Martin Schneeberger Mathematikaufgaben der Vorschul- und Primarstufe. Lösungen zu den Aufgaben

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1 Marti Scheeberger Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe Lösuge zu de Aufgabe

2 Aufgabe zum Kapitel.6 Übuge zum Thema «Strategiespiele» (S ) Aufgabe a) Der Erstspieler bzw. die Erstspieleri gewit, de das erste Gewifeld ach dem Start ist das erste (das Startfeld selber), ud die Gewizahle laute 5,, 7, 3, 9, 5,. Dieses Startfeld ka der Zweitspieler bzw. die Zweitspieleri icht erreiche. b) Die Gewistrategie für de Erstspieler oder die Erstspieleri lautet: Beim Start ur ei Wedeplättche auf das Startfeld lege, da stets die Azahl Wedeplättche, die der Zweitspieler legt, auf 4 (maximale Azahl Wedeplättche, die gelegt werde darf, plus ) ergäze. Aufgabe a) Wer als Erste/r spielt, hat keie Chace, dieses Spiel zu gewie, de die Ausgagssituatio ist eie Z-Stellug (Z = Zwag) NIM-Summe = Azahl Eise pro Spalte g g g Z-Stellug b) Nachdem Sie 5 Streichhölzche aus dem vierte Haufe etfert habe, muss der Spielparter oder die Spielparteri wie folgt spiele, um dieses Spiel gewie zu köe: (=7-5) NIM-Summe = Azahl Eise pro Spalte u g u C-Stellug Vom dritte Haufe mit de 5 Streichhölzer müsse 5 (alle) weggeomme werde, damit eie Z-Stellug etsteht, de die beide Eise i de Spalte ud 0 müsse weg ud 5 0 = =(5-5) (=7-5) NIM-Summe = Azahl Eise pro Spalte g g g Z-Stellug Die Azahl solcher Möglichkeite ist gleich der Spaltesumme (hier = ) der zur höchste Zweierpotez gehörede Spalte mit ugerader Summe (hier die Spalte mit ). Weshalb? Weil jede Eis i dieser Spalte durch Wegehme vo Streichhölzche zu eier Null gemacht werde ka. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

3 Aufgabe 3 a) Sie habe eie Chace, de die Afagssituatio ist eie C-Stellug (C = Chace) NIM-Summe = Azahl Eise pro Spalte u u g u u C-Stellug (midestes ei u) b) Aus de u (ugerade) müsse Sie g (gerade) mache. Dazu müsse Sie i der erste Zeile vo 9 Streichhölzche wegehme, de = = 9- = 8. Sie mache aus eier C-Stellug eie Z-Stellug, idem Sie aus dem erste Haufe wegehme (=9-) NIM-Summe = Azahl Eise pro Spalte g g g g g Z-Stellug (kei u) Aufgabe 4 Die Zahle i der oberste Zeile bedeute Azahl Felder auf dem Spielbrett (a), die Gewizahle (c) sid uterstriche (c = a modulo (b+), mit b als maximale Azahl Plättche, die pro Spielzug gelegt werde dürfe. E bedeutet Erstspieler bzw. Erstspieleri gewit, Z Zweitspieler bzw. Zweitspieleri gewit, falls die Gewistrategie kosequet gespielt wird. a) (0) (0) (0) (0) Z E E E E Z E E E E Z E E E E Z Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

4 b) Gewistrategie des Erstspielers oder der Erstspieleri: Vo ute gezählt die Plättche bis ud mit der erste uterstrichee Zahl lege (c), aschliessed stets die Azahl der vom Zweitspieler oder der Zweitspieleri gelegte Plättche auf 5 (b+: maximale Azahl Wedeplättche (hier b = 4), die gelegt werde darf, plus ) ergäze. Gewistrategie des Zweitspielers oder der Zweitspieleri: Die Azahl der vom Erstspieler gelegte Plättche auf 5 (maximale Azahl Wedeplättche, die gelegt werde darf, plus ) ergäze. c) Alle mögliche Paare vo Z ud E, z.b. 5-er- ud 4-er-Brett, 0-er- ud 3-er-Brett (es gibt dere 48 Paare) gleiche die Gewichace der beide Spieler bzw. Spielerie aus. Aufgabe 5 a) Die Gewistrategie lautet hier «auf 9 (maximale Azahl Wedeplättche, die gelegt werde darf, plus ) ergäze». Weil 495 modulo 9 = 0 ist, gewit der Zweitspieler bzw. die Zweitspieleri, we er oder sie die Strategie kosequet spielt. b) 495 : 9 = 55 das Spiel weist 55 Gewizahle auf, die immer de Abschluss eies Zuges des Zweitspielers darstelle somit gelagt der Zweitspieler mit 55 Züge zum Sieg. Aufgabe 6 Gute (+) ud schlechte (-) Positioe als Ker der Gewistrategie. Mit diesem Spielbrett wird der Erstspieler bzw. die Erstspieleri verliere, we der Zweitspieler bzw. die Zweitspieleri die Gewistrategie ket ud zu utze weiss. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

5 Aufgabe 7 a) Der Erstspieler bzw. die Erstspieleri, we er oder sie zuerst drei Wedeplättche (de 3 modulo (4+) = 3) legt ud da bei jedem Zug die vom Zweitspieler oder der Zweitspieleri gelegte Wedeplättche auf 4+ = 5 ergäzt. b) Der Zweitspieler bzw. die Zweispieleri gewit mit alle Spielbretter mit 3 mod 5 = 0, das sid alle Spielbretter der Füfer«reihe» 5, was uedlich viele bedeutet. c) Die Gewistrategie lautet hier «auf 8 ergäze». Weil 33 modulo 8 = 5 ist, gewit der Erstspieler bzw. die Erstspieleri, we er oder sie mit 5 Wedeplättche begit ud kosequet die vom Zweitspieler oder der Zweispieleri gelegte Wedeplättche auf 8 ergäzt. d) 33 : 8 = 6 Rest 5 das Spiel weist 6+ = 7 Gewizahle (blau) auf, die immer de Abschluss eies Zuges des Erstspielers bzw. der Erstspieleri darstelle. Somit gelagt der Erstspieler bzw. die Erstspieleri mit 7 Züge zum Sieg. Der Zweitspieler oder die Zweitspieleri macht ur 6 Züge Aufgabe 8 a) Die Gewistrategie lautet hier «auf 7 ergäze». Weil 7 modulo 7 = 5 ist, gewit der Erstspieler, we er mit 5 Wedeplättche begit ud die Strategie kosequet spielt. b) t sei ei Teiler vo 7 bzw. tt(7) = {, 3, 9, 3, 39, 7}. Der Zweitspieler/die Zweitspieleri gewit, we gilt 7 modulo x = 0, ud dem ist so, we x = t somit dürfe also maximal t- Wedeplättche gelegt werde, was heisst: 0,, 8,, 38 oder 6. Null ud 6 mache keie Si, higege mit de restliche maximale Azahle vo Wedeplättche, die pro Zug gelegt werde dürfe, wird der/die Zweitspieler/i gewie, we er/sie keie Fehler macht. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

6 Aufgabe zum Kapitel.4 Übuge zum Thema «Zahle zerlege» (S ) Aufgabe Die zu zerlegede Zahl heisst 00. Das folgede Verfahre arbeitet mit dem Doppelte, mit 00: Teiler vo 00= 00 Teiler vo 00= 00 Der erste Summad der Zerlegug: Der letzte Summad der Zerlegug: Kommetar: Teiler Teiler Teiler Teiler Triviale Zerlegug 00 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade 4 50 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade Zerlegug Zerlegug 0 0 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade 0 0 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler ud beide Teiler gerade 5 8 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 40 5 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 50 4 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler ud beide Teiler gerade 00 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler ud beide Teiler gerade 00 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler Zerlegug : = 00 Zerlegug : = 00 Aufgabe Die zu zerlegede Zahl heisst 94. Das folgede Verfahre arbeitet mit zwei mal 94 = 88: Teiler vo 94= 88 Teiler vo 94= 88 Der erste Summad der Zerlegug: Der letzte Summad der Zerlegug: Kommetar: Teiler Teiler Teiler Teiler Triviale Zerlegug 94 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade Zerlegug 47 4 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 94 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler ud beide Teiler gerade 88 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler Es gibt ur eie Zerlegug: = 94 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

7 Aufgabe 3 a) Die Azahl Zerleguge der Zahl 9 i drei Summade (mit Wiederholug ud iklusive der 9 3! Null) beträgt Die Schüleri bzw. der Schüler hat also 0 9! ( 9)! Zerleguge och icht gefude. Der Hiweis darauf, dass der erste Summad auch 0 sei ka, dürfte zum Fide der fehlede 0 Zerleguge beitrage: = = = = = = = = = = 9 b) Suche Sie alle Zerleguge der Zahl 70 i aufeiaderfolgede Summade. Die zu zerlegede Zahl heisst 70. Das folgede Verfahre arbeitet mit dem Doppelte, also mit 40: Teiler Teiler Der erste Summad Der letzte Summad Kommetar vo vo der Zerlegug: der Zerlegug: 70= 70= Teiler Teiler Teiler Teiler Triviale Zerlegug 70 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade Zerlegug Zerlegug Zerlegug Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade 4 0 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 0 7 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 8 5 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 35 4 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 70 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 40 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler Es gibt isgesamt drei Zerleguge der Zahl 70 i aufeiaderfolgede Summade: Zerlegug : = 70 Zerlegug : = 70 Zerlegug 3: = 70 c) Aus de 55 Zerleguge i Aufgabe 3a lasse sich folgede 55 Codes ableite: = = = = = Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

8 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Diese Codes verrate us wie folgt das Vorkomme ud die Positio eier Null als Summad: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

9 Ei Code, der mit eier begit, bedeutet, dass der erste Summad eie 0 ist; Ei Code, der mit eier edet, bedeutet, dass der letzte (dritte) Summad eie 0 ist; Ei Code, der im Ier eie Doppel-Eis () aufweist, bedeutet, dass der mittlere (zweite) Summad eie 0 ist. Wie viele Codes begie i diesem Beispiel mit eier? Die erste Stelle des Codes wird fest besetzt mit eier Eis, ud für de Rest des Codes stellt sich die Frage, wie viele zehstellige Codes aus eu Nulle ud eier Eis gebildet werde köe. 0! Die Atwort liefert die Permutatio mit Wiederholug (Mississippi-Aufgabe): 0 9!! Wie viele Codes ede i diesem Beispiel mit eier? Die letzte Stelle des Codes wird fest besetzt mit eier Eis, ud für de Rest des Codes stellt sich die Frage, wie viele zehstellige Codes aus eu Nulle ud eier Eis gebildet werde köe. 0! Die Atwort liefert die Permutatio mit Wiederholug (Mississippi-Aufgabe): 0 9!! Wie viele Codes begie ud ede i diesem Beispiel mit eier? Die erste ud die letzte Stelle des Codes wird fest besetzt mit eier Eis, ud für de Rest des Codes stellt sich die Frage, wie viele eustellige Codes aus eu Nulle ud keier Eis gebildet werde köe. 9! Die Atwort liefert die Permutatio mit Wiederholug (Mississippi-Aufgabe): 9! Wie viele Codes weise im Ier (icht am Afag ud am Ede des Codes) eie Doppel- Eis () auf? Weil die Doppel-Eis () icht am Afag ud auch icht am Schluss des Codes stehe soll, wird die erste ud die letzte Stelle des Codes fest besetzt durch eie Null. Da stellt sich für de Rest des Codes die Frage, wie viele achtstellige Codes aus siebe Nulle ud eier Doppel-Eis a = gebildet werde köe. 8! Die Atwort liefert die Permutatio mit Wiederholug (Mississippi-Aufgabe): 8 7!! Ist die Null als Summad zugelasse, gibt es isgesamt 55 Zerleguge der Zahl 9 i 3 Summade (Aufgabe 3a). Obe wurde achgewiese, dass es 0 Zerleguge gibt mit der Null als erstem, 0 Zerleguge mit der Null als letztem ud 8 Zerleguge mit der Null als mittlerem Summade. Das ergäbe total = 8 Zerleguge mit der Null als Summad. Dieses Ergebis stimmt u aber och icht gaz, de der Code bedeutet die Zerlegug = 9 ud ist etweder als eie der 0 Zerleguge mit der Null als erstem oder als eie der Zerleguge mit der Null als letztem Summade mitgezählt. Deshalb gibt es eie Zerlegug weiger mit der Null als Summad, also isgesamt ur och Zerleguge, i dee die Null als Summad zugelasse ist, mius 7 Zerleguge mit der Null als Summad ergibt 55 7 = 8 Zerleguge ohe die Null als Summad. Diese laute, wie i der Aufgabe 3a achgeprüft werde ka, wie folgt: 7++ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 9 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

10 Aufgabe 4 a) Die Azahl Zerleguge der Zahl 9 i füf Summade (mit Wiederholuge ud iklusive ! der Null) beträgt Das gesuchte Zahlehaus würde 9! (3 9)! 75 Stockwerke aufweise. Bei der Formel hadelt es sich um eie Kombiatio mit Wiederholug. b) Suche Sie alle Zerleguge der Zahl 60 i aufeiaderfolgede Summade: Die Teilermege vo 0 ist: {,, 3, 4, 5, 6, 8, 0,, 5, 0, 4, 30, 40, 60, 0}. Die zu zerlegede Zahl heisst 60. Das Verfahre arbeitet mit dem Doppelte, also mit 0: Teiler Teiler Der erste Summad Der letzte Summad Kommetar vo vo der Zerlegug: der Zerlegug: 60= 60= Teiler Teiler Teiler Teiler Triviale Zerlegug 60 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade Zerlegug 4 30 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade Zerlegug 6 0 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade Zerlegug 3 0 Hier gibt es keie Zerlegug i N Beide Teiler gerade 0 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 5 8 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 0 6 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 4 5 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 30 4 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 40 3 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 60 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 0 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler Es gibt isgesamt i N 0 drei Zerleguge der Zahl 60 i aufeiaderfolgede Summade: Zerlegug : = 60 Zerlegug : = 60 Zerlegug 3: = 60 Aufgabe 5 a) ! Im Pascalsche Dreieck Zeile 0 ud Schrägspalte 7. 7! (0 3)! Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

11 b) Die zu zerlegede Zahl heisst 53. Das folgede Verfahre arbeitet mit dem Doppelte, also mit 306: Teiler vo 306 Teiler vo 306 Der erste Summad der Zerlegug: Der letzte Summad der Zerlegug: Kommetar Triviale Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 34 9 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 5 6 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 0 3 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 53 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 306 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 53 = = Teiler Teiler 53 = = Teiler Teiler 53 = Aufgabe 6 a) 9 3! Im Pascalsche Dreieck Zeile ud Schrägspalte 9. 9! 9! b) Die zu zerlegede Zahl heisst 65. Das folgede Verfahre arbeitet mit dem Doppelte, also mit 330: Teiler vo 330 Teiler vo 330 Der erste Summad der Zerlegug: Der letzte Summad der Zerlegug: Kommetar Teiler Teiler Teiler Teiler Triviale Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug 7 5 Keie Zerlegug i N 0 Teiler > Teiler Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

12 30 Keie Zerlegug i N 0 Teiler > Teiler 33 0 Keie Zerlegug i N 0 Teiler > Teiler 55 6 Keie Zerlegug i N 0 Teiler > Teiler 66 5 Keie Zerlegug i N 0 Teiler > Teiler 0 3 Keie Zerlegug i N 0 Teiler > Teiler 65 Keie Zerlegug i N 0 Teiler > Teiler 330 Keie Zerlegug i N 0 Teiler > Teiler 65 = = = = = = = c) Die Azahl der Zerleguge der Zahl 548 i Summe aufeiaderfolgeder atürlicher Zahle etspricht der Azahl der ugerade Teiler des Doppelte der Zahl. Die Teilermege des Doppelte vo 548 = lautet T(0 836) = {,, 3, 4, 6, 7, 9,, 4, 8,, 8, 36, 4, 43, 63, 84, 86, 6, 9, 7, 5, 58, 30, 387, 56, 60, 774, 903, 04, 548, 806, 709, 36, 548, 0 836} Uterstreicht ma die ugerade Teiler ud zählt diese, so erhält ma die Azahl der Zerleguge i Summe aufeiaderfolgeder atürlicher Zahle: T(0 836) = {,, 3, 4, 6, 7, 9,, 4, 8,, 8, 36, 4, 43, 63, 84, 86, 6, 9, 7, 5, 58, 30, 387, 56, 60, 774, 903, 04, 548, 806, 709, 36, 548, 0 836} Die Zahl 548 lässt sich i Summe aufeiaderfolgeder atürlicher Zahle (ohe die triviale Zerlegug) zerlege. Begrüdug mithilfe des Verfahres: Die ugerade Teiler des Doppelte vo 548 sid uterstriche. Weil es isgesamt ugerade Teiler, gibt es total Zerleguge der Zahl 548 i Summe aufeiaderfolgeder atürlicher Zahle. Die zu zerlegede Zahl heisst 548. Das Verfahre arbeitet mit dem Doppelte, also mit Teiler vo Teiler vo Der erste Summad der Zerlegug: Der letzte Summad der Zerlegug: Kommetar Teiler Teiler Teiler Teiler Triviale Zerlegug 548 Keie Zerlegug i Summade aus N Beide Teiler gerade 3 36 Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Keie Zerlegug i Summade aus N Beide Teiler gerade Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Keie Zerlegug i Summade aus N Beide Teiler gerade 8 60 Keie Zerlegug i Summade aus N Beide Teiler gerade 56 Zerlegug i Summade aus N Zerlegug 6 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

13 8 387 Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Keie Zerlegug i Summade aus N Beide Teiler gerade 43 5 Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Zerlegug i Summade aus N Zerlegug Zerlegug i Summade aus N Zerlegug 86 6 Keie Zerlegug i Summade aus N Beide Teiler gerade 6 86 Teiler > Teiler 9 84 Teiler > Teiler 7 63 Teiler > Teiler 5 43 Teiler > Teiler 58 4 Teiler > Teiler Teiler > Teiler Teiler > Teiler 56 Teiler > Teiler 60 8 Teiler > Teiler Keie Zerleguge i Summade aus N Teiler > Teiler 903 Teiler > Teiler 04 9 Teiler > Teiler Teiler > Teiler Teiler > Teiler Teiler > Teiler 36 3 Teiler > Teiler 548 Teiler > Teiler Teiler > Teiler Aufgabe 7 a) Die Azahl Zerleguge der Zahl 5 i drei Summade (mit Wiederholug, iklusive der Null als Summad ud ohe Berücksichtigug des Vertauschugsgesetzes) beträgt ! 5 5. Die Schüleri bzw. der Schüler hat also 9 Zerleguge 5! (7 5)! och icht gefude. Der Hiweis darauf, dass die Zifferkarte auch mehrfach als Summade eigesetzt werde köe, dürfte zum Fide der fehlede 9 Zerleguge beitrage: = = = = = = = = = 5 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

14 b) Satz vo Sylvester: Für jede Zahl gibt es pro ugerade Teiler ihres Doppelte eie Zerlegug. Mit adere Worte: Die Azahl der Zerleguge stimmt mit der Zahl der ugerade Teiler, die vo verschiede sid, überei (de der Teiler führt zur triviale Zerlegug, die wir icht zähle). Die Teilermege des Doppelte vo 7 ist T(34) = {,, 3, 6, 9, 3, 8, 6, 39, 78, 7, 34} ud ethält isgesamt 6 ugerade Teiler, die uterstriche sid, was bedeutet, dass es vo der Zahl 7 sechs Zerleguge i aufeiaderfolgede atürlichzahlige Summade gibt. Davo ist eie die triviale Zerlegug, die wir icht zähle. Es gibt also 5 ichttriviale Zerleguge, ud das Mädche hat drei vo diese gefude. Rückmeldug: «Es gibt och geau zwei Zerleguge. Suche doch diese auch och!» Wer de Satz vo Sylvester icht ket, muss wie folgt das aufwädige Verfahre eisetze: Teiler vo 7= 34 Teiler vo 7= 34 Die ugerade Teiler sid uterstriche: Der erste Summad der Zerlegug: Teiler Teiler Der letzte Summad der Zerlegug: Teiler Teiler Kommetar Triviale Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Zerlegug Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 6 9 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 39 6 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 78 3 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 7 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler 34 Hier gibt es keie Zerlegug i N Teiler > Teiler Es gibt isgesamt folgede füf Zerleguge der Zahl 7 i aufeiaderfolgede Summade: 7 = = = = = Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

15 Aufgabe zum Kapitel Übuge zum Thema «Rechevielecke» (S ) Aufgabe a) Durch Ausprobiere ka ma auf die Lösuge komme: a = 3, b = 4 ud c = b) Das Produkt der Aussezahle a b b c c a = a b c = (a b c) Produkt der Iezahle, also die Wurzel aus dem Produkt der Aussezahle. a bc abc Iezahl = Produkt der Iezahle geteilt durch die der gesuchte Iezahl gegeüberliegede Aussezahl. c) Produkt der Iezahle = , a 9, b 5, c 7 45 Aufgabe Summe der Iezahle: a+b+c+d+e Summe der Aussezahle: (a+b) + (b+c) + (c+d) + (d+e) + (e+a) = a+a+b+b+c+c+d+d+e+e = a+b+c+d+e = (a+b+c+d+e) Summe der Aussezahle geteilt durch ergibt die Summe der Iezahle. Berechug der Iezahle, we alle Aussezahle bekat sid: a = a+b+c+d+e (b+c) (d+e) b = a+b+c+d+e (a+e) (c+d) c = a+b+c+d+e (a+b) (d+e) d = a+b+c+d+e (a+e) (b+c) e = a+b+c+d+e (a+b) (c+d) Jede Iezahl ist gleich der Summe der Iezahle (= der Hälfte der Summe der Aussezahle) mius die beide Nachbarzahle der der gesuchte Iezahl gegeüberliegede Aussezahl. Aufgabe 3 a) Ei Recheviereck ist i N 0 ur da lösbar, we die gegeüberliegede Aussezahle (a+b)+(c+d) bzw. (d+a)+(b+c) addiert je die Summe der Iezahle a+b+c+d ergebe. c+d a+d d a c b b+c a+b Dies ist im Beispiel mit 7+5 = 6+8 = 4 icht der Fall, weshalb dieses Recheviereck icht lösbar ist. b) Es geht um die Lösug vo diophatische Gleichuge. Schrittweises Löse der vier diophatische Gleichuge: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

16 d+a = 8 8 c+d = b+c = a+b = 7 7 a b c d a = 3 Aufgabe 4 a) Am beste rechet ma die agegebee Aussezahle zuerst is Zehersystem um. Aschliessed berechet ma die Iezahle des Rechedreiecks im Zehersystem ud rechet diese am Schluss wieder is Zweiersystem zurück. = = 7 00 = = = = 8 Jede Iezahl ist die halbe Summe der Aussezahle mius die der gesuchte Iezahl gegeüberliegede Aussezahl: a = (7+8+9) : mius 8 = 4; b = (7+8+9) : mius 7 = 5; c = (7+8+9) : mius 9 = Die Rückübersetzug der erhaltee dezimale Iezahle is Zweiersystem erfolgt mithilfe des Divisiosalgorithmus oder mithilfe der fortgesetzte Büdelug zu zwei. 4 0 umreche is Zweiersystem: 5 0 umreche is Zweiersystem: 3 0 umreche is Zweiersystem: 4 gleich mal plus 0 gleich mal plus 0 gleich mal 0 plus 4 0 = 00 5 gleich mal plus gleich mal plus 0 gleich mal 0 plus 5 0 = 0 3 gleich mal plus gleich mal 0 plus 3 0 = Das gesuchte Rechedreieck im Zweiersystem lautet: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

17 b) 00 a +b = b +c = a +c = Aufgabe 5 Auch hier helfe die Aalogieüberleguge Additio Multiplikatio, Subtraktio Divisio ud geteilt durch zweite Wurzel wie folgt weiter. Allgemeies Lösugsverfahre: Produkt der Iezahle: a b c d e Produkt der Aussezahle: (a b) (b c) (c d) (d e) (e a) = = a b b c c d d e e a = a b c d e = = (a b c d e) Produkt der Iezahle: Produkt der Aussezah le Berechug der Iezahle, we alle Aussezahle bekat sid: a b c d e Produkt der Aussezahle (d e) ( b c) Produkt der Aussezahle (e a) ( c d) Produkt der Aussezahle (a b) ( d e) Produkt der Aussezahle (b c) ( e a) Produkt der Aussezahle (c d) ( a b) Jede Iezahl ist gleich dem Produkt der Iezahle, welches der Wurzel aus dem Produkt der Aussezahle etspricht, geteilt durch das Produkt der beide Nachbarzahle der der gesuchte Iezahl gegeüberliegede Aussezahl. a = ; b = ; c = 3; d = 7; e = 9 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

18 Iezahle: Aufgabe 6 a) Versio : Ma rechet die agegebee Aussezahle zuerst is Zehersystem um. Aschliessed berechet ma die Iezahle des Rechedreiecks im Zehersystem ud rechet diese am Schluss wieder is Dreiersystem zurück. 0 3 = = = = = = 8 0 Jede Iezahl ist die halbe Summe der Aussezahle mius die der gesuchte Iezahl gegeüberliegede Aussezahl: a 3 = (4+6+8) : = 39, 39 mius 4 = 5; b 3 = (4+6+8) : = 39, 39 mius 6 = 3; c 3 = (4+6+8) : = 39, 39 mius 8 = Die Rückübersetzug der erhaltee dezimale Iezahle is Dreiersystem erfolgt mithilfe des Divisiosalgorithmus oder mithilfe der fortgesetzte Büdelug zu drei. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

19 a 3 = 5 0 umreche is Dreiersystem: 5 gleich 3 mal 5 plus 0 5 gleich 3 mal plus gleich 3 mal 0 plus 5 0 = 0 3 b 3 = 3 0 umreche is Dreiersystem: 3 gleich 3 mal 4 plus 4 gleich 3 mal plus gleich 3 mal 0 plus 3 0 = 3 c 3 = 0 umreche is Dreiersystem: gleich 3 mal 3 plus 3 gleich 3 mal plus 0 gleich 3 mal 0 plus 0 = 0 3 Das gesuchte Rechedreieck im Dreiersystem lautet: Kotrolle: 00 3 Versio : a 3 = 0 3 = = 5 0 b 3 = 3 = = 3 0 c 3 = 0 3 = = 0 Ma rechet direkt im Dreiersystem: Jede Iezahl ist die halbe Summe der Aussezahle (= Summe der Iezahle SIZ) mius die der gesuchte Iezahl gegeüberliegede Aussezahl: Halbe Summe der Aussezahle (= Summe der Iezahle SIZ) = 0 3 : = 0 3 a 3 = SIZ mius 0 3 b 3 = SIZ mius 3 c 3 = SIZ mius Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

20 b) a 3+b 3 = b 3+c 3 = a 3+c 3 = c) a+c c b+c a b a+b (a+b) + (b+c) (a+c) = a + b + c a c = b; b : = b (a+c) + (a+b) (b+c) = a + b + c b c = a; a : = a (b+c) + (a+c) (a+b) = b + c + a a b = c; c : = c Die Feststellug der Lerede stimmt für a, b, c N (ja sogar für alle a, b, c IR). Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

21 Aufgabe zum Kapitel Übuge zum Thema «Magische Quadrate» (S. 40) Aufgabe a) A = Dreier«reihe»: Die Gesamtsumme beträgt = 3 ( ) 9(9 ) = (dreimal die eute Dreieckszahl) Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Drittel davo, d.h. 35 : 3 = 45. B = Vierer«reihe»: Die Gesamtsumme beträgt = 4 ( ) 9(9 ) = (viermal die eute Dreieckszahl) Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Drittel davo, d.h. 80 : 3 = 60. C = Füfer«reihe»: Die Gesamtsumme beträgt = 5 ( ) 9(9 ) = (füfmal die eute Dreieckszahl) 5 5. Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Drittel davo, d.h. 5 : 3 = 75. b) Die Magische Zahl des magische Quadrates C-A ist = 30. c) Mit der Treppemethode vo Bachet ei icht-ormales magisches Quadrat des Typs A ud mit der Zylidermethode vo de la Loubère ei icht-ormales magisches Quadrat des Typs C erzeuge: Typ A Treppemethode vo Bachet: mal oder Treppemethode direkt mit Zahle der Dreier«reihe» ausgeführt Typ C Zylidermethode vo de la Loubère: mal oder Zylidermethode direkt mit Zahle der Füfer«reihe» ausgeführt Aufgabe a) Mit der Treppemethode vo Bachet ei magisches Quadrat der Ordug 7 mit der magische Zahl 80 erzeuge: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

22 Normales Grudquadrat: Die magische Zahl M beträgt 75. Um vo 75 auf 80 zu komme, muss ma Folgedes reche (7 ist die Ordug): 80 = 75 x + 7 y. Allgemei: Die eue magische Zahl Mꞌ = M mal x + die Ordug mal y. Diese diophatische Gleichug hat folgede Lösuge, vo dee die durchgestrichee zu egative oder gleiche Werte i de magische Quadrate führe (siehe ute): x y Die beide Lösuge sid idetisch (kogruet: Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute). Die Lösuge der diophatische Gleichug bedeute, dass ma jede Zahl des ormale Grudquadrats mal x plus y reche muss, was folgede magische Quadrate ergibt (die durchgestrichee ethalte egative oder gleiche Werte ud werde deshalb ausgeschlosse): x = -, y = 90 mal - plus 90 x = -, y = 65 mal - plus Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

23 x = 0, y = 40 mal 0 plus 40 x =, y = 5 mal plus x =, y = -0 mal mius b) Mit der Zylidermethode vo de la Loubère ei magisches Quadrat der Ordug 5 mit der magische Zahl 80 erzeuge: Normales Grudquadrat: Die magische Zahl M beträgt 65. Um vo 65 auf 80 zu komme, muss ma Folgedes reche (5 ist die Ordug): 80 = 65 x + 5 y. Allgemei: Die eue magische Zahl Mꞌ = M mal x + die Ordug mal y. Diese diophatische Gleichug hat folgede Lösuge, vo dee die durchgestrichee zu egative oder gleiche Werte i de magische Quadrate führe (siehe ute): x y Je die zwei mit Pfeile verbudee Lösuge sid idetisch (kogruet: Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute). Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

24 Die Lösuge der diophatische Gleichug bedeute, dass ma jede Zahl des ormale Grudquadrats mal x plus y reche muss, was folgede magische Quadrate ergibt (die durchgestrichee ethalte egative oder gleiche Werte ud werde deshalb ausgeschlosse): x=-5, y= mal -5 plus x=-4, y=08 mal -4 plus 08 x=-3, y=95 mal -3 plus x=-, y=8 mal - plus 8 x=-, y=69 mal - plus 69 x=0, y=56 mal 0 plus x=, y=43 mal plus 43 x=, y=30 mal plus 30 x=3, y=7 mal 3 plus x=4, y=4 mal 4 plus 4 x=-5, y=-9 mal 5 mius c) Mit der Diagoalemethode ei magisches Quadrat der Ordug 4 mit der magische Zahl 80 erzeuge: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

25 Die magische Zahl beträgt 34. Um vo 34 auf 80 zu komme, muss ma Folgedes reche (4 ist die Ordug): 80 = 34 x + 4 y. Allgemei: Die eue magische Zahl Mꞌ = M mal x + die Ordug mal y. Diese diophatische Gleichug hat folgede Lösuge, vo dee die durchgestrichee zu egative oder gleiche Werte i de magische Quadrate führe (siehe ute): x y Je die zwei mit Pfeile verbudee Lösuge sid idetisch (kogruet: Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute). Das bedeutet, dass ma jede Zahl des ormale Grudquadrats mal x plus y reche muss, was folgede magische Quadrate ergibt (die durchgestrichee ethalte egative oder gleiche Werte ud werde deshalb ausgeschlosse): x=-0, y=55: Mal -0 plus 55 x=-8, y=: Mal -8 plus x=-6,y=: Mal -6 plus x=-4, y=04: Mal -4 plus 04 x=-, y=87: Mal - plus 87 x=0, y=70: Mal 0 plus x=, y=53: Mal plus 53 x=4, y=36: Mal 4 plus 36 x=6, y=9: Mal 6 plus Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

26 x=8, y=: Mal 8 plus x=0, y=-3: Mal 0 mius Aufgabe 3 5 (5 ) a) Natürliche Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 35 (Dreieckszahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Füftel davo, d.h. 35 : 5 = 65. Gerade Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 5 (5+) = 650 (Rechteckzahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Füftel davo, d.h. 650 : 5 = 30. Oder eifacher: Weil gilt, magisches Quadrat B = mal magisches Quadrat A, folgt daraus: Magische Zahl vo B = mal die magische Zahl vo A, also 65 = 30. Ugerade Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 5 = 65 (Quadratzahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Füftel davo, d.h. 65 : 5 = 5. b) Die Magische Zahl des magische Quadrates B-C ist 30-5 = 5. c) Mit der Treppemethode vo Bachet ei magisches Quadrat B ud mit der Zylidermethode vo de la Loubère ei magisches Quadrat C erzeuge: Treppemethode vo Bachet: Zylidermethode vo de la Loubère: mal = Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

27 mal mius = (de ugerade Zahle habe die Form -) Aufgabe 4 8(8) a) Natürliche Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 33 (Dreieckszahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Neutel davo, d.h. 33 : 9 = 369. Gerade Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 8 (8+) = 664 (Rechteckzahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Neutel davo, d.h. 664 : 9 = 738. Ugerade Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 8 = 656 (Quadratzahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Neutel davo, d.h. 656 : 9 = 79. b) Die magische Zahl des magische Quadrates B-C ist = 9. Aufgabe 5 49 (49 ) a) Natürliche Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 5 (Dreieckszahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Siebetel davo, d.h. 5 : 7 = 75. Gerade Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 49 (49+) = 450 (Rechteckzahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Siebetel davo, d.h. 450 : 7 = 350. Ugerade Zahle: Die Gesamtsumme beträgt = 49 = 40 (Quadratzahl). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Siebetel davo, d.h. 40 : 7 = 343. b) Die magische Zahl des magische Quadrates B-C ist = 7. Aufgabe 6 a) Zuerst das gegebee Muster i eiem 88-Gitter zetralsymmetrisch aorde. Da die weisse Felder vo obe liks ach ute rechts ud aschliessed die blaue Felder rückwärts vo ute rechts ach obe liks durchummeriere. Ud fertig ist das ormale magische Quadrat achter Ordug. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

28 b) Ei ormales magisches Quadrat der Ordug 8 ethält die atürliche Zahle vo bis 64. Die magische Zahl lässt sich bereche als die Gesamtladug des magische Quadrats geteilt durch die Azahl Zeile bzw. Spalte. Die Gesamtladug beträgt ach Gauss 64 mal 65 geteilt durch = 080. Diese Gesamtladug geteilt durch 8 = 60. Die magische Zahl dieses ormale magische Quadrats der Ordug 8 heisst 60. Aufgabe 7 Gemäss dem Jaia-Recheschema gilt 50 = a+b, was mit a, b N eie diophatische Gleichug darstellt ud folgede Lösuge aufweist: Lösuge: ) ) 3) 4) 5) 6) 7) a b We b, a+b, a+b ud/oder 3a+b Vielfache xa vo a sid mit x,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, da gibt es im etstehede magische Quadrat je zwei gleiche Zahle. Die vier Lösuge (ohe Zahleverdoppeluge) laute: Lösug ) a = 7, b = 3 Lösug 4) a = 4, b = Lösug 5) a = 3, b = Lösug 6) a =, b = Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

29 Lösug 7) a =, b = Die ausgeschlossee «Lösuge» (weil Zahle mehrfach vorkomme) laute: Lösug ) a = 6, b = 4; b = 4a, a+b = 5a, a+b = 6a, 3a+b = 7a «Lösug» 3) a = 5, b = 45 b = 9a, a+b = 0a, a+b = a, 3a+b = a, Aufgabe 8 a) A = ugerade Zahle: Die Gesamtsumme beträgt 9 = 8 (= Quadratzahl als Summe der aufeiaderfolgede eu erste ugerade Zahle). B = gerade Zahle: Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Drittel davo, d.h. 8 : 3 = 7. Die Gesamtsumme beträgt 9(9+) = 90 (= Rechteckzahl als Summe der aufeiaderfolgede eu erste gerade Zahle). Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Drittel davo, d.h. 90 : 3 = 30. ( ) C = Folge mit Startzahl (= a) ud Additioszahl 3 (= b): a b Die Gesamtsumme beträgt 376. Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Drittel davo, d.h. 376 : 4 = 94. b) Mit der Treppemethode vo Bachet ei icht-ormales magisches Quadrat des Typs A ud mit der Zylidermethode vo de la Loubère ei icht-ormales magisches Quadrat des Typs C erzeuge: Typ A ugerade Zahle Treppemethode vo Bachet: Über die Grudform: (mal ) Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

30 Oder direkt: Kotrolle: Typ B gerade Zahle Zylidermethode vo de la Loubère: Über die Grudform: mal Oder direkt: Kotrolle: Typ C Diagoalemethode: c) Allgemei: Umrechug eies magische Quadrates der Ordug 3 mit der magische Zahl M i ei magisches Quadrat der Ordug 3 mit der magische Zahl M = Mx + 3y. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

31 a b c d e f g h i Magische Zahl M = Gesamtladug geteilt durch Ordug = (a+b+c+d+e+f+g+h+i) : 3 = Zeile- bzw. Spalte- bzw. Diagoalesumme Mꞌ = ax+y + b x+y + c x+y + d x+y + e x+y + f x+y + g x+y + h x+y + i x+y = ax + b x + c x + d x + e x + f x + g x + h x + i x + 9y = [x(a+b+c+d+e+f+g+h+i) + 9y] : 3 = [x(a+b+c+d+e+f+g+h+i)] : 3 + 9y : 3 = Mx + 3y Mꞌ = Mx + 3y Typ A: Die diophatische Gleichug 7x + 3y = hat folgede Lösuge, vo dee die durchgestrichee zu egative oder gleiche Werte i de magische Quadrate führe (siehe ute): x y Je die zwei mit Pfeile verbudee Lösuge sid idetisch (kogruet: Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute). Es folge die magische Quadrate, die die Bediguge erfülle (die durchgestrichee ethalte egative oder gleiche Werte ud werde deshalb ausgeschlosse): x=-6, y=00: Mal -6 plus 00 x=-5, y=9: Mal -5 plus 9 x=-4, y=8: Mal -4 plus x=-3, y=73: Mal -3 plus 73 x=-, y=64: Mal - plus 64 x=-, y=55: Mal - plus x=0, y=46: Mal 0 plus 46 x=, y=37: Mal plus 37 x=, y=8: Mal plus Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

32 x=3, y=9: Mal 3 plus 9 x=4, y=0: Mal 4 plus 0 x=5, y=: Mal 5 plus x=6, y=-8: Mal 6 mius Typ B: Die diophatische Gleichug 30x + 3y = hat folgede Lösuge, vo dee die durchgestrichee zu egative oder gleiche Werte i de magische Quadrate führe (siehe ute): x y Je die zwei mit Pfeile verbudee Lösuge sid idetisch (kogruet: Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute). Es folge die magische Quadrate, die die Bediguge erfülle (die durchgestrichee ethalte egative oder gleiche Werte ud werde deshalb ausgeschlosse): x=-6, y=06: Mal -6 plus 06 x=-5, y=96: Mal -5 plus 96 x=-4, y=86: Mal -4 plus x=-3, y=76: Mal -3 plus 76 x=-, y=66: Mal - plus 66 x=-, y=56: Mal - plus Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

33 x=0, y=46: Mal 0 plus 46 x=, y=36: Mal plus 36 x=, y=6: Mal plus x=3, y=6: Mal 3 plus 6 x=4, y=6: Mal 4 plus 6 x=5, y=-4: Mal 5 mius x=6, y=-4: Mal 6 mius Typ C: Allgemei: Umrechug eies magische Quadrates der Ordug 4 mit der magische Zahl M i ei magisches Quadrat der Ordug 4 mit der magische Zahl Mx + 4y. a b c d e f g h i j k l m o p Magische Zahl M=(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m++o+p) : 4 = Zeile- bzw. Spalte- bzw. Diagoalesumme Mꞌ = ax+y + b x+y + c x+y + d x+y + e x+y + f x+y + g x+y + h x+y + i x+y + j x+y + k x+y + l x+y + m x+y + x+y + o x+y + p x+y = ax + b x + c x + d x + e x + f x + g x + h x + i x + j x + k x + l x + m x + x + o x + p x + 9y = [x(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m++o+p) + 6y] : 4 = [x(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m++o+p)] : 4 + 6y : 4 = Mx + 4y Mꞌ = Mx + 4y Die diophatische Gleichug 94x + 4y = hat folgede Lösuge, vo dee die durchgestrichee zu egative oder gleiche Werte i de magische Quadrate führe (siehe ute): x -3-3 y Die beide mit dem Pfeil verbudee Lösuge sid idetisch (kogruet: Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute). Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

34 Es folge die magische Quadrate, die die Bediguge erfülle (die durchgestrichee ethalte egative oder gleiche Werte ud werde deshalb ausgeschlosse): x=-3, y=05: Mal -3 plus 05 x=-, y=58: Mal - plus 58 x=, y=: Mal plus x=3, y=-36: Mal 3 mius Aufgabe 9 a) A = Dreierzahle: Die Gesamtladug beträgt 3( ) = ach Gauss: 3 (90): = 35. B = Viererzahle: Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Drittel davo, d.h. 35 : 3 = 45. Die Gesamtladug beträgt 4( ) = ach Gauss: 4 (90): = 80. Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Drittel davo, d.h. 80 : 3 = 60. ( ) C = Folge mit Startzahl (= a) ud Additioszahl 4 (= b): a b Die Gesamtladug beträgt 6 + 4(56): = 496. Die magische Zahl ist eie Spalte bzw. eie Zeile, also ei Viertel davo, d.h. 496 : 4 = 4. b) Mit der Treppemethode vo Bachet ei icht-ormales magisches Quadrat des Typs A, mit der Zylidermethode vo de la Loubère ei icht-ormales magisches Quadrat des Typs B ud mit der Diagoalemethode ei magisches Quadrat des Typs C erzeuge: Typ A Dreierzahle Treppemethode vo Bachet: Über die Grudform: mal Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

35 Oder direkt: Kotrolle: Typ B Viererzahle Zylidermethode vo de la Loubère: Über die Grudform: mal Oder direkt: Kotrolle: Typ C Diagoalemethode: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

36 c) Allgemei: Umrechug eies magische Quadrates der Ordug 3 mit der magische Zahl M i ei magisches Quadrat der Ordug 3 mit der magische Zahl M = Mx + 3y. a b c d e f g h i Magische Zahl M = Gesamtladug geteilt durch Ordug = (a+b+c+d+e+f+g+h+i) : 3 = Zeile- bzw. Spalte- bzw. Diagoalesumme M = ax+y + b x+y + c x+y + d x+y + e x+y + f x+y + g x+y + h x+y + i x+y = ax + b x + c x + d x + e x + f x + g x + h x + i x + 9y = [x(a+b+c+d+e+f+g+h+i) + 9y] : 3 = [x(a+b+c+d+e+f+g+h+i)] : 3 + 9y : 3 = Mx + 3y M = Mx + 3y. Typ A: Diophatische Gleichug 45x + 3y = (Zahle im magische Quadrat N 0): x y Es gibt folgede acht Lösuge, wovo je zwei (die mit Pfeile verbudee) kogruet sid (Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute): x=-5, y=3: Mal -5 plus 3 x=-4, y=08: Mal -4 plus 08 x=-3, y=93: Mal -3 plus x=-, y=78: Mal - plus 78 x=-, y=63: Mal - plus 63 x=0, y=48: Mal 0 plus x=, y=33: Mal plus 33 x=, y=8: Mal plus 8 x=3, y=3: Mal 3 plus Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

37 x=4, y=-: Mal 4 mius x=5, y=-7: Mal 5 mius Typ B: Diophatische Gleichug 60x + 3y = (Zahle im magische Quadrat N 0): x y Es gibt folgede sechs Lösuge, wovo je zwei (die mit Pfeile verbudee) kogruet sid (Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute): x=-4, y=8: Mal -4 plus 8 x=-3, y=08: Mal - plus 08 x=-, y=88: Mal - plus x=-, y=68: Mal - plus 68 x=0, y=48: Mal 0 plus 48 x=, y=8: Mal plus x=, y=8: Mal plus 8 x=3, y=-: Mal 3 mius x=4, y=-3: Mal 4 mius Typ C: Allgemei: Umrechug eies magische Quadrates der Ordug 4 mit der magische Zahl M i ei magisches Quadrat der Ordug 4 mit der magische Zahl M = Mx + 4y. a b c d e f g h i j k l m o p Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

38 Magische Zahl M = (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m++o+p) : 4 = Zeile- bzw. Spalte- bzw. Diagoalesumme M = ax+y + b x+y + c x+y + d x+y + e x+y + f x+y + g x+y + h x+y + i x+y + j x+y + k x+y + l x+y + m x+y + x+y + o x+y + p x+y = ax + b x + c x + d x + e x + f x + g x + h x + i x + j x + k x + l x + m x + x + o x + p x + 9y = [x(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m++o+p) + 6y] : 4 = [x(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m++o+p)] : 4 + 6y : 4 = Mx + 4y M = Mx + 4y. Diophatische Gleichug 4x + 4y = (Zahle im magische Quadrat N 0): x y Es gibt folgede zwei Lösuge, die aber kogruet sid (Drehuge der magische Quadrate um 80 Grad, siehe ute): x=-, y=98: Mal - plus 98 x=-, y=67: Mal - plus 67 x=0, y=36: Mal 0 plus x=, y=5: Mal plus 5 x=, y=-6: Mal mius Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

39 Aufgabe zum Kapitel Übuge zum Thema «Figurierte Zahle» (S ) Aufgabe Alle Persoe bilde eie Kreis. Perso stösst mit alle adere Persoe a, was (-)- mal kligt. Da hat die Perso mit alle agestosse ud ka aus dem Kreis gehe. Es folgt die Perso, die ihr Glas (-)-mal zum Klige brigt usw., bis alle Persoe agestosse habe. Total klige die Gläser (-)+(-)+(-3) = (ach der Summeformel vo Gauss) ( ) ( ) ( ) -mal bzw. werde bei der Begrüssug Häde gedrückt. Auf das gleiche Ergebis kommt ma, we ma die Frage wie folgt kombiatorisch beatwortet: Wie viele Paare ka ma aus Persoe bilde? Diese Frage lässt sich mit eier Kombiatio ohe Wiederholug wie folgt beatworte: Die Azahl Paare aus Persoe beträgt! ( ) ( )... ( ).! ( )! ( )... Aufgabe a) Die 7. Kartehaus-Dreieckszahl KD 7 weist 84 Karte auf. Diese Zahl ergibt sich aus der siebete Dreieckszahl D 7, die der Azahl der kleie Dreiecke etspricht, mal die drei Seite der Dreiecke. Die Azahl der kleie Dreiecke, die auf eier Seite ud icht auf der ( ) 7(7 ) Spitze stehe, beträgt ach der Summeformel vo Gauss 8 mal drei gleich 84. Ud we die 7 auf dem Tisch liegede Karte (die Basisstrecke) icht mitgezählt werde, sid es 77 Karte. Prüfe wir das zähled ach: = 7 Ja es stimmt, die 7-te Kartehaus-Dreieckszahl besteht aus 84 Karte mius die 7 auf dem Tisch liegede Karte gleich 77 Karte. 3( ) b) Die -te Kartehaus-Dreieckszahl besteht aus Karte (Strecke). Ohe die Karte (Strecke) auf dem Tisch (auf der Basisliie) macht das: 3( ) 3 (3 ) Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

40 c) Das -te Dreiecks-Parkett besteht aus Dreiecksfliese (Summe der ugerade Zahle vo obe zeileweise ach ute gezählt: = ). Aufgabe 3 a) 5 Dreieckszahl? Rechteckzahl? ,, 4 ( 450) 80 4,4389 0,7909 N IN 5 Quadratzahl? = 5; =? ( 5) 90 30,0666 4,50833 N IN 5 ist keie Dreieckszahl. 5 ist keie Rechteckzahl. 5 ist die 5. Quadratzahl. b) 3 Dreieckszahl? 3 Rechteckzahl? 3 Quadratzahl? = 3; =?,, N IN IN N 4 ( 46) 4 ( 3) 3 ist die. Dreieckszahl. 3 ist keie Rechteckzahl, de sie ist ugerade ud ist keie atürliche Zahl. 3 5,9868 N IN 3 ist keie Quadratzahl. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

41 c) 0 Dreieckszahl? Rechteckzahl? ,, ( 40) 4 ( 0) 0 ist die 0. Dreieckszahl. 0 ist die 4. Rechteckzahl. 0 Quadratzahl? = 0; =? 0 4,4937 N IN 0 ist keie Quadratzahl. a) 5 ist die 5. Quadratzahl, b) 3 ist die. Dreieckszahl. c) 0 ist die 0. Dreieckszahl ud auch die 4. Rechteckzahl. Aufgabe 4 a) Die siebete zetrierte Füfeckzahl heisst = 06 Weitere Werte: zf =, zf =6, zf 3=6, zf 4=3, zf 5=5, zf 6=76, zf 7=06, zf 8=4, zf 9=8, zf 0=6, zf =76, zf =33, zf 3=39, zf 4=456, zf 5=56, zf 6=60, zf 7=68, zf 8=766, zf 9=865, zf 0=96 b) Die -te zetrierte Füfeckzahl zf ist zusammegesetzt aus 5 (-)-te Dreieckszahle D - plus. zf = 5 D - + 5( ) ( ) 5( ) Aufgabe 5 Die 4. ausgehöhlte Dreieckszahl ad 4 etspricht der 4. Dreieckszahl D 4 weiger der erste D, D 4 mius D. Das heisst mit Hilfe der Summeformel vo Gauss formuliert: 4 (4 ) ( ) 9 Nu setzt ma für die Zahl vier die Variable ei ud verallgemeiert die Berechug wie folgt zur Formel: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

42 ( ) ( 3) ( 3) Diese Formel gilt für alle N, ausser für =! (3 3) 3 3 3( ) 3 6 Aufgabe 6 a) Ja, es stimmt: D + D + Q = D 4 ud D 4 + D 4 + Q 4 = D 8, wie die Veraschaulichug zeigt: D Q D Q D 4 Q 4 D 4 Q 4 b) D D Q ( ) ( ) 4 ( ) D Aufgabe 7 a) K 5 = 65, K 6 = 93, K 7 = 6, K 8 = 64 b) K ( ) 4 ( ) 4 5 (5 ) Aufgabe 8 Die 4. ausgehöhlte Quadratzahl aq 4 etspricht der 4. Quadratzahl Q 4 mius der erste Dreieckzahl D, Q 4 D. Das heisst mithilfe der Summeformel vo Gauss formuliert: 4 5 Nu verallgemeiert ma die Berechug wie folgt zur Formel: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

43 ( 3)( ) 3 6 ( 5 6) Diese Formel gilt für alle N, ausser für =! Aufgabe 9 a) b).. 6-te 7-te S 7üu= S 7üu = 5 5 S 7üu = S 7üu = S 7üu = (-)-te -te S üu= S üu= S üu = (4-) (4-) (4-) (4-) S üu= (4 ) ( ) S üu = ( ) Aufgabe 0 a).. 6-te 7-te S +5 = S +5 = S +5 = S +5 = S +5 = 9 7 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

44 b).. (-)-te -te S +5 = S +5 = S +5 = (5-) (5-) (5-) (5-) S +5 = (5 ) S +5 = (5 ) Aufgabe a) Gauss-Verfahre: Nummer S -7 = S -7 = S -7 = b) c) 8 S -7 = S -7 = 44 Nummer.. (-)-te -te S +4= S +4 = S +4= (4+8) (4+8) (4+8) (4+8) S +4 = (4 8) (4 8) ( 9) S +4= ( 9) Nummer.. (-)-te -te S+ b = a a+b... a+(-)b a+(-)b + S+ b = a+(-)b a+(-)b a+b a S+ b = a+(-)b a+(-)b a+(-)b a+(-)b S+ b = a ( ) b a ( ) b a S+ b = a ( ) b ( ) b ( ) a b Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

45 Aufgabe Es gibt kei Gitterquadrat, das mit eiem treppeförmige Schitt i zwei deckugsgleiche Dreiecke zerschitte werde ka. Begrüdug: Zuächst sei festgehalte, dass Gitter-Quadrate als Quadratzahle ud Gitter-Rechtecke als Rechteckzahle betrachtet ud utersucht werde köe. Gitter-Quadrate (Quadratzahle) mit ugerade Seiteläge köe icht gazzahlig halbiert werde, de eie ugerade Azahl Teil-Quadrätche a de Seite führt immer zu eier ugerade Azahl Teil-Quadrätche im gesamte Gitterquadrat. Formal mathematisch lässt sich diese Tatsache, dass das Quadrat eier ugerade Zahl immer eie ugerade Zahl ist, wie folgt darstelle: ( ) = = ( ) + = m + (Substitutio vo mit m). Das Quadrat eier ugerade Zahl ist eie ugerade Zahl der Form m +. Gitter-Quadrate (Quadratzahle) mit gerade Seiteläge köte im Prizip gazzahlige Hälfte aufweise, aber jeder treppeförmige Schitt, der möglichst ahe a der halbierede Diagoale ausgeführt wird (weil so eie Halbierug mit eiem treppeförmige Schitt am eheste möglich ist) teilt das Quadrat i zwei beachbarte Dreieckszahle. Umgekehrt gilt bekatlich: Die Summe zweier beachbarter Dreieckszahle ist stets eie Quadratzahl (siehe Kapitel 5..). Zwei beachbarte Dreieckszahle köe ie gleich sei, was formal mathematisch wie folgt achgewiese werde ka: ( ) Die -te Dreieckszahl hat Elemete ud die (-)-te Dreieckszahl, also die Nachbarzahl der -te Dreieckszahl hat Elemete. Diese beachbar- ( ) ( ) ( ) te Dreieckszahle köe mit eiem N icht gleich sei, wie der folgede Nachweis zeigt: ( ) ( ) N 0 0 IN, aber 0 IN 0 Weil Quadratzahle die Summe zweier beachbarter Dreieckszahle sid (siehe Kapitel 5.4.), köe sie icht mit eiem treppeförmige Schitt i zwei gleiche Dreieckszahle zerlegt werde. Weil higege Rechteckzahle die Summe zweier gleicher Dreieckszahle sid (siehe Kapitel 5.4.), köe sie mit eiem treppeförmige Schitt i zwei gleiche Dreieckszahle zerlegt werde. N Aufgabe 3 a) zq 4 = 5; zq 5 = 4; zq 6 = 6; zq 7 = 85 b) Etwicklug eier Formel zur Berechug der -te zetrierte Quadratzahl zq : Modellierug : Zerlegug i verschiede grosse Dreieckszahle D + D - + D - Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

46 Zetrierte Quadratzahl 3 (zq 3) Zetrierte Quadratzahl 4 (zq 4) Zetrierte Quadratzahl 5 (zq 5) zq D ( ) ( )(( ) ) ( )(( ) ) 4 D D 4 ( ) 4 4 ( Modellierug : Zerlegug i gleich grosse Dreieckszahle Zetrierte Quadratzahl 3 (zq 3) Zetrierte Quadratzahl 4 (zq 4) ) 3 Zetrierte Quadratzahl 5 (zq 5) zq 4D ( )(( ) ) ( ) 4( ) 4 4 ( Modellierug 3: Ieiader «verwobee» Quadrate zq = Q + Q - = + (-) = + + = + = ( ) +. c) pzq 6 = 4; pzq 7 = 55; pzq 8 = 7 ud pzq 9 = 89 ) d) Etwicklug eier Formel zur Berechug der -te partielle zetrierte Quadratzahl pzq : Modellierug : Additio zweier Dreieckszahle D mius das überlappede Elemet i der Mitte: pzq ( ) ( ) Modellierug : Zetrierte Quadratzahl mius zwei Dreieckszahle Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

47 pzq zq 3- D zq 4- D zq 5- D 3 zq ( D ( ) (( ) ) ) 3 ( ) ( ) Aufgabe 4 a) ugerade Zahle - 00, 0 = 50 es gibt 50 ugerade Zahle 00. Wie viele gibt es < 0? So viele: - < 0, < = 5 es gibt 5 ugerade Zahle < 0. Ergebis: Es gibt 50 mius 5 = 45 ugerade Zahle 00 ud 0. b) gerade Zahle 00 = 50 es gibt 50 gerade Zahle 00. Wie viele gibt es < 0? So viele: < 0 = 4 es gibt 4 gerade Zahle < 0. Ergebis: Es gibt 50 mius 4 = 46 gerade Zahle 00 ud 0. c) Dreieckszahle (+)/ 00 (+) ~ 00 = 3, de 3 (3+)/ = 9 00 es gibt 3 Dreieckszahle 00. Wie viele gibt es < 0? So viele: (+)/ < 0 (+) < 0 = 3, de 3 (3+)/ = 6 < 0 es gibt also ur 3 Dreieckszahle < 0. Ergebis: Es gibt 3 mius 3 = 0 Dreieckszahle 00 ud 0. d) Quadratzahle 00 = 0, de 0 = es gibt 0 Quadratzahle 00. Wie viele gibt es < 0? So viele: < 0 = 3, de 3 = 9 < 0 es gibt also ur 3 Quadratzahle < 0. Ergebis: Es gibt 0 mius 3 = 7 Quadratzahle 00 ud 0. e) Rechteckzahle (+) 00 = 9, de 9 (9+) = es gibt 9 Rechteckzahle 00. Wie viele gibt es < 0? So viele: (+) < 0 =, de (+) = 6 < 0 es gibt also ur Rechteckzahle < 0. Ergebis: Es gibt 9 mius = 7 Rechteckzahle 00 ud 0. Aufgabe 5 a) ss 4 = 65, ss 5 = 96, ss 6 = 33 ud ss 7 = 76 b) Etwicklug eier Formel zur Berechug der -te zetrierte Quadratzahl zq : Modellierug : Zerlegug i zwei Rechteck- ud zwei Dreieckszahle R + D + D +, was mit D + D + = Q + (zwei beachbarte Dreieckszahle ergebe addiert eie Quadratzahl) R + Q + ergibt. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

48 Schiefe Sechseckzahl (ss ) (hat aus obe erwähtem Grud die Form eies Füfecks): Schiefe Sechseckzahl (ss ): Schiefe Sechseckzahl 3 (ss 3): = 3 Modellierug symbolisch: R D D R ( ) ( ) 3 Q 4 Modellierug aschaulich: = 3 Modellierug symbolisch: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

49 Q D D ( ) ( ) c) pss 4 = 45, pss 5 = 66, pss 6 = 9 ud pss 7 = 0 d) Modellierug aschaulich: Partielle schiefe Sechseckzahl (pss ): Partielle schiefe Sechseckzahl (pss ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Partielle schiefe Sechseckzahl 3 (pss 3): = Modellierug symbolisch: 3 D Modellierug aschaulich: D ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( 3 ) Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

50 = Modellierug symbolisch: R Modellierug 3 aschaulich: D D R R R R R ( ) ( ) D Q D D 3 D R = Modellierug 3 symbolisch (mithilfe der zetrierte Sechseckzahle): Es gilt: Die -te schiefe Sechseckzahl = die (+)-te zetrierte Sechseckzahl + Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

51 6 D ( ) 6 3( ) Aufgabe 6 a) zd 6 = 46; zd 7 = 64; zd 8 = 85; zd 9 = 09 b) Etwicklug eier Formel zur Berechug der -te zetrierte Dreieckszahl zd : Modellierug : Zerlegug der -te zetrierte Dreieckszahl zd i drei ormale Dreieckszahle D -. zd = 3D - + = 3 ( ) Modellierug : Das Zetrum plus die Summe der Zuwächse bereche: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

52 zd zd zd 3 zd 4 zd 5 zd ( ) 3 (3 ) 3 (4 )... 3 ( ) ( ) 3 ( ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) c) Argumetatioe auf dem Hitergrud der Aufgabe b): 3 zd mod 3 = 3D - + mod 3 = 3D - mod 3 + mod 3 = 0 + = 3 ( ) 3 ( ) mod - mod mod mod 3 D 0 zd mod 3 = mod 3 + 3(-) mod (-) mod 3 = = d) Ja, diese Behauptuge mit de kokrete Zahle stimme: zd 4 = D 4- + D 4- + D 4-0, de 9 = ud zd 5 = D 5- + D 5- + D 5-0, de 3 = Aschaulich: zd zd zd 3 zd 4 zd Symbolisch, allgemei: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

53 zd D D D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zd (gemäss Aufgabe b) Summe acheiaderfolgeder Dreieckszahle ( ) Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

54 +0 +0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Aufgabe zum Kapitel Übuge zum Thema «Mehrlige» (S ) Aufgabe a) Behauptug: b+c+d+e+f mod 5 = a a+ a+ a+0 a+0+ a+0 Beweis: (a+)+(a+)+(a+0)+(a+0+)+(a+0) = a++a++a+0+a+0++a+0 = 5a = 5a+44 5a+44 mod 5 = 5a mod mod 5 = = 4 b) Dieses Petomio ka i der gleiche Lage (weder gedreht och gespiegelt, ur parallel verschobe) auf der Hudertertafel sowohl horizotal als auch vertikal 8 Positioe, also isgesamt 8 8 = 64 verschiedee Positioe eiehme. Aufgabe Am beste sucht ma die verschiedee Petomios bzw. die verschiedee Ausrichtuge vo Petomios, die auf der Hudertertafel je füf Zahle so abdecke, dass die Summe dieser Zahle ohe Rest durch füf teilbar sid (Füferrest = 0), mithilfe des i Kapitel 6.3. ud i Tabelle 6. dargestellte Schellverfahres. 0 0 a a+ a a+ a+ a+0 a+0+ a+0+ a+0+ a+0+ a+0 a+0+ Rest mod 5 = 0+3+ = 5 = 0 Rest mod 5 = 0+3+ = 5 = 0 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

