Kreise. Wolf P. Barth. Erlangen, Sommersemester Version vom 8. April Mathematisches Institut der Universitat.

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1 Kreie Wolf P Barth Erlangen, Sommeremeter 1997 Verion vom 8 April 1997 Mathematiche Intitut er Univeritat Bimarcktr 1 1/2, D Erlangen Inhaltverzeichni 1 Ein Krei 3 11 Die Kreigleichung 4 12 Peripheriewinkel Inverion am Krei Sehnenvierecke un Tangentenvierecke 25 2 Viele Kreie Der Raum er Kreie Kreibuchel Polaritat im Raum er Kreie Kreicharen Anhang: Ein urchgerechnete Beipiel 58 3 Zwei Kreie Die beien Ahnlichkeitzentren Beruhrkrei-Scharen Steinerche Kreiketten Getange Zickzack Poncelet-Polygone 103

2 Noli turbare circulo meo! Archimee, 212 v Chr In ieer Vorleung mochte ich einige Tatachen au er Geometrie er Kreie zuammentellen, ie man in er Schule oer in einer Stanarvorleung elten net E gibt einen groen Schatz mehr oer weniger elementarer, mehr oer weniger klaicher Geometrie am Krei Seit etwa 100 Jahren zahlt iee Geometrie aber nicht mehr zur Mathematik an er Univeritat, weil hier er Stanpunkt afur zu hoch it Mir liegt aran, iee Gebiet vor er Vergeenheit zu bewahren E it fur jeen Stuenten leicht zuganglich, er ie Lineare Algebra vertanen hat Un e enthalt viele wunerchone Tatachen, ie auf jeen an Geometrie Intereierten, trotz e elementaren Niveau, einen tarken Reiz auuben An Quellen benutze ich ie folgenen, zt ehr alten Bucher: Coolige, JL: A Treatie on the Circle an the Sphere Oxfor Univ Pre (1916) Coxeter, HSM, Greitzer, SL: Geometry Reviite The Mathematical Aociation of America, 6 Auage (1967) Peoe, D: Circle, A Mathematical View Dover 2 Auage (1979) Salmon, G: A Treatie on Conic Section Longman, Green an Co Lonon (1904) Steiner, J: Geammelte Werke 2 Augabe Chelea (1971) Ich habe mir etwa Muhe gegeben, iee Skriptum auzuarbeiten Wenn e funktioniert, mochte ich ieen Text gelegentlich al Vorlage fur ein Proeminar nutzen Ich habe namlich immer groe Schwierigkeiten, fur Proeminare (auch fur Seminare) paene Texte zu nen Ich wollte auch einmal ie neuen Moglichkeiten nutzen um vom Computer gezeichnete Biler in en Text einzuarbeiten Ich glaube, a hier noch viel getan weren kann Ganz habe ich mein Ziel naturlich nicht erreicht Da anzutrebene Ziel ware: In einem Text uber Geometrie mu auf jeer Seite ein Bil ein Jee geometriche Situation mu urch ein gegeignete Bil illutriert weren Wenn ich ie hatte verwirklichen wollen, hatte ich viel mehr Zeit gebraucht, al ie zwei Monate, ie ich mir fur iee Skriptum genommen habe 2

3 1 Ein Krei In einer mathematichen Vorleung, ganz beoner in einer Anfangervorleung, gibt e eine betimmte Stomenge, ie man behaneln mu Die Reihenfolge, in er man ieen Sto behanelt, ergibt ich au er Logik, welche em Aufbau iee Gebiete zugrune liegt E gibt Variationmoglichkeiten: Man kann ie Integralrechnung vor er Dierentialrechnung behaneln Man kann ie Analyi gleich im IR n machen oer ert in einer Variablen Diee Geichtpunkte ergeben ich meit au em peronlichen Vertanni von Diaktik, oer em Stellenwert, en man er Diaktik im Vergleich zur Reinheit er Lehre beimit Anonten unterliegt ie Reihenfolge e Sto, en Erforernien e logichen Aufbau entprechen trengen Regeln Diee Vorleung verlauft nicht nach em bechriebenen Schema E geht um ein ehr reichhaltige Stogebiet, a meit ehr leicht zu erarbeiten it E gibt unzahlig viele Moglichkeiten, iee Art von Geometrie aufzubauen: Ich bevorzuge meit en rechnerichen Zugang Man konnte genauo gut ynthetich vorgehen, un hier auch wieer a eine oer anere Beweiprinzip bevorzugen, un en Sto aurch zu glieern veruchen Hier gibt e vielfaltige Moglichkeiten, wo man ohne groe Schwierigkeiten Iniviualitat emontrieren kann So it enn Geometrie im Lauf er Zeit auch ein Gebiet geworen, bei em e immer mehr auf en Aufbau un weniger auf ie Inhalte ankam Al Konequenz wure a Gebiet immer langweiliger un it immer mehr au em Stoplan er Schulen verchwunen Weil man en Aufbau eh ehr einfach variieren kann, un weil man in ieer Vorleung ehr oft agen kann, a man ie oer jene ja chon au er Schule kennt, mochte ich auf en Aufbau e Stoe hier wenig Wert legen Dewegen it mir er logiche Aufbau auch fur ie Glieerung e Vorleunginhalt nicht er entcheiene Geichtpunkt Wie oll ich 3

4 en Vorleunginhalt ann aber ont glieern? Ich habe mich afur entchieen, hier nach er Anzahl er Kreie vorzugehen, ie bei em betreenen Problem intereieren In ieem erten Kapitel ammle ich alo Material uber ie Geometrie an einem Krei 11 Die Kreigleichung Die eukliiche Ditanz eine Punkte x = (x 1 ; x 2 ) er Ebene von einem feten Punkt m = (m 1 ; m 2 ) it q (x; m) =k x m k= (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 : Alle Punkte x, ie von m einen feten Abtan r > 0 beitzen, bilen en Krei vom Raiu r mit Mittelpunkt m Weil r > 0 un (x; m) > 0 poitive reelle Zahlen in, it ie Kreigleichung q (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r aquivalent mit er quarierten Gleichung k x m k 2 = (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r 2 : Damit it er Krei ie Nulltellenmenge e Polynom p(x) = (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 r 2 = x x 2 2 2(m 1 x 1 + m 2 x 2 ) + m m 2 2 r 2 : Al erte tellen wir un a Problem, ie Schnittpunkte e Kreie K : p(x) = 0 mit einer Geraen L zu berechnen Dazu geben wir un ie Gerae in Parameterform L : x = a + t v; t 2 IR; vor Dann konnen wir namlich en Punkt x 2 L einfach in ie Kreigleichung einetzen Schnittpunkte in iejenigen Punkte, eren Parameter t ie Gleichung p(a + tv) = k a + tv m k 2 r 2 = t 2 k v k 2 +2t (v:(a m))+ k a m k 2 r 2 = t 2 k v k 2 +2t (v:(a m)) + p(a) = 0 erfullen Die it eine quaratiche Gleichung in t Sie hat ie Dikriminante D := (v:(a m)) 2 p(a) k v k 2 : Von er Dikriminante hangt ie Anzahl er Loungen ieer quaratichen Gleichung ab: 4

5 D > 0 D = 0 D < 0 r m a r r m a r r m a r Zwei Schnittpunkte: Sekante Ein Schnittpunkt: Tangente Kein Schnittpunkt: Nicht Beonere Fur einen Punkt a auf em Krei K it p(a) = 0 Eine Gerae L urch a 2 K mit Richtungvektor v it Tangente, wenn D = (v:(a m)) = 0; h v? (a m): Durch a 2 K gibt e eine einzige Tangente, un iee teht auf em Raiuvektor a m enkrecht Die Gleichung er Tangente an K urch a 2 K it alo ((x a):(a m)) = 0: a m r a x a r m r x Die Gleichung kann man noch etwa uberichtlicher chreiben: ((x a):(a m)) = ((x m) (a m):(a m)) = ((x m):(a m)) k a m k 2 = ((x m):(a m)) r 2 = (x 1 m 1 )(a 1 m 1 ) + (x 2 m 2 )(a 2 m 2 ) r 2 = 0: Diee Form er Tangentengleichung T a (x) := (x 1 m 1 )(a 1 m 1 ) + (x 2 m 2 )(a 2 m 2 ) r 2 = 0 5

