Bergische Universität Wuppertal

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1 Bergische Universität Wuppertal FB D Abt. Sicherheitstechnik Fachgebiet Brand- und Explosionsschutz Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Friedrich-Wilhelm Wittbecker Thema: Sensitivitätsanalyse von Diskretisierungsund Turbulenzparametern bei CFD-Berechnungen mit FDS Einflüsse der Zellgröße und der Turbulenzmodellierung auf die numerische Berechung von brandinduzierten Strömungen von Dipl.-Ing. (FH) Nils Witte Matrikel-Nr Betreuer: Prof. Dr. F.-W. Wittbecker Dr. B. Bansemer Dr. A. Seyfried

2 Matrikelnummer: Seite II Danksagung Bei dem Inhaber des Lehrstuhls, an dem diese Arbeit entstand, Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Friedrich-Wilhelm Wittbecker möchte ich mich für die Betreuung der Arbeit und das große mir entgegengebrachte Vertrauen bedanken. Ebenso danke ich Herrn Dr. Björn Bansemer als zweitem Prüfer für die Anregungen, mit denen er diese Arbeit gefördert hat. Mein besonderer Dank gilt Herrn Dr. Armin Seyfried von der Forschungszentrum Jülich GmbH, Zentralinstitut für angewandte Mathematik, der diese Arbeit initiiert hat und mir jederzeit mit Rat und Anregungen zur Seite stand. Zudem hat Herr Dr. Seyfried über das internationale Forschungsprojekt DEISA sehr viel Rechenzeit auf Hochleistungsrechnern organisiert. Daher danke ich auch den Verantwortlichen des DEISA Konsortiums für das freundliche Überlassen dieser Rechenzeit. Weiterhin möchte ich meinem Vater, Dr. Manfred Witte, für viele wertvolle Tipps, Übersetzungshilfen und das Korrekturlesen danken. Bielefeld, im September 2007 Nils Witte

3 Matrikelnummer: Seite III Inhaltsverzeichnis Danksagung...II Inhaltsverzeichnis...III Häufig verwendete Formelzeichen und Symbolverzeichnis... V Einführung Problembeschreibung Zielsetzung Turbulenzuntersuchung Untersuchung der Gitterteilung zur Parallelisierung Gliederung der Arbeit Strömungsmechanische Grundlagen Viskosität Navier-Stokes-Gleichungen Erhaltung der Gesamtmasse Erhaltung des Impulses Erhaltung der Energie Gleichungssystem der Navier-Stokes-Gleichungen Charakterisierung der Turbulenz Turbulenz Statistische Beschreibung turbulenter Strömungen Wirbelmodellierung Direkte numerische Simulation Gemittelte Geschwindigkeitsfelder Large Eddy Simulation Detached Eddy Simulation Large Eddy Berechnungen Methodik Programmbeschreibung Rechnerbeschreibung Szenariobeschreibung Durchführung Turbulenzmodellierung...28

4 Matrikelnummer: Seite IV Simulation auf Parallelrechner Ergebnisse Ergebnisse der Turbulenzparametervariation Variation der Gitterzellengröße Variation der Smagorinsky-Zahl Ergebnisse der Berechnung mit Parallelrechner Abschluss Kritische Ergebnisbetrachtung Gitterzellengröße Smagorinsky-Zahl Parallelrechnung Vergleich der Erwartungen mit den Simulationsergebnissen Turbulenzmodellierung Parallelrechnung Schlussfolgerungen Zusammenfassung und Schlussbemerkung Zusammenfassung Ausblick Schlussbemerkung...70 Literaturverzeichnis...71 Abkürzungen und Glossar...73 Eidesstattliche Erklärung...75

5 Matrikelnummer: Seite V Häufig verwendete Formelzeichen und Symbolverzeichnis Lateinische Symbole A Fläche m² c Schallgeschwindigkeit m / s c CFL-Zahl - c p spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck J / (kg K) c V spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen J / (kg K) d Durchmesser m D Diffusionskoeffizient m² / s e spezifische Gesamtenergie J / kg E Gesamtenergie J F Kraft kn g Erdbeschleunigung m / s² G energetisches Potential J h numerische Auflösung, Kantenlänge einer Gitterzelle m k turbulente kinetische Energie m² / s² k Wellenzahl 1 / m L Länge m m Masse kg n Teilchenzahldichte 1/m³ n Schrittweitenindex - p statischer Druck kn / m² q Wärmefluss W / m² q f Quellterm r Ortsvektor R spezifische Gaskonstante J / (kg K) s f Fernwirkungsterm t Zeit s T thermodynamische Temperatur K u spezifische innere Energie J / kg u, v Geschwindigkeit m / s V Volumen m³ x, y, z kartesische Koordinaten m Griechische Symbole ε Dissipationsrate von k m² / s³ ε Emissionsgrad - η Kolmogorov-Länge m κ Isentropenexponent idealer Gase - λ Wärmeleitfähigkeit W / (m K)

6 Matrikelnummer: Seite VI λ mittlere freie Weglänge m µ dynamische Viskosität kg / (m s) ν kinematische Viskosität m² / s Φ x Stromdichte der Größe x [x] / (m² s) ρ Dichte kg / m³ σ Stefan-Boltzmann-Konstante W / (m² K 4 ) τ Scherspannung kn / m² physikalische Auflösung (Filterweite) m ω turbulente Frequenz ω = ε / k 1 / s Ω Bereich - Zusatzzeichen u zeitlicher Mittelwert oder aufgelöster Anteil u Schwankungsanteil oder modellierter Anteil u N Ensemblemittelwert über N Realisationen gemittelt u Erwartungswert S ij Deformationsrate des gefilterten Feldes Dimensionslose Kennzahlen Ma Machzahl C S Smagorinsky-Zahl Pr Pandtl-Zahl Re Reynolds-Zahl Sc Schmidt-Zahl

7 Matrikelnummer: Seite 1 1 Einführung 1.1 Problembeschreibung In der Sicherheitstechnik ist es von enormer Bedeutung Gebäude, Flugzeuge, Schienenfahrzeuge, Schiffe und vergleichbare Objekte auch hinsichtlich ihrer Risiken im Falle eines Brandes zuverlässig beurteilen zu können: zum einen, um einen zuverlässigen Brandschutz zu gewährleisten, zum anderen aber auch, um nicht z. B. durch überzogene Brandschutzauflagen unnötige Kosten zu verursachen. Da diese Risiken im Allgemeinen weder experimentell untersucht noch in den meisten Fällen mangels einer hinreichend umfangreichen empirischen Datenbasis zuverlässig abgeschätzt werden können, bedarf es weiterer Hilfsmittel, um gesicherte Analysen zu ermöglichen. Diese liegen heutzutage in Form rechnergestützter Simulationen vor, an die besondere Anforderungen zu stellen sind. Diese sollen in dieser Arbeit hinsichtlich des vorbeugenden Brandschutzes in Gebäuden weiter untersucht werden. Unter der Überschrift CFD ist Stand der Technik kommt Marten [7] bereits im Jahre 2004 zu der Schlussfolgerung: Der Brandschutzsachverständige benötigt für die Erstellung und Überprüfung von Brandschutzkonzepten belastbare Berechnungsergebnisse. Diese können nur durch den Einsatz von CFD-Programmen erzielt werden. [ ] (CFD ist die Abkürzug für den englischen Ausdruck computational fluid dynamics, der frei als numerische Strömungsmechanik übersetzt werden kann.) Die Technikklausel Stand der Technik bezeichnet die technischen Möglichkeiten zu einem bestimmten Zeitpunkt, die auf gesicherten Erkenntnissen aus Wissenschaft und Technik basieren. Nach 4 Nr. 3 Arbeitsschutzgesetz [4] hat der Arbeitgeber bei Maßnahmen des Arbeitschutzes den Stand der Technik zu berücksichtigen. Folglich müsste wenigstens bei jeder Arbeitsstätte, die einer Gefährdungsbeurteilung unterzogen werden muss, eine Analyse der Brand- und Rauchausbreitung mittels CFD-Simulationsrechnung erfolgen, da diese nach vorstehendem Zitat die einzige Quelle für belastbare Ergebnisse ist. Der hier angeführte Zusammenhang ist sehr überspitzt formuliert, doch soll aufgezeigt werden, dass CFD-Berechnungen in der jüngeren Vergangenheit stark an Einfluss gewonnen haben und aufgrund der Entwicklung immer leistungsfähigerer

