Das Merton-Modell (1974) zur Bewertung von Eigen- und Fremdkapital (mit Sensitivitätsanalyse)

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1 Seminararbeit zur Lehrveranstaltung: Seminar aus Finanzwirtschaft (SBWL Portfoliomanagement) ( ) Sommersemester 2014 Lehrveranstaltungsleiter: O.Univ.-Prof. Mag. Dr. Edwin Fischer Das Merton-Modell (1974) zur Bewertung von Eigen- und Fremdkapital (mit Sensitivitätsanalyse) Autoren: Daniel Koinig ( ) Friesacher Straße 15, A-9300 St. Veit a. d. Glan Telefon: +43 (0) 664 / Daniel.Koinig@edu.uni-graz.at Studium: Betriebswirtschaft Thomas Gößler ( ) Schröttergasse 1, A-8010 Graz Telefon: +43 (0) 664 / thomas.goessler@edu.uni-graz.at Studium: Betriebswirtschaft Karl-Franzens-Universität Graz Sozial- und Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Finanzwirtschaft Abgabedatum: Wörter ohne Fußnoten und Verzeichnisse

2 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis... II Symbolverzeichnis... III 1 Einleitung Das Merton-Modell Einführung und Restriktionen des Modells Berechnungen aus EigenkapitalgeberInnen-Sicht Berechnungen aus FremdkapitalgeberInnen-Sicht Berechnungen von Credit Spreads und Ausfallwahrscheinlichkeiten Sensitivitätsanalyse Delta Theta Gamma Vega Rho Auswirkungen von weiteren Änderungen auf die Bonitätsrisikoprämie und die Ausfallwahrscheinlichkeit Zur Anwendung des Modells in der Praxis Probleme und Einschränkungen des Modells Empirische Resultate zur Verwendung des Modells Fazit Literaturverzeichnis I

3 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Ausgangsschema Merton-Modell... 3 Abbildung 2: Grafische Darstellung der Auszahlungsprofile (Eigenkapital/Fremdkapital)... 5 Abbildung 3: Optionscharakter der Finanzierungstitel... 8 II

4 Symbolverzeichnis dv A σ 2 dz α V0 bzw. VT EK0 bzw. EKT FK0 bzw. FKT R S0 bzw. ST B0 bzw. BT C0 bzw. CT T N() R S RP0 r P0 bzw. PT y CS PD DD bzw. d2 Δ C S Θ zeitliche Wertentwicklung des Unternehmens gesamte Ausschüttung an die KapitalgeberInnen Volatilität des Marktwertes des Unternehmensvermögens geometrisch Brownsche Bewegung erwartete Ertragsrate der Unternehmung Marktwert des Unternehmensvermögens in t = 0 bzw. zum Zeitpunkt T Marktwert des Eigenkapitals in t = 0 bzw. zum Zeitpunkt T Marktwert des Fremdkapitals in t = 0 bzw. zum Zeitpunkt T Nominalwert des Fremdkapitals (Nullkuponanleihe) Marktwert der Aktien in t = 0 bzw. zum Zeitpunkt T Marktwert der Nullkuponanleihen in t = 0 bzw. zum Zeitpunkt T Wert der Call-Option Restlaufzeit des Fremdkapitals Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Wert der risikolosen Anleihe Risikoprämie risikoloser Zinssatz Wert der Put-Option Rendite des Fremdkapitals Credit Spread bzw. Bonitätsrisikoprämie Ausfallwahrscheinlichkeit Distance to Default Delta Preis der Call-Option Preis der Aktie Theta III

5 N () Γ ΔΠ wt ΓT ν ρ K L Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung Gamma eines deltaneutralen Portfolios Preisänderung eines Portfolios Anzahl von Optionen Gamma einer Option Vega Rho Basiswert der Option Quasi-Verschuldungsgrad IV