6 it ymmetrich in x un a E liegt nahe, ie Rolle von x un a zu vertauchen: Fixieren wir alo einen Punkt x 2 IR 2 un faen ie letzte Gleichung al Gleichung fur a auf Die Gleichung it linear in a un bechreibt ewegen eine Gerae P x = fy 2 IR 2 : P x (y) = 0g mit P x (y) := ((x m):(y m)) r 2 : Diee Gerae heit ie Polare e Punkte x bezuglich e Kreie K Die Schnittpunkte er Polaren P x mit K in genau ie Beruhrpunkte er Tangenten an K urch x r r m r x r P x Wenn x im Kreiinneren liegt, ann gibt e urch x keine Tangenten an K Dann liegt ie Polare P x auch ganz auerhalb e Kreie un chneiet K nicht Jee Gerae L, ie nicht urch en Kreimittelpunkt geht it Polare eine eineutig betimmten Punkte p: Weil L nicht urch m geht, konnen wir ie Geraengleichung in er Form c 1 (x 1 m 1 ) + c 2 (x 2 m 2 ) 1 = 0 chreiben Die it ie Polare e Punkte p := (m 1 + c 1 ; m 2 + c 2 )=r 2 : Die Beziehung zwichen Pol un Polare it ymmetrich: P x (y) = (x 1 m 1 )(y 1 m 1 ) + (x 2 m 2 )(y 2 m 2 ) r 2 = P y (x): Man kann ie Gleichung er Tangenten an en Krei urch einen Punkt u auerhalb e Kreie auch explizit angeben Damit ie Formeln nicht zu unuberichtlich weren, mochte ich ie hier aber nur fur en Einheitkrei p(x) = 0; p(x) = x x 2 2 1; machen Die Polare teht enkrecht auf u, im Abtan 1= k u k vom Kreizentrum Um ie zu parametriieren enieren wir en Vektor u? := (u 2 ; u 1 ): 6

7 Dann it P u = u k u k 2 + IR u? : Die Schnittpunkte er Polare mit em Krei in u= k u k 2 +t u? mit Alo erhalten wir k u k u k 2 + t u? k 2 = 1 k u k 2 + t2 k u k 2 = 1: t 2 k u k 2 = 1 1 k u k 2 un ie Beruhrpunkte er Tangenten in = p(u) k u k 2 ; u q k u k p(u) 2 u? k u k 2 : q t = p(u) k u k 2 Die Tangenten, ie Geraen urch u un iee Beruhrpunkte, haben ann ie Gleichungen q T (x) := (u p(u)) u? :x k u k 2 = 0: Um iee Gleichungen anzugeben, muten wir eine Wurzel ziehen, wa ann auf zwei Vorzeichen un ie zwei Tangenten fuhrte Da kann man vermeien, wenn man nicht beie Tangenten eparat angibt, onern a Proukt ihrer Gleichungen: T + (x) T (x) = Diee Gleichung q (u:x) k u k 2 + p(u)(u? :x) = (u:x) k u k 2 2 p(u)(u? :x) 2 q (u:x) k u k 2 p(u)(u? :x) = (u:x) 2 (k u k 2 1)(u? :x) 2 2 k u k 2 (u:x)+ k u k 4 = (u:x) 2 + (u? :x) 2 k u k 2 (u? :x) 2 + 2(u:x) k u k 2 {z } =kuk 2 kxk 2 = k u k 2 k x k 2 (u? :x) 2 2(u:x)+ k u k 2 = k u k 2 k x k 2 (k u k 2 k x k 2 (u:x) 2 ) 2(u:x)+ k u k 2 = k u k 2 (u:x) 2 2(u:x) + 1 k u k 2 k x k 2 + k u k 2 + k x k 2 +1 = k u k 2 ((u:x) 1) 2 (k u k 2 1)(k x k 2 1) = k u k 2 P u (x) 2 p(u) p(x) : P u (x) 2 p(u)p(x) = 0 fur a Proukt er beien Kreitangenten urch u hat jetzt eine Form, ie ich bei Bewegungen er Ebene un bei Streckungen nicht anert Sie it ewegen gultig fur alle Kreie p(x) = 0, nicht notwenig im Urprung zentriert, un nicht notwenig vom Raiu 1 7

8 It ein Dreieck mit en Ecken a; b; c gegeben, o nennt man a Dreieck mit en Seiten P a ; P b ; P c a zugehorige Polarreieck Der Eckpunkt c 0 := P a \ P b e Polarreieck it polar zu a un b: P a (c 0 ) = P b (c 0 ) = 0: Dewegen it ie Dreieckeite ab ie Polare P c 0 Die Beziehung zwichen Dreieck un Polarreieck it ymmetrich: Da urprungliche Dreieck abc it a Polarreieck zu a 0 b 0 c 0, wo b 0 = P a \ P c un a 0 = P b \ P c b a e P b P a P c Satz (Polarreiecke): Ein Dreieck un ein Polarreieck in perpektiv, h, ie Verbinunggeraen aa 0 ; bb 0 un cc 0 gehen urch einen Punkt Bewei Jee Gerae urch c 0 = P a \ P b hat eine Gleichung C(x) = P a (x) + P b (x) = 0: Diee Gerae geht urch c, wenn C(c) = 0 Da it zb fur := P b (c) un := P a (c) er Fall Dewegen it C(x) := P b (c) P a (x) P a (c) P b (x) = 0 eine Gleichung fur ie Gerae cc 0 Genauo nen wir Gleichungen fur ie Verbinunggeraen aa 0 un bb 0 : A(x) := P c (a) P b (x) P b (a) P c (x) = 0; B(x) := P a (b) P c (x) P c (b) P a (x) = 0: Au en Symmetrieen P a (b) = P b (a); P b (c) = P c (b); P c (a) = P a (c) c 8

9 folgt A(x) + B(x) + C(x) 0: Dewegen geht ie Gerae C(x) = 0 urch en Schnittpunkt A(x) = B(x) = 0 er beien aneren Geraen Man kann ie Punkte a; b un c inbeonere auf em Krei K elbt wahlen Die Polaren in ann ie Tangenten an en Krei, un er Krei it er Inkrei e Dreieck a 0 b 0 c 0 Man net en Satz (Beruhrpunkte e Inkreie): Verbinet man jee Ecke eine Dreieck mit em Beruhrpunkt e Inkreie auf er Gegeneite, o treen ich iee rei Verbinunglinien in einem Punkt b a e c Sehen wir un ie Gleichung fur ie Schnittpunkte e Kreie K mit er Geraen L : a+tv noch einmal an, un zwar fur en Fall, a er Richtungvektor v auf Lange k v k= 1 normiert it Dann lautet iee Gleichung t 2 + 2t (v:(a m)) + p(a) = 0: Nach em Satz von Vieta gilt fur ihre beien Loungen t 1 un t 2 (fall ie reell in, aber naturlich auch wenn ie komplex in, nur intereiert e un ann nicht): t 1 t 2 = p(a) =k a m k 2 r 2 : Die Zahlen t 1 un t 2 in genau ie Langen er Vektoren t 1 v un t 2 v, ie en feten Punkt a mit en beien Schnittpunkten a + t i v von K un L verbinen Genauer: E in ie mit Vorzeichen verehenen Langen: poitiv, wenn er Schnittpunkt in Richtung von v liegt, un negativ, wenn er in er aneren Richtung liegt Da Proukt er o orientierten Sekantenabchnitte it gleich em Wert p(a) er Kreigleichung im Punkt a Da Bemerkenwerte it, a ie gilt unabhangig von er Richtung er Geraen L urch a Die it er 9

10 Sekanten-Abchnitt-Satz: E ei K : p(x) = 0 ein Krei un a ein feter Punkt Dann gilt fur jee Sekante L urch a: Da Proukt er (orientierten) Abtane von a zu en beien Schnittpunkten er Sekante mit K it gleich p(a), unabhangig von er Wahl von L Diee Proukt it negativ, wenn ie beien Schnittpunkte auf L von a au geehen in verchieener Richtung liegen Dann it p(a) < 0 un a liegt im Inneren e Kreie Fall a im Aueren e Kreie liegt, it p(a) > 0 un beie Schnittpunkte liegen von a au geehen in er gleichen Richtung Am klarten wir er Sekanten-Abchnitt-Satz in em Fall, a ie Sekante ein Durchmeer it, h, wenn ie Sekante urch en Mittelpunkt m e Kreie geht: Die beien Sekantenabchnitte in k a m k +r un k a m k r, un ihr Proukt it (k a m k +r) (k a m k r) =k a m k 2 r 2 = p(a): m r k a m k r - r - a k a m k +r Fur en Fall a wir keine Sekante, onern eine Tangente L haben, fallen ie beien Loungen t 1 un t 2 er quaratichen Gleichung zuammen Aber auch ann gilt er Satz von Vieta Darau erhalten wir en Sekanten-Tangenten-Abchnitt-Satz: E ei K ein Krei un a ein feter Punkt im Aueren e Kreie Da Quarat t 2 e Abtan t von a zu en beien Beruhrpunkten er Tangenten an K urch a it gleich em Proukt p(a) er Sekantenabchnitte auf allen Sekanten urch a Der Sekanten-Abchnittatz un er Sekanten-Tangenten-Abchnittatz laen ich folgenermaen umkehren: Satz (Vier Punkte auf einem Krei): a) E eien x 1 ; x 2 ; y 1 un y 2 2 IR 2 vier Punkte Keine rei avon mogen auf einer Geraen liegen Die Geraen L : x 1 x 2 un M : y 1 y 2 eien nicht parallel Diee vier Punkte liegen genau ann alle auf einem Krei, wenn fur ihre orientierten Abtane zum Schnittpunkt a er Geraen L un M gilt: k a x 1 k k a x 2 k=k a y 1 k k a y 2 k : 10

