Mathematische Planungsverfahren

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1 Mathematische Planungsverfahren Stefan Etschberger Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg 12 April 2005

2 Organisatorisches Literatur Starke Orientierung an Hauke/Opitz: Mathematische Unternehmensplanung: Eine Einführung, 2, durchgesehene und erweiterte Auflage, BoD, 2003 (ISBN: , Preis: 21,80 e, 330 Seiten) Erhältlich im Sekretariat Opitz Nur dieses Buch ist in der Klausur zugelassen (ohne eigene Notizen) Weitere Materialien Folien (jeweils vor der Vorlesung verfügbar): beinhalten (fast) nur Inhalte aus dem Buch, das gilt insbesondere für Beispiele mit Lösungen Ausgewählte Klausuraufgaben Seite zum Herunterladen der Materialien: wwwwiwiuni-augsburgde/ibo! downloads Sonstiges Klausur: 60 Minuten, 4 Leistungspunkte Sprechstunde: Dienstag, Uhr StefanEtschberger@wiwiuni-augsburgde Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

3 Was ist Planung? Einführung Begriffe (siehe Kapitel 1) Nach Wöhe: Treffen von Entscheidungen, die in die Zukunft gerichtet sind Nach Woll (Wirtschaftslexikon): Gedankliche Vorwegnahme künftiger Ereignisse Unternehmensplanung beinhaltet: Formulierung von Zielen Bestimmung von Maßnahmen, Mitteln und Verfahren Auswahlentscheidungen Anweisungen zur Realisierung der gewählten Alternative Kontrolle der Zielerreichung Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

4 Einführung Begriffe Was ist Mathematische Planung? Ist das Problem mathematisch beschreibbar entsteht ein mathematisches Planungsmodell Unterscheidung bei mathematischen Modellen zwischen: Erklärungsmodell: Beschreibung und Erklärung der Ausgangsproblemstellung durch dessen Elemente (Zielvorstellungen, bewertete Handlungsalternativen, Bedingungen, Zusammenhänge und Abhängigkeiten Entscheidungsmodell: Zusätzlich Verwendung von Methoden zur Analyse und Lösung auf Basis der formulierten Ziele Typen von Lösungsverfahren: exakt (zum Beispiel quadratische Gleichung lösen) approximativ (zum Beispiel Nullstellen beliebiger Polynome) Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

5 Einführung Einordnung Einordnung der Modelle Man kann mathematische Unternehmensplanung gliedern: Nach Anwendunggebieten (Logistik, Finanzierung, Marketing, Produktion, etc) Nach Erklärungs- und Entscheidungsmodellen Nach mathematischen Modellen mit ähnlichen Lösungsprinzipien Letzterer Ansatz wird in dieser Vorlesung verfolgt Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

6 Einführung Einordnung Gliederung der Vorlesung Ökonomische Funktionen (Kapitel 2, allenfalls auszugsweise am Ende der Vorlesung) Lineare Planungsmodelle (Kapitel 3) Graphen und Netzplantechnik (Kapitel 4) Stochastische Ansätze (Kapitel 5) Nichtexakte Modellanalysen (Kapitel 6) Anmerkung: Der behandelte Stoff entspricht einer Kurzfassung des Inhalts von Schwerpunkt PLEN Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

7 Einführende Beispiele Beispiel 31 Ein holzverarbeitender Betrieb möchte ein Produktionsprogramm für Spanplatten festlegen Dabei sind folgende Restriktionen zu berücksichtigen: Es werden zwei Typen von Spanplatten hergestellt: Typ A in der Quantität x 1 für den Außenbereich und Typ B in der Quantität x 2 für den Innenbereich Zur Herstellung der Spanplatten werden zwei Arten von Furnierblättern F 1 bzw F 2 unterschiedlicher Qualität benutzt Die Spanplatten werden mittels einer Presse, in der die Furniere verleimt werden, hergestellt Zur Herstellung einer Platte vom Typ A wird ein Blatt von F 1 und zwei Blätter von F 2 benötigt, während bei Typ B drei Blätter von F 1 und ein Blatt von F 2 benutzt werden Von F 1 bzw F 2 stehen 1500 bzw 1200 Stück zur Verfügung Die Presse steht insgesamt 700 Minuten zur Verfügung, wobei zur Verleimung beider Plattentypen pro Stück jeweils eine Minute benötigt wird Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

