Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls Bruch drstellren Zhlen Bruch ist Zähler Nenner mit Nenner 0 Brüche lssen sich drstellen ls: gnze Zhl oder endliche Dezimlzhl oder unendlich periodische Dezimlzhl. Z und Q sind zählr, d. h. sie hen gleich viele Elemente wie N (Georg Cntor) Menge der reellen Zhlen R esteht us rtionlen Zhlen und irrtionle Zhlen (nicht ls Brüche drstellr, Beispiele sind nicht gnzhlige Wurzeln (lgerisch) oder trnszendente Zhlen wie die Eulersche Zhl e und die Kreiszhl π.. Ws sind trnszendente Zhlen? Beispiele? Trnszendente Zhlen lssen sich weder ls Bruch (sie sind dher irrtionl) noch ls Ergenis einer lgerischen Gleichung (Polynom 0 oder Summe von Potenzen 0) drstellen (sie sind dher nicht ls Wurzelterm drstellr). Berühmte Beispiele sind e und π.. Ws sind Potenzen? Potenzen sind Ausdrücke der Form Bsis Exponent 4. Ws edeutet n? Negtive Hochzhlen sind Drstellungen von Brüchen n n 5. Ws edeutet /n? Gerochene Hochzhlen sind Drstellungen von Wurzeln /n n 6. Wie rechnet mn mit Potenzen (Annhme einer gleiche Bsis)? Potenzen werden multipliziert, indem mn die Exponenten ddiert Potenzen werden dividiert, indem mn die Exponenten sutrhiert Potenzen werden potenziert, indem mn den Exponenten multipliziert Wurzel us Potenzen werden gezogen, indem den Exponenten durch den Wurzelexponenten dividiert
7. Wnn ist eine Gleichung der uneknnten Größe x liner? Eine Gleichung der Form f(x) x heißt liner. Der Funktionsgrph einer lineren Funktion ist eine Gerde mit der Steigung. 8. Wnn ist eine Gleichung der uneknnten Größe x qudrtisch und wie löst mn sie? Eine Funktion der Form f(x ) x x c heißt qudrtisch. Die Gleichung f(x) 0 ist eine qudrtische Gleichung und wird mit der Formel von Viet (umgngssprchlich Mitternchtsformel) gelöst: x, ± 4c 9. Wie sieht eine Exponentilfunktion us? Allgemein: f(x) m q x. Oft wird die Eulersche Zhl e ls Bsis gewählt: f(x) m e λx, oder mit 0 ls Bsis : f(x) m 0 λ x Wichtig für die Drstellung sehr großer oder sehr kleiner Zhlenwerte z.b. 0,0000. 0-5 oder 550000000 5.5 0 8 0. Ws ist eine Logrithmusfunktion? Logrithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Exponentilfunktionen. Sie mchen Exponentilfunktionen rückgängig. Es git so viele Logrithmusfunktionen wie es Bsen git. Wichtige Bsen sind: 0 (lg oder log 0er-Logrithmus) und e (ln ntürlicher Logrithmus). Wie löst mn eine Exponentilgleichung? I.A. durch Anwenden einer eknnten Logrithmusfunktion (ln zw. log) und Anwenden der Rechenregeln: ln ( ) ln ln ln ( ) ln(. ) ln ln ln. ln ln ln. Ws ist eine Umkehrfunktion? Eine Umkehrfunktion mcht die Originlfunktion rückgängig: f (f(x)) x Wurzeln sind die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen Logrithmen sind die Umkehrfunktionen von Exponentilfunktionen Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tn) hen die Arcusfunktion ls Umkehrfunktion (sin, usw.). Ws ist eine Nullstelle? Eine Nullstelle ist ds Argument x einer Funktion mit f(x) 0. Der Funktionswert ist lso 0. Geometrisch der Schnittpunkt des Funktionsgrphen mit der Aszisse (x-achse) 4. Ws ist ein Extremwert? Welche git es? Wenn sich in einer elieig kleinen Umgeung eines Punktes eines Funktionsgrphen einer stetigen Funktion f(x) keine Punkte mit einem noch kleinerem Funktionswert (Minimum) oder einem noch größerem Funktionswert (Mximum) finden lssen, dnn heißt dieser lokler oder reltiver Extremwert. Existiert n der Stelle x 0 ein lokler Extremwert, dnn ht die. Aleitung von f(x) n der Stelle x 0 den Wert 0. (die Umkehrung gilt nicht) Es git Minim und Mxim.
