Inhltsverzeichnis 6 Integrtion 3 6. Stmmfunktionen............................. 3 6. Integrlberechnung............................ 9 6.3 Numerische Integrtion.......................... 4 7 Kurven und Flächen 9 7. Ebene Kurven............................... 9 7.. Beispiele ebener Kurven..................... 9 7.. Polrkoordintendrstellung bei Kurven............ 37 7..3 Tngente und Normle...................... 38 7. Flächen-und Volumenberechnung.................... 47 7.. Berechnung von Flächeninhlten................. 47 7.. Drehfiguren............................ 5 8 Anlysis in mehreren Vriblen 59 8. Grundbegriffe............................... 59 8. Differenzierbrkeit............................ 64 8.3 Der Tngentilrum........................... 79 8.4 Lokle Extrem bei Funktionen zweier Vriblen............ 83 9 Integrtion in mehreren Vriblen 89 9. Integrtion in Vriblen........................ 89 9. Integrtion im R 3............................. 7 Komplexe Zhlen und linere Dgln. Komplexe Zhlen.............................. Linere Differentilgleichungen...................... 7.3 Linere Differentilgleichungen höherer Ordnung............
INHALTSVERZEICHNIS
Kpitel 6 Integrtion 6. Stmmfunktionen Wir lernen nun eine Rechenopertion n einer Funktionenklsse kennen, welche die Opertion der Differenzition rückgängig mcht. Definition. Ist f : [, b] R eine Funktion, so heißt eine differenzierbre Funktion F : [, b] R eine Stmmfunktion zu f, wenn F = f gilt. Folgendes ist leicht: 6.. Hilfsstz. Sind F, G : [, b] R Stmmfunktionen zu f, so gilt F = G + C mit einer Konstnten C. Beweis. Denn (F G = f f =, so dss F G konstnt sein muss. Hier hben wir eine erste Tbelle, die zu einigen schon beknnten Funktionen die Stmmfunktion entält: Funktion f(x Definitionsbereich Stmmfunktion F(x Definitionsbereich x n, Z n R n+ xn+ R x n, Z n <, n R \ {} n+ xn+ R \ {} R \ {} ln x R \ {} x 3
4 KAPITEL 6. INTEGRATION. Funktion f(x Definitionsbereich Stmmfunktion F(x Definitionsbereich e x R e x R x, > R ln x R x,, reell R + + x+ R + (x + b n, mit, n R (x + bn+ R (n+ cos x R sin x R sin x R cos x R / cos x ( π/, π/ tg x ( π/, π/ / sin x (, π ctg x (, π / + x R rctg x R / x (, rcsin x (, Wir zeigen nun, dss mn für jede stetige Funktion f : [, b] R die Fläche berechnen knn, welche vom Grphen von f, der x-achse und den Gerden x = und x = b eingeschlossen wird. Dzu gehen wie so vor:. Schritt: Ist n N, so sei Z eine Zerlegung von [, b] in n Teilintervlle [ j, j+ ], wobei j =,..., n.. Schritt: Wir bilden die Obersumme und die Untersumme n ( Σ(f, Z := mx f(x ( j+ j x [ j, j+ ] j= n ( Σ(f, Z := min f(x ( j+ j x [ j, j+ ] j=
6.. STAMMFUNKTIONEN 5 Für stetiges f sind beide Summen wohldefiniert, und es gilt für irgend Zerlegungen Z und Z von [, b], dss min f([, b] (b Σ(f, Z Σ(f, Z mx f([, b] (b 3. Schritt: Wir bilden ds Oberintegrl R(f, [, b] := größte untere Schrnke von {Σ(f, Z Z Zerlegung von [, b]} und ds Unterintegrl R(f, [, b] := kleinste obere Schrnke von {Σ(f, Z Z Zerlegung von [, b]} Aus der Stetigkeit von f knn mn herleiten: 6.. Stz. Ist f : [, b] R stetig, so gibt es zu jedem ε > eine Zhl δ >, so dss f(t f(s < ε, wenn t s < δ. Hierus folgt ber 6..3 Stz.Ist f : [, b] R stetig, so gibt es zu jedem ε > ein δ >, so dss für jede Zerlegung Z = { =,,..., n = b} von [, b], so dss j+ j < δ, wenn j n, schon gilt Σ(f, Z < Σ(f, Z + ε Insbesondere ist dnn R(f, [, b] = R(f, [, b] Dieser Wert wird ds Integrl von f in den Grenzen und b gennnt und mit dem Symbol b f(xdx bezeichnet. Ist f überll, so stellt b f(xdx die Fläche dr, welche vom Grphen von f, der x-achse und den Gerden x = und x = b eingeschlossen wird. Ht f Werte beider Vorzeichen, so wird der gennnte Flächeninhlt durch b f(x dx wiedergegeben.
6 KAPITEL 6. INTEGRATION f x b x Beispiel: ( Ist f konstnt gleich c, so folgt b f(xdx = c(b denn schon lle Ober-und Untersummen hben diesen Wert. ( Sei jetzt f(x = x. Dnn wählen wir die Zerlegung Z n mit den Zerlegungspunkten j = + j (b und finden n Σ(f, Z n = n ( + j b b n n j= = b n = b n ( n ( j= + b n n + b n = (b + (b n n n j + j= (n n + (b n + (b 3 n 3 (b n n j= n j j= n j j j= Aber es gilt n j = n(n (n 6 j=
6.. STAMMFUNKTIONEN 7 Ds setzen wir in Σ(f, Z n ein und lssen n gehen. Es folgt b x dx = (b + (b + (b 3 3 = (b + (b + b3 3b + 3b 3 = b3 3 3 Für ds Integrl gelten die folgenden Regeln: 6..4 Stz. Sind f und g uf [, b] stetig, so gilt für α R: b b Ist c (, b, so gilt ( f(x + αg(x dx = b f(xdx = c b f(xdx + Jede stetige Funktion ht eine Stmmfunktion: f(xdx + α b c b f(xdx 3 g(xdx 6..5 Huptstz. Ist f : [, b] R eine stetige Funktion, so gilt für die Funktion F (t := t f(xdx, t b folgendes: F ist uf [, b] stetig und uf (, b stetig differenzierbr b F = f uf (, b. c Es gilt F ( =. Beweis. Es sei lso t (, b ein beliebiger Punkt. Ist dnn t (, b, so gilt für t > t : lso F (t F (t = t f(xdx t f(xdx = t t f(xdx F (t F (t f(t t t = t t (f(x f(t dx mx{ f(x f(t t x t} t t
8 KAPITEL 6. INTEGRATION und für t < t : lso ( t F (t F (t = f(xdx F (t F (t f(t t t = t t D f stetig ist, geht t t t t f(xdx = f(xdx t (f(x f(t dx mx{ f(x f(t t x t } mx{ f(x f(t x zwischen t und t } wenn t t. Drus folgt lles. 6..6 Hilfsstz. ( Ist f : [, b] R stetig und F eine Stmmfunktion für f, so ist b f(xdx = F (b F ( ( Ist f stetig differenzierbr, so ist b f (xdx = f(b f(. Beweis. ( Ist nämlich F (t := t f(xdx und F irgendeine Stmmfunktion zu f so ist F = F + C mit einer Konstnten C. Es gilt C = F ( F ( = F (. Nun folgt b f(xdx = F (b = F (b C = F (b F ( ( Bechte, dss f Stmmfunktion zu f ist. Wir vereinbren die Nottion. Ist f stetig, so soll die Schreibweise f(xdx = F (x + C usdrücken, dss F eine Stmmfunktion zu f ist. Ds C ist eine frei wählbre Konstnte.
6.. INTEGRALBERECHNUNG 9 6..7 Stz (Regeln. Sind f und g stetig differenzierbr, f, g : [, b] R, so gilt Dbei ist (Prtielle Integrtion b f(xg (xdx = f g b f g b b := f(bg(b f(g( f (xg(xdx Beweis. Es gilt fg = (fg f g. Die Behuptung folgt durch Integrtion über [, b]. Ein weiteres wichtiges Hilfsmittel zur Integrlberechnung ist die folgende Umkehrung der Kettenregel: 6..8 Stz (Substitutionsregel. Ist die Funktion ϕ : [, b] [c, d] stetig und uf [, b] stetig differenzierbr, wobei c = ϕ(, d = ϕ(b, dnn hben wir für jede stetige Funktion f : [c, d] R d c f(xdx = b f(ϕ(sϕ (sds. Beweis. Wir setzen G(t = t f ϕ(sϕ (sds und F (z = z f(xdx. Dnn ist nch c der Kettenregel (F ϕ (x = F (ϕ(xϕ (x = f(ϕ(xϕ (x = G (x, lso sind G und F ϕ beide Stmmfunktionen von f ϕ ϕ, die in eine Nullstelle hben, lso übereinstimmen müssen. Es folgt d f(xdx = F (d = F (ϕ(b = G(b = b c f(ϕ(sϕ (sds. 6. Integrlberechnung Integrle mit prtieller Integrtion Beispiel. Die Integrle b cos xdx und b sin xdx
KAPITEL 6. INTEGRATION Es gilt: (sin x cos x = sin x cos x+sin x cos x = cos x sin x = cos x ( cos x = cos x Also folgt wobei cos x = + (sin x cos x = F (x F (x = x + sin x cos x Mn schreibt uch kurz sttt dessen cos xdx = x + sin x cos x Ebenso erhlten wir wegen sin x = cos x: sin xdx = x sin x cos x Beispiel. Die Integrle J n := π/ cos n xdx. Mit prtieller Intgrtion gewinnen wir eine Rekursionsformel für J n. lso J n = = π/ π/ cos n xdx cos x cos n xdx = = sin x cos n x π/ }{{} = (n = π/ π/ = (n J n (n J n J n = n n J n = = π/ sin x cos n xdx sin x (cos n x }{{} dx = (n cos n x sin x sin x cos n xdx = (n π/ (n (n 3 3 J = n(n 4 Beispiel 3. Ds Logrithmusintegrl b ln xdx. ( cos x cos n xdx (n (n 3 3 π n n! 4
6.. INTEGRALBERECHNUNG b Nun schreiben wir b ln xdx = ln xdx = xln x b oder kurz: b x(ln x dx = xln x b ln xdx = xln x x Beispiel 4. Ds Integrl I := b x dx für < b. Nun hilft prtielle Integrtion b x x dx = xln x x b bezw. I = b Ds liefert uns x dx = x x b = = x x b b b = x x b I + x x dx x b dx + x b x dx = x x b I + rcsin(x I = x x b + rcsin(x b x dx = x x + rcsin(x b x dx Beispiel 5. Integrle mit Exponentilterm: I n = b xn e x dx, mit n, gnzzhlig. I n = b x n ( e x dx = x n e x b + ni n Beispiel 6. Für, b > berechnen wir e x sin(bxdx = b e x cos(bx b e x cos(bxdx = b e x cos(bx b sin(bx e x sin(bxdx b
KAPITEL 6. INTEGRATION Somit ist e x sin(bxdx = + b ( be x cos(bx + sin(bx. Integrle mit Substitionsregel Beispiel 7. Stmmfunktion zu tg x uf ( π/, π/ und ctg x uf (, π. Hier gilt tg x = sin x/ cos x = cos x cos x Ebenso folgt ctg x = (ln sin x. = (ln cos x Beispiel 8. Stmmfunktion zu / sin x uf (, π. Wir bechten, dss sin x = sin( x cos( x = tg x Wir finden so für < < b < π/: Beispiel 9. Ds Integrl β α b cos x dx sin x = ln tg (x b. = dx mit >, < α < β. +sin x d tg (x/ dx tg (x/ Wir schreiben sin x = sin( x cos( x = tg ( x cos ( x und cos (x/ = + tg ( x. So finden wir β α + sin x dx = = = = = = β α β α β + tg ( x cos ( x dx ( + tg ( x + tg ( x α β α β α cos ( x dx ( + u + u du, mit α = tg (α, β β = tg ( ( + u + u du (u + du + rctg ( u + β α
6.. INTEGRALBERECHNUNG 3 Beispiel. Ds Integrl t dx + x. Wir setzen x(s = sinh(s. Dnn ist x (s = cosh(s und t dx Arsinh (t = + x x (sds + x(s = Arsinh (t Beispiel. Berechnung einer Stmmfunktion zu f(x = +x x. Wir schreiben x(u = sinh(u und finden t α f(xdx = Arsinh (t Arsinh(α Arsinh (t cosh u sinh u du ( + = Arsinh(α sinh u Arsinh (t = (u ctgh (u Arsinh(α du Dmit hben wir gefunden + x dx = ln (x + + x + x x x Beispiel. Ds Integrl π/4 Diesml schreiben wir den Integrnden ls dθ cos θ + b sin θ, < < b. cos θ + b sin θ = b + b tg θ b cos θ Nun ist die Substitution ϕ(s = b tg θ erfolgreich. Wegen ϕ(π/4 = b/ wird π/4 dθ cos θ + b sin θ = b Oder llgemeiner: π/4 ϕ (θ + ϕ(θ dθ = b b/ dθ cos θ + b sin θ = b rctg( b tgθ dt + t = b rctg(b/
4 KAPITEL 6. INTEGRATION Beispiel 3: Die Ziehkurve Es seien d > und A und P die Endpunkte einer Kette oder Stnge der Länge d. Wenn dnn A uf einer Gerden läuft, dnn durchläuft P eine Kurve, welche ls Ziehkurve bezeichnet wird. Wir nehmen n, dss A uf der x-achse wndere. Die Koordinten von P nennen wir (x, f(x. A b Trktrix P(x,f(x P (d, x Dnn gilt für die Tngentensteigung: f (x = b x = d x x
6.. INTEGRALBERECHNUNG 5 Zusmmen mit f(d = finden wir f(t = Zur Berechnung des Integrls c = = d d t d t u u u := u(v = sin v, d x dx x ( x d dx x/d u du u t/d du substituieren wir und bechten u(π/ =, u(rcsin c = c. Dnn wird u π/ cos v du = u sin v dv Nun ist ber c rcsin c π/ dv = rcsin c sin v = ln (tg( v π/ u (v = cos v rcsin c π/ rcsin c sin vdv cos(rcsin c = ln (tg( rcsin c c tg(α = tgα tg (α lso löst, wenn wir β = tg(α setzen, die Zhl y := tgα die Gleichung y = y β Nun sei α = rcsin c. Dnn ist β = tg(rcsin c = c y = c ( c = c c und + c Setzen wir hierin c := t/d, so folgt ( d + d t f(t = d ln d t t
6 KAPITEL 6. INTEGRATION Der Fll rtionler Funktionen Gegeben sei eine rtionle Funktion R(x = P (x Q(x Nch Polynomdivision mchen wir drus R(x = p (x + P (x Q(x }{{} =:R (x mit Polynomen P und Q. mit Polynomen p und P, wobei der Grd von P kleiner ls der Grd n von Q ist. Prtilbruchzerlegung und Integrtion einer rtionlen Funktion Es können verschiedene Fälle uftreten: Fll ( Ds Polynom Q zerfällt in Linerfktoren, und zwr Q(x = c(x x... (x x n mit prweise verschiedenen x,..., x n. Dnn lutet der Anstz R (x = A x x +... + und die Koeffizienten A k können durch berechnet werden. Dnn wird R (xdx = A n x x n A k := lim x xk (x x k R (x n A k ln x x k k= Beispiele: ( R(x = x 3 +7x +7x 5. Nun ist P = und Q(x = x 3 + 7x + 7x 5. Es zeigt sich, dss Q( =. Mit Polynomdivision folgt drus Q(x = (x (x + 8x + 5 Der Qudrtterm ist zerlegbr ls x + 8x + 5 = (x + 3(x + 5. Die Prtilbruchzerlegung von R ist nun durch den Anstz R(x = zu finden. Wir erhlten (x (x + 3(x + 5 = A x + A x + 3 + A 3 x + 5 A = 4, A = 8, A 3 =
6.. INTEGRALBERECHNUNG 7 lso und R(x = 4 x 8 x + 3 + x + 5 R(xdx = 4 ln x 8 ln x + 3 + ln x + 5 Fll ( Ds Polynom Q zerfällt in Linerfktoren f(x = C(x x ν (x x r νr In diesem Flle ist der Prtilbruchnstz R (x = r ν j j= m= A j,m (x x j m erfolgreich. Die Berechnung der Koeffizienten A j,m geschieht nun mit der Formel A j,m = ( (ν j m! lim (x x j ν (νj m j R (x x x j Als Stmmfunktion zu R ergibt sich dnn F (x = r A j, ln x x j + j= ( Sei R(x = 6x+7 (x 3 (x+. Jetzt wird der Anstz R(x = A x + + B x + gemcht.. Methode: Koeffitzientenvergleich. Wir erhlten dnn r ν j j= m= m A j,m (x x j m C (x + D (x 3 R(x = A(x 3 + B(x + (x + C(x + (x + D(x + (x 3 (x + Vergleich der Zähler liefert 6x + 7 = A(x 3 + B(x + (x + C(x + (x + D(x +
8 KAPITEL 6. INTEGRATION Setzen wir hierin x = ein, folgt A = 5. Setzen wir x =, so folgt D = 3. Mit 7 3 x = erhlten wir 5 6 + B C + 7 3 = 7 lso B C = 4 7, B C = 7 Schließlich wählen wir noch x = und finden Somit folgt = 8A + 4B C + D, B C = 5 7 B = 5 7, C = 5 9. Methode: Wir verwenden die obige Formel: C = lim x ( (x 3 R(x = und Unser Resultt ist dnn 6x + 7 x= A = lim (x + R(x = = 5 x (x 3 7 D = lim(x 3 R(x = 6x + 7 = 3 x x + x= 3 ( 6x + 7 = x + x= 6(x + (6x + 7 (x + x= = B = lim ( (x 3 R(x 5 x= = = 5 x (x + 3 7 R(x = 5 7 x + 5 7 x + 5 9 (x + 3 3 (x 3 5 (x + x= = 5 9 mit der Stmmfunktion F (x = 5 7 ln x + 5 7 ln x 5 9 x 3 6 (x Fll (3 Angenommen, f hbe in R keine Nullstelle. Dnn muss der Grd n von f gerde sein. Weiter hben wir eine Drstellung Q(x = q (x k q s (x ks mit nullstellenfreien qudrtischen Polynomen q,..., q s und Exponenten k,..., k s N.
