I 2 I 1 I 5 I 4. 4 Berechnung von Stromkreisen bei Gleichstrom. oder allgemein

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1 4 Berechnung von Stromkresen be Glechstrom 54 n desem Kaptel werden statonäre Vorgänge beschreben, de sch n elektrschen Stromkresen ergeben. Statonär soll heßen, dass en Zustand betrachtet wrd, der sch ergbt, wenn man nach dem Enschalten so lange abwartet, bs alle evtl. auftretenden Ausglechsvorgänge abgeklungen snd. Des betrfft besonders Schaltungen, n denen Energespecher enthalten snd, also Kondensatoren oder Spulen. De verwendeten Quellen lefern konstante Spannungen und Ströme. Vele Ergebnsse, de her gewonnen werden, snd jedoch übertragbar auf dynamsche Vorgänge und auf Schaltungen, de mt Wechselstrom betreben werden. 4. Krchhoff sche Gesetze Häufg snd elektrsche Netze verzwegt und vermascht (daher auch der Name Netze). Zur mathematschen Beschrebung snd daher das. und. Krchhoff sche Gesetz von fundamentaler Bedeutung. Als erstes lernen wr den Knotenpunkt-Satz oder das. Krchhoff sche Gesetz kennen. Dazu betrachten wr das folgende Bld Bld 4.: Knotenpunkt We wr wssen, handelt es sch bem elektrschen Strom um den Transport von Ladungsträgern. Wenn n den obgen Knotenpunkt, der de Verbndungsstelle mehrerer elektrscher Leter darstellt, von verschedenen Stellen ene bestmmte Anzahl von Ladungsträgern pro Zetenhet hnenfleßt und der Knotenpunkt selbst kene Specherfähgket bestzt, muß de gleche Anzahl von Ladungsträgern auf anderen Wegen weder hnaus fleßen. Für den Knotenpunkt muß gelten: oder allgemen n v v n enem Knotenpunkt st de Summe aller Ströme Null. We man oben seht, werden de n den Knoten hnenfleßenden Ströme postv gezählt und de herausfleßenden negatv. Dese Glechung glt übrgens auch dann, wenn man de tatsächlche Stromrchtung n den enzelnen Letern noch gar ncht kennt. Se glt nach wllkürlcher

2 55 Festlegung ener Stromrchtung für jeden Leter (Zählpfel). Wenn sch durch echnung oder Messung herausstellt, dass de angenommene Stromrchtung verkehrt st, st n der obgen Glechung enfach der betreffende Strom mt enem negatven Vorzechen enzusetzen. Das. Krchoff sche Gesetz wrd auch als Maschensatz bezechnet. Ene Masche st en geschlossener mlauf n enem elektrschen Netzwerk. En stark vermaschtes Netzwerk enthält möglcherwese vele mmer weder unterschedlche geschlossene mläufe. Wr betrachten aber zunächst nur ene enzge Masche. - + q + - q mlauf 3 3 Bld 4.: Maschenumlauf n dem abgebldeten mlauf snd zwe Spannungsquellen und dre ohmsche Wderstände enthalten. Es fleßt überall der gleche Strom. De ohmschen Wderstände stellen Verbraucher dar. Se nehmen Lestung auf. Dese Lestung muß von den beden Quellen beretgestellt werden. n desem Bespel st lecht und ohne echnung zu bestmmen, welche chtung der Strom nehmen wrd. De Spannungsabfälle an den enzelnen Wderständen wesen n de gleche chtung. Wenn de Zählpfele für Spannung und Strom we her an Verbrauchern n de gleche chtung und an Quellen n unterschedlche chtung zegen, sprechen wr von enem Verbraucher- Zählpfelsystem. n desem mdruck wrd nur das Verbraucher-Zählpfelsystem benutzt. Wr machen nun enen Maschenumlauf und adderen de vorhandenen Spannungen n der Wese, dass wr Spannungen, de n chtung des mlaufs wesen, postv und entgegen gerchtete Spannungszählpfele negatv zählen. De Summe aller Spannungen n der Masche muß Null sen. + q + 3 q oder allgemen n v v n ener Masche enes elektrschen Netzwerks st de Summe aller Spannungen glech Null.

3 56 Mt desen beden grundlegenden Gesetzen st es möglch, auch komplzerte elektrsche Netzwerke formelmäßg zu beschreben. 4. Grundstromkres, Kurzschluß, Leerlauf, Anpassung, Energe und Lestung, Wrkungsgrad Bsher snd wr davon ausgegangen, dass sch jede belebge Spannung und jeder belebge Strom durch deale Spannungs- bzw. Stromquellen erzeugen lassen. n der technschen ealtät gbt es jedoch selten deale Quellen. Häufg entstehen schon n der Spannungs- oder Stromquelle Verluste, de sch n Form von Wärmentwcklung äußern. Daher wrd be der Beschrebung von realen Quellen n der egel en nnenwderstand als dskretes Bautel zusätzlch zu ener dealen Quelle verwendet. Durch dese Form der Beschrebung kann man das reale Verhalten technscher Spannungs- und Stromquellen sehr gut nachblden. Den dskreten nnenwderstand ener Quelle sucht man allerdngs am realen Objekt vergebens. Der gesamte nnenwderstand vertelt sch mehr oder wenger glechmäßg über de stromführenden Tele des gesamten Gebldes. Wr betrachten zunächst nur ohmsche Lasten und unverzwegte Stromkrese. Der Grundstromkres besteht also aus ener Spannungsquelle, deren nnenwderstand und enem ohmschen Verbraucher. Er bldet ene Masche, auf de das. Krchhoff sche Gesetz angewendet werden kann. A A A a a q + - B q + - aktver B B passver a) b) Zwepol Bld 4.3: Grundstromkres (a) und sene Bestandtele (b) De beden Zwepole haben hren Namen daher, dass se jewels zwe elektrsche Anschlüsse bestzen. Schaltet man enen aktven und enen passven Zwepol zusammen, so bldet sch en Stromkres. Das gleche glt übrgens auch für de Zusammen-Schaltung zweer aktver Zwepole. Der Strom ergbt sch aus der m Kres wrkenden Quellenspannung q und dem gesamten wrksamen Wderstand, n desem Falle also aus der Summe von und a.

4 Der Strom st lecht zu berechnen: 57 q ges q + De Spannung an a wrd n desem Fall auch Klemmenspannung genannt, da se zwschen den Klemmen A und B zu messen st. a Dese Klemmenspannung st um den Spannungsabfall an klener als q. a + q q Deser Zusammenhang führt zur Spannungsteler-egel. q + + a ( + a) a P + q q q a a + a a + a + q a + a De Spannungsabfälle an zwe n ehe geschalteten Wderständen vertelen sch auf de Wderstände m Verhältns der Wderstandswerte. q De von der Quelle abgegebene Lestung muß glech der Summe der aufgenommenen Lestungen an den beden Verbrauchern sen. Wr vareren nun enmal den Wderstand des Belastungs-Zwepols und ermtteln, wevel Lestung be gegebenem aktvem Zwepol an a entsteht. P q a + a q + a. Kurzschluß: Wenn man den Wderstand a zu Null macht, d.h. praktsch man ersetzt hn durch en gut letendes kurzes und dckes Leterstück (Kurzschlußbrücke), dann verschwndet der erste Bruch, also de Spannung. Glechzetg fleßt der größtmöglche Strom K q / (Kurzschlußstrom). De übertragene Lestung P wrd allerdngs wegen der fehlenden Spannung zu Null.

5 58 Achtung n desem Falle: Der Kurzschlussstrom K erzeugt am nnenwderstand der Spannungsquelle ene hohe Lestung. Dese Lestung erhtzt de Spannungsquelle! P q. Leerlauf: Wenn man den Wderstand a unendlch macht, d.h. praktsch, dass man den Stromkres m Belastungszwepol unterbrcht, dann wrd der zwete Bruch zu Null, also der Strom. Jetzt wrd de Spannung an den Klemmen maxmal q. De Lestung P wrd weder zu Null, wel der Strom fehlt. Desmal blebt de Spannungsquelle kalt. Wr betrachten nun, was zwschen den beden Extrema passert. Offenbar gbt es rgendwo en Maxmum der Lestung. Wr leten also de Lestung nach dem Wderstand a ab. a P q ( + a) dp ( + a) a ( + a) q 4 da ( + a) ( + a) a ( + a) + a + a a a a Wenn der Außenwderstand a glech dem nnenwderstand st, wrd de übertragene Lestung maxmal! n desem Fall sprechen wr von Anpassung des Verbrauchers an de reale Quelle. n der Anpassung st de Lestung, de der Verbraucher aufnmmt, genau so groß we de Lestung am nnenwderstand der Spannungsquelle. a st a klener als, sprechen wr von nterpassung, st er größer von Überpassung. Wr formen jetzt den Ausdruck für de Lestung etwas um und stellen hn dann graphsch dar. P q q a a + a ( + ) a

6 De von der Quelle abgegebene Lestung st 59 P q + q q a a + P a + P P P 4 P P q P P 3 a AP ÜP Bld 4.4: Lestungsaufnahme enes Verbrauchers an ener realen Spannungsquelle abhängg vom Verhältns a / Nun st noch nteressant zu wssen, wevel der von der Quelle abgegebenen Lestung egentlch bem Verbraucher ankommt. Dazu ermtteln wr den Wrkungsgrad P η P q a a + + a

7 6 η,5 AP 3 a Bld 4.5: Wrkungsgrad m Grundstromkres n den verschedenen Arbetsgebeten der Elektrotechnk werden unterschedlche Forderungen an de Lestungsübertragung gestellt und unterschedlche Schwerpunkte gesetzt: n der Nachrchtentechnk st oft de Quellenlestung gegeben (z.b. Empfangslestung ener Antenne) und de Forderung lautet, möglchst vel deser Lestung an de weterverarbetende Elektronk zu übertragen. Dann arbetet man n der Anpassung und nmmt n Kauf, dass de Hälfte der Lestung verloren geht. n der Energetechnk und Energevertelung st de Verbraucher-Lestung gegeben und de Übertragung bestmmt de notwendge Quellen-Lestung. Dort kann man es sch ncht lesten, enen Großtel der erzeugten elektrschen Lestung m Kraftwerk oder auf den Übertragungsletungen n Wärme zu verwandeln. Man achtet sehr auf den Wrkungsgrad und arbetet deshalb n der Überpassung. Das setzt allerdngs voraus, dass man n der Lage st, den Strom abzuschalten, wenn enmal en Kurzschluß entsteht. Für sehr hohe Ströme und Spannungen snd dazu de sogenannten Lasttrenner entwckelt worden. 4.3 Nchtlneare Wderstände, graphsche Arbetspunktermttlung De Bestmmung von Strom und Spannung n enem Grundstromkres st auch graphsch möglch. n der graphschen Darstellung st es relatv enfach möglch, auch Schaltungskomponenten mt nchtlnearen Kennlnen zu berückschtgen. Daher schauen wr uns nun de graphsche Methode der Arbetspunktermttlung an.

8 6 Für den aktven und den passven Zwepol, aus denen der Grundstromkres besteht, kann jewels ene Kennlne gezechnet werden, wobe jewels de an den Klemmen meßbare Spannung über dem dazugehörgen Klemmenstrom aufgetragen wrd. m zweten Schrtt zechnen wr de beden Kennlnen n en gemensames Dagramm: q a) k b) q q stegend a stegend stegend c) k Bld 4.6: Arbetspunkt-Entstehung m Grundstromkres a) aktver Zwepol b) passver Zwepol c) Grundstromkres De Klemmenspannung des aktven Zwepols geht mt stärker werdendem Strom mmer mehr zurück. Das st durch den nnenwderstand des Zwepols bedngt. Am nnenwderstand des Zwepols fällt be stärker werdendem Strom mmer mehr Spannung ab. Deser Spannungsabfall fehlt an den Klemmen. Schleßt man de Klemmen kurz, dann st zwschen den Klemmen kene Spannung mehr zu messen. Es fleßt der maxmal möglche Strom, der Kurzschlußstrom. Deser Effekt st uns bekannt z.b. vom Auto. Wenn der Anlasser betätgt wrd, fleßt en sehr großer Strom. De Battere st en aktver Zwepol, der aus Spannungsquelle und nnenwderstand besteht. De Klemmenspannung geht während des Anlaßvorganges schtbar zurück. De evtl. engeschaltete Beleuchtung wrd deutlch dunkler. Am passven Zwepol wächst der Spannungsabfall nach dem ohmschen Gesetz lnear mt der Spannung. n der gemensamen Darstellung entsteht en Schnttpunkt. Deser Schnttpunkt wrd als Arbetspunkt bezechnet. Er kennzechnet de Spannungs- und Stromwerte, de sch enstellen,

9 6 wenn man de beden Zwepole zusammen schaltet. De Koordnaten des Arbetspunktes snd der Strom und de Spannung an den gemensamen Klemmen. st z.b. der passve Zwepol ken ohmscher Wderstand, sondern st der Wderstand spannungsbzw. stromabhängg und der Zusammenhang zwschen Spannung und Strom möglcherwese schwer analytsch zu beschreben, so st de graphsche Arbetspunktermttlung häufg enfacher als ene rechnersche Vorgehenswese. Wr betrachten enen passven Zwepol, der aus enem nchtlnearen Wderstand besteht: Bld 4.7: Nchtlnearer Wderstand Der nchtlneare Wderstand st dadurch gekennzechnet, dass ncht an allen Orten der Kennlne der Quotent / (absoluter Wderstand) und de Abletung d/d (dfferenteller Wderstand) dentsch snd. Betrebt man desen Wderstand zusammen mt dem aktven Zwepol aus den obgen Bespelen, dann st der Arbetspunkt schnell gefunden. echnersch wäre das möglchwese schwerger. q k Bld 4.8: Arbetspunktermttlung mt enem nchtlnearen Verbraucher

10 63 Besonders be Halbleter-Bauelementen treten häufg Nchtlneartäten auf. Dort st de graphsche Arbetspunktermttlung sehr verbretet. 4.4 Wderstandsnetzwerke Wenn mehrere Wderstände n ehe geschaltet snd, fleßt durch alle Wderstände der selbe Strom. Er erzeugt an jedem Wderstand enen Spannungsabfall. De Spannungsabfälle verhalten sch zuenander we de Wderstandswerte. Daraus ergab sch de schon früher abgeletete Spannungsteler-egel. Wr betrachten nun genauer, was passert, wenn man Wderstände parallel schaltet. ges Bld 4.9: Parallelschaltung von Wderständen An den Klemmen der Anordnung fleßt der Strom ges. An beden Wderständen legt de Klemmenspannung. Für bede Wderstände muß jewels das ohmsche Gesetz gelten. Das erste Krchhoff sche Gesetz lefert: ges + Übrgens lefern n deser enfachen Anordnung bede Knoten das gleche Ergebns. Der Strom ges telt sch offenbar auf de beden Parallelzwege auf. Er tut des nach der Stromteler-egel.

11 64 ( + ) ges ( ) ges ges ges ( + ) ges ges ; + + ges De Ströme n zwe parallel geschalteten Wderständen vertelen sch auf de Wderstände m Verhältns der Letwerte, also m umgekehrten Verhältns der Wderstandswerte. Natürlch kommen auch Kombnatonen von ehen- und Parallelschaltung vor. Als Bespel werden wr de Ausgangsspannung enes belasteten Potentometers berechnen. Her st de Parallelschaltung zweer Wderstände mt enem weteren Wderstand n ehe geschaltet. Das Potentometer st übrgens en Bespel für enen Verpol. Es gbt zwe Engangs- und zwe Ausgangsklemmen. l x T a Bld 4.: Belastetes Potentometer Das Potentometer besteht aus ener Bahn aus letfähgem Materal, das ener Spannung enen Wderstand entgegensetzt. Auf der Bahn beweglch angebracht st en Schlefkontakt, der von Hand oder motorsch bewegt werden kann. Zwschen dem enen Ende des Wderstandes und dem Schlefkontakt kann ene Spannung T gemessen werden. Wr nehmen an, dass der Wderstand auf der Länge der Bahn glechmäßg vertelt st. st das Potentometer ncht belastet, also a!", so haben wr es be der Berechnung von T nur mt der ehenschaltung zweer Wderstände zu tun und es st nur de Spannungsteler-egel anzuwenden.

12 65 Wenn der Wderstand a endlch st, fleßt auch über hn en Strom. Der untere Tel des Potentometers bldet dann mt a ene Parallelschaltung. l x ( T) + T + l x a l x + a l Spannungsteler-egel: T x l a x + l x l x l a + l x + l a a Nach engen mformungen erhält man: T l x ( )( + ) + x l a Dese Formel enthält als Spezalfall den Fall des unendlch großen Belastungswderstandes: T x l T a a Bld 4.: > a Ausgangsspannung des belasteten Potentometers x l Bekannte Ausführungsformen des Potentometers snd das Drehpotentometer am HF-Gerät oder das Schebepotentometer auf dem Mschpult.

13 66 Zur Analyse von komplzerteren Schaltungen st es oft nützlch, (auf dem Paper) ene sogenannten Dreeckschaltung n ene äquvalente sogenannte Sternschaltung umzuwandeln oder umgekehrt. En passves Netzwerk, be dem dese Methode zur Verenfachung führt, st m folgenden Bld dargestellt. ac c cd a bc d ab b bd Bld 4.: Gebrückte Schaltung Durch de Exstenz von bc (dem Brückenwderstand) wrd de Schaltung mt den bsher kennengelernten Methoden unberechenbar. Wäre bc ncht vorhanden, hätten wr es mt der Parallelschaltung zweer ehenschaltungen zu tun und de Berechnung der Ströme fele ncht schwer. Zunächst enmal wrd de Schaltung nur anders dargestellt. Dadurch wrd deutlch, dass es ene Dreeckschaltung als Tel des Gesamtnetzwerkes gbt. De Anschlüsse deses Dreecks haben de Nummern a, b und c. c cd ac bc d a ab b bd Bld 4.3: Erster Schrtt: dentfkaton enes Dreecks n der gebrückten Schaltung Wr suchen nun de Komponenten enes Ersatznetzwerkes für de Dreeckschaltung. Deses Ersatznetzwerk besteht auch aus dre Wderständen, de aber unterenander anders verschaltet snd, nämlch m Stern.

14 67 c cd a a c d b bd b Bld 4.4: Zweter Schrtt: Festlegung ener neuen Schaltungstopologe De Sternschaltung darf de Dreeckschaltung nur ersetzen, wenn se sch nach außen dentsch verhält. Der Wderstand zwschen den Punkten a und b st für bede Schaltungen lecht bestmmbar. Er muß für bede glech sen. Ebenso glt + a b ab ( bc + ac ) + + ab bc ac + a c + b c ac ( ab + bc ) ab + bc + ac bc( ab+ ac) + + ab bc ac Damt legen dre Glechungen für dre nbekannte vor. De Auflösung nach desen nbekannten lefert: a b c ab ac + + ab bc ac ab bc + + ab bc ac ac bc + + ab bc ac Durch de mwandlung st de Schaltung zu ener ehenschaltung enes enzelnen Wderstandes a mt ener Parallelschaltung geworden. Nun st mt den bekannten egeln der Gesamtwderstand und der Strom n cd und bd berechenbar.

15 68 Nach ähnlchen egeln fndet de mwandlung von ener Stern- n ene Dreeckschaltung statt. Wenn de Schaltung nach Bld 4.4 gegeben st und man wll den Stern n en Dreeck verwandeln, erhält man für de gesuchten Wderstände: ab ac bc + + c ( ) + + b a b b c a c ( ) a b b c a c + + a ( ) a b b c a c 4.5 Vermaschte Netzwerke st en Netzwerk sehr vermascht und befnden sch mehr als ene Spannungsquelle an unterschedlchen Orten m System, so st ene ganzhetlche Berechnungsmethode notwendg, um Spannungen und Ströme an allen Netzwerkselementen zu bestmmen. De Zusammenfassung von parallel oder n ehe geschalteten Wderständen und de Stern-/Dreeck-Transformaton rechen dann oftmals ncht aus. Zur Bestmmung aller unbekannten Spannungen und Ströme kommen de Gesetze von Krchhoff zur Anwendung. De Vorgehenswese wrd am besten anhand enes Bespels deutlch. - + q q3 q Bld 4.5: Vermaschtes Netzwerk n enem solchen Netzwerk besteht mestens das Problem, dass man auf Anheb ncht vorhersagen kann, n welcher chtung an den verschedenen Stellen der Strom fleßt. Das kommt erst am Ende der echnung heraus. Daher legt man wllkürlch Stromrchtungen für de verschedenen Zwege fest (Als Zweg wrd jede Verbndung benachbarter Knoten bezechnet). Man trägt also sogenannte Zählpfele en. Wenn man für jeden Zweg de Stromrchtung defnert hat, legen damt auch de chtungen für de Spannungsabfälle an den passven Netzwerkselementen fest. Wenn am Ende für enen Strom en negatver Wert herauskommt, bedeutet das, dass de angenommene Stromrchtung verkehrt war. Das st aber ncht weter tragsch.

16 69 n dem oben dargestellten Netzwerk snd zwe Maschen sofort schtbar. Ene drtte Masche erhält man, wenn man außen umläuft. Außerdem snd zwe Knoten zu erkennen. Es können nun Maschen- und Knotenglechungen nach Krchhoff aufgestellt werden. Wenn man jedoch alle Glechungen für alle Knoten und alle Maschen aufstellt, bekommt man für de gesuchten unbekannten Ströme zu vele Bestmmungsglechungen. Es gelten folgende egeln:! nabhängge Knotenglechungen Für en Netzwerk mt k Knoten können k- unabhängge Knotenglechungen aufgestellt werden. De k-te Knotenglechung st ene Lnearkombnaton der unabhänggen Knotenglechungen.! nabhängge Maschenglechungen Für en Netzwerk mt z Zwegen können z-k+ unabhängge Maschenglechungen aufgestellt werden. Alle übrgen möglchen Maschenglechungen können als Lnearkombnatonen aus den unabhänggen Maschenglechungen hergeletet werden. Wenden wr uns nun weder dem Bespel zu. Es st her k und z 3. Also brauchen wr ene Knotenglechung und Maschenglechungen. Wr legen nun den mlaufsnn für unsere Maschen fest. - + q q3 q 4 Bld 4.6: Defnton des mlaufsnns für de zwe benötgten Maschen Danach wenden wr Krchhoff an: + 3 q q ( + ) + q q

17 7 Das entsprcht folgender Matrzen-Darstellung: q 3 q 3 + q 3 q Wr blden nun de Determnante D der Koeffzentenmatrx D Nach der Kramer schen egel st ( + ) + ( + ) Für den Strom erhalten wr: + D q q D D 3 q q3 q q3 4 3 q q3 ( ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + q q q q q q3 4 ( + ) ( + )( + ) ( + + ) + ( + 4 ) D q q3 3 D D ( + ) + ( ) + ( ) q q3 3 3 q q3 q q3 3 q q3 ( + ) + ( + ) ( q + q) + ( q q3) ( + + ) + ( + ) Der drtte Strom kann nun mt Hlfe der Knotenglechung ermttelt werden q q3 4 q q3 ( + )( + ) + ( ) ( + + ) + ( + )

18 7 Wr setzen jetzt enmal konkrete Zahlen en, um heraus zu fnden, ob de angenommenen Stromrchtungen rchtg waren. Mt erhalten wr 45, V ; 6V ; 75, V ; 3Ω ; 5Ω ; 4Ω ; Ω q q q V 4 V 6, Ω Ω 54Ω 4 A, A 54, 5V 4Ω 5, V 3Ω 54Ω 4 4, 5 A, 694 A 54 V 6 5V 3 3 Ω, Ω 54Ω , A, 47 A 54 Es stellt sch heraus, dass wr zwe Stromrchtungen verkehrt herum angenommen haben. De chtung von stmmt. Betrachten wr nun enmal de Lestungsblanz deses Netzwerks. An den ohmschen Wderständen wrd elektrsche Lestung n Wärme umgewandelt. Es st De Summe aller Verluste st damt P 3, 37W P 4, W P 83, W 3 3 P 48, W ΣP P + P + v P + P 3 4 4, 9W De Summe aller aufgenommenen und abgegebenen Lestungen muß Null sen. Wr betrachten nun de Quellen. ΣPq q q + q3 3 4, 5 (, ) W 6, 694W + 7, 5 (, 47) W 9, 5W 4, 64W, 68W 4, 9W De Lestung an allen Quellen st n desem Falle negatv. Das bedeutet n dem her angewandten Verbraucher-Zählpfelsystem, dass alle Quellen Lestung abgeben. Das muß ncht mmer so sen! Hätten wr andere Zahlenwerte gewählt, könnte de Lestung an ener oder zwe Quellen auch postv sen. Dann wären auch dese Quellen Verbraucher und nähmen Lestung auf, de von den Quellen mt negatver Lestung beret gestellt werden müßte.

19 7 Ene andere Berechnungsmethode für vermaschte Netzwerke st de Superposton der Ströme. Dese Methode kann nur angewandt werden, wenn sch alle betelgen Netzwerkselemente lnear verhalten, d.h. dass n dem obgen Bespel weder de Quellenspannungen noch de Wderstände hren Wert abhängg von Strom ändern. Wenn dese Bedngung erfüllt st, kann man folgendermaßen vorgehen: Man beläßt jewels nur ene Spannungsquelle m System und ersetzt de anderen durch enen Kurzschluß. Dann erhält man für jeden Zweg den Telstrom, der von der verblebenen Spannungsquelle hervorgerufen wrd. Wenn des mt allen Quellen durchgeführt wurde, addert man für jeden Zweg de gewonnenen Telströme und erhält damt den tatsächlchen Strom. Wr verwenden das Bespel von oben und ermtteln den Strom nun durch Superposton. Als erstes wrd der von q herrührende Strom bestmmt. Bld 4.7: Ermttlung des Telstromes (Q) Von der Spannungsquelle Q aus gesehen kann das Belastungsnetzwerk folgendermaßen beschreben werden: ges + ( + ) Der Telstrom (Q) ergbt sch nach der Stromteler-egel: q 3 ( Q) + + ges q ( + + ) + ( + ) , 4 A, 333A 3 + 4

20 q (Q) Bld 4.8: Ermttlung des Telstromes (Q) Aus Scht der Spannungsquelle Q ergbt sch folgende Gesamtlast: q ( Q) ges + + ges q ( + ) q ( + 3) ( + 3)( + 4) + 3 ( ) + 3( + 4) 67 A, 778A q3 (Q3) Bld 4.9: Ermttlung des Telstromes (Q3)

21 74 Es kommt weder de Stromteler-egel zum Ensatz: ( Q) + ( Q) + ( Q3), 333A+, 778A, 47 A, 694 A ( + 4) ges q3 ( Q3) ges q3 3( + + 4) + ( + 4) q3 ( ) + 3 ( + 4) 75, 3, 5 ( Q3), 47 A Deser letzte Telstrom st negatv. Das bedeutet, dass er de ersten beden telwese kompensert. Nun muß noch de Summe gebldet werden. Deses Ergebns hatten wr auch mt Hlfe der Matrzenrechnung erhalten. Wchtger Hnwes: De Superposton glt nur für de Ströme! Be den Lestungen versagt das Prnzp, da de Lestung quadratsch vom Strom abhängt!

22 75 5 Berechnung von Stromkresen be Wechselstrom Der Wechselstrom st n der Elektrotechnk sehr wet verbretet. Am bekanntesten st der Netz- Wechselstrom zur Energeversorgung. De Spannung wrd n den Kraftwerken erzeugt und über mehrere Spannungsebenen (Hochspannungsebene, Mttelspannungsebene, Nederspannungsebene) bs zum Verbraucher n Haushalt, ndustre usw. gebracht. De Spannung und der Strom snd her relatv nederfrequent. Es wrd mt 5 Schwngungen pro Sekunde, also 5 Hertz gearbetet. n der Bahnstromversorgung snd es 6 /3 Hz. En anderes Anwendungsgebet st de Audotechnk. Das menschlche Ohr hört n enem maxmalen Frequenzberech von - 6 Hz. De Schwngungen der Lautsprechermembran entstehen aus elektrschen Schwngungen. Zur Übertragung von ado- und Fernsehsgnalen wrd en Frequenzberech benutzt, der von engen hundert Klohertz bs enge hundert Megahertz geht. Bem Satellten-Funk befnden wr uns m Ggahertz-Berech. Wechselspannungen können ncht mt Hlfe von Batteren oder Akkus erzeugt werden. Dese Spannungsquellen snd mmer Glechspannungsquellen. Wechselspannungen erzeugt man mt roterenden elektrschen Maschnen oder ndem man aus ener Glechspannung elektronsch ene Wechselspannung macht. Wr werden uns zunächst de Erzeugung von Wechselspannung mt Hlfe ener elektrschen Maschne anschauen. 5. Erzeugung von Wechselspannung mt ener elektrschen Maschne Das Bld 5. zegt de prnzpelle Anordnung. Es wrd ene Leterschlefe n en homogenes magnetsches Feld gebracht. Das Feld erzeugt man mt Hlfe von Magneten (Permanentmagneten oder Elektromagneten). Es st zetlch konstant. De Leterschlefe st drehbar gelagert. De Drehachse zegt n chtung des Betrachters. De drehbare Spule kann aus ener oder mehreren Wndungen bestehen. hre Enden führt man auf sogenannte Schlefrnge. Auf dese nge setzt man ruhende Kohlebürsten auf und stellt damt den Kontakt zwschen ruhendem und beweglchem Tel her.

23 76 B N N ω b ω a B S a b c α ; α c S α 9 π Bld 5.: Wechselstromgenerator Wrd de Leterschlefe n otaton versetzt, so st der von der Schlefe umfaßte Fluss Φ zetlch ncht konstant. Wenn de Feldlnen senkrecht auf der aufgespannten Fläche stehen (a), de Flächennormale also entgegen den Feldlnen zegt, st der Fluss maxmal, jedoch negatv zu zählen. Legt de Fläche parallel zu den Feldlnen (c) (de Flächennormale zegt jetzt nach lnks), wrd der umfaßte Fluss zu Null. Dreht man nun weter, so kehrt sch aus Scht der Spule de chtung der Feldlnen um. Nun st der Fluss postv zu zählen. Be der weteren Betrachtung wrd angenommen, dass de Drehzahl n der Spule konstant st. Für de Spule glt das nduktonsgesetz u N d Φ N d!! ( B A) N d ( B A cos α ) dt dt dt Mt α ωt u NΦ ω snωt Mt enem belebgen Anfangswnkel α kann man schreben max ut () u" sn( ωt+ α ) De Wnkelgeschwndgket ω der Leterschlefe bestmmt de Perodendauer und Frequenz der elektrschen Schwngung f T f ω T π ; ; π ω Wll man enen Wechselstrom der Frequenz f 5 Hertz mt obger Anordnung erzeugen, so benötgt man folgende Wnkelgeschwndgket: ω πn πs

24 77 De dazu gehörge Drehzahl st n 3 mn -. Mt deser Drehzahl drehen de sog. Turboläufer der Generatoren n den Großkraftwerken. We wr später sehen werden, kann man mt anderen Anordnungen m Generator de gleche elektrsche Frequenz auch mt nedrgeren Drehzahlen erzeugen (z.b. be Wasserkraftwerken). Da de Wnkelgeschwndgket des Generators für de Nutzung der Wechselspannung ncht von nteresse st, bekommt das ω der Schwngung n der Elektrotechnk ene andere Bezechnung, nämlch Kresfrequenz. De Frequenz und de Kresfrequenz haben egentlch de gleche Enhet. m bede mmer gut ausenander halten zu können, verenbaren wr, dass de Frequenz mmer n Hertz (Hz) angegeben wrd, de Kresfrequenz jedoch n s Zetlcher Mttelwert, Effektvwert, Zählpfele Der zetlche Mttelwert ener Größe st das ntegral der Größe bezogen auf den Beobachtungszetraum. Her betet es sch an, als Beobachtungszetraum ene Perodendauer T der Schwngung zu wählen. T u ( ) T u t u" " sn( ω + α) cosα cos( π + α) π Der zetlche Mttelwert ener renen Wechselspannung st Null. n elektronschen Schaltungen der Analogtechnk werden jedoch oft auch rene Wechselspannungen mt Glechspannungen überlagert (addert). Der Mttelwert solcher Spannungsverläufe st dann ncht mehr Null. Es kommt nun be der Analyse der sog. Glechantel heraus. Zunächst nehmen wr an, dass unsere Spannungen und Ströme kenen Glechantel aufwesen. Wr ermtteln nun den zetlchen Mttelwert der Lestung, de an enem ohmschen Verbraucher entsteht, wenn er an ener Wechselspannung legt. Am ohmschen Wderstand st der Strom zu jedem Zetpunkt durch das ohmsche Gesetz gegeben. Be ener snusförmgen Spannung erhalten wr ut () u" t () sn ωt " snωt

25 78 (t) u(t) Bld 5.: Belastung ener Wechselspannungsquelle mt enem ohmschen Wderstand Der Momentanwert der Lestung st das Produkt der Momentanwerte von Spannung und Strom. pt () ut () t () u" " sn ωt u" "( cos ωt) p p,, u f (t) p u p u ωt Bld 5.3: Spannung, Strom und Lestung am ohmschen Wderstand De Lestung pulsert mt der doppelten Frequenz. Se wrd nemals negatv, denn en ohmscher Wderstand kann zu kenem Zetpunkt Lestung abgeben. De Lestung bestzt enen zetlchen Mttelwert, der verscheden von Null st. T T u "" u "" p tdt T T t t u "" " cosω [ sn ω ] ω u u" Desen Zusammenhang kann man folgendermaßen nterpreteren: De mttlere an enem ohmschen Wderstand n Wärme umgewandelte Lestung st an Wechselspannung mt dem Schetelwert u^ genau so groß we an ener konstanten Glechspannung mt dem Wert u^/". n beden Fällen wrd der Wderstand glech warm. Damt st der Effektvwert der Wechselspannung defnert:

26 79 u " Den Mttelwert der Lestung kann man auch mt dem Strom ausdrücken: p " Den Effektvwert des Stromes erhält man we be der Spannung, ndem man den Schetelwert durch " dvdert. Es hat sch engebürgert, be Wechselspannungen und -strömen ncht den Schetelwert, sondern den Effektvwert anzugeben. So st de Nennspannung m Wechselstromnetz 3 V. Des st en Effektvwert. Der Schetelwert st 35 V. Wenn wr enen Spannungsverlauf haben, der zwar perodsch, aber ncht ren snusförmg, sondern belebg st, muß der Effektvwert mt ener allgemenen Formel defnert werden. Wr suchen weder de Glechspannung, de de gleche mttlere Lestung hervorruft. p T T T u () t T u () t dt dt Bespel: Gegeben st der folgende Spannungsverlauf. Gesucht st der Effektvwert. u(t) V u(t) u - T 6 T 3 T 3 T 5 6 T T t Bld 5.4: Perodscher, ncht snusförmger, Spannungsverlauf

27 De Effektvwertformel lefert: 8 T T T T T V T T t dt V dt V V T t dt V dt V v T t dt ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( ) 5T 65T T 5T + 5T V T , , + 33, , 56V 66, 67V 6, 33V Jeder Abschntt, auch wenn de Spannung negatv st, geht addtv en und vergrößert den Effektvwert. We man seht, geht der zwete Abschntt von T/6 bs T/3 besonders stark n das Ergebns en. n Bld 5. haben wr we aus der Glechstromtechnk gewohnt Pfele für Spannung und Strom engezechnet. Da es sch um Wechselstrom handelt, kehrt sch pro Perode zwemal de chtung von u und um. Während der Hälfte der betrachteten Zet st also de Strom- bzw. Spannungsrchtung we engezechnet, während der anderen Hälfte genau umgekehrt. Es glt weder das, was auch schon n der Glechstromtechnk galt: De engezechneten Pfele snd ledglch Zählpfele. Se legen fest, n welcher chtung Spannung und Strom postv gezählt werden. Am ohmschen Wderstand und an allen anderen passven Schaltkreselementen geben wr den Zählpfelen von Spannung und Strom de gleche chtung. Dadurch wrd aufgenommene Lestung postv gezählt. Wr befnden uns m Verbraucher-Zählpfelsystem. 5.3 Spannung und Strom an Kapaztät und nduktvtät Für den Kondensator hatten wr n Kap. den Zusammenhang zwschen Spannung und Strom gefunden. du dt Deser Zusammenhang glt mmer, also auch dann, wenn de Spannung snusförmg st. t du () t u d u" π () " sn ωt ω u" cosωt sn( ωt + ) dt dt ω u" X " ω Es snd zunächst zwe Dnge bemerkenswert: - Der Strom st gegenüber der Spannung u um 9 phasenverschoben. Wenn de Spannung am stelsten verläuft (t, nπ) st der Betrag des Stromes maxmal.

28 8 - Es läßt sch en Proportonaltätsfaktor zwschen und angeben. Er wrd kapaztver Blndwderstand X genannt. Deser Blndwderstand st frequenzabhängg. Er wrd mt stegender Frequenz klener. (t) u, u u(t) ωt Bld 5.5: Spannung und Strom am Kondensator De Lestung am Kondensator verhält sch aufgrund der Phasenverschebung anders als am ohmschen Wderstand. u" π u" pt () ut () t () sn( ωt) sn( ωt + ) X X T p T pt () snωt Es gbt nnerhalb ener Perode der Netzspannung Phasen, n denen der Kondensator Lestung aufnmmt, und andere, n denen er Lestung abgbt. n ener Perode nmmt er zwemal Lestung auf und gbt zwemal Lestung ab. m Mttel über ene Perode gbt er genau so vel Lestung ab, we er aufnmmt. Für de nduktvtät haben wr n Kap. 3 folgenden Zusammenhang gefunden: u L d dt oder L udt + Wr schalten nun ene osnus-förmge Spannung auf. Der Anfangsstrom se. u" u" u" π t () tdt t t L cosω sn ω cos( ω ) ωl ωl u" X L L " ω

29 Weder snd zwe Dnge bemerkenswert: 8 - Der Strom st gegenüber der Spannung u um 9 phasenverschoben, allerdngs elt er jetzt der Spannung nach. Wenn der Strom am stelsten verläuft (t, nπ) st der Betrag der Spannung maxmal. - Der Proportonaltätsfaktor zwschen und, der nduktve Blndwderstand X L, st ebenfalls frequenzabhängg. Be stegender Frequenz wrd der Blndwderstand X L mmer größer. L (t) u, u u(t) ωt Bld 5.6: Spannung und Strom an der nduktvtät De von der Spule aufgenommene Lestung st wegen der Phasenverschebung von 9 we bem Kondensator m Mttel über ene Perode glech Null. Für das Vorzechen der Phasenverschebung soll folgende Defnton gelten. Es wrd vom Strom ausgegangen und de Phasenlage der Spannung betrachtet. Dann glt: " sn( ωt) ; u u" sn( ωt + ϕ) An der nduktvtät st de Phasenverschebung +9, an der Kapaztät beträgt se -9. De Phasenverschebung erhält das Formelzechen!. Se muß ncht mmer +/- 9 oder Null betragen. Das zegt sch be gemschten Lasten. 5.4 ehenschaltungen be Wechselstrom Wr betrachten zunächst de ehenschaltung enes ohmschen Wderstandes und ener nduktvtät.

30 83 u u L X L ~ u q Bld 5.7: Gemscht ohmsch/nduktve Last an Wechselspannung n der ehenschaltung fleßt überall der gleche Strom. Zu jedem Zetpunkt muß der Maschensatz gelten. u u u L d q + L + " sn ωt + ωl" cosωt dt "( snωt + X L cos ωt) " + X L sn( ωt + ϕ) " Z sn( ωt + ϕ) u" sn( ωt + ϕ) mt X L tanϕ Nun müssen wr enge Begrffe enführen. Den Blndwderstand X haben wr schon kennengelernt. Er zechnet sch dadurch aus, dass er das Verhältns aus den Effektvwerten von Spannung und Strom an ener nduktvtät oder enem Kondensator angbt. m Gegensatz zum ohmschen Wderstand nmmt er aber kene Lestung auf. Daher erhält der ohmsche Wderstand nun auch den Namen Wrkwderstand. n gemschten Schaltungen we oben trtt ene Kombnaton von beden auf. Bldet man her das Verhältns aus Klemmenspannung und Strom, so erhält man den sog. Schenwderstand Z. Der Schenwderstand wrd we m rechtwnklgen Dreeck nach Pythagoras bestmmt. ϕ Z X L Bld 5.8: Wrkwderstand, nduktver Blndwderstand und resulterender Schenwderstand

31 84 Wr erwetern nun de obge Schaltung um enen n ehe geschalteten Kondensator. u u L X L u X ~ u q Bld 5.9: ehenschaltung von, L und Jetzt glt: u u u u L d dt dt q + L " sn ωt + ωl " cos ωt " cosω ω t "( snωt + ωl cos ωt) ω u" sn( ωt + ϕ) u" Z " mt Z + ωl ω und ωl ω tanϕ Auffällg st, dass sch der nduktve und der kapaztve Blndwderstand zumndest zum Tel kompenseren. Wer überwegt, st von der Bauteldmensonerung und von der Frequenz abhängg. -ϕ Z X L X X ges Bld 5.: Schenwderstand be ehenschaltung von, L und

32 85 Wr könnten nun so fortfahren und für jeden Wechselstromkres de Dfferentalglechung aufstellen und dese dann anschleßend lösen. Es gbt jedoch enen enfacheren Weg. 5.5 Zegerdagramme En snusförmger Zetverlauf ener Größe kann erzeugt werden, ndem man enen Zeger, der de Länge des Schetelwertes der Schwngung hat, mt konstanter Wnkelgeschwndgket ω um ene Achse (Koordnatenursprung) roteren läßt und den Zeger auf ene Achse projzert. π ω math. pos. chtung m ϕ t ω u, π π t ( ϕ ) ωt Bld 5.: Zeger- und Lnendagramm m obgen Bld wrd auf de senkrechte Achse des Zegerdagramms projzert. Zum Zetpunkt t st de Projekton glech Null, wel der Zeger sch n desem Bespel be t gerade n der waagerechten Lage befndet. Zum Zetpunkt t spannt der Zeger mt der waagerechten Achse gerade den Wnkel! auf. De Projekton lefert zt ( ) z" sn ϕ z" snωt Wenn nun zwe snusförmge Schwngungen gegenenander phasenverschoben snd, läßt sch das m Zegerdagramm recht lecht darstellen. Es wrd für jede Größe en Zeger dargestellt. Bede schleßen enen Wnkel! en. Bede drehen mt der glechen Wnkelgeschwndgket ω. Dadurch st der engeschlossene Wnkel mmer der selbe. Der Zeger, der weter lnks legt, erzeugt en Lnendagramm, be dem de Maxma und Mnma früher errecht werden, als es be dem zweten Zeger der Fall st. Es wurde schon früher erwähnt, dass es üblch st, statt der Schetelwerte snusförmger Spannungen und Ströme deren Effektvwerte anzugeben. Des hat sch auch n der Zegerdarstellung engebürgert.

33 86 Achtung: Verwendet man Effektvwertzeger, so st de Projekton der Zeger auf ene Achse um den Faktor! zu kurz, wenn man den Zetverlauf aus dem Zegerdagramm erzeugen wll. Effektvwertzeger werden mt unterstrchenen Großbuchstaben dargestellt:, u" " m folgenden Bld snd en Spannungszeger und en Stromzeger dargestellt. De Darstellung zegt de Stuaton zu enem belebgen Zetpunkt t. ϕ ϕ u ϕ Phasenbezugsachse Bld 5.: Spannungs- und Stromzeger n enem gemensamen Zegerdagramm Her st de Spannung vorelend. Das daraus folgende Lnendagramm zegt de Zetverläufe von Spannung und Strom, we se sch be ener gemscht ohmsch/nduktven Last enstellen. Der Phasenwnkel! st n enem solchen Fall postv (X > ). Das Verhältns u^ / ^ st glech dem Schenwderstand Z. Man seht, dass sch snusförmge Größen und deren Bezehung unterenander sowohl durch de Zetverläufe ( de Lnendagramme) als auch durch en Zegerdagramm vollständg beschreben lassen. De Darstellung m Zegerdagramm st jedoch vel enfacher. Weterhn st es be snusförmgen Verläufen egentlch glechgültg, zu welchem Zetpunkt man mt der Betrachtung begnnt, da sch de Vorgänge jewels nach ener Perodendauer T wederholen. Damt hat man de Frehet, zumndest enem der Zeger m Zegerdagramm ene belebge Wnkellage zu geben. Der oder de anderen Zeger allerdngs müssen dann m rchtgen Wnkel zum Bezugszeger engetragen werden.

34 87 u, u ϕ ωt a) b) Bld 5.3: Zegerdagramm (a) und Lnendagramm (b) für Spannung und Strom am ohmschen Wderstand m oben dargestellten Zegerdagramm wurden Spannung und Strom senkrecht und parallel zuenander dargestellt. De gleche nformaton würde ene waagerechte Lage lefern. Wchtg st de Paralleltät und de Länge der Zeger. Das Verhältns aus und lefert den Wderstand, de parallele Lage besagt, dass kene Phasenverschebung auftrtt. An der nduktvtät entsteht ene Phasenverschebung von 9. De Spannung elt dem Strom vor. u, ϕ π u ωt a) b) Bld 5.4: Zegerdagramm (a) und Lnendagramm (b) für Spannung und Strom an der dealen nduktvtät (Wcklungswderstand ) Der Quotent aus L und lefert her L Z X ωl L Betrachten wr nun de Kapaztät. Am Kondensator elt de Spannung dem Strom nach. Der Phasenverschebungswnkel st! -9.

35 88 u, u ϕ - π ωt a) b) Bld 5.5: Nun st Zegerdagramm (a) und Lnendagramm (b) für Spannung und Strom am Kondensator Z X ω Wr betrachten nun noch enmal de ehenschaltung von, L und. u u L X L u X ~ u q Bld 5.6: ehenschaltung von, L und Be ener ehenschaltung st de Größe, de allen gemensam st, der Strom. Daher betet es sch an, den Strom als Bezugszeger zu verwenden. Wr legen den Strom n de waagerechte Achse. -ϕ L q Bld 5.7: Zegerdagramm des Stroms, der Spannungen an, L, und und der Spannung q

36 89 Es se noch enmal darauf hngewesen, dass be deser Anordnung der Phasenverschebungswnkel ncht negatv werden muß! Ob er postv, negatv oder vellecht sogar zu Null wrd st davon abhängg, we groß X L und X snd! Dvdert man alle Spannungszeger durch den Betrag des Stromzegers, erhält man weder en Zegerdagramm. Es st das des Schenwderstandes ( der mpedanz) und seht aus we Bld 5.. X L -ϕ Z X Bld 5.8: Zegerdagramm der Wechselstromwderstände De Wechselstromwderstände kann man also auch als Zeger darstellen! Hnwes zur praktschen Vorgehenswese: Gegeben snd oben q,, X L und X. Der Strom st de nbekannte. Trotzdem können wr hn als Bezugszeger verwenden, wenn wr hm zunächst enmal ene belebge Länge geben, ohne hn zu bemaßen. Das Zegerdagramm der Wrk- und Blndwderstände lefert dann de Phasenverschebung! und den Schenwderstand Z. Jetzt kann aus q der Strom berechnet werden. 5.6 Parallelschaltungen be Wechselstrom Bsher haben wr mmer ehenschaltungen betrachtet. Nun werden wr uns mt der Parallelschaltung von unterschedlchen Wechselstromwderständen befassen und hr Verhalten mt Hlfe von Zegern beschreben. Zunächst betrachten wr ene Parallelschaltung von und L. ~ u q L X L Bld 5.9: Parallelschaltung enes Wderstandes mt ener nduktvtät

37 9 Beden parallel geschalteten Elementen gemensam st de Spannung u q. Der Spannung entsprechend blden sch de Ströme und L aus. Der Gesamtstrom st de Summe der beden Enzelströme. m Zegerdagramm wählen wr als Bezug den Effektvwertzeger der Spannung q. Dann kennen wr de chtungen der Enzelströme. Deren Effektvwerte und L ergeben sch aus dem Wrkwderstand bzw. dem Blndwderstand X L. Anschleßend werden de Enzelströme unter Berückschtgung der Phasenwnkel addert, um den Zeger des Gesamtstroms zu ermtteln. L q ϕ Bld 5.: Zegerdagramm der Ströme be Parallelschaltung von und Wenn wr de Stromzeger durch den Effektvwert der Spannung q dvderen, erhalten wr das Zegerbld der Letwerte. B L G ϕ Y Bld 5.: Zegerdagramm der Wechselstromletwerte von und L Für den Schenletwert ( de Admttanz) der Parallelschaltung von und L ergbt sch: Y G + BL + ωl BL ϕ arctan arctan G ωl mt dem ohmschen Letwert G und dem nduktven Blndletwert B L.

38 9 Nun schalten wr noch enen Kondensator parallel. ~ u q X L L X Bld 5.: Parallelschaltung von, L und Der Strom L elt der Spannung um 9 nach. Der Strom elt der Spannung um 9 vor. m Zegerdagramm der Ströme ergbt sch folgendes Bld: L q ϕ Bld 5.3: Zegerdagramm der Ströme be Parallelschaltung von, L und Der durch den Wrkwderstand fleßende Strom wr auch als Wrkstrom W bezechnet. De Dfferenz der Ströme L und wrd als Blndstrom B bezechnet. Es glt + W B B L B G ϕ Y Bld 5.4: Zegerdagramm von Wrk-, Blnd- und Schenletwert be Parallelschaltung von, L und

39 9 Für den Betrag der Admttanz und de Phasenlage zwschen Spannung q und Gesamtstrom glt: ( ) Y G + B B L ϕ arctan ω ω L + L ω ω 5.7 Komplexe Zeger n der Wechselstromtechnk De Zegerdarstellung von Spannung, Strom, Wderstand und Letwert hat sch als sehr nützlch und enfach herausgestellt. Man gewnnt sehr schnell enen Überblck über de Verhältnsse m betrachteten Netzwerk. En weng störend st jedoch, dass man mmer zwe Ergebnsse bekommt, nämlch ens zur Länge der Zeger und ens zur Phasenlage. Ene mathematsche Darstellung, n der bede nformatonen parallel und gemensam verarbetet werden, erhält man, wenn man sch mt den Zegern n de Gauß sche Zahlenebene begbt. Dann snd de Zeger de graphsche Darstellung von komplexen Zahlen. Se bestzen enen eal- und enen magnärtel. m A A α A re Bld 5.5: Komplexer Zeger n der Mathematk wrd als komplexe Enhet n der egel das verwendet. Be der Anwendung n der Elektrotechnk würde das jedoch zu ständgen Verwechslungen mt dem Formelzechen für den Strom führen. Daher wrd her das j verwendet. Es gbt dre äquvalente Darstellungsformen für den komplexen Zeger:. De kartessche Form A A + A A + ja

40 93 Der Zeger A st her dargestellt als de Summe zweer Zeger A und A. Der Zeger A west n chtung der reellen Achse. Aufgrund der Tatsache, dass er per Defnton mmer reell st, kann auf de nterstrechung verzchtet werden. A wrd als ealtel bezechnet. Der Zeger ja west mmer n chtung der magnären Achse. De Größe A st reell und wrd als magnärtel bezechnet.. De trgonometrsche Form A A(cosα + jsn α) mt A A A + A ; α arctan A Dese Darstellung hat den Vortel, dass Betrag und Phasenwnkel sofort abgelesen werden können. 3. De Exponentalform Mt der Eulerschen Glechung erhält man cosα + jsnα A A e jα e jα Auch her wrd der Zeger mt Betrag und Phase ausgedrückt. Alle dre Darstellungsformen snd nenander überführbar. Je nach Anwendung kann enmal de ene und enmal de andere besser geegnet sen. Kurze Wederholung der wchtgsten echenregeln für komplexe Zahlen! De magnäre Enhet j mt sch selbst multplzert ergbt j#j -.! Ene Multplkaton enes Zegers mt der magnären Enhet j bewrkt ene Drehung des ursprünglchen Zegers um 9 m mathematsch postven Snne. De Länge (der Betrag) des Zegers blebt unverändert. B ja ja(cosα + jsn α) A( snα + jcos α) A(cos( α + π ) + jsn( α + π ))! De Multplkaton enes Zegers mt -j ergbt ene Drehung des Zegers um 9 entgegen der mathematsch postven chtung bzw. um 7 m mathematsch postven Snne. j j j ( ) j j

41 94! De Dvson enes Zegers durch j st äquvalent mt der Multplkaton mt -j. j j j j j j! Zwe Zeger werden addert, ndem ealtele und magnärtele getrennt addert werden. A+ B ( A + ja ) + ( B + jb ) ( A + B ) + j( A + B ) + j! De Multplkaton enes Zegers mt dem konjugert komplexen Zeger lefert en reelles Ergebns A A* ( A + ja ) ( A ja ) A + A d dt A! De zetlche Abletung enes Zegers lefert nach der Produktregel d dt Ae da dt e A jd α + dt e jα jα jα Wenn de otatonsgeschwndgket und der Betrag we n unserer Anwendung konstant snd, heßt das d dt A d jωt jωt Ae jωae jω A dt Das st ene Drehung um 9 und ene Streckung um ω.! De ntegraton enes Zegers, der mt konstantem ω rotert und dessen Betrag konstant st, über der Zet lefert jωt jωt Adt ( Ae ) dt Ae A jω jω Das st ene Drehung um -9 und ene Streckung mt /ω. 5.8 De komplexe Darstellung von Wderständen und Letwerten be Wechselstrom. Der ohmsche Wderstand ; G Der ohmsche Wderstand st ene reelle Größe. Zwschen und entsteht ene Streckung mt dem ohmschen Wderstand bzw. dem ohmschen Letwert.

42 . De nduktvtät 95 L d dt j ω L X L jωl ; B j L jωl ωl Der komplexe Blndwderstand der nduktvtät st ren magnär. De Spannung entsteht aus dem Strom durch Drehung m mathematsch postven Snne und Streckung mt ωl. 3. De Kapaztät d dt j ω X j j B ; ω ω j ω Der komplexe Blndwderstand des Kondensators st ebenfalls ren magnär. De Spannung entsteht aus dem Strom durch Drehung entgegen der mathematsch postven chtung und Streckung mt /ω. Bespel zur Berechnung enes komplexen Schenwderstandes (der eaktanz) A ~ u Bld 5.6: Parallelschaltung von und Zahlenwerte: 3 V ; f 5 Hz ; 5 Ω ; µf Z X + X j ω 5Ω + + jω + j s V π 5 jω A 5 As V 5Ω π + j Wr machen nun den Nenner reell, ndem wr mt dem konjugert komplexen Nenner erwetern. Z π 5Ω ( j ) + π 44, Ω j 6, 39Ω 68, 4Ω e j ( 57, 5 )

43 96 m 44, Ω - 57,5 re Z - j 6,4 Ω Bld 5.7: Zegerbld des Schenwderstands Es st weder snnvoll, de Größe, de beden Schaltungselementen gemensam st, als Bezugsgröße zu wählen, also de Spannung. Man nmmt de Spannung als ren reelle Größe an. Z 3V 68, 4Ω e 3V e j( 57, 5 ) j 857, A e j57, 5 Der Strom elt der Spannung vor. Das muss be ener gemscht ohmsch/kapaztven Last auch so sen. m,857 A j,7 A 57,5,46 A re Bld 5.8: Zegerbld der Ströme Wenn wr uns das Ergebns für Z enmal genauer anschauen, stellen wr fest, dass deses Ergebns auch mt ener ganz anderen Bautel-Kombnaton errecht werden kann. Wenn man enen Wderstand und enen Kondensator n ehe schaltet, erhält man auch enen ealtel und enen negatven magnärtel.

44 97 Z j 44, Ω j6, 39Ω ω 44, Ω j 6, 39Ω j ω 4, 6µ F V π 6, 39 As De Parallelschaltung von oben verhält sch nach außen genau we de ehenschaltung mt den soeben gefundenen neuen Bautelwerten. 5 Ω µf 44, Ω 4,6 µf Bld 5.9: Parallelschaltung und äquvalente ehenschaltung Kontrolle mt Hlfe der Wrklestung Wenn de beden Schaltungen wrklch äquvalent snd, muss an den ohmschen Wderständen n beden Fällen de gleche Lestung n Wärme umgesetzt werden. Be der Parallelschaltung legt de Klemmenspannung an. Also st de Wrklestung: P 3 V 5, 9W 5Ω Be der ehenschaltung st zunächst ncht bekannt. Man kann de Lestung aber über den Strom errechnen. P, 857 A 44, Ω 5, 9W

45 5.9 Wrk-, Blnd und Schenlestung 98 Wr haben gerade de sog. Wrklestung P berechnet und festgestellt, dass se n beden Schaltungen glech groß st. De Wrklestung wrd am ohmschen Wderstand n thermsche Lestung umgewandelt. Multplzert man de Effektvwerte von Klemmenspannung und Klemmenstrom der beden obgen passven Zwepole mtenander, erhält man de sogenannte Schenlestung S. Be gemschten Schaltungen st se mmer größer als de Wrklestung. Her beträgt se S 3V, 857 A 97, VA An der Enhet VA st zu sehen, dass es sch um ene Schenlestung handelt. Man schrebt bewusst ncht Watt. De Enhet Watt st der Wrklestung vorbehalten. De Schenlestung kann man auch als Zeger darstellen. De Defnton für de komplexe Lestung lautet S * Der Zeger der Spannung wrd mt dem konjugert komplexen Strom multplzert. n unserem Bespel von oben ergbt das folgende komplexe Schenlestung: j( 57, 5 ) S 3V, 857 A e 97, VA(cos( 57, 5 ) + j sn( 57, 5 )) 5, 9W j66, Var P + jq Der ealtel der komplexen Schenlestung st de Wrklestung P. Der magnärtel der komplexen Schenlestung wrd als Blndlestung bezechnet und erhält das Formelzechen Q und de Enhet Var (Das r kommt aus dem englschen und steht für reactve power). n unserem Bespel st de Blndlestung negatv. mmer wenn der kapaztve Antel des Blndwderstandes überwegt, st das so. Überwegt der nduktve Antel, st de Blndlestung postv. Den Betrag der Blndlestung erhält man auch, wenn man de Effektvwerte von Spannung und Strom am Blndwderstand mtenander multplzert. Für de erste Schaltung (Parallelschaltung) erhalten wr Q ω π µ F 3 V 66, Var X n der zweten Schaltung (ehenschaltung) st de Blndlestung 857, A Q X ω π 4, 6µ F 66, Var Auch de Blndlestungen n den beden Schaltungen snd glech. Se snd also auch n deser Hnscht äquvalent.

46 99 De dre Lestungsarten stehen auf folgende Art mtenander n Bezehung: S P + Q P S cosϕ Q S snϕ m S jq ϕ P re Bld 5.3: Wrk-, Blnd- und Schenlestung 5. Ortskurven der mpedanz und der Admttanz Der Blndwderstand von Spulen und Kondensatoren st frequenzabhängg. Der ohmsche Wderstand st ncht frequenzabhängg. So ergbt sch be gegebenen Bautelwerten für, L und en frequenzabhängger komplexer Schenwderstand. Wr betrachten zunächst enmal de ehenschaltung von und L. L Z + jωl ( + jω ) ( + jωτ) Der Quotent L/ wrd auch als Zetkonstante der Schaltung bezechnet. De Zetkonstante erhält das Formelzechen τ. Wenn man de Frequenz varert und den komplexen Schenwderstand aufträgt, erhält man de sogenannte Ortskurve von Z.

47 m ω Z L ϕ ω re Bld 5.3: Ortskurve der mpedanz be ehenschaltung von und L ω bedeutet übrgens nchts anderes, als dass de Schaltung mt Glechspannung und Glechstrom betreben wrd. Der komplexe Letwert deser ehenschaltung st: Y Z + jωl + j L ω j L ω + L ( ω ) jωτ + ( ωτ) m,5 ω re ω Y -,5 ω τ L Bld 5.3: Ortskurve der Admttanz be ehenschaltung von und L

48 5. ehen- und Parallelschwngkrese Ene ehenschaltung, de aus, L und besteht, bezechnet man als gedämpften ehenschwngkres. De mpedanz Z deser Anordnung st Z + j( ωl ) ω Man seht, dass es ene Kresfrequenz geben muß, be der der magnärtel zu Null wrd. ω L ω ω L Dese Kresfrequenz hat den Namen esonanz-kresfrequenz. Betrebt man de Schaltung mt deser Frequenz, blebt von der mpedanz nur noch der ohmsche Wderstand übrg. Nur be esonanz wrd de mpedanz reell. Wecht man von der esonanz-kresfrequenz ab, bekommt Z enen magnärtel und der Betrag von Z vergrößert sch. Kennt man de esonanz-kresfrequenz, kennt man auch de esonanz-frequenz: f π L m zu ener allgemenen Darstellung zu kommen, normeren wr de Kresfrequenz Z L + L j ω ω ω ω Den Ausdruck Z L nennen wr Kenn-Kreswderstand. Damt erhalten wr Z + j Z ω ω ω ω Der Quotent Z / heßt Güte. Er st dmensonslos. Q Z L

49 m ω Z ω ω re L Bld 5.33: mpedanz des gedämpften ehenschwngkreses Be klenen Frequenzen verhält sch de Schaltung kapaztv. Be der Frequenz Null st de mpedanz unendlch. Wr ernnern uns: Frequenz Null heßt Glechspannung und Glechstrom. Der Kondensator lädt sch auf de Quellenspannung auf und es fleßt ken Strom. Geht de Frequenz gegen nendlch, wrd der kapaztve Wderstand zu Null, der nduktve aber unendlch. Es fleßt ebenfalls ken Strom. Den Zustand der esonanz schauen wr uns nun enmal genauer an. esonanz bedeutet, dass de Beträge der Blndwderstände von L und glech groß snd. Daher heben se sch von außen betrachtet auf. Ohne de Allgemenhet enzuschränken, nehmen wr den Strom als reell an. Für de Spannungen an, L und glt + j( ) Z ( + jq( )) q L st glech der Klemmenspannung q. L und snd be esonanz glech groß. We groß se snd, hängt von der Güte ab. st de Güte größer als, wrd de Spannung an den Blndwderständen größer als de Klemmenspannung. Das muß man wssen, wenn man de Spannungsfestgket der Bautele dmensonert! Der Strom wrd be esonanz nur durch den ohmschen Wderstand bestmmt.