LTI-Systeme und GL Zeitkontinuierliche LTI-Systeme Gegenüberstellung zeitkontinuierlich zeitdiskret Linere ifferenzengleichungen Übertrgungsfunktion Zusmmenfssung Übungen Litertur und Quellen 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie
Impulsntwort zeitkontinuierlich T( ) Impulsntwort ht ( ) = δ ( t) δ(t) System h(t) Systemrektion x(t) System y (t) + + + yt ( ) = T( xt ( )) = T x( τ) δ( t τ) dτ = x( τ) T( δ( t τ) ) dτ = x( τ) ht ( τ) dτ Ausblendeigenschft der Impulsfunktion Linerität des Systems Zeitinvrinz des Systems Eingngs-Ausgngsgleichung von LTI-Systemen Fltung ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )d yt xt ht xτ ht τ τ + x(t) LTI- System x(t) h(t) = y(t) 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 2
Fltung Eigenschften zeitkontinuierlich Kommuttivität + + ( ) ( ) = ( ) ( ) d = ( ) ( ) xt ht xτ ht τ τ hτ xt τ dτ Assozitivität Kskdenschltung h (t) h 2 (t) ( xt ( ) h( t) ) h2( t) = xt ( ) h( t) h2( t) ( ) h 2 (t) h (t) h (t) h 2 (t) istributivität ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) xt h t + h t = xt h t + xt h t Prllelschltung h (t) h 2 (t) b 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 3
Sprungntwort zeitkontinuierlich u(t) LTI- System s(t) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) s t = T u t = h τ u t τ dτ = h τ dτ t Integrtion der Impulsntwort d dt ( ) = st ( ) ht ifferenzition der Sprungntwort 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 4
Kuslität und Stbilität zeitkontinuierlich Kuslität ( ) 0 t 0 ht = < Impulsntwort ist eine rechtsseitige Funktion + ( ) = ( ) ( ) yt hτ xt τ dτ 0 Ist ds kusl, so hängt der ktuelle Ausgngswert nicht von zukünftigen Eingngswerten b. Stbilität + ht ( ) dt < BIBO-stbil, wenn Impulsntwort bsolut integrierbr ( ) xt < M< + + + ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yt hτ xt τ dτ hτ xt τ dτ M hτ dτ Ist ds System BIBO-stbil, so ist bei einem beschränkten Eingngssignl uch ds Ausgngssignl beschränkt. 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 5
Eigenfunktion zeitkontinuierlich Exponentilnstz st ( ) T( e ) et = = λ e st e st LTI- System λ e st b Für eine beliebige reelle Zhl t 0 gilt ( ) st ( + t0 ) st st0 st0 st st0 ( ) ( ) ( ) ( ) et+ t0 = T e = T e e = e T e = e et st Für t = 0 e( 0+ t) = et ( ) = e ( ) 0 e0 0 0 c t 0 eine beliebige reelle Zhl ist, knn sie durch t esretzt werden. er Exponentilnstz ht sich bestätigt. ie llgemein Exponentiellen sind Eigenfunktionen von zeitkontinuierlichen LTI-Systemen Exponentielle in die Eingngs-Ausgngsgleichung + + ( ) y( t) h( ) e τ τ = τ dτ = h( τ) e dτ e = H( s) e st s st st e st LTI- System H(s) e st Übertrgungsfunktion Lplce-Trnsformtion 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 6
Eigenschften von LTI-Systemen mit Impulsntwort Zeitkontinuierlich Zeitdiskret x(t) h(t) y(t) x[n] h[n] y[n] Impulsntwort Eingngs-Ausgngsgleichung (Fltung) Sprungntwort T( ) ( ) = δ ( t) hn [ ] = δ [ n] ht ( ) ( ) ( ) yt = xt ht = ( ) ht ( )d = xτ τ τ T( ) T ( ) [ ] [ ] [ ] yn = xn hn= k = ( ) = u( t) sn [ ] = un [ ] s t [ ] [ ] = xk hn k T ( ) Impulsntwort und Sprungntwort d d t ( ) = st ( ) ht t ( ) ( )d s t = h τ τ [ ] = [ ] [ ] hn sn sn n [ ] hk [ ] sn = k = 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 7
Eigenschften von LTI-Systemen mit Impulsntwort Zeitkontinuierlich Zeitdiskret Kuslität ( ) = 0 t< 0 hn [ ] = 0 n< 0 ht BIBO-Stbilität ht ( ) d t< hn [ ] n= < Eigenfunktion, Eigenwert und Übertrgungsfunktion e st T st ( e ) H( s) = e st st ( ) = ( ) e d H s ht t H(s) e st H(s) z n ( ) ( ) T n n z = H z z H z hn z n ( ) = [ ] H(z) n= H(z) z n 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 8
Komplexe Wechselstromrechnung Eingngssignl u ( t) = uˆ cos( ω t) e 0 System Eingng System RC-Glied Ausgng u e (t) u (t) H ( jω) R C = + jω RC Stbiles System H ( jω) = H( s = jω) Ausgngssignl u ( t ) =??? 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 9
Komplexe Wechselstromrechnung Eingngssignl e jω0t jω0 ( ) = ˆ cos( ω ) = e + e u t u t 0 uˆ 2 t Ausgngssignl uˆ jω t u ( t) = H( jω0) e + H( jω0) e 2 jω t 0 0 Hermitesche Symmetrie reellwertiger Systeme H ( jω) = H ( jω) b jω0t ( ω0 ) ˆ ( ω0) ω0 ( ω0) uˆ u ( t) = 2 Re H( j ) e = u H j cos t+ b 2 ( ) c u ( t) = uˆ cos t rctn RC 2 + ( ω RC) 0 ( ω0 ( ω0 )) 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 0
Systeme mit lineren ifferenzengleichungen GL mit konstnten Koeffizienten Eingngs-Ausgngsgleichung eines LTI-Systems (i.d.r. M ) M [ ] [ ] yn k = b xn l k k= 0 l= 0 l ormierte Form der GL M [ ] [ ] [ ] 0 yn= b xn l yn k mit = l l= 0 k= k b Signlflussgrph Verzögerungsopertor ( xn [ ]) = xn [ ] irektform I x b 0 b y c c Signl mit Pfdgewicht c multiplizieren b 2 2 Signle ddieren Signl kopieren b Rückwärtspfde Vorwärtspfde 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 2
SFG irektform II irektform I irektform II x b 0 b y x b 0 b y b 2 2 2 b 2 b b Rückwärtspfde Vorwärtspfde Rückwärtspfde Vorwärtspfde 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 3
SFG Trnsponierte irektform II GL k [ ] [ ] ( k [ ] k [ ]) yn= b xn+ b xn yn mit = 0 0 k= Beispiel Rekursives System 2. Ordnung Trnsponierte irektform II Vorwärtspfde x b 2 b b 0 2 s 2 s y Zustndsgrößen [ ] = [ ] + [ ] yn b xn s n 0 ( ) [ ] = [ ] [ ] + [ ] s n b xn yn s n 2 ( ) [ ] = [ ] [ ] s n b xn yn 2 2 2 b Rückwärtspfde GL 2. Ordnung [ ] [ ] [ ] [ 2] yn= b xn+ b xn + b xn + 0 2 [ ] [ 2] yn yn 2 c 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 4
FIR-System ichtrekursives System mit endlich lnger Impulsntwort (FIR, finite-durtion impulse response) [ ] hn bn für n= 0,, = 0 sonst Trnsponierte irektform II Trnsversle Form x nur Vorwärtspfde x b 2 b b 0 y b 0 b b 2 y kein Rückwärtspfd Beispiel: Gleitender Mittelwert (kusle Form) M yn xn k + [ ] = [ ] M k = 0 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 5
Systeme mit GL Linere GL mit konstnten Koeffizienten GL liefert Bupln mit den vier elementren Busteinen für die Bsisopertionen: Kopieren, Addieren, Multiplizieren mit einer Konstnten und Verzögern. Signlflussgrph lterntive Strukturen, Relisierungsspekte Zustndsgrößen Zustndsrumdrstellung Rekursive und nichtrekursive Systeme LTI-System mit Impulsntwort Frequenzgng, Übertrgungsfunktion 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 6
Übertrgungsfunktion zur GL Einsetzen der Eigenfunktion z n mit dem Eigenwert H(z) in die GL (i.d.r. M ) M n k ( ) k k= 0 l= 0 H z z = b z l n l kürzen mit z n und Auflösen nch H(z) LTI-Systemen mit GL Übertrgungsfunktion ( ) H z M M M l bl z ( l ) M k 0 0 ( ) ( ) z z z z Z( z) b b z = = = = ( z) z z z z z z 0 0l l= 0 0 l= 0 l= ( ) k k k k = 0 k= k= Pole z l und ullstellen z 0k der Übertrgungsfunktion 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 7
Chrkteristisches Polynom GL yn [ k] = b xn [ l] M k k= 0 l= 0 homogene + prtikuläre Lösung l [ ] = [ ] + [ ] yn y n y n h p Homogene Lösung liefert spezifische Aussgen nur über ds System ( 0 =,, 2,, ) b c Homogene GL Chrkteristisches Polynom k = 0 k = 0 [ ] yn k = 0 k k n k λ z = 0 z z z z 0 + + + + = 0 0 0 0 d K verschiedene Wurzel z k mit den Vielfchheiten V k z z = z z z K k k 0 0 k = 0 0 k = ( ) k V k 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 8
Eigenschwingungen Homogene Lösung llgemeine Form n n n Vk [ ] k ( k k kv ) y n = C z + C z + + z C + C n+ + C n + h 2 2 0 k j Ω Speziell konjugiert komplexes Polpr * z = r e = z 2 jω n jω n ( e e ) C z + C z = r C + C n n n 2 2 2 b Reellwertige Systeme ntworten uf reelle Eingngssignle stets mit reellen Ausgngssignlen C = C 2 ( ( )) C z + C z = r 2 C cos Ω n+ rg C n n n 2 2 c d Eigenschwingungen des Systems mit den Eigenkreisfrequenzen Ω k für konjugiert komplexe Polpre 2 r n cos Ω n+ ϕ ; n r n cos Ω n+ ϕ ; n r n cos Ω n+ ϕ ; ( ) ( ) ( ) Stbilitätsbedingung z = r < für lle Pole strikt stbil k k z = r = und V = l l l bedingt stbil 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 9
Eigenschften von LTI-Systemen mit GL Zeitkontinuierlich Zeitdiskret GL -ter Ordnung mit homogener und prtikulärer Lösung ( M) M ( k) () k = l k= 0 l= 0 l ( ) ( ) y t b x t ( ) = ( ) + ( ) y t y t y t h p M [ ] [ ] yn k = b xn l k k= 0 l= 0 [ ] = [ ] + [ ] yn y n y n h l p Übertrgungsfunktion mit den Polen s k bzw. z k und den ullstellen s 0k bzw. z 0k ( M ) H ( s) M M l l l 0 b = M l= k k k = 0 k = ( ) bs s s = = s s s 0l ( ) k H ( z) M M b l l z b l= 0 0 l= k k z 0 k = 0 k = = = ( z0l z ) ( z k z ) Signlflussgrph für Systeme 2. Ordnung in trnsponierter irektform II mit den Zustndsgrößen s und s 2 x(t) b 0 b b 2 s 2 (t) s (t) 0 ormierung 2 = y(t) x[n] b 2 b b 0 s 2 [n] s [n] 2 ormierung 0 = y[n] 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 20
Zusmmenfssung LTI- Systeme Impulsntwort und Fltung, Sprungntwort, Kuslität, BIBO-Stbilität; Eigenfunktion, Übertrgungsfunktion, z-trnsformtion, Lplce- Trnsformtion; Eigenschften von zeitdiskreten und zeitkontinuierlichen LTI-Systemen mit Impulsntwort; GL Signlflussgrph, trnsponierte irektform II, Trnsverslform, Zustndsgrößen; Rekursive und nichtrekursive Systeme, FIR-Systeme; Übertrgungsfunktion, Pole und ullstellen; Eigenschwingungen und Eigenfrequenz, Stbilität Eigenschften von zeitdiskreten und zeitkontinuierlichen LTI-Systemen mit GL; 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 2
Übung 7. GL Gegeben ist die GL eines kuslen LTI-Systems [ ] + 0,8 [ ] + 0,32 [ 2] = [ ] + 2 [ ] + [ 2] yn yn yn xn xn xn ) Skizzieren Sie den Signlflussgrphen in der trnsponierten irektform II b) Berechnen Sie die ersten drei Werte der Impulsntwort. 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 22
Übung 7.2 GL Gegeben ist die GL eines kuslen LTI-Systems [ ] [ ] [ ] [ ] 2 yn+ yn 2 = xn 2 xn ) Skizzieren Sie den Signlflussgrphen in der trnsponierten irektform II b) Geben Sie die ersten fünf Werte der Impulsntwort n. c) Ist ds System stbil? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Geben Sie die Übertrgungsfunktion des Systems n. 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 23
Übung 7.3 SFG x 2 2 y ) Bestimmen Sie zum SFG die Übertrgungsfunktion des Systems. b) Stellen Sie die LG des Systems uf. c) Geben Sie die ersten drei Koeffizienten der Sprungntwort des Systems n. 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 24
Übung 7.4 Übertrgungsfunktion Gegeben ist die Übertrgungsfunktion eines kuslen Systems ( ) H z = 3 2 2 0,88 z + 0, 63 z z 2, 02 z +, 46 z 0,37 ) Geben Sie die GL n. b) Skizzieren Sie den Signlflussgrphen in der trnsponierten irektform II 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 25
Übung 7.5 J-ein-Frgen: Kreuzen Sie lle richtigen Aussgen n. Im SFGen mit Rückwärtspfden werden Eingngs- und Ausgngssignle miteinnder multipliziert. Ein SFG mit nur elementren Opertionen repräsentiert ein LTI-System. Bei einem rekursiven System 2. Ordnung sind mximl 5 Multipliktionen pro Ausgngswert notwendig. 2 Zu jeder GL existiert genu ein SFG. 3 FIR-Systeme werden bevorzugt ls Trnsverslfilter implementiert. 4 Aus dem SFG lässt sich die Übertrgungsfunktion bis uf einen konstnten Fktor blesen. 5 SFGen in trnsversler Form besitzen keine rekursiven Pfde. 6 Ein zeitdiskretes LTI-System ist strikt stbil, wenn die Beträge lle ullstellen kleiner eins sind. 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 26
Übung 7.6 Lückentext: Ergänzen Sie die Aussgen sinngemäß. FIR-Filter werden bevorzugt in Form relisiert. 2 s Symbol steht im SFG für. 3 ie Koeffizienten k nennt mn. 4 5 ie Eigenschwingungen des Systems ergeben sich us der GL. Bei reellwertigen Systemen treten komplexe Pole und ullstellen nur ls Pre uf. 6 Zustndsgrößen treten in Verbindung mit uf. 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 27
Übung 7.7 J-ein-Frgen: Kreuzen Sie lle richtigen Aussgen n. Pole und ullstellen bestimmen die Eigenschwingungen der Systeme. ie z-trnsformtion bildet die Fltung in ein Produkt b. A Bei FIR-Systemen liefern die Zählerkoeffizienten die Impulsntwort. B ie Zustndsgrößen korrespondieren zu den signlspeichernden Verzögerern in System. C ie Funktion z n ist Eigenfunktion von zeitdiskreten LTI-Systemen. ie SFGen liefern Bupläne für die Systeme. E ie Übertrgungsfunktionen von LTI-Systemen mit GL sind gebrochen rtionl. F ie Wurzeln des chrkteristischen Polynoms werden ullstellen der Übertrgungsfunktion gennnt. 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 28
Litertur und Quellen Girod, B., Rbenstein, R., & Stenger, A. (2007) Einführung in die Systemtheorie. Signle und Systeme in der Elektrotechnik und Informtionstechnik. (4. Aufl.). Wiesbden: Teubner Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & wb, S. H. (997) Signls & Systems, (2 nd ed.). Upper Sddle River, J: Prentice Hll Unbehuen, R. (2002) Systemtheorie. Allgemeine Grundlgen, Signle und linere Systeme im Zeit- und Frequenzbereich. (8. Aufl.). München: Oldenbourg Werner, M. (2008) Signle und Systeme. Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB-Übungen und Lösungen. (3. Aufl.). Wiesbden: Vieweg+Teubner 9.06.206 Professor r.-ing. Mrtin Werner Folie 29