Rotation in kartesischen Koordinaten

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1 Rotaton n kartesschen Koordnaten Generell gbt es dre Frehetsgrade für de Orenterung m Raum und es werden mest zwe Verfahren zur Beschrebung der Orenterung angewandt: Euler-Wnkel (Mechank, ) Roll, Ptch, Yaw (Rollen, Geren, Ncken) (Schfffahrt, Luftfahrt) Ausgangsstuaton: z Mt R Rotatonsmatrx oder Orenterungsmatrx (u, v, w x-y-z - Koordnaten der Enhetsvektoren): w u v R ux uy uz vx vy vz wx wy w z (allgemen) x y R (Ausgangsstuaton / Skzze) Lnnemann, SoSe 5 Fole 73 Rotaton um de x-, y- und z-achse Rotaton um x: Rotaton um y: Rotaton um z: z α w u v α y x z w u v β y x γ z w u v y x R (x, α) cosα snα snα cosα R (y, β) cosβ snβ snβ cosβ R (z, γ) cos γ snγ snγ cos γ Lnnemann, SoSe 5 Fole 74

2 Kombnatonen / Seren von Rotatonen Rotatonsmatrzen können mtenander multplzert werden Ergebns st ene Sere von Rotatonen um de Achsen des Koordnatensystems (Frames) Wchtg st de Rehenfolge der Rotatonen! R ( x,3 ) R ( z,9 ) z Ausgangsstuaton z z α w u v α3 y w v u γ 9 y w x x u v y R R ( z,9 ) ( x,3 ) z z x w v u w v u α 3 x γ 9 y x y Lnnemann, SoSe 5 Fole 75 Es se x p y z Homogene Koordnaten en Vektor m 3D-Koordnatensystem dann snd de homogenen Koordnaten des Punktes (Vektors) P h x h y ph mt h h z h Der Spaltenvektor h st der Skalerungsvektor. In der Knematk st h Damt kann für de Beschrebung der Rotaton und Translaton ene so genannte homogene 4x4 Matrze aufgestellt werden: mt R T M R 3 x 3 Matrx: Rotaton T 3 x Vektor: Translaton Skalerungsfaktor für Knematk Vortel: Rotaton und Translaton werden n ener Matrx zusammengefasst Lnnemann, SoSe 5 Fole 76

3 Homogene Koordnaten n der d p P P p P P p P p P Orte m Raum können vollständg beschreben werden durch: d, p Postonsvektor R Rotatonsmatrx d p P d pp d+ pp d+ R pp In homogenen Koordnaten: R d p p P P r P T rp Lnnemann, SoSe 5 Hnwes: R Rotatonsmatrx für Frame bezogen auf Frame In Vektorschrebwese: pp d+ d+ pp d+ R d+ R R pp In homogenen Koordnaten: r P T T rp Fole 77 Homogene Transformatonen Trans(x,y,z) Verschebung enes Punktes um x,y,z entlang der jewelgen Achse: Rotaton um de y-achse: Trans ( x,y,z) x y z R, ( y β) cosβ snβ snβ cosβ Rotaton um de x-achse: Rotaton um de z-achse: R, ( x α) cosα snα snα cosα R, ( z γ) cos γ snγ snγ cos γ Lnnemann, SoSe 5 Fole 78

4 Begründung: Beschrebung nach Denavt - Hartenberg Bsher wurden de Koordnatensysteme ntutv gewählt Es st aber zweckmäßg, nach enem enhetlchen Schema bezehungswese Verfahren vorzugehen Vortel: Verschedene Anwender kommen zu ener glechen oder zumndest verglechbaren Beschrebung der Aufgabe Prnzp: Es geht darum, von enem -ten Koordnatensystem zu enem (+)-ten Koordnatensystem zu kommen Man beschränkt de Frehetsgrade der Koordnatensysteme: - ene Drehachse - ene Lnearachse (oft prsmatsche Achse genannt) Denavt, J., Hartenberg, R. S.: A knematc notaton for lower par mechansms based on Matrces. Journal of Appled Mechancs, vol. 77, pp. 5, June 955. Lnnemann, SoSe 5 Be enem Roboter bestehen m Normalfall folgende Möglchketen für zwe so genannte knematsche Paare: Gelenk Gelenk Gled Drehachse Drehachse Lnearachse Lnearachse Gelenk + Form und Masse der Gleder werden abstrahert Gelenk + Drehachse Lnearachse Drehachse Lnearachse Fole 79 Bezechnungen nach Denavt-Hartenberg De Gelenkachsen von Gelenk () und Gelenk (+) fallen mt den z-achsen der Koordnatensysteme (-) und () zusammen. Bespel für Drehgelenke: Gelenk a - z - d K - q q Gled y - a x - Gelenk + y K α z q + x Man erkennt: a und α snd durch de Gelenkkonstruktonen festgelegt. a st de gemensame Normale der Drehachsen (z-achsen), also der kürzeste Abstand der Achsen. a st en Abstand, und daher > α st der Wnkel, um den man de erste Achse z drehen muss, damt se parallel zur zweten Achse z + wrd. α wrd n der Ebene senkrecht zur gemensamen Normalen a gemessen. Schaut man von der Pfelsptze von x auf dese Ebene, erkennt man de postve Rchtung von α. x läuft kolnear zu a, und sene Rchtung geht von K - weg nach K. De y-achsen ergänzen de Koordnatensysteme zum Rechtssystem. Lnnemann, SoSe 5 Fole 8

5 Beschrebung der Drehungen und der Translatonen - z - a K y α z x Es snd dre Schrtte abzuarbeten:. Drehung um de Achse z - um den Wnkel q a - d K - y - q x -. Translaton K - K 3. Drehung um de Achse x um den Wnkel α.drehung um q. Translaton 3. Drehung um α cos q snq snq cos q, a d und snα snα Lnnemann, SoSe 5 Fole 8 Beschrebung der Drehungen und der Translatonen - De Koordnatentransformaton von (-) zu () st dann das Produkt der Matrzen: T cos q snq snq cos q a d snα snα cos q snq snq cos q snα snα a d cos q snq snq cos q snα snq snα cos q snα cos α a cos q a snq d Lnnemann, SoSe 5 Fole 8

6 Beschrebung der Drehungen und der Translatonen - 3 Anmerkungen: De Koordnatentransformaton hängt von ver Parametern ab: a, α, d, q Dese Parameter werden auch lnk parameter genannt a und α snd durch de maschnenbaulche Konstrukton des ()-ten Gledes gegeben q und d snd abhängg von der Verbndung der Gleder (-) und () über das Gelenk () Fallunterschedungen: (Deutung von q ) Gelenk () st ene Drehachse: d st konstruktv vorgegeben und konstant q st ene Gelenkkoordnate, d.h. m Bespel der Wnkel zwschen den Gledern (-) und () Gelenk st ene Lnearachse (Translaton): d st varabel und wrd dann als q bezechnet Der Wnkel zwschen den Gledern st konstruktv festgelegt, also konstant. Er wrd dann ϑ genannt. Damt folgt de Schrebwese der vorhergen Koordnatentransformaton für de Lnearachse: cos ϑ sn ϑ sn ϑ sn α a cos ϑ T sn ϑ cos ϑ sn α cos ϑ sn α a sn ϑ q Lnnemann, SoSe 5 Fole 83 Verallgemenerung der Beschrebung De zuvor m Bespel aufgestellten Koordnatentransformatonen für de Drehungen und de Translatonen kann man auch zusammenfassen (es handelt sch dabe nur um ene andere Schtwese!): T cos ϑ snϑ snϑ cos ϑ snα snϑ snα cos ϑ snα a cos ϑ a snϑ d Und nun setzt man als Varable q Für de Drehachse: ϑ q Für de Lnearachse: d q Damt lassen sch dann alle ver möglchen bezehungswese zulässgen Fälle betrachten: Gelenk Drehachse Drehachse Lnearachse Lnearachse Gelenk + Drehachse Lnearachse Drehachse Lnearachse Lnnemann, SoSe 5 Fole 84

7 T Denavt Hartenberg Parameter am Drehgelenk cos ϑ sn ϑ sn ϑ cos ϑ sn α sn ϑ sn α cos ϑ sn α Gled - a cos ϑ a sn ϑ d Gled Gled + Gelenk + Gelenk - Gelenk a y α K z x z - y - a - d Lnnemann, SoSe 5 K - ϑ x - Der Wnkel ϑ st varabel d, a, α snd konstant Fole 85 T Denavt-Hartenberg Parameter am Translatonsgelenk cos ϑ sn ϑ sn ϑ cos ϑ sn α sn ϑ sn α cos ϑ sn α Gled - a cos ϑ a sn ϑ d Gled Gled + Gelenk + Gelenk - Gelenk a y α K z x z - y - a - d K - ϑ x - Der Abstand d st varabel ϑ, a, α snd konstant Lnnemann, SoSe 5 Fole 86

8 Festlegen der Koordnatensysteme - De vorherge Koordnatentransformaton kann unter folgenden Voraussetzungen auf Industreroboter angewandt werden: Gled bezehungswese Koordnatensystem : Der Sockel (Fuß) des Industreroboters st Gled und st mt dem ()-ten Koordnatensystem fest verbunden und heßt: Bezugssystem (reference frame) oder Weltkoordnatensystem (da st der Roboter festgeschraubt ) Der Ursprung von Koordnatensystem wrd auf de erste Gelenkachse gelegt. z zegt dann entlang der Gelenkachse x und y snd dann fre wählbar, blden aber en Rechtssystem Koordnatensysteme K mt,, n-: Der Ursprung von K legt auf der Gelenkachse + De Rchtung von Z geht entlang der Gelenkachse +; das Vorzechen st fre wählbar sehe nächste Fole! Lnnemann, SoSe 5 Fole 87 Festlegen der Koordnatensysteme - Es snd dre Fälle zu unterscheden: Parallele Gelenkachsen x läuft kolnear zu a und zegt von K - nach K Sch schnedende Achsen x läuft parallel zur Rchtung des Kreuzproduktes z - X z ; de Rchtung st fre wählbar a st der Abstand der beden Systeme Wndschefe Achsen De Achsen schneden sch ncht und snd auch ncht parallel. Vorgehen we be parallelen Achsen. Der Fall st be realen Robotern eher selten! Festlegen des letzten Koordnatensystems K n Möglchst TCP als Ursprung wählen (oder fktven TCP) z n geht n Rchtung von z n- und durch TCP Rchtung von x n : z n- und z n legen auf ener Lne: x n we x n- legen Sonst: x n steht senkrecht auf z n- und zegt von z n- n Rchtung z n Lnnemann, SoSe 5 Fole 88

9 Gesamttransformaton, Poston und Orenterung Jede der aufzustellenden Matrzen enthält dann genau ene der Gelenkkordnaten q De Multplkaton aller Matrzen führt dann zu T Tn T T T3... n Tn Wobe, allgemen ausgedrückt, T so ausseht: a a a3 a4 a a a3 a4 T a a a a Für de Werkzeugsptze (Tooltp) m n-ten Koordnatensystem wrd De Poston: De Orenterung: De Wnkel nach Vukobratovc: X Tooltp a a a a a a3 a a a3 a3 a3 a 33 ψ atan(a,a ) (Drehung um ϑ atan( a3,(a cos ψ + asnψ)) ϕ atan(a3,a33 ) (Drehung um z) x) Lnnemann, SoSe 5 Vukobratovc, M.: "Introducton to Robotcs", Sprnger, Berln Hedelberg New York 989 Fole 89 Zusammenfassung Denavt-Hartenberg - Verfahren Folgende Schrtte snd zur Lösung des drekten Problems erforderlch:. Roboter skzzeren und n günstge Grundstellung ausrchten. Bestmmung der Koordnatensysteme nach Denavt-Hartenberg 3. Ablesen der DH-Parameter (a, a, d, ϑ ) und entragen n ene Tabelle 4. Bestmmung der Matrzen - T, de jewels von den gegebenen Gelenkkoordnaten abhängen 5. Berechnung von T bezehungswese Tn durch Matrzenmultplkaton 6. Berechnung der externen Koordnaten (Tooltp) x, y, z (Poston) 7. Berechnung der Orenterung, d.h. der Wnkel Lnnemann, SoSe 5 Fole 9

10 Übungsbespel: DH für den planaren SCARA Bestmmung der Koordnatensysteme nach DH: P β L L α Zur Ernnerung: Der Sockel (Festpunkt) des Roboters st Gled In Gled st das Weltkoordnatensystem Lnnemann, SoSe 5 Fole 9 Übungsbespel: DH für den planaren SCARA - Gled y z Gewählt für SCARA: d (Fußpunkt) α (z, z laufen parallel, kene Achsverdrehung) z a L Gled y T x cosϑ snϑ De DH-Koordnatentransformaton st dann: snϑ cosα cosϑ cosα snα snϑ snα cosϑ snα cosα a cosϑ a snϑ d ϑ α Ensetzen der Parameter aus der Skzze: x cos α snα T snα cos α Lcos α L snα Lnnemann, SoSe 5 Fole 9

11 y x Übungsbespel: DH für den planaren SCARA - Gled Z z a L y Gled z d a L Gled x ϑ β Für SCARA glt: d (Gelenke n ener Ebene) α (z-achsen laufen parallel) Ensetzen der obrgen Werte n DH: y ϑ α T cos β sn β sn β cos β L cos β L sn β x Lnnemann, SoSe 5 Fole 93 Übungsbespel: DH für SCARA - Gesamttransformaton cos α snα T T T cos α cos β sn α sn β sn α cos β + cos α sn β T cos( α + β) sn( α + β) sn α cos α cos α sn β sn α cos β sn α cos β + cos α cos β L cos α cosβ L snα snβ snβ cosβ Es glt: sn α cosβ + cos α snβ sn( α + β) cos α cosβ sn α snβ cos( α + β) und man kann schreben: sn( α + β) cos( α + β) L cosβ L snβ cos α L cos β sn α L sn β + L sn α sn α L cos β + cos α L sn β + L sn α L cos( α + β) + L cos α L sn( α + β) + L snα Orenterung n der Ebene Lnnemann, SoSe 5 Poston n der Ebene Fole 94

12 Übungsbespel: DH für den planaren SCARA - Zahlenbespel Be enem SCARA se: L 4 L 3 α 3 β 3 (Es werden glatte, dmensonslose Zahlen angenommen, um den Rechenaufwand gerng zu halten!) Damt st,5,866 3,5 + 4, ,866,5 3, ,5 4,598 T De allgemene Form der Matrx st: ψ atan(a,a ) a a a3 a4 Euler-Wnkel ϑ atan( a3,(a cos ψ + asnψ)) a a a3 a4 ϕ atan(a3,a33 ) a a a a, ψ atan(,866,,5) arctan( ) arctan,73 6,5 ϑ atan(, (,5 cos ψ +,866 sn ψ)) ϕ atan(,) arctan atan(, (,433 +,433) arctan Lnnemann, SoSe 5 Fole 95 Übung: DH-Verfahren für enen enfachen Roboter z Gelenk (Rotaton) d 3 Gelenk 3 (Translaton) P(x p, y p, z p ) y d Gelenk (Translaton) α y p z p T 3 Lösung: cos q sn q sn q cos q d 3 cos q d 3 sn q d Festpunkt x p Lnnemann, SoSe 5 Fole 96

13 3 Übungsbespel: Manutec h5 L L z z y z y 3 y 3 x x x 3 4 Z z z 4 y 4 x 4 T y x 3 4 DH-Parameter für de skzzerte Stellung a α d ϑ Z L W L W3 -T W4 Lnnemann, SoSe 5 Fole 97 Übungsbespel: Bosch SR8 L L z y α 3 H x y x z y 3 x 3 z 3 Z 4 z y x y 4 x 4 z 4 Wunschrchtung für Achse 3: 3 4 DH-Parameter für de skzzerte Stellung a α d ϑ L H W L 8 W Z W4 Lnnemann, SoSe 5 Fole 98

14 Übungsbespel: Manutec r 5 - Handachsen Hauptachsen Hand: 3 Lnnemann, SoSe 5 Fole 99 Übungsbespel: Manutec r 5 - L L L3 H α z ϑ 3 W 3-9 x x 4 z z 3 4 x 5 x 6 α 3 α 4 α 5 z 6 x y x y y 3 z3 y 4 y 5 z5 y 6 DH-Parameter für de skzzerte Stellung a α d ϑ z -9 H W y ϑ L W x 3-9 W L W4 5-9 W5 6 L3 W6 Lnnemann, SoSe 5 Fole

15 Inverses knematsches Problem Fragestellung: Welche Gelenkstellungen führen den Endeffektor n ene vorgegebene Zelstellung? Drekte Knematk (Hntransformaton) Inverse Knematk (Rücktransformaton) De Berechnungen snd häufg sehr komplex Werkzeuge we Mathematca, Maple V, Matlab werden engesetzt De Lösungen snd häufg ncht endeutg (vergl. SCARA-Bespel) De Rückwärtsrechnung muss schrtt haltend, also n Echtzet, mt der Bewegung des Roboters erfolgen Es exstert ken allgemen anwendbares Lösungsverfahren Lnnemann, SoSe 5 Fole Berechnungsmöglchketen Analytsche Verfahren Mest nur für Roboter mt enfacher Gelenkanordnung praktkabel Oft werden Matrzen verwendet Roboterspezfsche, spezelle (analytsche) Verfahren Gelenkachsen von Robotern legen oft parallel oder rechtwnklg zuenander Rückrechnung wrd wesentlch verenfacht und st manchmal enfacher als das Rechnen mt Matrzen Numersche Verfahren De Gelenkparameter werden mt Hlfe enes Näherungsverfahrens berechnet Lnnemann, SoSe 5 Fole

16 Vorgehen: Analytsches Verfahren von Paul. Aufstellen der Vorwärtstransformaton nach DH. Aufstellen der homogenen Matrx für de Zelstellung (Lage) 3. Elementweses Glechsetzen der Matrzen von Vorwärtstransformaton und Zelstellung 4. Aus den entstehenden Glechungen ntutv de geegneten zur Bestmmung der Gelenkvarablen heraussuchen Wenn de Glechungen ncht ausrechen, kann versucht werden, zusätzlche Glechungen aus folgenden Bezehungen zu fnden: Tn T T T 3 L n Tn T n T T T 3 L n Tn T Tn T T 3 usw L n Tn Paul, R.: Robot Manpulators: Mathematcs Programmng and Control. MIT-Press: Cambrdge (MA), 98 Lnnemann, SoSe 5 Fole 3 Bespel: Verenfachter SCARA mt zwe Drehgelenken T Vorwärtstransformaton nach DH: cos(q + q) sn(q + q) sn(q + q) cos(q + q) L cos(q + q) + L cos q L sn(q + q) + L snq Beschrebung der Zelstellung: P ( q, ) q cos ψ snψ snψ cos ψ x y Gl.: cos ψ cos(q + q ) Elementweses Glechsetzen: Gl. : snψ sn(q + q) Gl.3 : snψ sn(q + q) Gl.4 : cos ψ cos(q + q) Gl.5 : x Lcos q + L cos(q + q) Gl.6 : y L snq + L sn(q + q) Glund 4 sowe Gl und 3 snd redundant Lnnemann, SoSe 5 Fole 4

