Kapitel 7. Interpolation. 7.1 Algebraische Interpolation. Interpolationsproblem: Satz 7.1:

Transkript

1 Kpitel 7 Interpoltion Idee: Zu einer Funktion f(x) finde mn ein Polynom (oder eine ndere gut hndhbbre Funktion), ds mit f(x) n gewissen vorgegebenen Stellen übereinstimmt Anwendung: Konstruktion von Zwischenwerten für eine Funktion, von der nur einige Funktionswerte beknnt sind 7 Algebrische Interpoltion Sei Π n die Menge ller Polynome p vom Grd n der Form p(x) = 0 + x + + n x n, j R(C) Interpoltionsproblem: Gegeben: n + prweise verschiedene Punkte x 0,,x n R, diestützstellen oder Knoten gennnt werden, sowie n + zugehörige Werte y 0,,y n R, Funktions- oder Stützwerte gennnt Gesucht: p Π n, ds die Interpoltionsbedingungen erfüllt Stz 7: Ds Interpoltionsproblem (7) besitzt genu eine Lösung ) Existenz: Ds Polynom p Π n ht die Form p(x k )=y k, k =0,,n, (7) p(x) = j x j und ist durch 0,, n eindeutig bestimmt Aus den Interpoltionsbedingungen (7) folgt p(x k )= j x j k = y k, k =0,,n

2 Kpitel 7: INTERPOLATION 97 Wir erhlten ein lineres Gleichungssystem (LGS) der Form x 0 x 0 x n 0 0 y 0 x x x n = y x n x n x n n n y n }{{} Vndermonde-Mtrix V=(x k j )n j,k= Wegen det V = 0 j<k n (x k x j ) 0 besitzt ds System eine eindeutige Lösung ) Die Eindeutigkeit folgt us der Ttsche, dss,x,,x n eine Bsis von Π n bilden Denn ngenommen, für p,p Π n ist erfüllt Ds bedeutet p (x k )=p (x k )=y k, p (x k ) p (x k )=0, k =0,,n, k =0,,n, dh, ds Polynom q(x) :=p (x) p (x) ht mindestens n + Nullstellen Wegen q Π n folgt q 0, und dmit ist p p Definition 7: (Lgrnge-Grundpolynome) Es seien n + prweise verschiedene Punkte x k R,k =0,,n, gegeben Dnn heißen l j (x) := n k j x x k x j x k für j =0,,n, die zu diesem Knoten gehörenden Lgrnge-Grundpolynome Es gilt {, j = k l j (x k )=δ jk = 0, j k Setzen wir w n+ (x) :=Π n (x x k), so erhlten wir eine neue Drstellung von l j (x) : l j (x) = w n+(x) (x x j ) n (x j x k ) k j = w n+(x) (x x j ) lim x x j w n+ (x) = = w n+(x) (x x j ) lim x x j (x x j ) w n+ (x) w n+ (x) (x x j )w n+ (x j) Stz 73: Die eindeutige Lösung des Interpoltionsproblems (7) lässt sich in der Lgrnge-Form drstellen p(x) = y j l j (x) = y j n k j x x k x j x k (7)

3 98 Kpitel 7: INTERPOLATION Wegen l j (x k )=δ jk, 0 j, k n, folgt p(x k )= y j l j (x k )=y k,,,n Die Lgrnge-Form ist für numerische Berechnungen kum geeignet flls n groß ist Beispiel: Sei n = Gegeben: x k 0 3 y k 3 Gesucht ist p(), wobei p(x k )=y k für k =0,, Wir erhlten: Also folgt l 0 (x) = (x )(x 3) (0 )(0 3),l (x 0)(x 3) (x) = ( 0)( 3),l (x 0)(x ) (x) = (3 0)(3 ) p() = l 0 () + 3 l () + l () = ( ) 3 Rekursive Berechnung: = 0 3 Gegebensind(x k,y k ),k =0,,,n, mit x k [, b] prweise verschieden Wähle k 0,,k r {0,,,n} prweise verschieden Sei p k0,,k r Π r ds Interpoltionspolynom, ds die Interpoltionsbedingungen n den Stellen x k0,,x kr erfüllt, dh p k0,,k r (x kj )=y kj, j =0,,r Lemm 74: Es gilt die Rekursionsformel (i) p k (x) y k, k {0,,n}, (ii) p k0,,k r (x) = (x x k 0 )p k,,k r (x) (x x kr )p k0,,k r (x) x kr x k0 (i) Wegen p k Π 0 ist p k eine konstnte Funktion mit p k (x k )=y k p k (x) y k (ii) Sei p(x) = (x x k 0 )p k,,k r (x) (x x kr )p k0,,k r (x) (x kr x k0 )

4 Kpitel 7: INTERPOLATION 99 Dnn folgt p(x) Π r, denn p k,,k r,p k0,,k r Π r Weiter gilt und für j =,,,r, y k0 {}}{ p(x k0 ) = 0 (x k 0 x kr ) p k0,,k r (x k0 ) = y k0, (x kr x k0 ) p(x kr ) = (x k r x k0 )p k,,k r (x r ) 0 = y kr, (x kr x k0 ) p(x kj )= (x k j x k0 )y kj (x kj x kr )y kj (x kr x k0 ) = y kj Somit folgt p(x kj )=y kj für j =0,,r Wegen 73 folgt p = p k0,,k r Algorithmus von Neville: Gegeben: (x k,y k ),,,n, mit x k [, b] prweise verschieden, x [, b] fest Gesucht: p(x) wobeip Π n die Interpoltionsbedingungen p(x k )=y k,,,n erfüllt Symmetrisches Dreiecksschem: y 0 = p 0 (x) y = p (x) p 0 (x) y = p (x) p (x) p 0 (x) y 3 = p 3 (x) p 3 (x) p 3 (x) p 03 (x) Für p 3 (x) gilt zb p 3 (x) = (x x )p 3 (x) (x x 3 )p (x) x 3 x Beispiel: Gegeben: x k 0 3 y k 3 Gesucht: Funktionswert n der Stelle x = r =0 r = r = x 0 =0 p 0 () = x = p () = 3 p 0 () = 5 x =3 p () = p () = 5 p 0 () = 0 3

5 00 Kpitel 7: INTERPOLATION Qudrtisches Interpoltionspolynom (siehe Beispiel) p 0 () = ( 0) 3 ( ) 0 =5, p () = ( ) ( 3) 3 3 = 5, p 0 () = ( 0) 5 ( 3) = 0 3 Aufwnd: 4 Subtrktionen, Multipliktionen, Division pro Zwischenpolynom Für n+ Knoten benötigen wir n j= j = (n+)n,,zwischenpolynome, dh, insgesmt sind lso (n +)n Additionen/Subtrktionen und 3 n(n + ) Multipliktionen/Divisionen zur Berechnung eines Wertes des Interpoltionspolynoms nötig MAPLE-Prozedur für den Neville-Algorithmus > restrt; with(lineralgebr): Digits:=0; # Neville-Algorithmus neville:=proc(x, f, wert) # x ist der Vektor der Stuetzstellen # f ist der Vektor der Stuetzwerte # wert ist die x-koordinte, n der ds Interpoltionspolynom usgewertet werden #soll # option trce; locl y, n, j, k; n:=dimension(f); y:=vector(n); for j from to n do y[j] :=f[j] end do; for k from to n- do for j from n by ( ) to k +do y[j]:=evlf(((wert x[j k]) y[j]+(x[j] wert) y[j ])/(x[j] x[j k])) end do end do; RETURN(y[n]) end proc: Bemerkung: (i) Alterntiv knn mn die Methode von Aitken verwenden, die uf einem unsymmetrischen Tbleu bsiert:

6 Kpitel 7: INTERPOLATION 0 y 0 = p 0 (x) y = p (x) p 0 (x) y = p (x) p 0 (x) p 0 (x) y 3 = p 3 (x) p 03 (x) p 03 (x) p 03 (x) (ii) Der Neville- und der Aiken-Algorithmus eignen sich nicht gut zur Berechnung der Koeffizienten des Interpoltionspolynoms 7 Newton-Drstellung des Interpoltionspolynoms Idee: Wählt mn die Monome {,x,,x n } ls Bsis von Π n, so liefert ds Interpoltionsproblem (7) ein LGS mit der Vndermonde-Mtrix V =(x j k )n k, ls Koeffizientenmtrix Wählt mn die Lgrnge-Grundpolynome ls Bsis von Π n, so liefert ds Interpoltionsproblem (7) ein LGS mit der Einheitsmtrix ls Koeffizientenmtrix ((l j (x k )) n k, = I n+) Gesucht: Bsis {u j,j =0,,n} so, dss (u j (x k )) n k, eine Dreiecksmtrix ist Definition 74: (Newton-Grundpolynome) Die Newton-Grundpolynome seien rekursiv durch u 0 (x) := u j (x) := (x x j )u j (x), j =,,n, bzw explizit durch u j (x) := j (x x k), j=,,n, definiert Wir erhlten { 0, k < j, u j (x k )= j r=0 (x k x r ), k j Mit dem Anstz p(x) = n ju j (x) Π n erhlten wir us den Interpoltionsbedingungen p(x k )=y k,k =0,,n ds LGS x x x n x 0 Π n l=0 (x n x l ) 0 n = y 0 y y n Die Berechnung der Koeffizienten j knn nun durch Vorwärtselimintion erfolgen Wir zeigen, dss die j sogennnte dividierte Differenzen sind Definition 75: (Dividierte Differenz) Sei p j Π j ds Interpoltionspolynom zu den prweise verschiedenen Stützstellen x 0,,x j