8 Beispiel 31 Lineare Planungsmodelle Einführende Beispiele Eine übersichtliche Darstellung der Problemdaten kann oft tabellarisch erfolgen: Einheiten Einheiten Pressminuten Produkt Menge von F 1 von F 2 pro Stück Typ A x Typ B x Kapazitäten Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

9 Einführende Beispiele Beispiel 31 Der Zusammenhang von Daten und Variablen kann in diesem Fall durch ein System von linearen Ungleichungen beschrieben werden Restriktionen: (1) x 1 C 3x Vorrat F 1 / (2) 2x 1 C x Vorrat F 2 / (3) x 1 C x Kapazität Presse/ (4)(5) x 1 ; x 2 0 nicht-negative Mengen/ Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

10 Beispiel 31, Zulässigkeitsbereich Einführende Beispiele Definition Jede x 1 ; x 2 /-Kombination, die alle Restriktionen (1) bis (5) erfüllt, bezeichnet man als zulässige Lösung Die Menge 8 < Z D : x 1 x 2 2R 2 C W x 1 C 3x I 2x 1 C x I x 1 C x nennt man Zulässigkeitsbereich des Problems Aufgrund der Restriktion x 2R 2 C genügt für die graphische Darstellung des Zulässigkeitsbereiches der erste Quadrant eines Koordinatensystems 9 = ; Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

11 Einführende Beispiele Beispiel 31, Graphische Darstellung Zulässigkeitsbereich Die Ungleichung (1) mit x 1 C 3x entspricht einem Bereich desr 2 C, der durch die drei Geraden mit x 1 C 3x 2 D 1500; x 1 D 0 und x 2 D 0 begrenzt wird und damit durch die Punkte 0; 500/; 1500; 0/; 0; 0/ graphisch bestimmt ist Entsprechende Darstellungen erhält man für die übrigen Nebenbedingungen x / x 1 C 3x x 1 ; x 2 0 2/ 2x 1 C x x 1 ; x 2 0 x x 2 3/ x 1 C x x 1 ; x x 1 x 1 x Figur 31: Graphische Darstellung der Restriktionen von Beispiel 31 Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

12 Einführende Beispiele Beispiel 31, Graphische Darstellung Zulässigkeitsbereich Die gesamte zulässige Lösungsmenge Z ergibt sich dann aus dem Durchschnitt der in Figur 31 angegebenen Bereiche (Figur 32) Alle x 1 ; x 2 /-Kombinationen im mit Z gekennzeichneten Bereich erfüllen damit die vorgegebenen Restriktionen x 1 x Z (1) (2) (3) Figur 32: Graphische Darstellung des Zulässigkeitsbereiches von Bsp 31 Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

13 Mögliche Fälle für Z Lineare Planungsmodelle Einführende Beispiele 1 Z D ;, dh, es existiert keine zulässige x 1 ; x 2 /-Kombination 2 jzj D 1, dh, es existiert genau eine zulässige x 1 ; x 2 /-Kombination Dieser Fall tritt meist dann auf, wenn die Restriktionen in Form von Gleichungen formuliert werden (Abschnitt 33) 3 jzj > 1, dh, es existieren mehrere zulässige Lösungen (Beispiel 31) In den ersten beiden Fällen ist durch die Restriktionen das Planungsergebnis festgelegt Im ersten Fall können nicht alle Restriktionen gleichzeitig erfüllt werden, im zweiten Fall gibt es eine einzige Lösung, die alle Restriktionen erfüllt Im letzten Fall entsteht weiterer Planungsbedarf, da für die Modellvariablen noch Spielraum besteht Um diesen Spielraum weiter einzuschränken, ist eine Zielsetzung zu formulieren, die die zulässigen Lösungen bewertet Kann diese Zielsetzung z als lineare Funktion der Modellvariablen modelliert werden, so entsteht ein lineares Optimierungsproblem mit der Zielfunktion zx/ und Nebenbedingungen in Form von Gleichungen und/oder Ungleichungen Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

14 Einführende Beispiele Beispiel 32 Der holzverarbeitende Betrieb aus Beispiel 31 verfolgt die Zielsetzung der Gewinnmaximierung Die Spanplatten vom Typ A bringen 4 e, die vom Typ B 5eGewinn pro Stück Zusammen mit den Restriktionen aus Beispiel 31 kann nun ein mathematisches Modell in Form eines linearen Optimierungsproblems formuliert werden Zielfunktion: zx 1 ; x 2 / D 4x 1 C 5x 2! max (Gewinnmaximierung) Nebenbedingungen: (1) x 1 C 3x Vorrat F 1 / (2) 2x 1 C x Vorrat F 2 / (3) x 1 C x Kapazität Presse/ (4)(5) x 1 ; x 2 0 (nicht-negative Mengen) Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

15 Einführende Beispiele Beispiel 32, graphische Lösung Um das Problem graphisch zu lösen, muss die Zielfunktion als zusätzliches Planungselement in die Graphik der zulässigen Lösungen aufgenommen werden Zu diesem Zweck werden Isogewinngeraden dargestellt Für einen Gewinn in Höhe von c erhält man zx 1 ; x 2 / D 4x 1 C 5x 2 D c bzw x 2 D c x 1 : Nur der Achsenabschnitt D c=5 hängt vom Wert c ab, die Steigung D 4=5 jedoch nicht x1 x Z A B C D E c D 0 c D 2000 c D Figur 33: Graphische Darstellung der Optimallösung von Beispiel 32 Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

16 Einführende Beispiele Beispiel 32, Optimale Lösung Im Beispiel maximaler c-wert im Schnittpunkt der Geraden für die Nebenbedingungen (1) und (3), dh in x 1 ; x 2 / D 300; 400/ Ein höherer Zielfunktionswert als z300; 400/ D C D 3200 kann unter Einhaltung der Restriktionen nicht erreicht werden Man spricht von einer optimalen Lösung Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

17 Einführende Beispiele Beispiel 33 Sind die Gewinnbeiträge der Spanplatten aus Beispiel 31 für beide Typen gleich 4-epro Stück, dh zx 1 ; x 2 / D 4x 1 C 4x 2, so erhält man die graphische Lösung in Figur 34 x 1 x Z A B C D E c D 0 c D 2800 Figur 34: Graphische Lösung von Beispiel 33 Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

18 Einführende Beispiele Beispiel 33, Bereich optimaler Lösungen Man erkennt, dass in diesem Fall kein eindeutiges Optimum, sondern ein ganzer Bereich Z optimaler Lösungen existiert, der durch die folgende Menge beschrieben wird: Z x1 D 2R 2 C W 4x 1 C 4x 2 D 2800; x 1 2 Œ300; 500 x 2 Z entspricht der durch die Punkte C D 300; 400/ und D D 500; 200/ begrenzten Strecke Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

19 Einführende Beispiele Graphische Lösung, Zusammenfassung Für die graphische Lösung linearer Optimierungsprobleme (mit nicht-konstanter Zielfunktion) kann festgehalten werden: Die optimalen Lösungen liegen stets auf dem Rand des zulässigen Bereiches Z beziehungsweise in Ecken von Z Ferner gehört mindestens eine Ecke zur optimalen Lösung Entspricht die Menge der Optimallösungen genau einer Ecke von Z Die Optimallösung ist eindeutig Gibt es zwei optimale Ecken, so ist die Menge aller Punkte der durch diese Ecken festgelegten Strecke optimal Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

20 Einführende Beispiele Beispiel 34 Drei Gase mit jeweils bekanntem Schwefelgehalt (g/m 3 ) und Heizwert (kcal/m 3 ) sollen so gemischt werden, dass ein Mischgas mit einem Schwefelgehalt von höchstens 2 g/m 3 und einem Heizwert von mindestens 2000 kcal/m 3 entsteht Die Preise der drei Gase seien 01, 03, 02e /m 3 Schwefelgehalt und Heizwerte entnehme man der folgenden Tabelle: Gas Mischgas Schwefelgehalt (g/m 3 ) Heizwert (1000 kcal/m 3 ) Zusätzlich soll das Ziel der Kostenminimierung verfolgt werden Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

21 Beispiel 34 Lineare Planungsmodelle Einführende Beispiele Zielfunktion: zx 1 ; x 2 ; x 3 / D 0:1x 1 C 0:3x 2 C 0:2x 3! min (Kostenminimierung) Nebenbedingungen: (1) 2x 1 C x 2 C 3x 3 2 (Schwefelgehalt) (2) x 1 C 2x 2 C 4x 3 2 (Heizwert) (3) x 1 C x 2 C x 3 D 1 (Mischungsbedingung) (4)(5)(6) x 1 ; x 2 ; x 3 0 (nicht-negative Anteile) Um eine graphische Analyse imr 2 C zu ermöglichen, ist eine der Variablen zu eliminieren Da in den Nebenbedingungen eine lineare Gleichung enthalten ist, kann man beispielsweise die Variable x 3 D 1 x 1 x 2 durch x 1 und x 2 ausdrücken und die Mischungsbedingung eliminieren (Berechnung siehe Vorlesung) Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

22 Beispiel 34, Reduziertes Problem Einführende Beispiele Zielfunktion: Nebenbedingungen: 0:2 0:1x 1 C 0:1x 2! min (1) x 1 C 2x 2 1 (2) 3x 1 C 2x 2 1 (4) x 1 0 (5) x 2 0 (6) x 1 C 2x 2 1 Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

23 Beispiel 34, Graphische Lösung Einführende Beispiele x 2 1 A In einem Koordinatensystem mit den Achsen x 1 und x 2 können die umgeformten Nebenbedingungen visualisiert werden (Figur 35) Der Zulässigkeitsbereich entspricht der durch die Punkte A, B und C begrenzten Fläche 1 2 C B Setzt man ferner die Zielfunktion auf den Wert c D 0:2, so erhält man mit x 2 D x 1 die Gleichung einer Geraden, die durch den Nullpunkt geht x 1 Figur 35: Graphische Lösung des Mischungsproblems Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

24 Einführende Beispiele Beispiel 34, Graphische Lösung Eine Parallelverschiebung der Zielfunktionsgeraden nach rechts bzw links senkt bzw erhöht den Zielfunktionswert Soll die Lösung optimal und zulässig sein, so verschiebt man die Zielfunktionsgerade so lange nach rechts, bis sie den zulässigen Bereich Z gerade noch nicht verlassen hat, also in Punkt A D 0:5; 0:25/ Kostenminimale Lösung: x T D 0:5; 0:25; 0:25/ wegen x 3 D 1 x 1 x 1 D 0:25, Die Kosten betragen: 0:1 0:5 C 0:3 0:25 C 0:2 0:25 D 0:175 Das kostenminimale Mischgas besteht also zu 50% aus Gas 1 und jeweils zu 25% aus den beiden anderen Gasen Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

25 Standardformen Lineare Planungsmodelle Lineare Optimierung Bei realen Anwendungen: unterschiedlich viele Variablen und Nebenbedingungen Deshalb: Modell der linearen Optimierung in allgemeiner Formulierung Dazu geht man von n Planungsvariablen x 1 ; : : : ; x n und m Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen aus Das so genannte Standardmaximumproblem besitzt die Form (vgl Beispiel 32) Standardmaximumproblem Zielfunktion: c 1 x 1 C c 2 x 2 C C c n x n! max Nebenbedingungen: a 11 x 1 C a 12 x 2 C C a 1n x n b 1 a 21 x 1 C a 22 x 2 C C a 2n x n b 2 : : : a m1 x 1 C a m2 x 2 C C a mn x n b m x 1 ; : : : ; x n 0 : : Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

26 Standardformen Lineare Planungsmodelle Lineare Optimierung Selbes Problem in matrizieller Schreibweise Standardmaximumproblem mit Zielfunktion: c T x! max Nebenbedingungen: Ax b x 0 dem Vektor der Zielfunktionskoeffizienten c T D c 1 ; : : : ; c n /, dem Beschränkungsvektor b T D b 1 ; : : : ; b m /, der Koeffizientenmatrix der Nebenbedingungen A D a ij / m;n und dem Vektor der Planungsvariablen x T D x 1 ; : : : ; x n / Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

27 Standardformen Lineare Planungsmodelle Lineare Optimierung Das dazu korrespondierende Standardminimumproblem lautet (Beispiel 34) Standardminimumproblem Zielfunktion: c 1 x 1 C c 2 x 2 C C c n x n! min Nebenbedingungen: a 11 x 1 C a 12 x 2 C C a 1n x n b 1 a 21 x 1 C a 22 x 2 C C a 2n x n b 2 bzw in matrizieller Schreibweise: : : : a m1 x 1 C a m2 x 2 C C a mn x n b m x 1 ; : : : ; x n 0 Zielfunktion: c T x! min Nebenbedingungen: Ax b x 0 mit den gleichen Bezeichnungen wie beim Standardmaximumproblem : : Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

28 Standardformen Lineare Planungsmodelle Lineare Optimierung Die Standardprobleme sind durch Multiplikation mit 1 ineinander überführbar, so dass es für die weiteren Ausführungen zunächst genügt, das Standardmaximumproblem zu betrachten: c T x! max c T x! min Ax b Ax b Auch Restriktionen in Gleichungsform können durch die Aufspaltung in Ungleichungen innerhalb der Standardformen berücksichtigt werden Mit a T i D a i1 ; : : : ; a in / gilt: a T i x D b i a T i x b i und a T i x b i a T i x b i und a T i x b i a T i x b i und a T i x b i Beide Standardprobleme können in die sogenannte Normalform überführt werden, in der nur Gleichungen als Nebenbedingungen auftreten Diese Umwandlung wird sich später als vorteilhaft erweisen Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

29 Standardformen Lineare Planungsmodelle Lineare Optimierung In Matrixschreibweise lautet die Normalform: Normalform Zielfunktion: c T x! max min/ Nebenbedingungen: Ax D b x 0 Zur Umwandlung der Standardprobleme in die Normalform werden zusätzliche Variablen y 1 ; : : : ; y m eingeführt Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

30 Standardformen Lineare Planungsmodelle Lineare Optimierung Das Standardmaximumproblem erhält die Form: Standardmaximumproblem in Normalform Zielfunktion: c 1 x 1 C C c n x n C 0 y 1 C 0 y 2 C 0 y m! max Nebenbedingungen: a x 11 1 C C a x 1n n C y 1 D b 1 a 21 x 1 C C a 2n x n C y 2 D b 2 : : : : :: : :: a m1 x 1 C C a mn x n C y m D b m x 1 ; : : : ; x n 0 y 1 ; : : : ; y m 0 wobei nun die ursprünglichen Planungsvariablen x 1 ; : : : ; x n als Strukturvariablen und die neu eingeführten Variablen y 1 ; : : : ; y m als Schlupfvariablen bezeichnet werden Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

31 Standardformen Lineare Planungsmodelle Lineare Optimierung In matrizieller Schreibweise erhält man: Standardmaximumproblem in Normalform Zielfunktion: c T x! max Nebenbedingungen: Ax C y D b x; y 0 Entsprechend besitzt die matrizielle Normalform eines Standardminimumproblems die Form: Standardminimumproblem in Normalform Zielfunktion: c T x! min Nebenbedingungen: Ax y D b x; y 0 Je nach konkreter Problemstellung können die eingeführten Schlupfvariablen ökonomisch interpretiert werden Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

32 Lineare Optimierung Standardformen Beispiel 35 Als Normalform erhält man für das in Beispiel 32 beschriebene Problem aus der Produktionsprogrammplanung: Zielfunktion: 4x 1 C 5x 2! max Nebenbedingungen: (1) x 1 C 3x 2 C y 1 D 1500 (2) 2x 1 C x 2 C y 2 D 1200 (3) x 1 C x 2 C y 3 D 700 (4) (8) x 1 ; x 2 ; y 1 ; y 2 ; y 3 0 Als Lösung ergab sich x T D 300; 400/ Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

33 Lineare Optimierung Standardformen Aus den Nebenbedingungen ergibt sich damit für die Schlupfvariablen im Optimum: (1) y 1 D D 0 (2) y 2 D D 200 (3) y 3 D D 0 mit A = (0,0) B = (0,500) C = (300,400) D = (500,200) E = (600,0) Restriktionen (1) und (3) für den Vorrat von F 1 und die Kapazität der Presse sind im Optimum voll ausgeschöpft Vorrat von F 2 wird nicht aufgebraucht, es bleiben y 2 D 200 Einheiten übrig x 1 x Z A B C D E c D 0 c D 2000 c D Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

34 Lineare Optimierung Standardformen Beispiel 36 Das Mischungsproblem aus Beispiel 34 lautet in Normalform Zielfunktion: 0:1 C 0:2x 2 C 0:1x 3! min Nebenbedingungen: (1) x 2 x 3 y 1 D 0 (2) x 2 C 3x 3 y 2 D 1 (3) x 2 x 3 y 3 D 1 (4)-(8) x 2 ; x 3 ; y 1 ; y 2 ; y 3 0 Lösung: x 2 ; x 3 / D 0:25; 0:25/ Schlupfvariablen y 1 und y 2 im Optimum: (1) y 1 D 0:25 0:25 D 0 (2) y 2 D 0:25 C 3 0:25 1 D 0 Damit werden der maximale Schwefelgehalt sowie der minimale Heizwert genau erreicht Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

35 Typische Anwendungsgebiete Lineare Optimierung Produktionsprogrammplanung Problemstellung (Beispiel 32): Gewinnmaximale Herstellung von n Produkten mit m Produktionsfaktoren Modell: x j = Produktionsquantität von Produkt j (j D 1; : : : ; n) b i = Kapazität des Produktionsfaktors i (i D 1; : : : ; m) a ij = Verbrauch von Produktionsfaktor i für eine Einheit von Produkt j c j = Deckungsbeitrag/Gewinn für eine Einheit von Produkt j Zielfunktion: c 1 x 1 C C c n x n! max Nebenbedingungen: a 11 x 1 C C a 1n x n b 1 : : : : a m1 x 1 C C a mn x n b m x 1 ; : : : ; x n 0 Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

36 Typische Anwendungsgebiete Lineare Optimierung Mischungsproblem Problemstellung (Beispiel 34): Kostenminimale Mischung von n Substanzen aus m Rohstoffen Modell: x j = Mischungsanteil von Substanz j (j D 1; : : : ; n) b i = Mindestanteil von Rohstoff i in der Mischung (i D 1; : : : ; m) a ij = Anteil von Rohstoff i an einer Einheit von Substanz j c j = Kosten für eine Einheit von Substanz j Zielfunktion: c 1 x 1 C C c n x n! min Nebenbedingungen: a 11 x 1 C C a 1n x n b 1 : : : : a m1 x 1 C C a mn x n b m x 1 C C x n D 1 x 1 ; : : : ; x n 0 Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

37 Typische Anwendungsgebiete Lineare Optimierung Aufteilungsproblem Problemstellung: Ertragsmaximale Aufteilung von Budgets und Kapazitäten auf n Aktivitäten Modell: x j = Aktivitätsniveau j (j D 1; : : : ; n) K = verfügbares Budget für alle Aktivitäten H = verfügbare Kapazität für alle Aktivitäten p j = Kosten für eine Einheit von Aktivität j q j = maximaler Prozentsatz für Aktivitätsniveau j c j = Ertrag für eine Einheit von Aktivität j Zielfunktion: c 1 x 1 C C c n x n! max Nebenbedingungen: p 1 x 1 C C p n x n K x 1 C C x n H x j q j x 1 ; : : : ; x n H j D 1; : : : ; n/ Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester

38 Typische Anwendungsgebiete Lineare Optimierung Transportproblem Problemstellung: Kostenminimaler Transport von m Angebotsorten zu n Bedarfsorten Modell: x ij = Transportquantität von Angebotsort i nach Bedarfsort j (i D 1; : : : ; mi j D 1; : : : ; n) a i = Angebot am Ort i (i D 1; : : : ; m) b j = Bedarf am Ort j (j D 1; : : : ; n) c ij = Transportkosten einer Einheit von Angebotsort i nach Bedarfsort j mx nx Zielfunktion: c ij x ij! min id1 jd1 nx Nebenbedingungen: x ij a i i D 1; : : : ; m/ jd1 mx x ij b j j D 1; : : : ; n/ id1 x 11 ; : : : ; x mn 0 Stefan Etschberger (Uni Augsburg) Mathematische Planungsverfahren Sommersemester