Behandlung statistisch verteilter Messwerte

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1 Phyikaliche Grudpraktikum Veruch 00 Behadlug tatitich verteilter Mewerte Aufgabe:. Führe Sie am PC Eperimete mit dem Galtoche Nagelbrett durch. Lae Sie mehrmal Kugelmege durchlaufe ud regitriere Sie die Häufigkeitverteilug der durchlaufee Kugel. Zeige Sie, da die Häufigkeitverteilug eie Biomialverteilug it.. Mee Sie die atürliche Radioaktivität im Labor mit Hilfe eie geeigete Zählgeräte (i dem Fall: Szitillatiozähler). Nehme Sie igeamt 4 00 Mewerte auf. Diee Werte bilde de Datebetad. Zu betimme id: Mittelwert, Variaz ud Stadartabweichug. Al Auwertug wird ei Hitogramm für je 00 ud ei für 400 Mewerte beötigt. 3. Welche Schlufolgeruge lae ich au dem Vergleich zwiche Variaz ud Mittelwert bilde? 4. Trage Sie die gemeee Summehäufigkeite auf Wahrcheilichkeitpapier auf ud chlufolger Sie! Grudlage Mittelwert, Stadartabweichug, Variaz Um eie Datemege eier Meug hiichtlich der Geauigkeite der eizele Mewerte darzutelle, beötigt ma eie Leitwert, a dem ich alle Mewerte relativiere. Diee Wert et ma Mittelwert. Je ach der Art der Datereihe, für die ei Mittelwert beötigt wird, verwedet ma da arithmetiche Mittel (für lieare Reihe) da geometriche Mittel ud da harmoiche Mittel i,. i i Da uere Mewerte alle liear id, verwede wir de arithmetiche Mittelwert. Vorteile: Der Wert gibt de au der geometriche Achauug bekate Mittel- oder Schwerpukt zwiche de auf eier Ache abgetragee Mewerte a. Mit adere Worte: Er gleicht die poitive ud egative Meugeauigkeite au. Au der Gauche Statitiktheorie (Theorie der kleite Quadrate) etehme wie die Formel für die Variaz: ( i ) ud au ihr abgeleitet die Stadartabweichug: Häufigkeitverteilug, Biomialverteilug, ( Für de Zufallveruch mit voeiader uabhägige Stufe mit jeweil gleiche Wahrcheilichkeite gilt für de Weg A: P( A) Damit habe i P(A) p i z (z it die Azahl der getartete Zufallveruche) die ideale, abolute Häufigkeit für P (A it. (Ideal bedeutet für ehr große da Durchlaufe de Wege A, währed die ideale relative Häufigkeit ) z, repektive z geht gege Uedlich.) Für da Galtoche Brett mit Reihe gilt auf Grud der Wegadditioe für die relative Häufigkeit de Ergebie: P( k) Da Galtoche Brett tellt wege eier Eizelwahrcheilichkeit vo 50% eie Soderfall der Biomialverteilug dar: P k k ( k) p ( p), e gilt ferer: p i ud ( ) ) Veruchummer: 00 Seite 3

