D. Dorninger: Angaben für die Übungsaufgaben zu Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik 1 AUFGABEN

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1 D. Dornnger: Angaben für de Übungsaufgaben zu Mahemak für Wrschafsnformak I. INTEGRALRECHNUNG. Konsumenenrene AUFGAEN Für enen Monopolsen se = (p) de Nachfrage n Abhänggke vom Pres p. p h : Höchspres, p : Glechgewchspres (Angebo = Nachfrage) Umsaz U be Absenkung des Preses von p h auf p n Schren p h = p n > p n- >... > p : Enelung E von [p,p h ]. Für =,... n wrd de Menge (p - ) (p ) zum Pres p - gekauf; Käufer, de hren edarf zum Pres p gedeck haben, kommen nch mehr n Frage. Dam n U = (p n ) p n + ((p n- ) (p n )) p n ((p ) (p )) p = ( ) Also beräg der über (p )p hnausgehende Umsaz n = = (p ) Δp. Werden de Dfferenzen mmer klener und klener, so berache man E p h ( ) Δ = ( ) = Konsumenenrene. lm p p p dp p (p ) (p -p )+ p p. - (Es s also vel günsger, glech m dem Inegral zu rechnen als m den Summen.) espel: Für (p) = a + bp, a >, b < (!) berechne man de Konsumenenrene..Grenzberebskosen Seen K de Kosen. Wr berachen de Kosen als Funkon der produzeren Menge: K = K(). Grenzkosen: dk ( dk Δ K ; für Δ = ergeben sch de Kosen für de Produkon ener d d Δ weeren Enhe) Kosen K() als Funkon der erebsze : Grenzkosen k():= dk. d Für ene Maschne mögen de Grenzkosen gemäß der Glechung k() = a + b( e -c ) (a, b, c > ) zunehmen, ( n Sunden). De Were k() = k und k(t) = k für enen Zepunk T > seen bekann. Man berechne enen Melwer für de Grenzkosen m Inervall [,T] und drücke desen lm k aus. durch k, k und k = () Nach dem Melwersaz der Inegralrechnung snd daher de durchschnlchen Grenzkosen T k( ) = k() d = T b c T b ct b b ct a + b + e = a + b + e = a + b ( e ) T c ct ct ct ct k = a, k = a+ b( e ), k = a+ b ct ct k k k k k = k be e = ct= ln b k k

2 D. Dornnger: Angaben für de Übungsaufgaben zu Mahemak für Wrschafsnformak ct ( ) b = k k k k = b e. Dam k k k k k( ) = k = k + ct ln k k ln k k ( ) ( ) espel: Melwer für de Grenzkosen für k() = α + β, k = k(), k(t) = k? espel: Gegeben: Grenzkosen k() m Hnblck auf de Menge + Fkosen K Gesamkosen K() = k() + K. Man berechne de Gesamkosen für k() = 6 6 +, K = 5 3. En Modell zur Enwcklung von Erwerbsbevölkerung L(), Kapalsock K() und Oupu Y() und der Ze. () () α () () () L () L() n (3) I() K () sy() α Y = K L,<α< (Produkonsfunkon) = (eogene Wachsumsrae von L()) = = (Invesonsfunkon, s: Sparquoe) Gegeben: K = K(), L = L(). Man berechne K(). 4.a) 4 d =? b) 9 4 d + =? 5.a) d sn =? b) an d =? 6. Der arwer des gesamen Enkommens berage für ene gewsse erufsspare bs zum τ r Zepunk R() = φτ ( ) e dτ(r: Znssaz >). Man berechne den arwer R() für (a) φ( τ ) = a+ bτ und (b) φ( τ ) = ce λτ ( c, λ>, λ r) 7. d (a )(b ) =?

