Numerisches Programmieren (IN0019)
|
|
|
- Käthe Raske
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Numerisches Progrmmieren (IN0019) Frnk R. Schmidt Winter Semester 2016/ Qudrtur Qudrtur 3 Motivtion Integrtion (Beispiel) Allgemeine Form Klssische Qudrtur 7 Mittelpunktregel Trpezregel Qudrtur mit Hilfe von Interpoltion Mittelpunktsregel und Trpezregel Simpsonregel / Keplersche Fssregel Fehlerbschätzung Polynome und Simpsonregel Zusmmenfssung und Ausblick Sklrprodukte 16 Sklrprodukte (Wdh.) Sklrprodukte
2 Legendre-Polynome Rekursion Term-Rekursion Legendre-Polynome Guß-Qudrtur 23 Guß-Qudrtur Optimlität der Guß-Qudrtur Gewichte der Guß-Qudrtur Guß-Qudrtur uf r 1;1s Nive Integrtion (I 1 ) Guß-Qudrtur (I 1 ) Simpsonregel (I 2 ) Guß-Qudrtur (I 2 ) Vorteile und Nchteile Gewichtete Sklrprodukte Term-Rekursion Guß-Tschebyscheff-Qudrtur Romberg-Integrtion 36 Zusmmengesetzte Qudrtur Extrpoltion Romberg-Integrtion Romberg-Integrtion (Beispiel)
3 6. Qudrtur 2 / 40 Qudrtur 3 / 40 Motivtion Bei der Interpoltion einer Funktion f: R Ñ R sind wir dvon usgegngen, dss f nur für gewisse Stützstellen x 0 ă... ă x n beknnt ist. Im Folgenden wollen wir eine Funktion f: r;bs Ñ R n Stützstellen x 0 ă... ă x n so uswerten, dss wir ds Integrl Ipfq : möglichst gut pproximieren. Eine erste nive Vorgehensweise ergibt sich us folgender Gleichung ż b fpxqdx Ipfq lim nÿ nñ8 i 0 fpx i q n x i ` ipb q n IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 4 / 40 3
4 Integrtion (Beispiel) y fpx 1 q fpx 0 q b x Für die Funktion fpxq expp x 2 q ergibt sich lso (für 1 und b 1) Ipf q « fpx 0 q `fpx 1 q 1 « ε rel «8.42% IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 5 / 40 4
5 Allgemeine Form Um eine verbesserte Approximtion zu finde, wollen wir folgende Qudrturformel betrchten I n pfq nÿ fpx i q w i Die Prmeter, die wir wählen können, sind die n `1 verschiedenen Stützstellen x i sowie die n `1 Gewichte w i. i 0 Beide Ausdrücke Ipfq und I n pfq sind für beliebige stetige Funktionen f: r;bs Ñ R berechenbr. Außerdem sind diese Ausdrücke linere Funktionle, d.h. für f,g P C 0 prq und α,β P R gilt Ipα f `β gq α Ipfq `β Ipgq I n pα f `β gq α I n pfq `β I n pgq IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 6 / 40 5
6 Klssische Qudrtur 7 / 40 Mittelpunktregel Sind die Stützstellen x i äquidistnt über ds Intervll r,bs verteilt, so nennt mn die Qudrtur Newton-Cotes-Formeln. Ist x 0 und x n b, so redet mn von geschlossenen, ndernflls von offenen Newton-Cotes Formeln. Bei der Mittelpunktregel interpoliert mn die Funktion f n der Stelle `b 2. Ds heißt wir ersetzen fpxq durch ds interpolierende Polynom vom Grd 0: ż b ˆ `b I 0 pfq f dx 2 ˆ `b pb qf 2 Ds heißt bei der Mittelpunktregel ist n 0 und wir hben w 0 b x 0 `b 2. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 8 / 40 6
7 Trpezregel Bei der Trpezregel interpoliert mn die Funktion f zwischen und b. Ds heißt wir ersetzen fpxq durch ds interpolierende Polynom vom Grd 1: Ds heißt bei der Trpezregel ist n 1 und wir hben ż b x pfpbq fpqq `bfpq fpbq I 1 pfq dx b 1 2 pb 2 2 q pfpbq fpqq b ` pb qrbfpq fpbqs b 1 pp `bq pfpbq fpqqq ` rbfpq fpbqs 2 fpq `fpbq pb q 2 w 0 w 1 b 2 x 0 x 1 b. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 9 / 40 7
8 Qudrtur mit Hilfe von Interpoltion Wenn wir Stützstellen x 0 ă... ă x n wählen, erhlten wir ds eindeutige Interpoltionspolynom mit Hilfe der Lgrngedrstellung, d.h. nÿ p n pxq fpx i ql i pxq Dmit erhlten wir eine Qudrtur mittels w i Denn es gilt wegen der Linerität I n pfq ż b i 0 ż b p n pxq L i pxqdx nÿ fpx i q w i IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 10 / 40 i 0 8
9 Mittelpunktsregel und Trpezregel Für n 0 und x 0 `b 2 erhlten wir ws gerde zur Mittelpunktsregel führt. Für n 0 und x 0 und x 1 b erhlten wir L 0 pxq 1 w 0 ż b L 0 pxqdx b, L 0 pxq b x b L 1 pxq x b w 0 w 1 ż b ż b L 0 pxqdx b 2 L 1 pxqdx b 2, ws gerde zur Trpezregel führt. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 11 / 40 9
