(L p Norm, 1 p < ). h U f h V

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1 2 Approximtion Bei der Interpoltion von f C[, b] wird eine einfch berechenbre Funktion h us einem Untervektorrum von C[, b] gesucht, die in einer gewissen Anzhl von Punkten mit f übereinstimmt. Bei der Approximtion suchen wir eine einfch strukturierte Funktion h, die die Funktion f in [, b] gut drstellt, so dss f(x) h(x) für lle x [, b] möglichst klein wird. 2. Existenz von Bestpproximtion Wir betrchten die folgenden Normen für f C[, b] : bzw. f := mx x [,b] f(x) ( b f p := ) f(x) p p dx (Mximumnorm, Tschebyscheff-Norm) (L p Norm, p < ). Definition 2.. Sei U ein Untervektorrum des normierten Vektorrums V mit der Norm. =. V. Ein Element h von U heißt beste Approximtion (Proximum) von f V, wenn gilt. Der optimle Wert f h V f h V h U (2.) E U (f) := inf h U f h V heißt Minimlbweichung von f bzgl. U. Ds Problem (2.), eine beste Approximtion h U von f zu finden, heißt lineres Approximtionsproblem. Beispiel: Für V = C[, b] mit der Norm,. V =. spricht mn von Tschebyscheff-Approximtion. Als Untervektorrum von C[, b] können wir z.b. wählen. U = Π n (lgebrische Polynome bis zum Grd n) U = T n (trigonometrische Polynome vom Grd n) U = S m (X) (Spline-Rum) Stz 2.2. Es sei U ein endlichdimensionler Untervektorrum des normierten Vektorrums V mit der Norm. =. V. Dnn gibt es zu jedem f V eine beste Approximtion. 5

2 Beweis. Flls es eine beste Approximtion h für f gibt, gilt Andererseits gilt nch Definition 2. h f h + f. f h f = f U d die Nullfunktion im Untervektorrum U enthlten ist. Also folgt h 2 f. Wir können uns dher bei der Suche nch h uf die Kugel K := { h U : h 2 f } beschränken. Diese Kugel ist für endlichdimensionle Räume U kompkt. Die Funktion f h ist uf K stetig, ht dher uf K ein Minimum. Dies liefert eine Bestpproximtion. Die Bestpproximtion muss nicht eindeutig sein. Wir erhlten Stz 2.3. Die Menge der besten Approximtionen us U n ein Element f V ist konvex. Beweis. Seien h, h zwei beste Approximtionen n f V, d.h. f h = f h = E U (f). Dnn folgt für h = λ h + ( λ) h und beliebiges λ [, ] f h = f λh ( λ) h = λ(f h ) + ( λ)(f h λ f h + ( λ) f h = E U (f). Ob die Bestpproximtion h n ein f V eindeutig ist oder nicht hängt von den Eigenschften der Norm. V b. Definition 2.4. Die Norm = V eines Vektorrumes V heißt streng konvex, wenn für jedes Pr x, y V mit x y und x = y = gilt Beispiele: x + y < 2. 52

3 ) Sei V = R 2 mit der Mximumnorm x V = mx( x, x 2 ), x := (x, x 2 ) T. Wähle nun U = R = {(x, ) T : x R}. Sei nun y = (, ) T. Dnn ht jeder Punkt x = (x, ) T U mit x den Abstnd von y und ist dmit beste Approximtion n y, denn (, ) T (x, ) T = ( x, ) =. 2) Sei V = R 2 mit der Euklidischen Norm x V = x 2 + x2 2 und U wie in Beispiel. Dnn ist nur x = (, ) T Bestpproximtion von y = (, ) T V, denn (, ) T (x, ) T 2 = ( x, ) T 2 = x =. In diesem Fll ist die beste Approximtion lso eindeutig bestimmt. Die Euklidische Norm ist streng konvex, denn für folgt x = (x, x 2 ) T, y = (y, y 2 ) T mit x 2 = y 2 = x + y 2 2 = (x + y ) 2 + (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 + x y 2 + y x }{{}}{{} y + 2x 2 y }{{} 2 <2 < 4. 3) Sei V = C[, b] mit der Norm f = mx f(x). Diese Norm ist nicht x [,b] streng konvex. Wähle z.b. Dnn folgt f(x) in [, ], g(x) = x in [, ]. f = g =, f g und f + g = + x = 2. 4) Sei V = C[, b] mit der Norm Diese Norm ist streng konvex. b f 2 V = f(x) 2 dx. Beweis: Seien f, g C[, b] mit f 2 = g 2 =, f g gegeben. Dnn gilt f + g 2 2 = b b f(x) + g(x) 2 dx = } {{ } = b b f(x) 2 dx + g(x) 2 dx +2 }{{} = ( f(x) + g(x) ) ( f(x) + g(x) ) dx b f(x)g(x)dx. 53

4 Aus der Cuchy-Schwrzschen Ungleichung ergibt sich 2 b f(x)g(x)dx 2 f 2 g 2 = 2. Gleichheit gilt ber nur, flls f, g liner bhängig sind, d.h. f = λ g für λ und ist dher nicht möglich. Stz 2.5. Die Lösung eines lineren Approximtionsproblems ist bei streng konvexer Norm eindeutig bestimmt. Beweis. Es seien h, h U mit h h zwei beste Approximtionen n f V. Nch Stz 2.3 gilt dnn uch f 2 (h + h ) = 2 (f h ) + (f h ) = E U (f). Division durch E U (f) ergibt wegen die Ungleichung = f h 2 E U (f) + f h E U (f) f h = f h = E U (f) E U (f) 2 ( f h + f h ) < E U (f) E U (f) d die Norm streng konvex ist, und somit erhlten wir einen Widerspruch. Bemerkung: Die Umkehrung dieses Stzes gilt nicht! 2.2 Sklrprodukte und unitäre Vektorräume Wir wiederholen einige wichtige Begriffe und Sätze us der Lineren Algebr. Definition 2.6. Sei V ein Vektorrum über K {R, C}. Eine Abbildung.,. : V V K mit den folgenden Eigenschften (i) αx + βy, z = α x, z + β y, z α, β K, x, y, z V, (d.h.,.,. ist biliner, sesquiliner) (ii) x, y = y, x x, y V (d.h.,.,. ist symmetrisch bzw. hermitisch) 54

5 (iii) x, x x V \ {} (d.h.,.,. ist positiv definit) heißt Sklrprodukt (inneres Produkt) in V, und V heißt euklidisch (unitär). Beispiel: Sei V = C[, b] über R. Dnn ist ein Sklrprodukt in V. f, g := b f(x)g(x)dx Stz 2.7. (Cuchy-Schwrzsche Ungleichung) Sei V ein unitärer Vektorrum. Für x, y V gilt x, y 2 x, x y, y. Gleichheit gilt genu dnn, wenn x = λy mit λ Koder x = oder y =. Stz 2.8. In einem unitären Vektorrum ist x 2 := x, x, x V eine Norm. Beispiel: In V = C[, b] mit dem Sklrprodukt f, g = b f(x)g(x)dx ist eine Norm in V. f 2 = ( b f(x) 2 dx) 2 Stz 2.9. Die durch ein Sklrprodukt induzierte Norm x 2 = ( x, x ) 2, x V ist streng konvex. Beweis. Es gilt die Prllelogrmmgleichung x + y x y 2 2 = 2( x y 2 2 ). Für x 2 = y 2 = und x y folgt drus wegen x y 2 2 > x + y 2 2 < 2( x 2 + y 2 ) = 4. 55

6 Definition 2.. Zwei Elemente x, y eines unitären Vektorrums heißen orthogonl, flls x, y = gilt. Eine endliche oder bzählbre Menge von Elementen {x, x 2,..., x n,...} heißt orthonorml (Orthonormlsystem), wenn { i = k, x i, x k = δ ik = i k. Stz 2.. (Schmidtsches Orthonormierungsverfhren) Aus jedem System liner unbhängiger Elemente {, 2,..., n } des unitären Vektorrums V lässt sich ein orthonormles System {u, u 2,..., u n } gewinnen, und zwr rekursiv durch u =, u k = k k j= k, u j u j k k j= k, u j u j k = 2, 3,.... Approximtion in unitären Vektorräumen Problem: Sei V ein unitärer Vektorrum und U n ein Untervektorrum von V mit dim U n = n. Zu f V finde mn ein h U n mit f h 2 f h 2 h U n. D die durch ds Sklrprodukt induzierte Norm streng konvex ist, existiert zu jedem f V genu eine beste Approximtion h U n. Stz 2.2. Sei U n ein Untervektorrum des unitären Vektorrums V und dim U n = n. Ds Element h U n ist genu dnn beste Approximtion eines Elements f V, wenn f h, h = h U n gilt. Ds Element h heißt orthogonle Projektion von f uf U n. Ist {u,..., u n } eine Orthonormlbsis von U n, so ht h die Form h = n f, u j u j. j= Beweis.. Existenz: Sei {u,..., u n } eine Orthonormlbsis von U n. Dnn ist f h, h = h U n genu dnn erfüllt wenn f h, u j = j =,..., n, d.h., wenn f, u j = h, u j j =,..., n. 56

7 Wegen h U n, existieren Konstnten, 2,..., n C mit h = u + 2 u n u n. Also folgt h, u j = u n u n, u j = j. Ds Element h U mit n h = f, u j u j j= erfüllt lso die Bedingung f h, h = h U n. 2. Außerdem gilt für lle h U n f h 2 2 = f h + h h 2 2 = (f h ) + (h h), (f h ) + (h h) = f h f h, h h + h }{{} h, f h + h }{{} h 2 2 U }{{ n } f h, h h = }{{} U }{{ n } = = f h 2 + h h 2 }{{} f h 2 2. Gleichheit gilt genu dnn, wenn h = h. 2.3 Fourierreihen Sei f : R R eine 2π-periodische, stückweise stetige Funktion. Wir wollen f in T n := spn{, cos x, sin x,..., cos nx, sin nx} pproximieren. Sei p T n. Betrchte die Norm f 2 := ( f(x) 2 dx) 2 Gesucht ist p T n, so dss der Approximtionsfehler p f 2 := ( (L 2 Norm). ) (p (x) f(x)) 2 2 dx 57

8 miniml wird. Wir betrchten ds Sklrprodukt in L 2 ([, 2π)), f, g := f(x)g(x)dx f, g L 2 ([, 2π)). Stz 2.3. Die trigonometrischen Funktionen {, cos x,..., cos nx, sin nx} bilden in [, 2π] ein orthogonles System von T n. Es gilt j k, cos(jx) cos(kx)dx = 2π j = k =, j, k N, Beweis. Es gilt sin(jx) sin(kx)dx = π j = k, { j k, π j = k >, sin(jx) cos(kx)dx = j N, k N. j, k N, I := Für j k folgt cos(jx) cos(kx)dx = 2 [cos(j + k)x + cos(j k)x] dx. I = 2 [ ] 2π j + k sin(j + k)x + sin(j k)x =. (j k) Für j = k > folgt Für j = k = folgt ] 2π I = [ 2 2j sin(2jx) + 2 }{{} I = 2 Die nderen Identitäten folgen nlog. cos dx = π. cos } {{ + cos } dx = 2π. 2 Wir wenden nun Stz 2.2 uf den Vektorrum L 2 ([, 2π)) und den Untervektorrum T n der trigonometrischen Polynome n. 58

9 Stz 2.4. Ds trigonometrische Polynom p ist beste Approximtion von f L 2 ([, 2π)) in T n, wenn mit p (x) = 2 + n k (f) = k = π b k (f) = b k = π k= ( k cos(kx) + b k sin(kx)) f(x) cos(kx)dx f(x) sin(kx)dx (k =,..., n), (k =,..., n). Die Koeffizienten k, b k heißen Fourierkoeffizienten von f. Beweis. Wegen Stz 2.3 ist ds System { 2π, π cos x, π sin x,..., π cos(nx), π sin(nx)} orthonorml. Nch Stz 2.2 ht die orthogonle Projektion von f uf T n die Form wobei p (x) = f, + 2π 2π f, = 2π 2π π f, cos(jx) = π π f, sin(jx) = π n j= + f, sin(jx) ) sin(jx), π π ( f, cos(jx) cos(jx) π π f(x) dx = 2, f(x) cos(jx) dx = j j =,..., n, f(x) sin(jx) dx = b j j =,..., n. Numerische Berechnung der Fourierkoeffizienten Die komplexe Form des Fourier-Polynoms ist gegeben durch p (x) = n k= n c k (f) }{{} =:c k e ixk 59

10 mit c k (f) := 2 ( k ib k ) = 2π c k (f) := c k (f) = 2π c (f) := 2 = 2π Also erhlten wir c k (f) = 2π f(x)(cos(kx) i sin(kx) }{{} e ikx ) dx k =,..., n, f(x)e ikx dx k =,..., n, f(x) dx. f(x)e ikx dx = f, e ik, k = n,..., n. Grobe numerische Berechnung von c k (f): Wir zerlegen ds Intervll [, 2π] in Teilintervlle der Länge 2π und wenden zur näherungsweisen Berechnung des M Integrls die Rechteckregel n. Wir erhlten mit w M := e 2πi/M c k = 2π = M 2π M M j= M j= f( 2πj M ) e ik 2πj M f( 2πj M )wjk M. Die Koeffizienten c k lssen sich lso mit Hilfe einer DFT(M) berechnen. Bechte: M und n stehen nicht in Zusmmenhng, ber c k ist eine M-periodische Folge! Die Folge der Fourierkoeffizienten c k = c k (f) ist jedoch im Allgemeinen eine Nullfolge. Es gilt: Stz 2.5. Die Funktion f C([, 2π]) besitze eine bsolut konvergente Fourierreihe der Form f(x) = c j (f)e ijx = 2 + ( ) j (cos(jx)) + b j (sin(jx)). j= (Dies ist z.b. für f C ([, 2π)) der Fll). Dnn gilt die Alising-Formel j= c k = l= c k+lm (f) (k Z). 6

11 Beweis. Aus f(x) = l= c l(f)e ilx Wegen c k = M f(x j ) = M j= ergibt sich nch Lemm.29 c k = M = l= M j= ( l= c l (f) M l= folgt für x = x j = 2πj, j =,..., M, M c l (f)w lj M. f(x j ) w jk M, k =,..., M, ) c l (f) w lj M 8 < : M j= w jk M w lj M } {{ } k l modm M k = lmod M = r= c k+rm (f). Nch der Alising-Formel gilt lso für lle k Z c k c k (f) = (c k+lm (f) + c k lm (f)). l= Für k > M knn der bsolute Fehler c 2 k c k(f) lso größer ls c k (f) werden! Dmit c k eine gute Näherung von c k(f) ist, muss M lso im Vergleich zu n möglichst groß gewählt werden, mindestens M > 2n. Algorithmus: Eingbe: Wähle M > 2n, M = 2 t, L = 2 t.. Berechne c k = M M j= f( 2πj M )wjk M mittels eines FFT-Algorithmus (siehe Abschnitt.5). 2. Werte ds Polynom p (x) n den äquidistnten Stützstellen 2πj L, j =,..., L, mittels eines FFT-Algorithmus us. p ( 2πj L ) = n k= n 6 c k e 2πikj L }{{} = w jk L L k= c k w jk L

12 Beste Approximtion us T 8, berechnet mit obigem Algorithmus (mit M = 6 (links) und M = 32 (rechts)). mit c = (c, c,..., c n,,...,, c n,..., c )T C L. Ausgbe: p ( 2πj ), j =,..., L. L Beispiel: Wir pproximieren die 2π-periodische Funktion 2 t t π, π 2 π f(t) = 2 < t 3π, t 3π < t < 2π. π 2 durch ihre beste Approximtion in T 8, d.h., durch ihr Fourierpolynom p (t) T 8 und wenden zur Berechnung des Fourierpolynoms den obigen Algorithmus n. Wir verwenden zur Berechnung der 7 Fourierkoeffizienten zunächst M = 6 (links) und dnn M = 32 (rechts). Für M = 6 ist die Berechnung nch obigen Überlegungen noch sehr ungenu. Wir erhlten die Fourierkoeffizienten c c c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 M = M = exkt Gleichmäßige Approximtion In diesem Abschnitt sei nun speziell V = C[, b] mit der Tschebyscheff-Norm f := mx f(x) x [,b] (Mximum Norm). 62

13 x x Interpolierende Gerde q (x) n f(x) = ln(+x) (links), und beste Approximtion durch p Π. Wir suchen nun ein Polynom p n Π n (höchstens n ten Grdes), ds den Abstnd f p n in der Mximum-Norm minimiert f p n = mx x [,b] f(x) p n (x) Min! Dnn heißt p n Polynom bester gleichmäßiger Approximtion (bester Approximtion im Tschebyscheffschen Sinne). Beispiel : Die Funktion f(x) = ln( + x) soll in [, ] durch 2 2 p Π (eine Gerde) gleichmäßig pproximiert werden. Ds Polynom p hbe die Form p (x) = c + c x. Betrchte die Differenz δ(x) = p (x) ln( + x). Wir betrchten zunächst die interpolierende Gerde q (x) mit q ( ) = 2 f() und 2 q ( ) = f( ). Dnn entsteht der größte Abstnd für x. Eine Verschiebung 2 2 der Gerden nch oben bewirkt eine Verkleinerung des Abstndes in und eine Vergrößerung in,. Also ht δ(x) drei Extremwerte, n x 2 2 =, n x 2 2 = 2 und n einer Zwischenstelle x (, ). 2 2 Wir berechnen zunächst x folgendermßen: δ (x) = c + x = x = c. Für p muss lso gelten (siehe Abbildung): δ(x ) = c + c x ln( + x ) =, δ(x ) = c + c x ln( + x ) =, δ(x 2 ) = c + c x 2 ln( + x 2 ) =. 63

14 Aus c 2 c ln( 2 ) =, c + 2 c ln( 3 2 ) =, folgt c = ln( 3 2 ) ln( 2 ) =.986 und dmit x = c = Aus c 2 c ln( 2 ) = c + x c ln( + x ) = folgt c = 2 (ln( 2 )+ln(+x )+c ( 2 x )) =.6964 und = c 2 c ln( 2 ) =.742. Wir erhlten die Gerde bester Approximtion p (x) = x. Beispiel 2: Die Funktion f(x) soll in [, ] durch ein Polynom p n+ Π n+ mit Höchstkoeffizient gleichmäßig pproximiert werden. Nch Stz.9 wr 2 n T n+ (x) ein Polynom mit der Eigenschft 2 n = mx x [,] T n+ (x) mx w 2 n n+ (x) x [,] für jedes Polynom w n+ (x) Π n+ mit Höchstkoeffizient. Beispiel 3: Ds Monom f(x) = x n+ pproximiert werden. Betrchte soll durch p n Π n in [, ] gleichmäßig δ(x) = p n (x) f(x) = p n (x) xn+. Dnn ist δ(x) ein Polynom von Grd n + mit Höchstkoeffizient ( ). Folglich ist δ(x) nch Beispiel 2 miniml, wenn δ(x) = x n+ p n (x) = 2 n T n+(x) ein Tschebyscheffpolynom vom Grd n + ist, d.h., p n(x) = x n+ 2 n T n+(x). 64

15 Wir erhlten: n x n+ T n+ (x) p n(x) x 2 2x x 3 4x 3 3 3x x x 4 8x 4 8x 2 + x x 5 6x 5 2x 3 + 5x 5 4 x3 5 x 6 6 Stz 2.6. (Alternntenstz) Existiert zu einer Funktion f C[, b] und einem Polynom p n Π n eine Folge (Referenz) von n + 2 Punkten x < x <... < x n+ b, in denen der Approximtionsfehler δ(x) = p n (x) f(x) seinen Mximlwert mit lternierenden Vorzeichen nnimmt, n (f) := p n f δ(x k ) = p n (x k ) f(x k ) = n (f), k =,..., n +, δ(x k ) = δ(x k+ ), k =,..., n, so ist p n ein Polynom bester gleichmäßiger Approximtion (lso p n = p n ) n die Funktion f und n (f) gleich dem Abstnd der Funktion f von Π n. Beweis. Angenommen, es existiert ein p n Π n mit kleinerem Approximtionsfehler, d.h. δ (x) = p n (x) f(x), δ := <. Betrchte nun q n (x) := p n (x) p n(x). Dnn wechselt q n (x) mindestens n + ml ds Vorzeichen in [, b] denn sign(q n (x k )) = sign(p n (x k )) k =,..., n +. Also ht q n Π n mindestens n + Nullstellen und ist dher ds Nullpolynom im Widerspruch zur Annhme. Die in Stz 2.5 definierte Folge x <... < x n+ heißt Alternnte. Bemerkung: Mn knn zeigen, dss zu jeder Funktion f C[, b] ein eindeutig bestimmtes Polynom gleichmäßiger Approximtion existiert. 65