2 Phyikaliche Grudpraktikum Poioverteilug, Normalverteilug Abgeleitet darau kommt ma für ehr kleie p bei kotate p (d.h. mu gege Uedlich gehe) zur Poioverteilug P (, ) e mit!. Gau wiederum etwickelte im achtzehte Jahrhudert eie Fuktio zur Normalverteilug direkt gemeeer Größe i Abhägigkeit vo dem Mewert, de Mittelwert ud die Variaz. G ( ) (,, ) e Π Hitogramm Graphiche Dartellug der Häufigkeitverteilug um de Mittelwert uter Zuhilfeahme eier elbt gewählte Uchärfe (Eiteilug der Abzie i Itervalle) ud der darau reultierede Summeabtrag auf der Ordiate. Æ iehe: Ergebie Veruchdurchführug Veruchteil : Galtoche Nagelbrett Veruchobjekt: Nagelbrett- Simulatio am PC mit - Zufall- Ebee Mögliche ytematiche Fehler: Keie wirkliche Zufallwerte, da Mewerte durch eie mathematiche Fuktio de PC Zufallwerte ur imuliere. Zu erwartede Ergebi: Eie Biomialverteilug mit gleiche Eizelwahrcheilichkeite für Lik ud Recht. Die Azahle der Kugel i dem k- te Augag müte ach de Geetze der Statitik ich aäherd ach folgeder Gleichug ergebe: M ( k) M Ge Veruchablauf: Meug vo M(k) Vergleich mit de theoretiche Werte Veruchteil : Mee der atürliche Radioaktivität de Labor Veruchobjekt: Szitillatiozähler, PC zur Aufahme vo Mewerte Mögliche ytematiche Fehler: falche Kalibrierug de Seor (für de Veruch aber ubedeuted) Formel für de Mittelwert, die Variaz ud die Stadartabweichug id i de Grudlage zu fide. Fehlerabchätzug: Relativer Fehler vo : Stadartfehler de Mittelwerte: ( ) m, Veruchablauf: Aufahme der Date Umetze i Hitogramm ud graphiche Dartellug i ei Wahrcheilichkeitetz am PC Veruchummer: 00 Seite 4

3 Phyikaliche Grudpraktikum Mewerte Veruchteil : Galtoche Nagelbrett Azahl der Kugel: Summe Kaal: Summe Veruchteil : Mee der atürliche Radioaktivität de Labor Po Itervall. Mereihe. Mereihe 3. Mereihe Summe: [00;04] 0 [05;09] [0;4] [5;9] [0;4] [5;9] [30;34] [35;39] [40;44] [45;49] 5 5 [50;54] [55;59] [60;64] [65;69] [70;74] 0 0 Summe: Die abgezeichete Mewerte id im Ahag zum Protokoll zu fide. Veruchummer: 00 Seite 5

4 Phyikaliche Grudpraktikum Auwertug Veruchteil : Galtoche Nagelbrett Nach de i de Grudlage äher beleuchtete Verteilugvorchrifte köe wir die theoretiche Verteilug mittel der Biomialkoeffiziete für die 3 Mereihe owie für dere Summe die Häufigkeitverteiluge erreche (Ergebie gerudet): p(kaal) H(00,Kaal) H(000,Kaal) H(0000,Kaal) H(0,Kaal) Kaal: 0 0, , ,0 0,0 76 0, ,0 0,6 0, , ,0 0,,, , ,06 0,63 6,33 7, , ,5,53 5,33 8, , ,8 8,0 80,3 89, ,00694,06 0,63 06,9 8, , ,38 43,84 438,37 486, , ,79 77,93 779,33 865, ,689997,69 6, , , ,88 48,78 487,8 65, ,6806 6, 6,8 6,8 789, , ,88 48,78 487,8 65, ,689997,69 6, , , ,79 77,93 779,33 865, , ,38 43,84 438,37 486, ,00694,06 0,63 06,9 8, , ,8 8,0 80,3 89, , ,5,53 5,33 8, , ,06 0,63 6,33 7, , ,0 0,,, , ,0 0,6 0, , ,0 0,0 4 0, Summe Wir vergleiche Theorie ud Prai i graphicher Dartellug (Æ iehe: Abb. I.) Veruchteil : Mee der atürliche Radioaktivität de Labor Zur Ermittlug de Mittelwerte müe wir uer arithmetiche Mittel für de Sachverhalt modifiziere: po [ po( ( ] po (, wobei po 5 (Azahl der Itervalle), ( po da Itervallmittel de i- te Itervall, owie ( die Azahl der regitrierte Mewerte im i-te Itervall it. ferer berechet ich Variaz ud Stadartabweichug folgeder Maße: ( ) po ( po ( ( po( ) Veruchummer: 00 Seite 6