6.. INTEGRALBERECHNUNG 9 In diesem Fll ist der Anstz zu mchen. s k i i= n= B i,n x + C i,n q i (x n Beispiele. i Sei etw f(x = x 4 x 3x +. Dnn versuchen wir den Anstz Ausmultiplizieren ergibt Es folgt durch Koeffizientenvergleich: f(x = (x αx + β(x + αx + δ f(x = x 4 + ( α + δ + βx + α(β δx + βδ α + β + δ =, α(β δ = 3, βδ = Wegen der letzteren Bedingung probieren wir β = 3, δ = 4. Es folgt dnn wegen der mittleren Bedingung α = 3. Die erste Bedingung ist ebenflls erfüllt. So finden wir f(x = (x 3x + 3(x + 3x + 4 ii Bei f(x = x 4 + verfhren wir ähnlich und finden mit dem Anstz x 4 + = (x + αx + β(x αx + γ durch Koeffizientenvergleich α =, β = γ =, lso iii R(x = und errechnen: x 4 + = (x + x + (x x + x x+3. Wir mchen den Anstz x 4 x 3x+ R(x = Ax + B x 3x + 3 + Cx + D x + 3x + 4 R(x = (Ax + B(x + 3x + 4 + (Cx + D(x 3x + 3 x 4 x 3x + = (A + Cx3 + (3A + B 3C + Dx + (4A + 3B + 3C 3Dx + 4B + 3D x 4 x 3x + Es entsteht ds Gleichungssystem A + C =, 3A + B 3C + D =, 4A + 3B + 3C 3D =, 4B + 3D = 3
KAPITEL 6. INTEGRATION Ds führt uf 6A + B + D =, A + 3B 3D =, 4B + 3D = 3 und dies wieder uf 9A + 6B = 5, 8A + B = 3 mit Lösungen A = 3 7, B = 33 7, C = 3 7, D = 83 7 iv R(x = /x 4 +. Der Anstz x 4 + = führt durch Koeffizientenvergleich uf Ax + B x + x + + Cx + D x x + A + C =, (A + C + B + D =, B D =, B + D = Es folgt Also wird A = C =, B = D =. ( R(x = (/ x + x + x + (/ x x x + Die Bestimmung von Stmmfunktionen für die Terme ist nun schwieriger. P i,n (x = B i,nx + C i,n q i (x n Wir betrchten den Fll n = eingehender. Ds qudrtische Polynom q i ht die Form q i (x = x + b i x + c i, wobei, d q i keine reellen Nullstellen hben sollte, D i := c i b i > gelten muss. Wir sehen uns dher rtionle Funktion der Form n, wobei D = d c >. q(x = x + b x + cx + d
6.. INTEGRALBERECHNUNG Zunächst hben wir die Aufteilung q(x = x + c x + cx + d + b c x + cx + d Schreiben wir jetzt h(x = x + cx + d, so wird der erste Term drstellbr ls f (x := h (x h(x und ht ls Stmmfunktion F (x = ln h(x Nun zum zweiten Term Zunächst sehen wir, dss f (x := h(x = (x + c + D = D b c x + cx + d ( (x + c +. D Es folgt b c h(x = b c D ( ( = b c x+c D D + ϕ (x + (ϕ(x mit ϕ(x = x + c D. Diese Funktion ht die Stmmfunktion F (x = b c D rctg( x + c D Nun zum Fll n. Wir beschränken uns uf R n (x = ( + x n Es gilt R n (x = R n (x x x ( + x n
KAPITEL 6. INTEGRATION und weiter mit prtieller Integrtion x x ( + x dx = x n n Also wird und Beispiele: Es gilt R (xdx = R n (xdx = n 3 n R (xdx + x ( + x n + R n (xdx + n x n + x = rctg x + x dx ( + x n ( + x n + x + C R 3 (xdx = 3 R (xdx + x 4 4 ( + x = 3 8 rctg x + 3x 8 + x + x 4 ( + x Beispiel. R(x =. Nun probieren wir (x +4(x +6x+ R(x = Ax + B x + 4 + Cx + D x + 6x + Ausmultiplizieren und Vergleich der Zähler ergibt dnn (A + Cx 3 + (6A + B + Dx + (A + 6B + 4Cx + B + 4D = Wieder ist C = A und D = 6A B. Hierus folgt B = A und schließlich D = 5A und A =. Ds führt uf B = C =, D =. So erhlten wir 3 3 6 R(x = x 3 x + 4 + x + 5 3 x + 6x + und weiter R(xdx = 6 ln (x + 4 + 6 rctg (x + 6 ln (x + 6x + + rctg (x + 3 5 Fll (4. Der llgemeine Fll einer rtionlen Funktion R = P (x ist eine Kombintion der beiden Fälle ( und (. Für Q gilt eine Q Zerlegung Q(x = C(x x ν (x x r νr q (x k q s (x ks
6.. INTEGRALBERECHNUNG 3 mit reellen Nullstellen x,..., x r und nullstellenfreien qudrtischen Polynomen q,..., q s. Ist Grd (P kleiner Grd (Q, so muss der Prtilbruchnstz luten: R (x = r ν j j= m= A j,m s (x x j + m k i i= n= B i,n x + C i,n q i (x n Beispiele Die Funktion R(x = x+3 (x (x + wird drgestellt ls R(x = A x + B (x + Cx + D x + = A(x (x + + B(x + + (Cx + D(x (x (x + (6.. Vergleich der Zähler ergibt ( x + 3 = A(x (x + + B(x + + (Cx + D(x Mit x = erhlten wir B = 5, lso B = 5. Leiten wir ( b, so folgt ( = A(x + + A(x x + Bx + (x (Cx + D + C(x Setzen wir drin x = ein, finden wir A + B =, lso A = 3/. Nun wählen wir x = und setzen ein in (. Es folgt 3 = A + B + D = 4 + D, lso D =. Einsetzen von x = in ( liefert uns = A D + C = + C und dmit C = 3. Insgesmt finden wir und R(x = 3 x + 5 3 (x + x x + R(xdx = 3 ln x 5 x + 3 4 ln (x + rctg x b Sei R(x = 3x + 5. Nun muss der Anstz x (x + 4x + 6 R(x = A x + B x + Cx + D x + 4x + 6
4 KAPITEL 6. INTEGRATION gemcht werden. Ds führt zu R(x = Ax(x + 4x + 6 + B(x + 4x + 6 + x (Cx + D x (x + 4x + 6 = Ax3 + 4Ax + 6Ax + Bx + 4Bx + 6B + Cx 3 + Dx x (x + 4x + 6 = (A + Cx3 + (4A + B + Dx + (6A + 4Bx + 6B x (x + 4x + 6 Es folgt B = 5, A =, C =, D = 6 8 8 8 Wir integrieren dies und finden R(x = 8x + 5 6x + 36 und dmit x + 4 x + 4x + 6 R(xdx = 5 ln x 8 6x + 36 ln (x + 4x + 6 3 8 rctg ( x + 6.3 Numerische Integrtion Es kommt durchus vor, dss mn zu einer stetigen Funktion keine Stmmfunktion in geschlossener Form nschreiben knn, etw bei 5 sin x x dx, 5 ln x dx, e x dx,... In diesem Fll helfen geometrisch motivierte Näherungsverfhren weiter. Die Idee ist, eine gegebene stetige Funktion f : [, b] R durch eine einfcher gebute Funktion g : [, b] R zu ersetzen, deren Integrl explizit uszurechnen ist und dnn den Fehler b b f(xdx g(xdx zu kontrollieren. Eine numerische Näherungsformel ist die Trpezregel, bei der g stückweise liner ist, d.h. der Grph von g ein Polygonzug ist. Sei im Folgenden immer f : [, b] R stetig.
6.3. NUMERISCHE INTEGRATION 5 Die Trpezregel Wir zerlegen ds Intervll [, b] in n gleiche Teilintervlle der Länge l n := (b /n. Die Teilpunkte seien x j = + j l, wobei j =,..., n. Ds Intervll I j definieren wir ls I j := [x j, x j+ ], wo j =,..., n. Ferner setzen wir: f j := f(x j, und g j (x = f j + f j+ f j x j+ x j (x x j = f j + l n (f j+ f j (x x j Wir bechten, dss g j (x j+ = f j+ = g j+ (x j+. Dmit wird die Funktion uf gnz [, b] stetig. Wir erhlten g T n (x := g j (x, wenn x I j, j =,..., n xj+ x j g j (xdx = f j l n + ln (f j+ f j l n = l n (f j + f j+ Summtion über lle j =,..., n liefert: b g T n (xdx = n xj+ = l n j= x j ( n g j (xdx f j+ + f j j= = l n ( n f + f n + f j Ist f nun sogr -ml stetig differenzierbr, können wir eine Fehlerbschätzung vornehmen. Dzu benötigen wir ds folgende j= 6.3. Hilfsstz. Ist f : [, b] R eine uf (c, d [, b] zweiml stetig differenzierbre Funktion, so sei g(x := f( + f(b f( (x die Sekntenfunktion. Es gibt b dnn zu jedem x (, b ein t (, b mit f(x g(x = f (t(x (x b 6.3. Stz (Trpezregel. Ist f : [, b] R uf einem [, b] enthltenden Intervll -ml stetig differenzierbr, so gilt die Fehlerbschätzung: b f(xdx b ( gn T (xdx (b l n mx I f
6 KAPITEL 6. INTEGRATION Beweis. Mit dem vorherigen Lemm finden wir ein für jedes x (x j, x j+ ein t j (x I j mit f(x g j (x = f (t j (x (x x j (x x j+ Ds bedeutet: f(x g j (x Integrieren wir über I j, so folgt: xj+ xj+ f(xdx gn T (xdx x j denn es gilt x j ( mx I = f (x x j (x j+ x xj+ x j xj+ x j ( ( = l3 n mx I f(xdx g T n (x dx f(xdx g j (x dx mx I x j+ f (x x j (x j+ xdx f x j xj+ x j (x x j (x j+ xdx = ln t(l n tdt = l 3 n t( tdt = l3 n 6. Summieren wir lles über j =,..., n, folgt b b ( f(xdx gn T (xdx n xj+ = f(xdx j= x j n xj+ f(xdx j= x j ( n l3 n mx I xj+ x j xj+ x j f = (b l n g T n (xdx gn T (xdx ( mx I f Beispiel. Berechnung von ln uf 3 Kommstellen genu. Wir benutzen, dss ln = f(xdx, wobei f(x = / + x. Bei n = Stützstellen hben wir l n =., und folgende Tbelle:
6.3. jnumerische x j f j INTEGRATION 7..999..833333 3.3.7693 4.4.7485 5.5.666667 6.6.65 7.7.58835 8.8.555555 9.9.5635.5 9 j= f j =6.87743 Als Näherungswert ergibt sich nun ( w n = 9 f + f n + f j = (6.87743 +.5/ =.69377. n j= Dbei sind die ersten 3 Kommstellen korrekt. Denn ln =.69347... Die Fehlerbschätzung liefert hier wegen mx [,] f = den Wert /6n = /6. Bei n = erhlten wir w n =.69333 mit Fehler < /4 und bei n = 5 folgt w n =.6937 und der Fehler ist < /5.
8 KAPITEL 6. INTEGRATION Berechnung von π Wir rbeiten mit der Funktion f(x = +x uf dem Intervll [, ]. j x j f j.5.99756..9999 3.5.977995 4..96538 5.5.9476 6.3.9743 7.35.89869 8.4.8669 9.45.836.5.8.55.767754.6.73594 3.65.7988 4.7.674 5.75.64 6.8.69756 7.85.5855 8.9.55486 9.95.5564.5 9 j= f j = 7.998 Als Näherungswert für π ergibt sich nun ( w = 4 9 f + f + f j = 3.48/ = 3.4 4 j= Die ersten 3 Nchkommstellen sind korrekt.
Kpitel 7 Anwendungen der Differentil-und Integrlrechnung 7. Ebene Kurven Definition. Ist ( I R ein Intervll, so bezeichnen wir ls prmetrisierte Kurve ein x(t Pr α(t = stetig differenzierbrer Funktionen, welche uf I definiert sind. y(t ( x Wir nennen α bei t I regulär, wenn α (t := (t y nicht der Nullvektor (t ist. Mn nennt α uf I regulär, wenn α keine Nullstelle uf I ht. 7.. Beispiele ebener Kurven Die Gerde durch P in Richtung v ist drstellbr durch α(t = P + t v, I = R Der Kreis um M mit Rdius R wird beschrieben durch ( α(t = M cos t + R, I = [, π] sin t 9
3 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN 3 Die Neilsche Prbel α(t = (t, t 3, definiert uf I = R ist bei t = nicht regulär. Hier ist ds Bild.5.5 - - 4 Die Ellipse mit Brennpunkten A und B ist der geometrische Ort ller derjenigen Punkte, bei denen die Summe der Abstände von A und von B einen konstnten Wert besitzt. Legen wir ds Koordintensystem so fest, dss diese beiden Brennpunkte uf der x-achse liegen, und dss A = ( cos t durch α(t = b sin t ( d, B = ( d, so wird die Ellipse, I = [, π] prmetrisiert, wobei > b > und d = b. Ist nämlich (x, y ein Punkt der Ellipse, so hben wir lso ( x d y ( x d y Ds qudrieren wir und finden ( x + d + y ( x + d = y =,. (x d + y = (x + d + y + 4 (x + d + y
7.. EBENE KURVEN 3 Ds ist mit 4(d x + = 4 (x + d + y gleichwertig. Kürzen wir durch 4 und qudrieren nochmls, folgt d x + 4 + dx = ((x + d + y = x + dx + d + y Ds zusmmen mit b + d = ergibt Division durch b liefert Diese Gleichung wird durch b x + y = 4 d = b x + y b = x(t = cos t, y(t = b sin t erfüllt. Hier ist ds Bild dzu 3-4 - 4 Sicher ist α ohne Nullstellen. - - -3 5 Die Hyperbel mit Brennpunkten A und B ist der geometrische Ort ller derjenigen Punkte, bei denen die Differenz der Abstände von A und von B einen konstnten
3 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Wert besitzt. -3 - - 3 - - Ihre Punkte (x, y erfüllen die Gleichung x y b = Die Prmetrisierung für ihre Äste ist dher llgemein α + (t = ( cosh t, b sinh t, α (t = ( cosh t, b sinh t mit I = R. Ist d der Abstnd der beiden Brennpunkte voneinnder, so gilt d + b =. 6 Die Prbel. ( Gegeben sei die Gerde L = {y = y } und der Punkt F = z mit z > y. Dnn ist die Menge P ller Punkte (x, y, deren Abstnd von F gleich ihrem Abstnd zur Gerden L ist, durch die Gleichung gekennzeichnet. Qudrieren ergibt y y = x + (y z y yy + y = x + (y z = x + y yz + z oder (z y y = x y, y = x y (z y
7.. EBENE KURVEN 33 Hier ist ds (wohlbeknnte Bild ( mit y =, z = :.5-3 - - 3 -.5-7 Die logrithmische Spirle ist prmetrisiert durch α(t = e bt ( cos t sin t, I = R
34 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Es gilt dnn ( cos t α (t = e (b bt sin t + ( sin t cos t 8 Zykloiden. Gegeben seien konzentrische Kreise mit Rdien und b, die sich simultn bewegen sollen. Der Kreis mit Rdius rolle uf der x-achse b. Auf dem Rnd des Kreises mit Rdius b fixieren wir einen Punkt P. Dnn beschreibt der Punkt beim Abrollen des Kreises mit Rdius eine Zykloide. Sie ist regulär, wenn b und ht nicht-reguläre Punkte für = b, wenn t Vielfches von π ist. Hier sind 3 Beispiele, und zwr für > b, = b und < b..5 3.5-5 5 5.5.5-4 6 8 3-4 6 8 - Die Prmetrisierung der Zykloide ist ( ( ( cos(t π α(t = + t + b sin(t π = ( t b sin t b cos t 9 Die Zissiode des Diokles (c. v. Chr. Im Zusmmenhng mit dem Versuch, ds Problem der Kubusverdoppelung geometrisch zu lösen studierte Diokles die folgende Kurve: Gegeben sei ein Kreis mit Rdius > und ein fester Punkt B uf diesem Kreis. Mit T bezeichnen wir die Tngente durch B n diesen Kreis. Auf dem Kreis liegt
7.. EBENE KURVEN 35 gegenüber zu B der Punkt A. Ist P A ein beliebiger Punkt uf dem Kreis, so gibt es einen Schnittpunkt Q(P zwischen der Tngenten T und der Gerden durch A und P. Wir betrchten jetzt zu P denjenigen Punkt S(P uf der Gerden durch A und P, dessen Abstnd zum Punkt A übereinstimmt mit dem Abstnd von P zu Q(P. Wndert P uf dem Kreis, so durchläuft S(P die nch Diokles bennnte Kissiode. Sie ht ihren Nmen dher, dss ihre Form der des Rndes eines Efeublttes ähnelt. (Kissos ist ds griechische Wort für Efeu. Zur Prmetrisierung der Kissiode: Q(P S(P P A B
36 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Es sei A = (, und B = (,. Die Koordinten von S(Q seien (x, y und die von P nennen wir ( x, ỹ. Ist dnn Q = (, y Q, so hben wir ( y Q = y x + = ỹ x + (Strhlenstz ( (y Q ỹ + ( x = ( + x + y (Definition von S(P und (3 x + ỹ = (Annhme über P Aus ( folgt y Q ỹ = x ỹ und zusmmen mit ( + x ( x (( ỹ + x + = ( + x + y Wieder mit ( folgt drus ( x (( y + x + = ( + x + y, ws ( x = ( + x impliziert. Wegen < x < muss dnn x = x sein. Ds in ( eingesetzt liefert ỹ = x y. In Verbingung mit (3 erhlten wir dnn + x ( x + x y = ỹ = ( x( + x = ( x( + x Die Punkte (x, y uf der Kissiode erfüllen somit die Gleichung ( x y = ( + x 3 Ds ermöglicht die Konstruktion von 3. Dzu sei M = (,. Die Gerde durch B und M trifft die Kissiode in einem Punkt P = (x, y. Dnn hben wir y x = lso x = y. Ds bedeutet ber, dss ( + x y 3 =. Mn bechte, dss mn nun +x y Nehmen wir n, es sei P = ( cos t, sin t, so liefert α(t = eine Prmetrisierung der Kissiode. mit Zirkel und Linel konstruieren knn. ( cos t cos t sin t +cos t, π < t < π
7.. EBENE KURVEN 37 7.. Polrkoordintendrstellung bei Kurven Wir vereinbren folgendes: Definition. Zu jedem Punkt x R \ { } findet mn ein t [, π, so dss ( x = x e(t, e(t cos t := sin t Ds eröffnet die Möglichkeit, durch Whl eine differenzierbren Funktion r : I R durch α(t = r(t e(t eine differenzierbre Kurve zu definieren. Es ist dnn α(t = r(t. Beispiele: Der Kreis um den Nullpunkt: Hier ist r konstnt gleich dem Rdius. Die logrithmische Spirle: Hier ist r(t = e bt. 3 Die Ellipse mit Zentrum im Nullpunkt: Nun gilt r(t = + (b sin t 4 Die Lemniskte oder Cssinische Kurve ist definiert ls geometrischer Ort ller Punkte, bei denen ds Produkt der Abstände von gegebenen Punkten, die wieder Brennpunkte heißen, einen konstnten Wert ht. Sind ( f, und (f, die Brennpunkte, so erfüllen die Punkte x uf der Lemniskte die Gleichung (x + y f (x y = 4 f 4 Mchen wir den Anstz x(t = r(t cos t, y(t = r(t sin t, so wird drus ( r(t f cos(t = 4 f 4 sin (t Ds Prmeterintervll I muss lso so gewählt werden, dss sin(t bleibt. Für f t I ist dnn r(t = f cos(t + 4 f 4 sin (t Für > f knn I = [, π] gewählt werden, ist f, muss I so klein gemcht werden, dss zusätzlich t π in I ist. Dnn wird die Lemniskte durch 4 α(t = f cos(t + 4 f 4 sin (t e(t prmetrisiert.
38 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Sie sieht im Fll > f so us:.6.4. -. -.4 -.6 -.5 - -.5.5.5 und im Fll = f so:.3.. - -.5 -..5 -. -.3 wobei Wie berechnen wir α bei prmetrisierten Kurven in Polrdrstellung? Aus α(t = r(t e(t folgt mit der Produktregel ( e(t sin t = cos t α (t = r (t e(t + r(t e(t,. Es gilt e(t, e(t =, so dss e(t und e(t für lle t liner unbhängig sind. Wenn lso r(t oder r (t, so ist α n der Stelle t regulär. 7..3 Tngente und Normle 7.. Stz. Ist α : I R eine uf dem Intervll I definierte differenzierbre Kurve und t I, so dss α (t := α (t, so gilt:
7.. EBENE KURVEN 39 Es gibt ein Intervll J := (t δ, t +δ, so dss α(t α(t für lle t J \{t }. b Die Seknten ( S t := α(t + R α(t α(t zu α durch α(t und α(t streben mit t t gegen die Gerde T α,t := α(t + Rα (t Diese berührt α n der Stelle α(t und wird dher ls die Tngente n α in α(t bezeichnet. Beweis. Ist etw x (t >, so gilt uf einem kleinen Intervl J um t, dss x (t > für lle t J. Es folgt, dss x(t x(t = ± t t x (sds wenn t t. Anlog rgumentiere mn, wenn x (t <, oder wenn y (t ist. b Ist t J \ {t }, so hben wir ( α(t α(t S t = α(t + R α(t α(t α(t α(t Für den Richtungsvektor v(t dieser Seknten gilt v(t = α(t α(t α(t α(t = ε t α(t α(t t t α(t α(t t t
4 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN wenn ε t = für t > t und ε t =, wenn t < t setzen. Lssen wir hierin t gegen t gehen, so strebt v(t gegen α (t ( α. (t x Definition. Ist α = : I R y eine Kurve, und ist t I, so bezeichnen wir ls Normle n α im Punkte α(t die Gerde ( y N α,t = α(t + R (t x (t und mit n α (t := den Einheitsnormlenvektor n α in α(t. ( y (t α (t x (t α(t Der Vektor( n α (t ht die Länge, steht senkrecht uf α (t und erfüllt die Bedingung det α (t, n α (t α(t =. Ist die Kurve in Polrkoordinten drgestellt, so hben wir ( r α (t = r (t e + r(t e (t = (t cos t r(t sin t r (t sin t + r(t cos t,
7.. EBENE KURVEN 4 wobei Dnn ist n α (t = e(t = = ( cos t sin t ( sin t, e (t = cos t r(t + (r (t ( r (t sin t r(t cos t r (t cos t r(t sin t r(t + (r (t ( r(t e(t + r (t e (t Beispiele Die rchimedische Spirle α(t = t ( cos t sin t Wir berechnen Tngente und Normle bei α(π/3. ( sin t Wegen α (t = e + t hben wir: cos t T α;π/3 = α(π/3 + Rα (π/3 = π ( (( 3 + R 3 + π ( 3 6 3 und N α;π/3 = π 6 ( 3 + R (( 3 π 3 ( 3 Die Bogenlänge einer Kurve Wir können die Länge eines Kurvenstückes usrechnen, wenn nur die Kurve differenzierbr ist. 7.. Stz. Ist α : [, b] R eine -ml differenzierbre Kurve, so ist ihre Länge durch gegeben. L α := b α (t dt Denn unterteilen wir [, b] in die Teilpunkte t j := + j (b für j =,..., N, so N ist die Weglänge näherungsweise gleich L N := N α(t j+ α(t j j=
4 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN gegeben. Aber unsere Betrchtungen über Tylorpolynome sgen, dss α(t j+ = α(t j + α (t j b N wobei der Fehler R j sich wie /N verhält. Dnn ist ber + R j L N = N j= α (t j b N + F N mit einem Fehler F N /N. Aber die oben stehende Summe ist eine Riemnnsche Summe zum Integrl b α(t dt. Mit N erhlten wir die Behuptung. Ist α : I R in Polrkoordinten drgestellt, so gilt α(t = r(t e(t, lso α = r(t + (r (t und dmit L α = r(t + (r (t dt I Beispiele. Die Prbel α(t = (t, t, mit t. Nun hben wir L α = b = = = 4 + 4 t dt b c + s ds cosh (udu = (sinh(c cosh(c + c 4 ( b + 4 b + ln (b + + 4 b mit c := Arsinh (b = ln (b + + 4 b. b Die Archimedische Spirle, α(t = t e(t. Nun ist L α = b b t + dt = t + dt = (ln (b + + b + b + b
7.. EBENE KURVEN 43 Prmetrisierung nch der Bogenlänge Ist wieder α : [, b] R eine stetig differenzierbre Kurve, so ht die Bogenlängenfunktion s : [, b] [, L α ], s(x := x α (t dt, L α := eine Umkehrfunktion h : [, L α ] [, b]. Wir schreiben und finden lso c α (s =. c α (s = α(h(s c α (s = α h h = α α h b α (t dt Ist umgekehrt C : [, L] R eine Kurve mit C (s = für lle s, so ist s C (t dt = s, lso der Prmeter s schon die Bogenlänge. Somit sehen wir, dss eine Kurve α genu dnn nch der Bogenlänge prmetrisiert ist, wenn α (t konstnt = ist. Krümmung Angenommen, es sei eine differenzierbre Kurve α : [, b] R gegeben und t (, b. Dnn sehen wir uns die Normlen N α,t n α in α(t n. Ist R >, so ht N α,t mit dem Kreis C um α(t + R n α (t mit Rdius R einen Schnittpunkt q(t. Denn schreiben wir (mit n α (t := α (t/ α(t so muss λ(t die Gleichung q(t = α(t + λ(t n α (t q(t α(t R n α (t = α(t α(t + λ(t n α (t R n α (t = R erfüllen. Ds ist mit ( λ(t + n α (t, α(t α(t R n α (t, n α (t λ(t = R α(t α(t R n α (t = R n α (t, α(t α(t α(t α(t (
44 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN bzw. mit ( λ(t + n α (t, α(t α(t R n α (t, n α (t = R n α (t, α(t α(t α(t α(t + n α (t, α(t α(t R n α (t, n α (t äquivlent. Für t nhe bei t ist die rechte Seite nhe bei R, lso gibt es den Schnittpunkt q(t, wenn nur t nhe genug bei t liegt. Die Funktion λ(t = n α (t, α(t α(t + R n α (t, n α (t R n α (t, α(t α(t α(t α(t + n α (t, α(t α(t R n α (t, n α (t löst Gleichung ( und λ(t =. Bilden wir in ( die erste Ableitung, finden wir lso uch λ (t =. Ds bedeutet Rλ (t = R α (t, n α (t = q(t α(t = λ(t C (t t wie us der Tylorpolynom-Approximtion folgt. Bislng hben wir noch keine Whl für R getroffen. Jetzt bilden wir ber noch die. Ableitung und erhlten Rλ (t = α (t + R α (t, n α (t Bei richtiger Whl des Rdius R wird uch λ (t =. Unser Ergebnis ist nun 7..3 Stz. Angenommen, eine reguläre Kurve α : [, b] R in der Ebene erfülle n einer Stelle t die Bedingung K := det (α, α (t > Es sei R := α (t 3 /K. Dnn gibt es ein δ >, so dss für lle t (t δ, t + δ Es gilt α(t q(t L t t 3
7.. EBENE KURVEN 45 Der Kreis C schmiegt sich lso nhe bei α(t gut n die Kurve α n. 5 4 3 - - 3 4 Dher rührt folgende Definition: Ist α : [, b] R eine reguläre Kurve, so heißt die Funktion α α α α (t κ(t := α (t 3 die Krümmung der Kurve α. Wir hben folgende physiklische Deutung der Krümmung: Ist α : [, b] R eine differenzierbre reguläre Kurve, so sei C := α h α wie zuvor die nch der Bogenlänge prmetrisierte Kurve worus folgt C (s = α h h (s, C = α h (h (s + α h h (s, C C C C = α h h ( α h h (s + α h (h (s D c =, ist c, c = und weiter c = α h h ( α h h (s + α h (h (s = (α α α α h (h (s 3 c, ( c c ( c c = κ(h(s ( c c
46 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN 7..4 Stz. Bei einer Kurve α(t = r(t e(t in Polrdrstellung gilt κ(t = r (t + r(t r(tr (t (r(t + (r (t 3/. Beispiel. Die Krümmung der Lemniskte r(t = cos(t ist gerde κ(t = 3 r(t. Im Strßenbu muss mn druf chten, dss die Krümmung der Strße immer stetig bleibt, so dss die Autofhrer nicht etw brupt mit Fliehkräften konfrontiert werden, sondern ds Lenkrd gleichmäßig drehen können, um die Kurve zu nehmen. Niemnd wird dher ein gerdes Stück mit einem Hlbkreis ls Kurvenstück zusmmenlegen, d ds gerde Stück die Krümmung und der Hlbkreis konstnte positive Krümmung ufweist. Stttdessen rbeitet mn mit der Klotoide oder Cornu-Spirle ls Übergngsstücke. Bei dieser Kurve gilt κ(h(s = A s mit einem geeigneten Prmeter A >. Ds führt uf die Differenzilgleichungen c = A sc c = A sc ( Angenommen, wir wollen, dss c ( =. Dnn gelten für v(s = Beziehungen v = A sv, v = A sv und dmit Dmit bekommen wir ber c (s = s v(s = cos( s A sin( s A cos( x A dx, c (s = s sin( x A dx Hier sehen wir einen Kreisbogen und ein Stück einer Cornu-Spirle: ( c c die
7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 47 7. Flächen-und Volumenberechnung 7.. Berechnung von Flächeninhlten Gegeben sei wieder eine Kurve α : [, b] R. Frge: Ist α geschlossen, d.h. lso: α( = α(b, lässt sich dnn der Flächeninhlt der von α berndeten Fläche F α berechnen? Dies ist möglich, wenn nur die Kurve doppelpunktfrei den Nullpunkt umläuft, lso keine Zhlen < t < s < b mit α(t = α(s existieren (die Lemniskte wäre lso nicht zugelssen. Wir erhlten 7.. Stz. Ist α eine -ml stetig differenzierbre, doppelpunktfreie und geschlossene Kurve, welche den Nullpunkt umläuft so dss der Winkel zwischen α(t und der x-achse streng monoton wächst, so ist der Flächeninhlt der von α berndeten Kurve gerde F α = b det(α, α (tdt Beweis. Unterteilen wir [, b] in gleiche Teilintervlle der Länge /N und sind ihre Teilpunkte t j = + j (b, so ht ds Dreieck mit Ecken bei, bei α(t N j und α(t j+ die Fläche F j = det(α(t j, α(t j+ α(t j Aber α(t j+ α(t j = α (t j /N + R j mit einem Fehler R j, der sich durch R j,n CN bschätzen lässt. Dmit wird lso F j = det(α(t j, α (t j N + R j
48 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Summieren wir über N, finden wir N+ j= F j = N+ j= det(α(t j, α (t j N+ N + Die linke Seite strebt gegen F und die rechte gegen. b j= R j det(α, α (tdt, wenn N Der oben geführte Beweis ist uch möglich, wenn der Nullpunkt uf der Kurve liegt! Ist ds nicht der Fll, ersetze mn die Kurve einfch durch α α(. Dnn erhlten wir F α = b det(α α(, α (tdt sofern der Winkel zwischen α α( und der x-achse monoton wächst. Diesen Schverhlt benutzt mn bei der Lösung des us dem Altertum beknnten isoperimetrischen Problems: Welche unter llen geschlossenen Kurven vorgeschriebener Länge L umschließt die größte Fläche? Hier ist die Antwort: Die Fläche jeder derrtigen Kurve ist nicht größer ls L 4π und die gesuchte Kurve ist ein Kreis mit Rdius L π. Beispiele. Die Ellipse α(t = ( cos t, b sin t. Nun ist det(α, α (t = cos t b sin t sin t b cos t = b Es folgt F α = π bdt = πb Die Crdioide α(t = ( sin t sin(t, cos t cos(t. Sind ist uf (, π regulär nd -ml stetig differenzierbr.
7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 49 - - - - -3 Dher können wir obige Formel wieder nwenden und finden zuerst det(α, α (t = sin t sin(t cos t cos(t cos t cos(t sin t + sin(t = 6( cos t worus sofort F α = 6π folgt. 3 α(t = (x(t, y(t, wobei x(t = t und y(t = (t (t +. A = = = Also ist A = t t ((t (t (3t + (t dt ( t t ( t 3t + dt ( t ( t( + tdt = ( t + t 4 dt = 8 5. Kurven in Polrdrstellung ( t dt = ( t + t 4 dt Ist α(t = r(t e(t, t [, b], eine Kurve in Polrdrstellung, so ist α (t = r(t e (t + r (t e(t, lso det(α(t, α (t = det( r(t e(t, r(t e (t+r (t e(t = det( r(t e(t, r(t e (t = r(t Also A = b r(t dt
5 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Beispiele. Sei etw r(t = sin t für t [, π]. Dnn ist A = π ( sin t dt = π (4 4 sin t + sin tdt = 9 π b Sei r(t = + sin t + cos t. Es gilt A = = = π π π r(t dt ( + sin t + cos t dt = π ( + sin t + sin 4 t + cos tdt = ( + sin t + sin 4 t + cos t + cos t + sin t cos tdt π ( + sin t + sin 4 t dt denn + sin t+cos t = +sin t. Nun ist ber π sin tdt = π und π sin 4 t dt = 3π. 4 Somit wird A = 3π. 8 7.. Drehfiguren Definition. Sei f : [, b] R eine differenzierbre Funktion mit positiven Werten. Lässt mn die zwischen der x-achse und dem Grphen von f liegende Fläche um die x-achse ( y-achse rotieren, so entsteht eine Figur, die ls Drehfigur D x (f (bzw. D y (f bezeichnet wird. Wir wollen Volumen und Mntelfläche einer derrtigen Drehfigur berechnen. Dzu erinnern wir uns 7.. Hilfsstz. Ein Kegelstumpf der Höhe h mit den Rdien r > r ht ds Volumen V K = π 3 h(r + r r + r und die Mntelfläche A K = π(r + r h + (r r = π(r + r s, wobei s die Mntellinie des Kegelstumpfes ist. Nun beweisen wir eine llgemeine Formel durch Approximtion mit Riemnnschen Summen.
7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 5 7..3 Stz. Sei f : [, b] R eine positive Funktion (b > >. Dnn gilt für ds Volumen des Drehkörpers D x (f: V (D x (f = π Seine Mntelfläche ist A(D x (f = π b b f(x dx f(x + (f (x dx Beweis. Wir unterteilen [, b] in N gleiche Teilintervlle mit Ecken x j = + j (b, wobei j +,..., N +. Dnn wird ds gesuchte Volumen durch N+ N j= V j pproximiert, wobei V j ds Volumen der Zylinders mit Höhe (b /N und Rdius f(x j sein soll. Nun ist ber V j = π b N f(x j Summieren wir über lle j und lssen dnn N gegen unendlich gehen, so folgt die Behuptung. pspdf kissiode.ps Ähnlich verfhren wir bei der Herleitung der. Behuptung. Die Unterteilung des Intervlls [, b] führt uf eine Vereinigung von Kegelstümpfen mit der Höhe (b /N und den Rdien f(x j+ und f(x j. Jeder Kegelstumpf ht die Mntelfläche A j = π (x j+ x j + (f(x j+ f(x j ( f(x j + f(x j+ = πf(x j + (f (x j (x j+ x j + f N mit einem Fehler f N, der durch f N CN bgeschätzt werden knn. Nun summieren wir über j und lssen N gegen gehen. Beispiele. Die Hyperbel f(x = /x rotiere für x 3 um die x-achse. Dnn ht der Drehkörper ds Volumen 3 dx V (D x (f = π x = π 3
5 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN und die Mntelfläche b A = π = π 3 3 + ( x x dx x 3 + x4 dx = π 3 (x 4 3/ + x4 (4x 3 dx = 8 π + t dt t 3/ ( 8 8 = π + t + dt t t + t ( 8 = π + 9 + 9 ds + s (mit der Substitution t = s. ( 8 = π + + Arsinh(9 Arsinh( 9 Zusmmen erhlten wir lso mit Arsinh(t = ln (t + + t. ( A = π 8 + ln (9 + 8 ln ( + = 7.63 9 Die Ellipse { x x. und für die Mntelfläche mit k := + y b = } rotiere um die x-achse. Dnn hben wir f(x = V (D x (f = πb A = 4πb = 4πb = 4πb ( b. Aber k t dt = t k t ( x dx = 4π 3 b x t k t dt + k rcsin (kt + b x / 4 dx x + b t t dt = k + rcsin (k k
7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 53 3 Die Prbel f(x = x uf [, b]. Nun hben wir und A = π = π b b V (D x (f = πx 4 dx = πb5 5 x + 4x dx = π t + 4tdt = π b = π b + 4b ( 8 + b π Arsinh (b 3 x (x + 4 x dx t + 4t( 8 + t π 3 Arsinh ( t b Hier ist ds Schubild: - -.5 - - Drehung um die y-achse 7..4 Stz. Sei f : [, b] R eine positive Funktion (b > >. Dnn gilt für ds Volumen des Drehkörpers D y (f: Seine Mntelfläche ist V (D y (f = π A(D y (f = π b b xf(xdx x + (f (x dx
54 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN.8.6.4...4.6.8 Beweis. Wir unterteilen [, b] in N gleiche Teilintervlle mit Ecken x j = + j (b, wobei j +,..., N +. Dnn wird ds gesuchte Volumen durch N+ N j= V j pproximiert, wobei V j ds Volumen der Kreisring-Zylinders mit Höhe f(x j und Kreisringrdien x j+ und x j sein soll. Nun ist ber V j = πf(x j (x j+ x j = πf(x j (x j+ + x j b N = πf(x jx j b N + f N, mit einem Fehler f N N. Summieren wir über lle j und lssen dnn N gegen unendlich gehen, so folgt die Behuptung. Ähnlich verfhren wir bei der Herleitung der. Behuptung. Die Unterteilung des Intervlls [, b] führt uf eine Vereinigung von Kegelstümpfen mit der Höhe f(x j+ f(x j und den Rdien x j+ und x j. Jeder Kegelstumpf ht die Mntelfläche A j = π(x j+ + x j (f(x j+ f(x j + (x j+ x j = πx j + (f (x j (x j+ x j + f N mit einem Fehler f N N. Summieren wir über lle j =,..., N und lssen N gehen, folgt die Behuptung.
7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 55 Angenommen, f : [, b] [c, d] sei invertierbr und f( = c, f(b = d. Bezeichnet dnn D y (f die Drehfigur, die bei Drehung der Fläche zwischen dem Grphen von f und der y-achse entsteht, so wird V ( D y (f durch V ( D y (f = πb d V (D y (f ( b = π b d xf(xdx ( = π b d x f(x b + ( b = π c + x f (xdx ( = π c + d c b g(y dy x f (xdx = (mit der Substitution y = f(x, mit g := f Beispiel. Die Funktion f(x = x uf [, b]. Nun wird V (D y (f = π b x 3 dx = πb4 und A(D y (f = π b x b π + 4x dx = π + 4tdt = 6 ( + 4b 3 Schließlich ist noch V ( D y (f = π b x f (xdx = π b x 3 dx = π b4. Hier ist die Drehfigur:
56 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN -.5.5 - Prmetrisierte Kurven Sei nun α = (x(t, y(t : [, b] R eine gltte Kurve ohne Doppelpunkte. Dnn ht die bei Drehung von α um die x-achse entstehende Figur die Mntelfläche A x = π b y(t α (t dt Die bei Drehung um die y-achse entstehende Figur ht die Mntelfläche wobei x nlog zu ŷ definiert ist. A y = π b x(t α (t dt Die Ableitung dieser Formel geht ähnlich zu denen der früheren Formeln, wenn wir nur bechten, dss πy(t α (t dt die Mntelfläche der infinitesiml kleinen Vergleichskegelstümpfe wiedergibt. Beispiele. Sei α die Zykloide α(t = (t sin t, cos t. Dnn ist α = ( cos t, sin t und dmit α = cos t = sin(t/. So finden wir lso π π π A x = 4π ( cos t sin(t/dt = 8π sin 3 (t/dt = 6π sin 3 s ds = 64π 3 und π π A y = 4π sin(t/(t sin tdt = 6π s sin(sds = 6π Die Hyperbel α(t = (cosh t, sinh t, für t [, t ].
7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 57 Nun hben wir A x = π = π = π t = π t sinh(t cosh t + sinh tdt = π cosh t x dx Arcosh ( cosh t sinh udu sinh(t cosh t dt (Arcosh ( cosh t sinh(arcosh ( cosh t cosh t = ( π Arcosh ( cosh t cosh t cosh(t wobei Arcosh (v := ln (v + v für v. In entsprechender Weise berechnet mn A y.
58 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN
Kpitel 8 Anlysis in mehreren Vriblen 8. Grundbegriffe Für Vektoren x = (x,..., x n R n hben wir eine ( euklidische Länge: x := ( x +... + x n und für zwei Punkte A, B R n den ( euklidischen Abstnd, nämlich A B. Ds Sklrprodukt zwischen zwei Vektoren x, y R n wird erklärt wie früher: / x, y = x y + x y +... + x n y n. Es gelten dieselben Rechenregeln wie zuvor, und mn ht die Cuchy-Schwrz-Ungleichung: x, y x y Gleichheit gilt genu dnn, wenn x und y liner bhängig sind. Beweis. Ist y =, ist dies trivil. Angenommen, y. Dnn gilt Hierus folgt lles. x x, y y = x 8.. Folgerung Es gilt die Dreiecksungleichung : für x, y R n. x + y x + y 59 x, y y y
6 KAPITEL 8. ANALYSIS IN MEHREREN VARIABLEN Beweis. Es gilt nämlich x + y = x + y + x, y x + y + x y ( x + y Der Winkel α zwischen den Vektoren x und y ist dnn us der Gleichung x, y = x y cos α zu berechnen. Beispiel. Im R 6 seien x = (,, 3, 4,, 7 und y = (6,, 4, 5, 5,. Dnn ist x, y = 46, x = 83 und y =. Ds bedeutet, dss und dmit α = 65 3. cos α = 46 83 =.4848 Die Grundbegriffe der Anlysis einer Vriblen übertrgen sich mühelos: Definition. Eine Folge ( x k k R n heißt konvergent gegen x R n, in Zeichen lim k x k = x, wenn lim k x k x =. Die Konvergenz lässt sich koordintenweise prüfen: 8.. Hilfsstz. Angenommen ( x k k R n sei eine Folge, wobei x k = (x,k,..., x n,k für jedes k. Dnn konvergiert ( x k k genu dnn gegen x R n, wenn für jedes j =,..., n die Folge (x j,k k gegen x j, strebt. Die üblichen Rechenregeln bleiben bestehen: lim k ( x k + y k = lim k x k + lim k y k lim k α x k = α lim k x k wenn die Folgen ( x k k, ( y k k R n konvergieren und α R. Wir nennen eine Folge ( x k k R n beschränkt, wenn ein R > mit ( x k k B n (, R existiert. Der Stz von Bolzno-Weierstrß gilt wieder in der Form 8..3 Stz. Jede beschränkte Folge ht eine konvergente Teilfolge. Definition. Wir definieren ls Kugel um den Punkt A mit Rdius R: B n ( A, R := { x R n x A < R} b Wir nennen eine Menge U R n uch offen, wenn für lle U ein Rdius R > so gefunden werden knn, dss B(, R U.
8.. GRUNDBEGRIFFE 6 Beispiel Der R n ist offen, ebenso. b Für jedes A R n und R > ist B n ( A, R offen, denn ist x B n ( A, R, so ist (Dreiecksungleichung B n ( x, R x A B n ( A, R. c Die Ebene E = { x R 3 x x 3x 3 = } ist keine offene Menge: A = E. Ist R > beliebig, so ist x := A+ R e B n ( A, R\E. Also B n ( A, R E für jedes noch so kleine R >. Definition. Wir nennen eine Menge A R n bgeschlossen, wenn gilt: Ist x R n und gibt es eine Folge ( x k k A mit lim k x k = x, so ist schon x A. Mn knn sich überlegen: 8..4 Stz. Genu dnn ist die Menge A R n bgeschlossen, wenn R n \ A offen ist. Beispiele. B n ( A, R := { x R n x A R} ist bgeschlossen. Denn ist x R n und gibt es eine Folge ( x k k B n ( A, R mit x k x, wenn k, so wird x k A R, lso mit k schließlich x A R. b A := Q n ist nicht bgeschlossen: Denn (,,..., ist Grenzwert einer Punktfolge us A, ohne zu A zu gehören. Definition. Wir nennen eine Menge K R n kompkt, wenn sie bgeschlossen und beschränkt ist, d.h. für ein genügend großes R > schon K B n (, R gilt. Mn knn zeigen: 8..5 Stz Genu dnn ist eine Menge K R n kompkt, wenn jede Folge ( x k k K eine konvergente Teilfolge ht, deren Grenzwert wieder in K liegt. Funktionen und Abbildungen Hängt eine Größe f von den Punkten x U b, so sgen wir, f sei eine Funktion von x und schreiben f = f( x. Beispiele. (i In R ist ds Abstndsqudrt eines Punktes x = (x, x vom Ursprung (, eine Funktion f der Koordinten x und x, und zwr f( x = x + x. (ii In der Thermodynmik behndelt mn u.. idele Gse. Für sie ist der Druck p, unter dem sie stehen, eine Funktion der Tempertur T und des Volumens V, in dem sie eingeschlossen sind. p(t, V = R T V
6 KAPITEL 8. ANALYSIS IN MEHREREN VARIABLEN (R ist dbei eine Konstnte. (iii Linere Funktionen in R 3 hängen von den Koordinten der Punkte des R 3 b: f(x, x, x 3 = x + x + 3 x 3 c mit Konstnten,, 3 und c. Die Menge { x f( x = } ist eine Ebene. (iv Zwei Drehkondenstoren mit Kpzitäten C, C werden prllel geschltet. Diese Anordnung wird mit einem dritten Kondenstor der Kpzität C 3 in Serie geschltet. Die Gesmtkpzität der entstehenden Anordnung ist dnn f(c, C, C 3 = (C + C C 3 C + C + C 3 (v Die Schwingduer eines Federpendels mit Msse m und Federkonstnte D ist m T (m, D = π D Definition. Unter einer Abbildung f : U R d, wobei U R n offen ist, verstehen wir ein d-tupel f = (f,..., f d von Funktionen f j : U R. Beispiele (i Ds elektromgnetische Feld wird gegeben durch Abbildungen E( x, t, B( x, t welche von den Ortskoordinten der Punkte und der Zeit t bhängen. Hier ist lso d = 3, n = 4. (ii Ds Drehmoment ist eine Abbildung M von 6 Vriblen, nämlich M = M( x, F = x F wobei F die m Ort x wirkende Krft bedeutet. Rechenopertionen Für Abbildungen uf einer offenen Menge U R n sind Rechenopertionen in nheliegender Weise erklärt: ( f + g( x := f( x + g( x, (α f( x = α f( x, wenn f, g : B n (, R R d Abbildungen sind und α R.
8.. GRUNDBEGRIFFE 63 Gegeben seien offene Mengen U R n und V R k. Ist f : U R d und h : V U, so ist die Komposition f h : Bm ( b, ρ R d wieder wohldefiniert durch: f h( z = f( h( z Auch die Definition der Stetigkeit ist nheliegend: Definition. Sei U R n offen und x U. Eine Abbildung f : U R d wird im Punkte x ( stetig gennnt, wenn gilt: Ist ( x k k U eine Folge, die gegen x ( konvergiert, so konvergiert die Folge ( f( x k k der Bilder gegen f( x. Wiederum übertrgen sich die Rechenregeln für Stetigkeit, die wir im Flle n = kennengelernt hben uf den llgemeineren Fll n : Summen und Produkte stetiger Funktionen, sowie Kompositionen stetiger Abbildungen sind wieder stetig. Beispiel. Sei n = und { x x, wenn (x x f(x, x =, x (, +x sonst Dnn ist für jedes x R die Funktion x f(x, x in stetig, ebenso ist für jedes x R die Funktion x f(x, x in stetig, ber trotzdem ist f in x ( := unstetig. Denn die Folge ( x k k, mit x k = (/k, /k ist konvergent gegen x (, ber f( x k = / und strebt nicht gegen f( x ( =. Auf kompkten Mengen nimmt jede stetige Funktion ein Mximum und ein Minimum n. Es gilt 8..6 Stz Ist U R n offen und f : U R stetig, so gilt: Ist K U kompkt, so gibt es Punkte x min, x mx K, so dss für lle x K. f( x min f( x f( x mx Beweis.. Schritt: Die Wertemenge M := {f( x x K} von f ist wieder beschränkt. Anderenflls gäbe es eine Folge ( x k k K, so dss die Folge ( f( x k k unbeschränkt wäre. Aber us ( x k k könnten wir eine Teilfolge ( x k k uswählen, dss x := lim k x k existiert und wieder in K liegen müsste. Dnn müsste ber die Bildfolge hiervon, lso ( f( x k k einen Grenzwert hben, nämlich f( x, könnte lso nicht unbeschränkt werden.. Schritt. Als beschränkte Menge ht M eine größte untere und eine kleinste obere Schrnke, die wir S min und S mx nennen. Wie im Fll einer Vriblen finden wir eine Folge ( v k k K mit Grenzwert x min K, so dss lim k f( v k = S min. Dnn ist ber f( x min = S min. In nloger Weise rgumentieren wir für S mx.