Theoretische Prozessanalyse

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN Institut für Verfahrenstechnik & Umwelttechnik Skript zu Lehrveranstaltung Theoretische Prozessanalyse Dresden, April 2014 Prof. Dr.-Ing. habil. W. Klöden

2

3 Theoretische Prozessanalyse - Einleitung Einleitung 1.1 Grundbegriffe Im Folgenden werden einige Definitionen und Sachverhalte wiederholt, die bereits im Fach Prozessanalyse und Versuchsplanung eingeführt und erläutert wurden. Unter Prozessanalyse versteht man sowohl theoretische als auch experimentelle Verfahren zur Bildung mathematischer Modelle von Prozessen. Auf der Grundlage der mathematischen Modelle werden verfahrenstechnische Prozesse und Systeme entworfen, in ihrem Verhalten simuliert und optimiert. Die theoretische Prozessanalyse verfolgt das Ziel, einen komplizierten Prozess in einfacher zu beschreibende Elementarprozesse zu zerlegen und aus diesen Elementmodellen das Modell des 1 Prozesses zu entwickeln. Die experimentelle Prozessanalyse verfolgt die Modellbildung auf der Grundlage experimenteller Daten mit Hilfe statistischer Methoden. Reale Prozessanalysen nutzen in geeigneter Weise sowohl theoretische als auch experimentelle Methoden. Die Wahl der Methoden wird durch die Anforderungen der Modellanwendung und die Eigenschaften des zu untersuchenden Prozesses bestimmt. Neben der Modellbildung verfolgen Prozessanalysen im erweiterten Sinne folgende Zielstellungen: S Verbesserung der Kenntnisse über die Elementarprozesse und deren Wechselwirkung im zu analysierenden Prozess (heuristische Funktion von Prozessanalysen). S Ermittlung von Reserven für die Verbesserung der Nutzung der energetischen und stofflichen Ressourcen. S Ermittlung und Bewertung der Wechselwirkungen zwischen Prozessen und der Umwelt. S Auffinden von Schwachstellen und Engpässen in der Prozessführung. Im Folgenden wird ausschließlich der Fall betrachtet, dass das Ziel einer Prozessanalyse in der Entwicklung eines mathematischen Prozessmodells besteht. Das mathematische Modell eines Prozesses ist ein System von Gleichungen (Differential-, Differenzengleichungen, algebraische Gleichungssysteme, usw.) oder anderer formal zu handhabender mathematischer Strukturen (Regelsysteme, Tabellen, Diagramme usw.), die das statische und/oder das dynamische Verhalten eines Prozesses so beschreiben, dass die folgenden Anforderungen erfüllt sind: S Die durch die Prozessanalyse gewonnenen mathematischen Modelle müssen hinreichend gut mit dem Verhalten des modellierten realen Prozesses übereinstimmen. S Die mathematischen Modelle müssen in ihrer formalen Struktur für die jeweilige Anwendung geeignet sein. Die große Bedeutung, die den mathematischen Modellen in den Ingenieurwissenschaften im allgemeinen und in der Verfahrenstechnik im besonderen beizumessen ist, folgt aus der Tatsache, dass das mathematische Modell ein Abbild des realen Prozesses darstellt, das für viele Problembearbeitungsprozesse leichter zu handhaben ist als der reale Prozess. 1 Die experimentelle Prozessanalyse ist Gegenstand der gleichnamigen Lehrveranstaltun.

4 1-2 Theoretische Prozessanalyse - Einleitung Die Unterschiede zwischen den Modellen, die durch theoretische experimentelle Prozessanalyse gewonnen werden, sind der folgenden Tablle zu entnehmen. Eigenschaft Mathematische Form Kompliziertheit (Lösung, und Handhabung) Gültigkeitsbereich Genauigkeit im Gültigkeitsbereich Modelle auf Basis Theoretischer Prozessanalyse Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, die sich unter gewissen Annahmen vereinfachen lassen. Hoch Groß (Grenzen ergeben sich aus den Gültigkeitsbereichen der theoretischen Grundlagen.) Mäßig (Hängt ab von den theoretischen Voraussetzungen und/oder den getroffenen Vereinfachungen.) Modell auf Basis Experimenteller Prozessanalse Polynomfunktionen, lineare Differenzengleichungen, gewöhnliche lineare Differentialgleichungen. Gering Gering (Grenzen ergeben sich aus den von den Experimenten abgedeckten Bereich. Extrapolation ist nicht möglich!) Hoch (Wird wesentlich durch die Qualität der Daten und die Adäquatheit des Modellansatzes bestimmt.) Erklärungswert Hoch Gering Mathematische Prozessmodelle, die durch theoretische Prozessanalyse gewonnen werden, lassen sich nach unterschiedlichen Gesichtspunkten noch detaillierter klassifizieren. Von besonderem Interesse ist die folgende Klassifikation, die die mathematische Modellstruktur und die Eigenschaften der Prozesse einander zuordnet. Die folgende Tabelle stellt diese Zuordnung dar und gibt damit zugleich einen Überblick über die mathematischen Modellformen, die durch theoretische Prozessanalyse erzeugt werden können. Ortsabhängigkeit der Zustandsgrößen Zeitabhängigkeit der Zustandsgrößen Statisches Verhalten Dynamisches Verhalten Verteiltes Verhalten (Ortsabhängige Größen) Partielle Differentialgleichungen (Randwertprobleme) Partielle Differentialgleichungen (Anfangs- und Randwertprobleme) Konzentriertes Verhalten (Keine Ortsabhängigkeit) Algebraische Gleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen (Anfangswertprobleme)