6 1 Einleitung Daniel Koinig, Thomas Gößler 1 Einleitung Investitionen auf Finanzmärkten sind für Investoren immer mit einem Risiko verbunden. Dabei gilt es in der Finanzwirtschaft unterschiedliche Arten von Risiko zu klassifizieren. Werden Märkte auf internationaler Ebene betrachtet, so kann zum Beispiel ein Marktrisiko ausgemacht werden. Das Marktrisiko kann wiederum als Teilbereich des sogenannten Länderrisikos gesehen werden, welchem andere Arten von Risiko beispielsweise das politische Risiko, oder das Wechselkursrisiko zugeordnet werden können. 1 Vor allem wenn Investitionsobjekte auf Unternehmensebene betrachtet werden, kann in der Finanzwirtschaft eine Klassifizierung auch hinsichtlich des Kreditrisikos erfolgen. Unter dem Begriff des Kreditrisikos wird jenes Risiko von KreditgeberInnen verstanden, dass KreditnehmerInnen die ihnen gewährten Darlehen nicht begleichen können. Der Begriff des Kreditrisikos umfasst sowohl das Bonitätsrisiko, als auch das Ausfallsrisiko und somit die Gegebenheit der Insolvenz von KreditnehmerInnen. 2 Das Kreditrisiko wird wenn auch indirekt in der Praxis oftmals durch sogenannte Credit-Ratings ausgedrückt. Zur Erstellung dieser Ratings und zur Bemessung des Kreditrisikos werden in der Praxis unterschiedlichste Modelle und Formeln eingesetzt. Eines dieser Modelle stellt das Merton-Modell dar, welches in der vorliegenden Seminararbeit veranschaulicht und mittels Sensitivitätsanalyse und der Aufbereitung von vorhandenen Studien gewürdigt wird. Die Zielsetzung der Arbeit ist es, einen wissenschaftlich fundierten Überblick über das Merton-Modell zu geben und dabei ebenso auf dessen Aktualität und Anwendbarkeit einzugehen. Zur Zielerreichung wurde folgende Forschungsfrage formuliert: Worum handelt es sich beim Merton-Modell und wie kann dieses analysiert werden? In Abschnitt 2 dieser Arbeit wird eine Einführung in die theoretischen Grundlagen des Merton-Modells gegeben, wobei einzelne Restriktionen und Faktoren des Modells erläutert werden. Abschnitt 3 befasst sich mit einer Sensitivitätsanalyse. Der vierte Abschnitt betrachtet dann die Annahmen im Modell aus kritischer Sicht und beschäftigt sich mit der praktischen Eignung des Modells unter Berücksichtigung ausgewählter Studien und deren Resultate. Abschnitt 5 beschließt die Arbeit mit einer Zusammenfassung und kritischen Würdigung. 1 Vgl. Wirtschaftslexikon.gabler.de [online]. 2 Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2007), S

7 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler 2 Das Merton-Modell Robert C. Merton wirkte maßgeblich an der durch Fischer Black und Myron S. Scholes 1973 veröffentlichten Optionspreistheorie unter dem Namen Black-Scholes-Modell bekannt mit. Merton und Scholes wurden unter anderem für diese Erkenntnisse auch 1997 mit dem Nobelpreis durch die schwedische Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften geehrt. 3 Merton erweiterte das Grundmodell von Black/Scholes für die Ermittlung von Marktwerten von Derivaten und variierte es, sodass es auf eine Vielzahl von Finanzinvestitionen anwendbar ist Einführung und Restriktionen des Modells Das Modell von Merton wird durch sein Werk On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates, welches im Jahr 1974 in der wissenschaftlichen Zeitschrift The journal of finance veröffentlicht wurde, begründet. 5 Das Merton-Modell stellt ein firmenwertbasiertes Modell zur Bewertung von ausfallsrisikobehafteten Anleihen dar, mit dessen Hilfe die Berechnung von Ausfallswahrscheinlichkeiten ermöglich wird. Merton trifft für sein Modell nachfolgende Annahmen und Restriktionen: 6 Transaktionskosten und Steuern werden vernachlässigt. Der Markt ist zu jedem Zeitpunkt liquide. Aktiva sind beliebig teilbar. Leerverkäufe sind erlaubt. Der Unternehmenswert ist unabhängig von der Kapitalstruktur. Somit hat der Verschuldungsgrad keinen Einfluss auf den Unternehmenswert (Modigliani-Miller- Theorem 7 ). Die Zinssätze für Geldanlage und aufnahme sind identisch. Der risikolose Zinssatz ist bekannt und über die Zeit konstant, daher kann eine flache Zinsstrukturkurve angenommen werden. 3 Vgl. Nobelprize.org [online]. 4 Vgl. Wirtschaftslexikon.gabler.de [online]. 5 Siehe dazu: Merton (1974). 6 Vgl. Merton (1974), Siehe dazu Modigliani/Miller (1958). 2