7 0 Kpitel 7: INTERPOLATION und p j (x k )=y k für k =0,,j Dnn heißt der Koeffizient der höchsten Potenz x j von p j dividierte Differenz j-ter Ordnung Bezeichnung: [y 0,,y j ]=[p j (x 0 ),,p j (x j )] = p j [x 0,,x j ] (Flls für eine Funktion f gilt f(x k )=y k,,,j,schreibt mn uch [f(x 0 ),,f(x j )] oder f[x 0,,x j ]) Stz 76: Für die dividierte Differenz [y 0,,y j ] zu den prweise verschiedenen Stützstellen x k und den Stützwerten y k,k =0,,j, gilt: (i) [y 0,y,,y j ]= j r=0 y r j k r x r x k (ii) [y 0,,y j ] ist invrint gegenüber Permuttion der Wertepre (x 0,y 0 ),,(x j,y j ) (iii) [y 0,,y j ]lässt sich rekursiv berechnen: [y i ]:=y i, i =0,,j, [y i,,y i+l ]:= [y i+,,y i+l ] [y i,,y i+l ], i =0,,,j l; l =,,j x i+l x i (iv) Es gilt [y 0,,y j,y j+ ]=p j [x 0,,x j+ ] = 0, flls p j Π j und p j (x k )=y k, k = 0,,j+ (i) Aus der Lgrnge-Drstellung des Interpoltionspolynoms p j Π j mit p j (x k )=y k für k =0,,j, j j x x k p j (x) = y l x l x k l=0 k l ergibt sich für den Koeffizienten der höchsten Potenz x j : j j j = y l x l x k l=0 k l Aus Definition 75 folgt dmit die Behuptung (ii) Die Aussge ist klr, d ds Interpoltionspolynom p j und dmit uch sein Höchstkoeffizient eindeutig bestimmt ist (iii) Sei p Π l ds Interpoltionspolynom durch die l Punkte (x r,y r ),r = i,,i + l, und q Π l ds Interpoltionspolynom mit q(x r )=y r, r = i +,,i+ l Die Leitkoeffizienten von p und q sind [y i,,y i+l ] und [y i+,y i+l ] Betrchte ds Polynom w Π l, w(x) := (x i+l x i ) [(x x i)q(x) (x x i+l )p(x)], x R Dnn folgt w(x i )= (x i x i+l ) (x i+l x i ) p(x i)=y i, w(x i+l )= x i+l x i (x i+l x i ) q(x i+l) =y i+l,

8 Kpitel 7: INTERPOLATION 03 und w(x j )=y j, j = i +,,i+ l Also ist [y i,,y i+l ]Höchstkoeffizient von w(x) Somit ht der Leitkoeffizient von w(x) die Form (x i+l x i) ([y i+,y i+l ] [y i y i+l ]) (iv) [y 0,,y j+ ]isthöchstkoeffizient des Interpoltionspolynoms p Π j+ mit p(x k )= y k,k =0,,j+ Wegen Stz 7 ist jedoch p = p j und dher der Koeffizient der höchsten Potenz x j+ gleich Null Stz 77: Ds Interpoltionspolynom p n Π n, ds die Bedingungen p n (x k )=y k,,,n,erfüllt, ht die Drstellung p n (x) =[y 0 ]+[y 0,y ](x x 0 )++[y 0,,y n ](x x 0 ) (x x n ) Sei ds Interpoltionspolynom p n in der Form p n (x) = j j u j (x), u j (x) := (x x r ), gegeben Dnn ist n der Höchstkoeffizient von p n,lso n =[y 0,,y n ] Wegen u n (x k )= 0,,,n, gilt für ds Polynom p n (x) = n ju j (x) nun r=0 p n (x k )=p n (x k ) n u n (x k )=y k, k =0,,n, dh, p n Π n ist Interpoltionspolynom für (x k,y k ),,,n Also gilt n =[y 0,,y n ]usw Beispiel: Sei n = x k 0 3 y k 3 k =0 k = k = x 0 =0 [y 0 ]= x = [y ]=3 [y 0,y ]= x =3 [y ]= [y,y ]= [y 0,y,y ]= 5 6 [y 0,y ]= y y 0 = 3 x x 0 0 =, [y,y ]= y y = ( ) x x, usw p 0 (x) =+(x 0) 5 6 (x 0)(x ) = + (x 0) ( 5 6 (x )) p 0 () = + ( 0) ( 5 6 ( )) = 0 3

9 04 Kpitel 7: INTERPOLATION Numerische Berechnung: Unter Verwendung der Newtonschen Interpoltionsformel knn ds Interpoltionspolynom mit einer Art Hornerschem berechnet werden: p n (x) =[y 0 ]+(x x 0 )([y 0,y ]+(x x ) ([y 0,y,y ]++ +(x x n )[y 0,,y n ]) )) Die dividierten Differenzen werden mittels des Dreiecksschems rekursiv berechnet: x 0 y 0 = [y 0 ] x y = [y ] [y 0,y ] x y = [y ] [y,y ] [y 0 y y ] x n y n = [y n ] [y n,y n ] [y 0,,y n ] MAPLE-Prozedur zur Berechnung der Newtonkoeffizienten > restrt; with(lineralgebr); Newtonkoeff:=proc(x, f) # x ist der Vektor der Stuetzstellen # f ist der Vektor der Stuetzwerte locl y, n, i, k; n:=dimension(x); y:=vector(n); y:=f; for k from to n do for i from n by tok +do y[i]:=evlf((y[i] y[i ])/(x[i] x[i k])) end do end do; evlm(y); end proc: Anwendung: > x:=vector([0,, 3]): y:=vector([, 3, ]): w:=newtonkoeff(x, y); ergibt w := [,, ] Zur Berechnung von Funktionswerten des Interpoltionspolynoms verwenden wir ds Horner- Schem: > Newtoninterpol:=proc(x, f, z) # f ist der Vektor der Stuetzwerte # x ist der Vektor der Stuetzstellen

10 Kpitel 7: INTERPOLATION 05 # z ist der Vektor der Stuetzstellen, fuer den ein Interpoltionswert gesucht ist locl Newtonkoeff, y, p, m, n, j, k; Newtonkoeff:=proc(x, f) end proc; # Berechnung der Funktionswerte des Interpoltionspolynoms y:=newtonkoeff(x, f); n:=dimension(y); m:=dimension(z); p:=vector(m); for j from to m do p[j] :=y[n]; for k from n by( ) to do p[j]:=evlf(y[k]+(z[j] x[k]) p[j]) end do; end do; evlm(p); end proc: Anwendung: > n:=00: z:=vector(n): := 0 : b := 3: for j from to n do z[j]:=evlf( +(j ) (b )/(n )) end do: p:=newtoninterpol(x, y, z): with(plots): listplot([seq([z[t],p[t]],t =n)]); Aufwnd für n + Knoten: Zur Berechnung der dividierte Differenzen: benötigen wir (n +)n Additionen und (n +) n Multipliktionen Für die Auswertung des Polynoms mit dem Hornerschem bruchen wir n Additionen und n Multipliktionen pro Polynomwert Dmit ist Newton-Drstellung zur numerischen Auswertung weit günstiger ls der Neville- Algorithmus Bemerkung: Wähle die Stützstellen x k äquidistnt, dh x k = x 0 + kh, k =0,,n, mit h>0 Die Vorwärtsdifferenzen seien durch 0 y k := y k, r y k := r y k+ r y k rekursiv definiert, dh zb y k = y k+ y k, y k = y k+ y k =(y k+ y k+ ) (y k+ y k )=y k+ y k+ y k Dnn gilt: [y k,,y k+r ]= h r r! r y k Übungsufgbe

11 06 Kpitel 7: INTERPOLATION Ds Interpoltionspolynom ht dnn die Newtondrstellung p n (x) = = t= x x 0 h = j y 0 h j j! j (x x 0 kh) j j y 0 h j h(t k) j! j y 0 t(t ) (t j +) = j! }{{} := t j A ( ) j t y 0 j Stz 78: (Leibnizregel für dividierte Differenzen) Ist f = g h ds Produkt zweier Funktionen, so gilt für die dividierte Differenz f[x 0,,x n ] zu den Knoten x 0 <<x n f[x 0,,x n ]= g[x 0 x i ] h[x i x n ] i=0 Setze i n u i (x) := (x x k ), ũ j (x) := (x x l ) l=j+ Nch Stz 77 ht ds Interpoltionspolynom p Π n von g mit p(x k )=g(x k ),,,n, die Drstellung p(x) = g[x 0,,x i ] u i (x) i=0 Anlog folgt für ds Interpoltionspolynom q Π n von h mit q(x k )=h(x k ),,,n, q(x) = Dnn interpoliert i=0 h[x j,,x n ]ũ j (x) p(x)q(x) = g[x 0,,x i ]h[x j,,x n ]u i (x)ũ j (x) die Funktion f in x 0,,x n Aber für i>jist u i (x k )ũ j (x k )=0,,,nDs Polynom w(x) = i=0 j=i g[x 0,,x i ]h[x j,,x n ] u i (x) }{{} Grdi ũ j (x) }{{} Grd(n j) interpoliert f ebenflls in x 0,,x n D w Π n,htw(x) nch Definition 75 den Leitkoeffizient f[x 0,,x n ]= g[x 0,,x i ]h[x i,,x n ] i=0

12 Kpitel 7: INTERPOLATION 07 Wir wollen nun für die dividierte Differenz eine Integrldrstellung herleiten: Stz 79: (Integrldrstellung für dividierte Differenzen) Ist f C n [x 0,x n ], so ht die dividierte Differenz f[x 0,,x n ] zu den Knoten x 0 <<x n die Integrldrstellung mit dem Peno-Kern wobei f[x 0,,x n ]= G n (t) := w k := xn x 0 f (n) (t)g n (t)dt w k (x k t) n +, t R, (n )! n l=0 l k x k x l, { x und x n + := n, x 0 die so gennnte bgeschnittene Potenz (truncted power function) ist 0, x < 0 Für f C n [x 0,x n ] und x [x 0,x n ] gilt die Tylorformel f(x) = n f (j) (x 0 ) (x x 0 ) j j! }{{} :=p n (x) = p n (x)+ xn x + (x t) x 0 (n )! (x t) n f (n) (t)dt x 0 (n )! }{{} Restglied n + f (n) (t)dt Nch Stz 76 (i) wr f[x 0,,x n ] = f[x 0,,x n ] = w k f(x k ) mit w k = xn w k [p n (x k )+ Wegen p n Π n gilt mit Stz 76 (i) und (iv) Drus folgt n l=0 l k x k x l n + (x k t) x 0 (n )! w k p n (x k )=p n [x 0,,x n ]=0 f[x 0,,x n ] = = xn (x k t) w k x 0 (n )! f (n) (t) x 0 xn n + f (n) (t)dt w k (x k t) n + (n )! } {{ } G n (t) ] f (n) (t)dt dt

13 08 Kpitel 7: INTERPOLATION Beispiel: Für n = erhlten wir den Peno-Kern (x 0 t) 0 + (x t) 0 + G 0 (t) = + (x 0 x ) 0! (x x 0 ) 0! Für n = finden wir = { (x x 0 ) t (x 0,x ], 0 sonst G (t) = = (x 0 t) + (x 0 x )(x 0 x ) + (x t) + (x x 0 )(x x ) + (x t) + (x x 0 )(x x ) (t x 0) (x x 0)(x x ) t (x 0,x ], ( t+x ) (x x 0)(x x ) t (x,x ], 0 sonst 73 Interpoltionsfehler Sei f eine Funktion und p n ds zugehörige Interpoltionspolynom, dh, f(x k )=y k = p n (x k ),,,n Frge: Wie groß ist der Interpoltionsfehler r n (x) :=f(x) p n (x)? Stz 70: Ist f in einem Intervll I, ds x, x 0,,x n enthält, (n + )-ml stetig differenzierbr, so gilt f(x) p n (x) = f (n+) (ξ x ) u n+ (x), (n +)! wobei u n+ (x) :=(x x 0 ) (x x n ) und ξ x I eine Zwischenstelle ist ) Für x = x k ist f(x) p n (x) = 0 und die Behuptung gilt ) Sei x x k k =0,,n, fest Wir betrchten die Funktion ( ) f(x) pn (x) g x (t) =g(t) :=f(t) p n (t) u n+ (t) u n+ (x) Dnn ht die Funktion g im Intervll I mindestens die Nullstellen x 0,,x n,x, und g C n+ (I) Wir wenden den Stz von Rolle (n + )-ml n Dnn existiert ein ξ x I, so dss g (n+) (ξ x ) = 0 gilt Aus ( ) f(x) g (n+) (t) =f (n+) (t) p (n+) pn (x) n (t) (n +)! }{{} u n+ (x) =0 folgt ( ) f(x) g (n+) (ξ x )=f (n+) pn (x) (ξ x ) (n +)!=0 u n+ (x) f (n+) (ξ x ) (n +)! u n+ (x) =f(x) p n (x)

14 Kpitel 7: INTERPOLATION 09 D die Lge von ξ x nicht beknnt ist, schätzen wir f (n+) (ξ x ) durch die Mximumnorm f (n+) b Folgerung 7: Unter den Vorussetzungen von Stz 70 gilt die Abschätzung f(x) p n (x) f (n+) u n+ (x) x I, (n +)! wobei f (n+) := mx f (n+) (t) t I Eine ndere Fehlerdrstellung erhält mn mit Hilfe dividierter Differenzen Die Vorussetzung der Differenzierbrkeit ist hier nicht notwendig! Stz 7: Bei der Interpoltion von f C (I) durch ein Polynom p n Π n in den prweise verschiedenen Stützstellen x k,k =0,,n gilt f(x) p n (x) =f[x 0,,x n,x] u n+ (x) ) Sei zunächst x I mit x x k,k =0,,n, fest Es wr p n (t) =f[x 0 ]+f[x 0,x ](t x 0 )++ f[x 0,x,,x n ](t x 0 ) (t x n ) Betrchte nun ds Interpoltionspolynom für die Stützstellen x 0,,x n,x und die Stützwerte f(x 0 ),,f(x n ),f(x), p n+ (t) = f[x 0 ]+f[x 0,x ](t x 0 )++ f[x 0,,x n ](t x 0 ) (t x n ) +f[x 0,,x n,x](t x 0 ) (t x n )(t x n ) Dnn ergibt sich p n+ (t) p n (t) =f[x 0,,x n,x](t x 0 ) (t x n ) Setze nun t = x Dnn folgt p n+ (x) =f(x), und dmit erhlten wir f(x) p n (x) =f[x 0,,x n,x] (x x 0 ) (x x n ) }{{} u n+(x) ) Für x = x k,,,n, lässt sich f[x 0,,x n,x] folgendermßen definieren: sonst, wie bisher f[x k,x k ] = lim x x k f(x) f(x k ) x x k = f (x k ), f[x i,,x i+l ]= f[x i x i+l ] f[x i+ x x+l ] x i x i+l

15 0 Kpitel 7: INTERPOLATION Die Behuptung folgt nun mit u n+ (x k )=0, k =0,,n Durch Vergleich mit der Cuchy-Drstellung des Interpoltionsfehlers finden wir Folgerung 73: Ist f C n [x 0,x n ], so ht die dividierte Differenz zu den Knoten x 0 <<x n die Drstellung f[x 0,,x n ]= n! f (n) (ξ) für ein ξ [x 0,x n ] Optimle Stützstellenwhl Problem: Wie können wir durch günstige Whl der Stützstellen den Interpoltionsfehler f(x) p(x) minimieren? Erinnerung: Es wr f(x) p(x) f n+ (n+)! u n+ (x) Idee: Wähle x 0,,x n [, b] so,dssmx x [,b] u n+ (x) möglichst klein wird Beispiel: Sei [, b] =[, ] mit äquidistnter Knotenfolge x 0 =,x = + n,,x n =, dh x k = + k n für k =,,n Sei x [x j,x j+ ] ) Für k<j: x j x k x x k x j+ x k }{{}}{{} (j k)/n (j+ k)/n ) Für k j +:x k x j + }{{} (k j )/n Drus folgt einerseits und ndererseits u n+ (x) j x k x x k x j }{{} (k j)/n (j + k) n n k=j+ (k j) x j x x j+ x n = ( n )n (j +)! (n j)! x x j x j+ x u n+ (x) ( n )n j!(n j )! x x j x j+ x Dher knn u n+ (x) für x in der Nähe des Intervllrndes recht groß werden, zb x = x n+ + x n u n+ (x) ( n )n (n )! n n n =5: u 6 (0, 85) = mx x [,] u 6 (x), n =6: u 7 (0865) = mx x [,] u 7 (x) Ist eine ndere Knotenwhl günstiger? J! Wir wählen die Stützstellen x k := cos (k+)π (n+),,,n Dnn ist n T n+ (x) := n (k +)π (x cos (n +) )