5 Theoretische Prozessanalyse - Einleitung 1-3 Die mathematischen Modellformen lassen sich noch detaillierter bezüglich ihrer Eigenschaften unterscheiden. So ist eine weitere wichtige Unterscheidung die nach der Linearität bzw. Nichtlinearität der Modellgleichungen bezüglich der Zustandsgrößen und/oder der Modellparameter. Während die Klassifikation bezüglich der Zustandsgrößen die Wahl der Lösungsmethoden für die Modellgleichungen bestimmt, ist die zweite Klassifikation für die Wahl der Methoden zur Identifikation der Modellparameter aus experimentellen Daten von Bedeutung. Welche Form (im Sinne der in der Tabelle angegebenen Klassifikation) das mathematische Modell hat, das für eine Prozesseinheit zu entwickeln ist, hängt ab sowohl S von den Eigenschaften des Prozesses als auch S von den Zielen der Modellbildung Die mathematische Modellbildung ist stets mit vereinfachenden Annahmen über die Eigenschaften der zu modellierenden Prozesse verbunden. Die vereinfachenden Annahmen lassen sich in zwei Klassen unterteilen: S Vereinfachende Annahmen über die elementaren Transport- und Umwandlungsprozesse. S Einführung mathematischer Näherungsverfahren bei der Lösung der Gleichungssysteme. 1.2 Die Anwendungsformen mathematischer Prozessmodelle Die unterschiedlichen Problemfelder in der Verfahrenstechnik, die die Entwicklung und Anwendung mathematischer Prozessmodelle notwendig machen, lassen sich in zwei Klassen aufteilen: Probleme, die vom Modell des statischen Verhaltens des Prozesses ausgehen und Probleme, die das Modell des dynamischen Verhaltens erfordern. Die durch theoretische Prozessanalyse gebildeten Modelle sind in der Regel für beide Problemfelder geeignet; das statische Modell lässt sich aus dem dynamischen Modell hier i. A. durch das Streichen der zeitlichen Ableitungen gewinnen. In der experimentellen Prozessanalyse sind dagegen unterschiedliche Methoden für die Identifikation statischer bzw. dynamischer Prozessmodelle erforderlich. Anwendungsformen statischer Prozessmodelle: Vorhersage des Verhaltens von Prozessen unter definierten äußeren Bedingungen (z.b.: Untersuchung des Verhaltens in kritischen Bereichen der Zustandsgrößen). Entwurf und Auslegung von Prozessen und Verfahren; Überprüfung von Entwürfen. Optimierung des statischen Verhaltens von Prozessen. Anwendungsformen dynamischer Prozessmodelle: Zunächst sind folgende Formen dynamischer Prozesse in der Verfahrenstechnik zu unterscheiden:! An-/Abfahrvorgänge: Ein kontinuierlicher Prozess wird durch gezielte Veränderungen der Steuergrößen in einen neuen Arbeitspunkt oder in einen Ruhezustand gefahren, wobei sich die Zustandsgrößen in einem großen Bereich verändern.

6 1-4 Theoretische Prozessanalyse - Einleitung! Umsteuerung (Führung) eines Prozesses: Ein kontinuierlicher Prozess wird aus einem Arbeitspunkt in einen neuen überführt. Der dabei überfahrene Bereich der Zustandsgrößen ist in der Regel klein.! Prozessstabilisierung (Vorwärtssteuerung, Regelung): Durch gezielte dynamische Veränderungen von Steuergrößen werden Störungen, die Abweichungen vom Arbeitspunkt verursachen, ausgeglichen.! Diskontinuierliche Prozessführung: Der Prozess wird aus einem Anfangszustand in einen Endzustand überführt. Mit Erreichen des Endzustands ist der Prozessverlauf beendet.! Zyklische Prozessführung: Die Zustandsgrößen wiederholen sich mit einer bestimmten Periodizität.! Regenerativ-periodische Prozessführung: Ein Speicher wird zunächst durch einen Primärstrom "geladen" und anschließend durch Umschalten auf einen Sekundärstrom "entladen". Dadurch entsteht eine periodische Prozessführung; die Periodendauer wird durch die Umschaltbedingungen bestimmt.! Pulsierende Prozessführung: Zur Intensivierung von Übertragungs- und Umwandlungsprozessen werden Steuergrößen periodisch (pulsierend oder vibrierend) verändert.! Oszillierendes (passives dynamisches) Verhalten: Die Eigendynamik des Prozesses (z.b. bei bestimmten Reaktionen) führt zu Oszillationen der Zustandsgrößen.! Zeitvariantes (driftendes) Verhalten: Durch "innere" Veränderungen (z.b. Alterungsvorgänge) entsteht eine spezifisch Form der Eigendynamik. Auch diese Form der Prozessdynamik lässt sich als passive Form der Dynamik charakterisieren.

7 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Das System der Transport-Bilanzgleichungen Im Folgenden werden unter sehr allgemeinen Bedingungen die Transport-Bilanzgleichungen für skalare und vektorielle Bilanzgrößen hergeleitet. Die bei diesen Herleitungen benötigten grundlegenden mathematischen Sachverhalte werden im Abschnitt 2.1 im Überblick zusammengestellt. Anschließend werden die Transport-Bilanzgleichungen hergeleitet; die grundlegenden Formen der Rand- und Anfangsbedingungen werden diskutiert. 2.1 Zusammenfassung von mathematischen Grundlagen Vektoren und Matrizen Definitionen Ein Vektor kann durch seine Komponenten in Spalten- bzw. Zeilenform wie folgt dargestellt werden: Ein Vektor kann auch durch seine Komponenten und gewisse Einheitsvektoren dargestellt werden; es gilt: Für den wichtigen Sonderfall der Darstellung eines Vektors in Kartesischen Koordinaten gilt folgende Schreibweise für die Vektorkomponenten und die Einheitsvektoren: Eine Matrix wird durch ihre Elemente wie folgt dargestellt: Die Transponierte der Matrix entsteht durch das Vertauschen von Zeilen und Spalten: Hat die Matrix m Zeilen und n Spalten, so wird sie als m,n-matrix bezeichnet. Wenn n = m gilt, so heißt die Matrix quadratisch. Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn gilt Eine besondere quadratische Matrix ist die Einheitsmatrix:

8 2-2 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Rechenoperationen mit Vektoren Die folgenden Regeln sind für das Rechnen mit Vektoren zu beachten: (2.1-1) 0 ist der Vektor, dessen Komponenten alle verschwinden (Nullvektor). Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert (2.1-2) Rechenoperationen mit Matrizen Die Multiplikation einer Matrix mit einem skalaren Faktor ist wie folgt definiert: Für zwei m,n-matrizen A und B ist die Addition wie folgt definiert: Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt: A muss eine m,n-matrix und B eine n,p-matrix sein; C ergibt sich dann als m,p-matrix. Die folgenden Regeln sind für das Rechnen mit Matrizen zu beachten:

9 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-3 (2.1-3) Für quadratische n,n-matrizen gelten folgende zusätzliche Regeln: (2.1-4) -1 A ist die Inverse der quadratischen Matrix A. Produkte von Vektoren und Matrizen; dyadisches Vektorprodukt Das Produkt einer m,n-matrix mit einem n-spaltenvektor ist wieder ein Spaltenvektor: (2.1-5) Das Produkt eines m-zeilenvektors und einer m,n-matrix ist wieder ein Zeilenvektor: (2.1-6) Das folgende (dyadische) Vektorprodukt eines n-spaltenvektors und eines n-zeilenvektors ergibt eine quadratische n,n-matrix:

10 2-4 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen (2.1-7) Grundbegriffe aus der Vektoranalysis Der Gradient Der Gradient einer skalaren Funktion f (x,y,z) ist der folgende Zeilenvektor 1 (2.1-8) Das Symbol bezeichnet den Nabla-Operator, der (als Zeilenvektor) wie folgt definiert ist: Es gelten die folgenden Regeln: (2.1-9) Das totale Differential der skalaren Funktion f ist wie folgt definiert: Mit Hilfe der folgenden Definition des Ortsvektors und dessen totaler Änderung erhält man: (2.1-10) Aus dieser Beziehung folgt sofort, dass der Gradientenvektor senkrecht auf den Höhenlinien f = const. steht. 1 Der Gradientenvektor wird häufig auch als Spaltenvektor eingeführt.