11 b) E eien x 1 ; x 2 un y 2 IR 2 rei Punkte nicht auf einer Geraen Weiter ei M eine Gerae urch y, nicht parallel zur Geraen L : x 1 x 2 Der Krei urch ie rei Punkte x 1 ; x 2 un y beruhrt genau ann ie Gerae M, wenn fur ihre orientierten Abtane zum Schnittpunkt a := L \ M gilt: k a x 1 k k a x 2 k=k a y k 2 : Bewei a) Weil x 1 ; x 2 un y 1 nicht auf einer Geraen liegen, gibt e genau einen Krei K urch iee rei Punkte E ei y 0 er zweite Schnittpunkt von K mit er Geraen M Au er Vorauetzung un em Sekanten-Abchnitt-Satz folgt k a y 1 k k a y 2 k = k a x 1 k k a x 2 k = k a y 1 k k a y 0 k k a y 2 k = k a y 0 k Die Punkte y 2 un y 0 auf M haben alo von a 2 M enelben Abtan Weil wir ie Abtane mit Vorzeichen genommen haben, liegen iee beien Punkte auch auf erelben Seite von a Dewegen muen beie Punkte ubereintimmen un e folgt y 2 = y 0 2 K b) In ieem Fall verlauft er Bewei ganz analog zu a), nur wir er Sekanten-Tangenten- Abchnitt-Satz verwenet Denition: E ei K ein Krei mit er Gleichung p(x) = (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 r 2 = 0: Dann heit ie fur jeen Punkt x 2 IR 2 enierte Zahl p(x) ie Potenz e Punkte x in Bezug auf en Krei K Die Potenz p(x) it alo nicht anere, al ie Ortfunktion p, welche en Krei eniert, augewertet im Punkt x Fur iee Funktion gilt ie folgene Verion er Polariationformel: Satz (Polariationformel): p(x) + p(y) =k x y k 2 +2P x (y) Bewei p(x) = k x m k 2 r 2 = k x k 2 2(m; x)+ k m k 2 r 2 ; p(x) + p(y) = k x k 2 + k y k 2 2(m; x) 2(m; y) + 2(k m k 2 r 2 ) = k x y k 2 +2 (x; y) (m; x) (m; y)+ k m k 2 r 2 = k x y k 2 +2(x m; y m) r 2 ) = k x y k 2 +2P x (y): Denition Zwei Punkte x un y heien in Bezug auf en Krei konjugiert, wenn P x (y) = P y (x) = 0: Korollar zur Polariationformel: Fur zwei konjugierte Punkte x un y it p(x) + p(y) =k x y k 2 : 11

12 12 Peripheriewinkel Der Peripherie-Winkel-Satz au er Schule lautet: Uber er gleichen Sehne eine Kreie liegen gleiche Winkel Dieer Satz it im Weentlichen nur eine Umformulierung e Sekanten- Abchnitt-Satze Formulieren wir ieen Satz etwa aufuhrlicher: Satz (Peripherie-Winkel): E eien x 1 ; x 2 ; y 2 un y 1 vier verchieene Punkte, ie (in ieer Reihenfolge) auf einem Krei liegen Dann it 6 x 1 x 2 y 1 = 6 x 1 y 2 y 1 : Bewei Wenn ie Sehnen x 1 x 2 un y 1 y 2 parallel in, in ie Seiten eine Trapeze, a piegelymmetrich zum Kreiurchmeer liegt, er auf beien Sehnen enkrecht teht Dann it ie Auage ziemlich elementar Nehmen wir alo an, beie Sehnen eien nicht parallel, un ei a ihr Schnittpunkt Die Dreiecke x 1 ay 2 un y 1 ax 2 haben en Winkel bei a gemeinam Au em Sekanten-Abchnitt- Satz folgt fur ihre Seiten Darau erhalten wir ie Proportionen k a x 1 k k a x 2 k=k a y 1 k k a y 2 k : k a x 1 k k a y 2 k = k a y 1 k k a x 2 k : Alo in beie Dreiecke ahnlich Unter er Ahnlichkeit entprechen ich ie Nebenwinkel unerer beien Peripherie-Winkel Alo in beie Peripheriewinkel gleich y 1 y 2 a x 2 x 1 Fallen ie beien Punkte y 1 un y 2 zuammen, mu man ihre Sekante urch ie Tangente eretzen: 12

13 Satz (Peripherie- un Tangentenwinkel): E eien x 1 ; x 2 un y rei verchieene Punkte auf einem Krei Dann it er Peripheriewinkel 6 x 1 x 2 y gleich em Sekanten-Tangentenwinkel an ie Sekante x 1 y auf er em Punkt x 2 abgewanten Seite y a x 2 x 1 Diee Auage folgt genauo au em Sekanten-Tangenten-Abchnitt-Satz, wie er Peripheriewinkel-Satz au em Sekanten-Abchnitt-Satz Eine Sekante teilt en Krei in zwei komplemetare Kreibogen In jeem er beien Kreibogen in ie Peripheriewinkel alle gleich Un ie in auch gleich em entprechenen Winkel zwichen er Sehne un er Kreitangente im Schnittpunkt von Sehne un Krei Die beien Winkel zwichen Sehne un Tangente in aber komplementar, ie erganzen ich zu (Nebenwinkel) Darau folgt er Satz (Komplementare Peripheriewinkel): Die Peripheriewinkel in en beien komplementaren Kreibogen zu einer Sekante erganzen ich zur Summe Geht ie Sekante inbeonere urch en Kreimittelpunkt, o gehen ie komplementaren Kreibogen urch Spiegelung an er Sekante ineinaner uber Die komplementaren Peripheriewinkel muen alo gleich ein Dann in ie alle gleich =2 Da it er Satz vom Thalekrei: uber einem Durchmeer eine Kreie liegen al Peripheriewinkel lauter rechte Winkel Genauo wie en Sekanten-Abchnitt-Satz kann man auch en Peripheriewinkel-Satz umkehren: Satz (Vier Punkte auf einem Krei): a) E eien x 1 ; x 2 ; y 2 un y 1 vier Punkte, o, a ie Winkel 6 x 1 x 2 y 1 = 6 x 1 y 2 y 1 ubereintimmen Dann liegen iee vier Punkte auf einem Krei b) E eien x 1 ; x 2 un y rei Punkte, un L eine Gerae urch y o, a er Winkel 6 x 1 x 2 y mit em Winkel zwichen en Geraen x 1 y un L (auf er em Punkt x 2 abgewanten Seite) ubereintimmt Dann beruhrt er Krei urch x 1 ; x 2 ; y ie Gerae L in y 13

14 Bewei a) E ei K er Krei urch x 1 ; x 2 un y 1 Der zweite Schnittpunkt von K mit er Geraen y 1 y 2 ei y 0 Dann it er Peripheriewinkel x 1 y 0 y 1 = x 1 x 2 y 1 nach Vorauetzung gleich em Winkel x 1 y 2 y 1 Darau folgt 6 y 1 x 1 y 2 = 6 y 1 x 1 y 0 : Dewegen liegen y 2 un y 0 auf erelben Geraen urch x 1 Dann muen beie Punkte al Schnittpunkt ieer Geraen mit er Geraen y 1 y 2 ubereintimmen b) Der Bewei ieer Auage verlauft ahnlich Vier Punkte bilen ie Ecken eine Viereck (ebeno, wie rei Punkte ie Ecken eine Dreieck) Liegen ie vier Ecken eine Viereck auf einem Krei, o nennt man a Viereck ein Sehnenviereck (Die rei Ecken eine Dreieck liegen immer auf einem Krei) Die Umkehrungen e Sekanten-Abchnitt-Satze un e Peripheriewinkel-Satze kann man al Charakteriierungen von Sehnenvierecken auaen Viel hauger trit man aber auf ie folgene Charakteriierung: Satz (Sehnenvierecke): Ein Viereck it genau ann ein Sehnenviereck, wenn ich ie gegenuberliegenen Winkelpaare zur Summe erganzen Bewei Da Viereck were gebilet von en vier Punkten a; b; c un mit ihren Winkeln ; ; un Die Vorauetzung it + = : Die rei Punkte a; b un c konnen nicht auf einer Geraen liegen (Denn lagen ie, etwa in ieer Reihenfolge, auf einer Geraen, ann ware = ; = 0 un irgenwie geht a nicht) E gibt alo einen Krei K urch iee rei Punkte Uber er Sehne ac iee Kreie liegt auf er Seite von b er Peripheriewinkel un auf er aneren Seite er Komplementarwinkel = Da it aber auch er Winkel ca Au em letzten Satz folgt, a ann auch auf em Krei K legen mu a c p x x 0 u x 00 y 0 y 00 y q b 14

15 Zum Abchlu iee Paragraphen mochte ich al Anwenung e Peripheriewinkel-Satze einen Satz beweien, er en chonen Namen 'Schmetterling-Satz' tragt (Coxeter-Greitzer, p45), mir aber ont noch nirgen begegnet it Satz (vom Schmetterling): E eien p un q 2 K zwei Punkte auf einem Krei K un u er Mittelpunkt er Sehne S = pq urch iee Punkte Sin ab un c zwei weitere Sehnen urch ieen Mittelpunkt u, un X := a owie Y := bc ie Verbinunggeraen mit en Schnittpunkten x := X \ S, bzw y := Y \ S, o it u auch er Mittelpunkt er Strecke xy Bewei Wir fallen Lote vom Punkt auf ie Gerae mit Fupunkt x ab x 0 x c x 00 y ab y 0 y c y 00 Die folgenen vier Dreieckpaare in ahnlich, weil ie gleiche Winkel haben (beim ritten Paar benutzen wir en Peripheriewinkel-Satz in en Punkten a un c, un beim vierten Paar in en Punkten un b): Wir etzen zur Abkurzung ahnliche Dreiecke =) Proportionen uxx 0 uyy 0 k u x k k u y k = k x0 x k k y 0 y k uxx 00 uyy 00 k u x k k u y k = k x00 x k k y 00 y k k x axx 0 cyy 0 x k 00 k y 00 y k = k a x k k c y k xx 00 byy 0 k x 00 x k k y 0 y k = k x k k b y k a :=k u p k=k u q k; x :=k u x k; y :=k u y k un folgern au en angegebenen Proportionen unter Anwenung e Sekanten-Abchnitt- Satze x 2 = k x x0 k y 2 k y y 0 k k x x00 k k y y 00 k = k x x0 k k y y 00 k k x x00 k k y y 0 k = k x a k k x k k y c k k y b k 15

16 = k x p k k x q k k y p k k y q k (a x)(a + x) = (a + y)(a y) = a2 x 2 a 2 y 2 : Wenn wir mit en Nennern er Bruche erweitern, ehen wir Weil x un y > 0 in, folgt arau x = y x 2 (a 2 y 2 ) = y 2 (a 2 x 2 ) x 2 a 2 = y 2 a 2 x 2 = y 2 : 13 Inverion am Krei Die Inverion am Einheitkrei it ie Abbilung E : x 2 + y 2 = 1 I : x 7! x 0 = 1 k x k 2x: Der Bilpunkt x 0 liegt auf emelben Strahl IR + x urch en Nullpunkt, wie er Punkt x Die Entfernung k x 0 k e Bilpunkt vom Nullpunkt it a Invere 1= k x k er Entfernung k x k e Punkte x vom Nullpunkt: k x 0 k k x k=k 1 k x k2 k x k2x k k x k= k x k = 1: 2 b b r b b 16

17 Die Punkte auf em Einheitkrei in ihre eigenen Bilpunkte: k x k= 1 =) x 0 = x: Der Nullpunkt 0 hat unter ieer Inverion kein Bil Die Inverion an einem beliebigen Krei it ie Abbilung I K : x 7! m + K : k x m k 2 = r 2 r 2 k x m k2(x m): Die folgenen Eigenchaften er Inverion I K in ofort einichtig: Satz (Elementare Eigenchaften er Inverion): a) Die Inverion it eniert fur alle x 2 IR 2 ; x 6= m b) Die Inverion it eine Involution: I K I K = i c) Die Halbtrahlen m + IR + (x m) urch a Kreizentrum weren auf ich abgebilet ) Fur ie Abtane e Punkte x un eine Bilpunkte x 0 = I K (x) vom Kreizentrum gilt k x m k k x 0 m k= r 2 : e) Die Punkte e Kreie K weren in ich abgebilet Bewei Eigenchaft a) it klar Al nachte zeigen wir ): Zu b): k I K (x) m k = k I K (I K (x)) = m + = r 2 k x m k2(x m) k r 2 k x m k r 2 k I K (x) m k 2 (I K(x) m) r = m 2 r 2 + (x m) (r 2 = k x m k) 2 2 k x m k = m + (x m) = x: c) it wieer klar, un e) folgt au c) un ) Statt " x 0 it a Bil von x unter er Inverion am Krei K\ agt man auch: " Die Punkte x un x 0 in bezuglich K zueinaner inver\ Die Inverion it keine lineare oer ane Abbilung, chon ewegen nicht, weil e einen Punkt er Ebene (a Kreizentrum) gibt, wo ie nicht eniert it Aber ie it er Geometrie er Kreie im folgenen Sinn beoner gut angepat: 17!

18 Satz (Biler von Kreien unter er Inverion): Die Inverion an einem Krei mit Mittelpunkt m fuhrt 8 >< >: eine Gerae urch m eine Gerae nicht urch m einen Krei urch m einen Krei nicht urch m 9 8 >= >< in >; >: ieelbe Gerae urch m einen Krei urch m eine Gerae nicht urch m einen Krei nicht urch m 9 >= uber >; Bewei Die Auage it invariant gegenuber Tranlationen un Streckungen Dewegen nehmen wir (um ie Notation zu vereinfachen) oba an, er Krei ei er Einheitkrei mit Mittelpunkt 0 un Raiu 1 Die Inverion it alo I : x 7! x 0 = x k x k : 2 Die Behauptung fur Geraen urch en Kreimittelpunkt it nach Teil c) e vorhergehenen Satze klar Betrachten wir alo eine Gerae L : a x 1 + b x 2 1 = 0 nicht urch en Nullpunkt Weil I eine Involution it, timmt a Bil I(L) ieer Geraen mit eren Urbil I 1 (L) uberein Wir erhalten I(L) alo, inem wir x 0 in ie Geraengleichung einetzen: a x b x = a k x k + b x 2 k x k 1 x 1 a x 1 + b x 2 k x k = x x2 ax 2 1 bx 2 x 1 a 2 + x2 b! 2 a2 + b Die Nulltelle iee Polynom it ein Krei mit Mittelpunkt m = (a=2; b=2) un Raiu k m k Oenbar enthalt er en Nullpunkt Variiert man in er oeben urchgefuhrten Rechnung ie Kontanten a un b, o kommen al Ergebni alle Kreie urch en Nullpunkt herau: Jeer Krei K urch en Nullpunkt 0 it a Bil I(L) einer Geraen L, ie nicht urch 0 geht Weil I eine Involution it, folgt arau I(K) = L Da Bil eine Kreie urch en Nullpunkt it alo eine Gerae, ie nicht urch en Nullpunkt geht Sei jetzt K : k x m k 2 r 2 = 0 ein Krei, er nicht urch en Nullpunkt geht (p :=k m k 2 r 2 6= 0) Wie eben fur ie Gerae berechnen wir ein Bil(= Urbil), inem wir x 0 in ie Gleichung von K einetzen: k x 0 m k 2 r 2 = k x k x k 2 m k2 r 2 18

19 = k x k2 k x k 2(x:m) 4 k x k + k m 2 k2 r 2 1 = k x k 2(x:m) 2 k x k + p 2 1 2(x:m) + p k x k 2 k x k 2 2(x:m) p + 1 p = k x m p k2 k m k2 p 2 = k x 1 p m k2 r2 p 2 Diee Polynom bechreibt einen Krei mit Zentrum m=p un Raiu r=p Jetzt wollen wir vorubergehen, fur einen kurzen Moment, an ie komplexen Zahlen enken Statt e Vektor x = (x 1 ; x 2 ) chreiben wir ie komplexe Zahl z = x 1 +ix 2 Dann it ie Formel fur ie Inverion am Einheitkrei I : z 7! z 0 = z jzj 2 = z z z = 1 z : Sie it zuammengeetzt au er holomorphen Kehrwertabbilung z 7! 1=z un er komplexen Konjugation z 7! z Dewegen it ie konform, un zwar genauer orientierungumrehen un winkeltreu Die Winkeltreue it fur ie Geometrie ehr wichtig Wir weren ie laufen benutzen Man kann iee Eigenchaft auch ohne ie komplexen Zahlen beweien, inem man ie Funktionalmatrix er Abbilung x 7! x 0 aurechnet Da it Analyi Dewegen wollen wir a hier nicht machen Statteen mochte ich ie Winkeltreue geometrich beweien Dabei beweien wir ann gleich auch noch einmal biher angegebene Eigenchaften er Inverion auf geometrichem Weg (Ich halte mich abei ziemlich wortlich an Peoe, p6-9) + 1 p K m x 0 x a a 0 K x 0 x m a a 0 I(L) I(L) L L 19

20 Zunacht betimmen wir geometrich ie inveren Figuren von Kreien un Geraen Betrachten wir zunacht eine Gerae L, ie nicht urch en Mittelpunkt m e Inverionkreie K geht a 2 L ei er Fupunkt e Lote von m auf L Sein Bilpunkt unter er Inverion an K ei a 0 Fur jeen Punkt x 2 L mit Bilpunkt x 0 gilt ann k x m k k x 0 m k= r 2 =k a m k k a 0 m k : Nach er Umkehrung e Sekanten-Abchnitt-Satze liegen ie vier Punkte a; a 0 ; x un x 0 auf einem Krei Da Sehnenviereck a; a 0 ; x 0 ; x hat bei a einen rechten Winkel Entweer liegt er Punkt x 0 auf er aneren Seite er Sehne a 0 x wie a Dann it er Gegenwinkel 6 a 0 x 0 x = 6 xaa 0 = =2 Oer x 0 liegt auf erelben Seite wie a Dann it 6 a 0 x 0 x = 6 a 0 ax = =2 al Peripheriewinkel uber erelben Sehne In beien Fallen it 6 a 0 x 0 m = 6 a 0 x 0 x = =2 Dewegen liegt x 0 auf em Thalekrei uber ma 0 Wir haben bewieen: Da Bil I(L) er Geraen L unter er Inverion it enthalten im Krei mit em Durchmeer ma 0 Die Argumentation it aber umkehrbar, un o ehen wir: Eine Gerae L, nicht urch en Mittelpunkt e Inverionkreie it inver zu einem Krei L 0 = C urch en Mittelpunkt m, een Tangente T m (C) in m parallel zu L it Wenn ie Gerae L en Krei K chneiet, geht er Krei I(L) auch urch ie Schnittpunkte von L un K Wenn L en Krei K aber nicht chneiet, kann er Krei I(L) en Krei K auch nicht chneien, er mu ann ganz im Inneren von K verlaufen: K m x 0 a 0 x a I(L) L Jetzt wollen wir un geometrich uberlegen, wa ie invere Figur zu einem Krei C it, er nicht urch en Mittelpunkt m e Inverionkreie geht Zu jeem Punkt x 2 C gibt e einen zweiten Schnittpunkt y er Verbinunggerae mx mit C Nach Denition er Potenz it ie Potenz e Inverionzentrum m bezuglich C p C (m) =k x m k k y m k : 20

21 Diee Potenz p C (m) it 6= 0, weil C nicht urch m geht Anerereit it fur en Bilpunkt x 0 = I(x) k x m k k x 0 m k= r 2 : Ingeamt folgt k x 0 m k= r2 p(m) k y m k : Den Punkt x 0 erhalt man au y urch zentriche Streckung (Zentrum m) mit em von x un x 0 unabhangigen Faktor r 2 =p C (m) Wenn x en Krei C urchlauft, o tut ie auch y Wir ehen: Da Invere I(C) e Kreie C wir au C urch eine zentriche Streckung erhalten, un it ewegen wieer ein Krei C 0 K m y c c x c c C x0 C 0 Schlielich wollen wir un noch mit er Winkeltreue er Inverion befaen Winkel in an ich zwichen zwei ich chneienen Geraen eniert Die inveren Biler von Geraen in aber meiten Kreie Dewegen muen wir Winkel zwichen ich chneienen Kreien betrachten Der Winkel zwichen zwei Kreien C 1 un C 2 in einem Schnittpunkt x 2 C \ C 0 it naturlich er Winkel zwichen ihren Tangenten T x (C) un T x (C 0 ) Au Symmetriegrunen it ieer Winkel in beien Schnittpunkten erelbe Zwei Kreie C 1 un C 2 konnen ich beruhren, genauo wie ich Krei un Gerae beruhren konnen Sie haben ann nur einen einzigen Schnittpunkt Weil ie Inverion (auerhalb e Inverionzentrum) bijektiv it, haben ann ie inveren Kreie C 0 1 un C 0 2 auch genau einen Punkt gemeinam, in em ie ich beruhren Darau folgt: Schneien ich zwei Kreie mit em Winkel 0 auerhalb e Inverionzentrum, o chneien ich auch ihre Bilkreie unter 21

22 em Winkel 0 Genauo ieht man: Beruhren ich ein Krei un eine Gerae auerhalb e Inverionzentrum, o gilt ie auch fur ie inveren Kreie, bzw Geraen Damit haben wir zunacht einmal ie Winkeltreue fur en Winkel 0 Satz (Winkeltreue er Inverion): Die Inverion an einem Krei it auerhalb e Inverionzentrum winkeltreu Bewei Betrachten wir zunacht zwei verchieene Kreie C 1 6= C 2, ie ich in einem Punkt x 6= m unter einem Winkel chneien, un ie auerem beie urch a Inverionzentrum m gehen Sie chneien ich ann auch in m unter emelben Winkel Dieen Winkel chlieen auch ihre Tangenten T m (C 1 ) un T m (C 2 ) ein Da Invere Ci 0 e Kreie C i it eine Gerae L i, nicht urch m, aber parallel zur Tangente T m (C i ) Dewegen chneien ich iee Geraen L i = Ci 0 auch wieer unter emelben Winkel T m (C 1 ) ḍ T m (C 2 ) t t x C 0 2 C 1 C 0 1 C 2 Sei jetzt in einem Punkt x 6= m ein beliebiger Winkel gegeben, repraentiert urch zwei ich in x chneiene Geraen L 1 un L 2 Wenn keine er beien Geraen urch m geht, gibt e zwei Kreie C 1 un C 2 urch m, welche auch urch x gehen un ie Geraen L 1 un L 2 ort beruhren Diee Kreie chlieen ann in x en Winkel ein Soeben haben wir geehen, a ihre inveren Geraen C 0 1 un C 0 2 ich im inveren Punkt x0 wieer unter emelben Winkel chneien Die zu L 1 un L 2 inveren Kreie L 0 1 un L 0 2 beruhren ie Geraen C 0 1 un C 0 2 in x 0, un chneien ich ewegen auch unter ieem Winkel E bleibt er Fall zu betrachten, a eine er beien Geraen, etwa L 1, aber nicht L 2 urch a Inverionzentrum m geht Dann gibt e einen Krei C 2 urch m, er auch urch x geht, un L 2 in x beruhrt Er chliet in x un auch in m mit L 1 en Winkel ein Sein Invere it eine Gerae C 0 2 parallel zur Tangente T m (C 2 ) Diee Gerae chneiet alo ie Bilgerae L 0 1 = L 1 auch wieer unter em Winkel 22

23 Im vergangenen Jahrhunert hatten Gerate zur mechanichen Durchfuhrung er Inverion (ogenannte Inveroren) eine gewie praktiche Beeutung E it namlich ein nicht-triviale Problem, urch ein Getange ie geralinige Bewegung eine Zylinerkolben in ie Kreibewegung eine Schwungrae zu uberetzen Dazu kontruierte man mechaniche " Gerafuhrungen\, ie a Gewunchte aber meit (wie etwa in er Wattchen Dampfmachine) nur naherungweie leiteten Inveroren fuhren einen Krei urch a Inverionzentrum in eine Gerae uber, un in ewegen ieale Gerafuhrungen Ich mochte hier zwei erartige Inveroren vortellen: Der Inveror von Peaucellier: Zwei gleichlange Stangen er Lange q in an einem Punkt m (em Inverionzentrum) rehbar angebracht Am aneren Ene er Stangen (Punkte a un b) it an zwei gegenuberliegenen Ecken eine Raute au vier gleichlangen Stangen er Lange p befetigt Die anern beien gegenuberliegenen Ecken ieer Raute eien x un x 0 Alle Verbinungen er Stangen in gelenkig, o a ie Stangen ort beliebige Winkel (innerhalb gewier Grenzen) bilen konnen Inbeonere it er Punkt x in einem Kreiring frei zu bewegen Der innere Raiu iee Kreiring it q p Der Punkt x liegt auf em aueren Ran e Kreiring, wenn er mit x 0 zuammenfallt Dann bilen ie Punkte m; a; x ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei x Dewegen gilt fur en aueren Raiu r iee Kreiring nach Pythagora r 2 = q 2 p 2 : m q c c x c x 0 p a c b c Behauptung: Der Punkt x 0 it inver zu x in Bezug auf en Krei um m mit Raiu r Bewei Der Mittelpunkt er Raute ei c Dann gilt nach Pythagora q 2 = k ac k 2 + k mx k k xx0 k 1 2 p 2 = k ac k k xx0 k r 2 = q 2 p 2 23

24 = k mx k 2 + k mx k k xx 0 k = k mx k (k mx k + k xx 0 k) = k mx k k mx 0 k : Alo in x un x 0 tatachlich inver zueinaner Der Inveror von Hart: Zwei gleichlange Stangen ab un c bilen zwei Seiten eine Trapez-Viereck, zwei anere gleichlange Stangen a un bc eine Diagonalen Wieer in ie Stangen urch Gelenke verbunen un gegeneinaer frei rehbar Au Symmetriegrunen it a Viereck aber immer ein Trapez, un ie Seiten ac un b in jeer Lage parallel zueinaner Da Inverionzentrum it ein feter Punkt m auf er Seite ab Dieer it xiert, um ihn it a Gerat rehbar Die Parallele urch m zu en Seiten ac un b tree ie Diagonale a im Punkt x un ie anere Diagonale bc im Punkt x 0 Weiter ei := k am k k ab k un r := q (1 ) (k a k 2 k ab k 2 ): c c m a h b c c x x 0 c c c Behauptung: Der Punkt x 0 it inver zum Punkt x 0 in Bezug auf en Krei um m mit ieem Raiu r Bewei Au em Strahlenatz am Dreieck ab folgt un au em Strahlenatz am Dreieck abc k mx k= k b k; k mx 0 k= (1 ) k ac k : Nun ei h er Fupunkt e Lote von a auf ie Seite b Dann it k ac k = k h k + k hb k 24

25 k b k = k h k k hb k k ac k k b k = k h k 2 k hb k 2 = k a k 2 k ah k 2 k ab k2 k ah k 2 = k a k 2 k ab k 2 : (Diee Formel k ac k k b k + k ab k 2 =k a k 2 it ein Spezialfall e Satze von Ptolemau, en wir im nachten Paragraphen behaneln weren) Nun folgt k mx k k mx 0 k= (1 ) k ac k k b k= (1 ) k a k 2 k ab k 2 = r 2 : 14 Sehnenvierecke un Tangentenvierecke Jee Dreieck hat einen Umkrei un einen Inkrei Bei Vierecken it a nicht o Ein Viereck, a einen Umkrei hat, heit Sehnenviereck, ein Viereck, a einen Inkrei hat Tangentenviereck Wir haben chon rei Charakteriierungen von Sehnenvierecken kennen gelernt: Da Viereck abc it ein Sehnenviereck, wenn ich ie Seiten ab un c in einem Punkt x chneien, un wenn gilt (Sekanten-Abchnitt-Satz); k x a k k x b k=k x c k k x k ie Winkel 6 acb un 6 ab gleich in (Peripheriewinkel-Satz); ie Winkel 6 abc un 6 ca komplementar in Die beien letzten Beingungen in notwenig un hinreichen Die erte Beingung it hinreichen, un wenn ie Seiten nicht parallel in, auch notwenig Dieen rei Charakteriierungen e Sehnenviereck wollen wir jetzt eine vierte hinzufugen (Ich folge hier wieer ziemlich wortlich Peoe, p10/11) Satz (e Ptolemau): Fur je vier Punkte a; b; c un in er Ebene gilt ie Ungleichung k a b k k c k + k b c k k a kk a c k k b k : In ieer Ungleichung gilt genau ann a Gleichheitzeichen, wenn ie vier Punkte in er Reihenfolge a; b; c; auf einem Krei oer auf einer Geraen liegen 25

26 Bewei Wir betrachten zuert ganz allgemein ie Auwirkung er Inverion an einem Krei auf ie Langen von Verbinunggeraen: E ei K er Krei mit Mittelpunkt m un Raiu r Sin p un q zwei Punkte mit en Inveren p 0 un q 0, ann it k p m k k p 0 m k= r 2 =k q m k k q 0 m k : Die vier Punkte p; p; q 0 ; q liegen auf einem Krei, un ie folgenen Winkel in gleich 6 mpq = 6 mq 0 p 0 ; 6 mp 0 q 0 = 6 mqp: (Je nach er Reihenfolge, in er iee vier Punkte auf em Krei liegen, folgt ie au em Satz uber ie Gegenwinkel im Sehnenviereck, oer em Peripheriewinkel-Satz) Die Dreiecke mpq un mq 0 p 0 in alo ahnlich Darau ergibt ich ie Proportion un k p 0 q 0 k k p q k = k m p0 k k m q k = k m p k k m p0 k k m p k k m q k = r 2 k m p k k m q k k p 0 q 0 k= r 2 k m p k k m q k k p q k : Jetzt invertieren wir ie rei Punkte b; c un an einem Krei mit Mittelpunkt a Ihre Inveren eien b 0 ; c 0 un 0 Fur ie gilt ie Dreieckungleichung k b 0 c 0 k + k c 0 0 kk b 0 0 k : Die Gleichheit gilt hier genau ann, wenn er Punkt c 0 auf er Geraen b 0 0 zwichen b 0 un 0 liegt Fur ie inveren Punkte folgt au er Dreieckungleichung beziehungweie k b c k k a b k k a c k + k c k k a c k k a k k b k k a b k k a k ; k a b k k c k + k a k k b c kk a c k k b k : Un hier gilt genau ann ie Gleichheit, wenn c 0 auf er Geraen b 0 0 zwichen b 0 un 0 liegt In ieem Fall liegen ie Punkte a; b; c; in ieer Reihenfolge auf einem Krei oer einer Geraen Wenen wir un jetzt em Tangentenviereck zu, h, em Viereck mit einem Inkrei Wir brauchen abei au er Schule bekannte Formeln fur ie Beruhrpunkte von Inkrei un Ankrei im Dreieck Seien azu wie ublich ie Langen er Dreieckeiten un a :=k b c k; b :=k a c k; c :k b a k := 1 (a + b + c) 2 26

27 er halbe Dreieckumfang Wir bezeichnen mit a i ; b i ; c i ie Abtane er Ecken a; b; c von en Beruhrpunkten e Inkreie, owie mit b a ; c a ie Abtane er Ecken b; c von en Beruhrpunkten ejenigen Ankreie, er er Ecke a gegenuber liegt (Die Abtane c b ; a b un a c ; b c eien analog eniert Dann gilt fur en Inkrei b i + c i = a a i + b i + c i = Die Beruhrpunktabtane e Inkreie in alo a i = a: a i = a; b i = b; c i = c: a a i a i c c i c c a c c c c c b i b b a Fur en Ankrei haben wir b a + c a = a c + b a = b + c a b a c a = b c 2b a = a + b c b a = c: Die Beruhrpunktabtane e Ankreie in alo b a = c; c a = b; uw Jetzt kommen wir zur Charakteriierung e Tangentenviereck Satz (Tangentenviereck): Ein Viereck abc beitzt genau ann einen Inkrei, wenn ie Summen er Langen gegenuberliegener Seiten ubereintimmen: k a b k + k c k=k a k + k b c k 27

28 Bewei Nehmen wir zunacht an, uner Viereck beitze einen Inkrei Wir bezeichnen jetzt mit a i ; :::; i ie Abtane er Ecken von en Beruhrpunkten iee Kreie Dann it alo Un arau folgt ofort k a b k = a i + b i ; k b c k = b i + c i ; k c k = c i + i ; k a k = i + a i : k a b k + k c k= a i + b i + c i + i =k a k + k b c k : c c i c i c i c i c b i p c a i a a i c b i b Sei jetzt umgekehrt voraugeetzt, a ie Summen gegenuberliegener Seiten in unerem Viereck gleich in Wir konnen annehmen, a ie Seiten ab un c nicht parallel in (Wenn beie Paare gegenuberliegener Seiten parallel in, liegt ein Parallelogramm vor, un wegen er Vorauetzung uber ie Seitenlangen it e gleicheitig So ein Parallelogramm hat au Symmetriegrunen einen Inkrei) Sei weiter p er Schnittpunkt er beien Seiten ab un c Dann hat a Dreieck pa einen Ankrei K gegenuber er Ecke p un a Dreieck pbc hat einen Inkrei K 0 Wir muen zeigen: K = K 0 Dazu genugt e zu zeigen, a ie Beruhrpunkte er Kreie mit er Seite ab ubereintimmen Da folgt au en Formeln fur In- un Ankrei e Dreieck: Sei azu er halbe Umfang e Dreieck pa Dann hat er Beruhrpunkt mit K von p en Abtan Weiter ei 0 er halbe Umfang e Dreieck pbc Er hangt ehr einfach mit zuammen: 0 = 1 (k p b k + k b c k + k c p k) 2 = 1 (k p a k + k a k + k p k)

29 1 (k a b k + k b c k + k c k k a k) 2 = = + k b c k : (k b c k + k a k + k b c k k a k) Der Beruhrpunkt e Kreie K 0 hat ann von p en Abtan 0 k b c k= : Wa ich biher behanelte it alle richtig, aber nur unter einer Vereinbarung, ie ich nicht explizit erwahnte: Ein Viereck oll o auehen, wie e ich gehort: Keiner er vier Eckpunkte oll im Inneren e Dreieck liegen, a von en rei aneren gebilet wir Solche Vierecke heien konvex E gibt aber noch zwei anere Sorten von Vierecken: konvexe Viereck konkave Viereck uberchlagene Viereck Mit ieer Terminologie halte ich mich an Steiner ( Ge Werke II, p ) E it klar, a ein konkave Viereck nie al Sehnenviereck vorkommen kann Einer er Punkte liegt ja im Inneren e Kreie urch ie rei aneren Punkte Aber al Tangentenviereck kann e auftreten, ogar auf zwei verchieene Weien ( ie beien nachten Zeichnungen) Un wenn wir a ie Tangentenabchnitte vergleichen, erhalten wir folgene Beingungen: Erter Typ: k a b k= a i b i ; k b c k= b i + c i ; k c k= c i + i ; k a k= a i i ; Zweiter Typ: k a b k k c k= a i b i c i i =k a k k b c k : k a b k= a i + b i ; k b c k= b i c i ; k c k= i c i ; k a k= a i + i ; k a b k + k c k= a i + b i c i + i =k a k + k b c k : 29

30 c c i i a i c c i c i konkave Tangentenviereck erter Typ a a i c b i b b i c i a i c c c i c i c i c b i konkave Tangentenviereck zweiter Typ a a i c b i b Da uberchlagene Viereck kann allering al Sehnenviereck auftreten Seine Ecken in ja ie Ecken eine konvexen Viereck, nur aner verbunen Au einem konvexen Viereck abc entteht ein uberchlagene, inem man eretzt konvexe Viereck a b c uberchlagene Viereck a b c Die Winkel 30

31 in im abc un ca Gegenwinkel konvexen Viereck gleiche Peripheriewinkel uberchlagenen Viereck ab un ac gleiche Peripheriewinkel konvexen Viereck Gegenwinkel uberchlagenen Viereck Im Vergleich zwichen konvexem un uberchlagenem Viereck tauchen Gegenwinkel un Peripheriewinkel ihre Namen Entprechen in er Peripheriewinkelatz, er Gegenwinkelatz un eren Umkehrungen, ie Kriterien afur, a a Viereck ein Sehnenviereck it, einfach zu moizieren Auch er Satz e Ptolemau it einfach zu moizieren: Ein uberchlagenen Viereck abc it Sehnenviereck, genau ann wenn k a b k k c k k a k k b c k=k a c k k b k : Schauen wir un chlielich noch ie uberchlagenen Tangentenvierecke an E gibt wieer zwei Typen Hier erfullen ie Tangentenabchnitte folgene Gleichungen: Erter Typ: k a b k= a i b i ; k b c k= b i + c i ; k c k= c i i ; k a k= i + a i ; k a b k k c k= a i b i c i + i =k a k k b c k : c c i i c c i c i uberchlagene Tangentenviereck erter Typ a a i c a i b i b b i c Zweiter Typ: k a b k= b i a i ; k b c k= b i + c i ; k c k= i c i ; k a k= i + a i ; k a b k k c k= a i + b i + c i i =k b c k k a k : 31

32 i c c c i c i c c b i i uberchlagene Tangentenviereck zweiter Typ c a a i a i b i b Wir haben hier ie notwenigen Beingungen afur zuammengetellt, a konkave un uberchlagenen Vierecke Tangentenvierecke in Man kann wohl avon augehen, a iee notwenigen Beingungen, genauo wie beim konvexen Viereck, auch hinreichen in Da mochte ich hier aber nicht mehr naher unteruchen Dem intereierten Stuenten oll e al Ubunaufgabe ienen Ich mochte ieen Abchnitt bechlieen mit einer ehr bemerkenwerten Eigenchaft von Tangentenvierecken: Satz: In einem Tangentenviereck chneien ich ie folgenen vier Geraen in einem Punkt: ie beien Diagonalen, ie beien Verbinunggeraen er Beruhrpunkte gegenuberliegener Seiten Bewei Wir wollen annehmen, a kein Paar gegenuberliegener Seiten parallel it Dann ei u er Schnittpunkt eine ieer Paare un v er Schnittpunkt e aneren Paare gegenuberliegener Seiten Die vier Seiten unere Viereck in ann ie Tangentenpaare an en Krei au en beien Punkten u un v In 11 haben wir ie Gleichungen ieer Tangenten bei gegebenem u, bzw v angegeben Da Proukt er beien Tangentengleichungen hatte abei ie beoner einfache Form P u (x) 2 p(u)p(x); bzw erelbe Auruck fur v Die vier Ecken e Tangentenviereck in ann ie gemeinamen Nulltellen er beien quaratichen Gleichungen P u (x) 2 p(u)p(x) = P v (x) 2 p(v)p(x) = 0: In ieen vier Ecken verchwinet ewegen auch ie folgene Linearkombination er beien quaratichen Gleichungen p(v) (P u (x) 2 p(u)p(x)) p(u) (P v (x) 2 p(v)p(x)) = p(v) P u (x) 2 p(u) P v (x) 2 32

33 = q q q q p(v) P u (x) + p(u) P v (x) p(v) P u (x) p(u) P v (x) =: L + (x) L (x): Man ieht, iee Linearkombination it wieer ein Proukt zweier Geraengleichungen L + un L Die beien aurch enierten Geraen L chneien ich im Schnittpunkt p er Polaren P u (x) = P v (x) = 0: Dieer Schnittpunkt it er Pol er von u un v aufgepannten Geraen v fp Ware L eine Seite e Viereck, o ware L ie gegenuberliegene un ihr Schnittpunkt p ware einer er Punkte u oer v Dieer Punkt lage omit auf einer eigenen Polaren, er ware ein Punkt e Kreie, alo ein Beruhrpunkt einer Viereckeite Da geht nicht Weil ie Menge L + [ L aber ie vier Ecken e Tangentenviereck enthalt, muen ie beien Geraen L ie Diagonalen e Tangentenviereck ein Ihr Schnittpunkt p it auch er Schnittpunkt er beien Polaren P u un P v Diee beien Polaren in aber ie Verbinunglinien er Beruhrpunkte gegenuberliegener Seiten Vom algebraichen Stanpunkt au it er Bewei ehr zufrieentellen Er beruht auf einer Dreizeilen-Ientitat Vom geometrichen Stanpunkt au it ie keineweg er Fall: man ieht keinen geometrichen Grun fur a Reultat Ich kenne ummerweie keinen geometrichen Bewei fur en Satz Ich habe lange probiert einen olchen zu nen E it mir nicht gelungen 33 u

34 Un a it einer er Grune afur, a ich en Satz o bemerkenwert ne (Mit en Mitteln er projektiven Geometrie it er Satz ehr einfach einzuehen: Er it ein Spezialfall e Satze von Brianchon fur Kegelchnitte Aber ieer Satz it auch wieer nicht ganz einfach zu beweien) 34

35 2 Viele Kreie 21 Der Raum er Kreie Biher haben wir un auf einen Krei konzentriert Ich hoe, in ieer Vorleung auf ie Beziehungen mehrerer Kreie zueinaner eingehen zu konnen Der moerne Geichtpunkt afur beteht in er Unteruchung e Raum aller Kreie Dieer Raum hat namlich wieer eine Geometrie An ich intereiert un naturlich ie Geometrie in ieem atherichen Raum von Kreien nicht Die Beziehungen verchieener Kreie zueinaner weren aber weentlich urchichtiger, wenn man ich ert einmal einige Geanken uber ie Menge aller Kreie in er Ebene macht Al erte fuhren wir in ieer Menge Koorinaten ein Ein Krei it fetgelegt urch ie Koorinaten eine Mittelpunkte un einen Raiu Wenn er Krei ie Gleichung (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 hat, in ie ie rei reellen Zahlen a; b un r Darau ehen wir chon einmal, a er Krei von rei Parametern abhangt Der Raum aller Kreie hat Dimenion rei Die rei Parmeter a; b un r nehmen wir aber nicht al ie Koorinaten fur uneren Krei, onern wir formen eine Gleichung um x 2 + y 2 2 a x 2 b y + a 2 + b 2 r 2 = x 2 + y 2 2 x 2 y + un nehmen ie rei Koezienten = a; = b; = a 2 + b 2 r 2 35

36 al Parameter Die Koorinaten (; ) in ie Koorinaten e Kreimittelpunkte un konnen beliebige reelle Werte annehmen Aner it e mit Damit ein richtiger Krei (Raiu reell un 6= 0) heraukommt, mu < ein Wenn = it, bechreibt ie zugehorige Gleichung (x ) 2 + (y ) 2 = 0 einen Krei vom Raiu = 0 Da it ein Punkt, mit en Koorinaten (; ) Soetwa wollen wir al Grenzfall anehen, un einen Nullkrei nennen Wenn > it, hat ie zugehorige Kreigleichung keine reellen Nulltellen Wir konnten en Krei ann al imaginaren Krei auaen Aber weil wir en in er reellen Ebene nicht ehen konnen, tun wir a nicht, onern chlieen olche Kreie von uneren Betrachtungen au Damit haben wir auf em Raum aller Kreie ie rei Koorinaten ; ;, an welche ie Beingung getellt wir Wa it a fur eine Beingung? - 6 unter em Rotationparaboloi 36

37 Die Grenzfalle, ie Nullkreie, in Kreie mit en Koorinaten ; ;, welche er Gleichung = genugen Diee Gleichung bechreibt im IR 3 mit en Koorinaten ; ; ein nach oben geonete Rotationparaboloi : = mit er -Ache al Rotationache Echte Kreie gehoren zu Punkten ; ; unter em Rotationparaboloi Diee Rotationparaboloi IR 3 it fur unere Zwecke funamental Zu ihm gehort nicht o furchtbar viel Geometrie, aber och ein bichen wa Un iee bichen Geometrie hat ehr weitreichene Konequenzen Wir wollen un en ; ; {Raum al uber er x; y{ebene liegen vortellen, vermoge er Projektion (; ; ) 7! (x; y) = (; ) auf ie beien erten Koorinaten Der Punkt ; ; liegt alo uber em Mittelpunkt e Kreie K ;;, er urch ieen Punkt bechrieben wir Aber auch en Krei elbt kann man im ; ; {Raum ehen: E ei p = (a; b; c) ein Parameterpunkt, er en Krei K p : x 2 + y 2 2 a x 2 b y + c bechreibt, c a 2 + b 2 Dann it ieer Krei a Bil e Durchcnitt \ E p ; E p : 2 a + 2 b c = 0 e Rotationparaboloi mit er Ebene E p unter er Projektion auf ie erten beien Koorinaten Bewei: Da Bil e Durchchnitt unter er Projektion erhalten wir, wenn wir au en beien Gleichungen eliminieren Da Reultat it : = E p : ie Gleichung unere Kreie K p = 2 a + 2 b c a 2 b + c = 0; E ieht o au, al ob er Nullpunkt auf em Rotationparaboloi eine Sonerrolle pielt Er liegt ja auf em Paraboloi am nierigten Aber a ieht nur o au Er gehort zum Nullkrei im Nullpunkt Durch Tranformationen in er (x; y)-ebene konnen wir en in jeen aneren Nullkrei tranformieren Weil wir in er (x; y)-ebene oft tranformieren weren (meiten ohne a explizit zu agen, zb mit einer Formulierung wie " oba nehmen wir en Mittelpunkt iee Kreie al Nullpunkt unere Korinatenytem\), wollen wir ie vorkommenen Tranformationen jetzt auf en Raum er Kreie wirken laen 37

38 Tranlationen: Eine Tranlation x = x 0 + u; y = y 0 + v tranformiert uneren Stanarkrei in en Krei x 2 + y 2 2x 2y + = 0 (x 0 + u) 2 + (y 0 + v) 2 2(x 0 + u) 2(y 0 + v) + = (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 + 2ux 0 + 2vy 0 + u 2 + v 2 2x 0 2y 0 2u 2v + = (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 2( u)x 0 2( v)y u 2 + v 2 = (x 0 ) 2 + (y 0 ) x y = 0 mit 0 = u; 0 = v; 0 = 2u 2v + u 2 + v 2 : Diee ane Tranformation liegt im ; ; -Raum uber er betrachteten Tranlation im (x; y)- Raum Wie man ofort veriziert, bilet ie a Rotationparaboloi auf a Paraboloi 0 = ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 ab Orthogonale Tranformationen: Eine orthogonale Tranformation bzw, wenn ie eine uneigentliche Drehung it x = ux 0 vy 0 ; y = vx 0 + uy 0 ; (u 2 + v 2 = 1) x = ux 0 + vy 0 ; y = vx 0 uy 0 erhalt ie quaratiche Form un tranformiert en Stanarkrei in en Krei mit er Gleichung (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 2(ux 0 vy 0 ) 2(vx 0 + uy 0 ) + = (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 2ux 0 + 2vy 0 2vx 0 2vy 0 + = (x 0 ) 2 + (y 0 ) x x = 0 mit 0 = u + v; 0 = v + u; 0 = ; (bzw, wenn ie uneigentlich it 0 = u + v; 0 = v u; 0 = ): 38

39 Die Tranlationen un ie orthogonalen Tranformationen erzeugen ie Bewegunggruppe Wir haben iee Gruppe jetzt auch al Tranformationgruppe auf unerem Raum er Kreie Aber e gibt noch mehr lineare Tranformationen, welche Kreie in Kreie uberfuhren, namlich ie Streckungen: Eine Streckung x = ux 0 ; y = uy 0 ; u 6= 0; fuhrt uneren Stanarkrei uber in en Krei mit er Gleichung (ux 0 ) 2 + (uy 0 ) 2 2ux 0 2uy 0 + = u 2 [(x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 2 u x0 2 u y0 + u 2 (x 0 ) 2 + ( 0 ) x y = 0 mit 0 = u ; 0 = u ; 0 = u 2 : Die Streckungen un Bewegungen zuammen erzeugen eine Gruppe, ie wir ie konforme Gruppe nennen wollen Sie fuhrt Kreie in Kreie uber un erhalt ie Winkel Inverionen: Auch ie Inverion an einem Krei fuhrt (ie meiten) Kreie in Kreie uber Wir wollen un a Reultat einer Inverion im Raum er Kreie anehen Mit einer Tranformation er konformen Gruppe konnen wir en Inverionkrei in en Einheitkrei tranformieren Dewegen brauchen wir un nur ie Inverion x = x 0 (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 ; y = y 0 (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 am Einheitkrei anehen Sie fuhrt uneren Stanarkrei uber in en Krei mit er Gleichung (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 ((x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 ) 2 x 0 2 (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 y 0 2 (x 0 ) 2 + (y 0 ) x 0 2y 0 + ((x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 ) (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 2 x0 2 y0 + 1 = (x 0 ) 2 + (y 0 ) x y mit 0 = ; 0 = ; 0 = 1 : Fur = 0 it iee Tranformation nicht eniert Aber a wien wir ja chon Dann geht uner Krei urch a Inverionzentrum un ein invere Bil it eine Gerae, un kein Krei 39

40 Die Inverion an Kreien it mit konformen Abbilungen im folgenen Sinn vertraglich: Satz (Inverion un konforme Abbilungen): E ei K ein Krei un I K ie Inverion an K Dann gilt fur jee konforme Abbilung T : I T (K) T = T I K : Bewei Der Krei K habe en Mittelpunkt m un en Raiu r Der Punkt x 0 it inver zu x, wenn er auf emelben Halbtrahl urch m liegt, wie x, un wenn k x m k k x 0 m k= r 2 : Da Bil T (K) von K unter er konformen Abbilung T it ein Krei mit Mittelpunkt T (m) un Raiu cr, wo c 2 IR er Faktor it, um en T alle Entfernugen treckt Weil T Halbtrahlen in Halbtrahlen uberfuhrt, liegen T (x) un T (x 0 ) auf emelben Halbtrahl urch T (m) Auerem it k T (x) T (m) k k T (x 0 ) T (m) k= c 2 k x m k k x 0 m k= (c r) 2 : Alo it T (x 0 ) inver zu T (x) bezuglich T (K) In Formeln heit a I T (K) (T (x)) = T (x 0 ) = T (I K (x)): Un weil ie fur alle x 6= m gilt, folgt T I K = I T (K) T Damit konnen wir Eigenchaften er Inverion beweien, wenn wir ie nur am Einheitkrei nachprufen Die Eigenchaft um ie e mir hier geht it folgene: E ei c = (; ; ) 2 IR 3 er Parameterpunkt eine Kreie C Wir haben oeben geehen: er Krei C 0 inver zu C in Bezug auf en Einheitkrei hat en Parameterpunkt c 0 = (=; =; 1=) Die beien Punkte c un c 0 in kollinear mit em Parameterpunkt e = (0; 0; 1) e Einheitkreie, enn! 1 1 e + 1 c = c0 : Weil wir Kreie mit Tranlationen hin- un herchieben konnen, gilt iee Eigenchaft nicht nur fur ie Inverion am Einheitkrei E, onern auch fur ie Inverion an einem beliebigen Krei T (E) Damit haben wir: Satz: E ei K ein Krei mit Parameterpunkt k un C ein beliebiger Krei nicht urch en Mittelpunkt von K, mit Parameterpunkt c It c 0 er Parameterpunkt e zu C bezuglich K inveren Kreie, o in c; c 0 un k kollinear Da kann man inbeonere auf Nullkreie anwenen Ein Nullkrei it ein Punkt mit Parameterpunkt p 2 Der invere Nullkrei it er bezuglich K invere Punkt It alo x = (x; y) 2 IR 2 ein Punkt, nicht er Mittelpunkt von K, o uchen wir en Punkt p = (x; y; x 2 + y 2 ) 2 uber x It IR 3 ie Verbinunggerae von p mit k, o chneiet a Paraboloi in einem weiteren Punkt p 0, er uber em (bezuglich K) inveren Punkt x 0 liegt 40