17 Fortsetzung Bespel Bekannt snd: L, L, x, y und ψ Gesucht werden: Gelenkwnkel q und q Mt cos ψ cos(q + q) snψ sn(q + q) und sn( ψ) ψ arctan cos( ψ) wrd sn(q + q) ψ arctan cos(q + q) also ψ q + q cos q snq und mt x Lcos q + L cos ψ y L snq + L snψ glt x L cos ψ L y L snψ L und sn q arctan cos führt zu ( q) ( q ) y L snψ x L cos ψ q atan, L L q ψ q Lnnemann, SoSe 5 Fole 5 Numersche Verfahren Für das nverse knematsche Problem lässt sch ncht mmer ene analytsche Lösung fnden Dann kommen numersche Verfahren bezehungswese Näherungsverfahren zum Ensatz Am Bespel des enfachen SCARA mt zwe Drehgelenken soll enes der numerschen Verfahren vorgestellt werden: Es glt: x Lcos ϑ + L cos( ϑ + ϑ ) y L snϑ + L sn ( ϑ + ϑ ) mt q ϑ und q ϑ kann man schreben : f f ( q,q ) Lcos q + L cos( q + q) ( q,q ) L snq + L sn( q + q ) Wenn man für enen Punkt de Lösung kennt, kann man für enen benachbarten Punkt de Lösung näherungswese berechnen. Also: bekannte Lösung : P( x ) ( q,q,y ) gesuchte Lösung : P( x + dx, y dy) ( q,q + ) Lnnemann, SoSe 5 Fole 6

18 Lösungsansatz für numersches Verfahren Für Funktonen von mehreren Varablen glt der Satz von Taylor: dx x x f q,q ( ) f ( ) q,q f f dq dq q q + q,q ( ) ( ) q,q dy y y f ( ) f ( ) q,q q,q f f dq dq q q + q,q ( ) ( ) q,q Das als Matrze geschreben : f f In dem vorgen Ausdruck dx kann de sogenannte q q dq Jacob - Matrx dentfzert dy f f dq werden (auf D reduzert) : q q und man kann dann schreben : ( ) dp J q,q dq f q J f q f q f q wobe dx dp dy und dq dq dq snd Lnnemann, SoSe 5 Fole 7 Bestmmung der Gelenkkordnaten Von enem Punkt (Startpunkt) P müssen bekannt sen: De externen Koordnaten (x,y) De Gelenkkoordnaten (q, q) Mttels der Jacob-Matrx J und hrer Inversen J - können dann de Gelenkkoordnaten enes Punktes P berechnet werden Voraussetzung: P und P dürfen ncht zu wet ausenander legen, wel sonst de Näherungen nach Taylor zu ungenau werden Man zerlegt dann de Strecke von P nach P n Telstrecken und wendet das Verfahren mehrfach an. Damt sch de enzelnen Fehler ncht adderen, wrd nach jedem Schrtt ene drekte Transformaton durchgeführt. Von deser exakten Poston aus wrd dann weter gerechnet. mt glt wobe und dp J(q,q ) dq - dq J (q,q ) dp dq Q - Q dp P - P st, und n Telstrecken zerlegt werden kann Lnnemann, SoSe 5 Fole 8