5. Ws ist ein Wendepunkt? Wie knn mn ihn erechnen? Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Funktionsgrphen einer stetigen Funktion, in dem sich der Krümmungssinn der Kurve ändert (von Link- uf Rechtskurve zw. umgekehrt) Im Wendepunkt ist die. Aleitung der Funktion gleich Null. Der Wendpunkt ist uch der Punkt n dem die Funktion eine extremer Steigung esitzt. 6. Wnn ist eine Funktion stetig? Funktionsgrphen einer stetigen Funktion sind ohne Asetzen oder Aufheen des Stifts zeichenr. Eine Funktion ist lso stetig, wenn durch eine elieig kleine Änderung der Argumente uch die Änderung der Funktionswerte elieig klein gemcht werden knn. 7. Beispiele für Unstetigkeitsstellen? Pole sind Unstetigkeitsstellen, n denen der Funktionswert ei Annäherung divergiert, lso gegen Unendlich stret. Tritt uf ei Funktionsgleichungen mit der Vrile im Nenner. Polstellen sind Stellen, n denen der Nenner den Wert 0 nnehmen würde. Sprungstellen sind Stellen, n der Funktionswert einen Sprung mcht. Tritt uf ei stückweise definierten (zusmmengesetzten) Funktionen. 8. Ws ist ein Pol? Würde der Nenner einer gerochen-rtionlen Funktion den Wert 0 nnehmen, dnn tritt n dieser Stelle ein Pol uf. Die Funktion divergiert n dieser Stelle. Es git keinen Funktionswert, mn knn nur ds Verhlten ei Näherung n den Pol (von links, zw. von rechts) feststellen. 9. Ws ist eine Asymptote? Eine Asymptote ist ein Funktionsgrph einer Funktion (x), für den die Differenz f(x) (x) gegen 0 stret, wenn x gegen plus oder minus Unendlich stret. Geometrisch edeutet ds, dss sich Funktion und Asymptote immer mehr nähern. Für sehr große oder sehr kleine Argumente knn mn dnn gleich mit der Asymptote rechnen ohne große Fehler zu mchen. Ist (x) liner, dnn ist der Funktionsgrph von (x) eine Tngente n einem Fernpunkt. 0. Wie ist der Differenzenquotient definiert? Welche geometrische Interprettion git es dfür? der Differenzenquotient ist y x f(x x) f(x) x und er entspricht der Steigung der Sehne oder Seknte (Gerde zwischen zwei Punkten einer Kurve). Wie ist der Differentilquotient definiert? Welche geometrische Interprettion git es dfür? der Differentilquotient ist y lim x x lim x f(x x) f(x), lso der Grenzwert des x Differenzenquotienten für x gegen 0. Er entspricht der Steigung der Tngente n f(x) n der Stelle x.. Ws ist die Bedeutung der. Aleitung? die. Aleitung ist eine Funktion, die jedem x Wert den Wert des Differentilquotienten zuordnet. Der Wert der. Aleitung n der Stelle x entspricht lso der Steigung der Tngente n f(x) n der Stelle x. Sie git lso Änderungsrten der Funktion f(x) n.
. Ws ist die Bedeutung der. Aleitung? die. Aleitung ist die Aleitung der. Aleitung. Sie git die Änderung der Steigung n und git in n, wie strk die Krümmung des Funktionsgrphen ist. 4. Wie differenziert mn Funktionen die us Summen estehen? Aleitung von Summen Summe von Aleitungen 5. Wie differenziert mn Funktionen, die us Produkten von Funktionen u(x), v(x) estehen? Produktregel. (u v) u v u v 6. Wie differenziert mn Funktionen, die us Bruchterme von Funktionen n(x), z(x) estehen? Quotientenregel: z n z n' z' n n 7. Wie differenziert mn verkettete Funktionen? Kettenregel: Mn differenziert die äußere Funktion und multipliziert dnn mit der Aleitung der inneren Funktion (innere Aleitung) 8. Aleitung von Konstnten? Die Aleitung einer Konstnten 0 9. Aleitung von lineren Termen? d(x ) 0. Wie differenziert mn Potenzen? d (x n ) n x n lso Hochzhl kommt ls Fktor nch vorne, der Exponent um reduzieren.. Wie differenziert mn Exponentilterme? d (q x ) q x ln q und speziell git es eine Bsis (Eulersche Zhl e) mit d(ex ) e x ist die einzige Funktion, die identisch mit ihrer Aleitung ist. e x.. Wie differenziert mn trigonometrische Funktionen? (sin x) cos x (cos x) sin x (tn x) cos x tn x
. Ws ist ds unestimmte Integrl? Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens. Die Menge ller Funktion F(x), deren Aleitung die Funktion f(x) ergit, heißt unestimmtes Integrl: F(x) f (x) 4. Ws ist ds estimmte Integrl? Ds estimmte Integrl ist die Differenz zweier Funktionswerte einer estimmten Stmmfunktion F(x) (eines unestimmten Integrls). Es ist lso eine Zhl. Diese knn ls Betrg der Fläche unter der Kurve der Funktion f(x) interpretiert werden.: f ( x) F() F() 5. Wie integriert mn eine Konstnte? Ds Integrl üer die Konstnte k ist kx C 6. Wie integriert mn eine Summe? Ds Integrl üer eine Summe ist gleich der Summe der Integrle der Summnden. 7. Wie integriert mn Potenzfunktionen? x n xn n C für n speziell x x ln x C lso: Exponent um erhöhen, durch die neue Hochzhl dividieren (ußer ei x ) 8. Ws ist ein Vektor? Ein Vektor ist durch Zhlenpre (in der Eene) zw. -tripel (im Rum) drgestellt. Die Vektorelemente (Vektorkomponenten) werden oft untereinnder (ls Spltenvektoren ) oder hintereinnder (ls Zeilenvektor ) geschrieen. Ein Vektor esitzt eine Richtung und einen Betrg (Länge). Beispiele: -dimenesionler Zeilenvektor: (, ); Eenenvektor -dimensionler Spltenvektor: Rumvektor
9. Wie werden Vektorern ddiert? Durch die Addition zweier Vektoren, entsteht ein neuer Vektor c (Summenvektor) Die Addition c erfolgt elementweise c c c 40. Wie erechnet mn den Betrg (Länge) eines Vektors? Der Betrg eines Vektors erechnet sich us der Qudrtwurzel üer die Summe der Qudrte der einzelnen Vektorelemente. Für einen -dimensionlen Rumvektor erhält mn: 4. Wie wird ein Vektor mit einem Sklr multipliziert? Bei der Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr λ wird jedes Element des Ausgngsvektors mit diesem multipliziert. Ds Ergenis ist ein um ds λ -fche längerer Vektor in Richtung des Ausgngsvektors : λ λ λ λ 4. Wie ist ds Sklrprodukt definiert? Ds Sklrprodukt zweier Vektoren, ist definiert ls ds Produkt der Beträge der eiden Vektoren multipliziert mit dem Cosinus des Winkels θ, den die Vektoren miteinnder einschließen. ) cos( θ Ds Ergenis ist ein Sklr, d.h. eine Zhl. Zur Berechnung des Sklrproduktes werden die jeweiligen Vektorelemente miteinnder multipliziert. In Rumdimensionen gilt: