.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen mit komplizierterem Nenner 7 6 Die Addition von zwei Bruchtermen - Methode II 7 6. Ds kgv............................................. 7 6.2 Lösung der Aufgbe mit dem kgv............................... 9 7 Zusmmenfssung 0
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 2 Einführung und Repetition Den Begriff Term hben wir bereits kennengelernt. Ein Term ist zusmmengesetzt us Zhlen, Vribeln, Klmmern und Bruchstrichen. Dbei sind insbesondere Gleichungen und Ungleichungen keine Terme. Der Begriff Bruchterm ist selbsterklärend. Dmit sind diejenigen Terme gemeint, die einen oder mehrere) Bruchstriche) hben. Beispiele Bei Bruchtermen gelten die gleichen Prinzipien wie bei den Brüchen z.b. 3 ). Deshlb lösen wir ls Repetition schnell ein pr Übungen mit bereits beknntem Stoff. Repetitionsübungen. Berechne die folgenden Ausdrücke! 3 + 4 = b) 2 3 + 3 5 = 4 5 3 = d) 3 5 2 = 2. Berechne die folgenden Ausdrücke! 3 5 2 = b) 2 5 3 = 3 5 : 2 = d) 2 5 : 4 = 3. Fülle jeweils die Lücke us: Brüche können nur ddiert/subtrhiert werden, wenn sie.... b) Brüche mit gleichem Nenner werden ddiert, indem mn.... Brüche werden multipliziert, indem mn... d) Brüche werden dividiert, indem mn... 4. Entscheide, ob die Aussge whr oder flsch ist. Zwei Brüche können nur miteinnder multipliziert werden, wenn der Nenner gleich ist. b) Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler hben, können sie miteinnder subtrhiert werden.
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 3 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen Beispiele 5. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt e) 4b 0+0b 5 2 5b2 7b 3 4 [ ] b) 2 24y b 2 b) 6x+40 4x+0 4y 2 2 b 2 2+2b +b) 2 3b 3 x 4 y 4 x 2 2xy+y 2 x y x 2 + xy [ 3 2] d) x 2 y 2 x 2 + y 2 x3 + xy 2 x y) 2 [ 3 2y+ ] [ xx+y) x y ] [ x2 +y 2 x ] 6. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt 2x 2 + 4xy+2y 2 3xy) 2 : x2 y 2 9x 2 y 9z 2 + 2w 2z 20 : 9z4 6w 2 8z 30 [ 2x+y) yx y) ] b) 6u 2 9b 2 24b+u) : 4u 3b 36u+b) 9 [ ] d) c 2 d 2 d 2 23z 2 4w) c 2 : 4c+3 c 3 7. Erfinde eine Aufgbe zum Them Division von Brüchen, die ds Ergebnis ht. [ 34u+3b) 2 ] [ c+d c )d ] 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Wir wollen folgende Aufgbe lösen: b =
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 4 Wir lösen die Aufgbe in zwei Schritten: Die Ausführung: Übungen 8. Mche bei den folgenden Aufgben die Brüche gleichnmig. +b b b +b b) 7 t + 6 t 9. Fülle die Lücke us: Den gemeinsmen Nenner von zwei Brüchen finden wir herus, indem wir.... 0. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt +b b b +b x x2 2 x 2 [ 4b +b) b) ] b) 7 t + 6 t [ 2x ) ] d) k l k+ 4l x 2 + 4k+ 4l 6k+ 6l. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt b ) : b b ) [ b ] b) m + ) : n m ) [ n+m n m n ] 2. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt 2 + b 2 + b 2 b b ) [ b +b ] b) ) ) 2 [ ] + [ t ] [ 5 2 ]
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 5 d) 7 +b + 45 2 b 2 : 2t+ 4s 2t 4s 3t 5s 3t+ 5s ) 2+2b ) : [ 6 b ] t 2 4s 2 9t 2 25s 2 [ 44st t+2s)t 2s) ] 4 Doppelbrüche Doppelbrüche mit Zhlen hben wir bereits in der Unterstufe kennengelernt. Bei Doppelbrüchen hben die verschiedenen Bruchstriche verschiedene Prioritäten. Dmit der Doppelbruch eindeutig ist, muss der Huptbruchstrich gekennzeichnet sein, meistens ist er die längste Linie, in diesem Skript ist er die dickste Linie 2 5 4 7 = Merke: Bei Doppelbrüchen werden die äusseren und die inneren Glieder miteinnder multipliziert. Aufgbe: Forme den folgenden Bruch zu einem Bruch mit einem Bruchstrich um. 2+4 2 3+6 2 3 Wenn wir wissen, wie wir einen Doppelbruch mit Zhlen lösen müssen, dnn können wir uch ohne Probleme einen Doppelbruch mit Vribeln lösen: Bei der nächsten Aufgbe kommt eine zusätzliche Schwierigkeit dzu. Bis jetzt htten wir oberhlb des Huptbruchstriches dicker Bruchstrich) und unterhlb des Bruchstriches schöne Brüche. In der folgenden Sitution ist ds nicht mehr so. Oberhlb des Bruchstriches hben wir eine Summe von Brüchen. Die Auf-