16 Kpitel 7: INTERPOLATION x x Tschebyscheff-Polynome vom Grd 5 (links) und vom Grd 0 (rechts) ds Tschebyscheff-Polynom vom Grd n + Stz 74: Ds Tschebyscheff-Polynom lässt sich für x [, ] in der Form T n (x) =cosn(rccos x), n =0,,, drstellen, dh T n (cos ϕ) =cos(nϕ) (x := cos ϕ [, ] mit ϕ [0,π)) Die Tschebyscheff-Polynome genügen der Rekursionsformel T n+ (x) =xt n (x) T n (x), n mit T 0 (x) =,T (x) =x Sei Tn (x) := cosn(rccos x) für x [, ], dh, Tn (cos ϕ) = cos(nϕ) für x := cos ϕ Insbesondere folgt T 0 (x) = cos 0 =, und T (x) =x Dsichcos(nϕ) ls Linerkombintion von cos j ϕ, j =0,,n, drstellen lässt, ist T n (x) Π n Es gilt cos(nϕ) =cos((n )ϕ + ϕ) =cos(n )ϕ cos ϕ sin(n )ϕ sin ϕ Außerdem gilt sin α sin β = [cos(α β) cos(α + β)] Dmit folgt sin(n )ϕ sin ϕ = cos(n )ϕ cos nϕ Einsetzen ergibt cos nϕ =cosϕcos(n )ϕ cos(n )ϕ Also erfüllt T n die Rekursionsformel und es gilt T n Π n Weiter erhlten wir T n (cos (k+)π n ) = cosn(rccos(cos (k+)π n )) = cos(n (k+)π n ) = cos (k+)π =0 Ds bedeutet T n = T n Der Höchstkoeffizient n folgt us der Rekursionsformel Bechte: Bei Knotenwhl x k =cos (k+)π (n+), k =0,,n, ist u n+(x) = Tn+(x) n

17 Kpitel 7: INTERPOLATION Stz 75: Ds Polynom n T n+ (x) istvomgrdn +mithöchstem Koeffizienten Eins, und es gilt n T n+ (x) = mx x [,] n mx u n+(x) x [,] für jedes Polynom u n+ (x) vom Grd n +mithöchstem Koeffizient Ds Polynom T n+ (x) htdenhöchstkoeffizient n Dies folgt induktiv us der Rekursionsformel in Stz 74 Aus der Definition von T n+ (x) folgt T n+ (x) für x [, ] Die Extremlwerte werden n den n + Punkten x k =cos kπ n+,k =0,,n+, ngenommen: ( ) { kπ T n+ (cos n + )=cos kπ,k gerde (n +) =cos(kπ) = (n +),k ungerde Sei u n+ Π n+ beliebig mit Höchstkoeffizient Angenommen u n+ (x) < n x [, ] Dnn ist p(x) = u n+ (x) T n n+ (x) lternierend positiv bzw negtiv n den Stellen kπ n+, k =0,,n+, ht lso mindestens n + Nullstellen D ber p Π n folgt dmit p 0 Dies ist ein Widerspruch zur Annhme Beispiel: Für die Knotenwhl x k =cos (k+)π (n+), k =0,,n erhlten wir nun n =5: mx x [,] u 6 (x) = 5 =0035, n =6: mx x [,] u 7 (x) = 6 =00565 Beispiel: (Runge) Es sei f(x) = x + Wir betrchten die Interpoltion uf dem Intervll [ 5, 5] Äquidistnte Knoten: x k = 5+ 0k n, Tschebyscheff-Knoten: x k =5cos (k+)π (n+), k =0,,n, Divergenz für n k =0,,n, Konvergenz für n 5 5 y y x x 4-05 Interpoltion für äquidistnte Knoten (links) und Tschebyscheff-Knoten (rechts) für n = 0

18 Kpitel 7: INTERPOLATION 3 Einfluss von Störungen der Funktionswerte Die Stützwerte y k,k =0,,n, seien fehlerbehftet Es gelte: ỹ k = y k + ε k, ε k <εfür k =0,,n Ds mit den korrekten Stützwerten y k berechnete Interpoltionspolynom p sowie ds mit ỹ k berechnete Polynom p hben folgende Lgrngedrstellung Sei Dnn folgt p = y k l k, p = η = p p = η(x) ỹ k l k (ỹ k y k ) l k ε l k (x) ε L n (x), wobei L n (x) := n l k(x) Wir erhlten für = x 0 <x <x n = b mx p(x) p(x) = mx η(x) ε mx L n(x) x [,b] x [,b] x [,b] }{{} =:Λ n Die Konstnte Λ n := mx x [,b] L n (x) istnurbhängig von den Stützstellen x 0 <x < x n Sie ist ein Mß dfür, wieweit sich der Eingngsfehler verstärkend uf ds Endresultt uswirkt Beispiel: Sei [, b] =[, ] n Λ n für äquidistnte Knoten Λ n für Tscheyscheff-Knoten 5 3, 069, , , , 0545, , , (Λ n divergiert für beide Knotensequenzen gegen, jedoch unterschiedlich schnell!)

