Leseprobe Hartl Fiazmathematik WIRTSCHAFTSMATHEMATIK Studiebrief 2-030-0802 3. Auflage 2008 HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING
Fiazmathematik Impressum Verfasser: Prof. Dr. sc. Friedrich Hartl Professor für Wirtschaftsmathematik/Statistik im Fachbereich 3, Wirtschaftswisseschafte I a der Fachhochschule für Techik ud Wirtschaft Berli Der Studiebrief wurde auf der Grudlage des Curriculums für de Studieschwerpukt Wirtschaftsmathematik verfasst. Die Bestätigug des Curriculums erfolgte durch de Fachausschuss für das modulare Ferstudieagebot Betriebswirtschaftslehre, dem folgede Professore agehöre: Dr. Arold (FH Gieße-Friedberg), Dr. Götze (FH Stralsud), Dr. Heger (FHTW Berli), Dr. Hofmeister (FH Erfurt), Dr. Nullmeier (FHTW Berli), Dr. Pumpe (TFH Berli), Rosema M. A. (FH Brauschweig/ Wolfebüttel), Dipl.-Ök. Schidler (HS Merseburg), Dr. Schleicher (HS Wismar), Dr. Schwill (FH Bradeburg), Dr. M. Struz (FH Lausitz), Dr. H. Struz (Westsächsische HS Zwickau), Dr. Tippe (TFH Wildau). 3., überarbeitete Auflage 2008 Redaktiosschluss: Oktober 2008 2008 by Service-Agetur des Hochschulverbudes Distace Learig. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begrüdete Rechte, isbesodere das Recht der Vervielfältigug ud Verbreitug sowie der Übersetzug ud des Nachdrucks, bleibe, auch bei ur auszugsweiser Verwertug, vorbehalte. Kei Teil des Werkes darf i irgedeier Form ohe schriftliche Geehmigug der Service-Agetur des reproduziert oder uter Verwedug elektroischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werde. Service-Agetur des (Hochschulverbud Distace Learig) Leiter: Dr. Reihard Wulfert c/o Agetur für wisseschaftliche Weiterbildug ud Wissestrasfer e. V. Magdeburger Straße 50, 14770 Bradeburg Tel.: 0 33 81-35 57 40 E-Mail: kotakt-hdl@aww-bradeburg.de Fax: 0 33 81-35 57 49 Iteret: http://www.aww-bradeburg.de
Fiazmathematik Ihaltsverzeichis Eileitug...5 Literaturempfehlug...5 1 Mathematische Grudlage...6 1.1 Potezrechug...6 1.2 Logarithmerechug...7 1.3 Folge ud Reihe...9 1.3.1 Arithmetische Folge ud Reihe...9 1.3.2 Geometrische Folge ud Reihe... 10 2 Prozetrechug...12 2.1 Prozetuale Äderug vo Grudwerte... 13 2.2 Zeitliche Veräderug vo ökoomische Größe... 15 3 Zis- ud Ziseszisrechug...18 3.1 Grudbegriffe, Defiitioe... 18 3.2 Eifache Zisrechug... 19 3.3 Ziseszisrechug bei jährlicher Verzisug...22 3.3.1 Edwert eier Eimalzahlug...23 3.3.2 Barwert eier Eimalzahlug...25 3.3.3 Zissatzbestimmug... 26 3.3.4 Laufzeitbestimmug... 27 3.4 Ziseszisrechug bei uterjähriger Verzisug... 28 3.5 Zeitwertbestimmug eier Zahlugsfolge... 31 4 Reterechug... 34 4.1 Grudbegriffe, Defiitioe...34 4.2 Reterechug bei gleiche Rete- ud Zisperiodeläge... 36 4.2.1 Reteedwert... 36 4.2.2 Retebarwert... 38 4.2.3 Retehöhe... 38 4.2.4 Azahl der Rete... 39 4.2.5 Zissatz...40 4.3 Reterechug bei uterschiedliche Rete- ud Zisperiode... 42 4.3.1 Reteperiode kürzer als Zisperiode... 42 4.3.2 Reteperiode läger als Zisperiode...44 4.4 Ewige Rete... 45
Fiazmathematik 5 Tilgugsrechug... 46 5.1 Grudbegriffe, Defiitioe...46 5.2 Grudbeziehuge i eiem allgemeie Tilgugspla... 47 5.3 Tilgugsarte... 49 5.3.1 Jährliche Ratetilgug... 49 5.3.2 Jährliche exakte Auitätetilgug... 50 5.3.3 Uterjährige Auitätetilgug...54 6 Abschreibuge... 55 6.1 Grudbegriffe, Defiitioe... 56 6.2 Lieare Abschreibug... 56 6.3 Geometrisch-degressive Abschreibug... 57 Lösugshiweise zu de Übugsaufgabe... 59 Literaturverzeichis... 65
Fiazmathematik Eileitug Was ist Fiazmathematik? Die Fiazmathematik ist das Teilgebiet der Wirtschaftsmathematik, das die quatitative Istrumetarie für die Bewertug vo Kapitalbeträge zu uterschiedliche Zeitpukte bereitstellt. Die klassische Bereiche der Fiazmathematik sid die Zis- ud Ziseszisrechug (Kapitel 3), die Reterechug (Kapitel 4) ud Tilgugsrechug (Kapitel 5) sowie die Abschreibuge (Kapitel 6). Wichtige Awedugsmöglichkeite liege i de Bereiche Fiazierug, Ivestitio ud Wirtschaftlichkeitsrechug. Literaturempfehlug Tietze, J. (2006): Eiführug i die Fiazmathematik. Dieses Buch ist als eigestädige Ergäzug zur Eiführug i die Wirtschaftsmathematik gedacht ud sehr gut durch eie Vielzahl vo Beispiele für das Ferstudium geeiget. Tietze, J. (2005): Übugsbuch zur Fiazmathematik. Locarek, H. (1997): Fiazmathematik. Dieses Buch umfasst die wesetliche fiazmathematische Methode i kapper ud sehr deutlicher Darstellug. Pfeifer, A. (2004): Praktische Fiazmathematik (mit CD-ROM für EXCEL). I diesem Buch wird sehr viel Wert auf Awedugs- ud Praxisbeispiele gelegt. Hervorzuhebe ist die Eibidug des Kalkulatiosprogrammes EXCEL i die fiazmathematische Berechuge.
Fiazmathematik 1 Mathematische Grudlage We Sie dieses Kapitel durchgearbeitet habe, solle Sie i der Lage sei: Studieziele die Recheoperatioe der Potez-, Wurzel- ud Logarithmerechug richtig azuwede, arithmetische ud geometrische Folge sowie ihre Reihe zu defiiere ud ihre Eigeschafte erkee zu köe ud de Zusammehag zwische arithmetischer Folge ud eifacher Verzisug sowie zwische geometrischer Folge ud Ziseszis-Verzisug zu erkee. I der Fiazmathematik isbesodere i der Ziseszis- ud Reterechug werde, ebe de vier Grudrechearte, die Potez-, die Wurzelud die Logarithmegesetze agewedet. Aus diesem Grud stelle wir die grudlegede Defiitioe ud Rechegesetze i diesem eileitede Kapitel och eimal zusamme. Bei der Herleitug der fiazmathematische Beziehuge werde im Wesetliche die Eigeschafte der arithmetische ud geometrische Folge ud Reihe geutzt. Deshalb sei auch hier auf die wichtigste mathematische Aussage über Folge ud Reihe eigegage. 1.1 Potezrechug Defiitio Ei Produkt aus gleiche Faktore b ka verkürzt als Potez b geschriebe werde: b b b b = b. Ma et b die -te Potez vo b. Der Faktor b heißt Potez; ist der Expoet. Für das Reche mit Poteze gelte die folgede Recheregel: a b ± c b = (a ± c) b Poteze mit gleicher Basis ud gleichem Expoete köe addiert/subtrahiert werde, idem ma ihre Koeffiziete addiert/subtrahiert. b m b = b m+ Poteze mit gleicher Basis aber uterschiedliche Expoete köe multipliziert werde, idem ma die Basis mit der Summe der Expoete poteziert. m b b = b m- Uterschiedliche Poteze mit gleicher Basis köe dividiert werde, idem ma die Basis mit der Differez der Expoete poteziert.
Fiazmathematik m m (b ) = b Eie Potez wird poteziert, idem ma die Basis mit dem Produkt der Expoete poteziert. Es gilt b 0 = 1 ud b 1 - = für b 0. b B 1.1 a) 3 b 2 + 4 b 3 + 5 b 4 7 b 2 + 2 b 3 = 4 b 2 + 6 b 3 + 5 b 4 b) 3 b 2 4 b 3 5 b 4 7 b 2 2 b 3 = 840 b 14 c) 4 2 5 2 = 400 d) 4 x 1 1 b 1 = 4 x b e) 2 5 (b ) = b 10 f) a 3 + a 5 = a 3 (1 + a 2 ) Beispiel 1.2 Logarithmerechug I der Fiazmathematik besteht eie der Grudaufgabe dari, aus eier Gleichug der Form K = b de Expoete zu bestimme, wobei K ud die Basis b der Potez b bekat sid. Laut Defiitio eier Potez muss eie atürliche Zahl sei. Um diese Gleichug jedoch stets löse zu köe, ist es otwedig, de Expoete aus dem Bereich der reelle Zahle zu wähle ud somit die Logarithmerechug azuwede. Für alle Werte b ud K > 0 hat die Gleichug K = b eie reelle Lösug für, ud zwar de Logarithmus vo K zur Basis b: K = b = log b K Der Logarithmus eier Zahl K ist der Wert, mit dem ma die Basis b poteziere muss, um die Zahl K zu erhalte. Defiitio Der Expoet heißt Logarithmus vo K zur Basis b (> 0). Für das Reche mit Logarithme gelte die folgede Regel: log b (u v) = log b u + log b v Ei Produkt wird logarithmiert, idem ma die Logarithme der Faktore addiert. æuö log b ç çè vø = log u log v b b Ei Bruch wird logarithmiert, idem ma vom Logarithmus des Zählers de Logarithmus des Neers subtrahiert. log b (a ) = log b a Eie Potez wird logarithmiert, idem ma de Expoete mit dem Logarithmus der Basis a multipliziert.
Fiazmathematik Logarithme zur Basis b = 10 werde als dekadische Logarithme bezeichet ud gekezeichet durch lg log 10 K = lg K. Logarithme zur Basis b = e werde als atürliche Logarithme bezeichet ud gekezeichet durch l log e K = l K ( Bemerkug zu der Zahl e am Ede des Kapitels). Speziell gilt: lg 10 u = u, l e u = u, 10 lg x = x, e l x = x Beispiel B 1.2 Gesucht wird jeweils der Expoet aus eier Gleichug: a) 100 = 10 = 2, da ach Def. der Potez 10 2 = 10 10 = 100. b) 10 = 100 ka keie atürliche Zahl sei. We aber als ratioale Zahl ageomme wird, da ist = ½. Da 100 ½ = (10 2 ) ½ = 10 1 = 10 ( Wurzelrechug). c) 110 = 10 = 2 ud Rest: We der Expoet reell sei darf, so logarithmiere die Zahl 110 zur Basis 10 log 10 110 =. Mit Tascherecher erhalte wir = 2,041. d) I der Ziseszisrechug ist es bei der Laufzeitbestimmug otwedig, die Gleichug K = K 0 (1 + i) ach dem Expoete aufzulöse. Dazu teile wir zuächst die Gleichug durch K K ( ) 0 = 1+ i K 0 logarithmiere beide Seite der Gleichug (lg gewählt, da auf Tascherecher verfügbar) æk ö lg = lg( 1+ i) ud ç çè K 0 ø wede auf der rechte Seite der Gleichug die Regel für die Potez a lg (1 + i). Somit erhalte wir ach Dividiere der Gleichug durch lg (1+i) de gesuchte Expoete æk ö lg ç K çè 0 ø = lg(1+ i). e) I der Reterechug ist es bei der Bestimmug der Reterateazahl N otwedig, die Gleichug q = 1+ r N RN i ach dem Expoete N aufzulöse: N wird zum Faktor, we wir die like ud rechte Seite der Gleichug logarithmiere æ R N iö N lg q= lg ç 1 +. çè r ø
Fiazmathematik Nach Dividiere durch lg q erhalte wir schließlich für N: æ R N ö lg ç 1+ i çè r ø N = lg q B 1.3 Gesucht werde die Logarithmewerte vo a) lg 100 = lg 10 2 = 2 b) lg 1 = lg 1 lg 100 = 0 2 = 2 100 c) lg (1 + i), wobei i = 0,03 lg (1,03) = 0,0128 (Tascherecher) d) l (1 + i), wobei i = 0,03 l (1,03) = 0,0296 (Tascherecher) e) l(e) = 1 1.3 Folge ud Reihe Ordet ma jeder atürliche Zahl durch eie Zuordugsvorschrift f() geau eie reelle Zahl a (auch -tes Glied geat) zu, so bildet die Aeiaderreihug (a 1, a 2,, a N ) dieser a eie Zahlefolge. Defiitio Die Darstellug vo Zahlefolge erfolgt etweder durch eie explizite oder durch eie rekursive Bildugsvorschrift. Die explizite Vorschrift gibt a, wie das Folgeglied a direkt berechet wird, die rekursive gibt a, wie das Folgeglied a aus zuvor bereits bestimmte Folgeglieder berechet wird. Häufig iteressiert dabei, wie a aus seiem umittelbare Vorgäger a 1 berechet werde ka. Arithmetische ud geometrische Folge bzw. Reihe bilde die Grudlage der gesamte Fiazmathematik. Merksatz 1.3.1 Arithmetische Folge ud Reihe Eie Zahlefolge (a 1, a 2, a 3, ) et ma arithmetisch, we jedes Glied a + 1 (außer dem Afagsglied a 1 ) aus dem umittelbar vorhergehede a durch Additio eier kostate Zahl d etsteht (rekursive Bildugsvorschrift): a +1 = a + d, Mege der Natürliche Zahle, Defiitio we sich das -te Glied der Folge aus dem Afagsglied a 1 durch die ( 1)-malige Additio der Kostate d ergibt (explizite Bildugsvorschrift): a + ( 1) d, für = 2, 3,
10 Fiazmathematik Die Kostate d bestimmt das Wachstumsverhalte der Folge: Ist d > 0 so ist die Folge steiged, d < 0 falled, d = 0 kostat. Vo besoderem Iteresse ist die Zahlefolge (s 1, s 2, s 3, ), dere Glieder s ( = 1, 2, ) die jeweilige Summe der erste Glieder der arithmetische Folge (a 1, a 2, a 3,..) sid. Also s 1, s 2 + a 2, s 3 + a 2 + a 3 usw. Diese Folge bezeichet ma als Folge der Partialsumme. Das allgemeie Glied s heißt -te Partialsumme der arithmetische Folge. Ket ma das Afagselemet a 1 ud das Edelemet a ud damit auch de Idex der arithmetische Folge, so gilt für die Summe der erste Glieder s = a1 + a2 + + a =åai i= 1 die Summeformel s = ( a1 + a ). 2 Beispiel B 1.4 Gaußsche Summeformel geg.: Zahlefolge der erste 100 atürliche Zahle (1, 2, 3,, 100). ges.: s 100 Lösug: Zuächst erfolgt der Nachweis, dass die Folge arithmetisch ist: Es ist a 1 = 1, a 2 + 1 = 2, a 3 = a 2 + 1 + 2 1 = 3, a 100 + 99 1 = 100 edliche arithmetische Folge mit dem explizite Bildugsgesetz a + ( 1) d, mit = 1, 2,, 100, a 1 = 1, d = 1. Amerkug: Gesucht ist s 100 also der Summewert 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100. Üblicherweise addiert ma vo liks ach rechts. Warum?, so dachte Gauß ud addierte die erste Zahl a 1 = 1 mit der letzte, a = 100 1 + 100 = 101, die zweite mit der vorletzte 2 + 99 = 101 usw. Da 50 Additioe durchzuführe ware, ergab sich s 100 = 50 101 = 5050. So habe wir Gauß die Summeformel der arithmetische Reihe zu verdake: Gliederazahl å ai = s = (Afagsglied+ Edglied). 2 i= 1 1.3.2 Geometrische Folge ud Reihe Defiitio Eie Zahlefolge et ma geometrisch, we jedes Glied a +1 (außer dem Afagsglied a 1 ) aus dem umittelbar vorhergehede a durch Multiplikatio mit eier Zahl q etsteht (rekursive Bildugsvorschrift): a + 1 = a q, Mege der Natürliche Zahle,