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 6 gbe sieht so us: 5 x+ 7 x 2 x 2 2 Die Lösung ist nicht viel schwieriger ls beim vorherigen Beispiel. Wir müssen einfch zuerst die beiden Brüche zusmmenzählen, dnch befinden wir uns in der beknnten Sitution des oberen Beispiels. Lösung Übungen 3. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt x + y x y y x [ x y ] b) 2 + 4. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt 4 8b 2 4b 2 5 [ 4 5+2b) ] b) x 2 + 2 x x +x [ 2 x 2 ] + + [ 2 ] [ +) +2 ]
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 7 5. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt x x 2 r+ s r s r s r+ s r2 + s 2 r 2 s 2 [ x x+ ] b) [ 2r s ] d) 2 3 +4 [] + 2 + 2 c +b +c 6 2 2bc+6b 2 c 2 [ ] 6c+ b 6. Versuche die Aufgbe des nächsten Abschnitts mit der Multipliktionsmethode zu lösen. 5 Die Addition von zwei Bruchtermen mit komplizierterem Nenner Wir betrchten nun eine Aufgbe mit komplizierteren Nennern. x 2 + x x x+ = 6 Die Addition von zwei Bruchtermen - Methode II Ds Beispiel des vorherigen Abschnittes ht uns gezeigt, dss die Multipliktionsmethode nicht immer zum Ziel führt. Wir erhlten Terme wie x 3,... mit denen wir mit unserem Wissen nichts nfngen können. Wir erhlten zwr nichts Flsches, gerten ber in eine Sckgsse. Deshlb müssen wir uns etws neues überlegen. 6. Ds kgv Bei dieser Methode geht es um ds kleinste gemeinsme Vielfche. Dieses ist folgendermssen definiert:
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 8 Definition Gegeben sind die Zhlen,b N. Die kleinste ntürliche Zhl, von der und b Teiler sind, nennen wir kleinstes gemeinsmes Vielfches von und b, bgekürzt kgv,b). Beispiel: kgv3,5) = kgv4,6) = Bei grösseren Zhlen können wir ds kgv beknntlich mit Hilfe der Primzhlzerlegung bestimmen wenn es ohne TR geschehen soll). Wir betrchten dieses Verfhren hier, weil wir dieses Prinzip nchher uch uf Terme mit Vribeln übertrgen können. Ds kgv24,54) bestimmen: Die Anwendung uf ds Bruchrechnen: 5 24 + 7 54 =? Frge: Wie können wir ds kgv llgemein bei Termen bestimmen? Antwort: Beispiele: Bestimme ds kgv der Terme,b, 2,b 3 und c 2.
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 9 Bestimme ds kgv der Terme 2x 2,3y und 4x. Bestimme ds kgv der Termex+)x+2),x+) 2 x+2) und x+)x+3) 2. Bestimme ds kgv der Terme 3xx+)x+2),2x 2 yx+) 2 x+2) und 6y 2 x+)x+3) 2. Bestimme ds kgv der Terme x+y,x y und x+y+z 6.2 Lösung der Aufgbe mit dem kgv Lösen wir die Aufgbe us Abschnitt.4 nun mit der Methode des kgv: x 2 + x x x+
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt 0 Diese Methode funktioniert ntürlich uch für Aufgben mit mehr ls zwei Bruchtermen. Übungen 7. Bestimme ds kgv der folgenden Terme: x,y,z 2,x 2 und z 3 b) 3x,4z 2,5y 2 und 2y 3 x+),x+2) 2 und x+) 2 x+2) d) 3x+3)x+5),2x+2)x+5) 2 und 4x+3) 2 x+4) e) +b, b und +b+c 8. Bestimme ds kgv der folgenden Terme, indem Du zuerst fktorisierst: s 2 4 und 2 s b) u v,v u und u+v z 2 z,z 2 und z 2 + z 9. Mche die Brüche gleichnmig. Dbei sollte der Nenner so klein im Sinne des kgv) wie möglich sein. s+7 3s 6 s+4 s 2 2s b) u v uv+v 2 u 2 + uv z 2 z 2 z 2+ z 2 + z d) 2x x 3 2xx+2) x 2 9 2 3x 20. Bechte, dss die Aufgben zum Teil oben schon vorgekommen sind. Fsse nun so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt e) f) s+7 3s 6 s+4 s 2 2s z 2 z 2 z 2+ z 2 + z b) + b b b + u u v + v v u u+v u+v [ s+6] b) u v 3s uv+v 2 u 2 + uv 2 [ ] d) 2x z 2 z )z+) x 3 2xx+2) x 2 9 2 3x c c c b) [ u v vu ] [ x 6 3xx+3) ] [0] [ u+v ] 7 Zusmmenfssung Wir stnden vor dem Problem, dss wir Brüche ddieren mussten, die nicht den gleichen Nenner htten. Wir hben uns gefrgt, wie wir gleiche Nenner erhlten können.
Bruchterme 05.2.2007 Theoriebltt Wir hben herusgefunden, dss die Nenner dnn gleich werden, wenn wir sie miteinnder multiplizieren. Die Methode wr leider nur bei einfchen Nennern erfolgreich. Bei Brüchen mit grossen Nennern htten wir ds Problem, dss die Zähler sehr gross wurden. Aus diesem Grunde mussten wir uns eine zweite Methode überlegen. Wir kmen uf die Idee, ds kgv zu nehmen, wodurch sich die Rechnungen erheblich vereinfchten. Wir hben uns die Frge gestellt: Welche Methode wird wnn m besten ngewndt? Wir fnden herus: Methode II, wenn die Nenner Gemeinsmkeiten ufweisen, sonst die Methode I. Die Methode I ht den grossen Vorteil, dss sie nur eine Überlegung brucht und deshlb sehr leicht zu merken ist.