11 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-5 Divergenz Die Divergenz der Vektorfunktion F ist wie folgt definiert: (2.1-11) Es gelten folgende Regeln (G ist eine Vektorfunktion, g eine skalare Funktion): (2.1-12) Der LAPLACE-Operator Für die Divergenz des Gradienten einer skalaren Funktion ergibt sich: (2.1-13) Für das skalare Produkt des Nabla-Operators mit sich selbst führt man einen neuen Operator, den LAPLACE-Operator Ä, wie folgt ein Der GAUSSsche Integralsatz Im Folgenden werde angenommen, dass die Vektorfunktion F als Stromdichte interpretiert werden kann (s. auch Formel (2.2-2)). Wenn man den Gesamtstrom aus der Umgebung in ein begrenztes Volumen V bestimmen muss, so ist das folgende Flächenintegral über die Gesamtoberfläche A des Volumens V zu bestimmen. n Normalenvektor auf dem Flächenelement da Das Flächenintegral lässt sich nun nach dem folgenden GAUSSschen Integralsatz in ein Volumenintegral umformen: (2.1-14)

12 2-6 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Die substantielle Ableitung Es werde die Bewegung eines differentiellen Masseelements dm betrachtet. Zu einem beliebigen Zeitpunkt t befindet sich das Element an einem Ort, der durch den Ortsvektor r (t) beschrieben werde. Im differentiellen Zeitelement dt ändert sich seine Position um den differentiellen Ortsvektor dr. Gesucht ist die totale Änderungsgeschwindigkeit der skalaren Funktion f (t, r(t)), die den Zustand des Masseelementes beschreibt, bei dieser Bewegung. Diese Ableitung wird als substantielle Ableitung der Funktion f nach der Zeit bezeichnet. Diese Beziehung lässt sich in eine für viele Anwendungen günstigere Form bringen. Mit Einführung des Geschwindigkeitsvektors v folgt: Koordinatensysteme (2.1-15) Bisher wurden ausschließlich kartesische Koordinaten verwendet. Oft werden aber auch andere Koordinatensysteme benötigt. Besonders häufig werden Zylinder- und Kugelkoordinaten benötigt. Darum sollen für diese Systeme die Transformationsbeziehungen, bezogen auf kartesische Koordinaten und die Darstellungen von Gradient, Divergenz und LAPLACE-Operator angegeben werden. Zylinderkoordinaten Es werden die neuen Koordinaten r und ö eingeführt; die z-koordinate bleibt unverändert. Im nebenstehenden Bild ist dieses Koordinatensystem dargestellt. Es ergeben sich für die Zusammenhänge zwischen den kartesischen und den Zylinderkoordinaten folgende Beziehungen:

13 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-7 Für die Einheitsvektoren in Richtung der neuen Koordinaten folgt: Für den Gradienten, die Divergenz und den LAPLACE-Operator ergeben sich die folgenden Beziehungen: (2.1-16) Kugelkoordinaten Es werden die neuen Koordinaten r, ö und è eingeführt. Im nebenstehenden Bild ist das Koordinatensystem dargestellt. Es ergeben sich für die Zusammenhänge zwischen den kartesischen und den Kugelkoordinaten folgende Beziehungen: Für die Einheitsvektoren in Richtung der neuen Koordinaten folgt: Für den Gradienten, die Divergenz und den LAPLACE-Operator ergeben sich die folgenden Beziehungen:

14 2-8 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen (2.1-17) Ergänzung - Die Rotation Der Rotationsoperator wird im Folgenden nicht explizit herangezogen; trotzdem sollen hier Definition und Rechenregeln ergänzend angegeben werden. Der Rotationsoperator ist definiert als das Vektorprodukt des Gradienten mit einer Vektorfunktion: (2.1-18) In kartesischen Koordinaten gilt: (2.1-19) Es gelten folgende Regeln: (2.1-20) Weiterhin sind die folgenden Sachverhalte von Bedeutung: (2.1-21)

15 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Die Transport-Bilanzgleichungen für eine skalare Bilanzgröße Definitionen und Voraussetzungen Die nachfolgend zusammengestellten Definitionen und Beziehungen wurden bereits im Abschnitt Theoretische Prozessanalyse der Lehrveranstaltung Prozessanalyse und Versuchsplanung eingeführt. Allgemeine Formulierung einer Transport-Bilanz In allgemeiner Form kann man eine Transport-Bilanz wie folgt formulieren: Resultierender konvektiver Strom Zeitliche Änderung einer + Bilanzgröße im Bilanzraum = Resultierender molekularer Strom + Quellstrom + {Übergangsstrom} (2.2-1) Diese Formulierung einer Transport-Bilanz ergibt sich aus den Erhaltungssätzen, die für Masse, Energie und Impuls gelten. Die Transport-Bilanzgleichungen sind die mathematischen Formulierungen der Transport-Bilanzen für die jeweiligen Bilanzgrößen. Bilanzräume und Bilanzgrößen Ein Bilanzraum ist ein homogenes Volumenelement, das bezüglich einer oder mehrerer Bilanzgrößen eine bestimmte Speicherkapazität besitzt. Für den Fall, dass sich kein homogener makroskopischer Bilanzraum definieren lässt, muss zum differentiellen Bilanzraum übergegangen werden Es ist zwischen intensiven und extensiven Bilanzgrößen zu unterscheiden. Die intensiven Bilanzgrößen entstehen aus den extensiven dadurch, dass sie auf die Massen- bzw. Volumeneinheit bezogen werden.. Strom und Stromdichte Der Strom einer Bilanzgröße ist die ein definiertes Flächenelement pro Zeiteinheit passierende Menge der Bilanzgröße. Die Stromdichte ist der Vektor, der den auf das Flächenelement bezogenen Strom in der Normalenrichtung dieses Flächenelements darstellt. Es gilt somit: (2.2-2)

16 2-10 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Herleitung der Transport-Bilanzgleichung in Kartesischen Koordinaten Es gelten folgende Beziehungen für die konvektiven und molekularen Stromdichten sowie die Quellstromdichte einer skalaren Bilanzgröße: dv v à k L Volumen des differentiellen Bilanzraums Geschwindigkeitsvektor intensive skalare Bilanzgröße Leitkoeffizient (2.2-3) Für die "resultierende Stromdichte" bzw. den "resultierenden Strom" in einer Koordinatenrichtung ergeben sich dann die im folgenden Bild dargestellten Verhältnisse am differentiellen Volumenelement: Für die Stromdichte in x-richtung sowie für deren Zuwachs am Austritt aus dem Volumenelement gilt:

17 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-11 Diese Beziehungen gelten analog auch für die y- und z-richtung. Für die Formulierung der Bilanzgleichung muss von den Stromdichten zu den Strömen übergegangen werden. Für die Differenzen zwischen Ein- und Ausgangsströmen am differentiellen Volumenelement gelten folgende Beziehungen: (2.2-4) Wenn man das allgemeine Bilanzprinzip (dessen Grundlage die Erhaltungssätze sind) in der Form anwendet, so ergibt sich mit den Beziehungen (2.2-3) und (2.2-4) (2.2-5) Der Zustand des Prozesses im Bilanzgebiet wird durch den Vektor der Zustandsgrößen x (Druck, Temperatur, Konzentration usw.) beschrieben. Die Anzahl der unabhängigen Zustandsgrößen ist gleich der Anzahl der Bilanzgrößen, für die sich Transport-Bilanzgleichungen formulieren lassen.. Die intensive Bilanzgröße à lässt sich als Funktion des Vektors x der Zustandsgrößen darstellen. Wenn sich die Bilanzgröße als Funktion gerade einer Komponente des Zustandsvektors darstellen lässt und diese Beziehung linear ist (das ist im Allgemeinen der Fall), so hat die Differentialgleichung für der Zustandsgröße eine Form wie (2.2-5). Weiterführende Betrachtungen hierzu folgen im Abschnitt

18 2-12 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Herleitung der Transport-Bilanzgleichung für ein makroskopisches Bilanzgebiet Die nachfolgend angegebene Herleitung der Transport-Bilanzgleichungen an einem makroskopischen Bilanzgebiet hat den Vorteil, dass sich eine Form der Differentialgleichungen ergibt, die unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems ist. Die in den Differentialgleichungen auftretenden Operatoren können für ein beliebiges Koordinatensystem transformiert werden (s. Abschnitt 2.1). Im nachfolgenden Bild sind die Verhältnisse für das als makroskopisch anzunehmende Bilanzgebiet dargestellt. Die Oberfläche des Bilanzgebietes kann beliebig geformt sein. Aus der Oberfläche wird ein differentielles Flächenelement herausgeschnitten; der Normalenvektor steht senkrecht auf dem Flächenelement und weist, bezogen auf das Bilanzgebiet, nach außen. Für den Stromdichtevektor gilt:. Es ist zu beachten, dass die positive Stromrichtung gerade der Normalenrichtung entgegengesetzt ist. Für die Berechnung des Stromes, der in das Bilanzgebiet eintritt, ist nur der Anteil des Stromdichtevektors in Normalenrichtung heranzuziehen. Unter Berücksichtigung der genannten Sachverhalte ergibt sich für den Strom, der durch das differentielle Flächenelement in das Bilanzgebiet eintritt, die folgende Beziehung: Die Formulierung der Transport-Bilanz nach dem allgemeinen Erhaltungsprinzip ist nun mit der Integration über das gesamte Bilanzgebiet zu verbinden. Die zeitlichen Änderungen der gespeicherten Menge und des Quellstromes lassen sich durch Volumenintegrale beschreiben; die ein- /austretenden Ströme führen dagegen auf Flächenintegrale. Es folgt:

19 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-13 Das Flächenintegral lässt sich mit Hilfe des GAUSSschen Integralsatzes (s. Formel (2.1-14) im Abschnitt 2.1) in ein Volumenintegral überführen: Diese Gleichung lässt sich nun in die folgende Form bringen: Da das Bilanzgebiet beliebig gewählt werden kann, verschwindet dieses Volumenintegral nur, wenn der Integrand verschwindet. Damit folgt: (2.2-6) Wenn man nun für die Stromdichte die Beziehungen für die einzelnen Anteile nach Formel (2.2-3) einsetzt, erhält man aus (2.2-6) die Transport-Bilanzgleichung in der folgenden Form: (2.2-7) Mit den Formeln (2.1-8) für à und (2.1-13) für Ä Ã erhält man sofort die Darstellung nach Gleichung (2.2-5) Anfangs- und Randbedingungen Die Transport-Bilanzgleichung ist nach ihrer mathematischen Struktur eine nichtlineare partielle Differentialgleichung. Dabei treten zeitliche Ableitungen der gesuchten Funktion nur bis zur ersten Ordnung auf, während die örtlichen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung auftreten. Es handelt sich somit um ein Anfangs-/Randwertproblem, dessen Lösung die Vorgabe des Anfangszustandes für das gesamte Bilanzgebiet und die Vorgabe des Zustandes auf den Rändern

20 2-14 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen des Bilanzgebietes notwendig macht. Die Formulierung dieser Bedingungen ist ein substantielles Problem der theoretischen Prozessanalyse. Die Randbedingungen ergeben sich im Allgemeinen durch lokale Bilanzen an den Grenzen der Bilanzgebiete; sie beschreiben damit zugleich die Kopplungsbedingungen zwischen den einzelnen Bilanzgebieten einer Prozesseinheit. Die lokalen Bilanzen für die durch die Transport-Bilanzgleichungen modellierten Prozesse ( Wärmeleitung, Diffusion, reibungsbehaftete Strömungen mit chemischen Reaktionen usw. ) führen auf Beziehungen, die sich in der folgenden allgemeinen Form darstellen lassen: (2.2-8) In Abhängigkeit von den konkreten Bedingungen auf den Rändern lassen sich die folgenden drei Fälle unterscheiden: b = 0 : DIRICHLET-Randbedingung - die Zustandsgrößen auf dem Rand des Integrationsgebietes werden spezifiziert. a = 0 : NEUMANN-Randbedingung - die molekularen Ströme der Bilanzgrößen über die Grenzen des Integrationsgebietes werden spezifiziert. a,b 0: CAUCHY-Randbedingung - sowohl molekulare als auch konvektive Ströme, die die Grenzen des Integrationsgebietes überschreiten, werden spezifiziert. Für den Fall, dass die Bilanzgröße à nur von einer Komponente des Zustandsvektors abhängt und diese Abhängigkeit eine lineare Form besitzt, so lassen sich die Randbedingungen (2.2-8) in äquivalenter Form für die betreffende Zustandsgröße formulieren. Die Bilanzgröße à ist dann durch die Zustandsgröße zu ersetzen; die anderen Parameter verändern sich durch die Substitution in ihren Werten und Dimensionen Sonderfall: Übergangsströme in den Bilanzgleichungen Randbedingungen müssen lediglich für die Koordinatenrichtungen formuliert werden, für die die Bilanzgrößen verteilt vorliegen. Wenn also die Bilanzgrößen und damit auch die Zustandsgrößen im Bilanzraum zwar als verteilt anzusehen sind, von einer oder mehreren Ortskoordinaten aber nicht abhängen, so ist der Bilanzraum in diesen Richtungen als "makroskopisch" anzunehmen. Die eventuell dadurch zu berücksichtigenden Ströme über die Grenzflächen zwischen den Bilanzräumen sind dann in den Bilanzgleichungen explizit zu berücksichtigen. Das sind gerade die Terme, die ansonsten in den Randbedingungen auftreten. Im folgenden Bild sind die beschriebenen Verhältnisse für einen Bilanzraum in kartesischen Koordinaten dargestellt:

21 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-15 Die Herleitung kann weitgehend analog zu der von Gleichung (2.2-5) erfolgen. In die Bilanzgleichung geht aber neben den molekularen und konvektiven Strömen noch der Übergangsstrom ein. Für diesen kann der folgende Ansatz gewählt werden. Es gilt für (2.2-9) und im Folgenden: Die Treibkraft ist die Potentialdifferenz zwischen den aneinander grenzenden Bilanzgebieten. Wenn man von der Darstellung der Abbildung bei der Herleitung zu Grunde legt, so erhält man die folgende Bilanzgleichung: (2.2-9)