19 Kpitel 8 Numerische Integrtion 8 Einführung Bei der Berechnung von bestimmten Integrlen ist mn im Allgemeinen uf numerische Näherungen ngewiesen, wenn keine nlytische, geschlossene Drstellung dieser Integrle möglich ist Definition 8: (Qudrturformel) Unter einer Qudrturformel Q zur Berechnung des bestimmten Integrls I(f) := f(x) dx für f C[, b] verstehen wir die Summe Q(f) := j f(x j ), j R,x j [, b], mit den Knoten x 0,,x n und den Gewichten 0,, n Die Differenz R(f) := f(x) dx Q(f) bezeichnet mn ls Qudrturfehler WennR(p) =0für lle Polynome p Π d gilt, so heißt Q exkt uf der Menge der Polynome Π d vom Höchstgrd d Beispiel: n =0: Q(f) =f()(b ) Rechteckregel Q(f) =f( +b )(b ) Mittelpunktregel n =: Q(f) =(f()+f(b)) b Trpezregel Idee: Zur Berechnung von B f(x) dx wende mn eine einfche Qudrturformel uf möglichst A vielen Teilintervllen von [A, B] n: Wähle eine Zerlegung A = z 0 <z <z < < z N = B und wende die Qudrturformel uf jedem Teilintervll [z j,z j+ ],j =0,,N, n: ) zusmmengesetzte Rechteckregel: I(f) N f(z j)(z j+ z j ) b) zusmmengesetzte Mittelpunktregel: I(f) N f(zj+zj+ )(z j+ z j )

20 Kpitel 8: NUMERISCHE INTEGRATION 5 c) zusmmengesetzte Trpezregel: I(f) N (f(z j)+f(z j+ )) (z j+ z j ) = f(z 0 )( z N z 0 )+ j= f(z j )( z j+ z j )+f(z N )( z N z N ) Wählt mn die Zerlegung des Intervlls [A, B] äquidistnt, dh z j = A + jh, mit h =,j =0,,N, so folgt zb für die zusmmengesetzte Mittelpunktregel: B A N I(f) N f( N A + hj + A + h(j +) ) h = h f(a + j + h) Um verschiedene Qudrturformeln miteinnder vergleichen zu können, benötigen wir eine Drstellung des Qudrturfehlers R(f) = I(f) Q(f) Dzu betrchten wir im Folgenden ein kleines Teilintervll [, b] Stz 8: Der Fehler R(f) einer(n + ) punktigen Qudrturformel vom Exktheitsgrd d f(x) dx = j f(x j )+R(f), x 0 <<x n b, ht für f C m+ [, b] und 0 m d die Drstellung wobei R(f) = f (m+) (t)g m (t) dt, G m (t) := m! R x[(x t) m + ]:= n m! ( (x t) m + dx j (x j t) m + ) Hierbei bedeutet R x ((x t) m + ), dss R uf die Funktion (x t) m + ls Funktion in x nzuwenden ist G m heißt Peno-Kern von R Sei f C m+ [, b] gegeben Eine Tylor-Entwicklung von f in ergibt mit dem Restglied r m (x) = m! x m f(x) = j! f (j) ()(x ) j +r m (x) }{{} Polynom vom Grd m d f (m+) (t)(x t) m dt = m! Wegen R(p) =0für lle p Π d und m d folgt R(f) =R(r m ) f (m+) (t)(x t) m + dt

21 6 Kpitel 8: NUMERISCHE INTEGRATION Nun ist R(r m ) = = m! = m! = m! Folgerung 83: r m (x) dx Ist f C m+ [, b], so ist j r m (x j ) f (m+) (t)(x t) m j + dtdx f (m+) (t)(x j t) m + dt m! f (m+) (t) (x t) m + dx j (x j t) m + dt f (m+) (t) R x [(x t) m + ] dt R(f) mx x [,b] f (m+) (x) G m (t) dt Beispiel: Die Mittelpunktregel: f(x)dx (b )f(+b )=Q(f) ht den Exktheitsgrd d =, denn für p(x) =mx + n ist I(p) = ] b + nx [ mx (mx + n)dx = = m (b ) + n(b ) ( b + = (b )(m ) + n) =(b )p( + b )=Q(p) Wähle m = 0 Dnn erhlten wir den Peno-Kern G 0 (t) = = (x t) 0 + dx (b )( + b t) 0 + { (b t) (b ) = t, t +b +b (b t) 0, <t b Für f C [, b] folgt R(f) f (t) G 0 (t) dt mx f (x) G 0 (t) dt x [,b] }{{} (b ) 4

22 Kpitel 8: NUMERISCHE INTEGRATION 7 Wähle nun m =: G (t) = (x t) +dx (b )( + b t) + { +b (x t)dx (b )( = t t), t +b b +b t (x t)dx, <t b { ( t) =, t +b (b t) +b, <t b d [ ] (x t) b (b t) (x t)dx = = t t Dnn gilt us Symmetriegründen +b G (t) dt = (t ) [ (t ) 3 dt = 6 ] +b (b )3 = = 48 (b )3, 4 und dmit folgt für f C [, b] lso R(f) mx x [,b] f (x) G (t) dt = (b )3 4 mx x [,b] f (x) Für die zusmmengesetzte Mittelpunktregel folgt drus für f C [A, B] B N I(f) Q(f) = f(x) dx f(a + A N N A+(j+)h A+jh j + h) h f(x) dx f(a + mx f (x) h3 x [A+jh,A+(j+)h] 4 mx f (B A)3 (x) n x [A,B] 4N 3 = O( N ) j + h) h 8 Interpoltorische Qudrturformeln Definition 84: (interpoltorische Qudrturformel) Eine (n +) punktige Qudrturformel Q(f) := n jf(x j )heißtinterpoltorisch, wenn Q uf der Menge der Polynome Π n exkt ist Stz 85: Zu beliebig vorgegebenen Stützstellen x 0 <x < < x n b existiert genu eine

23 8 Kpitel 8: NUMERISCHE INTEGRATION interpoltorische Qudrturformel Q(f) = n jf(x j ) Ihre Gewichte erhält mn durch Integrtion der Lgrnge-Grundpolynome l j,j =0,,n, dh j = l j (x) dx mit l j (x) := n k j (x x k ) (x j x k ) (Idee: Interpoliere f durch p n Π n und integriere dnn p n exkt sttt f) ) Existenz: D jedes Polynom p Π n eindeutig in der Lgrngeform p(x) = n p(x j)l j (x) drstellbr ist (siehe Stz 73), folgt p(x) dx = p(x j )l j (x) dx = p(x j ) l j (x)dx = Q(p) } {{ } = j ) Eindeutigkeit: Seien Q(f) und Q(f) = n b jf(x j )zudenstützstellen x 0 < < x n b interpoltorisch Dnn gilt für lle p Π n : Q(p) Q(p) = 0 Ds bedeutet n ( j b j )p(x j )=0für lle p Π n Wählen wir p k (x) :=x k,k =0,,n,soerhlten wir ds LGS x 0 x x n x 0 x x n x n 0 x n x n n 0 b 0 b n b n = 0 D die Koeffizientenmtrix invertierbr ist, folgt j = b j,,,n Bemerkung: Für äquidistnte Stützstellen x j = + hj, j =0,,n, h = b n, heißen die interpoltorischen Qudrturformeln Newton-Cotes-Formeln Wir erhlten in diesem Fll mit der Substitution t = x h j = j,n = = n 0 n k j n k j n = h( )n j j!(n j)! x x b k dx = x j x k h(t k) h(j k) hdt= 0 n ( x hk hj hk ) dx k j h n (j k) k j n 0 n (t k) dt k j n (t k) dt (8) k j Beispiel: Für n =erhält mn die Trpezregel: x 0 =, x = b, Q(f) = 0 f(x 0 )+ f(x )= 0 f()+ f(b)

24 Kpitel 8: NUMERISCHE INTEGRATION 9 mit 0 = = l 0 (x) dx = l (x) dx = b [ (x b) x ( b) dx = bx b ] b = b, Stz 86: Der Qudrturfehler für die (n + ) punktige interpoltorische Qudrturformel ht die Form R(f) = f(x) dx p n (x) dx = f[x 0,,x n,x] u n+ (x) dx mit u n+ (x) =(x x 0 )(x x ) (x x n ), wobei p n Π n ds Interpoltionspolynom von f zu den Stützstellen x 0 <x <<x n ist Für die Polynom-Interpoltion wr nch Stz 7: worus die Behuptung folgt Beispiel: f(x) p n (x) =f[x 0,,x n,x]u n+ (x), Für n = folgt wegen (x )(x b) 0 x [, b] R(f) = f[, b, x](x )(x b) dx mx f[, b, η] η [,b] (b )3 (x )(x b) dx = mx f[, b, η] η [,b] 6 Für f C [, b] wrf[, b, η] = f (ξ) für eine Zwischenstelle ξ [, b] (siehe Folgerung 7) Dmit erhlten wir R(f) (b )3 mx f (ξ) ξ [,b] Für n = nennt mn die entsprechende Newton-Cotes-Formel Simpson-Regel oder Keplersche Fssregel Wir erhlten Q(f) = 0 f()+ f( + b )+ f(b) und mit (8) 0 = l 0 (x) dx = ( b ) ( ) 0 (t )(t ) dt 0!( 0)! 0 = b [ ] t t +t =( b 4 )( )= b 6, = = l (x) dx = ( b ) ( )!! l (x) dx = b t (t ) dt = 4(b ), 6

25 0 Kpitel 8: NUMERISCHE INTEGRATION Also folgt Q(f) = b 6 [f()+4f( + b )+f(b)] Qudrturfehler Die Simpson-Regel ist sogr für Polynome vom Grd 3 exkt Wir nutzen die Abschätzung us Folgerung 83 (bzw Stz 8) mit m = d = 3 und erhlten für f C 4 [, b], wobei für t [, b], = { R(f) mx x [,b] f (4) (x) G 3 (t) = (x t) 3 + 3! { = b (x t) 3 dx b 6 t 6 { (x t) 4 = 6 { (b t) b { (t ) 3 4 b t b 6 G 3 (t) dt [ dx (b 6 ) ( t) ( + b [ 4( + b ] } t) 3 + +(b t)3 t) 3 + +(b t)3 + [ 4( +b t) 3 +(b t) 3]}, t +b, 6 (b t) 3 } 7 (3t b), t +b, (b t) 3 +b 7 ( + b 3t), <t b Also folgt insgesmt +b G 3 (t) dt =, +b <t b, (t ) 3 ( +b 3t) 7 dt = 880 (b )5 ] } Wir erhlten für f C 4 [, b]: R(f) 880 (b )5 mx x [,b] f (4) (x) Newton-Cotes-Formeln höherer Ordnung werden kum benutzt Besser ist es, Formeln niedriger Ordnung zusmmenzusetzen Zusmmengesetzte Simpson-Regel Für die Zerlegung A = z 0 <z <<z N = B in äquidistnte Stützstellen z j = A+jh, j= 0,,N, h= B A N, erhlten wir f(x) dx = h 3 [ h 6 f(a) N f(z j )+4f( z j + z j+ )+f(z j+ ) N + f( z N j + z j+ )+ j= ] f(z j )+ f(b)

26 Kpitel 8: NUMERISCHE INTEGRATION Fehler für zusmmengesetzte Regel: R z (f) N 880 h5 mx ξ [z j,z j+] f (4) (ξ) mx f (4) (B A)5 (x) x [A,B] N 5 ( ) N 880 = O N 4