Übungsblatt 4 Musterlösung

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1 Numerik gewöhnlicher Differentilgleichungen MA234 - SS6 Übungsbltt 4 Musterlösung Aufgbe 7 (Nullstellen ls Eigenwerte) Die Polynome {S n } n=,,2,, S n P n, mit führem Koeffizienten eins, heißen Orthogonlpolynome bzgl. des Sklrproduktes, mit f,g := b ω(x)f(x)g(x) dx, wobei [,b], < b, ein Intervll in R drstellt und ω(x) eine uf (,b) positive Gewichtsfunktion ist, flls S n,s m = δ nm S n,s n = δ nm S n 2. ) Die Knoten {x i } i=,,,n, welche gerde die Nullstellen zum Orthogonlpolynom S n sind, und die Gewichte ω i der Guss-Qudrtur Q n lssen sich in der Regel nicht nlytisch berechnen. Mn knn sie numerisch (mit dem Golub-Welsch Algorithmus) erhlten, wie die folge Aussge zeigt. Seien {S n } n=,,2, Orthogonlpolynome und es gelte die Drei-Term-Rekursion S (x) =, S (x) =, S n (x) = (x n )S n (x) b 2 ns n 2 (x), n, wobei b n gesetzt wird. Zeigen Sie, dss die Nullstellen von S n gerde die Eigenwerte der Tridigonlmtrix b 2. b J n = b n b n n sind. b) Die us der Vorlesung beknnten Legre-Polynome P n erfüllen die oben gegebene Definition mit ω(x). Stellen Sie die Mtrix J n für die Legre-Polynome uf und zeigen Sie, dss die Gewichte der Guss-Qudrturformel durch ( ) ω i = 2 Pj(x 2 i ) gegeben sind.

2 Lösung 7 (Nullstellen ls Eigenwerte) ) Zu der Mtrix J n betrchten wir die Untermtrizen b 2 b 2 2 J k =, k n. k b k b k k Die Eigenwerte der Mtrix J k sind gegeben ls die Nullstellen des chrkteristischen Polynoms χ k (x) := det(j k xi). Dzu definiren wir forml: Es gelten χ (x) =, χ (x) =. χ (x) = det( x) = x = ( x)χ (x), ( ) x b χ 2 (x) = det 2 = ( 2 x x)( 2 x) b 2 2 = ( 2 x)χ (x) b 2 2χ (x). b 2 Induktiv erhlten wir durch Entwicklung nch der k-ten Splte χ k (x) = det(j k xi) = ( k x)det(j k ) b 2 kdet(j k 2 ) = ( k x)χ k (x) b 2 kχ k 2 (x). Für die Polynome S = χ, S = χ und S k (x) = ( ) k χ k (x), für k =,,n gilt nun die Rekursion S (x) =, S (x) =, S k (x) = (x k )S k (x) b 2 ks k 2 (x), k, wie leicht nchzurechnen ist. D die Nullstellen von S k und χ k identisch sind, stellen die Eigenwerte von J n gerde die Nullstellen von S n dr. b) Die Legre-Polynome P n genügen der Drei-Term-Rekursion P (x) =, P (x) = x, P n+ (x) = 2n+ n+ xp n(x) n n+ P n (x). Um drus Orthogonlpolynome mit führem Koeffizienten zu konstruieren, wählt mn die Trnsformtion P n (x) = α n P n (x). Ziel ist es nun, eine Rekursionsformel für die Konstnten α n herzuleiten. D für n = und n = die Legre-Polynome bereits führen Koeffizienten hben, setzen wir α = α =. 2

3 Anwen der Rekursionsformel liefert ( 2n+ P n+ (x) = α n+ P n+ = α n+ n+ xp n(x) n ) n+ P n (x) = α n+2n+ α n n+ x P n (x) α n+ n α n n+ P n (x). Die Forderung nch führem Koeffizienten führt uf die Bedingung α n+ 2n+ α n n+! = α n+ α n = n+ 2n+ α n+ = n+ 2n+ α n. () Dmit erhlten wir wie gewünscht eine Drei-Term-Rekursion für P n : P n+ (x) = x P n (x) α n+ n α n n+ P n (x) (2) n+ 2n+ = x P n (x) α n n α n n+ P n (x) = x P n (x) α n n α n 2n+ P n (x) (2) = x P n (x) n n 2n 2n+ P n (x) ( 2 n = (x) P n (x) Pn (x) = (x n+ ) P n (x) b 4n2 ) 2 P n+ n (x), wobei n := und b n := n 4(n ). 2 Die gesuchte Mtrix J n ist schließlich von der Form / 3 / 3 2/ 5 J n = 2/ 5. b n b n Jetzt bestimmen wir die Formel für die Gewichte ω i. Die (Referenz-) Guß Qudrtur Q integriert die Polynomen P k, k n+ exkt, d.h. { 2 k =, ω i P k (x i ) = P k (x)dx = (,P k ) = (P,P k ) = k n+. i= Dmit folgt P P P ω 2 P (x ) P (x ) P (x n ) ω =,..... P n (x ) P n (x ) P n (x n ) ω n }{{}}{{}}{{} =:P=(π,π,,π n) =:w =2e wobei π i := (P,P (x i ),,P n (x i )). Die Vektoren π i sind Eigenvektoren zu J n, d.h. J n π i = x i π i, und stehen prweise senkrecht ufeinnder: x i π i π k = x i π k π i = π k J n π i = (π k J n π i ) = π i J n π k = x k π i π k, 3

4 wobei wir die Symmetrie von J n verwet hben. Dmit gilt π i π k = für k i, d J n einfche Eigenwerte ht (P n hben einfche Nullstellen). Insgesmt folgt, dss 2 = π i 2e = π i Pw = π i = π i ( ω j P, ω j P (x j ),, ω j π j = ω i πi π i = ω i Pj(x 2 k ). ) ω j P n (x j ) Aufgbe 8 (Adptive Qudrtur) Ds Integrl I = b f(x)dx soll mit einer dptiven rekursiven Simpsonregel näherungsweise berechnet werden. ) Für = und b = h bezeichne S h den Näherungswert der Simpsonregel (bzw. S h/2 den der summierten Simpsonregel zur Schrittweite h/2). Wie bereits beknnt, gilt Zeigen Sie, dss durch die Extrpoltion I = S h +ch 5 +O(h 6 ). S h,h/2 = (6S h/2 S h )/5 ds Verfhren eine Ordnung gewinnt, lso I = S h,h/2 +O(h 6 ). b) Implementieren Sie die Funktion function I = qudstep(, b, f, f3, f5, f, TOL) Übergeben Sie zusätzlich die Funktion f ls nonyme Funktion und die gewünschte Tolernz TOL. Achten Sie druf, dss pro Aufruf von qudstep die Funktion f nur zweiml neu usgewertet wird. Initilisieren Sie vor dem ersten Aufruf eine globle Vrible ls einen Zähler für die Funktionsuswertungen globl count; count = 3; Zählen Sie diesen innerhlb der Funktion qudstep um jede Funktionsuswertung von f nch oben. Berechnen Sie ds Integrl I = xdx für die Tolernzen TOL = 4, 6, 8, und geben Sie jeweils den Fehler und die Anzhl der benötigten Funktionsuswertungen n. c) Implementieren Sie zum Vergleich die zusmmengesetzte Simpsonformel für äquidistnte Stützstellen. Stellen Sie fest, wie viele Funktionsuswertungen Sie benötigen, um einen Fehler in der gleichen Größenordnung wie in Teilufgbe ) zu relisieren. Lösung 8 (Adptive Qudrtur) 4

5 ) D I = S h +ch 5 +O(h 6 ) und I = S h/2 +2c ( ) 5 h +O(h 6 ), 2 S h S h/2 +ch 5( 2 4) +O(h 6 ) = ch 5 = S h/2 S h 2 4 +O(h 6 ). Somit folgt schließlich I = S h + S h/2 S h +O(h 6 ) = 5S h +6S h/2 6S h +O(h 6 ) = 6S h/2 S h 5 +O(h 6 ). b) Ein möglicher Vorschlg für die qudstep Funktion lutet: function I = qudstep(, b, f, f3, f5, f, TOL) globl count; count = count + 2; h = b - ; m = ( + b)/2; I = /6*h*(f + 4*f3 + f5); f2 = fevl(f, +.25*h); f4 = fevl(f, b -.25*h); I2 = /6*h/2*(f + 4*f2 + 2*f3 + 4*f4 + f5); I = (6*I2 - I)/5; if (bs(i - I2) < TOL) return; else I = qudstep(, m, f, f2, f3, f, TOL/2) + qudstep(m, b, f3, f4, f5, f, TOL/2); und für ds summierte Simpson Verfhren: function I = simpson(, b, f, n) globl count; h =.5*(b - )/n; x = linspce(, b, 2*n+); fx = fevl(f, x); I = h/3*(fx() + 4*sum(fx(2:2:2*n)) + 2*sum(fx(3:2:2*n-)) + fx(2*n+)); count = count + + n + (n-) + ; Wir rufen beide Funktionen nch der Initilisierung mit folgem Skript uf: 5

6 f sqrt(x); f = fevl(f, ); f3 = fevl(f,.5); f5 = fevl(f, ); globl count; for TOL = [e-4 e-6 e-8] count = 3; I = qudstep(,, f, f3, f5, f, TOL); bs(2/3 - I) count for n = [5 25 e6] count = ; I = simpson(,, f, n); bs(2/3 - I) count Die Ergebnisse sind dnn: Simpson dptiv Simpson summiert TOL count Fehler count Fehler e e e 6 e e e 8 e e e Aufgbe 9 (Numerische Integrtion: Mtlb) Betrchten Sie ds Integrl I = +x dx. ) Bestimmen Sie in Mtlb () die zugehörige Stmmfunktion, (b) den exkten Wert von I uf dem gegebenen Intervll, (c) näherungsweise ds Integrl bei Einteilug des Integrtionsintervlls in n = 2,4,8 Teile, mit Hilfe der trpz, qud und qud8 Funktionen. b) Implementieren Sie die Rechteck-, Trpez- und Simpsonregel, und vergleichen Sie den jeweiligen Integrtionsfehler und den numerischen Aufwnd. Lösung 9 (Numerische Integrtion: Mtlb) Ds Mtlb-Skript ist uf der Vorlesungseite zum herunterlden bereitgestellt. Die Ergebnisse vom Teil b) luten 6

7 ) >> syms x >> int(/(x+)) ns = log(x + ) >> int(/(x+),,) ns = log(2) >> double(intex) ns =.693 >> f >> n = 2; >> xlist = linspce(,,n+); >> flist = double(subs(f2,xlist)); >> trpz(xlist,flist) ns =.783 >> qud(f2,,) ns =.693 b) Exktes Integrl: dx = log(2) x Rechteck Trpez Simpson n Ĩ(f) Fehler FA Ĩ(f) Fehler FA Ĩ(f) Fehler FA Hier steht FA üf die Anzhl der Funktionsuswertungen. 7

8 Aufgbe 2 (Qudrturfehler) Aufgben zum Selbststudium Gegeben sei die QudrturformelQ n (f) := n i= ω if(x i ), wobeiω i die Gewichte undx i die Stützstellen der Guß-Qudrtur bzgl. dem Interll [, ] drstellen. Sei f(x) = exp(x). Zeigen Sie, dss dnn die Fehlerbschätzung gilt. f(x)dx Q n (f) e (2n+2)! 2 4n 2 Hinweis: Verwen Sie ohne Beweis, dss ω n+ (x) = n i= (x ξ i) 2 n T n+ (x) gilt, wobeit n+ P n+ ds Tschebyscheffpolynom bzgl.[, ] mit den Nullstellenξ i,i =,,n, drstellt. Lösung 2 (Qudrturfehler) Zuerst zeigen wir, dss f(x)dx Q n (f) b 2 inf p P 2n+ f p L ([,b]). Die Guß Qudrtur Q n integriert ds Polynom p P 2n+ exkt, und dmit gilt: b f(x)dx Q n (f) = = b b (f(x) p(x)+p(x))dx Q n (f) (f(x) p(x))dx+q n (p) Q n (f). D n i= w i = (b ), folgt Q(p) Q(f) = w i (p(x i ) f(x i )) (b ) f(x) p(x) L ([,b]). i= Ds heißt b f(x)dx Q n (f) 2(b ) f(x) p(x) L ([,b]). D obige Aussge für lle p P 2n+ gilt, knn noch ds Infimum über lle p P 2n+) genommen werden, und mn erhält die gesuchte Abschätzung. Nun wählen wir für p ds Tschebyscheff-Polynom T 2n+ P 2n+, ds die Funktion f(x) = exp(x) n den Tschebyscheffknoten ˆξ i,i =,,2n+, bzgl. dem Intervll [,] interpoliert. Mit y = 2x hben wir 2n+ ˆω 2n+2 (x) := (x ˆξ 2n+ i ) = (x 2n+ 2 (ξ i +)) = 2 2n 2 ((2x ) ξ i ) i= i= i= = 2 2n 2 ω 2n+2 (y) 2 2n 2 2 (2n+) T 2n+ (y) 2 4n 3. 8

9 Dnn folgt drus ds gewünschte Resultt: f(x)dx Q n (f) 2 f T 2n+ L ([,]) e (2n+2)! 2 4n 2. 2 (2n+2)!ˆω 2n+2 f (2n+2) L ([,]) Aufgbe 2 (Qudrturordnung) Zu I(f) = f(x)dx werde die Näherung Ĩ(f) := α f()+α f ()+β f(x ) betrchtet. ) Schätzen Sie b, welche mximle Ordnung eine solche Qudrturformel Ĩ durch geeignete Whl von α,α,β und x erreichen knn. b) Bestimmen Sie α,α,β und x, sodss Ĩ die größtmögliche Ordnung besitzt. Lösung 2 (Qudrturordnung) ) Die Qudrturformel ht vier freie Prmeter, drum knn, im llgemein, die Polynome bis der Ordnug drei exkt integrieren. Ein Beispiel, dss Ĩ nur eine Approximtiion für p(x) P 4 ist, lutet: p(x) = x 2 (x x ) 2, d p(x)dx >, ber Ĩ(p) =. b) UmĨ(p) = I(p) für llep P 3 zu erfüllen, muss die Gleicheit uch fürq = x 2 (x x ), p =,x,x 2 gelten: 4 x 3 = I(q) = Ĩ(q) =, = I() = Ĩ() = α +β, 2 = I(x) = Ĩ(x) = α β, 3 = I(x2 ) = Ĩ(x2 ) = 9 6 β, lso x = 3 4, α = 27, α = 8 und β =