8 Matrikelnummer: Seite 2 Rechner zu erwarten ist, dass dieser Einfluss weiter zunimmt. Einer Aussage des o. g. Zitats wird jedoch vorbehaltlos zugestimmt: die Ergebnisse müssen belastbar sein. Derzeit sind verschiedene kommerzielle und nicht kommerzielle CFD-Programme am Markt erhältlich, die vermutlich hinsichtlich der Benutzerfreundlichkeit und der damit einhergehenden Eingabesicherheit, der Rechengenauigkeit, der Modellansätze zu verschiedenen physikalischen Problemstellungen, etc. einige Unterschiede aufweisen. Daraus ergeben sich folglich auch Anwendungsgrenzen und einzuhaltende Randbedingungen, die dem Anwender bekannt sein müssen, was wiederum sowohl fundierte Kenntnisse des eingesetzten Programms und als auch eingehendes Fachwissen zu den physikalischen, insbesondere thermodynamischen, strömungsmechanischen und brandtechnologischen Zusammenhängen erfordert. 1.2 Zielsetzung Ziel dieser Arbeit ist es, anhand des im Internet frei verfügbaren und daher vermutlich breit eingesetzten Simulationsprogramms FDS 4 des National Institute of Standards and Technology (NIST) der USA zwei Problembereiche näher zu betrachten, die möglicherweise im Anwendungsalltag nur wenig Beachtung finden. Das sind zum einen die Turbulenzmodellierung, die vergleichsweise tiefgehend betrachtet werden soll, und zum anderen die Frage, welchen Einfluss die Teilung des Simulationsbereiches auf die Ergebnisse haben kann, die erforderlich wird, wenn die Simulation parallel auf mehreren Prozessoren eines Rechners durchgeführt werden soll Turbulenzuntersuchung Für die numerische Simulation von turbulenten Strömungen gibt es noch viele offene Fragen, die beispielsweise von Pope in [11] andiskutiert werden. Insbesondere durch vorstehenden Aufsatz motiviert, der im Abschnitt tiefer gehend besprochen wird, entstand die Idee zu dieser Arbeit. Forschungsbedarf ergibt sich dabei bezüglich der derzeit verwendeten (empirischen) Methoden zur Modellierung der Turbulenzen. Dies rührt aus der Notwendigkeit her, Turbulenzmodelle zu verwenden, da die alternativ anwendbare direkte numerische Simulation sehr feine Rechengitter erfordert, was zu einem Rechenaufwand führt, der auch mit derzeitig verfügbaren Höchstleistungsrechnern für Szenarien in praxisrelevanten Größenordnungen kaum zu leisten ist. Die vorliegende Arbeit führt eine Sensitivitätsanalyse (Empfindlichkeitsanalyse) durch, in der der Einfluss von Eingabefaktoren (einzeln oder gemeinsam) auf bestimmte Ergebnisgrößen untersucht wird. Grundsätzlich kann eine Sensitivitäts-

9 Matrikelnummer: Seite 3 analyse mathematisch durch das Analysieren von Modellgleichungen erfolgen oder auch durch die Variation einzelner Faktoren im Sinne einer Varianzanalyse und dann durch den Vergleich der Ergebnisse mit dem Ergebnis der Standardeingabe. Anhand ausgewählter Berechnungs- bzw. Messgrößen sowie graphischer Darstellungen soll quantitativ und qualitativ der Einfluss der physikalischen Auflösung untersucht werden, die im vorliegenden Fall von der Zellengröße, also der numerischen Auflösung, abhängt und angibt bis zu welcher Größe Turbulenzwirbel direkt berechnet werden können bzw. ab welcher Größe die Wirbel innerhalb eines Modells berücksichtigt werden müssen. Weiterhin sollen die Auswirkungen der s. g. Smagorinsky-Zahl untersucht werden, einem dimensionslosem Faktor, der den Einfluss der modellierten also nicht direkt berechneten Wirbel mitbestimmt Untersuchung der Gitterteilung zur Parallelisierung Da die Leistungsfähigkeit einzelner Rechnerprozessoren aus physikalischen Gründen (Quanteneffekte, Energiedichte) in absehbarer Zeit nicht mehr steigerungsfähig ist, wird zunehmend versucht, Rechnungen auf mehreren Prozessoren parallel durchzuführen, um den zeitlichen Rechenaufwand zu minimieren. Dies erfordert, dass die zu berechnenden Aufgaben in Teilaufgaben zerlegt werden, die jeweils auf einzelnen Prozessoren gelöst werden können. Hierbei gilt es, die Teilsysteme wiederum so zu koppeln, dass die Ergebnisse denen entsprechen, die sich bei der Berechnung der Aufgabe in einem Stück ergeben. Diesbezüglich soll die vorliegende Arbeit qualitativ zeigen, ob das verwendete Simulationsprogramm für das gewählte Szenario bei sinnvoller Unterteilung des Berechnungsraumes richtige Ergebnisse liefert. 1.3 Gliederung der Arbeit Der Inhalt der einzelnen Kapitel gliedert sich wie folgt: Kapitel 2: führt in die strömungsmechanischen Grundlagen ein, Kapitel 3: befasst sich mit der Methodik der Simulationsrechnung und beschreibt dazu zunächst das eingesetzte Programm, die verwendeten Rechner sowie das betrachtete Szenario, Kapitel 4: fasst die Simulationsergebnisse zusammen und wertet sie aus, Kapitel 5: beinhaltet die Zusammenfassung und eine kurze Schlussbetrachtung

10 Matrikelnummer: Seite 4 2 Strömungsmechanische Grundlagen Da die verwendeten Rechenprogramme die räumliche und zeitliche Entwicklung der betrachteten Szenarien hauptsächlich auf der Basis von turbulenten, gasförmigen Strömungen berechnen, soll zum besseren Verständnis der weiteren Arbeit hier kurz in die erforderlichen physikalischen Grundlagen eingeführt werden. 2.1 Viskosität Da die Viskosität erheblichen Einfluss auf turbulente Strömungen ausübt und ein wesentlicher Parameter der im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Turbulenzmodellierung ist, soll diese zunächst veranschaulicht werden. Die Viskosität ist nach [16] das Maß für die innere Reibung und beschreibt damit die Zähigkeit eines Fluids. Definitionsgemäß ist die Scherspannung τ zweier Platten (Abb ) mit der Fläche A im Abstand L, die sich mit der Geschwindigkeit v relativ zu einander bewegen, nach dem newtonschen Viskositätsgesetz proportional zum Quotienten aus der Geschwindigkeit und dem Plattenabstand (Gleichung 2-1). Die Proportionalitätskonstante wird dynamische Viskosität µ genannt und in Ns/m² angegeben. F Platte 2 (Geschwindigkeit v) v n v 2 v 1 v 3 Platte 1 (Geschwindigkeit 0) F L Abbildung 2.1-1: Fluidschichten zur Veranschaulichung der Viskosität F v v τ = = µ = µ i i [2-1] A L L Die kinematische Viskosität ist als Verhältnis der dynamischen Viskosität µ zur Dichte ρ mit der Einheit m²/s definiert: µ ν = [2-2] ρ Die Viskosität bei Flüssigkeiten ergibt sich im Wesentlichen aus den intermolekularen Anziehungskräften. Da bei der vorliegenden Arbeit ausschließlich das Strömungsverhalten von Gasen untersucht wird, wird auf diese Abhängigkeiten hier nicht weiter

11 Matrikelnummer: Seite 5 eingegangen. Die Viskosität von Gasen lässt sich nach Gleichung 2-3 aus der mikroskopischen Betrachtung des Impulsflusses bestimmen und ist damit von der mittleren Teilchengeschwindigkeit v und der Teilchendichte abhängig. m* v 1 µ = = n * m* v * λ 2 18 * π* d 3 [2-3] m Teilchenmasse in kg v mittlere Teilchengeschwindigkeit in m/s d Teilchendurchmesser in m n Teilchenzahldichte in m -3 λ mittlere freie Weglänge in m Der hintere Term ergibt sich durch Einsetzen der Gleichung für die freie Weglänge 2 ( 2 * π* n * ) λ = 1 d, die Gasteilchen im Mittel ohne Wechselwirkung mit anderen Teilchen nach [17] zurücklegen. Die Viskosität von Gasen ist temperaturabhängig, da die mittlere Teilchengeschwindigkeit proportional zur thermodynamischen Temperatur T ist. Eine Abhängigkeit vom Druck ist unter normalen Bedingungen nicht gegeben.

12 Matrikelnummer: Seite Navier-Stokes-Gleichungen Die nach dem Franzosen Navier und dem Briten Stokes, die in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts die Grundlage für diese Gleichungen fanden, benannten Gleichungen beschreiben die Zusammenhänge der Strömungsmechanik für newtonsche Fluide, die sich durch von den Scherspannungen unabhängige Viskositätseigenschaften auszeichnen. Es handelt sich dabei um drei Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie, die im Folgenden hergeleitet werden sollen [13]: Eine physikalische Größe F(t), die z. B. als Gesamtmasse oder Gesamtimpuls zu verstehen ist, für einen beliebig geformten Bereich Ω mit dem Volumen V und der Oberfläche A kann nach Gleichung 2-4 als Volumenintegral der Dichte (Dichte im Sinne der Größe F(t) pro Volumenteil) mit dem Ortsvektor r v beschrieben werden. F(t ) r = f (r,t ) dv Ω [2-4] Die Änderung der der Größe F mit der Zeit t kann mit Differential 2-5 beschrieben werden, wobei zur besseren Lesbarkeit bei der Dichte auf die Angabe des Ortsvektors und der Zeit verzichtet wird: F t f = dv t Ω [2-5] Eine Änderung der Größe F innerhalb des betrachteten Bereiches kann durch folgende Prozesse erfolgen: 1. Die Größe F strömt durch die Oberfläche in den Bereich hinein oder heraus. Die Strömung wird durch die Stromdichte Φ v f beschrieben, die angibt wie viel von F pro Zeiteinheit durch einen Flächeninhalt strömt. Wesentlich dabei ist lediglich der Anteil, der senkrecht zur Oberfläche des Bereiches strömt, der sich aus dem Skalarprodukt der äußeren Normalen n v und der Stromdichte ergibt. Eine Veränderung der Dichte im Inneren von Ω ergibt sich damit aus v v Φ f n da, wobei sich das negative Vorzeichen aus der Definition der Strömungsrichtung ergibt, die besagt, dass das Skalarprodukt negativ ist, wenn die Strömung in den Bereich Ω gerichtet ist. 2. Im Inneren des Bereiches Ω befindet sich eine Quelle oder Senke von F, die z. B. aus einer chemischen Reaktion herrühren kann. Berücksichtigung findet dies durch einen Quellterm q f, der die Freisetzung von F pro Volumen- und Zeiteinheit beschreibt.

13 Matrikelnummer: Seite 7 3. Letztlich ist eine äußere Beeinflussung durch die s. g. Fernwirkung (z. B. Strahlung oder Gravitation) möglich. Sinngemäß wie unter Punkt 2 wird diese durch einen Fernwirkungsterm s f berücksichtigt, der die Freisetzung von F pro Volumen- und Zeiteinheit beschreibt. Die Gleichung 2-5 lässt sich dann durch Integration der vorstehenden Änderungsprozesse über das Volumen bzw. die Oberfläche des Bereiches Ω zur Gleichung 2-6 erweitern: F t = Ω f dv t = Ω v Φ f v n da + Ω q dv f + Ω s dv f [2-6] Mittels des Gaußschen Integralsatzes wird der Fluss der Stromdichte über die Oberfläche Ω zum Volumenintegral der Divergenz der Stromdichte umgeformt. Damit ergibt sich nach Umstellung dieses Terms die Gleichung 2-7. Ω f dv t + Ω v div Φ dv = q dv + s dv [2-7] f Ω f Ω f Da die Integranden gleich sind und der Bereich Ω unbestimmt ist, sind die Gleichungen für die Integrale unabhängig vom Integrationsgebiet. Damit kann die allgemeine Erhaltungsgleichung 2-8 aufgestellt werden: f t v + div Φ = q + s [2-8] f f f Nachfolgend wird die allgemeine Erhaltungsgleichung auf die Masse, den Impuls und die Energie im Einzelnen angewandt Erhaltung der Gesamtmasse Die Größe F entspricht der Gesamtmasse m, die Dichte f entspricht der Massendichte ρ und die Massenstromdichte Φ v m ergibt sich aus dem Produkt der Strömungsgeschwindigkeit v und der Dichte ρ. Da Masse weder durch Fernwirkung noch durch andere Faktoren entstehen oder verschwinden kann, sind der Quellterm q m und der Fernwirkungsterm s m beide Null. Durch Einsetzen in die allgemeine Erhaltungsgleichung 2-8 ergibt sich die Massenerhaltungsgleichung 2-9: ρ v + div = t ( ρv ) 0 [2-9]

14 Matrikelnummer: Seite Erhaltung des Impulses Die Größe F gibt den Gesamtimpuls an, die Dichte f entspricht der der Impulsdichte ρ v v und die Impulsstromdichte Φ m v ergibt sich aus dem Produkt der Dichte mit dem dyadischen Produkt des Geschwindigkeitsvektors mit sich selbst als konvektivem Anteil und einem Anteil p = für die Impulsänderung durch Druck und Reibung v v v = (hydrostatischer und viskoser Anteil) zu Φ v mv = ρ + p. Der Quellterm q m ist Null, da im Inneren des Systems keine Kräfte entstehen, die eine Impulsänderung zur Folge hätten. Mit der Gravitationskraft pro Volumen ergibt sich für die Fernwirkung v der Term s v m = ρg. Durch Einsetzen in die allgemeine Erhaltungsgleichung 2-8 ergibt sich die Impulserhaltungsgleichung 2-10: ( ρv ) t v v v v + div [2-10] = ( ρv v ) + divp = ρg Erhaltung der Energie Die Größe F gibt die gesamte Energie des Systems als Summe aus innerer (Schwingung und Rotation einzelner Moleküle, Wärme), kinetischer (Schwerpunktsbewegung der Moleküle) und potentieller Energie an. Die Energiedichte f ist das Produkt aus der Massendichte ρ und spezifischen Gesamtenergie e, also der Energie pro Masseneinheit. Die Energiedichte setzt sich wie vorstehend beschrieben aus drei Energieformen zusammen und kann durch Gleichung 2-11 beschrieben werden: ρe = ρu + 1 ρ v ρg [2-11] Dabei steht u für die spezifische innere Energie und G für das energetische Potential pro Masseneinheit. Die Energiestromdichte Φ v ergibt sich ebenso aus drei Anteilen nach Gleichung 2-12 zu e v Φ e v = v = ρe + p + j q [2-12] Der konvektive Anteil wird durch den Term ρ e v, die Reibungsarbeit durch den Term p v = und die Wärmestromdichte für die Wärmeleitung durch den Term j -q beschrieben. Der Quellterm q e ist Null, wenn im Inneren des Systems keine Energie z. B. durch eine chemische Reaktion freigesetzt bzw. aufgenommen wird. Ansonsten ist er mit q e zu berücksichtigen. Durch Wärmestrahlung ergibt sich eine Fernwirkung, die

15 Matrikelnummer: Seite 9 mit q r berücksichtigt wird. Durch Einsetzen in die allgemeine Erhaltungsgleichung 2-8 ergibt sich die Energieerhaltungsgleichung 2-13: ( ) ( ) r e q q q j v p ev t e + = + + ρ + ρ = v v div [2-13] Gleichungssystem der Navier-Stokes-Gleichungen Die vorstehend hergeleiteten Differentialgleichungen lassen sich im Gleichungssystem 2-14 zusammenfassen. + ρ = + + ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ = = r e q q q g j v p ev p v v v div e v t v v v v v v v 0 [2-14] Mit den drei Gleichung in Gleichung 2-14 lassen sich die vier gesuchten Größen Masse, Impuls, Energie und Druck unter Zuhilfenahme der thermodynamischen Zustandsgleichung p = (κ-1)ρu in Kombination mit der Energiegleichung 2-11 berechnen. Der Isentropenexponent κ ist definiert als das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck (c p ) und konstantem Volumen (c V ). Die Quellen, Senken und Fernwirkungen, die jeweils auf der rechten Seite stehen, müssen dazu bekannt sein.

16 Matrikelnummer: Seite Charakterisierung der Turbulenz Turbulenz Turbulenz ist nach [12] als räumlich und zeitlich ungeordnete Strömung eines Fluids definiert. Das heißt, dass der Strömungszustand (Richtung und Geschwindigkeit) als zufällige Größe nur statistisch vorhersagbar ist. Die Turbulenzen führen zu verstärktem Energie- und Stofftransport von Beimengungen des Fluids. Osborne Reynolds hat im Jahr 1883 zur Darstellung der Turbulenz einen Färbeversuch durchgeführt, bei dem eine Flüssigkeit mit konstanter Geschwindigkeit durch ein Rohr geleitet wurde, wobei dem Wasser ein Farbstoff so zugesetzt wurde, dass sich ein Faden ausbildete. Dieser Versuch wurde mit steigenden Strömungsgeschwindigkeiten wiederholt, wobei ab einer Grenzgeschwindigkeit festzustellen war, dass der Farbfaden instabil wurde und abriss. Weiterhin ergab sich eine Durchmischung quer zur Strömungsrichtung. Abbildung 2.3-1: Farbfadenversuch von Reynolds aus [18] Die Abbildung zeigt in Bild a) den Farbfaden in einer laminaren Strömung, das heißt, dass die Fluidteilchen über keine Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Hauptströmungsrichtung verfügen. In Bild b) ist die Fließgeschwindigkeit so weit erhöht, dass bereits Schwankungsbewegungen bis hin zum Abreißen des Farbfadens auftreten. Diese Geschwindigkeit kennzeichnet den s. g. Übergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Strömung. In Bild c) ist die Strömungsgeschwindigkeit noch weiter erhöht, so dass kein durchgehender Farbfaden mehr erkennbar ist. Die eingebrachte Farbe ist durch die ungeordnete Bewegung nahezu über den gesamten Quereschnitt verteilt, die Durchmischung hat deutlich zugenommen.

17 Matrikelnummer: Seite 11 In seinen Untersuchungen hat Reynolds festgestellt, dass zwischen dem turbulenten Strömungsverhalten und folgenden Größen Zusammenhänge bestehen, die durch die nach ihm benannte Reynolds-Zahl (Re), eine dimensionslose Kennzahl, beschrieben werden [19]. Die Reynols-Zahl wird nach Gleichung 2-15 berechnet. Wenn die Reynolds-Zahl einen kritischen Wert (Re krit. ) überscheitet, der jedoch systemabhängig ist, wechselt der Strömungszustand von laminar zu turbulent. ρ* v * L v * L Re = = [2-15] µ ν ρ Dichte in kg/m 3 v Geschwindigkeit in m/s L charakteristische Länge in m µ dynamische Viskosität in kg/(s m) ν kinematische Viskosität in m²/s Die charakteristische Länge L repräsentiert im Allgemeinen die dreidimensionale Geometrie des betrachteten Systems. Im Fall der Rohrströmung entspricht die charakteristische Länge dem Durchmesser. Bei Systemen mit komplexer Geometrie kann sie dagegen nur empirisch bestimmt werden. Bei einer turbulenten Strömung wird nach Hettel [5] Energie auf einer großen Skala im s. g. Produktionsbereich zugeführt, durch die Umwandlung von großen in kleine Wirbel wird die Energie E in Form einer Energiekaskade (Abb ) durch alle Skalen hindurch transportiert (Trägheitsbereich) und bei den kleinsten Skalen unterhalb der s. g. Kolmogorov-Länge η in Form von Wärme dissipiert (Dissipationsbereich). Die Energie ist in Abb über der Wellenzahl k, die den Kehrwert der Längenskala L beschreibt, aufgetragen. Innerhalb des Trägheitsbereiches nimmt die Energie nach dem Kolmogorovschen Gesetz um fünf Größenordnungen ab, wenn die Wellenzahl um drei Größenordnungen zunimmt. Dadurch erhöhen Turbulenzen die Viskosität scheinbar.

18 Matrikelnummer: Seite 12 log E(k) 3-5 Trägheitsbereich net. Produktionsbereich Gleichgewichtsbereich Dissipationsbereich 0 1/L t 1/η k log k Abbildung 2.3-2: Schematische Darstellung des Energiespektrums einer ausgebildeten Turbulenz im Wellenzahlbereich [5] Statistische Beschreibung turbulenter Strömungen Die turbulenten Strömungen unterscheiden sich von laminaren Strömungen durch eine ungeordnete und schwer vorhersagbare Struktur auf großen Längen- und Zeitskalen. Um ein turbulentes Strömungsfeld mit den zur Verfügung stehenden technischen Möglichkeiten zu berechnen, werden die zeitlich- und räumlich kleinskaligen Anteile durch Modelle erfasst. Dazu werden nach Gerlinger [3] die abhängigen Größen Geschwindigkeit u i und Druck p aus den Navier-Stokes-Gleichungen in die zeitlichen Mittelwerte u i bzw. p und die Schwankungsanteile u i und p aufgespaltet. u i = u + u p = p + p i i [2-16] Der zeitliche Mittelwert Φ ( x v,t ) einer Größe ( x v,t ) Φ wird nach Gleichung 2-17 berech- Φ v t* 1 t * Φ v ( x,t ) = ( x,t ) lim t* 0 dt [2-17] Der zeitliche Mittelwert für stationäre Strömungen wird auch als Reynolds-Mittelwert bezeichnet, der von der Zeit unabhängig ist. Bei nicht-stationären Strömungen ist der

19 Matrikelnummer: Seite 13 Mittelwert zwangsläufig zeitabhängig, der durch eine Mittelung über viele Realisationen (N mal unter gleichen Bedingungen) als statistischer s. g. Ensemblemittelwert Φ ( x v,t ) nach Gleichung 2-18 berechnet wird. Φ v ( x,t ) = ( x,t ) lim N Φ N v [2-18] ( ) ( ) Wenn die Frequenz der Ensemblemittelwerte klein gegenüber den Frequenzen der turbulenten Fluktuationen ist, liegt eine quasi-stationäre Strömung vor. Dann kann die Ensemblemittelung auch als stückweise zeitliche Mittelung betrachtet werden. v v Φ x,t = Φ x,t Die Zeitintervalle T, über die integriert wird, müssen dabei ausreichend groß sein, um alle turbulenten Schwankungen zu erfassen, jedoch so klein, dass der nicht-stationäre Anteil vernachlässigbar klein ist. Die Impulserhaltungsgleichung 2-10 ist als Gleichung 2-19 in Differentialschreibweise dargestellt, wobei der Gravitationsanteil im Term f i berücksichtigt ist. u t i + u j u x i j = f i 1 p ρ x j 2 ui + ν x x j j [2-19] Durch Substitution der Geschwindigkeit u i und des Druckes p in der Impulserhaltungsgleichung 2-19, durch die gemittelten Größen und die Schwankungsanteile (Gleichung 2-16) sowie zeitliche Mittelung erhält man nach Umformung Gleichung u t i + u j u x i j = f i 1 p ρ x j 2 ui + ν x x j j u j u x j j [2-20] Der in Gleichung 2-20 gegenüber der Gleichung 2-19 zusätzliche letzte Term wird als Reynoldscher-Spannungstensor τ i,j bezeichnet, der den Einfluss der Turbulenz beinhaltet. In den übrigen Termen finden sich lediglich die gemittelten Größen. Zur Bestimmung dieses Tensors gibt es empirische Gleichungen, die als Turbulenzmodelle bezeichnet werden. Bei Strömungen mit überlagerter (chemischen) Reaktion, ist die Dichte nicht mehr konstant und müsste ebenfalls in einen Mittel- und einen Schwankungswert zerlegt werden. Da die Verbrennung in der vorliegenden Arbeit nicht betrachtet wird, wird hier auf weitere Zerlegungen verzichtet.

20 Matrikelnummer: Seite Wirbelmodellierung Turbulenzwirbel können sich, wie oben beschrieben, sowohl zeitlich als auch räumlich in sehr feinen Skalen ereignen. Bei einer direkten numerischen Simulation (DNS) werden daher ein entsprechend feines räumliches Gitter und eine kleine Zeitschrittweite erforderlich wie in Abbildung skizziert. Im feinen Gitter auf der linken Seite können die Bewegungen beider Wirbel ω 1 und ω 2 aufgelöst werden. Im groben Gitter auf der rechten Seite dagegen wird nur die Bewegung des großen Wirbels ω 1 erfasst. Der kleine Wirbel ω 2 befindet sich vollständig innerhalb einer Zelle, für die nur eine mittlere Bewegung angegeben werden kann, damit ist die Rotation nicht darstellbar. In diesem zweidimensionalen Beispiel sind im linken Feld 16-mal so viele Zellen wie im rechten Feld. Für Brandsimulationen sind Skalierungen von Gebäude- bzw. Raumgröße (10 m) bis zum Maßstab der Verbrennung (< 1 mm) notwendig, um alle relevanten Effekte direkt zu erfassen. Damit ergibt sich eine Skala von 10 5, was im dreidimensionalen Raum zu Zellen führt, zu deren Berechnung eine extrem hohe Prozessorleistung und ein großer Arbeitspeicher erforderlich ist. Im Rahmen dieser Arbeit wurden unter anderem Simulationen mit maximal ca. 1,5 x 10 6 Zellen wurden auf einem Rechner (s. Abschnitt 3.2) durchgeführt, der Gitter mit ca bis 10 8 berechnen kann. Die feinste Auflösung betrug dabei 10 cm. ω 1 ω 1 ω 2 ω 2 Abbildung 2.4-1: Gitterauflösung für DNS (links) und modellierte Wirbel (rechts) Da der Transport von Impuls, Wärme und Stoffbeimengungen (z. B. Ruß) hauptsächlich durch die großen Wirbel erfolgt, braucht im Bereich des Brandschutzes bei einer Vielzahl ingenieurmäßiger Betrachtungen der Effekt der kleinen Wirbel nur näherungsweise abgeschätzt werden. Daher sind, um den Rechenaufwand zu reduzieren, verschiedene Modelle entwickelt worden, die die Turbulenzen nicht im Einzelnen bzw. im Detail berechnen, sondern unter Zuhilfenahme von empirischen Informationen versuchen, den Einfluss der Turbulenz auf das gesamte Strömungsfeld nachzubilden. Einige dieser Modelle werden nachfolgend kurz vorgestellt:

21 Matrikelnummer: Seite Direkte numerische Simulation Die direkte numerische Simulation (DNS) löst die Navier-Stokes-Gleichungen durch numerische Verfahren direkt und liefert das vollständig aufgelöste Geschwindigkeitsfeld, d. h. es gehen keine Vereinfachungen durch Modellannahmen oder Mittelwertbildung ein. Da jedoch der Einfluss von klein-skaligen Wirbeln, die zu einer scheinbar erhöhten Viskosität führen, nur berücksichtigt werden kann, wenn diese wie oben beschrieben durch die Gitterstruktur hinreichend aufgelöst werden, ergibt sich ein großer Rechenaufwand, der mit derzeit verfügbaren Rechnerkapazitäten nur für kleine Szenarien praktisch bewältigt werden kann Gemittelte Geschwindigkeitsfelder Das Geschwindigkeitsfeld wird als statistisch gemitteltes (engl.: averaged) Feld betrachtet. Abhängig von dem Mittelungsverfahren erfolgt die Benennung. Bei den Reynolds-averaged Navier-Stokes-Gleichungen (RANS) wird das Geschwindigkeitsfeld wie im Abschnitt beschrieben zeitlich gemittelt. Für instationäre, also zeitlich veränderliche, Strömungen wurden die RANS-Gleichungen wie beschrieben angepasst. Das Modell wird als URANS (unsteady RANS) bezeichnet. Der Anteil der Fluktuationen steckt dabei im Reynoldsschen Spannungstensor, der durch Turbulenzmodelle berücksichtigt wird. Ein weiters Mittelungsverfahren, das hier jedoch nicht weiter beschrieben werden soll, da es im Rahmen dieser Arbeit keine Berücksichtigung findet, ist die Favre- Mittelung, die die Favre-averaged Navier-Stokes-Gleichungen (FANS) liefert. Ein weit verbreitetes Turbulenzmodell ist das s. g. k-ε-turbulenzmodell, das nach [20] die Entwicklung der turbulenten kinetischen Energie k und der isotropen Dissipationsrate ε mit zwei partiellen Differentialgleichungen beschreibt. Da das Standardk ε-modell einige gravierende Nachteile hat, weil die Normalspannungen durch eine lineare Näherung des Reynoldsschen Spannungstensors in allen Raumrichtungen gleich groß angesetzt werden, wurden andere nichtlineare Näherungen entwickelt. Damit ergeben sich verschiedene Varianten des k ε-modells. Da k ε-modelle im Rahmen der vorliegenden Betrachtungen jedoch keine Anwendung finden, wird hier auf eine detaillierte Beschreibung verzichtet Large Eddy Simulation Die Large Eddy Simulation (LES) stellt einen Mittelweg zwischen der DNS und dem (U)RANS dar. Große Wirbelstrukturen (engl.: large eddies) werden direkt numerisch berechnet, kleine Strukturen werden durch Turbulenzmodelle mit gefilterten Strömungsfeldgrößen berücksichtigt. Eine ausführliche Beschreibung der Zusammenhänge erfolgt im Abschnitt 2.5.

22 Matrikelnummer: Seite Detached Eddy Simulation Die LES bietet Vorteile in der Berechnung von Strömungen, die im Wesentlichen durch groß-skalige Bewegungen bestimmt werden. Dies ist bei freier Strömung mit großen Reynoldszahlen gegeben. Im Bereich von Randschichten, die durch kleinskalige Strukturen geprägt sind, da große Wirbel nicht auftreten können, bieten die RANS-Gleichungen Vorteile. Die Detached Eddy Simulation (DES) kombiniert nach [20] die Ansätze von LES und RANS durch Berechung der Grenzschicht mittels des RANS-Ansatzes und Berechnung einer losgelösten (engl.: detached) freien Strömung mit dem LES-Ansatz, so dass im jeweiligen Bereich das besser geeignete Verfahren Anwendung findet. In Abbildung sind Grafiken, die mit den unterschiedlichen Berechnungsansätzen erzeugt worden sind, vergleichend nebeneinander gestellt. In der Darstellung der DNS (links) sind große und kleine Wirbelstrukturen erkennbar. Die Darstellung der LES (Mitte) zeigt lediglich große Wirbelstrukturen, die kleinen Wirbel werden nicht reproduziert und müssen modelliert werden. Im rechten Bild der RANS sind keine Wirbel sichtbar, da alle Bewegungen zeitlich gemittelt sind. Diese Gegenüberstellung veranschaulicht in augenfälliger Weise, welchen Einfluss die gewählte Berechnungsmethode auf das Ergebnis haben kann. Sie verdeutlicht auch, wie wichtig es ist zu entscheiden, ob die bei der jeweiligen Modellierungsmethode in Kauf genommenen Vereinfachungen für das Gesamtergebnis der Simulation tolerabel sind. Abbildung 2.4-2: Darstellung einer turbulenten Strömung berechnet mit DNS (links), LES (Mitte) und RANS (rechts), Universität Pittsburgh [14]

23 Matrikelnummer: Seite Large Eddy Berechnungen Die Large Eddy Berechnungen (LES) basiert darauf, dass große Wirbel direkt numerisch berechnet werden, während der Einfluss kleiner Wirbel durch ein Turbulenzmodell berücksichtigt wird. Dazu wird das Strömungsfeld mit einem Tiefpassfilter örtlich gefiltert, so dass sich ähnlich wie bei der RANS eine Aufteilung des Ursprungsfeldes u i in den klein-skaligen Anteil u i und den gefilterten Anteil u i ergibt. u = u + u [2-21] i i i Durch Substitution von u i in den Navier-Stokes-Gleichungen 2-19 durch Gleichung 2-21 erhält man nach Umformungen wiederum die Navier-Stokes-Gleichung für das gefilterte Feld mit einem Zusatzterm (Gleichung 2-22). u t i + u j u x i j = f i 1 p ρ x j 2 ui + ν x x j j τ x ij j [2-22] Der Zusatzterm τ ij / x j ist eine Funktion des klein-skaligen Anteils u i, dessen Einfluss durch die Erhöhung der Viskosität nach Gleichung 2-23 berücksichtigt wird. µ LES mit = ρ S 1 u Sij = 2 x 2 ( C ) 2S S ( u ) i j ij ij u + x i j [2-23] µ LES LES-Rechenwert der dynamische Viskosität in kg/(s m) ρ Dichte in kg/m³ C S Smagorinsky-Zahl (empirische Konstante, dimensionslos) Filterlänge in m u gefiltertes Geschwindigkeitsfeld Deformationsrate des gefilterten Feldes (Restspannungstensor) S ij Die turbulenzauflösende Filterweite ist im Allgemeinen ein frei wählbarer Modellparameter. Im vorliegenden Fall kann aufgrund der Programmvorgaben nicht unmittelbar beeinflusst werden, da die Filterweite gemäß Abschnitt 4.13 [8] nach Gleichung 2-24 direkt aus der numerischen Auflösung, also der Zellengröße mit den Kantenlängen h in den drei Raumrichtungen, ergibt.

24 Matrikelnummer: Seite 18 = 3 hxhy hz [2-24] Die Smagorinsky-Zahl C S ist ein dimensionsloser Faktor, der die Größe des Einflusses der modellierten also nicht direkt berechneten Wirbel auf das Strömungsfeld mitbestimmt. Sie ist rein empirisch, das heißt, sie lässt sich, wenigstens nach dem derzeitigen Wissenstand, nicht aus Materialkenngrößen ableiten. Die Wärmeleitfähigkeit des Fluids wird in der LES über die Prandtl-Zahl Pr, einer in der Regel temperaturabhängigen Stoffkenngröße, die dem Verhältnis zwischen der durch innere Reibung (Viskosität) erzeugten Wärme und der abgeführten Wärme in einer Strömung entspricht, nach Gleichung 2-25 angepasst. µ LESc p λ LES = [2-25] Pr λ LES LES-Rechenwert der Wärmeleitfähigkeit in W/(m K) µ LES LES-Rechenwert der dynamische Viskosität in kg/(s m) c p spezifische Wärmekapazität in J/(kg K) Pr Prandtl-Zahl (dimensionslos) Die Stoffdiffusion innerhalb des Fluids wird in der LES über die Schmidtzahl Sc, einer empirischen Größe, die das Verhältnis zwischen Impulstransport und Stofftransport beschreibt, nach Gleichung 2-26 modelliert. µ LES ρ LES = [2-26] Sc ( D) ρ Dichte in kg/m³ D Diffusionskoeffizient in m²/s µ LES LES-Rechenwert der dynamische Viskosität in kg/(s m) Sc Schmidt-Zahl (dimensionslos) Die LES-Modellierung stößt an ihre Grenzen, wenn Phänomene auf kleinen Skalen eine dominierende Wirkung haben (McGrattan [8]). Dies ist beispielsweise an Oberflächen der Fall, wo die Grenzschicht nicht aufgelöst werden kann und damit der konvektive Wärmeübergang beispielsweise nicht richtig abgebildet wird, oder wenn chemischen Reaktionen einbezogen werden, deren Verlauf maßgeblich temperaturund konzentrationsgesteuert erfolgt, was wiederum eine Berechnung im kleinsten Skalenbereich erfordert.

25 Matrikelnummer: Seite 19 3 Methodik An einem konkreten Beispiel soll jetzt im Wesentlichen durch Parameterstudien mit CFD-Simulationen untersucht werden, wie sich in einem vorgegebenen Szenario in einem Brandraum verschiedene physikalische Größen (z. B. Strömungsgeschwindigkeiten, Temperatur, Russpartikel-Massenkonzentration u. a.) zeitlich bzw. räumlich entwickeln. Dabei sollen insbesondere auch die Auswirkungen auf die Ergebnisse betrachtet werden, die durch die Variation der nur zum Zwecke der Simulation künstlich eingeführten Modellparameter, z. B. numerische bzw. physikalische Auflösung (Zellengrößen) und Smagorinsky-Zahl als Turbulenzmodellparameter, entstehen. 3.1 Programmbeschreibung Simulation Die Simulationsrechnungen, auf denen die vorliegende Arbeit basiert, wurden mit einem s. g. CFD-Programm durchgeführt. CFD ist die Abkürzug für den englischen Ausdruck computational fluid dynamics, der frei als numerische Strömungsmechanik übersetzt werden kann. Hierbei werden strömungsmechanische Probleme im Wesentlichen die im vorangegangenen Kapitel beschriebenen Navier-Stokes-Gleichungen, mit numerischen Methoden berechnet. Es wurde der Fire Dynamics Simulator (FDS), Version 4, eingesetzt, der vom National Institute of Standards and Technology (NIST), USA, als nichtkommerzielles Programm im Internet zur Verfügung gestellt wird. Das Programm ist nach McGrattan [9] die Implementierung eines CFD- Modells zur Berechnung von brandinduzierten Strömungen. Es löst numerisch eine auf niedrige Machzahlen (Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit u zur Schallgeschwindigkeit c) und thermische Dominanz angepasste Form der Navier Stokes- Gleichungen. Dabei stehen überwiegend der Transport von Rauchgasen und Wärme im Vordergrund. Um den Rechenaufwand zu reduzieren, beschränkt sich des Programms auf kleine Machzahlen, was durch die Annahme des Fluids als inkompressibel ermöglicht wird. Durch diese Annahme vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen erheblich. Reale Gase sind jedoch nicht inkompressibel, so dass sich mit dieser Vereinfachung zwangsläufig Fehler ergeben. Bei kleinen Machzahlen ist dieser Fehler (ca. 4,5 % bei u/c < 0,3) jedoch gering, so dass diese Vereinfachung akzeptabel ist. Da akustische, oszillierende Druckschwankungen für die betrachteten Verhältnisse vernachlässigbar sind, ist die Berechnung der Strömungsfeldes für geringe Geschwindigkeiten, die weit unter der Schallgeschwindigkeit liegen, ausreichend, so dass größere Zeitschritte möglich werden. Die Zeitschrittweitebestimmung wird unten eingehend beschrieben.

26 Matrikelnummer: Seite 20 Das Programm ist in der Lage sowohl direkte numerische Simulationen als auch Large Eddy Simulationen durchzuführen. Zur Strömungssimulation wird als numerisches Verfahren die Finite Differenzen Methode auf einem strukturierten Gitter eingesetzt. Das bedeutet, dass der physikalische Bereich, der Gegenstand der Betrachtung ist, in Raumelemente, s. g. Kontrollvolumina, aufgeteilt wird, die eine gleichförmige Struktur aufweisen. Das Programm erfordert die Unterteilung in Quader, wobei im vorliegenden Fall die Einteilung in Würfel mit der Kantenlänge h erfolgte, da nach McGrattan [9] die Kantenlängen möglichst gleich groß gewählt werden sollen und Würfelzellen somit optimal sind. Näherungsweise werden die physikalischen Größen innerhalb der Kontrollvolumina homogen, das heißt an jeder Stelle innerhalb des Kontrollvolumens gleich, angenommen und für das Zentrum berechnet. Beim Finite Differenzen Verfahren werden die Ableitungen in den Navier-Stokes- Gleichungen durch Differenzenquotienten ersetzt. F( x + h) F( x ) F ( x ) = lim h 0 h [3-1] F x h beliebige physikalische Größe Ortskoordinate Schrittweite Damit liefern partielle Differentialgleichungen ein System von Differenzengleichungen in den diskreten Punkten, die sich durch Potenzreihenentwicklung für den Differenzenquotienten ergeben. Der Abbruch dieser Potenzreihen führt wiederum zu Fehlern, wobei das nicht mehr erfasste Glied die Ordnung des Fehlers angibt. Je höher die Ordnung ist, desto bessere Näherungen ergeben sich. Das eingesetzte Programm verwendete ein Differenzenverfahren zweiter Ordnung (McGrattan [8]). Das bedeutet, dass der Fehler, der durch die Gitterauflösung entsteht, bei halber Zellengröße um Faktor 2 4 = 16 abnimmt (Faktor 2 je Raumrichtung und für die Zeitschrittweite). Problematisch bei der Verwendung von numerischen Verfahren ist, dass diese nicht zwangsläufig Werte liefern, die sich mit zunehmenden Iterationsschritten dem Ergebnis nähern, was als Stabilität bzw. Instabilität bezeichnet wird. Es werden implizite und explizite Verfahren unterscheiden, wobei die impliziten Verfahren im Regelfall stabiler, jedoch langsamer sind. Explizite Verfahren verhalten sich meist nur bei Einhaltung bestimmter Randbedingungen stabil. Das eingesetzte Programm verwendet ein explizites Verfahren, das sich nur bei geeignet kleinen Zeitschritten dem Ergebnis annähert. Die Zeitschrittweite wird in Abhängigkeit zur s. g. CFL-Zahl c, die durch die Programmierung vorgegeben ist, berechnet. Die nach den Mathematikern Courant, Friedrichs und Lewy benannte Zahl gibt nach Gleichung 3-2 an, um wie viele Zellen sich eine betrachtete Größe pro Zeitschritt maximal fortbewegt [21].

27 Matrikelnummer: Seite 21 u t c = [3-2] h c u t h CFL-Zahl Geschwindigkeit in m/s Zeitschritt in s Schrittweite in m Die Zeitschrittbestimmung erfolgt gem. McGrattan [8] durch das Programm für jeden Rechenschritt automatisch, wobei maximal eine Zelle durchlaufen wird (c 1). Die Simulation des Strahlungswärmetransports erfolgt nach McGrattan [8] mit einem Finite Volumen Verfahren. Da im Rahmen der vorliegenden Arbeit keine detaillierten Untersuchungen zum Strahlungswärmetransport durchgeführt worden sind, wird hier auf eine detaillierte Beschreibung dieses Verfahrens verzichtet. Bezüglich der Strahlungswärmemodellierung wird dennoch darauf hingewiesen, dass im Bereich der Flammenoberfläche nicht die mittlere Temperatur der jeweils betreffenden Zelle in die Strahlungswärmetransportgleichung 3-3 (Stefan-Boltzmann-Gesetz für graue Strahler) verwendet wird, da die über das Zellenvolumen gemittelte Temperatur gegenüber der Temperatur der Flammenoberflächen, die auf eine sehr kleines Volumen beschränkt ist, deutlich unterschätzt wird. Anstelle dessen wird die Temperatur aus der Energiefreisetzung der Verbrennung über den Sauerstoffverbrauch abgeleitet, wobei nach [8] 13,1 MJ pro Kilogramm Sauerstoff freigesetzt werden. Da die Strahlungswärme in der vierten Potenz von der Temperatur abhängt, muss insbesondere hier ein realitätsnaher Temperaturwert gefunden werden, um den Fehler gering zu halten. 4 & [3-3] q r = εσat q& r Strahlungsleistung ε Emissionsgrad (dimensionslos) σ Stefan-Boltzmann-Konstante in W/(m²K 4 ) A Oberfläche des Strahlers in m² T thermodynamische Temperatur in K Bei Simulationen von oberflächennahen Bereichen mit zu grober Gitterauflösung können Einflüsse der Wandreibung dadurch berücksichtigt werden, dass der entsprechende Parameter zwischen -1 (fest, Voreinstellung bei DNS) und 1 (reibungsfrei) eingestellt werden kann. Die Voreinstellung bei LES beträgt 0,5 gemäß der FDS- Dokumentation [9] und wurde bei den durchgeführten Untersuchungen nicht verändert.

28 Matrikelnummer: Seite 22 FDS umfasst Modelle, die die Simulation der Verbrennung, d. h. der chemischen Vorgänge, in gewissem Grenzen ermöglicht. Im Rahmen der durchgeführten Untersuchungen wurden die chemischen Prozesse jedoch nicht simuliert, sondern eine konstante Energiefreisetzungsrate über einer definierten Fläche vorgegeben. Auf die Ansätze der Verbrennungssimulation und die damit verbundenen Problemfelder, die auch Gegenstand aktueller Untersuchungen sind, wird daher nicht weiter eingegangen. Im Rahmen der Entwicklung von Parallelrechnern wurde FDS so weiterentwickelt, dass der Berechnungsbereich in Teilbereiche, so genannte Netze, gegliedert werden kann. Die Netzte werden wiederum verschiedenen Prozessoren zugewiesen und auf diesen parallel gelöst. Vorstehende Zerlegungsmöglichkeit des Simulationsbereiches ist bereits vor dem Einsatz von Parallelrechnern deshalb entstanden, weil der Simulationsbereich zur Reduzierung der Rechenzeit unterschiedlich fein diskretisiert werden sollte, was in unterschiedlichen Netzen möglich ist. Die Netze wurden dann auf einem Prozessor schrittweise nacheinander gelöst. Durch die unterschiedlichen Zellengrößen ergeben sich jedoch s. g. hängende Knoten (s. Abb ). Das heißt, nicht jedem Randknoten bzw. jeder Randzelle eines Netzes liegt ein Knoten des angrenzenden Netzes gegenüber. In der Abbildung ist dies durch die Knoten 1.2 im linken Netz und 2.2 bzw. 2.3 im rechten Netz beispielsweise dargestellt Abbildung 3.1-1: Schematische Darstellung zweier Gitternetze mit unterschiedlicher Zellengröße Damit ist ein direkter Austausch der zur numerischen Lösung der physikalischen Gleichungen erforderlichen Werte an den Netzrändern nicht möglich. Zur Lösung dieses s. g. Randwertproblems wird nach McGrattan [10] die Poisson-Gleichung herangezogen, bei der die Ableitungen des Vektorfeldes, hier der Quotient aus Gesamtdruck und Dichte, auf der Oberfläche des Zellenvolumens vorgegeben werden. Mit diesem Verfahren sind jedoch Ungenauigkeiten bzw. Fehler verbunden. Um diese Ungenauigkeiten zu minimieren, wird im Benutzerhandbuch [9] gefordert, die Gitterteilung so anzuordnen, dass keine kritischen Bereiche geteilt werden. Als kritischer Bereich wird insbesondere der Brandherd aufgeführt.

29 Matrikelnummer: Seite 23 Datenausgabe Während eines Simulationslaufes kann FDS für ausgewählte Größen und jeden Berechnungsschritt laufend zahlenmäßige Werte in Tabellenform ausgeben, die gesichert werden. Dadurch stehen sämtliche Werte für spätere, weitergehende quantitative Analysen zur Verfügung. Diese Ausgaben können auch mit dem Programm Smokeview, das ebenfalls vom NIST zur Verfügung gestellt wird, visualisiert werden. Dabei ist die Betrachtung verschiedener Größen (z. B. Russpartikel-Massenkonzentration, Temperaturen, Geschwindigkeiten) aus frei wählbaren Perspektiven in animierten Filmsequenzen möglich. Die im folgenden Kapitel abgebildeten Darstellungen sind weitgehend mit diesem Programm erstellt worden.

30 Matrikelnummer: Seite Rechnerbeschreibung Die Simulationsrechnungen wurden überwiegend auf dem Jülich Multi Prozessor (JUMP) des Zentralinstituts für angewande Mathematik der Forschungszentrum Jülich GmbH durchgeführt. Der JUMP ist ein IBM p690-cluster der aus 41 Knoten mit je 32 Prozessoren pro Knoten besteht [15]. Damit ergibt sich eine Gesamtprozessorenanzahl von Der Rechner erreicht damit eine Spitzenleistung von 8,9 TeraFLOPS. Ein herkömmlicher Rechner (Personal Computer) mit einem Pentium-4-Prozessor erreicht nach Angaben von IBM im Vergleich dazu etwa sechs GigaFLOPS. Jeder dieser Knoten verfügt über 128 GByte Arbeitsspeicher, der von den Prozessoren des Knotens gemeinsam genutzt wird. Dieser Aufbau wird als Shared Memory Architecures bzw. symmetrisches Multiprozessorensystem (SMP) bezeichnet, im Gegensatz zu einem sonst im Regelfall üblichen Netzwerk, bei dem jeder Prozessor über einen eigenen Arbeitsspeicher verfügt, was als Distributed Memory Architectures (DMA) bezeichnet wird. Der Vorteil des SMP liegt in der Informationsverteilung, die nicht über das Netzwerk erfolgen muss, sondern durch unmittelbares Auslesen aus dem gemeinsamen Arbeitsspeicher erfolgt, was die Rechengeschwindigkeit deutlich erhöht. Insgesamt verfügt der JUMP damit über 5 TeraByte Hauptspeicher. Zudem stehen 87 TeraByte Plattenspeicher zur Verfügung. Im Rahmen eines europaweiten Forschungsprojektes zur Untersuchung des auf mehrere Höchstleistungsrechner verteilten Supercomputing sind die Simulationen, bei denen mehr als zwei Prozessoren parallel eingesetzt wurden, auf einem Rechner in Helsinki durchgeführt worden. Dieser Rechner ist zwar identisch aufgebaut wie der JUMP, jedoch mit anderen Prozessoren ausgestattet, was insbesondere beim Vergleich der benötigten Rechenzeiten zu berücksichtigen ist (s. Abb und Abb ). Leider war es aus organisatorischen Gründen nicht möglich dies zu umgehen. Zur Prüfung einiger Ergebnisse, die nicht von vornherein plausibel erschienen, wurden einige Simulationen mit gleichen Eingangsparametern auf einem seriellen (1- Prozessor) Rechner mit Intel Pentium M-Prozessor von IBM mit einer Taktfrequenz von 1,73 GHz und 1,0 GB Arbeitsspeicher wiederholt. Die zahlenmäßigen Ergebnisse sind in diese Arbeit jedoch nicht unmittelbar eingeflossen, da jeweils nur äußerst geringe Abweichungen (< 3 %) festgestellt wurden, so dass die auf dem Hochleistungsrechner ermittelten Werte als bestätigt angenommen wurden. Die vorstehend erwähnten Abweichungen ergeben sich aus der Verwendung verschiedener Zufallszahlen, die von den unterschiedlichen Rechnern generiert werden.