Das neue Fließband der Auto AG

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1 Aweduge der Wirtschaftsmathematik ud dere Eisatz im Schuluterricht Jui 2004 Das eue Fließbad der Auto AG Schulmathematik i der Arbeitsablaufplaug Silvia Schwarze Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik

2 Gliederug: Das eue Fließbad der Auto AG. Das Awedugsproblem 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug Kombiatorik, Expoetielles Wachstum, Iverse Fuktioe 3. Lösug des Awedugsproblems 4. Ausblick auf das erweiterte Aufgabegebiet 5. Aschließed a de Vortrag: Übuge Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 2

3 . Das Awedugsproblem. Das Awedugsproblem Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 3

4 . Das Awedugsproblem Aufgabe: Plaug eies eue Fließbades für die Autoidustrie Gegebee techische Date: Feste Reihefolge ud Bearbeitugszeite der Arbeitsgäge Gesuchte Größe: Azahl der Arbeitsstatioe, Taktzeit Problem: Wartezeite a de Arbeitsstatioe lasse sich i der Regel icht verhider Statio 7 Statio 6 Statio 5 Statio 4 Ziel: Möglichst gleichmäßige Auslastug Statio 2 Statio der Arbeitsstatioe Statio 3 Bearbeitugsdauer [Miute] Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 4

5 . Das Awedugsproblem Verwedete Begriffe ud Variable Gegebe: Azahl der Arbeitsgäge (AG): Gesucht: Azahl der Statioe: k Bearbeitugszeit des AG i: b i Bearbeitugszeit a Statio j: s j Statio Statio 2 Taktzeit:T Zuordug Arbeitsgag Statio Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 5

6 . Das Awedugsproblem Wisseschaftliche Eiordug des Awedugsproblems: Produktiosplaug Taktische PP Fließbadabstimmug Strategische PP (lagfristig) Taktische PP (mittelfristig) Operative PP (kurzfristig) Detailliertes Produktiosprogramm Bereitstellugsplaug Ei-/Mehrproduktmodell Zuordugsrestriktioe Bearbeitugszeite Serielle/parallele Statioe Eifach- /Mehrfachbemaug Eiproduktmodelle Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 6

7 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik - Fuktioe Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 7

8 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik Kombiatorik: ) Bei gegebeer Azahl der Statioe: Wie viele Möglichkeite gibt es, die Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde? 2) Wie viele Möglichkeite gibt es, Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde, we die Azahl der Statioe frei wählbar ist? Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 8

9 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik ) Bei gegebeer Azahl der Statioe: Wie viele Möglichkeite gibt es, die Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde? Gegebe:, b i, k Gesucht: Zuordug Arbeitsgäge Statioe, T, s j Führt zum Begriff des Biomialkoeffiziete k 2) Wie viele Möglichkeite gibt es, Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde, we die Azahl der Statioe frei wählbar ist? Gegebe:, b i Gesucht: Zuordug Arbeitsgäge Statioe, k, T, s j Führt zum Begriff der Potezmege ud des expoetielle Wachstums Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 9

10 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik ) Bei gegebeer Azahl der Statioe: Wie viele Möglichkeite gibt es, die Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde? Gegebe: Azahl der AG: ; Azahl der Trestriche: k Gesucht: Azahl der Möglichkeite k Trestriche zwische de Arbeitsgäge zu ziehe oder: k Trestriche a Stelle zu positioiere Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 0

11 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik ) Bei gegebeer Azahl der Statioe: Wie viele Möglichkeite gibt es, die Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde? Oder: k Trestriche a Stelle zu positioiere Ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege (Biomialkoeffiziet) k (! ) ( k ) ( ) ( k ) = =!! ( ) ( ) ( 2) 2 ( k ) ( k ) ( k) ( k ) Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik

12 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik Herleitug: Ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege (Biomialkoeffiziet) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) = k k k 2 k 2 Eiführug vo geordeter Stichprobe ohe Zurücklege ud vollstädiger Permutatio zur Herleitug des Biomialkoeffiziete Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 2

13 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik Eiführug vo geordeter Stichprobe ohe Zurücklege ud vollstädiger Permutatio zur Herleitug des Biomialkoeffiziete. ( ) ( ) ( k ) Azahl geordeter Stichprobe = + = ( ) Azahl Permutatioe = k k 2 = k!! ( k)! Azahl geordeter Stichprobe Azahl Permutatioe = ( ) ( ) ( k ) k ( k ) 2 + = k Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 3

14 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik 2) Wie viele Möglichkeite gibt es, Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde, we die Azahl der Statioe frei wählbar ist? Gegebe:, b i Gesucht: Zuordug Arbeitsgäge Statioe, k, T, s j =? = 2 Herleitug dieser Gleichug mit Hilfe des Pascalsche Dreiecks Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 4

15 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik 2) Wie viele Möglichkeite gibt es, Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde, we die Azahl der Statioe frei wählbar ist? Eiführug des Pascalsche Dreiecks Zusammehag Pascalsches Dreieck Biomialkoeffiziete Ausutzug der Eigeschafte des Pascalsche Dreiecks für Herleitug der Summe der Biomialkoeffiziete Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 5

16 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik 2) Wie viele Möglichkeite gibt es, Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde, we die Azahl der Statioe frei wählbar ist? = 0 2? = ( - ) - te Zeile des Pascalsche Dreiecks Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 6

17 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik Ausutzug der Eigeschafte des Pascalsche Dreiecks für Herleitug der Summe der Biomialkoeffiziete: Zeilesumme etspreche Summe vo Biomialkoeffiziete Zeilesumme verdoppel sich Zeile 0 Zeile 2 Zeile Zeile Zeile Zeile Zeile Summe der Zeileeiträge = 2 0 = 2 = 2 2= 2 0 = 2 2= 2 2= 2 2 = 4 2= 2 2= = 8 2= 2 2= = 6 2= 2 2= 2 = Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 7

18 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik = 0 k 2 k ist die Azahl der Möglichkeite, k-elemetige Teilmege aus eier -elemetige Mege zu etehme. 2 ist die Azahl der Möglichkeite, eie beliebig große Teilmege aus eier -elemetige Mege zu etehme. Die Summe der Biomialkoeffiziete ergibt die Mächtigkeit der Potezmege. Die Potezmege ist die Mege aller Teilmege eier -elemetige Mege. Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 8

19 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Kombiatorik 2) Wie viele Möglichkeite gibt es, Arbeitsgäge de Statioe zuzuorde, we die Azahl der Statioe frei wählbar ist? Expoetielles Wachstum der Fuktio 2 - Durchprobiere für reale Probleme icht möglich Etwicklug geeigeter Suchstrategie Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 9

20 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Expoetielles Wachstum der Zuordugsmöglichkeite Arbeitsgag Statio Eischräkug der Lösugsmege ist wüscheswert Aufgabe: Fide sivolle Schrake für die Taktzeit ud die Azahl der Statioe Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 20

21 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Zusammehäge durch Fuktioe ausdrücke: Taktzeit T = max j=,, k s j Badwirkugsgrad BWG = b + b + + b + b 2 T k Bsp: = k = 3 T = 23 Summe b i : BWG = 0,768 T = k 69 Statio 3 Statio 2 Statio Bearbeitugsdauer [Miute] Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 2

22 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Aussage über de Badwirkugsgrad: BWG = b b b b k T k = s + s + + s + s max j=,, k s j k k BWG s = T j BWG = tritt ei, we gilt: j d.h. alle Statioe gleich ausgelastet sid ud damit keie Wartezeite auftrete. Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 22

23 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Zusammehag Taktzeit T ud Statiosazahl k: Nutze BWG um k i Abhägigkeit vo T darzustelle: kostat b+ b2 + + b + b BWG = k 2 Statiosazahl k 200 T k b + b + + b + b T Taktzeit T Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 23

24 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Zusammehag Taktzeit T ud Statiosazahl k: Für feste BWG, z.b. BWG = ergibt sich eie umgekehrt proportioale Fuktio: k b+ b2 + + b + b = T BWG k f( x) = y= k kostat x y k > 0 k < 0 y x x Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 24

25 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Schrake für Taktzeit T ud Statiosazahl k: Gibt ma sich für eie Produktioszeitraum Z eie Midestproduktiosmege vor, lasse sich Aussage über T ud k treffe: Hohe Taktzeit gerige Produktiosmege (obere Schrake für T) T max Z = Pmi Gerige Statiosazahl hohe Taktzeit (utere Schrake für k) k mi b + b + + b + b 2 = Tmax Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 25

26 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Schrake für Taktzeit T ud Statiosazahl k: Gibt ma sich für eie Produktioszeitraum Z eie Midestproduktiosmege vor, lasse sich Aussage über T ud k treffe: Nicht mehr Statioe als Arbeitsgäge (obere Schrake für k) kmax = T immer größer als größte Bearbeitugszeit ud: Gerige Taktzeit hohe Statiosazahl (utere Schrake für T) b + b2 + + b + b Tmi = max max bi, i=,, kmax Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 26

27 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Schrake für Taktzeit T ud Statiosazahl k: obere Schrake für T T max Z = Pmi obere Schrake für k kmax = utere Schrake für k k mi b + b + + b + b 2 = Tmax utere Schrake für T T mi b + b + + b + b 2 = max max bi, i=,, kmax Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 27

28 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Schrake für Taktzeit T ud Statiosazahl k: k Statiosazahl Taktzeit T Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 28

29 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Bisher verachlässigt: Gazzahligkeit der Lösug k Statiosazahl Taktzeit T Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 29

30 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Bisher verachlässigt: Gazzahligkeit der Lösug Problem: Möglicherweise gibt es keie gazzahlige Lösug mit BWG =, d.h. es liegt keie gazzahlige Lösug auf der Kurve k = b + b + + b + b 2 T Aufgabe: Suche gazzahlige Lösug für die BWG maximal ist BWG als Parameter der Fuktio Fuktioeschar k = b + b + + b + b 2 T BWG Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 30

31 2. Die Schulmathematik i der Problemstellug - Fuktioe Bisher verachlässigt: Gazzahligkeit der Lösug k Statiosazahl BWG = 0, BWG = 0,9 BWG = Taktzeit T Fuktioeschar für ausgewählte Parameter Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 3

32 3. Die Lösug des Awedugsproblems 3. Die Lösug des Awedugsproblems Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 32

33 3. Die Lösug des Awedugsproblems Problem: Nicht jede gazzahlige Lösug (T k) lässt sich auch realisiere: Bsp: = T = 9 k = 6 BWG=53/54=0,98 Statio 7 Statio 6 Statio 5 Statio 4 Statio 3 Statio 2 Statio Bearbeitugsdauer [Miute] Grud: Eizele Bearbeitugszeite bisher icht berücksichtigt. Dere Aufteilug ka icht beliebig vorgeomme werde. Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 33

34 3. Die Lösug des Awedugsproblems Algorithmische Lösug des Problems i zwei Schritte ) Bestimmug der zulässige Lösuge 2) Teste der zulässige Lösug auf Realisierbarkeit ud Ermittlug der optimale Lösug Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 34

35 3. Die Lösug des Awedugsproblems Algorithmische Lösug des Problems i zwei Schritte ) Bestimmug der zulässige Lösuge Nutzug der Schrake T max, T mi, k max, k mi Nutzug vo BWG 2) Teste der zulässige Lösug auf Realisierbarkeit ud Ermittlug der optimale Lösug Sortierug zulässiger Lösuge ach BWG absteiged Prüfug der Realisierbarkeit Stop bei erster realisierbarer Lösug Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 35

36 3. Die Lösug des Awedugsproblems ) Zulässige Lösuge 2) Realisierbarkeit ud optimale Lösug Algorithmus X. Bestimmug der zulässige Pukte Iput: Bearbeitugszeite b i, Midest-Produktiosmege P mi, Zeitrahme Z Output: Zulässige Pukte ListeZP Z T max := Pmi If T max = 0 the Output: Stop b+ b2 + + b + b k mi := Tmax k max := Die maximale Produktioszeit je Schritt beträgt 0, d.h., das Problem ist icht lösbar. b + b2 + + b + b T mi := max max bi, i=,, kmax i := T mi j := k mi ListeZP := leere Mege While j k max do While i T max do b+ b2 + + b + b If i j The füge ListeZP folgedes Elemet hizu: b+ b2 + + b + b i, j, i j i := i + Ed While i j := j + i := T mi Ed While j If ListePZ = ib k i l i k Algorithmus X.2 Teste der zulässige Pukte Iput: Bearbeitugszeite b i, Zulässige Pukte ListeZP Output: zulässiger Pukt mit bestem Badwirkugsgrad b + b2 + b + b BWG = i j Sortiere ListeZP absteiged ach BWG (3. Elemet der Listeeiträge) i := 0 While i < Läge(ListeZP) do i := i + Pukt := ListeZP[i] ZählerAG := j := 0 While j < Pukt[2] do j := j + summe := 0 ok := While ok = ud ZählerAG do If summe+b ZählerAG Pukt[] The summe := summe + b ZählerAG ZählerAG := ZählerAG + Else ok := 0 Ed While ok If ZaehlerAG = + The Stop. Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 36

37 3. Die Lösug des Awedugsproblems Zulässige Lösuge: Algorithmus - Iput: Bearbeitugszeite, Midestproduktiosmege, Zeitrahme - Bestimmug der Schrake - Äußere While-Schleife: Betrachte die erlaubte Statiosazahle - Iere While-Schleife: Betrachte die erlaubte Taktzeite Ermittle Badwirkugsgrad für Kombiatio (T k) - If-Abfrage: BWG Kombiatio (T k) als zulässige Lösug speicher - Output: Liste der zulässige Lösuge (T k) mit Badwirkugsgrad Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 37

38 3. Die Lösug des Awedugsproblems Realisierbarkeit der Lösuge: Algorithmus - Iput: Bearbeitugszeite, Liste der zulässige Lösuge - Sortiere zulässige Lösuge ach absteigedem Badwirkugsgrad - Äußere While-Schleife: Betrachte die zulässige Lösuge - Mittlere ud iere While-Schleife: Erzeuge Ablaufpla: Erzeuge solage eue Statioe ud fülle diese bis zur festgelegte Taktzeit, bis alle Arbeitsgäge verbraucht sid. - If-Abfrage: Wird gegebee Statiosazahl eigehalte realisierbare Lösug, Programm-Ede Bei Überschreitug der Statiosazahl betrachte ächste zulässige Lösug - Output: Lösug Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 38

39 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 39

40 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Alterative i der Zielstellug: - Miimierug der Statiosazahl bei gegebeer Taktzeit T - Miimierug der Taktzeit bei gegebeer Statiosazahl - Miimierug der Summe der Leerzeite - Möglichst gleichmäßige Auslastug -... L= T k b i= i Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 40

41 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Alterative i der Zielstellug: Miimierug der Statiosazahl bei gegebeer Taktzeit T 0,3 8 Leerzeiteateil (%) 0,25 0,2 0,5 0, 0, Azahl Statioe Leerzeitateil Statiosazahl Taktzeit 0 Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 4

42 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Miimierug der Statiosazahl bei gegebeer Taktzeit T Formulierug als Lieares Programm Miimiere k max j= i= k max k max l= l x l x = i=,, ij x b T j =,, k ij i max pj j= j= k j x j x p< q qj x ij = 0 max AG i läuft auf Statio sost j xij { } 0, i, j Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 42

43 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Maximierug des Badwirkugsgrades k Maximiere k max l= max j= i= k max l x = k l b + + b T k x = i=,, ij x b T j =,, k ij i max pj j= j= x ij k j x j x p< q { } 0, i, j qj Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 43 max

44 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Stochastische Bearbeitugszeite Störuge oder ugleichmäßige Arbeitsgeschwidigkeit des Persoals Abweichuge i de Bearbeitugszeite Aahme: Normalverteilte Bearbeitugszeite Gegebe: Variaz, Erwartugswert b ( ) ~ N µ, σ i i i Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 44

45 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Stochastische Bearbeitugszeite b ( ) ~ N µ, σ i i i x ij AG i läuft auf Statio = 0 sost j s = xb E ( s ) j = x ijµ i j ij i i= Var s i= ( ) 2 j xijσ i = i= Aahme: stochastische Uabhägigkeit Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 45

46 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Stochastische Bearbeitugszeite b ( ) ~ N µ, σ i i i s ( ( ) ( ) ) s ~ N E s, Var s j j j ( ) ( ) j α j E s + y Var s T = xb j ij i i= Mit: y -α (-α)-quatil der Stadardormalverteilug ( ( ) ( ) ) j j j P s E s + y Var s α α Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 46

47 4. Ausblick: Erweitertes Aufgabegebiet Lieares Programm mit stochastische Bearbeitugszeite Miimierug der Statiosazahl bei gegebeer Taktzeit T k max Miimiere l x k max j= l= l x = i=,, ij ( ) ( ) j α j E s + y Var s T j =,, k k max max max pj j= j= xij k j x j x p< q { } qj 0, i, j Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 47

48 5. Übuge 5. Übuge zu der Aufgabestellug Silvia Schwarze, Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 48