10 Simpsonregel / Keplersche Fssregel Für n 2 sowie x 0, x 1 `b 2 und x 2 b erhlten wir mit der Nottion c x 1 und h c x 0 x 2 x 1 gerde L 0 pc `xq x2 hx 2h 2 w 0 L 1 pc `xq x2 h 2 h 2 w 1 L 2 pc `xq x2 `hx 2h 2 w 2 ż h hl 0 pc `xqdx h 3 ż h hl 1 pc `xqdx 4h 3 ż h hl 2 pc `xqdx h 3 Dies führt zur Simpsonregel und wir hben I 2 pfq b 6 ˆ fpq `4f ˆ `b 2 `fpbq IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 12 / 40 10
11 Fehlerbschätzung Um den Fehler bei der Qudrturformel bschätzen zu können, erinnern wir uns n folgendes Fehlerbschätzung für Interpoltionen fpxq p n pxq f pn`1q pξq pn `1q! px x 0q... px x n q ξ P r;bs Definieren wir M : mx ξpr;bs ˇˇf pn`1q pξqˇˇ, so gilt wegen x xi ď b gerde Ipfq I n pfq ď ż b M pn `1q! pb qn`1 dx M pb qn`2 pn `1q! Dies führt dzu, dss Qudrturformeln, die Polynome vom Grd n benutzen, für Polynome vom Grd n exkte Lösungen liefern. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 13 / 40 11
12 Polynome und Simpsonregel Für die Monome p n pxq x n gilt gerde Ipp n q Wir wissen, dss die Simpsonregel dies exkt berechnen sollte, flls n ď 2 gilt: ż b x n dx bn`1 n`1 n `1 I 2 pp 0 q b b r1 `4`1s Ipp 0 q 6 1 I 2 pp 1 q b 6 r `2p `bq `bs b2 2 2 I 2 pp 2 q b 6 r2 ` p 2 `2b `b 2 q `b 2 s b3 3 3 I 2 pp 3 q b 6 r3 ` 1 2 p3 `3 2 b `3b 2 `b 3 q `b 3 s b4 4 4 Ipp 1 q Ipp 2 q Ipp 3 q IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 14 / 40 12
13 Zusmmenfssung und Ausblick Jede Qudrturformel I n, die uf der Lgrnge-Drstellung beruht, berechnet ds Integrl Ipfq exkt, flls f P Π n. Wir können die Stützstellen so wählen, dss die Qudrturformel I n uch für f P Π n`k noch gilt. Ds Ziel ist es, k möglichst groß zu wählen. Die Simpsonregel berechnet Ipfq exkt für f P Π 3, d.h. k 1. Die Mittelpunktregel berechnet Ipfq exkt für f P Π 1, d.h. k 1. Die Guß-Qudrtur knn k n `1 wählen, d.h. wir können z.b. zwei Stützstellen so wählen, dss I 1 pfq Ipfq für lle f P Π 3 gilt. Außerdem werden wir sehen, dss es für jede Qudrtur I n ein Polynom f P Π 2n`2 gibt, so dss I n pfq Ipfq, d.h. mn knn die Guß-Qudrtur ls optimle Qudrtur interpretieren. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 15 / 40 13
14 Sklrprodukte 16 / 40 Sklrprodukte (Wdh.) Wir htten bereits gesehen, dss die stetigen Funktionen oder die Polynome einen R-Vektorrum beschreiben, d.h. mn knn solche Funktionen ddieren oder mit einem Sklr λ P R multiplizieren und erhält wieder eine stetige Funktion bzw. ein Polynom. Als nächstes wollen wir ein Sklrprodukt für Funktionen definieren. Sei V ein R-Vektorrum. Dnn nennen wir eine Abbildung x, y : V ˆ V Ñ R ein Sklrprodukt, wenn Folgendes gilt xαx `βy,zy α xx,zy `βxy,zy xx, αy ` βzy α xx, yy ` β xx, zy xx, yy xy, xy xx,xy ě0 xx,xy 0 ôx 0 (Liner in der ersten Komponente) (Liner in der zweiten Komponente) (Symmetrisch) (Positiv-Definit) IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 17 / 40 14
15 Sklrprodukte Betrchten wir Funktionen us C 0 pr,bsq, d.h. stetige Funktionen f,g: r,bs Ñ R, so lässt sich wie folgt ein Sklrprodukt definieren xf,gy : ż b fpxq gpxqdx Mn knn leicht sehen, dss dieser Ausdruck liner in f und in g ist. Die Symmetrie folgt us der Kommuttivität des Produkts. Die Positiv-Definitheit folgt us der Stetigkeit der Funktionen. Mit Hilfe des Sklrproduktes knn mn von orthogonlen Funktionen sprechen. Zum Beispiel sind sinp q,cosp q P C 0 r π,πs orthogonl zueinnder: ż π ż π j d 1 xsin,cosy sinpxqcospxqdx dx 2 sinpxq2 dx 0 π IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 18 / 40 π 15
16 Legendre-Polynome Im Folgenden wollen wir eine Orthogonlbsis von Polynomen finden. Wir wollen lso Polynome P 0,P 1,... finden, so dss Folgendes gilt Diese Polynome heissen Legendre-Polynome. n 1 ÿ P n x n ` n,i x i i 0 xp n,qy P Π n 1 Hierzu reicht es ber, dss xp n,p i y 0 für lle i ă n gilt, d die vorherigen P i j bereits eine Bsis von Π n 1 bilden. Insbesondere knn mn P n wie folgt drstellen n 3 ÿ P n px `AqP n 1 `BP n 2 ` C i P i IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 19 / 40 i 0 16
17 Rekursion Die Koeffizienten von P n px `AqP n 1 `BP n 2 ` řn 3 i 0 C ip i lssen sich mit Hilfe von Sklrprodukten berechnen. Für j ă n 2 gilt 0! n 3 ÿ xp n,p j y xp n 1, px `AqP j y `BxP n 2,P j y ` C i xp i,p j y C j xp j,p j y i 0 Dmit sind lle C i 0 und P n hängt nur von P n 1 und P n 2 b: 0 xxp n 1,P n 1 y `A xp n 1,P n 1 y ô A xxp n 1,P n 1 y xp n 1,P n 1 y 0 xxp n 1,P n 2 y `BxP n 2,P n 2 y ô B xp n 1,P n 1 y xp n 2,P n 2 y IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 20 / 40 17