19 Bespel: Enfacher SCARA - Für den enfachen SCARA mt zwe Drehgelenken seht de Jacob-Matrx we folgt aus: L snq L sn J Lcos q + L cos T J adj und es glt - J JD JD L cos L cos q L LL snq ( q + q ) L sn( q + q) ( q + q ) L cos( q + q ) - De Inverse J st dann so zu gewnnen :. Adjunkte blden. Transponerte blden ( q + q ) L sn( q + q ) cos( q + q ) L snq L sn( q + q ) T J adj mt JD als Determnante von J,und JD muss sen d.h. snq darf ncht werden! (gestreckter Arm, degenerert) Lnnemann, SoSe 5 Fole 9 - De obrge Glechung für J aufgeschreben n homogener Form für D - Probleme : - J und JD L cos L cos q L Q Q + J (P P ) bezehungswese q q x q q + J y Bespel: Enfacher SCARA - ( q + q ) L sn( q + q ) cos( q + q ) L snq L sn( q + q ) J D st für den enfachen SCARA mttels homogener Matrzen enfach mt Matlab zu mplementeren. De folgende Fole zegt de Ergebnsse ener mt Matlab durchgeführten Näherungsrechnung. Man seht sehr gut, we de Näherung zu Begnn etwas ungenau st, aber zum Ende der Strecke schnell konvergert. Lnnemann, SoSe 5 Fole

20 y-achse Ergebnsse ener Näherungsrechnung mt Matlab Ist Naeherungsrechnung fuer planaren SCARA Zel Soll Start x-achse X-Soll X-Ist Y-Soll Y-Ist Mt L 4, L 3, q, q 3 folgt: Startposton: x 6, y, Gewählte Zelposton: x 4, y 3, L 4, L 3, q, q 3 Strecken entlang der Achsen n gleche Telabschntte zerlegt Lnnemann, SoSe 5 Fole Sngulartäten Sngulartäten snd spezelle Stuatonen, n denen de mathematsche Ermttlung der Gelenkwnkel ncht möglch st, bespelswese be ener Dvson durch Null. Dese Stuatonen entsprechen besonderen Stellungen des Roboterarmes. Snguläre Konfguratonen Mehrere Achsen legen n ener Lne. De Drehung ener Achse kann durch de Gegendrehung ener anderen Achse kompensert werden. Es exsteren unendlch vele Lösungen für de Rücktransformaton. En Frehetsgrad verloren, da für ene Drehachse zwe Gelenke verwendet werden. Sngulartät be Bewegung En Arm durchläuft ene Stellung, n der de Wnkelgeschwndgket enes oder mehrerer Gelenke unendlch werden müsste, um den TCP mt der gewünschten Bahngeschwndgket weterzubewegen. Innere Sngulartäten treten m Inneren des Arbetsraumes auf. Randsngulartäten treten am Rand des Arbetsbereches auf. En Frehetsgrad geht verloren. Gesperrte Rchtung Abhlfe: Kurzzetg bede Achsen zu ener zusammenfassen oder ene Achse enfreren. Ncht-snguläre Stellung Randsngulartät Innere Sngulartät Lnnemann, SoSe 5 Fole

21 Snguläre Achsstellungen enes 6-Achsen-Knckarmrob Achsen, 4, 6 Achsen, 4 Achsen 4, 6 Achsen, 6 Lnnemann, SoSe 5 Fole 3 Bahn mt Sngulartät zur Errechung enes Zels Snguläre Stellung Start Start Zel Zel (ncht errechbar) Hnderns, Arbetraumbegrenzung Hnderns, Arbetraumbegrenzung Sngulartäten treten m praktschen Betreb häufg auf. Manche Roboter bleben bem Auftreten ener Sngulartät enfach stehen. Oft beten de Robotersprachen ene Lösung für de krtschen Bereche an, z.b. werden durch enen Befehl SngArea/Wrst de Handachsen von Bahnauf PTP-Steuerung geschaltet, womt de Sngulartät vermeden wrd. Lnnemann, SoSe 5 Fole 4