Kapitel 17 : Lineare Regression Darstellung von zweidimensionalen Daten : (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n )

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1 (Kapitel 7: Lieare Regreio) Kapitel 7 : Lieare Regreio 7. Dartellug vo zweidimeioale Date : (, ), (, ),..., (, ). 7.. Beipiel : (a) Körpergewicht eie erwachee mäliche Pfälzer. Körpergröße (b) Azahl der Eier im Käfergelege. mittlere Größe der Larve eie Tag ach dem Schlüpfe. (c) Fußläge eie Ertkläßler. gemeee Schulleitug. (i) Urlite : (ii) Streudiagramm (Puktwolke) :

2 3 (Kapitel 7: Lieare Regreio) Im Falle (a) pricht ma vo poitiver, (iii) Der Korrelatiokoeffiziet : im Falle (b) vo egativer Korrelatio. Dieer tellt ei Maß dafür dar, wie tark (ud mit welchem Vorzei che behaftet) diee Korrelatio it. Dazu betrachte wir gleichzeitig die Abweichuge vom eweilige Mittelwert. ud Im Falle (a) eige beide Abweichuge dazu, gleichzeitig poitiv bzw. egativ zu ei. Ihr Produkt it dehalb tpicherweie poitiv. Im Falle (b) id diee gegeätzlich, d.h. ihr Produkt it egativ. Wir defiiere de Korrelatiokoeffiziete r al r r : ( )( ) ( ) ( ) ( )( ). E gilt : r, wobei r + a a + b, + b,,,,...,,..., mit a > 0. mit a < Bemerkug : (i) Voricht bei der Iterpretatio : Große Werte vo r bedeutet icht otwedig eie kauale Zuammehag vo ud. (ii) Die Korrelatio mißt, wie tark die -Werte vo de -Werte liear abhäge. Liegt (äherugweie) lieare Abhägigkeit vor (iehe z.b. Beipiel.(a) ud (b), icht edoch (c)!), o wird diee oft durch die Regreiogerade dargetellt. Hiermit bechäftige wir u im ächte Paragraphe.

3 4 (Kapitel 7: Lieare Regreio) 7. Lieare Regreio 7.. Motivatio: Zwiche dem Auchlag de Zeiger eie Voltmeter ud der agelegte Spaug betehe eie lieare Beziehug, die durch die Fuktio L() a + b bechriebe werde. Zur Eichug lege ma bekate Spaugwerte,..., a ud mee die Auchläge,...,. Wäre die Beziehug L() a + b zwiche Zeigerauchlag ud Spaug eakt erfüllt, ud köte ma ede vorgegebee Spaugwert völlig akkurat mee, o ließe ich a ud b au dem lieare Gleichugtem a + b L( ) ( ) a + b L( ) betimme ud alle weitere Gleichuge i a i + b L( i ), 3 i, müte für diee berechete Werte erfüllt ei.

4 5 (Kapitel 7: Lieare Regreio) Die Wirklichkeit ieht edoch o au, daß die Beziehug a + b ur äherugweie gilt, ud daß ma atelle vo a i + b i a i + b + ε i, i, mißt, wobei die ε i (kleie) zufällige Abweichuge (z.b. Meßfehler u..w.) id, die ich edoch bei viele Meuge im Mittel etwa augleiche. Da Problem it alo icht, da Gleichugtem ( ) ach a ud b hi aufzulöe, oder Schätzwerte â ud bˆ o zu fide, daß die Gerade â + bˆ die Date : (, ),..., (, ) am bete bechreibt (bet fit). Die it ei tatitiche Problem. E führt zur

5 6 (Kapitel 7: Lieare Regreio) 7.. Techik der lieare Regreio: Da die Werte willkürlich ud eakt gewählt werde köe, ud ur die Werte mit Meßfehler behaftet id, mißt ma die Güte der Apaug der Gerade a die Date mit Hilfe der i Richtug gemeee Abweichuge (a + b), : ud ucht dieeige (vo de Date abhägige) Werte â ud bˆ, für welche die Summe der Quadrate dieer Abweichuge miimal wird, d.h. für die ( ) [ ( a ˆ + bˆ)] mi [ ( a + b)]. a,b Diee Vorgehe et ma die Methode der kleite Quadrate. Bemerkug : Diee Methode geht auf Gauß zurück. Motivatio : Da,..., die Werte der freie Variable id, betrachte wir de Vektor (,..., ) der abhägige Variable ud vergleiche ih mit dem Vektor a,b (a + b,..., a +b) der zugehörige Fuktiowerte auf der Gerade mit de Parameter a ud b.

6 7 (Kapitel 7: Lieare Regreio) ud a,b habe (im dimeioale Raum) de Abtad [ ( a + b)]. â ud bˆ betimme alo die Gerade, für die a,b dem Datevektor am ächte kommt Betimmug der Regreiogerade: Wege ( ) leitet ma zur Ermittlug vo â ud bˆ Q(a,b) : ( a b) ach a b ab : ( a b) ( ) ud etzt beide Ableituge gleich 0. ( a b) ( ) Die ergibt ei lieare Gleichugtem für â ud bˆ : () â bˆ 0 () â bˆ 0 Kurzchreibweie : () (Σ) (Σ ) â (Σ) bˆ 0 () (Σ) (Σ) â bˆ 0 oder () (Σ ) â + (Σ) bˆ (Σ) () (Σ) â + bˆ (Σ)

7 8 (Kapitel 7: Lieare Regreio) () (+) bˆ (Σ/) (Σ/) â i () : (Σ ) â + (ΣΣ/) ((Σ) /) â (Σ) (((Σ ) (Σ) )/) â ((Σ) (ΣΣ))/ â ((Σ) (ΣΣ)) / ((Σ ) (Σ) ) i (+) : bˆ (Σ/) ((ΣΣ) ((Σ) Σ)/) / ((Σ ) (Σ) ) [(Σ Σ) ((Σ) Σ)/) (ΣΣ) + ((Σ) Σ)/)] / ((Σ ) (Σ) ) ((Σ Σ) (ΣΣ)) / ((Σ ) (Σ) ). Al Löug ergibt ich alo : ( Σ) ( Σ)( Σ) â ( Σ ) ( Σ) ( Σ )( Σ) ( Σ)( Σ) ud bˆ ( Σ ) ( Σ). Defiitio 7..4 : Die gefudee Gerade â + bˆ heißt Regreiogerade oder Augleichgerade vo bezüglich. Dividiert ma Zähler ud Neer vo â ud bˆ durch, erhält ma folgede alterative Dartellug : â () r ud bˆ (). Satz 7..5 : (, ),, der Schwerpukt der Date liegt tet auf der Regreiogerade, d.h. â + bˆ. Bewei : Wege () gilt: Σ â Σ + bˆ : â + bˆ.

8 9 (Kapitel 7: Lieare Regreio) 7..6 Fortetzug vo 7.. : Wir lege folgede 6 Spauge (i V) a da Voltmeter a ud beobachte die zugehörige Auchläge (i cm) : â ,383 ; bˆ , V ; 8,5 cm. 6 6 Σ ( Σ) ,67 ; 7,08. r 6 533, Σ Σ Σ 6,73 ; 4, ,08 4,09 0,995. Zwiche ud beteht alo (äherugweie) die Beziehug : 0, ,6

9 30 (Kapitel 7: Lieare Regreio) Beipiel 7..7 (Sedecor ud Cochra) : i p.p.m. i p.p.m. (p.p.m. part per millio) Phophor im Bode ; Phophor im Maipflaze â,4 ; bˆ 6,58 ; 3 ; 80. r 0,805. Zwiche ud beteht alo (äherugweie) die Beziehug :,4 + 6,58

10 3 (Kapitel 7: Lieare Regreio) 7..8 Bemerkug : Wie i. bemerkt, ollte ich die zufällige Abweichuge ε im Mittel etwa aufhebe. Ibeodere ollte dehalb die Date um die Regreiogerade gleichmäßig treue : I eiem Fall wie :

11 3 (Kapitel 7: Lieare Regreio) ollte ma keie Regreiogerade durch die Date lege Behelfmöglichkeite : (a) Im zweite Fall vo.8 ka ma ich uter Umtäde dadurch behelfe, daß ma für eie geeigete Fuktio (Traformatio) f atelle vo,..., ud,...,,..., ud z f( ),..., z f( ) betrachtet, ud fall die traformierte Date (, z ),..., (, z ) gleichmäßig um eie Gerade treue, die Regreiogerade vo z bezüglich betimmt. (b) Eie ugleiche Streuug der Date etteht, we die Mittelwerte vo uterchiedlich viele Beobachtuge id (z.b. bei Populatioe, dere Umfag mit der Zeit abimmt). Hier ollte ma eie gewichtete Regreio durchführe.

12 33 (Kapitel 7: Lieare Regreio) 7..0 Bemerkug : Regreiogerade ollte ma ur da betim me, we die Date eie lieare Verlauf erkee lae. Bei Date wie oder wie i Beipiel.7(c) wäre eie Regreiogerade fehl am Platze. Für Date wie i de obige Diagramme it die Apaug aderer (ichtliearer) Fuktioe mit ähliche Methode möglich. 7.3 t-tet für de Parameter a der Steigug eier Regreiogerade 7.3. Situatio : Y a + b + ε,. Ma itereiert ich dafür, ob die determiitiche Variable tatitich relevat it, d.h. ma hat da Tetproblem H: a 0 gege K: a 0. Geauer: Ma tetet da Modell Y b + ε (H) gege da Modell Y a + b + ε (K). Im Falle, daß H icht verworfe werde ka, d.h. Y b + ε,, wird b gechätzt al bˆ.

13 34 (Kapitel 7: Lieare Regreio) Hierzu etzt ma vorau, daß die Y uabhägig ud ormalverteilt id, d.h. Y d N(a + b, σ ),. Da Σ ΣΣ â r, it die Größe r vo Bedeutug. Σ ( Σ) E ei ρ (Σ ΣY ΣΣY ( Σ) )(ΣY ( ΣY) ) (d.h. r ρ(, )). Uter H: a 0 gilt : T(, Y) : ρ d t. ρ Für da Sigifikaziveau α ergibt ich daher folgeder kritiche Bereich : C { (, ) T(, ) r > t α ; }. r Beipiel 7.3. : (Eichug eie Voltmeter) α 0,05 ; 6 ; r 0,995 T(, ) 4 0,995 0,995 9,95 > t 4 ; 0,975,776. H it alo abzulehe, d.h. die Regreiogerade it 0, ,6. Beipiel : (Phophor i Böde ud Maipflaze) α 0,05 ; 9 ; r 0,805 T(, ) 7 0,805 0,805 3,590 > t 7 ; 0,975,365. H it alo abzulehe, d.h. die Regreiogerade it,4 + 6,58.

14 35 (Kapitel 7: Lieare Regreio) Beipiel : Folgede Date eie gegebe : i 0 3,5 00, ,6 400, , ,04 44 Σ 60, ,5 5 r ,9 ( ) (3 48,5 4,6) 0,899 ; α 0,05 ; 3. T(, ) 0,899 0,899,053 < t ; 0,975,706. H : a 0 ka dehalb icht verworfe werde. Ma hat dehalb da Modell Y b + ε vor ich.,9 bˆ 3,97, d.h. 3,97. 3