18 3-Term-Rekursion Insgesmt erhlten wir lso die folgende 3-Term-Rekursion für Polynome, die uf r;bs definiert sind: P 0 1 P n px `AqP n 1 `BP n 2 P 1 x `b 2 A xxp n 1,P n 1 y xp n 1,P n 1 y B xp n 1,P n 1 y xp n 2,P n 2 y Insbesondere bedeutet ds für Polynome, die uf r 1;1s definiert sind: P 0 1 P 1 x P 2 x P 3 x x IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 21 / 40 18
19 Legendre-Polynome y P 1 P 3 x P 2 Wir werden sehen, dss uns die Nullstellen dieser Polynome die Stützstellen der Guß-Qudrtur liefern werden. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 22 / 40 19
20 Guß-Qudrtur 23 / 40 Guß-Qudrtur Seien x 0,...,x n die n `1 Nullstellen des Legendre-Polynoms P n`1. Dnn wird ddurch die Guß-Qudrtur definiert nÿ I n pfq fpx i q w i Diese Qudrtur ist exkt für lle q P Π n. Weiter gibt es für jedes p P Π 2n`1 nch Polynomdivision mit Rest folgende Drstellung i 0 p q P n`1 `r q,r P Π n Dmit erhlten wir Ippq xq,p n`1 y `Iprq Iprq nÿ I n ppq qpx i qp n`1 px i qw i `I n prq I n prq Iprq i 0 IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 24 / 40 20
21 Optimlität der Guß-Qudrtur Wir hben gesehen, dss die Guß-Qudrtur I n für lle q P Π 2n`1 exkt ist. Wir wollen zeigen, dss keine Qudrtur lle q P Π 2n`2 exkt integrieren knn. Sei hierzu I n eine beliebige Qudrtur mit den Stützstellen x 0 ă... ă x n. Wir wählen nun fpxq : ś n i 0 px x iq 2 P Π 2n`2. Hierfür gilt nun Ipfq I n pfq ż b fpxqdx ą 0 nÿ w i i 0 nź px i x j q 2 0 j 0 Ds heißt jede Qudrtur I n knn bestenflls die Polynomklsse exkt integrieren, die die Guß-Qudrtur integrieren knn. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 25 / 40 Gewichte der Guß-Qudrtur D die Guß-Qudrtur I n für lle q P Π 2n`1 exkt ist, ist sie uch exkt für Q i : P n`1 x x i P n P Π 2n : (x 0 ă... ă x n sind die Nullstellen von P n`1 ) I n pq i q nÿ w j Q i px j q w i Pn`1px 1 i qp n px i q j 0 D P n`1 x x i ls führenden Koeffizienten gerde 1 ht, hben wir die Drstellung P n`1 x x i P n `R, wobei R P Π n 1 und wir erhlten: IpQ i q xp n,p n y ` xp n,ry xp n,p n y Somit erhlten wir lso w i xp n,p n y P 1 n`1 px iqp n px i q 21
22 IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 26 / 40 22
23 Guß-Qudrtur uf r 1; 1s Für n 0 hben wir P 1 x, x 0 0 und die Guß-Qudrtur I 0 wird zu Ds ist genu die Mittelpunktregel. Für n 1 hben wir P 2 x 2 1 3, x 0,1 b 1 3 und die Guß-Qudrtur I 1: b Für n 2 hben wir P 2 x x, x 3 0,2 5, x 1 0 und I 0 pfq 2 fp0q c c 1 1 I 1 pfq f `f ` 3 3 I 2 pfq 5 c 3 9 f 5 ` 8 9 fp0q ` 5 9 f ` IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 27 / 40 c
24 Nive Integrtion (I 1 ) y fpx 1 q fpx 0 q b x Für fpxq expp x 2 q ergibt sich nch der niven Qudrtur I 1 für ş 1 1 Ipfq « I 1 pfq « ε rel «8.42% IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 28 / 40 24
25 Guß-Qudrtur (I 1 ) y fpx 0 q fpx 1 q b x Für fpxq expp x 2 q ergibt sich nch der Guß-Qudrtur I 1 für ş 1 1 Ipfq « I 1 pfq « ε rel «4.06% IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 29 / 40 25
26 Simpsonregel (I 2 ) y fpx 1 q fpx 0 q fpx 2 q b x Für fpxq expp x 2 q ergibt sich nch der Simpsonregel I 2 für ş 1 1 Ipfq « I 2 pfq « ε rel «5.69% IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 30 / 40 26
27 Guß-Qudrtur (I 2 ) y fpx 1 q fpx 0 q fpx 2 q b x Für fpxq expp x 2 q ergibt sich nch der Guß-Qudrtur I 2 für ş 1 1 Ipfq « I 2 pfq « ε rel «0.34% IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 31 / 40 Vorteile und Nchteile Für festes n ergibt sich mit der Guß-Qudrtur ein optimles Ergebnis für lle Polynome p P Π 2n`1. Flls ds Resultt nicht gut genug ist, sollte mn n erhöhen. Ddurch werden sich ber lle Stützstellen ändern, d.h. es müssen lle Stützstellen neu usgewertet werden. Dieser Effekt knn bgemildert werden, indem mn n in jedem Schritt verdoppelt. Mn ht dnn mximl doppelt so viele Stützstellen usgewertet, wie nötig wären. Wenn mn die Guß-Qudrtur dynmisch benutzen möchte, müssen Nullstellen von Polynomen hohen Grdes berechnet werden. Dies ist im Allgemeinen recht schwierig. Dieses Problem knn überwunden werden, wenn wir die orthogonlen Polynome bzgl. eines nderen Sklrprodukts berechnen. 27
28 IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 32 / 40 28
29 Gewichtete Sklrprodukte Ist eine Funktion ϕ: r;bs Ñ R` gegeben, so können wir ds bzgl. ϕ gewichtete Sklrprodukt definieren xf,gy ϕ ż b f pxqgpxqϕpxq dx Dmit läßt sich eine Guß-Qudrtur I n beschreiben, die für jedes Polynom p P Π 2n`1 ds Integrl ş b ppxqϕpxqdx exkt berechnet. Von besonderem Interesse ist der folgende Fll 1 b 1 ϕpxq 1? 1 x 2 Auch hierfür lässt sich eine Orthogonlbsis berechnen. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 33 / 40 29
30 3-Term-Rekursion Wir hben die folgende 3-Term-Rekursion für die Bsispolynome: P 0 1 P 1 x P n px `AqP n 1 `BP n 2 für A xxp n 1,P n 1 y ϕ xp n 1,P n 1 y ϕ B xp n 1,P n 1 y ϕ xp n 2,P n 2 y ϕ Mn knn zeigen, dss P 2n gerde und P 2n`1 ungerde Funktionen sind. Dmit ist A 0 und wir hben P n xp n 1 xp n 1,P n 1 y ϕ xp n 2,P n 2 y ϕ P n 2 Weiter knn mn zeigen, dss die 3-Term-Rekursion zur Rekursionsformel der Tschebyscheff-Polynome führt. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 34 / 40 30
31 Guß-Tschebyscheff-Qudrtur Wir hben lso P n 1 2 n cos `pn `1q cos 1 pxq ˆ2i `1 x i cos 2n `2 π w i xp n 1,P n 1 y ϕ P 1 npx i qp n 1 px i q Die Guß-Tschebyscheff-Qudrtur zur Berechnung von ş 1 1fpxqdx ist lso Sie ist exkt für f, die sich ls f I n pfq π n `1 nÿ f i 0 p? 1 x 2 für p P Π 2n`1 drstellen lssen. π n `1 ˆ ˆ2i `1 ˆ2i `1 cos 2n `2 π sin 2n `2 π IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 35 / 40 31
32 Romberg-Integrtion 36 / 40 Zusmmengesetzte Qudrtur Mit Hilfe jeder Qudrtur I n knn mn eine zusmmengesetzten Qudrtur definieren (h b k ): Ipfq ż b h Wir betrchten hier lso die (recht ungenue) Trpezregel. fpxqdx kÿ i 1 ż `h ż b fpxqdx `... ` fpxqdx `pk 1qh fp ` pi 1q hq `fp `i hq 2 : T f phq Die wesentliche Idee der Extrpoltion ist die Euler-Mclurin-Summe, die mn ls komplizierte Erweiterung der Tylor-Entwicklung verstehen knn. Wir benutzen hier lediglich folgendes Ergebnis (τ i hängen nur von,b,f b) T f phq Ipfq `τ 1 h 2 `... `τ m 1 h 2m 2 `ρ m phqh 2m IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 37 / 40 32
33 Extrpoltion Hlbieren wir nun jedes Integrtionsintervll und berechnen T f erneut, so hben wir in der Tt die beiden Werte T f phq und T f ph{2q berechnet. Dmit erhlten wir folgende Fehlerdrstellungen T f phq Ipfq `τ 1 h 2 `τ 2 h 4 `... `τ m 1 h 2m 2 `ρ m phqh 2m ˆh T f Ipfq ` h2 2 4 τ 1 ` h4 h2m 2 16 τ 2 `... ` 2 2m 2τ m 1 ` h2m 2 m ρ mphq Für die Extrpoltion R : 4T f ph{2q T f phq 3 ergibt sich dnn ber d.h. wir konnten den Fehler von h 2 uf h 4 senken. R Ipfq ` ˆτ 2 h 4 `... ` ˆτ m 1 h 2m 2 `ρ m phqh 2m, IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 38 / 40 33
34 Romberg-Integrtion D wir diese Opertion itertiv durchführen können, erhlten wir eine neue Qudrtur, die ohne komplizierte Polynominterpoltion uskommt. Diese Qudrtur heißt Romberg-Integrtion. Sie liefert Rpk,kq zurück nchdem Rpi,jq wie folgt berechnet wird ˆb Rp0,jq T f j `1 Interessnterweise ergibt sich, dss Rp1, q gerde der Simpsonregel entspricht. Rpi,jq 4j Rpi,j 1q Rpi 1,j 1q 4 j 1 Ab i 3 unterscheiden sich die Newton-Cotes-Formeln von der Romberg-Integrtion. Mn knn zeigen, dss die Romberg-Integrtion numerisch stbiler sind ls die Newton-Cotes-Formeln. IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 39 / 40 34
35 Romberg-Integrtion (Beispiel) y Um Rpk,kq usgeben zu können, werden insgesmt 2 k `1 Stützstellen usgewertet. Wir werden dher Rpk,kq mit den Qudrturen I 2 k vergleichen. ε rel in % k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 Trpezregel Romberg ă ă Guß-Tschebyscheff Guß ă ă ă IN Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 40 / 40 b x 35
Numerisches Programmieren (IN0019) 6. Quadratur. Quadratur. Klassische Quadratur. Motivation. Allgemeine Form. Integration (Beispiel) Mittelpunktregel
Numerisches Progrmmieren (IN009) Frnk R. Schmidt 6. Qudrtur Winter Semester 06/07 Motivtion Bei der Interpoltion einer Funktion f : R Ñ R sind wir dvon usgegngen, dss f nur für gewisse Stützstellen 0 ă...
