e - Die zeitunabhängige S-Glg. für den (unendlich hohen) Potentialtopf Blaue und violette Laserdioden: Eine Vielzahl von Potentialtöpfen

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1 Die zeituabhägige S-Glg. für de (uedlich hohe) Potetialtopf Diese Situatio ist äherugsweise i Halbleiterlaser gegebe: <1 m Blaue ud violette aserdiode: ie ielzahl vo Potetialtöpfe 1

2 Die zeituabhägige S-Glg. für de (uedlich hohe) Potetialtopf klassisch: lektro liegt etweder auf dem Bode (kietische ergie = ) oder <1 m -bewegt sich wie ei Pig-Pog-Ball hi ud her -stösst jeweils gege die Wad ud kehrt Impuls ud Geschwidigkeit um Die zeituabhägige S-Glg. für de (uedlich hohe) Potetialtopf Quatemechaisch: Suche igefuktio ud zur igewerte zur zeituabhägige Schrödiger-Gleichug: <1 m ħ d + ( ) ψ( ) ψ( ) = md mit :< < ( ) = : sost

3 Die zeituabhägige S-Glg. für de (uedlich hohe) Potetialtopf ħ d + ( ) ψ( ) = ψ( ) md Qualitatives zur ösug: Uedlich hoher Potetialwall ψ() verschwidet ausserhalb des Topfes mit Stetigkeit vo ψ() folgt da ψ()=ψ()= Die zeituabhägige S-Glg. für de (uedlich hohe) Potetialtopf ħ d + ( ) ψ( ) = ψ( ) md Uedlich hoher Potetialwall ψ() verschwidet ausserhalb des Topfes mit Stetigkeit vo ψ() folgt da ψ()=ψ()= Zwische ud muss gelte: ħ d ( ) ( ) md ψ = ψ 3

4 Der uedlich hohe Potetialtopf: ösug durch scharfes Higucke ψ()=ψ()= ħ d ( ) ( ) md ψ = ψ hmm... eie Fuktio, die zweimal abgeleitet sich selbst multipliziert mit eiem Faktor ergibt??... wie wäre es mit eier Siusfuktio? ψ ( ) = A si( k) isetze: O.K., S-Glg. ist gelöst für ħ d ħ = md m ψ ( ) k si( k) k = ħ m ψ()=ψ()=: ( ) π si k = k = π wobei gaz π bzw. k = ud k = Der uedlich hohe Potetialtopf: igeschafte der ösuge ösuge habe die Form: ( ) si π ħ π ψ = A ; = m wobei =1,,... 3 Ψ 1 4

5 Der uedlich hohe Potetialtopf: Der kovetioelle Weg Wir wisse: Im Iere des Topfes (<<) erwarte wir ebee Welle (freies Teilche): ψ + (,) rt = A + ep( ikr ( ω t)); ψ (,) rt = A ep( i( kr ω t)) k i eier Dimesio, zeituabhägig k + + ψ ( ) = A ep( ik); ψ ( ) = A ep( ik) <1 m Asatz zur ösug der zeituabhägige S.-Glg.: + ψ ( ) = A ep( ik) + A ep( ik) Der uedlich hohe Potetialtopf: Der kovetioelle Weg s muss aber auch erfüllt werde: ψ()=ψ()= + + ψ () = A ep( ik) + A ep( ik) = A + A = + ψ ( ) = A ep( ik) + A ep( ik) = ieares Gleichugssystem für A + ud A - I Matriform: <1 m A = ep( ik) ep( ik) A Nichtriviale ösug, falls Determiate verschwidet: π det = ep( ik) ep( ik) = si( i k) = k = ; gaze Zahl ( ) 5

6 Der uedlich hohe Potetialtopf: Der kovetioelle Weg Wege A + =-A - laute die ösuge also: + + ψ ( ) = A ep( ik) A ep( ik) = + ia si( k) = Asi( k) π k = ; gaze Zahl <1 m z.b. -dieser Weg erscheit hier zwar umstädlich, fuktioiert aber (im Prizip) gaz allgemei. Der uedlich hohe Potetialtopf: igeschafte der ösuge ösuge habe die Form: ( ) si π ħ π ψ = A ; = m igeschafte der ösuge: wobei =1,,... -es gibt ur bestimmte diskrete ergie ( Quatelug ) 3 -es gibt eie Miimaleergie!! ( Nullpuktseergie ) Ψ 1 6

7 Der uedlich hohe Potetialtopf: igeschafte der ösuge ösuge habe die Form: ( ) si π ħ π ψ = A ; = m igeschafte der ösuge: wobei =1,,... -das lektro ist über de gaze Topf verschmiert, aber icht gleichmässig 3 -die iedrigste ösug hat keie Nulldurchgag (Kote) Ψ - je höher die ergie, desto mehr Kote -abwechseld symmetrische ud atisymmetrische Wellefuktioe 1 Der uedlich hohe Potetialtopf: igeschafte der ösuge * ρ( t,) = ψ( t,) = ψ ( t,) ψ( t,) proportioal zur Aufethaltswahrscheilichkeit 3.38 e 3.38 e Ψ Ψ 1.5 e 1.5 e.38 e.38 e = 1 m = 1 m 7

8 Der uedlich hohe Potetialtopf: Normierug der ösuge Berechug eies rwartugswert sah bisher ziemlich hässlich aus: 3.38 e 1.5 e.38 e Ψ <F>= 3 * dr ψ (,) rtfrp (, ) ψ(,) rt 3 * dr ψ (,) rt ψ(,) rt = 1 m Hadhabbarer aber icht immer möglich-: 3 * dr ψ (,) rt ψ (,) rt = 1 Normierug der Wellefuktio Zeituabhägig, ur eie Dimesio: ψ * ( ) ψ ( )d = 1 π * * π * ψ ( ) ψ( )d = AAsi d A AAsi ( y) dy A = = π Der uedlich hohe Potetialtopf: Normierug der ösuge 3.38 e A = 1; also A= 1.5 e Ψ Wir wähle o.b.d. A. A =.38 e = 1 m Die gesuchte ormierte Wellefuktio laute also: π si : < < ψ ( ) = : sost mit de ergie: ; ħ π = m wobei =1,,... 8

9 Der uedlich hohe Potetialtopf: rwartugswerte Damit erreche sich die rwartugswerte gemäß: * <F>= ψ ( tfp,) (, ) ψ( td,) Nehme wir a, dass lektro wird beschriebe durch die Wellefuktio ψ ( ist im Zustad ). rwartugswerte? 3.38 e * ħ d <>=<H>= ψ ( ) ψ( d ) = md ψ ( ) ψ ( d ) = * Ψ 1.5 e.38 e = 1 m Das lektro befidet sich im (ergie)igezustad ψ. We sost ichts passiert, wird es dort für alle wigkeit bleibe ud der Zustad etwickelt sich gemäß ψ( t,) = ψ(,)ep( iωt); mit ω = ħ Der uedlich hohe Potetialtopf: rwartugswerte Wie sieht es mit dem Ort aus? * <>= ψ ( ) ψ ( d ) = 3.38 e Ψ si π ( ) d =... = 1.5 e.38 e = 1 m... ud mit Geschwidigkeit/Impuls? * ħ d πħ d π <p>= ψ ( ) ψ( d ) = si si d = id id πħπ π si cos d =... = i 9

10 Der uedlich hohe Potetialtopf: rwartugswerte Nicht verschwided higege ist der rwartugswert vo v < > < > m m ki 1 = = = 3.38 e 1.5 e Ψ.38 e J 5 m = = kg s = 1 m lektro tazt wie der Derwisch zwische de Wäde hi- ud her!... aber es ist ei statioärer Zustad!!! Der uedlich hohe Potetialtopf: Wellepakete Ka das lektroe auch durch eie Summe vo Wellefuktioe beschriebe werde? 3.38 e Na klar, geau wie bei der Bildug vo Wellepakete aus ebee Welle für das freie lektro. 1.5 e Ψ.38 e π ψ( ) = aψ( ) = asi = 1 m vollkomme aalog zu eier Fourierreihe albert 1

11 Der uedlich hohe Potetialtopf: Fourierreihe Jede beliebige (periodische) Fuktio ψ() ka als Fourierreihe dargestellt werde (ach de igefuktioe etwickelt werde) 3.38 e Ψ π ψ( ) = aψ( ) = asi 1.5 e.38 e = 1 m mit π a = dsi ψ ( ) Der uedlich hohe Potetialtopf: Wellepakete Die Dyamik der Gesamtwellefuktio wird da gegebe durch: 3.38 e π ψ( t,) = aψ( t,) = asi ep( iωt) 1.5 e.38 e Ψ = 1 m Damit ergebe sich da auch zeitabhägige rwartugswerte! Ifiitely deep well applet 11

12 twicklug ach igefuktioe/igevektore u v = u1+ 3u u 1 ψ( ) = aψ ( ) = π = a si twicklug ach igefuktioe Diese rwäguge gelte gaz allgemei: Die igefuktioe eies Operators zu eier Observable bilde ei (quasi)orthoormales System vo Basisfuktioe. 1: i = j ui u j = δij = :sost * 1: = m ψ ( ) ψm( d ) = δm = :sost Wie i eiem ektorraum ka jede Fuktio als iearkombiatio dieser Basisfuktioe dargestellt werde. a1 a π ψ( ) = aψ = a 3 ψ( ) = aψ( ) = = asi a de