5 Phyikaliche Grudpraktikum Damit ergibt ich folgede Wertetabelle (auf 3 Stelle gerudet): Mewerte Mittelwerte Variaz ud Stadartabweichug: Po Itervall. MR. MR 3. MR Ge.. MR. MR 3. MR Ge. [00;04] ,4 897,005 7,5 [05;09] ,64 048,8 867, ,375 3 [0;4] ,8 8,64 990, ,875 4 [5;9] ,4 664, 4470,05 8,5 5 [0;4] ,4 8,33 78, , [5;9] ,44 68, 808, ,65 7 [30;34] ,6 88, 0,095 4,065 8 [35;39] ,3 453,69 739, ,875 9 [40;44] ,4 96,5, ,875 0 [45;49] , 584,8 3397, ,375 [50;54] ,9 976,8 36,0 5597,35 [55;59] ,56 734,4 88, ,5 3 [60;64] , ,565 4 [65;69] ,505 78,065 5 [70;74] , ,565 Mittelwert: 3, 9,9 3,95 3,5 : 0,06 6,859 9,43 6,378 : 0,957,63,364,4 Damit erhalte wir eie ugefähre Stadartfehler de Mittel ud eie Fehler vo bei: ±,0; ±,3; 3 ±0,8; 4 ±0,57 û ±0,779; û ±0,80; û 3 ±0,570; û 4 ±0,400 Eie graphiche Auwertug fidet i de Abbilduge Abb II. bi Abb II.4 tatt. Ergebie Veruchteil : Galtoche Nagelbrett 00 Kugel 000 Kugel 0000 Kugel Summe der Meuge 00 Kugel biomial verteilt 000 Kugel biomial verteilt 0000 Kugel biomial verteilt 00 Kugel biomial verteilt Abb. I.: Die Kurve der Meergebie ud theoretiche Vorauage id hier übereiadergelegt. Ma erket deutlich, da ich die Meuge i guter Näherug wie die Berechuge verhalte. Somit ka ma vo biomial verteilte Megröße preche. Veruchummer: 00 Seite 7

6 Phyikaliche Grudpraktikum Veruchteil : Mee der atürliche Radioaktivität de Labor Meerie. Meerie 3. Meerie Summeerie Abb. II.: Die eizele Mewerterie al Fieberkurve i eiem Diagramm übereiader gelegt. Abb. II.: Die erte Meerie aufgetrage auf eier Relativ- ud eier Wahrcheilichkeitkala. Zum Vergleich it die Gaußkurve lik mit eigetrage für 00 Mewerte (. Meerie),... Abb. II.3:... für 00 Mewerte... Abb. II.4:... ud für die Mewertumme. Veruchummer: 00 Seite 8

7 Phyikaliche Grudpraktikum Dikuio: Die Vermutuge betreff de Veruchteil I kote durch die Achauug betätigt werde: Der Veruch mit dem Galtoche Nagelbrett führt im Uedliche Durchlauf zu eier Biomialverteilug. Damit id wir zu eiem wichtige Schlu gekomme: Je größer die Azahl der Zufallveruche mit gleicher Veruchapparatur it, deto geauer werde die Ergebie, d.h. deto weiger weiche diee vo de theoretiche Mewerte ab. Ergo: Je mehr Meergebie ma aufimmt, deto geriger it die Gefahr, ebe der theoretiche Vorauage zu liege. Die Veruchreihe de zweite Veruch higege zeigt deutlich, da bei Quatiierug der Meergebie Eibuße der Geauigkeit hizuehme id (erkebar a de uförmige Kurve im Diagramm). Trotz dee köe wir mit hoher Wahrcheilichkeit vo eier Normalverteilug preche, da wir mit relativ weige Mewerte agierte. Zur Betätigug wäre ei Veruch mit midete 0000 Mewerte zu empfehle. Für diee Veruch köe wir fettelle, die graphiche Auwertug (Abb. II. bi II.4) deute auf eie Normalverteilug hi. Al Bemerkug zum Veruch wäre och azubrige, da ich uer Arbeitplatz grudleged vo de der adere Gruppe uterchied: wir ahme icht die Radioaktivität de Labore, oder im Iere eie Präperatetreor auf. Damit id die Werte atürlich um ei Vielfache kleier (Abchätzug: etwa ei Viertel der Laborwerte). Die aufgeommee Mewerte befide ich auf de folgede zwei Seite al Ahag. Jea, Veruchummer: 00 Seite 9