temperatur/ C Die Werte lassen sich grafisch als Streuplot darstellen. Dazu muss im Grafikfenster der geeignete Funktionstyp ausgewählt werden. 2) a) Um c Einheiten ist der Graph der Exponentialfunktion nach oben verschoben, also ist c die Zimmertemperatur, an die sich die Temperatur des Kaffees annähert. Der Wert von a ist die Temperaturdifferenz zwischen Zimmertemperatur und Kaffeetemperatur zu Beginn der Messung. Der Kaffee besitzt also zum Startzeitpunkt die Temperatur a + c Gemessen wird der Parameter c, in dem die Zimmertemperatur bestimmt wird. Z.B. c = 20 [ C] b) Als neuer Ansatz gilt wegen Teilaufgabe a): f (x) = a e bx Mit zwei Wertepaaren werden zwei Gleichungen aufgestellt, die dann als Gleichungssystem mit dem CAS gelöst werden. f (x) = 36 e 0,054x Alternativ: Aus dem ersten Wertepaar für x = 0 ließe sich schon im Kopf a bestimmen: 0 56 a e 20 a 36. Damit lässt sich b durch Lösen einer Exponentialgleichung bestimmen, die mit einem weiteren Wertepaar aufgestellt wird. Allerdings ist der natürliche Logarithmus wahrscheinlich noch nicht bekannt.

18 Kapitel 6.1 Die natürliche Exponentialfunktion LÖSUNG 3) Die Lösung eines dreireihigen Gleichungssystems mit dem allgemeinen Ansatz f (x) = a e bx + c ergibt z.b. f (x) = 33 e 0,061x Man stellt mehr oder wenig große Abweichungen bei der Zimmertemperatur fest, je nachdem, welche Wertepaare man für die Modellierung verwendet. Der Startwert als Summe von a und c bleibt erhalten (da er ja als Wertepaar benutzt wurde). 4) Die Funktion für die exponentielle Regression des CAS-Rechners verwendet nicht die natürliche Exponentialfunktion, sondern ermittelt die Koeffizienten zur allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = a b x. Zur Regression muss man also die y-verschiebung (Zimmertemperatur) zuerst von den Funktionswerten abziehen. Durch Einzeichnen des Graphen der Regressionsfunktion in das Fenster mit dem Streuplot der einzelnen Messpunkte lässt sich die Genauigkeit anschaulich erfassen. Der Graph der Regressionsfunktion verläuft nicht mehr zwingend durch die einzelnen Messpunkte, sondern ermittelt eine optimale Annäherung an die Messpunkte. Ideen Verfahren Strategien: Um eine Funktion zu modellieren muss man zuerst einen Ansatz vorgeben. Man benötigt soviel Wertepaare, wie es Parameter in der Funktion gibt. Jedes Wertepaar in die Funktionsgleichung eingesetzt ergibt eine Gleichung, alles zusammen ein Gleichungssystem, dessen Lösung die Parameter selbst sind. So geht s mit CAS: Ansatz definieren: f (x) := a e b x Gleichungssystem aufstellen mit allen Wertepaaren (x i, y i ): solve(f (x 1 )=y 1 and f (x 2 )=y 2, a)

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21 Kapitel 2: Flächeninhalt und bestimmtes Integral Station 5: Grundaufgaben zur Flächenberechnung Aufgabe 1: a) 0 4 f(x) dx= Berechnet wird die Bilanz der Inhalte der Flächenstücke oberhalb und unterhalb der x-achse. b) Zur Berechnung des gesuchten Flächeninhalts müssen die drei Teilflächen einzeln berchnet und anschließend ihre Beträge addiert werden. Dazu spaltet man das Integrationsintervall an den Nullstellen von f auf. Diese sind x = 0, x = 1, x = 3 und x = 4. Für den gesuchten Flächeninhalt erhält man A= 0 f(x) dx + 1 f(x) dx + 3 f(x) dx = =8. c) Hier müssen vier Flächenstücke betrachtet werden: 3 A= 4 g(x)dx g(x) dx + 1 = = ,0833 g(x) dx g(x) dx = Die gezeigte Abbildung stellt den Graphen zu g(x) dar. Alle Flächenstücke, die bei der Berechnung des bestimmten Integrals negativ gezählt würden, werden durch den Betrag an der x-achse gespiegelt und liegen nun ebenfalls oberhalb der x-achse. Somit kann der gesuchte Flächeninhalt als bestimmtes Integral mit der Integrandenfnktion g(x) und den Integrationsgrenzen -4 und 3 berechnet werden: 3 A= 4 g(x) dx 39,0833 (Anmerkung: Zur Betragsfunktion gibt es keine Stammfunktion mit einem geschlossenen Term. Bei der Auswertung des Integrals führt das CAS genau die Zerlegung in Teilintervalle durch, die weiter oben erarbeitet wurde.)

22 Aufgabe 2: a) Die Schnittpunkte der beiden Graphen im ersten Quadranten liegen bei x = 2 und bei x = 4. Zwischen diesen beiden Schnittpunkten liegt der Graph von g oberhalb des Graphen von f. Damit wird das Flächenstück unter dem Graphen von g, dessen Inhalt 2 4 g(x) dx ist, durch den Graphen von f in zwei Teile zerlegt. Der eine Teil ist das Flächenstück (Flächeninhalt A), das von den beiden Graphen begrenzt wird, das andere ist das Flächenstück unter dem Graphen von f mit dem Inhalt 2 4 f(x) dx. Es ist also 2 4 g(x) dx=a+ 2 4 f(x) dx A= 2 4 g x dx 2 4 f x dx Umgeschrieben: A= 2 4 g x f x dx = 2 3 b) Es müssen zwei Flächenstücke betrachtet werden, das aus Teilaufgabe a) und das zwischen den Schnittpunkten bei x = 2 und x = 2. Hier liegt der Graph von f oberhalb des Graphen von g, also ist 2 f x g x dx. Würde man hier als Integrand die "falsche A 2 = 2 Reihenfolge" g x f x = f x g x wählen, so würde A 2 ein negatives Vorzeichen erhalten. Dieser Fehler kann nachträglich korrigiert werden, indem man den Betrag des Ergebnisses betrachtet. Tut man dies generell, so kann man auf die Unterscheidung, welcher der beiden Funktionsgraphen oberhalb des anderen verläuft, verzichten. Man zerlegt den Integrationsbereich an den Schnittstellen der beiden Graphen und addiert die Beträge der bestimmten Integrale über f x g x (oder g x f x ) zwischen aufeinanderfolgenden Schnittstellen: A gesamt = c1 c 2 f x g x dx c2 c 3 f x g x dx Hier: A gesamt = f x g x dx 2 f x g x dx 4,93333.

23 c) Da die x-achse das zwischen x = 3 und x = 2 liegende Flächenstück schneidet, kann die Argumenation aus Teilaufgabe 2a) nicht unmittelbar in gleicher Weise geführt werden. Verschiebt man jedoch die Graphen von f und g beide so weit nach oben, dass sie im betrachteten Intervall oberhalb der x-achse liegen, verschwindet dieses Problem, ohne dass sich der betrachtete Flächeninhalt ändert. Auch die Differenz der Funktionsterme bleibt unverändert: f x c g x c =f x g x. Daraus ergibt sich als Methode zur Berechnung des Inhalts der Fläche, die im Intervall [a;b] zwischen den Graphen zweier Funktionen f und g eingeschlossen ist: Hier: Ermittlung der Schnittstellen c 1, c 2,..., c k der Funktionen f und g, die im Intervall [a;b] liegen. Aufteilung des Intervalls [a;b] an diesenschnittstellen und Addition der einzelnen Flächenstücke: c 2 b f x g x dx ck f x g x dx A= a c 1 f x g x dx c1 2 A= 3 f x g x dx f x g x dx 7, f x g x dx 2 4 f x g x dx d) Die Aufspaltungen an den Schnittstellen von f und g wird nötig, da dort wechselt, welcher der beiden Graphen den oberen und welcher den unteren Rand des jeweiligen Flächenstücks beschreibt. Der Term zum oberen Rand ist (vgl. Teilaufgabe a)) immer der Minuend, der zum unteren Rand der Subtrahend. Der Term f x g x als Integrandenfunktion liefert genau dieses gewünschte Verhalten im ganzen Intervall [a;b]; damit wird die Aufspaltung an den Schnittstellen überflüssig: A= a b f x g x dx. 5 Hier: A= 3 f x g x dx 7,38333.

24 Flächenteilung für Fortgeschrittene aus: Mathematik mit CAS Arbeitsheft Jahrgangsstufe 12 (Cornelsen)

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27 Streifenmethode aus: Mathematik mit CAS Arbeitsheft Jahrgangsstufe 12 (Cornelsen) Es ist nicht prinzipiell notwendig, in diesem Abschnitt die Streifenmethode zu besprechen. Als Ausblick kann sie aber mit dem CAS ganz gut bearbeitet werden. Nötige CAS-Funktion: Summation, zu finden im Calculator-Menü Analysis.

28 Kapitel 2: Flächeninhalt und bestimmtes Integral Station 3: Näherungsweise Ermittlung von Integralen die Streifenmethode Aufgabe 1: In der ersten Auflage entspricht der Graph in der Abbildung nicht dem angegebenen Funktionsterm. Bei den Lösungen zu den Teilaufgaben a) und b) sind jeweils die Abbildungen für diesen Graphen (links) und für den korrekten Graphen (rechts) wiedergegeben. a) Näherungswert: s 5 =13,75 ; 6 Exakter Wert: f x dx 15,3125 ; 1 Relativer Fehler: 10,2 %. Ursache der Abweichung: Einige der bei der Näherung verwendeten Rechtecksflächen sind zu klein (mit " " gekennzeichnet), andere sind zu groß (mit " + " gekennzeichnet). Der Gesamtfehler ergibt sich aus der Summe aller dieser Abweichungen b) Der Fehler der Näherung wird geringer (vgl. die Abbildungen).

29 c) Die Schreibweise wird etwas kompakter, wenn man die allen Summanden gemeinsame Streifenbreite ausklammert und vor das Summenzeichen schreibt. d) Beide Variationen (A) und (B) sind genauer als die ursprüngliche Methode. Im betrachteten Beispiel erweist sich die Variation (A) als die Überlegene. Aufgabe 2: Individuelle Lösungen.

30 Integralfunktion: Visualisierungen An dieser Station werden einige Dokumente gezeigt, mit denen verschiedene Aspekte rund um die Integralfunktion visualisiert werden können. In vielen Fällen wird die Erzeugung dieser Dokumente durch die Schülerinnen und Schüler zu komplex oder zeitaufwändig sein; als Herausforderung für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler können die Aufgaben aber dienen. In jedem Fall können die fertigen Dateien genutzt werden. 01: Visualisierung einer Integralfunktion 02: Variation der unteren Grenze

31 03: Dynamische Messung von Polygonflächen 04: Variation der Integrandenfunktion 05: HDI