55 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal 4 Azahl Felder mal 3 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 0 a a+ 0 a a+0+ a+0 a+0+ a+0+ a+0+ a+0+ a+0+ Rest mod 5 = 0+3+ = 5 = 0 0 a a+ Rest mod 5 = 0++4 = 5 = 0 0 a a+ a+0 a+0+ a+0+ a+0+ a+0 a+0 a+0+ a+0+ Rest mod 5 = 0++4 = 5 = 0 0 a a+ a+ Rest mod 5 = 0+3+ = 5 = a a+ a+ a+3 a+4 a+0 a+0+ a+0+ Rest mod 5 = = 0 = 0 Rest mod 5 = 0++4 = 5 = 0 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

56 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 Azahl Felder mal Azahl Felder mal Azahl Felder mal 0 0 a 0 a a+ a+0 a+0 a+0+ a+0 a+0+ a+0+ a+30 Rest mod 5 = 0+3+ = 5 = 0 Rest mod 5 = 0 = 0 0 a a+ a+ 0 5 a+ a+0 a+0+ a+0+ a+0+ a+0+ a+0 a+0+ Rest mod 5 = 0+3+ = 5 = 0 Rest mod 5 = 0+3+ = 5 = 0 0 a a+ a+0+ a+0+ a+0+ Rest mod 5 = 0+3+ = 5 = 0 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

57 Es gibt 6 verschiedee Petomios, die i eier, zwei oder vier Ausrichtuge isgesamt auf 5 verschiedee Arte je füf Zahle auf der Hudertertafel abdecke, ud diese je füf Zahle weise Summe auf, die alle de Füferrest 0 habe. Die folgede Aufgabe sid z.t. wörtlich überomme aus Sprecher (004) ud aus Novak (006): Aufgabe 3 Ma deke sich das zu erzeugede 45- bzw. 0-Rechteck ud die füf Tetromios als Teile eies Schachbretts. Die Rechtecke weise 0 blaue ud 0 weisse Quadrätche auf, higege die Tetromios isgesamt blaue ud 9 weisse bzw. weisse ud 9 blaue. Deshalb wird es icht möglich sei, mit de füf Tetromios ei 45- bzw. ei 0-Rechteck zu parkettiere. A B C D E A B C D E A B C D E Wie auch immer die vier erste Tetromios A bis D gefärbt sid bzw. ob ma A oder A, B oder B, C oder C, D oder D wählt, hat ma je zwei blaue ud zwei weisse Felder dabei, also isgesamt 8 blaue ud 8 weisse. Nur das Tetromio E gibt es als E mit drei blaue ud eiem weisse Feld ud als E mit eiem blaue ud drei weisse Felder. Die Gesamtazahl der blaue ud der weisse Felder hägt also ur vom Tetromio E ab. So wird klar, dass es zahlemässig ur die zwei Möglichkeite gibt: 9 blaue ud weisse oder blaue ud 9 weisse Felder. Beide Möglichkeite stimme mit de Färbuge der beide Rechtecke icht überei. Deshalb ist es icht möglich, mit de füf Tetromios ei 45- bzw. ei 0-Rechteck zu parkettiere. Aufgabe 4 Ja, diese beide Rechtecke 85 ud 40 köe parkettiert werde, was mit folgeder Färbug der füf Tetromios sichtbar wird: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

58 Je ei Tetromio vo liks ud vo rechts köe so kombiiert werde, dass die Parkettierug geligt, de die blaue ud die weisse Felder gleiche sich aus. Für die Begrüdug spielt, wie i Aufgabe 3, das T-Tetromio die etscheidede Rolle. Da u hier zwei T-Tetromios eigesetzt werde dürfe, eies mit drei blaue ud eiem weisse Feld ud eies mit eiem blaue ud drei weisse Felder, werde die Azahle der blaue ud der weisse Felder ausgegliche. Aufgabe 5 Das 00-Schachbrett hat 50 weisse ud 50 blaue Felder. Jedes T-Tetromio bedeckt oder 3 weisse Felder. Gibt es T-Tetromios, die weisses Feld bedecke, so gibt es (5-) T-Tetromios, die 3 weisse Felder bedecke. Isgesamt werde also +3(5-) = = 75- weisse Felder bedeckt. Es gibt aber kei IN, für das gilt: 75- = 50, de ist eie gerade Zahl, 75 mius eie gerade Zahl gibt eie ugerade Zahl ud 50 ist keie ugerade Zahl. Damit ist bewiese, dass das 00-Schachbrett icht mit 5 T-Tetromios parkettiert werde ka. Aufgabe 6 Mit de Petomios köe folgede vier Rechtecke parkettiert werde: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

59 Es gibt isgesamt 339 Lösuge für das 60-Rechteck (hier 6 davo) ( [ ], ma beachte zum 60-Rechteck das Applet vo B. Berchtold im Schlussteil der Website). Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

60 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

61 Für das 30-Rechteck gibt es Lösuge, für das 45-Rechteck 368 ud für das 5- Rechteck 00 Lösuge ( [ ]). Aufgabe 7 Ageomme, es gibt ei Rechteck aus alle Hexomios. Da färbt ma die Quadrate des Rechtecks abwechseld ud erhält 05 weisse ud 05 blaue Quadrate: 0 Adererseits ka ma auch die Hexomios etspreched färbe: 4 «ugrade» Hexomios «gerade» Hexomios So etstehe 4 «ugerade» Hexomios mit drei blaue ud drei weisse Quadrate ud «gerade» Hexomios mit vier blaue ud zwei weisse Quadrate. Zwei blaue ud vier weisse Quadrate wäre auch möglich. Doch i beide Fälle gelagt ma zu eier gerade Azahl gefärbter Quadrate: = 6 oder = 94. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

62 Also ergibt sich ei Widerspruch. 05 ist ugerade. Die Azahl aller gefärbte Quadrate i eier Figur ist immer gerade. Ergebis: Ei Rechteck 0 ka mit de 35 Hexomios icht parkettiert werde. Auf die gleiche Weise ka ma sich klar mache, dass es adere Rechtecke wie 45 oder 635 als Parkettieruge mit de 35 Hexomios icht gebe ka. Aufgabe 8 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

63 Iduktive Herleitug der Streichholzvierlige: Aus dem Eilig die zwei Zwillige, aus diese die füf Drillige A, B, D, E ud G ud aus diese die sechzeh Vierlige uter A, B, C, D, E, F ud G. Die deckugsgleiche (kogruete) Mehrfachexemplare sid diagoal durchgestriche. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

64 Aufgabe zum Kapitel Übuge zum Thema «Reche mit Divisiosreste» (modulo) (S. 0 04) Aufgabe a) Nei, de die Quersumme bzw. der Neuerrest aller Zifferkarte beträgt = 7 = 0 ud der Neuerrest der zu erreichede Zahl 50 beträgt 8. Deshalb gibt es keie aus de agegebee Zifferkarte gebildete dreistellige Zahle, die zusammegezählt 50 ergebe würde. b) Die kleiste Summe beträgt 396, de die zwei kleiste Zifferkarte ( ud ) müsse Huderter sei, die mittlere zwei (3 ud 5) Zeher ud die grösste (7 ud 9) Eier Die grösste Summe beträgt 683, de die zwei kleiste Zifferkarte ( ud ) müsse Eier sei, die mittlere zwei (3 ud 5) Zeher ud die grösste (7 ud 9) Huderter c) Mit folgede Kombiatioe aus sechs der eu Zifferkarte lasse sich ohe Wiederholug sicher keie je zwei dreistellige Zahle bilde, die zusammegezählt 666 ergebe. De der Neuerrest der Zahl 666 beträgt 0 ud die Neuerreste der aufgelistete Kombiatioe sid alle grösser als 0. Kombiatio Neuerrest Kombiatio Neuerrest Kombiatio Neuerrest Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

65 Zusätzlich ka die Summe 666 aus zwei dreistellige Summade auch mit eier Nuller- Quersumme der sechs Ziffer icht erreicht werde, we die miimale Summe grösser oder die maximale kleier ist als kleiste Summe grösste Summe kleiste Summe grösste Summe kleiste Summe grösste Summe kleiste Summe grösste Summe kleiste Summe grösste Summe kleiste Summe grösste Summe kleiste Summe grösste Summe kleiste Summe grösste Summe Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

66 46789 kleiste Summe grösste Summe kleiste Summe grösste Summe So köte auch mit de Kombiatioe 56789, ud die 666 icht erreicht werde, de 666 ist kleier als die kleiste Summe. Im Gegesatz dazu köe aus de Zifferkarte,,3,5,7,9 zwei dreistellige Zahle gebildet werde, die zusammegezählt die Summe 666 ergebe, zum Beispiel: Neuerrest = 0 Aufgabe Es gilt: 0 0 ( geteilt durch 7 lässt de Rest, modulo 7 = ) 0 3 (0 geteilt durch 7 lässt de Rest 3, 0 modulo 7 = 3) 0 (00 geteilt durch 7 lässt de Rest, 00 modulo 7 = ) (000 geteilt durch 7 lässt de Rest 6, 000 modulo 7 = 6) a) Die Zahl mit der Zifferfolge x00x hat folgede Aufbau: x x 0 0 setzt ma die Reste der etsprechede Stufezahl ei, erhält ma: (x 6)+(0 )+(0 3)+(x ) = (6 x)+( x) = 7 x. Eie solche Zahl ist immer durch 7 teilbar. Zweite Erklärug: x00x = x 00 = x Eie solche Zahl ist immer durch 7 teilbar. b) Die Zahl mit der Zifferfolge x77x hat folgede Aufbau: x x 0 0 setzt ma die Reste der etsprechede Stufezahl ei, erhält ma: (x 6)+(7 )+(7 3)+(x ) = (6 x)+(7 )+(7 3)+( x) = (7 x)+(7 )+(7 3) = 7 (x++3). Eie solche Zahl ist immer durch 7 teilbar. Aufgabe 3 a) Neuerrest vo 359 = 8, Neuerrest vo 68 = 6, Neuerrest vo 47 = 4; Neuerrest vo = Neuerrest vo 774 = 0, Neuerrest vo = 0. Der Neuerrest der Summe der Neuerreste der drei dreistellige Summade 359, 68 ud 47 ist also gleich dem Neuerrest der Summe dieser drei dreistellige Zahle. b) Im Zehersystem heisse die Stufezahle 0 0 =, 0 =0, 0 =00, 0 3 =000 etc. Weil all diese Stufezahle 0 bei der Divisio durch 9 de Rest lasse, gilt k 0 lässt bei Divisio durch 9 de Rest k. Somit sid all die Ziffer a, b, c, d, e, f, g, h, i i der Stellewerttafel Neuerreste. Das wiederum bedeutet, dass z.b. die Zahl a0 + b0 + c0 0 bei der Divisio durch 9 de Rest a+b+c lässt. Ebeso gilt: Neuerrest vo d0 + e0 + f0 0 = d+e+f ud Neuerrest vo g0 + h0 + i0 0 = g+h+i. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

67 Der Neuerrest vo alle drei Summade (a0 + b0 + c0 0 ) + (d0 + e0 + f0 0 ) + (g0 + h0 + i0 0 ) = a+b+c+d+e+f+g+h+i. Ud auch der Neuerrest vo (a+d+g)0 + (b+e+h)0 + (c+f+i)0 0 = a+b+c+d+e+f+g+h+i: Neuerrest Huderter Zeher Eier a b c a+b+c d e f d+e+f g h i g+h+i a+d+g b+e+h c+f+i a+b+c+d+e+f+g+h+i c) Alle Ziffer x aus dem Zahlsystem mit der Basis b lasse bei Divisio durch b- de Rest x, (b ) x a (b ) a (b )... a (b ) x b x de b b Rest x = x. Die Ziffer x bedeutet ja x b. Dies lässt sich besser verstehe mit kokrete : = : b Allgemeie biomische Formel hoch : (a + b) = a + ab + b Mit a = (b-) ud b = : = 3: x b x b (b ) x (b ) (b ) b b lässt de Rest = x = x, de alle adere Summade zwische de eckige Klammer im Zähler lasse sich ohe Rest durch (b-) dividiere. Allgemeie biomische Formel hoch 3: (a + b) 3 = a 3 + 3ab + 3a b + b 3 Mit a = (b-) ud b = : = 4: -: : 3 x b x b (b ) x (b ) 3 (b ) 3 (b ) b b Rest = x 3 = x, de alle adere Summade zwische de eckige Klammer im Zähler lasse sich ohe Rest durch (b-) dividiere. x b x b (b ) x a (b ) a (b )... a (b ) b b Rest = x - = x, de alle adere Summade zwische de eckige Klammer im Zähler lasse sich ohe Rest durch (b-) dividiere. x b x b (b ) x a (b ) a (b )... a (b ) b b Rest = x = x, de alle adere Summade zwische de eckige Klammer im Zähler lasse sich ohe Rest durch (b-) dividiere. Die Divisio der dreistellige Zahl xyz = x b +y b +z b 0 durch b- führt also zum Rest x+y+z Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

68 x b y b z b b lässt de Rest x+y+z. 0 x x x b y b b b b y b b b x b x y b b z y z y z Aufgabe 4 a) Weil die Summe der eu Zifferkarte 36 beträgt, was als Quersumme 3+6=9 ergibt, ud das etspricht dem Neuerrest 0. b) Nimmt ma die Zifferkarte 4 weg, ergibt sich als Summe der verbleibede Zifferkarte 36-4=3, was mit der Quersumme 3+ dem Neuerrest 5 etspricht. c) Es gibt zwei Lösuge: Nimmt ma die Zifferkarte 3 weg, ergibt sich als Summe der verbleibede Zifferkarte 36-3=33, was mit der Quersumme 3+3 dem Neuerrest 6 etspricht, der durch 3, aber icht durch 9 teilbar ist. Nimmt ma die Zifferkarte 6 weg, ergibt sich als Summe der verbleibede Zifferkarte 36-6=30, was mit der Quersumme 3+0 dem Neuerrest 3 etspricht, der durch 3, aber icht durch 9 teilbar ist. Aufgabe 5 a) Berechet ma de Gesamtrest, fällt Folgedes auf: a 5 + b 4 + c 6 a + b 3 + c a 7 + b 7 + c 7 7 (a + b + c) Wie auch immer a, b ud c gewählt werde, der Faktor 7 ist i der Zahl mit der Zifferfolge abcabc immer ethalte. b) Die Zahl mit der Zifferfolge abccba (a, b, c N 0) ist immer ohe Rest durch teilbar, de sie hat folgede Aufbau: a b c c 0 + b 0 + a 0 0 Weiter gilt: 0 0 geteilt durch lässt de Rest 0 geteilt durch lässt de Rest 0 0 geteilt durch lässt de Rest 0 3 geteilt durch lässt de Rest geteilt durch lässt de Rest 0 5 geteilt durch lässt de Rest 0 Berechet ma de Gesamtrest, fällt Folgedes auf: a 0 + b + c 0 a + b 0 + c a + b + c (a + b + c) Wie auch immer a, b ud c gewählt werde, der Faktor ist i der Zahl mit der Zifferfolge abccba immer ethalte. Somit ist jede Zahl mit dieser Zifferfolge durch teilbar. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

69 Aufgabe 6 a) Nei, diese Tabelle ethält icht alle dreistellige Zahle, die mit de eu Zifferkarte,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ud 9 (jede Karte ist ur eimal vorhade) gebildet werde köe. Diese «Besetrios»: müsse och mal 3! gerechet werde, de jedes «Besetrio» ka auf 3! = 6 verschiedee Arte ageordet werde. Also isgesamt 84 6 = 504 verschiedee Zahle. Oder aders überlegt: Drei Plätze, 9 verschiedee Ziffer für de erste Platz, 8 für de zweite ud 7 für de dritte Platz, gibt isgesamt = 504. b) A sich ja, de die Summe der Zifferkarte beträgt 45, was eiem Neuerrest vo 0 etspricht, ud auch die Zahl 747 weist eie Neuerrest vo 0 auf. Aber die Zahl 747 ist zu klei, de die kleistmögliche Summe vo drei dreistellige Zahle aus de Zifferkarte,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ud 9 ist Die kleiste Ziffer,, 3 müsse die Huderter sei, die mittlere 4, 5, 6 die Zeher ud die grösste 7, 8, 9 die Eier. c) Je drei Ziffer, die die Summe 9 oder 8 ergebe, bilde dreistellige Zahle, dere Neuerrest 0 ist. Das trifft für folgede Zahle ud ihre Permutatioe zu Das ergibt also isgesamt 0 3! = 0 6 = 60 Zahle, die durch 9 geteilt werde köe. Aufgabe 7 Nei! Die Quersumme bzw. der Neuerrest aller Zifferkarte beträgt zwar = 7 = 0 ud der Neuerrest der zu erreichede Zahl 69 beträgt auch 0. Vo de Neuerreste her würde es also gehe. Aber 69 liegt ausserhalb des Bereichs der erreichbare Summe. Die grösste Summe beträgt 683, de die zwei kleiste Zifferkarte ( ud ) müsse Eier sei, die mittlere zwei (3 ud 5) Zeher ud die grösste (7 ud 9) Huderter. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

70 Aufgabe 8 a) Die füfstellige Zahl mit der Zifferfolge xy0xy hat folgede Aufbau: x 0 4 +y x 0 +y 0 0. Setzt ma die Reste der etsprechede Stufezahle ei, erhält ma: (x 3)+(y )+(0 9)+(x 0)+(y ) = 3x+3y = 3(x+y). Eie solche Zahl ist immer ohe Rest durch 3 teilbar. b) Für die folgede vier Plätze 0 gibt es für de Zehtauseder 9 Möglichkeite (die Null icht, sost wäre es keie füfstellige Zahl mehr), für de Tauseder 0 Möglichkeite (die Ziffer x ud y dürfe auch gleich sei), für de Huderter die bereits gesetzte Null, also Möglichkeit, für de Zeher auch Möglichkeit (die Ziffer, die für de Zehtauseder bereits gesetzt ist) ud och Möglichkeit für de Eier (der als Tauseder bereits gesetzt ist). Also isgesamt gibt es 9 0 = 90 mögliche füfstellige Zahle mit der Zifferfolge xy0xy. Aufgabe 9 Ma muss gar icht erst mit Ausprobiere begie, de es geht icht. Der Neuerrest der Zifferkarte ( ) mod 9 = 0 ist zwar gleich wie der Neuerrest der Summe 646, aber die grösste Summe, die ma aus de eu Zifferkarte bilde ka, beträgt Weil die gesuchte Summe 646 grösser als diese grösstmögliche Summe, geht es icht. Aufgabe 0 a) Lösugsweg : a b 0 + a 0 + b 0 0 = a a 0 + b 0 + b 0 0 = a ( ) + b ( ) = a 00 + b 0 = 0 (0a + b). Eie Zahl dieser Form ist immer durch 0 teilbar. Lösugsweg : a b 0 + a 0 + b 0 0 a 0 3 b 0 a 0 b mod 0 = 9 a a 0 b 0 + b mod 0 = 00 0 mod 0 = 0 9a + 0a = 0a 00b + b = 0 b Eie Zahl dieser Form ist immer durch 0 teilbar! 0a + 0b = 0 (a+b) 0 0 mod 0 = b) Lösugsweg : a b a b 0 + a 0 + b 0 0 = a a a 0 + b b 0 + b 0 0 = a ( ) + b ( ) = a b 0 0 = 0 0 (0a + b). Lösugsweg : a b a b 0 + a 0 + b 0 0 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

71 a 0 5 b 0 4 a 0 3 b 0 a 0 b mod 0 0 = mod 0 0 = mod 0 0 = mod 0 0 = 00 0 mod 0 0 = mod 0 0 = a a a 0 909a + 000a + 0a = 0 0a b b 0 + b b + 00b + b = 0 0b Eie Zahl dieser Form ist immer durch 0 0 teilbar! 0 0a + 0 0b = 0 0 (a+b) Weil die uter b) aufgelistete Teiler alles Teiler vo 0 0 sid, sid sie immer auch Teiler eier Zahl mit der Zifferfolge ababab. Teilermege (0 0) = {, 3, 7, 3,, 37, 39, 9,, 59, 73, 48, 777, 3, 3367, 0} Aufgabe a) Es sid vier Plätze gegebe. Für de erste Platz gibt es 9 Möglichkeite (die 0 Ziffer ohe die 0), für de zweite Platz gibt es 0 Möglichkeite (alle 0 Ziffer). Der dritte Platz ethält die gleiche Ziffer wie der zweite Platz, es gibt also ur eie Möglichkeit. Der vierte Platz ist gleich belegt wie der erste, es gibt also auch ur eie Möglichkeit. Das ergibt 9 0 = 90 verschiedee abba-zahle. b) Lösugsweg : a b 0 + b 0 + a 0 0 = a a b 0 + b 0 = a ( ) + b (0 + 0 ) = a 00 + b 0 = (9a + 0b). Eie Zahl dieser Form ist immer durch teilbar. Lösugsweg : a b 0 + b 0 + a 0 0 a 0 3 b 0 b 0 a mod = 0 0 mod = 0b + b = b 0a + a = a 0 mod = 0 a + b = (a+b) Eie Zahl dieser Form ist immer durch teilbar! 0 0 mod = c) Erklärug, weshalb mit an alle vierstellige Zahle mit der Zifferfolge a00a (z.b. 3003) ud a77a (z.b. 5775) ohe Rest durch 7 teilbar sid: Es gilt: 0 0 ( geteilt durch 7 lässt de Rest ) 0 3 (0 geteilt durch 7 lässt de Rest 3) 0 (00 geteilt durch 7 lässt de Rest ) (000 geteilt durch 7 lässt de Rest 6) Die Zahl mit der Zifferfolge a00a hat folgede Aufbau: a a 0 0 setzt ma die Reste der etsprechede Stufezahl ei, erhält ma de Gesamtrest a a = 6 a+ a = 7 a. Eie solche Zahl ist immer durch 7 teilbar. Zweite Erklärug: a00a = a a 0 0 = a a 0 0 = a (000 + ) = a 00 = a Eie solche Zahl ist immer durch 7 teilbar. Die Zahl mit der Zifferfolge a77a hat folgede Aufbau: a a 0 0 setzt ma die Reste der etsprechede Stufezahl ei, erhält ma: a a = 6 a a = 7 a = 7 (a++3). Eie solche Zahl ist immer durch 7 Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

72 teilbar. Zweite Erklärug: a77a = a a 0 0 = a a (00 + 0)= a (000 + ) = a = a = 7 (a ). Eie solche Zahl ist immer durch 7 teilbar. Somit sid vierstellige Zahle mit de Zifferfolge a00a ud a77a immer durch (Atwort zu b)) ud durch 7, also isgesamt durch 7 = 77 teilbar. d) Nei! Die Quersumme bzw. der Neuerrest aller Zifferkarte beträgt zwar = 3 = 5 ud der Neuerrest der zu erzeugede Summe 4334 beträgt 5. Vo de Neuerreste her würde es also gehe. Aber 4334 ist zu klei. Die kleiste Summe beträgt 534, de die zwei kleiste Zifferkarte ( ud 3) müsse Tauseder ud Eier sei ud die grösste (5 ud 7) Huderter bzw. Zeher. T H Z E Aufgabe a) = 8 mod 9 = 0 = 79 mod 9 b) Kleistmögliche Summe: Grösstmögliche Summe: H Z E H Z E Die zu erzeugede Summe ist weder zu gross och zu klei für die gegebee Zifferkarte. c) Die Eier des Ergebisses 79 sid weder als übertrage och als übertrage 0 erzeugbar, de mit de gegebee Zifferkarte sid ur Eier zwische 3 (++) ud 9 (3+3+3) erzeugbar; ud liege ausserhalb dieses Bereichs. d) Reche ud erkläre Sie: 50 3 mod 9 = 5 Dekadische Stellewerttafel: 70 5 mod 9 = 7 k0 mod 9 = k Neuerrest Modulo OOOOO OOOOO 7 OO Jedes Wedeplättche i der dekadische Stellewerttafel ist ei Neuerrest. Aufgabe 3 a) = 45 mod 9 = 0 = 5 mod 9. Die Neuerreste stimme überei ud weise also darauf hi, dass es eie Lösug gebe köte. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

73 b) Kleistmögliche Summe: Grösstmögliche Summe: H Z E H Z E Die zu erzeugede Summe ist weder zu gross och zu klei für die gegebee Zifferkarte: 556< 5 < 774. Vo der Grösse her köte also eie Lösug möglich sei. c) Systematisches Ausprobiere: Mit de gegebee Zifferkarte gilt = 45 (Wedeplättche) 5 = 5 Huderter + Zeher + Eier ( Zeher ud Eier geht mit de gegebee Zifferkarte icht, zudem ur 8 statt 45 Wedeplättche); = 4 Huderter + Zeher + Eier ( Eier geht mit de gegebee Zifferkarte icht, zudem ur 7 statt 45 Wedeplättche); = 3 Huderter + Zeher + Eier ( Eier geht mit de gegebee Zifferkarte icht, zudem ur 36 statt 45 Wedeplättche); = 3 Huderter + 0 Zeher + Eier (geht, de 45 Wedeplättche); = 4 Huderter + 9 Zeher + Eier (geht, de 45 Wedeplättche); = Nachweis mit eiem Beispiel, dass es geht: Lösug : H Z E Lösug 4: H Z E Lösug 7: H Z E Lösug 0: H Z E Lösug : H Z E Lösug 5: H Z E Lösug 8: H Z E Lösug : H Z E Lösug 3: H Z E Lösug 6: H Z E Lösug 9: H Z E Lösug : H Z E Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

74 Aufgabe zum Kapitel Übuge zum Thema «Zeiche ohe Absetze, Durchlaufe vo Netze i eiem Zug» (S. 3 8) Aufgabe Zuerst muss ei «mathematisches Modell» gesucht werde. Hier ist dies ei «Graph» mit «Kote» ud mit «Kate», der da auf die «Durchlaufbarkeit i eiem Zug» utersucht werde ka. «Kate» sid die Türe ud «Kote» die Räume iklusive des Ausseraumes. Es gibt also i der vorliegede Situatio eie «Graph» mit 6 «Kote» ud 8 «Kate». Ei Graph ist ei «Eulerweg», we er geau zwei «Kote» mit eier ugerade Azahl «Kate» besitzt. Die ugerade «Kote» sid deshalb Afags- bzw. Edkote, weil das «Durchlaufe» bzw. Zeiche «i eiem Zug» dort mit eier ugerade Kate begit bzw. edet. Ei Graph ist ei «Eulerkreis», we alle «Kote» gerade sid ud deshalb Afags- ud Edkote sei köe, weil die ugerade Afagskate zusamme mit der ugerade Edkate eie gerade Kote ergebe. Weil alle «Kote» gerade sid, hadelt es sich hier um eie «Eulerkreis». Das bedeutet, dass jeder «Kote» ei Afags- ud Edkote eies ideale Spaziergages ist, der durch jede Tür geau eimal führt. Aufgabe Ma hätte zwei Brücke z.b. wie folgt baue müsse, um eie ideale Sotagsspaziergag zu erhalte: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

75 I diesem Netz der Spazierwege weist kei Kote eie ugerade Grad auf. Es hadelt sich also um eie Eulerkreis, was bedeutet, dass Sotagsspaziergäge a jedem der vier Pukte Isel, Ostteil, Nordstadt ud Südstadt begie köe ud auch immer zu de Startpukte zurückführe. Dak de zwei zusätzliche Brücke sid also ideale Sotagsspaziergäge möglich. Aufgabe 3 a) Es gibt i Ber Sotagsspaziergäge, die über jede der Brücke geau ei Mal führe. Aber diese Spaziergäge sid keie ideale (keie Eulerkreise, soder ur Eulerwege), de sie begie alle auf eier Aare-Seite ud ede auf der adere oder umgekehrt. b) Leohard Euler zeigte, dass die Fragestellug folgedem Problem etspricht: Ka ma eie Figur (eie Graphe) i eiem Zug, ohe de Bleistift vom Papier zu ehme, zeiche? Euler wies ach, dass dies ur da möglich ist, we der Graph geau zwei oder keie ugerade Kote aufweist. Ei (u)gerader Kote ist eie Kreuzug mit eier (u)gerade Azahl vo Wege (Kate). Ei Graph, der ur gerade Kote aufweist, etspricht eiem ideale Sotagsspaziergag, der bei jedem Kote begie ud da auch wieder ede ka ud überdies über jede Brücke ur eimal führt, d.h. jede Kate ur eimal ethält. Uterscheidet ma die gerade ud die ugerade Kote, stellt ma fest, dass die gerade Kote beim Zeiche Durchgagskote sid, de zu jedem Weg zum Kote hi gibt es eie Weg vom Kote weg, also isgesamt eie gerade Azahl vo Wege. Bei ugerade Kote higege fehlt etweder ei Weg zum Kote hi (der wird vom Stift i der Luft zurückgelegt) oder ei Weg vom Kote weg (auch der wird vom Stift i der Luft zurückgelegt). Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

76 Aufgabe 4 Erklärug der Begriffe: Zuerst muss das «mathematisches Modell» (hier ist dies ei «Graph» mit «Kote» ud mit «Kate»), das weder eie «Eulerweg» (geau zwei ugerade Kote) och eie «Eulerkreis» (alle Kote gerade) darstellt, mit Wegstücke ergäzt werde, die zweimal zurückgelegt werde müsse. Ei Graph ist ei «Eulerweg», we er geau zwei «Kote» mit eier ugerade Azahl «Kate» besitzt. Die ugerade «Kote» sid deshalb Afags- bzw. Edkote, weil das «Durchlaufe» bzw. «Zeiche i eiem Zug» dort mit eier ugerade Kate begit bzw. edet. Ei Graph ist ei «Eulerkreis», we alle «Kote» gerade sid ud deshalb Afags- ud Edkote sei köe, weil die ugerade Afagskate zusamme mit der ugerade Edkate eie gerade Kote ergebe. Kostemiimale Erweiterug des Graphe, damit ei Eulerkreis etsteht: Post als Startud Zielpukt Die Kote 3, 6, 7 ud 9 ware ursprüglich ugerade. Durch zusätzlich eigefügte Kate, die gestrichelt dargestellt sid, werde alle Kote gerade ud der Graph wird zu eiem Eulerkreis. Würde ma beispielsweise die beide Kate 3-7 ud 6-9 verdoppel, würde der etstehede Graph zwar zu eiem Eulerkreis, da da alle Kote eie gerade Grad hätte. Der etsprechede Eulerkreis wäre aber für de Briefträger icht die kürzeste Tour. Die miimale Erweiterug besteht hier aus de Kate 7-6 ud 3-9 mit eier Lägezuahme vo +=3. Die Verdoppeluge der Wege 3-7 ud 6-9 würde zu plus 5+3=8 führe. Aufgabe 5 a) Die Teilstrecke C-L, M-P, D-E ud F-I müsse je zwei Mal zurückgelegt werde, was eie miimale Umweg vo = 3.5 zur Folge hat. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

77 7 A 4.5 O N 4 M B L 3 C 4 P K H G 3 F I J.5 E 3 D b) Die optimale Tour muss ei Eulerkreis bzw. eie geschlossee Eulerliie sei. Ei Eulerkreis ist ei Graph mit lauter gerader Kote. Ei Kote ist da gerade, we sich i ihm eie gerade Azahl vo Wege (Kate) treffe. I eiem Eulerkreis sid alle Kote Durchgagskote, die sowohl Afags- als auch Edkote sei köe. c) Etstade ist ei Eulerweg bzw. eie offee Eulerliie. Ei Eulerweg ist ei Graph der geau zwei ugerade Kote aufweist. Ugerade ist ei Kote da, we sich i ihm eie ugerade Azahl vo Liie (Kate) treffe. Ei Eulerweg ist vo A bis B bzw. vo B bis A ohe abzusetze zeichebar. Die Logik des Zeiches eies Eulerweges besagt, dass ausser de ugerade Afagsud Edkote lauter gerade Durchgagskote etstehe müsse. Die Afags- bzw. Edkote werde deshalb ugerade, weil der Stift durch die Luft zu A bzw. zu B kommt, also keie Strich zeichet, ud am Schluss vo B bzw. A aus wieder durch die Luft weggeht, ohe eie Strich zu zeiche. Aufgabe 6 a) Die Kote A ud H sid ugerade. Um diese Eulerweg (offee Eulerliie) im Sie der Aufgabe zu eiem Eulerkreis (geschlossee Eulerliie) zu mache, müsse die Teilstrecke A-B, B-F ud F-H je zwei Mal zurückgelegt werde, was eie miimale Umweg vo 50m + 50m + 60m = 60 m zur Folge hat. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

78 E B F A D H C 70 b) Das gegebee Wegetz im Park ist eie offee Eulerliie bzw. ei Eulerweg, weil geau zwei ugerade Kote (A ud H) vorliege. Der optimierte Spaziergag ist ei Eulerkreis bzw. eie geschlossee Eulerliie, weil alle Kote gerade sid. c) A ud H sid Afags- bzw. Edkote eies offee Eulerweges, D ist ei doppelter ud G ei eifacher Durchgagskote. A ud H sid deshalb ugerade, weil beim Afagskote ei Strich hi zum Kote ud beim Edkote ei Strich weg vom Kote fehlt. D ud G sid deshalb gerade Kote, weil zu D je zwei Striche hi ud je zwei Striche weg führe (zusamme 4 = gerade) ud zu G führt ei Strich hi ud eier weg (zusamme = gerade). d) Die «Logik des Zeiches» besagt, dass ma mit eiem Stift, ur bei eiem Pukt A (= Afagskote) begie ud ur bei eiem Pukt E (E = Edkote) ede ka, de der Stift ka sich ja icht z.b. i zwei Striche aufspalte ud da a zwei Edkote ede. Weiter ist es das Wese der Afags- ud der Edkote, dass diese ugerade sid, de bei jedem Afagskote fehlt ei Strich, der hi zum Kote führt ud bei jedem Edkote fehlt ei Strich, der vom Kote weg führt. Vor dem Start kommt ämlich der Stift durch die Luft ud hiterlässt keie Strich hi zum Afagskote. Ud am Ziel agelagt, wird beim Edkote der Stift agehobe ud verlässt die Zeichug, ohe eie Strich weg vom Edkote zu hiterlasse. Ist ei Kote weder Afags- och Edkote, da ist er ei Durchgagskote, de jeder Strich, der hi zum Kote führt, führt auch vo diesem weg, was zwiged eie gerade Azahl vo Liie (Kate) zur Folge hat, die sich bei diesem Kote treffe. G Aufgabe 7 Das bekate Baumdiagramm zum Fide der 44 Streckezüge, die vo der aus zum Haus des Nikolaus führe, ka auch zur Lösug der vorliegede Aufgabe verwedet werde. Zeh Sachgasse gibt es, we die blau uterlegte Teile des Baumdiagramms elimiiert werde: Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

79 ff. siehe auf der überächste Seite bei aaa ff. siehe auf der überächste Seite bei aba Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

80 aaa aba Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

81 Das Haus des Nikolaus ka vom Kote aus auf 0 verschiedee Arte icht fertig gezeichet werde (Sackgasse). A sich scheie es 0 Sackgasse zu sei, aber bei geauerem Hisehe stellt ma fest, dass immer zwei idetisch sid. Das Haus des Nikolaus ka mit 0 verschiedee Streckezüge icht fertig gezeichet werde. Alle Wegfolge begie beim Kote ud ede beim Kote i der Sackgasse. Folglich gibt es aus Symmetriegrüde auch 0 Streckezüge, die beim Kote begie ud beim Kote i der Sackgasse ede. Aufgabe 8 a) Die gestrichelte Teilstrecke NB, BC, MP, KD ud EJ müsse je zwei Mal zurückgelegt werde, was eie miimale Umweg vo = 0.5 zur Folge hat. Umweg 0.5 = : Umweg = Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

82 Umweg = = : Umweg = (=MC oder MLC) = : Umweg.5 = : Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07

83 b) Die Fahrradtour im Dreieck vo Brugg, Turgi ud Stilli ist icht ideal i dem Sie, dass ma bei jedem der vier Kote begie ud ede köte. Sie ist kei Eulerkreis mit lauter gerader Kote, soder ur ei Eulerweg mit geau zwei ugerade Kote A ud D, die de Start- oder de Zielpukt darstelle (Startpukt A führt zwiged zum Zielpukt D, ud Startpukt D führt zwiged zum Zielpukt A). Stilli Vogelsag c) Aus dem Eulerweg liesse sich ei Eulerkreis (ideale Fahrradtour) herstelle, idem zwische de beide ugerade Kote eie zusätzliche Brücke über die Aare gebaut oder die Brücke gaz im Norde gesperrt / abgerisse würde. Scheeberger, Marti Mathematikaufgabe der Vorschul- ud Primarstufe hep verlag ag, 07