22 2-16 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Beispiele Bilanz der Gesamtmasse - Kontinuitätsgleichung Wenn man die Gesamtmasse für einen differentiellen Bilanzraum bilanziert, so sind folgende Bedingungen zu beachten: S Für die intensive Bilanzgröße ergibt sich: ; das ist die Dichte. S Für die Gesamtmasse verschwinden die molekularen Ströme; der entsprechende Term in der Transport-Bilanzgleichung für die Gesamtmasse verschwindet. S Für die Gesamtmasse verschwindet auch der Quellterm in der Transport-Bilanzgleichung. Mit diesen Voraussetzungen ergibt sich aus der allgemeinen Form (2.2-7) der Transport-Bilanzgleichung die sogenannte Kontinuitätsgleichung (2.2-10) Wärmeleitung in der ebenen Wand Die Gleichung für die Wärmeleitung in der ebenen Wand und die zugehörigen Anfangs- und Randbedingungen wurden bereits im Fach Prozessanalyse und Versuchsplanung behandelt. Da dieses Problem für die numerische Lösung der Transport-Bilanzgleichungen als Beispiel herangezogen wird (s. Abschnitt 3.), wird es im Folgenden nochmals beschrieben: In der nebenstehenden Abbildung ist ein Ausschnitt einer ebenen Wand dargestellt. Der Wärmetransport erfolge ausschließlich durch Leitung. Die Temperatur am linken Rand sei konstant; am rechten Rand werde die Wand von einem Fluid angeströmt, so dass ein Wärmeübergang von der Wand an das Fluid erfolgt. Die Kerntemperatur im Fluid sei konstant. Damit lassen sich folgende Beziehungen angeben:

23 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-17 Da der Transport nur in einer Richtung erfolgt, verschwinden die Terme für den molekularen Transport in y- und z-richtung. Damit folgt auf der Basis von Gleichung (2.2-5): Das ist die FOURIERsche Differentialgleichung. Unter den oben getroffenen Voraussetzungen lassen sich die folgenden Rand- und Anfangsbedingungen herleiten: Der Vergleich mit (2.2-8) zeigt, dass es sich am linken Rand um eine DIRICHLETsche und am rechten Rand um eine CAUCHYsche Randbedingung handelt. Doppelrohr-Wärmeübertrager (Gleichstrom) Für einen Doppelrohr-Wärmeübertrager sind zunächst die beiden Rohre als voneinander getrennte Bilanzräume einzuführen. Die Transport-Bilanzgleichungen sollen unter folgenden Annahmen hergeleitet werden: S Die Abhängigkeit der Bilanzgrößen von der radialen Ortskoordinate ist zu vernachlässigen (ideale Durchmischung in radialer Richtung!). Damit ergibt sich ein eindimensionales Problem. S Der molekulare Transport in axialer Richtung ist zu vernachlässigen. S Es gibt keine Quellen. S Die Stoffwerte sind konstant. S Die Speicherwirkung der Rohrwandungen kann vernachlässigt werden. S Die mittleren Strömungsgeschwindigkeiten in den Rohren und damit auch die Volumenströme sind konstant. S Der Energieverlust über die Wand des äußeren Rohres sei zu vernachlässigen. S Es werde festgelegt, dass der heiße Strom im äußeren Rohr geführt wird. Für die Bilanzgrößen folgt zunächst:

24 2-18 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Auf Grund der getroffenen Voraussetzungen ist die Transport-Bilanzgleichung in der spezifischen Form (2.2-9) anzuwenden. Die Triebkraft für den Übergangsstrom ist die Temperaturdifferenz zwischen dem heißen und dem kalten Strom. Damit erhält man mit (2.2-9): Wenn man nun noch berücksichtigt, dass die Stoffwerte und die Geschwindigkeiten konstant sind, kann man diese Differentialgleichungen wie folgt umformen: Die Anfangsbedingungen beschreiben die Temperaturprofile zum Zeitpunkt t = 0: Die Randbedingungen beschreiben die Eintrittstemperaturen der Ströme. Diese müssen nicht konstant sein. Es gilt: Übergang zu konzentrierten Bilanzgrößen Der Übergang zu konzentrierten Bilanzgrößen stellt eine Vereinfachung dar; man bezeichnet eine Prozesseinheit, für die konzentrierte Parameter angenommen werden als ideal durchmischt. Mit dem Übergang zu konzentrierten Bilanzgrößen wird die Abhängigkeit der Bilanzgrößen bzw. der Zustandsgrößen von den Ortskoordinaten vernachlässigt. Die Gradienten der Bilanzgrößen verschwinden demzufolge. Das zieht nach sich, dass alle Transportprozesse, die auf molekularen Triebkräften beruhen, zu vernachlässigen sind. Weiterhin kann in der Regel angenommen werden, dass die konvektiven Ströme nur an definierten Orten in den Bilanzraum eintreten. Die allgemeine Transport-Bilanzgleichung in der Darstellung (2.2-7) kann über das Volumen des Bilanzgebiets integrieren. Wenn man auch den Übergangsstrom berücksichtigt, folgt:

25 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-19 (2.2-11) Unter der Voraussetzung, dass die Bilanzgrößen keine Funktionen der Ortskoordinaten sind (konzentrierte Bilanzgrößen), lassen sich die einzelnen Integrale wie folgt umformen: Speicherterm: (2.2-12) Konvektiver Term: Dieser Term muss zunächst über den GAUSSschen Integralsatz (s. Abschnitt 2.1., Formel ) in ein Flächenintegral umgewandelt werden. Unter Anwendung dieses Satzes folgt: (2.2-13) Der letzte Term stellt die Differenz zwischen den die Bilanzraumgrenzen überschreitenden konvektiven Strömen dar. Dabei handelt es sich offenbar um die Differenz der oberen und der unteren Grenze des Oberflächenintegrals. Molekularer Transport-Term: Auch für die Umformung dieses Terms wird der GAUSS sche-integralsatz angewandt. (2.2-14)

26 2-20 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Quellterm: (2.2-15) Übergangsterm: (2.2-16) Wenn man die Beziehungen (2.2-12) bis (2.2-16) in die integrierte Form (2.2-11) der Transport- Bilanzgleichung einsetzt, so erhält man für die Näherung konzentrierter Bilanzgrößen: (2.2-17) Das ist eine gewöhnliche (im Allgemeinen nichtlineare) Differentialgleichung erster Ordnung. Das zu lösende Problem ist damit ein Anfangswertproblem; die Bilanzgleichungen sind demzufolge um die Anfangsbedingungen zu ergänzen. Ein Beispiel - Adiabater Rührkesselreaktor Für einen Rührkesselreaktor sollen folgende Annahmen gelten: S Der Reaktor ist ideal durchmischt. S Es läuft eine irreversible, volumenbeständige, exotherme Reaktion nach dem Reaktionsmechanismus 2 A ----> B ab. Für die Reaktionsgeschwindigkeit gilt.die Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeitskonstante folge dem AR- RHENIUSschen Ansatz. Die Reaktionsenthalpie ÄRH wird als konstant angenommen. S Es kann angenommen werden, dass der Reaktor adiabat betrieben wird. S Der Volumenstrom und das Reaktionsvolumen seien konstant. S Dichte und spezifische Wärme seien ebenfalls konstant. Es sind sowohl die Menge der Komponente A als auch die Energie zu bilanzieren. Wenn man Gleichung (2.2-17) für diese Bilanzgrößen anwendet, erhält man folgende Gleichungen:

27 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Einführung der Zustandsraum - Darstellung Die im Folgenden beschriebene Umformung der Transport-Bilanzgleichungen in die sogenannte Zustandsraum-Darstellung ist unter mehreren Aspekten von Bedeutung: S Eine Reihe von Lösungsverfahren macht von dieser Darstellung Gebrauch. S In der experimentellen Prozessanalyse wird die Zustandsraum-Darstellung in der linearisierten Form als Standardmodelle eingeführt S In der Regelungstechnik gibt es eine Klasse von Reglern, deren Entwurfsverfahren auf dieser Modelldarstellung basieren. Für eine reale Prozesseinheit müssen i.a. mehrere Bilanzgrößen berücksichtigt werden; demzufolge ergibt sich ein System von Transport-Bilanzgleichungen. Die einzelnen Transport- Bilanzgleichungen sind über die Quellterme miteinander gekoppelt, so dass i. A. keine separierte Lösung möglich ist. Weiterhin muss davon ausgegangen werden, dass durch die Koppelbeziehungen zwischen den Bilanzgrößen und den Zustandsgrößen die Bilanzgrößen jeweils mit allen Zustandsgrößen verknüpft werden können und nicht, wie oben angenommen, eine Bilanzgröße nur von einer einzigen Zustandsgröße abhängt. Die Zustandsgrößen, die den physikalischen Zustand des Stoffsystems im Bilanzraum. kennzeichnen, werden über Koppelbeziehungen eingeführt, die die Bilanzgrößen mit den Zustandsgrößen verknüpfen. Man kann nun annehmen, dass die Zustandsgrößen einen Raum aufspannen, der als Zustandsraum bezeichnet wird. Jeder Prozesszustand entspricht einem Punkt im Zustandsraum; ein konkreter Prozessablauf, der durch eine Folge von Zuständen beschrieben wird, kann demzufolge als Bahnkurve (Trajektorie) im Zustandsraum interpretiert werden. Der Bahnparameter ist dabei gerade die Zeit. Für den Spezialfall konzentrierter Bilanzgrößen ist lediglich die Transformation der Bilanzgrößen in die Zustandsgrößen auszuführen. Für den allgemeinen Fall der ortsabhängigen Bilanz- bzw. Zustandsgrößen müssen die örtlichen Differentialquotienten in den Transport-Bilanzgleichungen durch Differenzenquotienten angenähert werden, um zur Zustandsraum-Darstellung zu gelangen. Konzentrierte Bilanzgrößen Im folgenden soll für den in eingeführten Spezialfall der konzentrierten Bilanzgrößen die Umformung eines Systems von Transport-Bilanzgleichungen in die zustandsorientierte Darstellung in seinen wesentlichen Schritten dargestellt werden. Als Ausgangsbeziehung ist die Gleichung (2.2-17) anzusehen, die nun aber für m Bilanzgrößen zu verallgemeinern ist : (2.2-18) j 1 2 m Die einzelnen Bilanzgrößen à (j = 1.. m) sind als Funktionen der Zustandsgrößen x, x,..., x wie folgt anzusetzen:

28 2-22 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen (2.2-19) Für den Fall, dass man diese Zusammenhänge durch lineare Funktionen beschreiben kann (was in vielen Fällen zutrifft), lassen sich die m Gleichungen (2.2-19) in Matrix-Schreibweise wie folgt überführen: In kompakter Vektor-/Matrix-Notation ergibt sich: (2.2-20) Für die rechten Seiten der Transportbilanzgleichungen kann man nun vereinfachend schreiben: (2.2-21) Der Vektor x der Zustandsgrößen heißt Zustandsvektor. Der Vektor der Steuergrößen u (Steuer-

29 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-23 vektor) umfasst alle Eingangsgrößen u = [u 1,u 2,..., u k], die den Prozessverlauf beeinflussen und die (im Rahmen der physikalischen Grenzbedingungen) beliebig vorgegeben werden können. Mit der in Gleichung (2.2-21) eingeführten Notation lässt sich das System (2.2-20) der Transport-Bilanzgleichungen wie folgt schreiben: Mit der Substitution ergibt sich die allgemeine Form des Systems der Transport-Bilanzgleichungen für konzentrierte Bilanzgrößen in der Zustandsraum-Darstellung wie folgt: (2.2-22) Dieses System wird auch als das System der Zustandsdifferentialgleichungen oder kurz als System der Zustandsgleichungen bezeichnet. Wenn dieses System durch theoretische Prozessanalyse gewonnen wird, sind in den durch die f i(x,u) beschriebenen Verknüpfungen auch die Systemparameter (Abmessungen der Apparate, Stoffwerte usw.) enthalten. Wenn dieses Gleichungssystem durch empirische "Ansatzkonstruktion" (im Rahmen einer experimentellen Prozessanalyse) gewonnen wird, besitzen die Parameter keine interpretierbare Bedeutung. Sie werden dann durch Identifikationsverfahren aus experimentellen Daten gewonnen. In vielen Fällen gewinnt man die parametrische Form des Zustandsgleichungssystems durch Linearisierung der Zustandsgleichungen. Verteilte Bilanzgrößen Die Ableitung der Zustandsgleichungen für Systeme mit verteilten Bilanz- bzw. Zustandsgrößen vollzieht sich methodisch in den gleichen Schritten wie für Systeme mit konzentrierten Bilanzgrößen. Es wird von der allgemeinen Form des Systems der Transport-Bilanzgleichung ausgegangen, das wie folgt geschrieben werden kann:

30 2-24 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Die Zustandsgrößen lassen sich in gleicher Weise wie bei den Systemen mit konzentrierten Bilanzgrößen (s. Formel (2.2-19)) einführen. Mit der Definition des Zustandsvektors x und den Beziehungen à = à (x) (j = 1,.., m) folgt dann (in vektorieller Schreibweise): j j (2.2-23) Die Differentialquotienten nach den Ortskoordinaten lassen sich nach (noch einzuführenden Beziehungen, s. Abschnitt 3.) diskretisieren. Nach Ausführung der Diskretisierung folgt aus (2.2-23) folgendes Differentialgleichungssystem: (2.2-24) Der Steuervektor u wird in die Gleichungen durch die Einbeziehung der Randbedingungen aufgenommen. Wenn man als Komponenten des Zustandsvektors die Zustandsgrößen an den Stützstellen einführt so lässt sich das Zustandsgleichungssystem wie folgt schreiben (2.2-25) Das System der Zustandsgleichungen (2.2-25) hat aus mathematischer Sicht die gleiche Form wie das für konzentrierte Zustandsgrößen hergeleitete System (2.2-22). Der Unterschied besteht in der Struktur des Zustandsvektors. Linearisierung der Zustandsgleichungen i Das System der Zustandsgleichungen lässt sich durch Entwicklung der Funktionen f (x,u,t), die die rechten Seiten der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung darstellen, linearisieren. Die Funktionen werden in TAYLOR-Reihen entwickelt und die Entwicklung wird nach den linearen Reihentermen abgebrochen.. Es wird vorausgesetzt, dass die Entwicklung um einen stationären Arbeitspunkt erfolgt. Das linearisierte Modell gilt dann nur "in der Nähe" dieses Arbeitspunktes. Die folgenden Ableitungen werden für das zeitinvariante System dargestellt; sie lassen sich leicht für den zeitvarianten Fall verallgemeinern. Wenn man eine beliebige rechte Seite des Zustandsgleichungs-Systems in eine TAYLOR-Reihe entwickelt, erhält man folgende Beziehung:

31 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-25 (2.2-26) Die Vektoren x, u kennzeichnen einen stationären Zustand. Mit dieser Festlegung gilt: st st Wenn man nun als neue Zustandsvariablen die Abweichungen vom Arbeitspunkt einführt und die Koeffizienten der Entwicklungen (2.2-26) in folgenden Matrizen zusammenfasst (2.2-27) kann das System der Zustandsgleichungen (2.2-25) in seiner linearisierten Form wie folgt dargestellt werden: (2.2-28) Die Matrix A heißt die Systemmatrix und die Matrix B die Steuermatrix. Die Matrix A ist stets eine quadratische Matrix; B ist dagegen i.a. nicht quadratisch. Das sogenannte Zustandsraummodell setzt sich aus der Gleichung (2.2-28) und einer weiteren Beziehung, die die Ausgangsgrößen mit den Zustandsgrößen verknüpft, zusammen. Auf diese vollständige Form des Modells wird hier nicht weitereingegangen. Die Lösung des linearen Systems (2.2-28) kann durch Einführung der Matrix-Exponentialfunktion analytisch dargestellt werden.

32 2-26 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Beschreibung der Lösung durch die Matrix-Exponentialfunktion Die folgende Konstruktion einer quasianalytischen Lösung des Zustandsraum-Modells ist für einige weiterführende Analysen nützlich. Dazu muss zunächst die sogenannte Matrizen-Exponentialfunktion eingeführt werden. Es gilt: (2.2-29) Für die Lösung der Gleichungen des Zustandsraum-Modells geht man nun wie folgt vor: S Die Zustandsgleichungen werden mit multipliziert: S Für zwei Matrizen mit zeitabhängigen Elementen gilt für die Bildung der zeitlichen Ableitung des Produktes folgende Regel (Produktregel): S Dieses Gleichungssystem kann nun wie folgt integriert werden:

33 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-27 S Die Auflösung nach x(t) liefert: (2.2-30) S Nimmt man an, dass auf das System keine Steuergrößen einwirken (u = 0), so ergibt sich als Lösung (für die Eigendynamik ): (2.2-31) LAPLACE-Transformation des Zustandsraum-Modells Die Zustands-Differentialgleichungen können jeweils der LAPLACE-Transformation unterworfen werden. Es folgt dann: Durch Auflösung nach X(p) erhält man: (2.2-32) Die Lösung folgt aus der Rücktransformation: (2.2-33) S Beispiel zur Linearisierung der Zustandsgleichungen Die Ausgangsgleichungen des adiabaten Rührkesselreaktors mit der Reaktion 2A ---> B wurden im Abschnitt wie folgt hergeleitet:

34 2-28 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen S Aus diesen Differentialgleichungen folgt, dass für den stationären Arbeitspunkt gelten muss: S Die rechten Seiten der Differentialgleichungen lassen sich um den Arbeitspunkt linearisieren. Man erhält: S Dieses Gleichungssystem kann auf die Darstellung (2.2-28) gebracht werden. Dafür ist es notwendig, transformierte Zustandsgrößen einzuführen. Man erhält:

35 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Die Transport-Bilanzgleichungen für eine vektorielle Bilanzgröße Definitionen und Voraussetzungen Die im Folgenden herzuleitenden Transport-Bilanzgleichungen für eine vektorielle Bilanzgröße beziehen sich auf den Impuls. Für den auf die Volumeneinheit bezogenen Impuls (als intensive Form der Bilanzgröße) eines differentiellen Volumenelements gilt: (2.3-1) Hierbei bezeichnet v den Geschwindigkeitsvektor und ñ die Dichte. Für Kartesische Koordinaten gilt (2.3-2) Herleitung der Transport-Bilanzgleichung am differentiellen Volumenelement Im Folgenden wird die Transport-Bilanzgleichung durch die Aufstellung des Kräftegleichgewichts am differentiellen Volumenelement in Kartesischen Koordinaten hergeleitet. Grundlage für die Formulierung des Kräftegleichgewichts ist das Prinzip von D ALEMBERT: Die Trägheitskraft steht mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht wobei die Trägheitskraft gleich der zeitlichen Änderung des im Volumenelement gespeicherten Impulses ist. Damit folgt: (2.3-3) Für die Trägheitskraft, die am differentiellen Volumenelement wirkt, gilt: (2.3-4)

36 2-30 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Dabei bezeichnet a den Beschleunigungsvektor. Die Komponenten dieses Vektors ergeben sich aus den substantiellen Ableitungen der Komponenten des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit (s. Formel. (2.1-15)): (2.3-5) Für die Aufstellung des Kräftegleichgewichtes wird im Folgenden nur die x-richtung betrachtet; die Übertragung auf die anderen Koordinatenrichtungen bereitet keine prinzipiellen Probleme (s. Übergang von Gleichung (2.3-6) zu den Gleichungen (2.3-7)). Im nachfolgenden Bild sind darum nur die Kräfte in x-richtung dargestellt: Die an der Oberfläche des Volumenelements angreifende resultierende Kraft ergibt sich aus den

37 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-31 Scher-, den Normalspannungen sowie aus der Druckkraft (s. Bild) wie folgt: Für die Berücksichtigung eines äußeren Kraftfeldes (Beispiel: Schwerefeld) werde angenommen, dass sich dieses durch einevektor-dichtefunktion f beschreiben lässt. Für die x-komponente der Kraft ergibt sich dann: Unter Anwendung der Beziehungen (2.3-3) bis (2.3-5) kann das Kräftegleichgewicht für die x- Richtung wie folgt formuliert werden (wobei dv = dx dy dz zu beachten ist): (2.3-6) Die Betrachtungen, die bisher nur für die x-richtung angestellt wurden, lassen sich auch auf die y- und die z-richtung übertragen. Durch Analogieschluss lassen sich die Gleichungen für y- und z-richtung gewinnen, so dass sich das folgende Gleichungssystem ergibt: (2.3-7) Diese Gleichungen sind das Ergebnis des komponentenweise formulierten Kräftegleichgewichts. Diese Gleichungen lassen sich in eine Form überführen, die den Transport-Bilanzgleichungen für skalare Bilanzgrößen ähnlich sind. Die Herleitung wird wieder beispielhaft für die x-richx nach der Zeit mit der Dichte tung ausgeführt. Wenn man die substantielle Ableitung von v multipliziert, erhält man

38 2-32 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Für die zeitliche Änderung des Impulses in x-richtung folgt: Für die Divergenz der x-komponente der konvektiven Impulsstromdichte gilt: Damit lässt sich die Beziehung für die substantielle Ableitung wie folgt umformen: Der Ausdruck in eckigen Klammern verschwindet wegen der Kontinuitätsgleichung (s. Gleichung (2.2-10)), so dass folgt: (2.3-8) Damit lassen sich die Gleichungen (2.3-7), nach Übertragung von (2.3-8) auf die y- und die z- Richtung, in die folgende Form bringen: (2.3-9) Wenn man die drei Impulskomponenten als skalare Bilanzgrößen auffasst, lassen sich somit für jede Komponente analoge Gleichungen wie für eine skalare Bilanzgröße à formulieren (s. Gleichung (2.2-5)). Die Gleichungen (2.3-9) stellen die Urform der NAVIER-STOKESschen Gleichungen in der Erhaltungsform dar. Für die Scher- und Normalspannungen müssen noch geeignete Materialgesetze, die die Zusammenhänge zwischen den Spannungen und den Geschwindigkeiten beschreiben, eingeführt werden. Die Spannungen beschreiben in gewisser Weise die molekularen Impulsstromdichten. Wie bereits für die skalaren Bilanzgrößen eingeführt, lässt sich auch für diese Stromdichten zunächst eine Proportionalität zu den Gradienten der Geschwindigkeitskomponenten annehmen. Das ist die bekannte NEWTONsche Näherung; Fluide, die diesem Gesetz folgen, heißen darum NEWTONsche Flüssigkeiten. Für den Fall eines kompressiblen Mediums gelten für die Spannungen die Ausdrücke (hergelei-

39 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-33 tet von Stokes im Jahr 1845): (2.3-10) Der Koeffizient ç bezeichnet die dynamische Viskosität; æ ist die sogenannte Volumen- oder Kompressionsviskosität. Wenn die Beziehungen für die Spannungen in (2.3-9) eingesetzt werden, erhält man: (2.3-11) Das sind die NAVIER-STOKESschen Gleichungen in kartesischen Koordinaten in der Erhaltungsform.

40 2-34 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Nach der STOKESschen Hypothse gilt:. Wenn man diese Beziehung in (2.3-11) einsetzt, erhält man: (2.3-12) Der Fall des inkompressiblen Mediums Für den Fall, dass das Medium inkompressibel ist ( also ñ = const. gilt), folgt aus der Kontinuitätsgleichung (2.2-10): (2.3-13) Das ist die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Medien. Damit vereinfachen sich die NAVIER-STOKESschen Gleichungen erheblich. Am Beispiel der Bilanzgleichung für die x- Komponente des Impulses werden die Vereinfachungen im folgenden diskutiert. Dazu wird von der ersten der Gleichungen (2.3-11) bzw. (2.3-12)ausgegangen: Die linke Seite lässt sich, wenn die Dichte zum konstanten Faktor wird, wie folgt vereinfachen:

41 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen 2-35 Auf der rechten Seite entfällt zunächst der Term, der v enthält. Die verbleibenden Terme lassen sich wie folgt neu sortieren: Unter Berücksichtigung dieser Umformungen und nach Übertragung der Ergebnisse auf die y- und die z-komponenten des Impulses gemäß den Gleichungen (2.3-11) können nun die NAVIER-STOKESschen Gleichungen für inkompressible Medien wie folgt geschrieben werden: (2.3-14) Herleitung der Transport-Bilanzgleichung für eine vektorielle Bilanzgröße für ein makroskopisches Bilanzgebiet Es sind die gleichen Schritte auszuführen, wie sie im Abschnitt für skalare Bilanzgrößen bereits beschrieben wurden. Insbesondere kann von der dort angegebenen Abbildung ausgegangen werden. Die folgenden Terme sind in der makroskopischen Bilanz zu berücksichtigen:

42 2-36 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen (2.3-15) Bei dieser Formulierung ist zu beachten, dass der Spannungstensor durch eine Matrix dargestellt werden muss. In kartesischen Koordinaten ergibt sich beispielsweise: Die Flächenintegrale in (2.3-15) lassen sich durch den GAUSSschen Integralsatz in Volumenintegrale umformen. Wenn man diese Umformung ausführt, erhält man die Impulsbilanz als Vektor-Differentialgleichung in der Erhaltungsform: (2.3-16) Diese Gleichung kann unter Einbeziehung der Kontinuitätsgleichung auch in die folgende Form gebracht werden: (2.3-17) Dies Darstellung hat wiederum den Vorteil, dass sie unabhängig von der Wahl des konkreten Koordinatensystems ist. Wenn man zu kartesischen Koordinaten übergeht und die Beziehung (2.1-7) für das dyadische Produkt anwendet, kann man (2.3-17) in das folgende Gleichungssystem umformen: Wenn man in diese Gleichungen die Beziehungen (2.3-10) für die Spannungen einsetzt, gelangt man wiederum auf die NAVIER-STOKESSCHEN Gleichungen in kartesischen Koordinaten. Für andere Koordinatensysteme müssen die Operatoren entsprechend transformiert werden (s. auch die Ergänzung in Abschnitt 2.3.7).

43 Theoretische Prozessanalyse - Transport-Bilanzgleichungen Beispiel - die EULERschen Gleichungen Aus der Gleichung (2.3-16) lassen sich die EULERschen Gleichungen für die reibungsfreie Strömung ableiten; es muss lediglich der Term gestrichen werden. Es folgt dann für die Darstellung in der Erhaltungsform (2.3-18) bzw. in der äquivalenten Darstellung (unter Anwendung der Kontinuitätsgleichung) (2.3-19) In kartesischen Koordinaten ergibt sich aus (2.3-19) die folgende Darstellung: (2.3-20) Anfangs und Randbedingungen Anfangsbedingungen Wenn die instationären Impulstransport-Bilanzgleichungen gelöst werden sollen, muss das Geschwindigkeitsfeld zum Zeitpunkt t = 0 bekannt sein. In kartesischen Koordinaten gilt demnach: Randbedingungen für reibungsbehaftete Strömungen an festen Rändern Für NEWTONsche Medien (es gelten also die Beziehungen (2.3-10)) kann angenommen werden, dass die Haftbedingungen erfüllt sind. Der Geschwindigkeitsvektor verschwindet demnach an festen Rändern. In kartesischen Koordinaten gilt demnach: