Die unschlagbare e-funktion

Transkript

1 Die usclagbare e-fuktio Vo Floria Modler Treffe sic zwei Kurve im Uedlice, sagt die eie: "He, au ab aus meiem Defiitiosbereic, sost differezier' ic Dic!" Darauf die adere: "Mac doc! Ic bi die e-fuktio!" I diesem Artikel möcte ic euc die "usclagbare" e-fuktio etwas äer brige. Das Tema ist ict ur ser iteressat, soder auc im Abitur immer wieder vo besoderer Bedeutug. Ic abe mic auc ier wieder bemüt diese Artikel so ascaulic ud verstädlic wie ur möglic zu screibe. Ic offe mir ist dieses geluge. Auc dieser Artikel ist wieder speziell für Scüler gescriebe. Viel Spaß beim Durcarbeite. Ialt Ekurs. Epoetialfuktioe. Logaritmusfuktioe.3 Umkerfuktioe.4 Ableitugsregel Eulersce Zal ud die e-fuktio. Ableitug eier Epoetialfuktio (Herleitug). Ableite eier e-fuktio.3 Stammfuktio eier e-fuktio.4 Näerugsweise Berecug der Eulersce Zal e 3 Fuktiosutersucug eier e-fuktio 4 Aufgabe zur Übug 5 Abscluss 6 Quelleagabe

2 Ekurs Da ic ict weiß, i wie weit ir i de Gebiete Epoetialfuktioe, Logaritmusfuktioe, Umkerfuktioe ud Ableitugsregel bewadert seit, möcte ic zu allererst mit euc eie kleie Ekurs i diese Gebiete mace. De Vorketisse i diese Bereice solltet ir sco abe, um die e-fuktio begreife zu köe.. Epoetialfuktioe Defiitio: + Die Fuktio f mit f ( ) = b ( b /{}) eißt Epoetialfuktio zur Basis b. Auc die Fuktio f ( ) = a b (mit a ) eißt Epoetialfuktio. Die Zal a eißt Afagswert der Fuktio f ud gibt a, wo der Grap der Fuktio die y-acse sceidet. So see ei paar Beispielsgrape aus: Eigescafte: () Der Grap der Epoetialfuktio Spiegelug a der y-acse ervor. f( ) ( ) = get aus dem Grape g ( ) = b durc b () Die -Acse ist Asymptote der Grape vo f ud g. (3) Der Grap der Fuktio g ( ) = b ist streg mooto steiged für b> ud streg mooto falled für <b<. + (4) Der Wertebereic vo f ist

3 . Logaritmusfuktioe Defiitio: + Für ud b> ist der Logaritmus log b zur Basis b diejeige Hoczal, mit der ma b poteziere muss, um zu eralte. f ( ) = log b eißt Logaritmusfuktio zur Basis b. Logaritmusfuktioe dieser Form see so aus. Die Logaritmusfuktio ist die Umkerfuktio der Epoetialfuktio. Eigescafte: + () Die y-acse ist Asymptote vo f ( ) = log b (mit b>; ) () f ist streg mooto steiged für b> ud für <b< streg mooto falled. + (3) Der Wertebereic ist ; der Defiitiosbereic dagege. (4) f at die Nullstelle bei (; )

4 .3 Umkerfuktioe - Grapiscer Weg, um Umkerfuktio zu bestimme: Ma spiegelt de Grape a der Wikelalbierede y=. - Receweg: Recerisc bestimmt ma die Umkerfuktio, idem ma ud y vertausct. De die Defiitiosmege der Fuktio ist die Wertemege der Umkerfuktio ud die Wertemege der Fuktio ist der Defiitiosbereic der Umkerfuktio! y = ² = y²... y = Satz: We eie Fuktio streg mooto steiged [falled] ist, so ist sie umkerbar.

5 .4 Ableitugsregel. Die Faktorregel Leite die Fuktio f ( ) = 3 ² ac der Faktorregel ab. Lösug: f ( ) = 3 ² f '( ) = 6 Beweis: k( + )² k² ( + )² ² f '( ) = lim lim k = lim k( + ) = k lim( + ) = k Faktorregel: We die Fuktio u a der Stelle a differezierbar ist, da ist auc die Fuktio f mit f ( ) = k u( ) a der Stelle a differezierbar, das eißt es eistiert eie Ableitug, ud es gilt: f '( ) = k u'( ) Ei kostater Faktor bleibt beim Differeziere eralte. Kurz: ( k u) = k u'

6 . Die Summeregel Leite die Fuktio f ( ) = + a der Stelle a bzw. gib die Ableitugsfuktio a. Lösug: f '( ) = + ² Beweis: + ( + a) ( ) + ( a) f '( a) = lim a = lim a a a a a a lim a = + lim = + a a a a a² a f '( ) = + ² Summeregel: Die Fuktioe u ud v seie i eiem gemeisame Itervall defiiert, das die Stelle a etält. A dieser Stelle seie sie differezierbar. Da ist auc die Fuktio f mit f ( ) = u( ) + v( ) a der Stelle a differezierbar, das eißt die Ableitugsfuktio eistiert ud es gilt: f '( a) = u( a) + v( a) Eie Summe wird gliedweise differeziert. Kurz: ( u+ v)' = u' + v'

7 3. Die Produktregel: Beauptug: u ( ) v ( ), da ist f '( ) = u'( ) v( ) + u( ) v'( ). Beweis: f f ( ) f( a) u( ) v( ) u( a) v( a) '( a) = lim = lim a a a a Nu addiere wir, das eißt wir addiere ud subtraiere gleiczeitig eie gleice Term ud zwar ua ( ) v ( ) + ua ( ) v ( ): u ( ) v ( ) ua ( ) v ( ) + ua ( ) v ( ) ua ( ) va ( ) = lim a a u ( ) ua ( ) v ( ) va ( ) = lim( v ( ) + ua ( )) a a a Im äcste Scritt wede wir Grezwertgesetze a: u ( ) ua ( ) v ( ) va ( ) = lim lim v ( ) + lim ua ( ) a a a a a = u'( a) v( a) + v'( a) u( a) q.e.d q.e.d Produktregel: We die Fuktioe u ud v a der Stelle a differezierbar sid, so ist auc die Fuktio f mit f ( ) = u( ) v( ) a der Stelle a differezierbar, ud es gilt: f '( ) = u'( ) v( ) + u( ) v'( )

8 4. Die Quotieteregel: Beauptug: u ( ) f( ) =, da ist v ( ) Beweis: f u'( ) v( ) u( ) v'( ) '( ) =. [()]² v u ( ) ua ( ) f( ) f( a) v ( ) va ( ) f '( a) = lim = lim a a a a u ( ) va ( ) ua ( ) v ( ) v ( ) va ( ) u ( ) va ( ) ua ( ) v ( ) = lim = lim a a a v ( ) v ( a ) ( a ) Auc ier addiert ma wieder, idem wir folgede Term gleiczeitig addiere ud subtraiere va ( ) ua ( ) + va ( ) ua ( ): u ( ) va ( ) va ( ) ua ( ) + va ( ) ua ( ) ua ( ) v ( ) = lim a v ( ) va ( ) ( a) u ( ) ua ( ) va ( ) v ( ) = lim[ va ( ) + ua ( )] a ( a) v( ) v( a) ( a) v( ) v( a) Jetzt wedet ma auc ier wieder die Grezwertgesetze a: u ( ) ua ( ) va ( ) v ( ) = lim a va ( ) + lim a ua ( ) a v ( ) va ( ) a v ( ) va ( ) u'( a) v'( a) = va ( ) ua ( ) va ( ) va ( ) va ( ) va ( ) u'( a) v( a) v'( a) u( a) = [()]² va q.e.d Quotieteregel: We die Fuktioe u ud v a der Stelle a differezierbar sid, da ist auc die Fuktio u ( ) f( ) = a der Stelle a differezierbar, ud es gilt: v ( ) u'( ) v( ) u( ) v'( ) f '( ) =. [()]² v

9 5. Die Ketteregel: Beauptug: f ( ) = g[ l ( )], da ist f '( ) = g'[ l( )] l '( ). Beweis: Es gilt: f '( ) = lim f ( + ) f( ) g[( l + )] g[()] l = lim l( + ) l( ) Nu erweiter wir dies mit. Dazu muss gesagt werde: l( + ) l ( ). l( + ) l( ) Sost würde wir durc dividiere. Ud ier ist eie kleie Lücke i dem Beweis. g[ l( + )] g[ l( )] l( + ) l( ) = lim l( + ) l( ) g[( l + )] g[()] l l( + ) l() = lim l( + ) l( ) g[( l + )] g[()] l l( + ) l() = lim lim l( + ) l( ) g[( l + )] g[()] l = lim l '( ) l( + ) l( ) Da der erste Term zu uübersictlic ist, wird substituiert. k = l( + ) l( ); z = l ( ), da ist z+ k = l ( + ). Außerdem ist lim l( + ) l ( ) = = lim k. gz ( + k) gz ( ) = lim l '( ) k k = g'( z) l '( ) Rücksubstitutio f()=z: = g'[ l( )] l '( ) q.e.d

10 Eulersce Zal ud die e-fuktio So u ka ic edlic zum eigetlice Tema komme. Bestimme wir die Ableitug eier Epoetialfuktio (f()=b ) eier bestimmte Stelle. Geometrisc Die Ableitug a der Stelle = ka durc eie Tagete durc diese Pukt bestimmt werde. Dies ka äerugsweise mit Hilfe eies Steigugsdreiecks abgelese werde: f ()=,7 ud f ()=,4. a) Bestimme für b= äerugsweise recerisc f () ud f () Lösuge: Hierfür wede für de Differezequotiete a, der euc sco bei de Beweis für die Ableitugsregel aufgefalle sei sollte. Deoc ei kleier Ekurs zum Differezequotiete: f ( a+ ) f( a) f ( a+ ) f( a) f '( a) = lim. wird als Differezequotiete bezeicet. f ( a+ ) f( a) Mit dem Differezequotiete bestimmt ma zuäcst die Steigug der Sekate. Da wird durc de Grezwert aber gege strebe lasse, wird die Sekatesteigug zur Tagetesteigug. Dies steckt iter der so geate -Metode iter.

11 Auc ier wolle wir u de Differezequotiete bilde.. Für die Stelle gilt: + f( + ) f( ) = Für = gilt der Differezequotiete: f '() = lim f '() = lim = Nu lasse wir immer kleier werde. Dazu stelle wir eie Tabelle mit möglicst kleie Werte für auf: -, -, -, -,...,,,,669,697,69,693...,693,695,77 Daraus folgt: f '() = lim, Für de Differezequotiete a der Stelle = gilt: f + '() = lim = lim = lim f '(),693..., b) Bestimme f () für b=. Lösuge: + f '( ) = lim = lim = lim = f '() c) Bestimme f ()= für f()=b. Lösuge: + b b b b f '( ) = lim = lim b = b lim = b f '() = f '() f( ) = b f '() Hieraus erkee wir, dass die Ableitug eier Epoetialfuktio vo der Bauart wieder eie Epoetialfuktio sei muss. Nu müsse wir us folgede Frage stelle:

12 Für welces b gilt f ()=? b Das eißt es muss sei: lim = Dieses b köe wir ur durc ausprobiere erausfide. Wir gee so wie obe vor. Da für b= die Steigug a der Stelle = ugefär,693 betrug, muss u b> sei, da die Steigug sei soll. Durc Probiere eralte wir b=,78... Oder aders ausgedrückt: Wir erielte für die Ableitug a der Stelle : + b b b b f '( ) = lim = lim b = b lim = b f '() = f '() f( ) = b f '() Die Ableitug a der Stelle ist demac proportioal zum Fuktioswert a der Stelle ; b Der Proportioalitätsfaktor ist die Zal lim, also die Ableitug a der Stelle. Wir bezeice diese Zal vorübergeed mit m b.somit gilt: f '( ) = m b. Somit ist auc die Ableitugsfuktio f eier Epoetialfuktio f wieder eie Epoetialfuktio. Zur Ketis der Ableitug eier Epoetialfuktio f mit f()=b muss ma also de b Grezwert mb = lim kee. Mit de us biser zur Verfügug steede matematisce Mittel köe wir diese Grezwert ict durc algebraisce Umformuge berece. Wir wisse ict eimal, ob er wirklic eistiert. Wir wisse aber, dass er geometrisc die Steigug der Tagete a de Grape vo f im Pukt P(;) agibt. Ascaulic ist dabei klar, dass der Grap a der Stelle eie Tagete besitzt. Dere Steigug ist größer als für b> ud kleier für <b<. Ma ka dies auc formal beweise, wobei Eigescafte beutzt werde müsse, die der so geate Vollstädigkeitseigescaft der reelle Zale etsprece. Ic verzicte ier auf eie Ausfürug dieses Beweises. Ascaulic ist weiteri klar, dass es geau eie Zal b gebe muss, für die m b = gilt. Die zugeörige Epoetialfuktio at demac a der Stelle die Steigug. Defiitio: Diejeige Basis, für welce die zugeörige Epoetialfuktio a der Stelle die Steigug at, eißt Euleresce Zal e. Sie wird mit e bezeicet. b

13 Es gilt also m e =, d.. Damit gilt: e lim = Defiitio: Die Epoetialfuktio f ( ) = e wird e-fuktio geat. Die e-fuktio ist mit irer Ableitug idetisc, das eißt für f ( ) = e gilt: f '( ) = e ; ( ).. Ableite eier e-fuktio Allgemeier gilt aufgrud der Faktorregel ud der Ketteregel: Satz : k k Für die Ableitug der Fuktio f ( ) = a e mit ak, gilt: f '( ) = k a e..3 Stammfuktio eier e-fuktio Satz : k a k Für die Stammfuktio der Fuktio f ( ) = a e mit ak, gilt: F( ) = e. k.4 Näerugsweise Berecug der Eulersce Zal e (a) Durc systematisces Probiere fidet ma b Es gilt lim = für b,78, das eißt es gilt e,78. (b) Die Tagete a de Grape zu y=e im Pukt P(;) at ac Defiitio die Steigug, das eißt die Gleicug y=+. Für (betraglic) ser kleie -Werte gilt daer e +. Isbesodere gilt e +. Poteziere erbrigt e ( + ) für große. (c) Der umerisce Wert der Eulersce Zal e ist e =, Ma ka beweise, dass e eie irratioale Zal ist, das eißt ict als Bruc dargestellt werde ka.

14 Die Zal e als Grezwert der Folge ( + ). Wir abe ebe auf beide Seite der Näerugsgleicug e + die -te Potez gebildet. Es ersceit plausibel, das dies zulässig ist, zumal das Resultat offebar verüftig ist. Dieses Poteziere eier Näerugsgleicug ist biser aber oc ict gerectfertigt. Daer muss die Aussage e ( + ) präzisieret ud begrüdet werde. Es gilt e > + (Auf Beweis wird verzictet ud jede User selbst überlasse) für alle. Wir setze u für kleie Werte liks ud rects vo ei ud eralte dadurc Abscätzuge für e ac obe ud ac ute. Zuerst setze wir =. Es folgt e > +, also e > ( + ) für alle. m m m Da setze wir =. Es folgt e >, also e = < = ( m> ) ud m m m m e m m m damit: e< ( ) ( m> ). m We wir m durc + ersetze, ergibt sic weiter: e < ( ) = ( + ). + e Wege ( + ) < e < ( + ) gilt also: < < +. ( + ) Für ueigescräkt wacsedes strebt gege ud damit e gege, das eißt ( + ) ( + ) gege e. I diesem präzise Sie gilt: e ( + ) Satz: Die Folge ( + ) kovergiert gege e, das eißt es gilt: e Geauer gilt: < < + ( ). ( + ) lim( + ) = e.

15 3 Fuktiosutersucug eier e-fuktio Utersuce die Fuktio f( ) = e 5e Defiitiosbereic: D =, da ma alle aus der Mege der reelle Zale eisetze darf ud es keie Eiscräkug gibt.. Symmetrie: Wir abe die Vermutug (durc Ascaue des Grape im Tascerecer), dass der Grap weder acsesymmetrisc oc puktsymmetrisc ist. Für Acsesymmetrie müsste gelte: f ( ) = f( ). Also zum Beispiel f ( ) = f (): f ( ) = f () e e e e = ² ,95=-, Dies ist eie falsce Aussage. Der Grap vo f ist also ict acsesymmetrisc. Für Puktsymmetrie müsste gelte: f ( ) = f( ). Also zum Beispiel f ( ) = f (): e 5e + 6 = e² + 5e 6,3...=4,95 Dies ist eie falsce Aussage. Der Grap vo f ist also ict acsesymmetrisc. Daraus folgt, dass der Grap vo f weder acsesymmetrisc oc puktsymmetrisc ist. 3. Veralte für betragsgroße : Für +, get f ( ) +, da 5 6 e 5e + 6 = e ( + ) e e 5 strebt gege. e 6 strebt ebefalls gege. e strebt gege, somit strebt die gaze Klammer gege. e strebt gege +. e damit folgt f() gege +.

16 Für, get f( ) 6, da e 5e + 6 e ud 5e strebe gege. 6 strebt gege 6. Also strebt f( ) Gemeisame Pukte mit de Koordiateacse: - y-acseabscitt = f e e () = = = S y (/) - Nullstelle f()= = e 5e + 6 = ( e )² 5e + 6 Substitutio z = e : = z² 5z+ 6 Awedug : p, q Formel : z, =,5 + 6, 5 6 =,5 +,5 z = 3 z = Rücksubstitutio: e = z: e = e = 3 = l = l 3 N (l3/) ud N (l/) 5. Ableituge: f e e f e e f e e f e e ( ) = 5 + 6; '( ) = 5 ; ''( ) = 4 5 ; '''( ) = Etrema: Notwedige Bedigug für das Voradesei eies Etrema f '( ) = : = e 5 e = e (e 5) Da e > ude (ac Defiitio) bescräke ic mic auf de. Faktor:

17 = e 5 + 5:,5 = e l = l,5 Hireicede Bedigug für das Voradesei eies Etrema f '( ) = f ''( ) : (l,5)² l,5 f ''(l,5) = 4e 5e = 4 6, 5,5 = 5,5 =,5 > : Miimum Berecug des Tiefpuktes: f(l,5) = e 5e + 6 = 6, 5,5 + 6 = 4 T (l,5 / ) 4 (l,5)² l,5 7. Wedestelle: Notwedige Bedigug für das Voradesei eier Wedestelle f ''( ) = : = 4e 5 e = e (4e 5) Da e > ude (ac Defiitio) bescräke ic mic auf de. Faktor: = 4e 5 + 5:4 5 = e l 4 5 = l 4 Hireicede Bedigug für das Voradesei eier Wedestelle f ''( ) = f '''( ) : (l 5 )² l f '''(l ) = 8e 5e = 8 = 6, Berecug des Wedepuktes: 5 f (l ) =, W (l /,35) 4 8. Wertebereic: W = { y y } 4

18 9. Grap zeice:

19 4 Aufgabe zur Übug Übug mact de Meister. Desalb:. Bilde die Ableitug. a f e b f t e e f e f t t e t+ t ) ( ) = ) ( ) = 3,5 ) ( ) = + + ) ( ) = si. Gib eie Stammfuktio zu f a. 3 e a) f( ) = e d) f( ) = e) f( ) = ( e )² e 3. Berece de Ialt der Fläce uter dem Grape vo f über dem Itervall [; ] [-; 3]. a) f( ) = e + + b) f( ) = e c) f( ) = e + e d) f( ) = e + e + 4. Bestimme alle gazratioale Fuktioe 3. Grades, die a der Stelle mit der Fuktio f im Fuktioswert ud i de erste 3 Ableituge übereistimme. a) f( ) = e b) f( ) = ( e e ) c) ( e + e ) d) f( ) = e (Aufgabe 3 ud 4 erforder Ketisse im Bereic Itegralrecug siee dazu meie Serie Eifürug i die Itegralrecug ) 5. Bestimme k. a) ( e + k) d= Weitere Aufgabe mit Lösug auf

20 Lösuge:. a) f( ) = e f '( ) = e b) f( t) = 3,5 e t+ f '( t) = 3,5 e = 7 e e) f( ) = e + + f '( ) = e + ) f( t) = sit e t+ t+ t t f '( t) = e (cos t si t). a) f( ) = e 3 3 F( ) = e 3 e d) f( ) = e F( ) = e + e e) f( ) = ( e )² ( ) ( )² f = e = e e + F( ) = e e +

21 3. a) f( ) = e + + A= ( e + + ) d= = F() F() = e² = e² + 5=,4 3 3 ( ) (3) ( ) ³ 4 8 ( 4) 3,45 b) f( ) = e + [ e + ² + ] [ e + ² + ] A= e + + d= = F F = e + + e + = + ( ) + [ e ] () () ³ 34,73 A= e d= = F F = e = A = ( e ) d= + = F(3) F( ) = e + = 8,5 c) f( ) = e + e ( ) [ e e ] () () ² 7,5 3 d f = e + e ( ) 3 A= ( e + e ) d= = F(3) F( ) = e³ e ( e e²) = 7, 8 ) ( ) [ e ] A= e + e d= = F F = e e + = A= e + e d= 3 [ e e ] 4 e = F() F() = e e + = 7,94 [ e ] ( ) A= e e d + = [ e e ] = F(3) F( ) = e e ( e e²) = 9,3

22 4. a) f( ) = e ; f '( ) = e ; f ''( ) = e ; f '''( ) = e Die Fuktioswerte der Fuktio f ud der drei Ableituge a der Stelle sid: f () = f '() = f ''() = f '''() = Diese Fuktioswerte sid gleiczeitig die Bediguge für das Bestimme der gazratioale Fuktio dritte Grades: f ( ) = a³ + b² + c + d; f '( ) = 3 a² + b + c; f ''( ) = 6a + b; f '''( ) = 6a. f() = = d. f '() = = c 3. f ''() = = b b= 4. f '''() = = 6a a= 6 f( ) = ³ + ² Probe:. f () = STIMMT. f '() = STIMMT 3. f ''() = STIMMT 4. f '''() = STIMMT f ( ) = ³ + ² + + 6

23 b) f( ) = ( e e ); f '( ) = ( e + e ); f ''( ) = ( e e ); f '''( ) = ( e + e ) Die Fuktioswerte der Fuktio f ud der drei Ableituge a der Stelle sid: f () = f '() = f ''() = f '''() = Diese Fuktioswerte sid gleiczeitig die Bediguge für das Bestimme der gazratioale Fuktio dritte Grades: f ( ) = a³ + b² + c + d; f '( ) = 3 a² + b + c; f ''( ) = 6a + b; f '''( ) = 6a. f() = = d. f '() = = c 3. f ''() = = b b= 4. f '''() = = 6a a= 6 f( ) = ³ + ; f '( ) = ² + ; f ''( ) = ; f '''( ) = 6 Probe:. f () = STIMMT. f '() = STIMMT 3. f ''() = STIMMT 4. f '''() = STIMMT f ( ) = ³ + 6

24 c) f( ) = ( e + e ); f '( ) = ( e e ); f ''( ) = ( e + e ); f '''( ) = ( e e ) Die Fuktioswerte der Fuktio f ud der drei Ableituge a der Stelle sid: Diese Fuktioswerte sid gleiczeitig die Bediguge für das Bestimme der gazratioale Fuktio dritte Grades: f () = f '() = f ''() = f '''() = f ( ) = a³ + b² + c + d; f '( ) = 3 a² + b + c; f ''( ) = 6a + b; f '''( ) = 6a. f() = = d. f '() = = c 3. f ''() = = b b= 4. f '''() = = 6a a= f( ) = ² + ; f '( ) = ; f ''( ) = ; f '''( ) = Probe:. f () = STIMMT. f '() = STIMMT 3. f ''() = STIMMT 4. f '''() = STIMMT f( ) = ² +

25 d) f( ) = e ; f '( ) = e e f ''( ) = e ( e + e ) = e + e e f '''( ) = e e e + e = e e Die Fuktioswerte der Fuktio f ud der drei Ableituge a der Stelle sid: f () = f '() = f ''() = f '''() = Diese Fuktioswerte sid gleiczeitig die Bediguge für das Bestimme der gazratioale Fuktio dritte Grades: f ( ) = a³ + b² + c + d; f '( ) = 3 a² + b + c; f ''( ) = 6a + b; f '''( ) = 6a. f() = = d. f '() = = c 3. f ''() = = b b= 4. f '''() = = 6a a= 6 f( ) = ³ + ; f '( ) = ² + ; f ''( ) = ; f '''( ) = 6 Probe:. f () = STIMMT. f '() = STIMMT 3. f ''() = STIMMT 4. f '''() = STIMMT f ( ) = ³ + 6

26 5. a) ( e + k) d=. Stammfuktio : F( ) = e + k² [ e + k²] = e + k e = e + k = k = (3 e) k = 6 e=,56 Vorgeesweise:. Zuerst bildet ma die Stammfuktio.. Daac setzt ma die Itegralgreze für die Stammfuktio ei ud setzt das Ergebis gleic dem Ergebis aus der Aufgabe. 3. Zum Scluss löst ma ac k auf.

27 5 Abscluss So das war u mei erster Teil zur e-fuktio. I meiem zweite Teil möcte ic mit euc die Umkerfuktio eier e-fuktio, die so geate Natürlice Logaritmusfuktio etwas geauer utersuce. Ic offe, ir abt diese Artikel mit Freude ud Eifer gelese ud freut euc sco auf meie zweite Teil. Die Idee zu diesem Artikel etsprigt der Arbeitsgruppe Sculmatematik. 6 Quelleagabe Ic abe mic ser a mei wuderscöes, ausfürlices ud verstädlices Sculbuc gealte. Hier zu kaufe: Floria Modler