16 Der Remez-Algorithmus Wir wollen zu festgelegtem f C[, b] ein Polynom gleichmäßiger Approximtion numerisch bestimmen. Idee: Wir suchen zunächst ein Polynom p n Π n mit p n (x k ) f(x k ) = ( ) k h k =,..., n + (2.2) mit einer gewissen Strtfolge (Strtreferenz) x < x <... < x n+ b. Wir ändern nun die Stützstellen schrittweise b, so dss die Folge der zugehörigen h monoton zunimmt und gegen = n (f) konvergiert. Erfüllt p n die Bedingung (2.2), so nennen wir p n ds Referenzpolynom und h seine Referenzbweichung. Stz 2.7. (Existenz u. Eindeutigkeit des Referenzpolynoms) Für jede Referenz x < x... < x n+ b und jede Funktion f C[, b] gibt es genu ein Polynom p n (x) und genu eine Zhl h, die (2.2) erfüllen. Beweis. ) Existenz: Nch Stz.2 ist durch n + 2 Stützstellen x <... < x n+ und pssende Stützwerte y,..., y n+ ein Interpoltionspolynom p n+ Π n+ mit p n+ (x k ) = y k, k =,..., n + eindeutig festgelegt. Wir betrchten die zwei Interpoltionspolynome zu den Stützwerten y k = ( ) k, k =,..., n + und zu y k = f(x k ), k =,..., n + in Lgrngedrstellung, q n+ (x) = = r n+ (x) = n+ ( ) k l n+ k (x) k= n+ j= n+ k= n+ j x j (mit l n+ k (x) = n+ f(x k )l n+ k (x) = j= j= j k ( x x j x k x j )), (2.3) b j x j. (2.4) Bilde nun p n (x) := r n+ (x) b n+ n+ q n+ (x). Dnn ist p n (x) Π n, denn r n+ (x) und b n+ n+ q n+ (x) hben beide den Höchstkoeffizienten b n+. (Bechte, dss n+, denn wegen der n + 2 lternierenden Stützwerte ht ds Polynom q n+ genu n + Nullstellen.) Weiter gilt p n (x k ) = r n+ (x k ) b n+ n+ q n+ (x k ) = f(x k ) b n+ n+ ( ) k. 66

17 Setze nun h := b n+ n+. Dnn erfüllt p n die Bedingungen (2.2). 2) Eindeutigkeit: Angenommen, es existiert ein p n Π n mit p n (x k ) f(x k ) = ( ) k h, k =,..., n + und p n p n. Dnn erhlten wir p n (x k ) p n (x k ) = (f(x k ) + ( ) k h) (f(x k ) + ( ) k h). Flls h = h ist, folgt p n = p n wegen Stz.2. Flls h h ist, ht p n p n mindestens n + 2 Vorzeichenwechsel und dher mindestens n + Nullstellen. Also ist p n p n ein Nullpolynom im Widerspruch zur Annhme. Explizite Berechnung von h Wenn h schon durch die Referenz {x k } n+ k= und f(x) bestimmt ist, wäre eine explizite Drstellung hilfreich, d dnn (2.2) in ein Interpoltionsproblem übergeht. Im Beweis von Stz 2.7 htten wir h := b n+ n+ erhlten, wobei n+ und b n+ die Höchstkoeffizienten der Interpoltionspolynome q n+ und r n+ wren. Wir betrchten den Höchstkoeffizient von l n+ k (x) = n+ (x x j ) (x k x j und finden für ) k =,..., n d k := n+ j= j k j= j k x k x j = ( ) n+ k d k d x < x <... < x n+. Aus (2.3) und (2.4) ergibt sich dmit so dss wir n+ n+ n+ = ( ) k ( ) n+ k d k, b n+ = f(x k ) ( ) n+ k d k, k= k= n+ k= h = f(x k) ( ) n+ k d k n+ n+ k= ( )k ( ) n+ k d k = k= f(x k)( ) k d k n+ k= d k n+ = f(x k )( ) k λ k mit λ k := k= d k n+ j= d j (2.5) erhlten. Bechte, dss n+ k= λ k =. 67