8 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler Kreditausfälle treten nur zum Fälligkeitszeitpunkt auf, nicht jedoch während der Laufzeit. Keine vorrangige Behandlung einzelner Bestandteile des Fremdkapitals. Die zeitliche Wertentwicklung des Unternehmens kann anhand folgender Formel dargestellt werden: dv = (αv A)dt + σvdz, wobei α die momentan erwartete Ertragsrate der Unternehmung ist und A der gesamten Ausschüttung an die Aktionäre oder FremdkapitalgeberInnen entspricht. σ² ist die Volatilität des Unternehmenswertes und z folgt einem geometrisch Brownschen Prozess. Im Modell von Merton wird von einer verschuldeten Unternehmung ausgegangen, welche durch Eigen- und Fremdkapital finanziert ist. Die Fremdfinanzierung erfolgt bei dieser Annahme durch die Emission einer Nullkuponanleihe, wohingegen die Eigenfinanzierung durch die Emission von Aktien sichergestellt wird. 8 Durch das Unterstellen eines vollkommenen Kapitalmarktes entsprechen beide Passiva-Positionen (Marktwerte der Aktien und der Nullkuponanleihen) im Modell dem Marktwert der Unternehmung zum Zeitpunkt t = 0. 9 Aktiva Passiva Vermögensseite Marktwert der Unternehmung V0 Eigenkapital Marktwert Aktien S0 Fremdkapital Marktwert Nullkuponanleihen B0 Abbildung 1: Ausgangsschema Merton-Modell 10 8 Vgl. Rehm (2002), S Vgl. Wagner (2008), S Eigene Darstellung. 3

9 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler Ein Kreditausfall ist im Modell von Merton dann gegeben, wenn der Unternehmenswert eine kritische Grenze unterschreitet. Das Merton-Modell stellt ein Unternehmenswertmodell oder auch Strukturmodell dar, da die Insolvenz durch ökonomische Zusammenhänge erläutert wird. Es wird aus beobachtbaren Marktpreisen einer Unternehmung über andere Unternehmensinformationen die Ausfallswahrscheinlichkeit berechnet. Insolvenz tritt dabei genau dann ein, wenn der Unternehmenswert den Fremdkapitalrückzahlungsbetrag R unterschreitet und somit eine Überschuldung vorliegt. 11 In diesem Falle gibt es für die EigenkapitalgeberInnen zum Zeitpunkt T keine Kapitalrückflüsse, da R > VT ist. Befindet sich der Unternehmenswert hingegen zum Rückzahlungszeitpunkt über dem Tilgungsbetrag R, so erfolgt die vertraglich zugesicherte Tilgung und die Unternehmung erleidet keinen Kreditausfall. 12 Die EigenkapitalgeberInnen erhalten zu diesem Zeitpunkt somit den Betrag VT R. Unter diesem Gesichtspunkt wird davon ausgegangen, dass die Ausfallswahrscheinlichkeit direkt mit der Entwicklung des Unternehmenswertes zusammenhängt. 13 Ein logischer Rückschluss ist also, dass die Ausfallswahrscheinlichkeit eines Unternehmens zunimmt, wenn sich die Differenz aus Firmenwert und Verbindlichkeit verkleinert, wohingegen die Ausfallswahrscheinlichkeit abnimmt, je weiter der Firmenwert die Verbindlichkeiten übersteigt. Die Auszahlungsprofile der EigenkapitalgeberInnen (ST) und FremdkapitalgeberInnen (BT) zum Zeitpunkt T können wie folgt formuliert werden: 14 ST = max[vt R, 0] BT = min[vt; R] 11 Vgl. Wagner (2008), S Vgl. Overbeck (1999), S Vgl. Wagner (2008), S Vgl. Wagner (2008), S

10 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler Durch die Auszahlungsprofile ergeben sich nachfolgende grafische Zusammenhänge: rinnenin EigenkapitalgeberInnenIn Fremdkapitalgebe- Abbildung 2: Grafische Darstellung der Auszahlungsprofile (Eigenkapital/Fremdkapital) 15 Abbildung 2 verdeutlicht, dass das Auszahlungsprofil der EigenkapitalgeberInnen dem Payoff-Diagramm einer gekauften Call-Option (Long-Call) auf den Unternehmenswert entspricht, wohingegen jenes der FremdkapitalgeberInnen mit dem Payoff-Diagramm einer verkauften Put-Option (Short-Put) auf den Unternehmenswert übereinstimmt. 16 Hinsichtlich der Call-Position wird unterstellt, dass ( ) die Aktionäre das Unternehmen bei Fremdkapitalaufnahme an die Gläubiger verkaufen, jedoch das Nutzungsrecht erwerben. 17 Am Verfallstag haben die Aktionärinnen und Aktionäre das Recht, die Unternehmung von den GläubigerInnen zum Ausübungspreis von R zurückzukaufen (Call-Option). Ist der Unternehmenswert zu diesem Zeitpunkt größer als der Rückzahlungsbetrag R, so werden die EigenkapitalgeberInnen Gebrauch von der Option machen. Andernfalls ist die Option wertlos und der Unternehmenswert (VT < R) kann auf die GläubigerInnen aufgeteilt werden. 18 Aus diesem Grund können die jeweiligen Positionen (Eigenkapital/Fremdkapital) durch eine Option ausgedrückt (dupliziert) werden. Werden Optionswerte für die jeweiligen Positionen bestimmt, so lassen sich an Hand dieser Risikoprämien bestimmen. Bei der Bestimmung der Risikoprämien kann entweder von der Eigenkapitalposition (Call-Option) oder der Fremdkapitalposition (Put- Option) ausgegangen werden, da beide Ausgangspunkte durch die Put-Call-Parität für europäische Optionen zum selben Ergebnis führen In Anlehnung an: Ritchken (1987), S Vgl. Kirmße (1996), S Wagner (2008), S Vgl. Wagner (2008), S Vgl. Kirmße (1996), S

11 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler 2.2 Berechnungen aus EigenkapitalgeberInnen-Sicht Wird der Marktwert der Eigenkapitalposition wie der Wert einer Call-Option bestimmt und bezeichnet CT den Wert des europäischen Calls, so gilt: 20 EK 0 = S 0 = C 0 (V 0, R, T) Diese Formel beschreibt, dass der Wert des Eigenkapitals gleich dem Wert der Call-Option ist, welche wiederum von Wert des Basispapiers (V0), des vereinbarten Tilgungsbetrags als Ausübungspreis (R) und der Zeit zum Verfall der Option (T) abhängig ist. Für die Bewertung gilt: 21 C 0 = V 0 N(d 1 ) R e rt N(d 2 ) mit: d 1 = ln(v R )+(r+ 1 2 σ2 ) T σ T und d 2 = ln(v R )+(r 1 2 σ2 ) T σ T = d 1 σ T und EK0 bzw. S0 Marktwert des Eigenkapitals in t = 0 FK0 bzw. B0 Marktwert des Fremdkapitals in t = 0 R Nominalwert des Fremdkapitals (Nullkuponanleihe) σ Volatilität des Marktwertes des Unternehmensvermögens T Restlaufzeit des Fremdkapitals r risikoloser Zinssatz N() Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung V0 Marktwert des Unternehmensvermögens in t = 0 Da sich der Unternehmenswert aus den Marktwerten von Aktien und Nullkuponanleihen ergibt (V0 = S0 + B0), ist es in einem nächsten Schritt möglich, den Wert der Fremdkapitalposition als Differenz aus Unternehmenswert und Call-Option zu bestimmen. 22 FK 0 = B 0 = V 0 S 0 = V 0 C 0 20 Vgl. Wagner (2008), S Vgl. Black/Scholes (1973), S Vgl. Ritchken (1987), S

12 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler Wird der Wert dieser risikobehafteten Anleihe nun mit jenem einer identischen (hinsichtlich Laufzeit und Effektivverzinsung) risikolosen Anleihe verglichen, so ist die Berechnung einer Risikoprämie möglich. Durch Diskontierung des vereinbarten Rückzahlungsbetrags R mit dem risikolosen Zinssatz r auf den aktuellen Zeitpunkt, lässt sich der Wert der risikolosen Anleihe R S zu t = 0 berechnen. Damit kann eine Risikoprämie eruiert werden, welche den erwarteten Kreditverlust der Fremdkapitalposition ausdrückt. 23 RP 0 = R S (1 + r) T B 0 = R S (1 + r) T (V 0 C 0 (V 0, R, T)) Die Risikoprämie ergibt sich bei kontinuierlicher Verzinsung durch: RP 0 = RS e rt (V 0 C 0 (V 0, R, T)) Alle Werte für weitere Berechnungen können bereits aus der Sicht der EigenkapitalgeberInnen abgeleitet werden, jedoch können die benötigten Werte auch analog aus der Sicht der FremdkapitalgeberInnen hergeleitet werden. 2.3 Berechnungen aus FremdkapitalgeberInnen-Sicht In Unterabschnitt 2.1 wurde das Auszahlungsprofil der FremdkapitalgeberInnen durch BT = min[vt; R] beschrieben. Ausgehend von dieser Funktion lässt sich der Wert der Fremdkapitalposition durch BT = R max[r VT, 0] ausdrücken. 24 Max[R VT, 0] drückt dabei den Wert einer europäischen Verkaufsoption am Verfallstag (PT) aus. Das Underlying ist dabei wieder der Unternehmenswert, wobei der Basispreis dem Nennwert der Anleihe (R) entspricht. Wie bereits bei der Eigenkapital-Variante lässt sich aus Sicht der FremdkapitalgeberInnen der Wert der Fremdkapitalposition mittels Differenz einer risikolosen Anleihe und dem Wert einer Option (in diesem Falle eine Put-Option) bestimmen: 25 B T = R S P T 23 Vgl. Black/Scholes (1973), S Vgl. Ritchken (1987), S Vgl. Ritchken (1987), S

13 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler Es wird davon ausgegangen, dass die FremdkapitalgeberInnen von den KreditnehmerInnen eine ausfallrisikolose Nullkuponanleihe kaufen, jedoch zusätzlich eine Verkaufsoption an die UnternehmenseignerInnen veräußern (Short-Put-Option). Die EigenkapitalgeberInnen halten eine Long Position auf Aktien (Eigenkapital) und eine Long Put-Position gegenüber den FremdkapitalgeberInnen. Nachfolgende Abbildung summiert die Erkenntnisse aus Unterabschnitt 2.1 und 2.2 bezüglich des Optionscharakters der Auszahlungsprofile auf und erweitert diese um die FremdkapitalgeberInnen-Seite. R Abbildung 3: Optionscharakter der Finanzierungstitel 26 Abbildung 3 verdeutlicht die Long-Call-Position der EigenkapitalgeberInnen, wobei sich die Ausübung der Option für die EigenkapitalgeberInnen erst rentiert, sobald der Marktwert der Unternehmung größer als der Marktwert der Fremdkapitalposition ist (V0 > R). Für diesen Abschnitt der Seminararbeit ist jedoch wichtig, dass die Short-Put-Position des Auszahlungsprofils der FremdkapitalgeberInnen aufgezeigt wird. Der Wert der Fremdkapitalposition ergibt sich durch den Wert der risikolosen Anleihe und dem Wert der Put-Option gemäß der Formel: B 0 = RS e rt P 0(V 0, R, T) Die Risikoprämie des Put entspricht dabei: RP 0 = P 0 (V 0, R, T) 26 In Anlehnung an: Rudolph (2001), S

14 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler Mit Hilfe des Optionspreisbewertungsmodells von Black/Scholes lässt sich die Bewertung der Put-Option wie folg vornehmen: P 0 = R e rt N(d 2 )V 0 N(d 1 ), wobei d1 und d2 den Berechnungen in Unterabschnitt 2.2 entsprechen. 2.4 Berechnungen von Credit Spreads und Ausfallwahrscheinlichkeiten Unabhängig davon welche Berechnungsart der vorangegangen Abschnitte gewählt wurde (über die EigenkapitalgeberInnen oder über die FremdkapitalgeberInnen) ermöglichen die Berechnungen der vorhergehenden Abschnitte die Darstellung von Credit Spreads und Ausfallswahrscheinlichkeiten. Dabei kann die Rendite y des Fremdkapitals errechnet werden durch: 27 y = 1 T ln ( R B 0 ) In weiterer Folge kann daraus der Credit Spread (CS) berechnet werden, welcher bei Investitionen in risikobehaftete Anleihen den Renditezuschlag ausdrückt. Er stellt die Differenz zwischen der Rendite y und dem risikolosen Zinssatz r dar. Dabei kann direkt abgeleitet werden, dass je höher der Spread ist, desto höher ist auch die Ausfallswahrscheinlichkeit bzw. desto niedriger ist die Bonität der Unternehmung. Credit Spreads können in der Folge in das Rating eines Unternehmens einfließen. 28 Credit Spreads werden in der Finanzwirtschaft oftmals vereinfacht als Renditedifferenz zwischen risikobehafteten Unternehmensanleihen und einem ausfallrisikofreiem Referenzzinssatz bestimmt. 29 Der Credit Spread ergibt sich im Falle des Merton Modells aus: CS = y r = 1 T ln ( R B 0 ) r 27 Vgl. Wagner (2008), S Vgl. Wirtschaftslexikon.gabler.de [online]. 29 Vgl. Schlecker (2009), S

15 2 Das Merton-Modell Daniel Koinig, Thomas Gößler Merton veranschaulicht in seinen Herleitungen, dass der Credit Spread eine Funktion der Laufzeit T, der Volatilität σ V und der Kapitalstruktur des Unternehmens ist. 30 Die risikoneutrale Ausfallswahrscheinlichkeit (PD) besagt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Aktionäre (EigenkapitalgeberInnen) ihre Option nicht ausüben. Diese wird nach Merton mit nachfolgender Formel beschrieben: PD = N( d 2 ), wobei N() wie gehabt einer Standardnormalverteilung entspricht und die (Pseudo-)Wahrscheinlichkeit angibt, dass der Marktwert der Unternehmung zum Zeitpunkt T größer als der Rückzahlungsbetrag R ist. 1-N(d 2) = N( d 2) beschreibt somit die Ausfallswahrscheinlichkeit der Unternehmung. 31 Eine weitere Kennzahl welche sich in einem nächsten Schritt bestimmen lässt, ist die sogenannte Distance to Default (DD). Sie beschreibt näherungsweise den Abstand des Assetwerts zum Insolvenzpunkt und wird dabei gemessen in Standardabweichungen des Assetwerts. Dabei gilt, je kleiner DD ist, desto höher ist die Ausfallswahrscheinlichkeit. Die Distance to Default ergibt sich ähnlich wie d 1 durch: 32 DD = ln(v R )+(μ 1 2 σ2 ) T, σ T wobei μ die erwartete stetige Rendite der Unternehmung bzw. des Unternehmenswertes V ist. Marktwertänderungen des Unternehmensvermögens stellen nach Black/Scholes 33 und Merton 34 einen kontinuierlichen Zufallsprozess dar, wodurch sich eine Log-Normalverteilung für den Marktwert der Unternehmensaktiva ergibt. Deren Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich durch historische Daten schätzen. 35 Dadurch lässt sich wiederum eine Ausfallswahrscheinlichkeit für jeden möglichen Unternehmenswert berechnen. Das Modell von Merton geht zum Beispiel davon aus, dass ein Kreditausfall nur zum Fälligkeitszeitpunkt eintreten kann. Es existieren Ableitungen des Basismodells, welche durch das Reduzieren einiger Prämissen versuchen eine höhere Realitätsnähe zu erreichen Vgl. Merton (1974), S Vgl. Wagner (2008), S Vgl. Stockopedia.com [online]. 33 Vgl. Black/Scholes (1973), S Vgl. Merton (1974), S Vgl. Ott (2001), S Siehe dazu beispielsweise: Geske (1977) oder Black/Cox (1976). 10

16 3 Sensitivitätsanalyse Daniel Koinig, Thomas Gößler 3 Sensitivitätsanalyse Die Analyse der Risiken bzw. Wertänderungen von Optionen, denen ein Unternehmen ausgesetzt ist, wird mithilfe der sogenannten Griechen vollzogen, auf die in diesem Abschnitt genauer eingegangen wird. Jeder einzelne dieser griechischen Buchstaben steht für eine andere Risikoart und daher sollten diese insofern bearbeitet werden, sodass diese Risiken in einem akzeptablen Rahmen gehalten werden. Darüber hinaus werden die Griechen verwendet, um Wertänderungen des Eigen- bzw. Fremdkapitals zu analysieren. 37 Daher wird auch am Ende jedes Unterabschnitts die jeweiligen Auswirkungen auf Eigen- und Fremdkapital beschreiben. Allgemein kann gesagt werden, dass die Analyse mittels folgendem Quotienten durchgeführt wird: 38 Änderung des Optionspreises marginale Änderung eines Parameters Desweiteren sind diese Parameter additiv verknüpft. Dies bedeutet, dass der Parameter beispielsweise doppelt so groß ist, wenn die jeweilige Position verdoppelt wird. Auch Parameter von Portfolios, die aus mehreren Optionen bestehen, können als Summe der einzelnen Parameter der jeweiligen Optionen berechnet werden. Dies bietet den Vorteil, dass nicht für jede mögliche Parameterkombination das Portfolio neu bewertet werden muss, sondern lediglich anhand dieser Griechen die Wertänderung des Portfolios berechnet werden kann. 39 Ausgehend von diesen Überlegungen werden die fünf wichtigsten Griechen bzw. Optionskennzahlen behandelt. Diese werden aufgezählt in der Reihenfolge, in der diese in der vorliegenden Arbeit beschrieben werden Delta, Theta, Gamma, Vega und Rho genannt. Zu jeder Optionskennzahl werden auch das damit verbundene Hedging, sowie deren Auswirkungen auf das Fremd- und Eigenkapital behandelt. 37 Vgl. Hull (2009), S Vgl. Wiwi.uni-frankfurt.de [online], S Vgl. Wiwi.uni-frankfurt.de [online], S

17 3 Sensitivitätsanalyse Daniel Koinig, Thomas Gößler 3.1 Delta 40 Delta beschreibt, wie stark sich der Preis der Option ändert, wenn sich das Underlying um eine Einheit ändert. In unserem Fall bzw. im Fall des Merton Modells betrifft dies die Veränderung des Unternehmenswertes. Delta bezeichnet somit die Steigung der Kurve, die das Verhältnis des Preises der Option zum Preis des Underlying respektive des Unternehmenswerts beschreibt. Ein Delta von 0,6 sagt beispielsweise aus, dass sich der Preis der Option um 0,6 Geldeinheiten ändert, falls sich der Wert des Underlying um eine Einheit ändert. Mathematisch kann dies wie folgt ausgedrückt werden: = c S, wobei C den Preis einer Call-Option und S den Preis der Aktie beschreiben. Eine Option kann dann durch Kauf von einer bestimmten Anzahl an Aktien abgesichert werden, die sich aufgrund der Anzahl der in der Option gehandelten Aktien multipliziert mit dem Delta ergibt. Bei einer Option, die zum Kauf von 2000 Aktien berechtigt, und einem Delta von 0,6 müssten also ,6 = 1200 Aktien gekauft werden um einen eventuellen Verlust aufgrund der Option abzusichern. Dies würde zu einem Gesamtdelta von Null führen, bezeichnet als Deltaneutral. Diese Absicherung müsste jedoch periodisch angepasst werden, da Aktienpreise bekanntlich einer Schwankung ausgesetzt sind. Das Delta Hedging ist somit dem dynamischen Hedging zuzuordnen, da beim statischen Hedging keine nachträgliche Anpassung erfolgt. Außerdem sind die meisten bedeutenden Preisänderungen einer Option der Änderung des Basiswertpreises zuzuordnen, weshalb die Deltaneutralität häufigstes Ziel einer Absicherung ist, da dadurch die Positionen im Wert konstant gehalten werden können. 41 Aufgrund der vorhergehenden Gleichungen und Beschreibungen des Merton Modells kann statt dem Wert der Calloption der Wert des Eigenkapitals eingesetzt werden. Somit kann für einen europäischen Call mit Hilfe der Black-Scholes-Formel gezeigt werden: (Call bzw. EK) = N(d 1 ), wobei N(d 1 ) eine kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung darstellt. Anders ausgedrückt bezeichnet N(d 1 ) die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Variable kleiner als d 1 ist Vgl. Hull (2009), S Vgl. Wiwi.uni-frankfurt.de [online], S

18 3 Sensitivitätsanalyse Daniel Koinig, Thomas Gößler Da sich der Gesamtwert des Unternehmens aus der Summe der Werte von Fremdkapital und Eigenkapital ergibt, gilt für das Delta des Fremdkapitals folgende Gleichung: (FK) = 1 N(d 1 ) Aufgrund der Eigenschaften der Normalverteilungsfunktion ist der Minimalwert, den einer der beiden Kapitalwerte (Fremd- oder Eigen-) erreichen kann, Null. Wenn also der gesamte Unternehmenswert um eine Einheit gesteigert wird, verteilt sich diese Steigerung auf Fremd- und Eigenkapital je nach den jeweiligen Deltawerten. Im Extremfall bekommt eine der beiden Kapitalgebergruppen (Fremd- oder Eigen-) die gesamte Steigerung. Dies gilt ebenso für eine Verringerung des Unternehmenswerts in die andere Richtung, sodass beide Kapitaltitel weniger Wert besitzen. Die Option hat einen Wert von Null bei kompletter Fremdfinanzierung, da der Forderungsbetrag der KreditgeberInnen zum fälligen Zeitpunkt T höchst wahrscheinlich höher sein wird als der Unternehmenswert. Dadurch steigt jedoch die Bonitätsrisikoprämie, da die EigenkapitalgeberInnen eher die Calloption verfallen lassen und somit nicht durch die Schuldentilgung das Unternehmen quasi wieder in ihren Besitz bringen. Bei fast kompletter Eigenkapitalfinanzierung profitieren hingegen größtenteils die AnteilseignerInnen an positiven Wertänderungen. Das Risiko eines Konkurses ist hier relativ gering und die DahrlehensgeberInnen können höchst wahrscheinlich mit voller Rückzahlung des Betrages rechnen Vgl. Hull (2009), S Vgl. Wagner (2008), S

19 3 Sensitivitätsanalyse Daniel Koinig, Thomas Gößler 3.2 Theta 44 Die Wertänderung einer Option im Laufe der Zeit wird über den Griechen Theta ausgedrückt. Damit wird auch das Ausmaß des zeitlichen Verfalls einer Option beschrieben. Das Theta eines europäischen Calls kann wieder anhand der Black-Scholes-Formel wie folgt erklärt werden: Θ(Call bzw. EK) = S 0N (d 1 )σ 2 T mit N (x) = 1 2π e x2 /2, rke rt N(d 2 ) wobei N (x) eine Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung darstellt. Ein Theta von -3,62 sagt zum Beispiel aus, dass bei einer Verkürzung der Restlaufzeit um einen Tag der Wert des Calls um 3,62 pro Jahr bzw. um 3,62/365 = ca. 0,01 fällt. 45 Das Theta eines europäischen Puts, welches nach Merton die jeweilige Wertänderung für das Fremdkapital beschreibt, kann ebenfalls anhand der Black-Scholes-Formel erklärt werden: Θ(Put) = S 0N (d 1 )σ 2 T + rke rt N( d 2 ) Da N( d 2 ) = 1 N(d 2 ), gilt also Θ(FK) = Θ(EK) und somit ergibt sich als Summe dieser beiden Thetas der Wert Null. Für gewöhnlich ergibt sich ein negatives Theta für Optionen der AnteilseignerInnen, was den zeitlichen Wertverfall solcher Optionen darstellt. Eine längere Laufzeit des Fremdkapitals erhöht jedoch die Gewinnchancen für die AnteilseignerInnen aufgrund möglichen Unternehmenswachstums. Umgekehrt ist der zeitliche Wertverfall der Putoption für die GläubigerInnen jedoch von Vorteil, da dadurch die Rückzahlung des Darlehens immer wahrscheinlicher wird. Die Restlaufzeit des Fremdkapitals hat wiederum Auswirkungen auf die Bonitätsrisikoprämie und zwar über den risikolosen Zins einerseits und die Volatilität des Unternehmensvermögens andererseits. Da diese beiden Auswirkungen in jeweils entgegengesetzte Richtungen verlaufen, ist es schwierig genaue Effekte abschätzen zu können. Vermutet wird jedoch ein negativer Zusammenhang zwischen Restlaufzeit und Bonitätsrisikoprämie Vgl. Hull (2009), S Vgl. Wiwi.uni-frankfurt.de [online], S Vgl. Wagner (2008), S

20 3 Sensitivitätsanalyse Daniel Koinig, Thomas Gößler Theta wird jedoch nicht wie Delta zur Berechnung eines Hedges herangezogen, da die Restlaufzeit nicht unsicher ist im Gegensatz zu Aktienpreisen. Daher wird Theta eher im Rahmen deskriptiver Statistiken für Portfolios verwendet, weil Theta ein Proxy für Gamma, welches im folgenden Abschnitt erklärt wird, darstellt. Wenn Theta nämlich sehr groß und positiv ist, dann wird das Gamma des Portfolios ebenfalls groß, aber negativ, sein Gamma 48 Der Parameter Gamma beschreibt die Änderung von Delta, wenn sich der Preis des Underlying ändert. Er stellt somit die zweite partielle Ableitung nach dem Preis des Underlying wie folgt dar: Γ = 2 S 2 Delta ändert sich nur langsam, falls Gamma gering ist und somit müssen auch weniger oft Anpassungen gemacht werden, um ein Portfolio an Optionen Delta-neutral zu halten. Umgekehrt jedoch ist Delta bei sehr hohem Gamma-Wert überaus preissensitiv und daher werden Anpassungen notwendiger, da ansonsten Fehler in der angenommenen optimalen Absicherung entstehen. Das wahre Ausmaß der Änderung des Optionspreises aufgrund der Aktienpreisänderung könnte aufgrund dessen verfälscht werden. Die Größe dieses Fehlers ist abhängig von der Krümmung der Kurve, die das Verhältnis von Optionspreis zum Preis des Underlying darstellt. Diese Krümmung wird dabei durch Gamma beschrieben. Das Gamma für einen europäischen Call bzw. Put auf eine Aktie ohne Dividende kann wie folgt berechnet werden: Γ = N (d 1 ) S 0 σ T Dabei ist Gamma immer positiv und verändert sich durch Änderung von S 0 und ist der Formel nach auch abhängig von der Laufzeit T. Bei Optionen, die als at-the-money gelten, steigt das Gamma bei geringer werdender Laufzeit an. At-the-money Optionen mit kurzer Laufzeit weisen auch generell ein sehr hohes Gamma auf. Dadurch kann gesagt werden, dass der Opti- 47 Vgl. Hull (2009), S Vgl. Hull (2009), S