Fiazmathematik 11 we sich das -te Glied der Folge aus dem Afagsglied a 1 durch die ( 1)-malige Multiplikatio mit der Kostate d ergibt (explizite Bildugsvorschrift): a q 1 für = 2, 3, I der Reterechug (mit kostate Reterate) ist die Zahlefolge (s 1, s 2, s 3, ) vo besoderem Iteresse, dere Glieder s ( = 1, 2, ) die jeweilige Summe der erste Glieder der geometrische Folge (a 1, a 2, a 3,...) sid, also s 1, s 2 + a 2, s 3 + a 2 + a 3 usw. Das allgemeie Glied s ist die -te Partialsumme der geometrische Folge, die sogeate geometrische Reihe. De Summewert s erhalte wir aus der Beziehug q -1 s = a1 für q¹ 1. q-1 B 1.5 Es werde drei edliche Zahlefolge betrachtet: Die Folge (1) ethält die Restwerte eier Alage ach Jahre ( Abschitt 5.2 Lieare Abschreibug). Folge (2) ist eie Kapitalfolge, wobei am Ede des Jahres 4 % Zise gezahlt werde (ohe Zisesziseffekt) (s. Abschitt 3.2 zu eifacher Zisrechug). Ud i Folge (3) habe wir es mit eiem Beispiel aus der Ziseszisrechug (s. Absch. 2.3/2.4) zu tu. 100 werde am Afag des Jahres eigezahlt ud am Ede des Jahres mit 4 % verzist. Der eue Wert wird am Ede des Jahres wieder mit 4 % verzist usw. I der vierte Spalte steht jeweils das aus der Zahlefolge erkate explizite Bildugsgesetz (s. Tab. 1.1): Beispiel 1 2 3 4 Art Bildugsgesetz Summewert s (1) a 100 80 60 40 arithmet. Folge a = 100 ( 1) 20 (2) a 100 104 108 112 arithmet. Folge a = 100 + ( 1) 3 4 s = 4 ( 212) = 424 2 (3) a 100 104 108,16 112,49 geometr. Folge a = 100 1,04 4 1, 04-1 s = 100 = 424, 65 4 0, 04 Tabelle 1.1 Edliche Zahlefolge (zu Beispiel B 1.5) Die Reihe i der letzte Spalte sid wie folgt zu iterpretiere: (2): We acheiader jeweils am Afag eies Jahres 100 auf ei Koto eigezahlt werde, so ist die Gesamtsumme am Ede des 4. Jahres bei eifacher Verzisug mit 4 % pro Jahr gleich s 4 = 424.
12 Fiazmathematik (3): We acheiader jeweils am Afag eies Jahres 100 auf ei Koto eigezahlt werde, so ist die Gesamtsumme am Ede des 4. Jahres bei Zisverzisug mit 4 % pro Jahr gleich s 4 = 424,65. Exkurs: Eulersche Zahl e Bei der stetige Verzisug spielt die Zahl e eie wichtige Rolle. Defiitio Was ist die Eulersche Zahl e? Grezwert der spezielle Fuktio f(x): x æ 1ö f(x) = ç 1 +, für x, also : çè x ø x æ 1ö e = lim ç 1+ = 2,718281828459 x çè x ø Für eiige ausgewählte x-werte sid die Fuktioswerte f(x) agegebe: x 1 2 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 f(x) 2 2,25 2,705 2,7169 2,7181 2,71827 2,71828 Beispiel B 1.6 Es soll gezeigt werde, dass im Fall eies stetige Ziszuschlages ( Absch. 3.4) Folgedes für die Edwertformel (3.22) bei uterjähriger Verzisug gilt: æ ö i om m N 1 KN = K 0(1 + ) = K 0 1 m + m ç i om çè om ø m i om N iom æ 1ö Die Substitutio = x liefert : KN = K 0 ç 1+ i çè x ø Für x gilt ach Ersetze vo æ 1ö lim ç 1+ çè x ø x. x x iom N. durch die Zahl e die i Edwertformel bei stetiger Verzisug om N K = K e. N 0 2 Prozetrechug Studieziele We Sie dieses Kapitel durchgearbeitet habe, solle Sie i der Lage sei: die wichtigste Begriffe der Prozetrechug ud ihre grudlegede Beziehuge richtig azuwede, die relative ud absolute Ateile eies Grudwertes zu bereche, die Äderug eies Grudwertes um p % (Veräderug durch Mehrwertsteuer, Skoto, Rabatt, Aufschlag) bestimme zu köe sowie die durchschittliche jährliche Äderugsrate (% pro Jahr), bezoge auf das jeweilige Vorjahr ermittel zu köe.