Bisher standen Lagerreaktionen an Verbindungselementen verschiedener Bauteile im Vordergrund der Betrachtung.

Transkript

1 1.14 Schnittsten isher stnden Lgerrektionen n Verbindungseementen verschiedener uteie im Vordergrund der etrchtung. Mit dem Schnittprinzip wurden die dort wirkenden inneren Kr fte einer erechnung zugefu hrt. Ds Schnittprinzip erubt es jedoch, n jeder beiebigen Stee zu schneiden und die ddurch entstehenden Teisysteme zu betrchten. So werden uch die Kr fte und Momente, die n Schnittsteen innerhb des uteis wirken, berechenbr. Von M und Moritz ist ihr Hng zu bo sen Streichen, hier im id der Streich m Schneider o ck, bestens dokumentiert. Wo nun ist der Schnitt optimerweise nzubringen? Streiche soen Spß mchen und soen deshb mit wenig rbeit verbunden sein (uheitsprinzip). so wird m besten der Schwchpunkt des ken fu r die Schnittstee usgew ht. Diese Wh ht weiterhin den Vortei, dss ein keiner S geschnitt uch nicht so schne entdeckt wird und Schneider o ck in die e tppt! Die ru cke so uch erst brechen, wenn der Schneider o ck mo gichst weit vom Ufer entfernt ist, so sote er sich m besten bereits in der Mitte des ches befinden. Es stet sich bei der Viezh der edingungen uch sofort die rge, ob e diese edingungen einzuhten sind oder ob womo gich Kompromisse gemcht werden mu ssen. us unserer Sicht ist die ru cke ein ken und um den urschen weiter zu hefen, woen wir die estung n jeder Stee eines sochen kens in bh ngigkeit von der Position der estung durch eine Gewichtskrft bestimmen. 71

2 Schnittsten in ebenen ken Ein ken knn nders s ein Stb nicht nur in chsrichtung, sondern uch quer dzu bensprucht werden. ußerdem knn er sich verbiegen, wozu Momente notwendig sind. Die kenchse ist definiert s die Linie durch die Mittepunkte der ächenschwerpunkte. Liegen diese Mittepunkte in der Ebene der estung so hndet es sich um einen ebenen ken. ür den ebenen ken führt ein reischnitt n einer beiebigen Stee im ken dzu, dss wir wie bei einer Einspnnstee s Schnittrektionen sowoh zwei Krftkomponenten Längskrft L und Querkrft Q s uch ein Moment, hier iegemoment M b gennnt, vorsehen müssen. reischnitt Gesmtsystem Die reischnitte der kenstücke zeigen, dss die Schnittrektionen uch von den Lgerrektionen bhängen. In einem ersten Schritt werden übicherweise so diese Lgerrektionen bestimmt. y reischnitte kenstücke n den beiden Schnittufern im ken werden die Schnittrektionen definiert, wobei ds 3. Newtonsche Gesetz ctio=rectio berücksichtigt werden muss. Wir woen den ken wieder s strren Körper betrchten. Geichgewicht n den Teisystemen eifert die Schnittrektionen für 0 y Q() M b () Q() M b () L() (1.14.1) inz Linker reischnitt Rechter reischnitt L() = 0 : y = 0 : M = 0 : nog wird der < behndet. ei beknnten ufgerrektionen sind die Schnittrektionen us nur einem der beiden reischnitte eindeutig berechenbr. Dbei ist es für ds Ergebnis unerhebich, weches Teisystem herngezogen wird. Mn wäht dsjenige, weches den geringeren Rechenufwnd erfordert; hier für < ds inke, d es die Krft nicht epizit enthät. 72

3 Die Schnittrektionen sind für 0 < : (1.14.2) D ein Teisystem zur estimmung der drei Unbeknnten L(), Q() und M b () s unktion der ufgerkräfte und der estung usreicht, können wir us den sechs edingungen uch die ufgerrektionen beiten (sttt eine inz m Gesmtsystem durchzuführen) und die Konsistenz mit dem beknnten Ergebnis für ds Gesmtsystem vergeichen. (1.14.3) Die erste Zeie iefert unmittebr die Summe der Geichungen in der zweiten Zeie und die Summe der Geichungen der etzten Zeie (1.14.4) bzw. oder Wie erwrtet ist dieses Ergebnis identisch mit dem, weches mn us einer Geichgewichtsbetrchtung m Gesmtsystem erhten würde. s unktion der Krft usgedrückt, uten die Schnittrektionen für 0 < : (1.14.5) Ensprechend erhten wir für < : (1.14.6) 73

4 M b + + Wir überprüfen unser Ergebnis zusätzich n usgewähten Punkten. Wir wissen, dss wegen der Geenke n den Steen = 0 und = kein Moment eingeeitet wird. Die Schnittrektionen iefern entsprechend: Q (1.14.7) M b ( = 0) = 0 und M b ( = ) = 0 y = (-)/ = Q = / ußerdem wird für die Querkrft gnz richtig: (1.14.8) Q( = 0) = y und Q( = ) = M b,m n der Stee = wird die Krft eingeeitet. Entsprechend groß ist der Sprung der Querkrft: (1.14.9) Q( ) Q( = + δ, δ 0) = ( )/ / = Die Momentenverteiung dgegen ht keinen Sprung, weist ber wegen des ineren Verufs in beiden bschnitten bei = ein Mimum und eine Knickstee uf mit M b,m /4 3 /16 /8 α = rctn(m b,m /) ( ) 0 0 /4 /2 / ür weche Stee nimmt nun dieses iegemoment seinen größten Wert n? beitung der orme für ds Mimum nch der Position der Krft iefert ( ) mit ( ) Entsprechend nimmt der notwendige Sägeschnitt, der ds Versgen der rücke bewirken so, in seiner Länge für 0 zu. Dmit ist unsere nfängiche rgesteung voständig und ohne Ziekonfikt bentwortet: M und Moritz müssen die rücke genu in der Mitte nsägen, dnn ist der erforderiche Sägeschnitt m keinsten. Wenn die rücke überhupt bricht, dnn bei mimer estung. Die mime estung wird gerde dnn erreicht, wenn Schneider öck die Mitte der rücke betritt. Die rge, wie groß der Sägeschnitt usfen muss, knn so jedoch nicht bentwortet werden. Dzu ist eine ussge über die estigkeit des Hozes notwendig. Dies erfordert Methoden der estigkeitsehre. 74

5 Sttt die Geichgewichte der kenstücke zu betrchten, knn ds geiche Ergebnis uch uf nderem Wege erhten werden. Wird beispiesweise ds reischnittbid für ds rechte kenstück ufgezeichnet, so ist inks ds ufger und e nderen Kräfte und Momente, die uf dieses kenstück wirken, bgeschnitten worden. reischnitt rechtes kenstück Diese Lsten müssen nch der Vorussetzung, dss ds rechte kenstück vor und nch dem Schnitt diesebe estung erfährt, durch die Schnittrektionen genu ersetzt werden. Dies entspricht der Vorsteung, dss für sttische Äquivenz e im inken kenstück wirkenden Kräfte (und Momente) in den Schnitt verschoben werden müssen. In unserem sind dies nur die Krftkomponenten und y songe < ist. y Q() M b () L() ür erfogt die Verschiebung in Richtung ihrer Wirkungsine, für y dgegen um die Strecke pre zur Wirkungsinie, weshb ein Verstzmoment hinzugefügt werden muss. Die Roe des Verstzmomentes übernimmt ds Moment +M b n der Schnittstee. Die Schnittrektionen uten dnch für 0 < ( ) Übungen - estimmen sie mit der Methode der sttischen Äquivenz uch die Schnittrektionen für <! - Woh us ästhetischem Grund wote Wihem usch den Sägeschnitt nicht genu in der rückenmitte einzeichnen (oberes id). Wie ist ds Längenverhätnis zwischen zwei Sägeschnitten, die einm genu in der Mitte des kens und ein nderes M m Ort des Godenen Schnitts ngebrcht werden, wenn jeweis gerde ein Versgen der rücke eintreten so (homogenes Mteri konstnten Querschnitts vorusgesetzt)? 75

6 Erstes eispie zu Schnittsten: Krgbken s Krgbken wird ein einseitig eingespnnter ken mit einzener Krft m Ende bezeichnet. Im reischnitt sind -Koordinte und Schnittrektionen wikürich definiert. Ds Ergebnis utet: ( ) Ds iegemoment nimmt iner mit zu, sein Mimum ist bei = : ( ) ür = erhät mn die beknnten ufgerrektionen ( ) Lgepn inkes kenstück Q() L() M b () Q M b reischnitt ken insgesmt - + y M Übungen - uf dem id sind die Hozsprossen einer zweihomigen Obsteiter bgebidet. Diskutieren Sie die orm der Stufen! Wrum werden für die Sprossen keine zyindrische Rundhözer mit dem Durchesser der Stbmitte vermieden? - Wie soten die Stufen einer Einhomeiter, sogennnte Tiroer Steigtnne, ussehen, bei der die Sprossen rechts und inks von nur einem zentren Hom bgehen? 76

7 Zweites eispie zu Schnittsten: eidseitig überstehender symmetrischer ken mit symmetrischer estung ufgerektionen us reischnitt Gesmtsystem: ( ) reischnitte bei : b ( ) 0 < < -Richtung: y-richtung: reischnitt Gesmtsystem Moment in z-richtung ( ) < < + b y = = 0 = -Richtung: reischnitt bei Q() y-richtung: L() Moment in z-richtung M b () y = = 0 y = ( ) + b < < -Richtung: y = Q = + y-richtung: Moment in z-richtung - Q = - M b = = Kontroe des Ergebnisses: nschuung: Eine quittive Überprüfung knn erfogen, indem mn sich die Verbiegung des kens vorstet (bue iegeinie im untersten id). Dort, wo iegemomente den ken besten, wird er sich krümmen. Gedchte Verbiegung des kens so sote im gesmten kenbereich wie errechnet ein iegemoment uftreten. Nur n den Endpunkten verschwindet ds Moment: M b ( = 0) = 0, M b ( = ) = (2+b ) = 0 77

8 Vergemeinerung für beiebig verteite Lsten uf ebenen ken Um uns diesem Probem zu nähern, betrchten wir zunächst einen Krgbken mit mehreren Einzesten und ermitten die Querkrft und ds iegemoment n einer Stee, beispiehft zwischen den Kräften 4 und ξ 2 1 Krgbken unter der Wirkung mehrerer Einzesten Querkrft: Lgepn inkes kenstück ( ) iegemoment: ( ) 6 Q() L() M b () 2 1 Sind die Kräfte kontinuierich verteit, so gehen die Summen in Integre über. Wir vergemeinern ds vorstehende eispie für eine beiebige Lstverteiung über dem ken im nächsten Schritt. 78

9 Krgbken unter der Wirkung einer kontinuierich verteiten vriben Lst Vorgegeben ist eine -bhängige Streckenst p() n jeder Stee mit der Dimension N m. Drus errechnet sich für einen schmen Streifen ξ eine keine Krft ( ) = p(ξ) ξ Wenn wir die Strecke in n geich große bschnitte nch der Vorgbe = n ξ ufteien, können wir die i=1 ormen des vorstehenden eispies nutzen: ξ i Querkrft: ( ) iegemoment: ( ) Wir führen nun wie in der Integrrechnung übich den Grenzübergng n bzw. ξ 0 us und nutzen sttt der Summenzeichen ds Integrzeichen und sttt ds Differentisymbo d: Querkrft: ( ) iegemoment: ( ) Mit prtieer Integrtion können wir fogenden gemeinen Zusmmenhng beiten: M b () = ( ) Die Momentenverteiung erweist sich demnch s Integr über die Querkrftverteiung bzw. wird die Momentenverteiung nch der Lufkoordinte differenziert, ergibt sich die Querkrftverteiung. 79

10 terntiv woen wir soche Zusmmenhänge noch us einer Geichgewichtsbinz n einem differentieen keneement hereiten, für einen ken, der durch Längs- und Querkrftverteiungen, () bzw. p(), bestet wird. Kräftebinz horizont: Integrtion: Kräftebinz vertik: Q(+d) L(+d) p() L() Integrtion: M b (+d) Q() M b () Momentenbinz um : d Integrtion: Es geten so fogende Zusmmenhänge: ( ) ( ) differentie () = ± dl() d p() = ± dq() d integr L() = ± (ξ)dξ 0 Q() = ± p(ξ)dξ 0 ( ) p() = ± d2 M b () d 2 M b () = ± 0 ( ) p(ξ)dξ dξ ( ) Q() = ± dm b() d M b () = ± Q(ξ)dξ 0 Dbei soen die offengessenen Vorzeichen nzeigen, dss diese durch die getroffene Wh der Definition von Krft- und Momentenrichtung m Eement beeinfusst werden. Die hier vorgenommenen Definitionen führen offensichtich in en eziehungen zum positiven Vorzeichen. Diese Zusmmenhänge können genutzt werden, um die Konsistenz der Ergebnisse für Momentenbinz, Längs- und Querkrft zu überprüfen, fs diese unbhängig voneinnder erhten wurden. 80

11 Übungen - Überprüfen Sie, ob in den Lösungen der bisherigen eispiee der hier bgeeitete Zusmmenhng zwischen Moment und Querkrft bis uf Vorzeichenunterschiede zutrifft! - Wodurch sind die Vorzeichenunterschiede zu erkären? eispie: Krgbken mit konstnter Streckenst p() = p 0 = const ( ) -Richtung: y-richtung: Moment p 0 Kontroe: Q() L() M b () ( ) L() p 0 M b () Q() 2 M b,m = p 0 /2 Q m = p dm b /d = 0 Die ufgerrektionen bei müssen den Lsten bei = ds Geichgewicht hten. Übung - estimmen Sie die Schnittsten in einem ken mit konstnter Streckenst, und steen Sie die Schnittrektionen grfisch dr! p() = p 0 = const 81

12 Schnittsten in ebenen Rhmen Rhmen sind ken mit geknickter Mitteinie. Zur Lösung vereinbren wir in den beiden Rhmenbschnitten Lufkoordinten und definieren den positiven Richtungssinn der Schnittrektionen. ereich 0 < Längskrft: p 0 = const ( ) Querkrft: iegemoment Q(y) + L(y) y M b (y) Q(y) M b (y) Q() L() M b () + L() M b () Q() h L(y) ereich 0 < y h Längskrft: Querkrft: ( ) iegemoment n der rechtwinkigen Knickstee vertuschen Längskrft und Querkrft ihre Roen. Ds iegemoment wird weitergegeben. Übungen b - esimmen Sie die ufgerrektionen bei und! p 0 - estimmen Sie die Schnittrektionen in den drei Schenken des Rhmens! c 82

13 Schnittsten in Ween s Wee bezeichnet mn einen ken, der neben Längs-, Querkrft und iegemoment uch ein Moment in Richtung der kenchse ufnimmt. Ein soches Moment wird Torsionsmoment M t gennnt. Die beiden Lgepäne unten sind sttisch äquivent, fs für ds Torsionsmoment ( ) gesetzt wird. M t eispie: Kurbewee nch Skizze y Q= M b = Q= M b = y ( ) ereich 0 <, y = 0 y M t = ereich =, 0 y < Längskrft: Querkrft: iegemoment Torsionsmoment n der rechtwinkigen Knickstee wird ds iegmoment M b ( = ) = zu einem Torsionsmoment, ds dnn für e y konstnt beibt. 83

14 Übung: Gekröpfte Kurbewee nch Skizze - estimmen Sie für die drei bschnitte der rechtwinkig gekröpften Kurbewee jeweis Längsund Querkrft sowie iege- und Torsionsmoment in bhängigkeit von geeigneten Lufkoordinten. c b