3 D. Dornnger: Angaben für de Übungsaufgaben zu Mahemak für Wrschafsnformak 3 8. Für den Erwarungswer (das Mel) E(X) ener Zufallsvarablen X gl: ( ) = f( ) d, wobe ( ) E X λ λe für λ > nmm man f() = sons Man berechne E(X) für de obge Dchefunkon. f de Dchefunkon von X s. Für Lebensdauerprozesse ( ) 9. Der Gegenwarswer enes Invesonsgues, welches be seger Verznsung m dem Znssaz p konsane Ennahme z erbrng s gegeben durch p w = ze d. w =? II. MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS. Gesuch snd Defnonsberech D und Wereberech f( D) für folgende Funkonen f; weers besmme man de Höhenlnen. a) ( ) ( ) f, = + f, = 9 6 f, = arcan b) ( ) c) ( ). Gegeben: z = f (,) =. Gesuch snd de Schnkurven m den Ebenen =,= und de Höhenlnen z= z.. Man prüfe, ob de folgenden Funkonen homogen snd: f,,z = + ( z) a) ( ) /3 b) f (,) = + b c c) ( ) = ( > ) f, a a,. γ γ / γ d) Produkonsfunkon Y = c( aa + bk ) ( a,b,c, γ > ) A = Arbe, K = Kapal 3. ( ) ( ) f, = cos+ sn +,f,f,f,f,f,f =? 4. De Nachfrage = a bp nach enem Produk A m dem Pres p hänge von den Presen hp c+ dp3 p,p 3 zweer anderer Produke,C we folg ab: a =,b =. Defnonsberech p3 p von? Inerpreaon des Vorzechens von, =,,3? Parelle Elaszä von nach p p?

4 D. Dornnger: Angaben für de Übungsaufgaben zu Mahemak für Wrschafsnformak 4 5. Für de Kosenfunkon ( ) K v,v = v+ ln v+ v berechne man de Elaszä von K K bezüglch v und jene von v bezüglch v. 6. Man zege, dass ( ) ( ) dz = + e d + + e d en oales Dfferenal s und berechne alle zugehörgen Sammfunkonen. 7. Gesuch: Produkonsfunkon Y f ( A,K) ϕ snd ( ϕ ϕ > ) und Kapal K konsan glech ϕ A bzw. 8.a) Se = ( ) ( ) b) Se = ( ) = deren parelle Elaszäen bezüglch Arbe A,. π π,,. + cos d d =? { } ( ),,. e + e d d =? 9.a) Gegeben seen f(,) = +, g(,) = cos() + sn(), h(,) = + + F M Hlfe der Keenregel berechne man (, ) für de Funkon F(,) = f ( g,h). b) Zwschen dem Oupu z und den Inpufakoren, besehe der Zusammenhang z 3 + z =. Gesuch s de Grenzrae der Subsaon von durch. A. ( ) ( ( ) r r r Y A,K = c d A + dk ). da Y: Oupu, A: Arbe, K: Kapal. c,d,r >. Man zege, dass de Grenzrae s = der dk A Subsuon von Arbe durch Kapal als Funkon des Fakorverhälnsses v = K geschreben werden kann und de Elaszä von s bezüglch v glech r+ s. (Y wrd daher als CES-Funkon bezechne: consan elasc of subsuon). Gegeben: f(,) = ( ) + e. Man besmme ene lneare bzw. quadrasche Appromaon n (,).. De Funkon u = a ln(+ ) + a ln(+ ) (a,a,, ) beschrebe den Nuzen des Konsums der Güermenge,. Man zege: Der Defnonsberech von u(, ) s konve und de Funkon u darüber konkav. Was kann man daraus schleßen? 3. f(,) = Man unersuche de Funkon auf Konveä. 4. Man besmme de relaven Erema der Funkon f(,) =

5 D. Dornnger: Angaben für de Übungsaufgaben zu Mahemak für Wrschafsnformak 5 5. K(, ) = : Produkonskosen für de Güermengen, von A bezehungswese enes Monopolsen. De Nachfragefunkonen seen 8 = p, = p. Gesuch: Mengen, für enen mamalen Gewnn Seen G,G zwe konkurrerende Güer m den Presen p und p. Absezbare Mengen von G bzw. G : g(p,p ) = (a b p )p, g (p,p ) = (a b p )p, (a, a, b, b posve Konsanen); p, p snd de Prese von G bzw. G. Man besmme en relaves Mamum für den Gesamerlös. Gesamerlös: G = g p + g p = p p (a + a b p b p ). 7. Man besmme das absolue Mamum von f(,) = (5 ) auf dem Defnons- D=, R,, + 5. berech ( ) { } 8. Man besmme de absoluen Erema von ( ) ( ) D= (, ),. { } f, = auf 9. Für de Produkon enes Gues werden zwe Inpufakoren (Mengen bzw. ) benög: Produkonsfunkon: = f(,) = 5,( >, > ). Der Gewnn der Produzenen se gegeben durch G(,,p) = p p p. Man ermle de m Gewnnmamum benögen Fakormengen und, de Produkmenge und den Unernehmergewnn für p = 3,p =,p =. 3. M Hlfe der Mehode der Lagrangeschen Mulplkaoren berechne man de möglchen f, = uner der Nebenbedngung + =. Erema der Funkon ( ) 3. Gegeben: Produkonsfunkon ( ) K(, ) 6 = f, = und Kosenfunkon = + +. Möglche mnmale Kosen für enen Oupu von = 4 Mengenenheen? 3. Gegeben: Nuzfunkon u(, ) für zwe Güer sowe deren Prese p und q. Man zege: Nmm u uner der udgebeschränkung p + q = a ( a >, kons) en relaves Mnmum an, dann gl für de Grenznuzen u und u der Zusammenhang u :u = p:q. 33. Man zege, dass de Dfferenalglechung 3 = ene snguläre Lösung besz. 34. Man besmme de Glechgewchslösungen der Dfferenalglechung = ( ) und unersuche dese auf Sablä.

6 D. Dornnger: Angaben für de Übungsaufgaben zu Mahemak für Wrschafsnformak Auswrkungen von Defzen m Saashaushal auf de Saasverschuldung: Seen Y() das Volksenkommen zum Zepunk und D( ) de gesame Saasverschuldung bs zum dd Zepunk : Annahmen: =α Y() ;Y( ) = Y,D( ) = D seen bekann. d D Gesuch: Enwcklung von Y () () c) n enem konsanen Verhälns wächs, d.h. dy = ry. d, falls Y( ) a) konsan bleb, b) lnear wächs, 36. Gesuch s der Zusammenhang zwschen dem Absaz und Werbeaufwand w, falls d a( b ) ( b,a,b );( ) se. dw = < > 37. Man löse de Dfferenalglechung 38. Ebenso = + 3 = e 39. Für de Hersellungskosen K( ) enes Gues als Funkon der produzeren Menge gele: dk ak b c ( a, b,c ) ; K ( ). d + = + > = Man besmme de Funkon K(). 4. Zwe Unernehmen belefern denselben Mark: De Markanele seen () bzw. (), der Werbeaufwand w bzw. w (Konsane). Es gele d kw kw d kw kw = = ( k,k > ). d w+ w d w+ w Es seen ( ) =, ( ) =, + =. Man besmme () und (). K de Kapalaussaung ener Wrschaf und I( ) K ( ) * * Ze. Ferner gele I ( ) = b( K( ) K ) m ( ) ( ) besmmer Glechgewchswer des Kapals. K( ) =? 4. Seen () = de Invesonen zur b >, I = I, K = K ;K s en 4. Gesuch s de allgemene Lösung von 3 e 6 + 9=. 43. Ebenso für = 44. k 5 k+ = k Glechgewche? Sablä? 45. N : Anzahl der Indvduen ener Populaon n den -en Generaon. Es gele

7 D. Dornnger: Angaben für de Übungsaufgaben zu Mahemak für Wrschafsnformak 7 N r K N+ = e N, =,,,... ( r > Zuwachsrae, K > : Umwelkapazä) Glechgewchszusände? Sablä? n+ = 3+ n n,=. Glechgewch? Sablä? 46. ( ) 47. Man löse de Dfferenzenglechung Δk k = 3, k =,,3,...; =. 48. Gesuch s de allgemene Lösung von ( k ) k k + = a..., a kseen paarwese verscheden und snd der Größe nach zu ordnen. We groß s de durchschnlche Anzahl von nowendgen Verglechen be Qucksor von Sedgewck? 5. Man löse de Dfferenzenglechung 4 n+ + n+ 7n = 8, n =,,,...; = 3, = Mulplkaor-Akzeleraormodell von Samuelson Y : Volksenkommen n Perode C : Ausgabe für Konsumgüer I : Invesonen G :Regerungsausgaben Es gele: Y = C + I + G uner folgenden Annahmen: () C =αy ; α> (margnale Konsumnegung) I = β C C, β > (Akzeleraorprnzp) () ( ) (3) G = konsan; ohne eschränkung der Allgemenhe se G =. Man besmme Y für α=,5; β=, Y =, Y = Δ +Δ = k. Allgemene Lösung? k k k