4. Kommentar zu den trigonometrischen Formeln

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1 Franz Gustav Kollmann: Transkription und Kommentare zu den von Musil im "Register -Heft notierten Formeln. Kommentar zu den trigonometrischen Formeln. Akademie der Wissenschaften und der Literatur Mainz (Hrsg.), 07. URN: urn:nbn:de:038-musil-formeln-4-trigonometrische-formeln_. Dieser Beitrag erscheint unter der Lizenz Creative-Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 4. Kommentar zu den trigonometrischen Formeln Franz Gustav Kollmann München 4. Einleitung Musil verwendet für die trigonometrischen Funktionen teilweise eine heute nicht mehr gebräuchliche Schreibweise. In der folgenden Tabelle wird die Korrespondenz der von Musil verwendeten Notation mit der heute in der Mathematik üblichen angegeben. : Musils und die heute übliche Notation Notation nach Musil tg p, gelegentlich auch tang p ctg p Übliche Notation tan p cot p In diesem Kommentar werden die heute üblichen Notationen auf alle im Registerheft enthaltenen Formeln angewendet. Es werden also stets tg p durch tan p und ctg p durch cot p ersetzt. Dabei können an die Stelle der Variablen p andere Variablen treten z. B. x oder u. Neben den üblichen trigonometrischen Funktionen betrachtet Musil auch die heute weniger gebräuchlichen Funktionen, vgl.»bronstein«, S. 78, (.70) und (.7). sec p : = cos p gesprochen secans p cosec p = sin p gesprochen cosecans p Ungebräuchlich sind die beiden folgenden Funktionen, deren Definitionen folgenden Internetquellen (vgl. E. Weisstein: aufgerufen am 6..06, 09:3 Uhr und aufgerufen am um 09:40 entnommen wurden. sin vers p : = cos p (Definition ) cos vers p : = sin p (Definition )

2 Bei Weisstein werden diese Funktionen mit versin und coversin bezeichnet. In diesem Kommentar wird die Schreibweise Musils beibehalten. Die von Musil notierten trigonometrischen Formeln lassen sich in folgende Gruppen einteilen:. Darstellung einer Winkelfunktion durch andere Winkelfunktionen (z. B. sin p durch cos p,tan p,cot p,sec p und cosec p, vgl. (T-4).. Bekannte Umrechnungsformeln wie Additionstheoreme [(T-30) mit (T-35)], Halbwinkelfunktionen [(T-) und (T-3)], Winkelfunktionen des vielfachen Arguments [(T-6) und (T-7)], Potenzen der Winkelfunktionen [(T-4) und (T- 5)], Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten) [(T-40) mit (T- 46)]. 3. Sonstige Formeln. Der Kommentar zu den trigonometrischen Formeln wird in zwei Unterabschnitte gegliedert: Darstellungsformeln Umrechnungs- und sonstige Formeln Die Zusammenfassung der Umrechnungs- und sonstigen Formeln in einem Abschnitt ist erforderlich, weil Musil die Umrechnungs- und sonstigen Formeln nicht streng nach einander anordnet. Sofern die von Musil notierten trigonometrischen Formeln sich direkt in»bronstein«oder in den beiden Internetquellen finden, werden die Fundstellen wie oben angegeben. Sofern sie sich nicht in»bronstein«oder den Internetquellen finden, werden sie abgeleitet oder verifiziert. Wichtige Hilfsformeln Für den Kommentar sind einige elementare Hilfsformeln erforderlich, die im Folgenden zusammengestellt werden. Heute ist es allgemein üblich Winkel nicht in Gradmaß sondern im Bogenmaß 0 α π anzugeben. Zunächst wird für beliebige Winkel α die Umrechnung vom Gradmaß α in das Bogenmaß α angegeben. Denn Musil gibt spezielle Winkel im Gradmaß α (z. B. 45 ) an. Das Bogenmaß α wird abgeleitet aus dem Umfang eines Kreises mit dem Radius r =, der als Einheitskreis bezeichnet wird. Der Umfang des Einheitskreises beträgt U = π

3 Um den Umfang des Einheitskreises zu durchlaufen, muss daher im Gradmaß der Winkel von 360 durchlaufen werden. Es sei im Gradmaß ein beliebiger Winkel α 360 gegeben. Die Kennzeichnung, dass dieser Winkel im Bogenmaß angegeben wird, erfolgt durch einen über dem Kernbuchstaben α angeordneten Bogen, also α. Für alle Winkel im Bogenmaß 0 α π gilt π α = mit s als beliebiger reeller Zahl s () s Gesucht ist das Bogenmaß α eines Winkels, dessen Gradmaß α bekannt ist. Für diesen Winkel gilt im Gradmaß die Darstellung α = 360 s () Aus () und () folgt die Umrechnungsformel α α = π 80 (3) Musil verwendet gelegentlich in den von ihm notierten Formeln die in Tabelle in der ersten Spalte im Gradmaß angegebenen Winkel. Diese werden in der zweiten Spalte im Bogenmaß angegeben. Tabelle Umrechnung von Grad- in Bogenmaßen Gradmaß Bogenmaß 30 π / 6 45 π / 4 60 π / 3 Es werden im Folgenden Hilfsformeln für die elementaren trigonometrischen Funktionen angegeben. Die folgenden Hilfsformeln finden sich alle in»bronstein«, S sin α cos α + = (TH-) sin α ± β = sinα cos β ± cosα sin β (TH-) cos α ± β = cosα cos β sinα sin β (TH-3) Dabei werden die Winkelbezeichnungen α und β mit den von Musil verwendeten Winkelbezeichnungen (meistens p und q) identifiziert. Gelegentlich werden folgende Wertepaare (vgl.»bronstein«,s. 79, Tabelle.3) benötigt Ohne Verletzung der Allgemeingültigkeit brauchen nur Winkel 0 α 360 betrachtet werden, da die trigonometrischen Funktionen im Gradmaß entweder die Periode 80 oder 360 besitzen.. 3

4 π π sin = cos = 4 4 (TH-4) und nach»bronstein«, S. 79, Tabelle.3 π π tan = cot = (TH-5) 4 4 Weiter gilt nach»bronstein«, S. 79, Tabelle.3 π sin = 6 π 3 cos = 6 (TH-6) (TH-7) In»Bronstein«, S. 80, (.88) finden sich sinα tanα = cosα (TH-8) und (.89) cosα cotα = sinα (TH-9) Schließlich gilt nach»bronstein«, S. 80, (.9) und (.93) tan cot tanα ± tanβ ± = tanα tan β ( α β ) cotα cot β ± = cot β ± cotα ( α β ) (TH-0) (TH-) Nach»Bronstein«, S. 83 (.30) und (.3) gilt α sin = cos ( α ) α cos = + cos ( α ) (TH-) (TH-3) Nach»Bronstein«, S. 79, Tabelle.3 gilt 4

5 π 3 sin = (TH-4) 3 π cos = (TH-5) 3 4. Darstellungsformeln Formel (T-) : sin p + cos p = Nachweis:»Bronstein«, S. 80, (.8) Formel (T-) : tan p cot p = Nachweis:»Bronstein«, S. 80, (.87) Formel (T-) 3 : sec p cos p = Nachweis: Durch Umstellen von»bronstein«, S. 78, (.70) Bemerkung: Die umgestellte Form von (T-) 3 nach»bronstein«sec x : = cos x gilt in der mathematischen Literatur als Definition der Funktionsec x. 5

6 Formel (T-) : cosec p sin p = Nachweis: Durch Umstellen von»bronstein«, S. 78, (.7) Die umgestellte Form von (T-) nach»bronstein«cosec x = sin x gilt in der mathematischen Literatur als Definition der Funktioncosec x. Formel (T-) : sec p tan p = Nachweis:»Bronstein«, S. 80, (.83) Formel (T-) 3 : cosec p cot p = Nachweis:»Bronstein«, S. 80, (.84) Formel (T-3) : sin vers p + cos p = Nachweis: Durch Umstellen der Definition () (vgl. oben) Bemerkung zu (T-3) : In Heft 37 schreibt Musil für den ersten Term der Behauptung sin vers p. Dies ist aus mathematischer Sicht nicht sinnvoll, da weder innerhalb der Funktionsbezeichnung sinvers ein trennender Malpunkt noch zwischen der Funktionsbezeichnung und deren Argument p Malpunkte eingefügt werden dürfen. 6

7 Formel (T-3) : cos vers p + sin p = Nachweis: Durch Umstellen der Definition () Formeln (T-4): Vorbemerkung: In der Formelgruppe (T-4) wird die trigonometrische Funktion sin p durch andere Winkelfunktionen ausgedrückt. Formeln (T-4), (T-4), (T-4) 3 : tan p = p = = sin p cos + tan p + cot p Nachweis:»Bronstein«, S.8, Tabelle.5, erste Zeile. Formel (T-4) 4 : sin p = sec sec p Durch Einsetzen von (T-) 3 und anschließendes Multiplizieren von Zähler und Nenner mit cos p und Beachtung von (TH-) folgt für die rechte Seite der Behauptung sec p cos p cos p = = = sin p sec p cos p Damit ist die Behauptung bewiesen. 7

8 Formel (T-4) 5 : sin p = cosec p Durch Umstellung von (T-). Formel (T-4) 6 : sin p = cos p tan p Nachweis: Umstellung von Gleichung»Bronstein,«S. 80, (.88) Gleichung»Bronstein«, S. 80, (.88) ist identisch mit der wichtigen Hilfsformel (TH- 8). Formeln (T-5), (T-5), (T-5) 3 : cos p sin p cotp = = = + tan p + cotp Nachweis:»Bronstein«, S.8, Tabelle.5, zweite Zeile Formel (T-5) 4 : cos p = sec p Nachweis: Durch Umstellen von (T-). 8

9 Formel (T-5) 5 : cos p = cosec p cosec p Mit (T-5) und (T-) folgt cosec p cos p = sin p = = cosec cosec p p Formel (T-5) 6 : cos p = sin p cot p Nachweis: Umstellen von (TH-9). Bemerkung zu (T-4) und (T-5): Die letzen beiden Umformungen in diesen beiden Formeln passen schlecht zu den vorausgehenden. In den vorhergehenden Umformungen werden nämlich die trigonometrischen Funktionen sin p bzw. cos p durch jeweils eine einzige andere trigonometrische Funktion (z. B. cos p bei sin p usw.) ausgedrückt. In diesem Zusammenhang ist es nicht konsequent, als letzte Umformungen zwei Gleichungen anzugeben, bei denen sich auf der rechten Seite zwei verschiedene trigonometrische Funktionen (z. B. cos p und tan p bei (T-4) 6 ) befinden. Formeln (T-6), (T-6), (T-6) 3 : sin p cos p tan p = = = sin p cos p cot p Nachweis:»Bronstein«, S.8, Tabelle.5, dritte Zeile. Formel (T-6) 4 : 9

10 tan p = sec p Unter Benutzung von»bronstein«, S. 80, (.88), (T-4) 4 und (T-5) 4 folgt sin p cos p sec p sec p sec p tan = = = sec p Formel (T-6) 5 : tan p = p cosec Unter Benutzung von»bronstein«, S. 80, (.88), (T-4) 5 und (T-5) 5 folgt sin p cosec p tan p = = = p p p cos cosec cosec cosec p Formeln (T-7), (T-7), (T-7) 3 : sin p cos p cot p = = = sin p cos p tan p Nachweis:»Bronstein«, S.8, Tabelle.5, vierte Zeile. 0

11 Formel (T-7) 4 : cot p = p sec Aus cot p = / tan p und (T-6) 4 folgt cot p = = p p tan sec Formel (T-7) 5 : cot p = cosec p Aus cot p = / tan p und (T-6) 5 folgt p tan p cot = = = cosec p cosec p Formeln (T-8) : sec p = + sin p Analyse: Diese Formel ist nicht korrekt. Denn nach (T-) 3 und (T-) gilt sec p = = cos p sin p

12 Vermutlich handelt es sich um einen Schreibfehler. Formeln (T-8) : cosec p = sin p (T-8) folgt unmittelbar aus (T-). Formeln (T-8) 3 : sec p = + tan p Aus (T-6) 4 folgt durch Quadrieren und Auflösen nach sec p tan p = sec p sec p = + tan p Formeln (T-8) 4 : sec p = + cot cot p p Aus (T-7) 4 folgt durch Quadrieren und Auflösen nach sec p p = p = p = sec p cot p cot sec sec + cot cot p p Formeln (T-8) 5 : Das Pfeilzeichen bedeutet in den folgenden Formeln der auf der rechten Seite des Zeichens stehende Ausdruck folgt aus dem auf der linken Seite stehenden.

13 sec p = cosec p p cosec Aus (T-) 3 und (T-5) 5 folgt sec p = cos p cosec p cosec p sec p = = cosec p cosec p cos p = cosec p cosec p Formeln (T-8) 6 : sec p = tan p sin p Aus (T-) 3 und»bronstein«, S. 80, (.88) folgt durch Umstellen sec p = cos p tan p sec p sin p = sin p cos p = tan p Formel (T-9) : cosec p = sin p Durch Auflösen von (T-) nach cosec p. 3

14 Formel (T-9) : cosec p = cos p Folgt unmittelbar aus (T-9) und Einsetzen von sin p nach (T-4). Formel (T-9) 3 : cosec p = + tan tan p p Folgt aus (T6-) 5 durch Quadrieren und anschließendes Auflösen nach cosec p + tan p tan p = cosec p = cosec p = + = p tan p tan p tan p cosec und daher cosec p = + tan tan p p Formel (T-9) 4 : cosec p = + cot p Quadrieren von (T-7) 5 und Auflösen nach cosec p gibt cot cosec cot cosec cosec cot p = p p = p p = + p 4

15 Formel (T-9) 5 : cosec p = sec p p sec Aus (T-) und (T-4) 4 folgt Umstellen cosec p = sin p cosec p = p sin p = sec p sec p sec sec p Formel (T-9) 6 : cot p cosec p = cos p Aus (T-) und»bronstein«, S. 80, (.89) folgt durch Umstellen cosec p = sin p cot p cosec p cos p = cos p cot p = sin p Formel (T-0) : sinvers p = cos p Nachweis: Identisch mit (T-3). 5

16 Formel (T-0) : sinvers p = p sin Aus»Bronstein«, S. 8, (.) folgt p p sin = cos p cos p = sin Einsetzen in (T-3) liefert die Behauptung. Formel (T-) : cosvers p = sin p Nachweis: (T-) folgt durch Umstellen von (T-3). Formel (T-) : p Bemerkung: In (T-) verwendet Musil den Ausdruck sin (45 ), in dem ein Winkel im Gradmaß angegeben wird. Die Umrechnung 3 von Grad- in Bogenmaß wird in der Einleitung zu diesem Kommentar angegeben, vgl. dazu Tabelle. Danach gilt 45 = π / 4. cosvers p π p 4 = sin Nach (TH-) mit α = π / 4 und β = p / 3 Weitere Umrechnungen von dem im Gradmaß angegebenen Winkel in das Bogenmaß werden im folgenden nicht mehr erläutert. 6

17 π p π p π p sin = sin cos cos sin () Einsetzen von (TH-4) in () liefert π p p p sin cos sin 4 = () Durch Quadrieren von () ergibt sich unter Berücksichtigung von (AH-) π p p p p p p p = + = 4 sin sin cos sin cos sin cos (3) Dabei wurde bei der zweiten Umformung von (3) von (TH-4) Gebrauch gemacht. Da p p nach»bronstein«, S. 8, (.96) cos sin = sin p ist, folgt aus (3) und (T-3) schließlich π p = = 4 sin sin p cosvers p Formel (T- ) : p sin = cos ( p) Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.) Formel (T-) : p p cos = cos + Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.). 7

18 Formel (T-3) : p sin p tan = + cos p Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.3) Formel (T-3) : p sin p cot = cos p Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.4) Formel (T-4) : sin p + cos p = + sinp Durch Quadrieren der linken Seite der Behauptung folgt mit (TH-) und (AH-) sin p + cos p = sin p + cos p + sin p cos p = + sin p cos p () Nach»Bronstein«, S. 8, (.96) ist sin p cos p = sin p () Durch Einsetzen von () in () und anschließendes Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten ergibt sich die Behauptung. 8

19 Formel (T-4) : sin p cos p cos π + = p 4 Zum Beweis wird die rechte Seite der Behauptung umgeformt. Mit (TH-3) und anschließendem Einsetzen von (TH-4) folgt cos π p cos π cos p sin π sin p sin p cos p 4 = + = Die Umformung der rechten Seite ergibt also die linke. Formel (T-5) : cos p sin p = sinp Quadrieren der linken Seite der Behauptung gibt mit (AH-), (TH-) und»bronstein«, S. 8, (.96) [vgl. hierzu auch (T-6) ] cos p sin p = cos p + sin p cos psin p = sinp cos p + sin p = sinp Durch Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten folgt die Behauptung. Formel (T-5) : cos p sin p sin π = p 4 Nach (TH-) und (TH-4) folgt 9

20 sin π p sin π cos p cos π sin p ( cos p sin p) cos p sin p 4 = = = 4 4 Damit ist die Behauptung bewiesen. Formel (T-6) : tan p + cot p = cosec p Mit den Beziehungen»Bronstein«, S. 80, (.88) und (.89), (.8), S. 8 (.96) und S.78 (.70) ergibt sich der nachstehende Beweis sin p cos p sin p + cos p tan p + cot p = + = = = cosec p cos p sin p sin pcos p sinp Formel (T-6) : cot p tan p = cot p Mit den Beziehungen»Bronstein«, S. 80, (.88) und (.89), S. 8 (.98) S. 80 (.89) ergibt sich der nachstehende Beweis cos p sin p cos p sin p cos p cot p tan p = = = = cot p sin p cos p sin pcos p sinp 0

21 4.3 Umrechnungs- und sonstige Formeln Formel (T-7) : sin sin π p 4 + p = + Unter Verwendung von (TH-) und (TH-4) folgt mit α = π / 4 und β = p / π p π p π p p p sin + sin cos cos sin cos sin 4 = + = () Durch Quadrieren von () ergibt sich unter Beachtung von (AH-) und (TH-) π p p p p p + = + + = + 4 ( p) sin sin cos sin cos sin wobei»bronstein«, S. 8, (.96) mit α = p / verwendet wurde. Damit ist (T-7) bewiesen. Formel (T-7) : sin sin π p 4 p = Nachweis: Unter Beachtung der Definition () cosvers p = sin p ist diese Formel identisch mit (T-), was Musil nicht vermerkt hat. Die Formel (T-) wird dort bewiesen. Formel (T-8) : + sin p π p = tan + sin p 4

22 Zunächst gilt nach»bronstein«, S. 80, (.88) π p sin π p + 4 tan + 4 = π p cos + 4 () Nach (T-7) gilt für den Zähler auf der rechten Seite π p sin sin 4 + = ( + p ) () Zum Beweis von (8-) muss daher gezeigt werden, dass für den Nenner auf der rechten Seite von () gilt π p cos sin 4 + = ( p ) (3) Nach (TH-3) folgt zunächst mit α = π / 4 und β = p / π p π p π p cos + = cos cos sin sin (4) Einsetzen von (TH-4) in (4) und Ausquadrieren auf der rechten Seite liefert π p p p p p + = + = 4 ( p) cos cos sin sin cos sin (5) Bei der Umformung der rechten Seite von (5) wurde von (TH-) und»bronstein«, S. 8, (.96) Gebrauch gemacht. Da (5) mit (3) übereinstimmt, ist der Beweis von (T- 8) erbracht. Formel (T-8) : + sin p π p = tan + cos p 4 ()

23 Mit α = π / 4 und β = p / folgt aus (TH-0) π p tan + tan π p tan = π p tan tan 4 Weiter folgt mit (TH-5) p p p + tan cos + sin π p tan + 4 = = p p p tan cos sin () wobei für die zweite Umformung (TH-8) berücksichtigt wurde. Aus dieser Formel und (TH-) und (TH-3) folgt π p + cos p + cos p tan + 4 = + cos p cos p Erweiterung der rechten Seite mit dem Ausdruck + cos p + cos p gibt unter Berücksichtigung der elementaren Formeln (AH-) und (AH-) die Umformung ( p) π p + cos p + cos p + + cos p cos p tan + 4 = + cos p cos Für den Radikand im Zähler gilt mit (TA-) + cos p cos p = cos p = sin p Damit folgt unter Beachtung (TH-) ( + p ) π p cos + sin p tan + 4 = = cos p cos p Das ist die Behauptung. 3

24 Formel (T-9) : + tan p π = tan + p tan p 4 Nach (TH-0) und (TH-5) gilt für die rechte Seite der Behauptung π tan + tan p π 4 + tan p tan + p 4 = = π tan tan p tan p 4 Die rechte Seite der Behauptung lässt sich also in deren linke umformen, womit sie bewiesen ist. Formel (T-9) :` tan p π = tan p + tan p 4 Mit (TH-5) und (TH-0) ergibt sich für die rechte Seite π tan tan p π 4 tan p tan p 4 = = π + tan tan p + tan p 4 Vorbemerkung zu den Formeln (T-0) mit (T-5): In diesen Formeln verwendet Musil für die Argumente der trigonometrischen Funktionen die Winkel 30 und 60. Ihnen entsprechen die Bogenmaße [vgl. (TH-6) und (TH- 7)] die Werte π / 6 und π / 3, die im Folgenden verwendet werden. 4

25 Formel (T-0): π π sin p + = cos p sin p 6 6 Es wird gezeigt; dass die rechte Seite der Behauptung gleich der linken Seite ist. Nach (TH-) gilt π π π cos p sin p = cos p sin cos p + cos sin p () Daher wird aus (), (TH-6) und (TH-7) durch Umformen der rechten Seite π 3 cos p sin p cos p sin p 6 = + () Unter Berücksichtigung von (TH-6), (TH-7) und (TH-) lässt sich die rechte Seite von () wie folgt umformen 3 cos p sin p sin π cos p cos π sin p sin π + = + = p (3) Bei der zweiten Umformung wurde (TH-) mit α = π / 6 und β = p verwendet. Die rechte Seite von (3) stimmt mit der linken Seite der Behauptung überein, womit diese bewiesen ist. Formel (T-): π π cos + p = cos p sin p 6 6 Umformung beider Seiten der Behauptung mit (TH-3) gibt zunächst 5

26 π π π π cos cos p sin sin p = cos cos p + sin sin p sin p () Der Term ( cos ) π / 6 cos p tritt auf beiden Seiten auf und hebt sich daher heraus. Wegen sin π / 6 = / ergibt sich auf beiden Seiten der Ausdruck / sin p, womit die Behauptung bewiesen ist. Formel (T-): π π sin p = sin + p sin p 3 3 Umformung beider Seiten der Behauptung ergibt mit (TH-) π π π π sin cos p cos sin p = sin cos p + cos sin p sin p () In () hebt sich auf beiden Seiten der Ausdruck sin daher π / 3 cos p heraus und es folgt π π cos sin p = cos sin p sin p () 3 3 Durch Einsetzen von (TH-5) in () folgt die Behauptung, da beide Seiten von () gleich sind. Formel (T-3): π π cos p = cos p cos + p 3 3 Mit (TH-3) ergibt sich auf beiden Seiten der Behauptung 6

27 cos π cos p sin π sin p cos p cos π cos p sin π + = sin p Hierin heben sich auf der linken und rechten Seite die Terme sin Ferner ist cos ( π / 3) = / Bronstein S.79, Tabelle.3 und damit folgt π / 3 sin p weg. π π cos cos p = cos p cos p cos p = cos p cos p = cos p 3 3 Linke Seite Rechte Seite Die linke und rechte Seite der Behauptung lassen sich auf den gleichen Ausdruck umformen, womit die Behauptung bewiesen ist. Vorbemerkungen zu den Formelgruppen (T-4) und (T-5):. In diesen beiden Formelgruppen werden Potenzen der trigonometrischen Funktion sin p und cos p von Ordnung k =,3,4,5 durch Reihen der Terme sinnp und. cosnp ausgedrückt, wobei n k ist.. Musil schreibt seine Formeln in einer Form an, dass auf der linken Seite vor der potenzierten trigonometrischen Funktion ein ganzzahliger Vorfaktor auftritt. In den beigezogenen Formelsammlungen tritt der Kehrwert dieses Vorfaktors auf der rechten Seite auf. Daher werden die Behauptungen abweichend von Musils Original in dieser Form angegeben. Formel (T-4) : sin cos p = ( p ) Nachweis:»Bronstein«, S. 83, (.30) Formel (T-4) : sin 3 sin sin3 4 3 p = ( p p ) Nachweis:»Bronstein«, S. 83, (.3) 7

28 Formel (T-4) 3 : sin cos 4 4cos p = ( p p + ) Nachweis:»Bronstein«, S. 83, (.34) Formel (T-4) 4 : 5 sin p = sin5p 5 sin3p + 0 sin p 6 Unter E. Weisstein: aufgerufen am 6..06, :47 findet sich folgende allgemeine Formel (8) für die Berechnung der Potenzen der Funktion sin x mit ungeradem Grad n +, n als ganzer Zahl: n n n+ n + sin = sin + n k= 0 k k () x n k x Aus () und (AH-3 bis (AH-5) mit x = p und n = sin p = sin5p sin p sin p Aus (AH-3) ergibt sich 5 5! 4! 5 5 5! 3! 4 5 = = = 5 = = = 0 4!! 4! 3!! 3! und damit folgt schließlich 5 sin p = sin5p 5 sin3p + 0 sin p () 6 8

29 Gl. () ist genau die Formel (T-4) 4. Formel (T-5) : cos cos p = ( + p ) Nachweis:»Bronstein«, S. 83, (.3) Formel (T-5) : cos cos 3 3 cos 4 3 p = ( p + p ) Nachweis:»Bronstein«, S. 83, (.33) Formel (T-5) 3 : cos cos 4 4cos p = ( p + p + ) Nachweis:»Bronstein«, S. 83, (.35) Formel (T-5) 4 : 5 cos p = cos5p 5 cos3p + 0cos p 6 Die im Beweis von (T-4) 4 angegebene Quelle von Weisstein enthält folgende Formel n + x n k x n n+ cos = n 4 k = 0 k cos + () 9

30 Zu beachten ist, dass in () auf der rechten Seite ausschließlich positive Glieder stehen. Mit (AH-3) bis (AH-5) folgt zunächst aus () mit x = p für n = cos p = cos5p + cos3p + cos p 6 0 () Mit den für die Formel (T-4) berechneten Binomialkoeffizienten folgt 5 cos cos5 5cos3 0cos p = p + p + p (3) Bemerkung: Gl. (3) unterscheidet sich von Musils Formel dadurch, dass der Term 5cos3p ein positives Vorzeichen aufweist, während bei Musil ein negatives steht. Vermutlich handelt es sich bei Musil um einen Übertragungsfehler. Die von Weisstein angegebene Formel () ist aus folgendem Grund richtig: Dem Verfasser stand folgendes Buch zur Verfügung:: I. S. Gradstein und I. M. Ryzhik: Tables of Integrals, Series and Powers, Academic Press, 4 th ed., 984. Dort findet sich auf S. 5 im Abschnitt.30 Formel () für den Exponent n. Eine Umrechnung auf den Exponenten n + ergibt (). Vorbemerkung zu den Formelgruppe (T-6) und (T-7): In diesen Formeln werden trigonometrische Funktionen, deren Argumente Vielfache np n = natürliche Zahl des Grundarguments p sind, durch Potenzen und Produkte der Grundfunktionen sin p und cos p und deren Produkte dargestellt. Formel (T-6) : sin p = sin p cos p Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.96) Formel (T-6) : sin3 3sin cos sin 3 p = p p p 30

31 Bei»Bronstein«, S. 8, (.97) findet sich 3 sin3p = 3sin p 4sin p () Die Behauptung lässt sich mit Hilfe von (TH-) wie folgt in () umformen: sin3 3 sin cos sin 3 sin sin sin 3 sin 4 sin p = p p p = p p p = p p Die Gln. () und () sind daher identisch. Die in»bronstein«angegebene Gleichung ist für numerische Auswertungen zweckmäßiger als die von Musil, weil auf der rechten Seite nur sin p und sin p auftreten, während bei Musil zusätzlich noch cos p 3 enthalten ist. Denn bei der Form () muss bei der Auswertung nur der Wert von sin p in einer Tabelle nachgeschlagen (oder in einem Programm aufgerufen) werden. Bei Musils Form ist zusätzlich der Wert von cos p zu ermittelten. Formel (T-6) 3 : sin 4p = 4 sin p cos p cos p sin p () Bei»Bronstein«, S. 8, (.00) 3 sin4 8cos sin 4sin cos p = p p p p () Gl. () lässt sich mit Hilfe von (TH-) wie folgt umformen: 3 sin 4 4 sin cos cos 8 cos sin 4 sin cos p = p p p = p p p p (3) Die Gln. (3) und () und daher auch () und () sind identisch. Formel (T-6) 4 : sinnp = sin n pcos p + cos n p sin p 3

32 Setze im Additionstheorem (TH-) ( n ) α = p und β = p,so folgt sofort = ( ) + = ( ) + ( ) sin np sin n p p sin n p cos p cos n p sin p Bemerkung: Eine Gleichung der Form von Formel (T-6) 4 heißt Rekursionsbeziehung. Sie gestattet es durch wiederholte Anwendung alle Ausdrücke der Form sinnp aus Ausdrücken niedrigerer Ordnung zu berechnen. Z. B. gilt für n = sin p = sin p cos p + cos p sin p = sin p cos p womit Formel (T-6) wieder gewonnen ist. Durch wiederholtes Anwenden von (T- 6) 4 lassen sich Darstellungsformeln für sinnp von beliebiger Ordnung n gewinnen. Formel (T-7) : cosp = cos p sin p = cos p = sin p () Bei»Bronstein«, S. 8, (.98) cosp = cos p sin p () Gl. () stimmt mit dem ersten Ausdruck auf der rechten Seite von () überein. Die beiden anderen Ausdrücke ergeben sich durch Anwendung von (TH-) wie folgt cos p sin p = sin cos p p Formel (T-7) : 3 cos3 cos 3sin cos p = p p p () 3

33 Bei»Bronstein«, S. 8, (.99) 3 cos3 4cos 3cos p = p p () Die rechte Seite von () lässt sich mit Hilfe von (TH-) in die rechte Seite von () umformen cos 3 sin cos = cos 3 cos cos = 4 cos 3 cos p p p p p p p p Dieser Ausdruck stimmt mit der Formel von»bronstein«überein. Wie in (T-6) ist die in»bronstein«angegebene Gleichung zweckmäßiger als die von Musil, weil auf 3 der rechten Seite nur cos p und cos p auftreten, während bei Musil zusätzlich noch sin p enthalten ist. Formel (T-7) 3 : 4 4 cos4p = cos p 6sin pcos p + sin p () Bei»Bronstein«, S. 8, (.0) 4 cos4p 8cos p 8cos p = + () Die rechte Seite von () kann mit Hilfe von (TH-) und (AH-) in die rechte Seite von umgeformt werden. 4 cos p 6 cos p cos p + cos p = cos p 6cos p + 6cos p + cos p + cos p = 4 8cos 8cos p p + Damit ist der Beweis erbracht. 33

34 Formel (T-7) 4 : cosnp = cos n pcos p cos n p Die rechte Seite der Behauptung wird mit Hilfe von (TH-) und (TH-3) mit α = np und β = p bzw. β = p wie folgt umgeformt cos n pcos p cos n p = cosnp cos p + sinnp sin p cos p cosnp cos p sinnp sin p = cos cos + sin sin cos cos cos sin sin np p np p p np p np p Term Term Für den Term in der letzten Zeile der vorstehenden Gleichung gilt mit (T-6) Term =sinnp sinp Daher hebt sich Term gegen Term. Als Rest R verbleibt R = cos npcos p cosnpcosp Unter Beachtung von (T-5) gilt R = cosnp cos p cosnp cos p = cosnp Da die rechte Seite der Behauptung gleich ihrer linken, ist der Beweis geschlossen. Formeln (T-8) und (T-9): Zusammenfassen der beiden Formeln ergibt sin p ± q = sin pcosq ± cos p sin q Nachweis:»Bronstein«, S. 80, (.90). Die Formeln (T-8) und (T-9) stimmen mit (TH-) überein. 34

35 Formeln (T-30) und (T-3): Zusammenfassen der beiden Formeln ergibt cos p ± q = cos pcosq sin psinq Nachweis:»Bronstein«, S. 80, (.9). Die Formeln (T-30) und (T-3) stimmen mit (TH-3) überein. Formeln (T-3) und (T-33): Das Zusammenfassen der beiden Formeln ergibt tan p ± tanq cotq ± cot p tan( p ± q) = = tan p tanq cot pcot q () Der erste Ausdruck auf der rechten Seite ist identisch mit (TH-0). Der zweite ergibt aus () und (TH-9) wie folgt ± tan p ± tanq cot p cotq = tan p tanq cot p cot q Erweitern auf der rechten Seite mit cot p cot q liefert tan p ± tanq cotq ± cot p = tan p tanq cot pcotq Formeln (T-34) und (T-35): Das Zusammenfassen der beiden Formeln ergibt 35

36 cot cot pcotq tan p tanq ± = = cot p ± cot q tan p ± tanq ( p q) Der erste Ausdruck auf der rechten Seite ist identisch mit»bronstein«, S. 80, (.93). Der zweite ergibt sich durch ganz analoge Rechnung wie bei (T-3) und (T-33). Vorbemerkung zu den Formeln (T-36) mit (T-39): In diesen Formeln werden auf den linken Seiten stehende Produkte trigonometrischer Funktionen dargestellt. Es ist zweckmäßig, auf den rechten Seiten den gemeinsamen Faktor / auszuklammern. Formel (T-36): sin p sinq = cos( p q) cos( p + q ) Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.3) Formel (T-37): cos pcosq = cos( p q) + cos( p + q ) Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.4) Bemerkung: Der Ausdruck auf der linken Seite der Behauptung kann im Originalmanuskript von Musil auch als cos p cosq gelesen werden. Da diese Lesart nicht mit der oben nachgewiesenen Formel»Bronstein«, S. 8, (.4) übereinstimmt ist sie falsch und wird daher hier nicht berücksichtigt. 36

37 Formel (T-38): sin p cosq = sin( p + q) + sin( p q ) Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.5) Formel (T-39): cos p sin q = sin( p + q) sin( p q) Durch Vertauschen von p und q folgt aus (T-38) cos p sin q = sin( p + q) + sin( q p) Es ist aber q p = ( p q) und mit»bronstein«, S. 79, (.76) und. (.77) sin cos ( p) ( p) = sin p (TH-6) = cos p (TH-7) Es folgt daher sin( q p) sin( p q) =, womit der Beweis erbracht ist. Vorbemerkung zu den Formeln (T-40) mit (T-45): In diesen Formeln werden Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen mit verschiedenen Argumenten p und q angegeben. Formel (T-40): p + q p q sin p + sinq = sin cos 37

38 Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.5) Formel (T-4): p + q p q sin p sinq = cos sin Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.6) Formel (T-4): p + q p q cos p + cosq = cos cos Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.7) Formel (T-43): p + q p q cosq cos p = sin sin () Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.8) Formeln (T-44): Die beiden Formeln lassen sich wie folgt zusammenfassen ( p ± q) tan p ± tanq = sin cos pcosq Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.9) 38

39 Formeln (T-45): Die beiden Formeln lassen sich unter Beachtung von sin ( q p) = sin( p q) wie folgt zusammenfassen ( ± p + q) cot p ± cot q = ± sin sin p sinq Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.0) Formeln (T-46) : cos( p q) tanq + cot p = sin pcosq Nachweis: Werden α = q und β = p gesetzt, so wird (T-46) identisch mit»bronstein«, S. 8. ( Formel (T-46) : ( p + q) cot p tanq = cos sin pcosq Nachweis:»Bronstein«, S. 8, (.) Formel (T-47): p + q tan sin p + sinq p + q p q = = tan cot sin p sinq p q tan 39

40 Für den ersten Teil der Behauptung gilt durch Einsetzen von (T-40) in den Zähler und von (T-4) in den Nenner p + q p q p + q p + q sin cos sin tan sin p + sinq = = = sin p sinq p + q p q p q p q p q cos sin cos sin tan p q cos dabei wurde von»bronstein«, S. 80, (.88) Gebrauch gemacht. Die zweite Umformung in (T-47) ist wegen»bronstein«, S. 80, (.87) trivial. Formel (T-48): p + q cot cos p + cosq p + q p q = = cot cot cos p cosq p q tan Für den zweiten Teil der Behauptung gilt durch Einsetzen (T-4) in den Zähler und von (T-43) in den Nenner auf der linken Seite p + q p q cos( p + q) cos cos p + q p q = = cot cot cos( p q ) p + q p q sin sin Damit ist der zweite Teil der Formel bewiesen. Der erste Teil folgt aus dem zweiten direkt unter Beachtung von»bronstein«, S. 80, (.87). Formel (T-49) : sin p + sinq cos p cosq = cos p + cosq sinq sin p 40

41 Es darf über Kreuz multipliziert werden, wenn p q, cos p + cosq 0 und sinq sin p 0 gilt. Dies für die weiteren Betrachtungen vorausgesetzt. Die Sonderfälle cos p = cosq und sin p = sinq werden daher ausgeschlossen. Dann gilt ( sin p sinq)( sinq sin p) ( cos p cosq)( cos p cosq) + = + () Mit Gl. (AH-) folgt auf beiden Seiten sin q sin q = cos p cos q () Für die rechte Seite von () folgt mit (TH-) cos p cos q = sin p sin q = sin q sin p (3) Durch die Umformung der rechten Seite von () gemäß (3) wird also genau die linke Seite von () erhalten. Damit ist der Beweis erbracht. Formel (T-49) : sin p + sin q tan p + = q cos p + cosq Einsetzen von (T-40) und (T-4) in die linke Seite liefert mit (TH-5) p + q p q sin cos sin p + sinq p + q = = tan cos p + cosq p + q p q cos cos 4

42 Formel (T-50) : sin p + sinq cos p + cosq = cos p cosq sinq sin p Der Beweis erfolgt nach dem Muster des Beweises für (T-49), wenn p q, cos p cosq = 0 und sinq sin p = 0 sowie p = q ausgeschlossen werden. Durch über Kreuz Multiplizieren folgt ( sin p + sinq)( sinq sin p) = ( cos p + cosq)( cos p cosq) und mit (AH-) und (TH-) sin q sin p = cos p cos q = sin p sin q = sin q sin p Durch die algebraische Umformung folgt also aus (T-50) die vorstehende Identität, womit diese Formel bewiesen ist. Formel (T-50) : sin p + sin q cot q = p cos p cosq Durch Anwenden von (T-40) auf den Zähler der linken Seite und von (T-43) auf deren Nenner und anschließend»bronstein«, S. 80, (.89) und S. 79, (.79) folgt p + q p q sin cos sin p + sinq p q q p = = cot = cot cos p cosq p + q p q sin sin Damit ist der Beweis geschlossen. 4

43 Formel (T-5) : tan p + tanq cot p + cot q = tan p tanq cotq cot p Mit Anwenden von»bronstein«, S.80, (.87) auf die rechte Seite folgt + cot p + cot q tan p tanq = cot q coq tanq tan p Erweitern der rechten Seite mit tan p tanq liefert + tanq tan p tan p + tanq = tan p tanq tanq tan p womit der Beweis geschlossen ist. Formel (T-5) : ( p + q) ( ) tan p + tanq sin = tan p tanq sin p q Vorausgesetzt wird p q. Linke Seite von (T-5) wird mit cos pcosq erweitert sin p sinq + tan p + tanq cos p cosq sin pcosq + sinq cos p = = tan p tanq sin p sinq sin p cosq sinq cos p cos p cosq Mit»Bronstein«, S.80, (.90) folgt 43

44 ( p + q) ( ) sin pcosq + sinq cos p sin = sin pcosq sinq cos p sin p q Damit ist die Behauptung bewiesen. Formeln (T-5) und (T-5) : Diese beiden Formeln können gemeinsamt bewiesen werden. tan p + tanq tan p tanq = = tan p tanq cot p + cot q cot q cot p Anwendung von (T-44) auf den Zähler und von (T-45) auf den Nenner des linken Terms liefert tan p + tanq sin( p + q) sin psinq = = tan p tanq () cot p + cot q cos pcosq sin p + q Anwendung von (T-44) auf den Zähler und von (T-45) auf den Nenner des mittleren Terms liefert ( ) ( ) tan p tanq sin p q sin p sinq sin p q sin p sinq = = = tan p tanq cot q cot p cos p cosq sin( q p) cos pcosq sin( p q) () Da die Umformungen in den Gln. () und () auf das gleiche Ergebnis tan p tanq führen, sind beide Teile der Behauptung bewiesen. Formeln (T-53) und (T-53) : Diese beiden Formeln können gemeinsam bewiesen werden. tan p + cotq cot q tan p = = tan pcotq cot p + tanq cot p tanq 44

45 Anwendung von»bronstein«, S. 8, (.) auf Zähler und Nenner des ersten Teils der linken Seite gibt unter Beachtung von cos( q p) = cos( p q) ( p q) tan p + cotq cos sin pcosq = = tan pcot q cot p + tan p sinq cos p cos p q Damit ist der erste Teil der Behauptung bewiesen. Anwendung von (T-46) und von»bronstein«, S. 8, (.) auf Zähler und Nenner des mittleren Teils (im Zähler p und q vertauschen) gibt unter Beachtung von ( p + q) cotq tan p cos sin pcosq = = tan pcotq cot p tanq sinq cos p cos p + q Damit ist nicht nur der erste sondern auch der zweite Teil der Behauptung bewiesen. Formel (T-54): tan p + tanq cot p tanq = tan p tan p + q Umformung der rechten Seite mit (T-3) liefert zunächst tan p + tanq tan p + tan p tanq tan p tan( p + q) = tan p = tan p tan q tan p tan q Teilen von Zähler und Nenner des rechten Ausdrucks durch tan p liefert tan tan tan tan tan tan tan p + p q p + q p + q = = tan p tanq tanq cot p tan p tan p 45

46 wobei»bronstein«, S. 80, (.87) verwendet wurde. Da der rechte Teil von (T-54) sich in den linken umformen lässt, ist die Richtigkeit von (T-54) bewiesen. Formel (T-55): cot p + cotq cot p tanq = cotq tan p + q Anwenden von (T-3) auf die rechte Seite liefert tan p + tanq cotq tan p + cotq tanq cotq tan( p + q) = cotq = tan p tanq tan p tanq Der zweite Term im Zähler der rechten Seite ist wegen»bronstein«, S. 80, (.87) gleich und daher wird durch Teilen von Zähler und Nenner durch tan p mit (T-7) 3 + cotq + tan p cot q tan p cot p + cot q = = tan p tanq cot p tanq tanq tan p Damit ist die Formel von Musil bewiesen. Formel (T-56): tan p tanq cot p + tanq = tan p tan p q Mit (T-33) folgt unter Beachtung von»bronstein«, S. 80, (.87) tan p tanq tan p tanq tan p tanq tan p tan( p q) = tan p = = + tan p tan q cot p + tan p tan q cot p + tan q 46

47 Damit ist (T-56) bewiesen. Formel (T-57): cotq cot p tanq + cot p = cotq tan p q Anwenden von (T-33) auf die rechte Seite liefert cotq cot p cot q cot pcotq cot q tan( p q) = cotq = + cot pcotq + cot pcot q Teilen von Zähler und Nenner des letzten Ausdrucks durch cot q ergibt unter Berücksichtigung von»bronstein«, S. 80, (.87) cotq cot p cot q tan( p q) = cot p + tanq Damit ist der Beweis geführt Formel (T-58): Formel (T-58) umfasst zwei Formeln, die sich wie folgt kompakter in einer Gleichung angeben lassen. cos( p q) ± tan p tanq = cos pcosq Nach (T-30) und (T-3) gilt cos p ± q = cos pcosq sin psinq 47

48 und damit wird unter Beachtung von»bronstein«, S. 80, (.88) ( ) cos p q cos pcosq ± sin p sinq = = ± tan p tanq cos pcosq cos pcosq Damit ist der Beweis erbracht. Formel (T-59) : ( + ) ( ) = sin p q sin p q sin p sin q Nach (TH-) gilt für die linke Seite ( p q) ( p q) ( p q p q)( p q p q) sin + sin = sin cos + cos sin sin cos cos sin () Werden in () auf der rechten Seite a = sin pcosq und b = cos p sinq gesetzt so folgt aus (AH-) sin p + q sin p q = sin pcos q cos psin q () Mit (TH-) ergibt sich für die rechte Seite von () sin p cos q cos p sin q = sin p sin q sin p sin q = sin p sin q Damit ist (T-59) bewiesen. Formel (T-59) : sin sin cos cos p q = ( q p ) 48

49 Nach»Bronstein«, S. 83, (.30) gilt sin cos p = ( p ) und eine entsprechende Beziehung für sin q. Damit folgt sin p sin q = cos p cos q cos q cos p = Damit ist der Beweis geschlossen. Formel (T-60) : ( + ) ( ) = cos p q cos p q cos p sin q Mit (TH-3) folgt ( p + q) ( p q) = ( p q p q)( p q + p q) cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin Wird a = cos pcosq und b = sin p sinq gesetzt, so folgt aus (AH-) ( + ) ( ) = cos p q cos p q cos pcos q sin p sin q Durch Anwenden von (TH-) ergibt sich cos pcos q sin psin q = cos p sin q cos p sin q = cos p cos psin q sin q + cos p sin q = cos p sin q Damit ist (T-60) bewiesen. 49

50 Formel (T-60) : cos cos cos sin ( p + q) ( p q) = ( q p) Nach (T-60) gilt ( + ) ( ) = cos p q cos p q cos p sin q Nach»Bronstein«, S. 83, (.30) und (.3) gilt q = ( p) cos p = + cos ( q) sin cos Damit folgt aus cos p sin q = cos p cos q cos p cos q + = + Bei Musil steht cos sin cos sin p q = ( p q ) Bemerkung: Diese Formel enthält zwei Fehler:. Das Vorzeichen des zweiten Terms auf der rechten Seite ist falsch (richtig + statt -).. Anstelle der korrekten Funktion cosq steht die falsche Funktion sinq. Formel (T-6): sin cos sin sin ( p + q) ( p q) = ( p + q) 50

51 Mit (TH-) und (TH-3) folgt ( p + q) ( p q) = ( p q + p q )( p q + p q) sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin = sin cos cos + sin sin cos + cos sin cos + cos sin sin p p q p q q p q q p p q = sin pcos p cos q + sin q + sinq cosq sin p + cos p = sin pcos p + sinq cosq Nach»Bronstein«, S. 8, (.96) gilt sin p cos p = sin p Mit dem entsprechenden Ausdruck für sinq cosq folgt sin pcos p + sinq cosq = sinp + sinq Damit ist (T-6) bewiesen. Formel (T-6): sin cos sin sin ( p q) ( p + q) = ( p q) Mit (TH-) und (TH-3) folgt für die linke Seite der Behauptung ( p q) ( p + q) = ( p q p q)( p q p q) sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin = sin pcos pcos q sin p sinq cosq cos p sinq cosq + sin q sin pcos p Für die rechte Seite folgt mit (TH-) ( p q) ( p + q) = p p ( q + q) q q ( p + p) sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos = sin p cos p sinq cosq Nach»Bronstein«, S. 8, (.96) gilt 5

52 sin p cos p = sin p sinq cosq = sin q Daher wird sin cos sin cos sin cos sin sin ( p q) ( p + q) = p p q q = ( p q) und der Beweis ist geschlossen. Formel (T-63): cosmu m m m m tan tan tan m u u u cos u m m 4 m 6 = tan u + tan u tan u = + + Dabei wird von der Beziehung m = 0 Gebrauch gemacht. Vorbemerkungen:. Im zweiten Term auf der rechten Seite verwendet Musil für die trigonometrische Funktion Tangens einmal die Abkürzung tang, die sonst in seinem Manuskript und daher auch in (T-63) nicht auftaucht.. Die Formel (T-63) findet sich in der von Musil verwendeten Notation für die Binomialkoeffizienten in einem Buch von Schlömilch 4. Dort erfolgt die Ableitung der Formel (T-63) durch n maliges Differenzieren des Ausdrucks 5 u / ( α β u ) + und anschließende Setzung ω arctan α / ( βu) =. Nachstehend wird eine elementare Ableitung der Formel (T-63) angegeben. 4 Schlömilch, Oskar, Literaturangabe in Abschnitt Einleitung zu dem Gesamtkommentar, vgl. dort Fußnote. 5 Schlömilch bezeichnet die unabhängige Variable mit x anstelle von u. 5

53 3. Es wird vermutet, dass Musil die Formel (T-63) aus dem in Ziffer. zitierten Buch von Schlömilch übernommen hat, weil auch dort das konstante Glied in der Schreibweise ( m ) 0 angegeben wird. Bei»Bronstein«, S. 8, (.09) findet sich folgende Formel (umgeschrieben auf die Notation von Musil (Variable u anstelle von x, Binomialkoeffizienten in der heute üblichen Schreibweise) m m m m m 4 4 m m 6 6 cosmu = cos u cos u sin u + cos u sin u cos u sin u () Einsetzen von () in die Behauptung liefert sofort cosmu m cos u m m m m m 4 4 m m 6 6 cos u cos u sin u + cos u sin u cos u sin u = m cos u () Werden die Terme im Zähler durch cos m u geteilt, so folgt cosmu m m m tan tan tan m cos u = u + u u + (3) Gl. (3) ist identisch mit der Behauptung. Bemerkung: Es ist zu beachten, dass (3) keine unendliche Reihe darstellt. Für gerade Zahlen m = k k =,, m / bricht sie mit dem Glied tan m u ab, für ungerade m = k + mit tan u = tan u. k m 53

54 Formel (T-64): sinmu m m 3 m 5 = tanu tan u tan u m + sin u 3 5 Analyse: Es lässt sich sehr einfach zeigen, dass diese Formel falsch ist. Wird nämlich der Grenzwert lim sin mu / sin m u gebildet, so ergibt sich der unbestimmte Ausdruck 0/0. u 0 Durch Anwenden der Regel von L Hospital (vgl. hierzu im Abschnitt Grenzwerte Formel (GA-) und im Abschnitt Differenzialquotienten Formeln (DA-0), (DA-6), und (DA-4) des vorliegenden Kommentars) ergibt sich sinmu d sin mu / du m cos mu lim = lim = lim u d sin u / du m u u m u 0 m 0 0 m sin u u sin cos Da cos0 = und sin0 = 0 sind, geht das Ergebnis gegen Unendlich ( ). Die Funktion tanu und ihre Potenzen können dieses Verhalten nicht repräsentieren, denn tan0 = 0 Erst recht nehmen alle Potenzen tan u k > 0 k = natürliche Zahl für k u = 0 den Wert 0 an ( tan 0 = 0 ). Für die Behauptung lässt sich die korrekte Formel wie folgt angeben. Bei»Bronstein«, S. 8, (.0) findet sich folgende Beziehung (umgeschrieben auf die hier verwendete Notation) m m m 3 3 m m 5 5 sinmu = mcos u sinu cos u sin u + cos u sin u () 3 5 Dividieren von () auf beiden Seiten mit sin m u liefert sinmu m m m sin u 3 5 m m 3 m 5 = mcot u cot u + cot u () Die Reihe auf der rechten Seite von () zeigt das richtige Verhalten für u 0, denn es gilt lim cotu. Die Reihe auf der rechten Seite von () bricht für ungerade u 0 54

55 Exponenten mit dem Term m Term cot u = m cotu. m m m 0 cot u = ab. Für gerade Exponenten lautet der letzte Abschlussbemerkungen zu (T-64). Es kann vermutet werden, dass Musil die folgende, bei Schlömilch 6 stehende Formel sinmu m m m tan tan tan m cos u = u u + u übernehmen wollte und ihm dabei ein Übertragungsfehler unterlaufen ist (Verwechslung von cos m u mit sin m u ). In diesem Fall wäre ihm ein allerdings folgenschwerer Übertragungsfehler unterlaufen.. Dass Musil den fundamentalen Fehler in seiner Formel (T-64) - Versagen für den Grenzübergang u 0 - nicht erkannt hat, zeigt, dass Musil - entgegen der häufig in der Sekundärliteratur geäußerten Meinung - kein Mathematiker war. Darauf hat der Verfasser 7 an anderer Stelle ausführlich hingewiesen. Abschließende Bemerkung zu den Formeln (T-63) und (T-64):. Schlömilch 8 schreibt zu der von ihm angegeben korrekten Formel (T-64), dass in ihr ein oft gebrauchter goniometrischer Satz liegt.. Für den Verfasser besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass Musil die beiden Formeln (T-63) und (T-64) von Schlömilch 9 übernommen hat. 3. Der Verfasser vermutet, dass Musil die beiden Formeln (T-63) und (T-64) erst nach der Niederschrift aller anderen trigonometrischen Formeln eingefügt hat. Hierfür sprechen die beiden folgenden Gründe: a) Diesen beiden Formeln hat Musil anders als bei allen anderen trigonometrischen Formeln keine Gleichungsnummern zugeordnet. b) Die Schrift der beiden Formeln ist deutlich kleiner als die der darüber stehenden, was ebenfalls für ein späteres Einfügen spricht. 6 Schlömilch, O., a. a. O., S. 7 7 Franz Gustav Kollmann: Robert Musil und die Mathematik, Akademie der Wissenschaften und der Literatur Mainz, Abhandlungen der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse, Nr., 007, S. 36f, 8 Schlömilch, a.a. O. S Schlömilch, a. a. O. S. 8 bzw. 7 55