18 Wir leiten noch eine weitere Drstellung für h her. Stellt mn ein beliebiges p Π n ls Interpoltionspolynom (n + ) ten Grdes dr, so ergibt sich für c n+ n+ p(x) = k= n+ p(x k ) l n+ k (x) = j= c j x j, n+ n+ c n+ = = p(x k ) ( ) n+ k d k = ( ) n+ p(x k )( ) k d k. k= Also erhlten wir mit (2.5) k= n+ h = λ k ( ) k (p(x k ) f(x k )). (2.6) k= Jetzt knn ds Referenzpolynom p n (x) mittels Polynom-Interpoltion von beliebigen n + der n + 2 Stützstellen/Stützwerte (x k, f(x k ) + ( ) k h) berechnet werden. Anschließend muss der Verluf von δ(x) = p n (x) f(x) untersucht werden. Gilt δ(x) h für lle x [, b], so ist {x k } n+ k= eine Alternnte und p n(x) ds gesuchte Polynom bester Approximtion. δ(x) = p n (x) f(x) h x = x x x x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 = x 4 h Gilt in einigen Teilintervllen δ(x) > h, so muss die Referenz geändert werden. Ist im Intervll (x k, x k+ ) mx δ(x) > h, so wähle einen Punkt x (x k, x k+ ), so dss δ(x) > h, und tusche x gegen x k us, flls δ(x k ) und δ(x) ds gleiche Vorzeichen hben, nsonsten gegen x k+ (siehe Skizze). So erhlten wir eine neue Referenz x <... < x n+. Stz 2.8. Tuscht mn die Referenz x <... < x n+ b gegen eine Referenz x <... < x n+ b us, so dss δ(x k ) δ(x k ), k =,..., n +, 68

19 und und für mindestens ein j sgn δ(x k ) = sgn δ(x k+ ), k =,..., n, δ(x j ) > δ(x j ) = h gilt, wobei δ die zum lten Referenzpolynom p n (x) gehörende Fehlerfunktion δ(x) = p n (x) f(x) ist, so ht ds neue Referenzpolynom p n (x) eine größere Referenzbweichung h > h. Beweis. Wir stellen h mit Hilfe von (2.6) dr und finden mit p = p n und der Referenz {x k } n+ k= n+ h = λ k ( ) k (p n (x k ) f(x k )) = k= n+ k= λ k δ(x k ), wobei wir usgenutzt hben, dss δ(x k ) lternierendes Vorzeichen besitzen. Andererseits gilt h = δ(x k ) für lle k =,..., n + und dmit n+ n+ λ k δ(x k ) = h λ k = h. k= k= D δ(x j ) > δ(x j ) für mindestens ein j, folgt h > h. Mit der neuen Referenz x <... < x n+ b wird der Prozess wiederholt, usw. Wir erhlten eine monoton wchsend Folge von Referenzbweichungen. Die Folge ist konvergent, denn es gilt Stz 2.9. (Beschränktheit der Referenzbweichung) Ist p n (x) ein Referenzpolynom mit der Referenzbweichung h und δ(x) die zugehörige Fehlerfunktion, so gilt h n (f) mx x [,b] δ(x) mit n (f) us Stz 2.6. Beweis. Es wr n (f) = mx x [,b] (p n(x) f(x), wobei p n ds (gesuchte) Polynom gleichmäßiger Approximtion zu f ist. Folglich gilt n (f) mx x [,b] δ(x). Weiter gilt nch (2.6) mit p = p n für die Referenzbweichung h des Polynoms p n (x) n+ h = λ k ( ) k (p n(x k ) f(x k )) mx x [,b] p n(x) f(x) k= }{{} n(f) λ k ) = n (f). n+ ( k= } {{ } = 69

20 e-5 2e x e-5-4e-5 Beste Approximtion us Π 7 n f, berechnet mit Remez-Algorithmus (links) und der entstehende Approximtionsfehler (rechts). Problem: Wie sollte die Strtreferenz x <... < x n+ b gewählt werden? Wähle im Intervll [, b] zum Beispiel die Tschebyscheff-Knoten x k = + b 2 + ( b 2 ) cos kπ n + k =,..., n +. Algorithmus: siehe z.b. G. Meß: Vorlesungen über numerische Mthemtik, Bnd II: Anlysis, Birkhäuser, Bsel, 2. Aufl., 988. Bechte: Ds Mple-Progrmm findet keine sinnvolle Lösung, wenn sich für die Strtreferenz die Referenzbweichung ergibt. Beispiel: Wir wollen eine gleichmäßige Approximtion n die Funktion f(x) = uf dem Intervll [ 5, 5] finden (Rungebeispiel). Wir suchen ds Polynom x bester Approximtion n f(x) us Π 7. Als Strtreferenz verwenden wir die Tschebyscheff-Knoten [ 5., 4.694, ,.9342,.,.9342, , 4.694, 5.]). Nch 4 Itertionen mit dem Algorithmus erhlten wir die neue Referenz [ 5., , 3.394,.7359,.,.7359, 3.394, , 5.]) und h =.5. 7