Vorlesungsvertretung Analysis II, H. P. Kiani, SoSe 2014 Ergänzungen/Erläuterungen zu den Folien von Prof. Iske
Fchbereich Mthemtik der Universität Hmburg Dr. H. P. Kini Vorlesungsvertretung Anlysis II, H. P. Kini, SoSe 4 Ergänzungen/Erläuterungen zu den Folien von Prof. Iske Qudrtur von f(x) uf [, 3] Mittelpunksregel,
6 Numerische Integration
Numerik I 251 6 Numerische Integrtion Ziel numerischer Integrtion (Qudrtur): Näherungswerte für f(t) dt. Wozu? Eine Apprtur liefere Messwerte x i = x i + ε i. Angenommen, die Messfehler ε i sind stndrdnormlverteilt
Numerische Integration
Numerische Integrtion Bei vielen Problemen des nturwissenschftlichen Rechnens treten Integrle uf, die nicht in expliziter Form drgestellt werden können, sei es, dß kein geschlossener Ausdruck für eine
Quadraturfehler der Newton Cotes Formeln.
Qudrturfehler der Newton Cotes Formeln. R n [f ] := I n [f ] I [f ] heißt Qudrturfehler der Qudrturformel I n [f ]. Erinnerung: Drstellung für den Interpoltionsfehler f (x) p n (x) = 1 (n + 1)! f (n+1)
Integration. Kapitel Newton-Cotes-Formeln
Kpitel 4 Integrtion Die Integrtion von Funktionen ist eine elementre mthemtische Opertion, die in vielen Formeln benötigt wird. Im Gegenstz zur Ableitung, die für prktisch lle mthemtischen Funktionen explizit
Kapitel 4 Numerische Integration
Kpitel 4 Numerische Integrtion Einführung und Motivtion Newton-Cotes-Formeln Zusmmengesetzte Integrtionsformeln Adptive Verfhren Romberg Verfhren Fzit Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 1 Problemstellung:
12 Numerische Quadratur
Numerische Qudrtur Ausgngssitution: Zu berechnen sei ein bestimmtes Integrl I = I[f] = mit einem numerischen Algorithmus. f(x) dx Verwenden Numerische Qudrtur (Qudrturformel) der Form mit I[f] I n [f]
Numerische Integration
Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren
10 Numerische Integration
umerische Integrtion Beispiel Keplersche Fssregel) Wir stellen uns ein Holzfss der Höhe H vor. R min bzw. R mx sei der Rdius des kleinsten bzw. größten Querschnitts des Fsses lso m Boden und in der Mitte).
Übungsblatt 4 Musterlösung
Numerik gewöhnlicher Differentilgleichungen MA234 - SS6 Übungsbltt 4 Musterlösung Aufgbe 7 (Nullstellen ls Eigenwerte) Die Polynome {S n } n=,,2,, S n P n, mit führem Koeffizienten eins, heißen Orthogonlpolynome
7 Numerische Integration
7 uerische Integrtion (7.1) Definition Sei Ξ [,b] R eine endliche Menge von Stützstellen ξ Ξ und seien w ξ R für ξ Ξ die Qudrturgewichte. Dnn heißt I Ξ : C[,b] R, Qudrturforel, und E Ξ ( f ) := heißt Qudrturfehler.
ORTHOGONALPOLYNOME UND GAUSS-QUADRATUR
ORTHOGONALPOLYNOME UND GAUSS-QUADRATUR ALLGEMEINE CHARAKTERISTIKA Stz Es sei ω C(, b), ω(x) > für x (, b) eine positive Gewichtsfunktion Dnn ist für f, g C[, b] ein Sklrprodukt (f,g) := (f,g) ω := ω(x)f(x)g(x)
Langzeitverhalten von ODE Lösungen
Euler Verfhren für Systeme von ODEs Bemerkung zum Lngzeitverhlten Häufig ist von Interesse (z.b. in der Klimvorhersge), wie sich Lösungen y(t) der ODE ẏ = F (y) für sehr grosse t qulittiv verhlten, und
Technische Numerik Numerische Integration
W I S S E N T E C H N I K L E I D E N S C H A F T Technische Numerik Numerische Integrtion Peter Gngl Institut für Angewndte Mthemtik, Technische Universität Grz c Alle Rechte vorbehlten. Nchdruck und
In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b
Kpitel Numerische Integrtion In diesem Kpitel stellen wir einige wichtige Verfhren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrle f(x)dx vor. Integrtionsufgbe: Zu gegebenem integrierbrem f : [, b]
Numerische Integration durch Extrapolation
Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der
Wie bereits diskutiert, sind die interpolatorischen Quadraturformeln. i=0
.5 Numerische Integrtion.5. Guß-Qudrtur Wie bereits diskutiert, sind die interpoltorischen Qudrturformeln I (n) (f) = α i f(x i ) i=0 zu den Stützstellen x 0,..., x n [, b] nch Konstruktion mindestens
Einführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur,
Institut für Angewndte Anlysis und Numerische Simultion Prof Dr C Eck, Dr M Schulz, Dipl- Mth J Giesselmnn Universität Stuttgrt Sommersemester 9 Einführung in die Numerische Mthemtik Vordiplomsklusur,
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2
Interpolation und Integration
Kpitel Interpoltion und Integrtion. Polynom-Interpoltion Nähere Funktion/Dten durch einfche Funktionen (eg. Polynome) n. Bruchbr für: - Integrtion - Interpoltion - Lösung gew. Differentilgleichungen -
a) x 0, (Nichtnegativität) b) x = 0 x = 0, (Eindeutigkeit) c) αx = α x, (Skalierung)
Definition 1.20 Ein metrischer Rum besteht us einer Menge X und einer Abbildung d : X X R, die jedem geordneten Pr von Elementen us X eine reelle Zhl zuordnet, d.h. (x,y) X X d(x,y) R. Diese Abbildung
I = f(x)dx. = f(x), y(a) = 0, I = y(b) Anwendungen: Oberflächen-, Volumenberechnung, Wahrscheinlichkeiten, Wirkungsquerschnitte,
Kpitel 5 Integrtion 5.1 Allgemeines Integrle können i.. nicht elementr berechnet werden, ber Ableitungen. = Numerische Berechnungen spielt eine wichtige Rolle: Qudrtur. Hier: Berechnung von bestimmten
Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
6 Numerische Integration
6 Numerische Integrtion 6.1 Newton-Cotes Formeln In diesem und den folgenden Abschnitten wollen wir ds Integrl fxdx durch ein numerisches Verfhren pproximieren. Durch die linere Trnsformtion x = + tb können
Kapitel 7. Interpolation. 7.1 Algebraische Interpolation. Interpolationsproblem: Satz 7.1:
Kpitel 7 Interpoltion Idee: Zu einer Funktion f(x) finde mn ein Polynom (oder eine ndere gut hndhbbre Funktion), ds mit f(x) n gewissen vorgegebenen Stellen übereinstimmt Anwendung: Konstruktion von Zwischenwerten
3 Numerische Integration
3 Numerische Integrtion In vielen Fällen möchte ds bestimmte Integrl I(f) = f(x) dx (3.) näherungsweise bestimmen. Dies knn notwendig werden, wenn die Berechnung der exkten Lösung zu ufwendig oder die
10 Integrationstechniken
Integrtionstechniken. Wichtige Stmmfunktionen α d = α + α+, d = log e d = e cos d = sin sin d = cos d = rcsin d = rctn + cosh d = sinh sinh d = cosh + d = sinh d = cosh α R, α. Linerität der Integrtion
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Krlsruher Institut für Technologie Institut für Anlysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Mth. Sebstin Schwrz Höhere Mthemtik für die Fchrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsbltt Aufgbe 6 (Übung) )
38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]
![38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]](/thumbs/93/112357862.jpg "38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]")
38 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] 38.2 Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen 38.4 Ds Riemnn-Integrl ist eine linere Abbildung von R([, b], V ) in V 38.9 Integrlbschätzung 38.10 Huptstz
Übungsblatt 3 Musterlösung
Fllstudien WS4 Übungsbltt 3 Musterlösung Lösung 9 (Numerierung) ) Wir berechnen mit die y mit den Kontrollpnten in umgeehrter Nummerierung zu ( ) n y c n t ( t) n ( ) n c i t n i ( t) i n i ( ) n c i t
1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren.
.. Orthogonle Bsen und Schmistsche Orthogonlisierungsverfhren. Definition.. Eine Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthogonl, wenn die Vektoren b i, i =,,..., n, prweise orthogonl sind, d.h. bi b j = fur
4 Numerische Integration
Numerische Mthemtik für ingenieurwissenschftliche Studiengänge 78 4 Numerische Integrtion Ziel numerischer Integrtion (Qudrtur): Näherungswerte für b f(t) dt. Wozu? Ein Beispiel: Eine Apprtur liefert Messwerte
κ abs (I(f)) = b a. κ rel (I(f)) = κ(i(f)) = (b a) f I(f). (4.2) b I(f) I(f + f) = I(f) I(f) I( f) = x [a,b] f(x) = (b a) f (f + f).
![κ abs (I(f)) = b a. κ rel (I(f)) = κ(i(f)) = (b a) f I(f). (4.2) b I(f) I(f + f) = I(f) I(f) I( f) = x [a,b] f(x) = (b a) f (f + f).](/thumbs/78/78597141.jpg "κ abs (I(f)) = b a. κ rel (I(f)) = κ(i(f)) = (b a) f I(f). (4.2) b I(f) I(f + f) = I(f) I(f) I( f) = x [a,b] f(x) = (b a) f (f + f).")
Kpitel 4 Numerische Qudrtur 4. Einführung Bemerkung 4. Aufgbenstellung. Sei f : [,b] R eine integrierbre Funktion. Die Berechnung von I(f) : C([,b]) R, f f(x) dx (4.) knn schwierig oder sogr nlytisch nicht
Numerische Mathematik
Numerische Mthemtik Bernd Simeon Skriptum zur Vorlesung im Sommersemester 2009 TU München, Zentrum Mthemtik. Numerische Qudrtur 2. Symmetrisches Eigenwertproblem 3. Integrtion gewöhnlicher Differentilgleichungen
Übung 7: Lösungen. Technische Universität München SS 2004 Zentrum Mathematik Prof. Dr. K. Buchner. Aufgabe T 19 (Ober- und Untersummen)
Technische Universität München SS Zentrum Mthemtik 7.6. Prof. Dr. K. Buchner Dr. W. Aschbcher Anlysis II Aufgbe T 9 Ober- und Untersummen Übung 7: Lösungen : Nch Vorussetzung ist f R-integrierbr, d.h.
Lineare Probleme und schwache
Vritionsrechnung Kpitel 7 Linere Probleme und schwche Lösungen 7.1 Qudrtische Funktionle Der einfchste Typ von Funktionlen, die ein Minimum hben können, sind die qudrtischen Funktionle. Sei ein Gebiet
komplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. 4 Integrlrechnung 4. Integrierbrkeit Die Grundidee der Integrlrechnung ist die Berechnung der Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x-achse. Recht einfch
Lösung 4: Reelle innere Produkte, Normen und Gram-Schmidt Orthogonalisierung
D-MATH Linere Algebr II FS 217 Dr. Meike Akveld Lösung 4: Reelle innere Produkte, Normen und Grm-Schmidt Orthogonlisierung 1. Seien v (i) 1, v (i) 2, v (i) 3 R 3, sodss B i = (v (i) 1, v (i) 2, v (i) 3
Numerische Integration
TU Ilmenu Institut für Mthemtik FG Numerische Mthemtik und Informtionsverrbeitung PD Dr. W. Neundorf Dtei: UEBG9.TEX Übungsufgben zum Lehrgebiet Numerische Mthemtik - Serie 9 Numerische Integrtion. Mn
Stammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral
Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f
Lösung 18: Reelle innere Produkte, Normen und Gram-Schmidt Orthogonalisierung
D-MATH Linere Algebr I/II HS 217/FS 218 Dr. Meike Akveld Lösung 18: Reelle innere Produkte, Normen und Grm-Schmidt Orthogonlisierung 1. Seien v (i) 1, v (i) 2, v (i) 3 R 3, sodss B i (v (i) 1, v (i) 2,
Numerische Integration
Heinrich Voss voss@tu-hrburg.de Hmburg University of Technology Institute for Numericl Simultion In vielen Fällen ist es nicht möglich, ein gegebenes Integrl b f x dx in geschlossener Form uszuwerten;
(L p Norm, 1 p < ). h U f h V
2 Approximtion Bei der Interpoltion von f C[, b] wird eine einfch berechenbre Funktion h us einem Untervektorrum von C[, b] gesucht, die in einer gewissen Anzhl von Punkten mit f übereinstimmt. Bei der
Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen
Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel als auch die partielle Integration zur Anwendung kommt.
64 Kpitel. Integrlrechnung Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel ls uch die prtielle Integrtion zur Anwendung kommt..4.6 Beispiel Um eine Stmmfunktion für rctn zu finden, beginnen
a = x 0 < x 1 <... < x n = b
7 Integrtion 7.1 Integrtion von Treppenfunktionen Im folgenden ezeichnen wir mit I = [, ] ein eschränktes und geschlossenes Intervll. Für Punkte = x 0 < x 1
Integration von Regelfunktionen
Integrtion von Regelfunktionen Inhltsverzeichnis Einleitung 2 Treppen- und Regelfunktionen 3 Denition des Integrls 4 Rechen mit Integrlen 2 4. Grundlegende Eigenschften.............................................
Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Kapitel 1: Integration
Kpitel 1: Integrtion Vorbemerkungen: Wnn bruchen wir numerische Integrtion? nicht bei nlytisch integrierbren Funktionen, sondern bei nlytisch gegebenen, ber nicht nlytisch integrierbren Funktionen, bei
f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.
Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,
Uneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
Kapitel 4. Numerische Integration
Kpitel 4. Numerische Integrtion 4.1 Interpoltorische Qudrturformeln 4.2 Gußsche Qudrturformeln 4.3 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren 4.4 Prktische Aspekte der Integrtion Numerische Mthemtik I 147 Interpoltorische
Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration
Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =
Numerisches Programmieren (IN0019)
Numerisches Programmieren (IN0019) Frank R. Schmidt Winter Semester 2016/2017 5. Interpolation.................................................................................................. 2 Interpolation
Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
![nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei](/thumbs/64/52033315.jpg "nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei")
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
Integration von Funktionen einer Variablen
Integrtion von Funktionen einer Vriblen Ds Riemnnintegrl Motivtion: Wie knn mn den Weg w berechnen, den ein Fhrzeug zwischen den Zeitpunkten und b zurückgelegt ht, wenn mn seine Geschwindigkeit v(t) für
Kapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), f(z)dz := Re [f(γ(t)) γ(t)] dt + i
![f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), f(z)dz := Re [f(γ(t)) γ(t)] dt + i](/thumbs/93/112357953.jpg "f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), f(z)dz := Re [f(γ(t)) γ(t)] dt + i")
Funktionentheorie Komplexe Kurvenintegrle Themen des Tutoriums m 24.6.25: Jede komplexe Funktion f : D C knn mn drstellen ls f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), wobei u und v reellwertige Funktionen uf R 2
4.4 Partielle Integration
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.4 4.4 Prtielle Integrtion Zwei Integrtionsregeln kennen wir bereits: Stz 4.. und Stz 4..8. Stz 4.. sgt, dss mit zwei Funktionen uch deren Summe oder Differenz integrierbr
Übungsblatt 2 Musterlösung
Numerik gewöhnlicher Differentilgleichungen MA234 - SS6 Übungsbltt 2 Musterlösung Funktion s k : [,b] R ist ein Spline vom Grd k, bezüglich der Knoten x,...,x n, flls i) s k C k ([,b]), ii) s k [xj,x j+
1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen
Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).
Integralrechnung. Fakultät Grundlagen
Integrlrechnung Fkultät Grundlgen März 2016 Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Bestimmtes Integrl I n Teilintervlle: x 0 = < x 1 < x 2
Numerik und wissenschaftliches Rechnen
Dr. Alexnder Veit Institut für Mthemtik Universität Zürich Numerik und wissenschftliches Rechnen Alexnder Veit Frühlingssemester 2013 Version: 11. April 2013 1 Inhltsverzeichnis 1 Computerrithmetik 4 1.1
Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmnn W Wu Herbstsemester 206 Linere Algebr und Numerische Mthemtik für D-BAUG Beispiellösung für Serie 5 ETH Zürich D-MATH Aufgbe 5 5) Seien u und v Lösungen des LGS Ax = b mit n Unbeknnten
Theoretische Physik IV - Blatt 3
Theoretische Physi IV - Bltt 3 Christopher Bronner, Frn Essenberger FU Berlin 4.November 006 Aufgbe 5 Energieeigenfuntionen Uns ist folgendes Potentil gegeben, wobei V 0 > 0 sei: V (x) V 0 bei x [, ] V
6 Numerische Integration
6 Numerische Integrtion 6.1 Newton-Cotes Formeln In diesem und den folgenden Abschnitten wollen wir ds Integrl f(xdx durch ein numerisches Verfhren pproximieren. Durch die linere Trnsformtion x = + t(b
Musterlösungen zum 6. Übungsblatt
Musterlösungen zum 6 Üungsltt Anlysis ei Dr Rolf Busm WS 6/7 Aufge 6 (Tois Hessenuer) ) 3 ep()d, setze u = ep(), v = 3 dnn gilt: 3 ep()d = ep() 3 = e (3 ep() ) 3 ep() d = e 3e + 6 ep() = 6e 3e + 6e 6e
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren
Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 10. dt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? t3 + 2
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 7 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie.. Sei f(x) : () f() . x (c) f( ) . Die Funktion g : t t + ist, dss ds Integrl b dt. Welche der folgenden Aussgen
9 Riemann-Integral für Funktionen einer Variablen
9 Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen Integrl = (orientierte) Fläche zwischen Funktion f : r, bs Ñ R und der x-achse «ř n px n x n 1 qf pξ n q mit Zwischenpunkten ξ n P rx n 1, x n s x n 1 x n
Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 13. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Ptrizio Neff Christin Thiel 07.07.04 Lösungsvorschlg zu den Präsenzufgben der 3. Übung Präsenzufgbe : Wir hben die Determinnte bisher ls Kriterium zur Invertierbrkeit
Numerische Mathematik Sommersemester 2013
TU Chemnitz 5. Februr 2014 Professur Numerische Mthemtik Prof. Dr. Oliver Ernst Dipl.-Mth. Ingolf Busch Dipl.-Mth. techn. Tommy Etling Numerische Mthemtik Sommersemester 2013 Musterlösungen zu nicht behndelten
5 Numerische Integration
Numerik I. Version: 9.05.08 0 5 Numerische Integrtion 5. Einführung und ein Beispiel Eine trurige Ttsche ist, dss die meisten Funktionen keine explizite Stmmfunktion [ntiderivtive] besitzen. Deshlb sind
Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,
Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014
Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24
Kurzes Ergebnis zu dualen Basen:
Kurzes Ergebnis zu dulen Bsen: Lemm 1 Es sei V ein Vektorrum der Dimension n mit Bsis B = {v j } n j=1, und B = {vj} n j=1 die dzu dule Bsis von V Dnn ist der Koeffizientenvektor eines beliebigen Elements
π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
Kapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36. F (x) = f (x) Vermuten und Verifizieren.
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F() heißt Stmmfunktion einer Funktion f (), flls F () = f () Berechnung: Vermuten und Verifizieren
(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)!
0.. Lösung der Aufgbe. Wir schreiben f = sup{ f : [0, ]}. Für ξ ]0, [ und n N gibt es nch dem Stz von Tlor ein c ]ξ, [ so, dss: f = fξ + n ξ k f k ξ + k! k= Aus der Ttsche, dss f k 0 für lle k N ist, folgt
Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3
Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche
11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mthemtik und Nturwissenschften Fchrichtung Mthemtik, Institut für Numerische Mthemtik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 5. Integrlrechnung Prof. Dr. Gunr Mtthies Wintersemester 2015/16 G. Mtthies Grundlgen Mthemtik
Lösungen zur Probeklausur Lineare Algebra 1
Prof. Dr. Ktrin Wendlnd Dr. Ktrin Leschke WS 2006/2007 Lösungen zur Probeklusur Linere Algebr Ausgbe: 2. Dezember 2006 Aufgbe.. Geben Sie die Definition des Begriffs Gruppe n. Eine Gruppe ist eine Menge
1 Folgen. 1. Februar 2016 ID 03/455. a) Folgende Folge ist gegeben: a n+1 = 7a n 12a n 1, a 0 = 1, a 1 = 0 (1) Charakteristisches Polynom:
Tutorium Ynnick Schrör Lösung zur Bonusklusur vom WS 1/13 Ynnick.Schroer@rub.de 1. Februr 016 ID 03/455 1 Folgen ) Folgende Folge ist gegeben: n+1 7 n 1 n 1, 0 1, 1 0 (1) Chrkteristisches Polynom: q 7q
Zwei-Punkt Randwertprobleme. Fahed Bakar
Zwei-Punkt Rndwertprobleme Fhed Bkr Contents Inhltsverzeichnis II 1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme (RWP) 1 1.1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme.................... 1 1.2 Vritionle Formulierung des RWP..................
7-1 Elementare Zahlentheorie. 1 a ist quadratischer Rest modulo p, 1 falls gilt a ist quadratischer Nichtrest modulo p, 0 p a. mod p, so ist.
7-1 Elementre Zhlentheorie 7 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz 70 Erinnerung Sei eine ungerde Primzhl, sei Z In 114 wurde ds Legendre-Symbol eingeführt: 1 ist udrtischer Rest modulo, 1 flls gilt ist udrtischer
Unbestimmtes Integral, Mittelwertsätze
Unbestimmtes Integrl, Mittelwertsätze Ist f R-integrierbr, dnn knn f(x)dx einfch bestimmt werden, wenn eine Stmmfunktion F (x) von f existiert und beknnt ist. Wir wissen, dss dnn uch F (x) = F (x) + C
Übungen zur Analysis 2
Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren
Kapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 207/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F(x) heißt Stmmfunktion einer Funktion f (x), flls F (x) = f (x) Berechnung: Vermuten
Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
Rückblick auf die letzte Vorlesung
Rückblick uf die letzte Vorlesung 1. Ljpunov-Funktion 2. Rndwertprobleme 3. Lösbrkeit und Eindeutigkeit Ausblick uf die heutige Vorlesung 1. Vritionsrechnung 2. Brchistochrone 3. Euler-Lgrnge Gleichung
Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt
Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)
Serie 13 Lösungsvorschläge
D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter