III. Lineare Gleichungssysteme

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1 . iere Gleichugssysteme Beispiel: Eletrische Schltreise Ohmsche Widerstäde i Reihe- ud Prllelschltug. Kirchhoff sche Regel: - jedem Kote ist die Summe der zufließede eletrische Ströme gleich der Summe der fließede Ströme. - jeder Msche ist die Summe der eletrische Spugsfälle gleich der Summe der i dieser Msche vorhdee Quellespuge.

2 Mittels U R * ergit dies drei liere Gleichuge zur Berechug der uftretede Ströme: 4 U R R R R U R R R 4 U U R R R R R R R

3 . Dreiecsgleichugssysteme Beispiel: Uete : Mtrischreiweise:

4 Wege der Dreiecsform lässt sich ds System leicht vo ute her uflöse:. 6. / 6. ;. lso. lso lso ; ; ; ösugsvetor: ; Proe durch Eisetze! 4

5 Allgemei: wird gelöst mittels Progrmm...: ii i j j ij i i i für : ; /

6 Geuso wird ds utere Dreiecssystem vo oe her gelöst mit dem Progrmm: 6 ii i j j ij i i i für : ; / Wichtig: Alle d sost System icht eideutig lösr! ii det A

7 . Eischu: Reche mit Mtrize Mtri A m m R m eschreit Aildug f A. Mtrize ilde ommuttive Gruppe zgl. zw. vertierre -Mtrize ilde sogr Gruppe zgl. * er icht ommuttiv! A * A Eiheitsmtri detität

8 Beispiel: Aildug Dher: ud 8 * y y f / * / *

9 Beispiele 9 Google Pge-R Mtri: Telle vo Weseite 4 4 w w w w w w w w d c d c y y Mtri eschreit liere Aildug:

10 Spezilfll: R j j j T. Mtri-Multiplitio: A * B C r rj ir ij c ist Slrprodut eres Produt der Vetore ud

11 ls Äußeres Produt vo ud. A T ist Rg--Mtri d.h. die durch A eschrieee Aildug f ht eidimesiole Bildrum: f A T T r* ildet die -dim. Eee uf die Gerde durch de Vetor. m m m T m i j i j T m j i j i T A Spiegelug der Huptdigole Eie ivertierre Mtri A ht volle Rg ud deta

12 ... Orthoormlsis: Vetore u j j... mit u jt u für j u jt u für j Dies sid lier uhägige Vetore lso eie Bsis des R. Norm: T ist die eulid sche äge. Eigeschfte: > für * * für R y < y ud T y < * y

13 Q ist orthogole Mtri we stets Q oder T Q T Q T d.h. Q T Q oder Q Q T Die Splte Zeile vo Q ilde eie Orthoormlsis! ie Gruppe Ei lieres Gleichugssystem A ist lösr flls RgA RgA d.h. ist durch Splte vo A drstellr. De mit der ösug flls sie eistiert ist A eie ieromitio vo Splte vo A: A A D ist iva* A * Ei lieres Gleichugssystem ht etweder eideutige/eie/uedlich viele ösuge!

14 Eurs: Eigewerte ud Eigevetore Ei Vetor u heißt Eigevetor zu Eigewert λ we gilt: u : Au λu Richtug u eschreit Figerde der Aildug ya st A reell symmetrisch AA T so gilt sogr: Es eistiere prweise orthogole Eigevetore lso eie Orthoorml-Bsis des R u u Au j λ j u i u j für i j u j AU A u u Au Au λ λ λ u λ u u u UΛ U liefert idele Bsis für A: U T AU Λ 4

15 . Guss-Elimitio... Beispiel: Mtrischreiweise: Grudidee: Zurücführug uf de ete Fll eies Dreiecsgleichugssystems

16 ... Erlute Trsformtioe: - Multipliziere eier Zeile Gleichug mit eier Zhl verschiede vo Null. - Addiere eies Vielfche eier Zeile zu eier dere Zeile Gleichug. - Vertusche vo Zeile Gleichuge zw. Splte Uete etspricht Umummerierug. Opertioe sid dei icht ur der Mtri durchzuführe soder ev. uch der rechte Seite Vetor ud dem ösugsvetor! Beutze diese Regel um i der Mtri die Sudigol- Elemete der Reihe ch vo oe ch ute zw. vo lis ch rechts zu Null zu mche Dreiecssystem. 6

17 Zu Elimiiere: - Addiere dzu zur zweite Zeile die erste multipliziert mit /. Ergit: / / Dch soll zu Null werde: Dritte Zeile - / * Erste Zeile

18 8../ Dieses System u vo ute her ufgelöst werde wie i Aschitt.. eschriee Resultt: Elimiiere. i letzter Zeile.

19 Beutze lso jeweils ds Digolelemet um die druter liegede Eiträge Splte für Splte zu elimiiere ud zwr vo is --. Prolem: Es öte irgedw eie Null uf der Digole uftrete: ii!!!??? Ws d? 9 / / m Beispiel: Ersetze durch.

20 Prolem gelöst! Um Fortfhre zu öe ist eie Vertuschug otwedig z.b. vertusche zweite Zeile mit dritter Zeile.

21 Betrchte wir ds ursprügliche System so sehe wir dss wir zwr ohe Vertuschug durchomme er der Wert -. uf der Digole führt zu der große Zhl i der letzte Zeile. Erierug: Zu vermeide sid große Zwischewerte! Dher ist es uch im ursprügliche System esser die Vertuschug vo zweiter ud dritter Zeile vorzuehme.

22 ../ Es trete eie große Zwischewerte mehr uf. Allgemeies Vorgehe: Pivotsuche D lutet der letzte Elimitiosschritt

23 Sieht im -te Elimitiosschritt so us: Suche i Utermtri große Eitrg ud vertusche etspreched Zeile ud Splte so dss diese große Zhl die Digol-Positio ommt. Dieses Elemet heißt Pivotelemet.

24 Geräuchlichste Vrite:... Spltepivotsuche: Durchsuche ur die Splte vo is ch etrgsgrößtem Elemet j ud vertusche d die gefudee Zeile j mit der -te Zeile. Der Zustzufwd ist gerig d ur jeweils eie Splte durchsucht werde muss ud zwei Zeile Gleichuge vertuscht werde müsse. Vertusche lso zwei Zeile i der Mtri ud etspreched i der rechte Seite. 4

25 Weiger ülich - Zeilepivotsuche: Durchsuche die -te Zeile ch etrgsgrößtem Elemet ud vertusche zwei Splte Umummerierug i Vetor so dss ds etrgsgrößte Elemet der -te Zeile die Digolpositio ommt. Keie Vertuschuge i ötig! Totlpivotsuche: Durchsuche die gesmte - - Utermtri ud vertusche sowohl Splte ls uch Zeile um ds etrgsgrößte Elemet die Digolpositio zu versetze. Aufwädig! Nur sivoll we ds Gleichugssystem sehr schlecht oditioiert ist! Mehr dzu später

26 ..4. Umwdlug uf Dreiecsform mit Spltepivotsuche: Algorithmus der Guss-Elimitio.. Teil des Progrmms: Pivotsuche ud vertuschug FOR...- DO lph ; j; FOR s... DO F s > lph THEN lph s ; js; ENDF ENDFOR # Pivotelemet ist j ud Pivotzeile ist j FOR i... DO lph i; i ji; ji lph; ENDFOR lph j; j ; lph; 6

27 . Teil: Eigetliche Elimitio # Elimitiosschritt FOR s... DO ls s/; s s - ls; FOR i... DO si si - lsi; ENDFOR ENDFOR ENDFOR Ddurch ist ds System uf oere Dreiecsform gercht ud wie i. eschriee eifch vo ute her gelöst werde.

28 . 4 Die U-Zerlegug.4.. Defiitio: Sei A die Mtri die im -te Schritt der Guss-Elimitio ereitet wird lso A A die Ausggsmtri ud A U die Edmtri i oerer Dreiecsgestlt. Die Gewichte lsl s us oigem GE-Algorithmus schreie wir i eie eue utere Dreiecsmtri: 8 : l l l l l

29 9 : l l Für jede Splteelimitio smmel wir die Gewichte i P sei die Permuttiosmtri zu de Pivotvertuschuge. Beispiel: Vertuschug etspricht m Folgede etrchte wir zur Vereifchug die Guss-Elimitio ohe Pivotsuche ud ohe Permuttio P. P

30 Der -te Schritt der GE ls Mtriprodut eschriee werde i der Form mit Eiheitsmtri. Ziehe vo de utere Zeile vo A jeweils die etspreched gewichtete -te Zeile. A A A A... * * * * * A l A l A l l A Dei ezeichet A. die -te Zeile vo A.

31 sgesmt: A A A A U ~ ~ : ~ mit der Mtri j j j j j Dei verwede wir: i j für i<j; * i j Wie sieht die verse dieser Mtri us? Es gilt

32 ~ Also: ud wege d uch. ~ Dmit ergit sich: U A A U ~

33 Allgemeier mit Pivotsuche muss och die Permuttio P miterücsichtigt werde die durch ds Auswähle der Pivotelemete hervorgerufe wird. D gilt: PA U Allgemeies Vorgehe: Smmle us dem Algorithmus..4 der Guss-Elimitio die Gewichte l j i Mtri ud ezeiche mit U die oere Dreiecsmtri die sich ls Edresultt der GE ergit. Smmle die Pivotvertuschuge i Permuttiosmtri P.

34 4 dem etrchtete Beispiel: Bem.: Speichere ev. im Arry vo A Stelle der etstehede Nulle. y U ud P y U P A T Vorteil: Nch eimliger Durchführug ud Speicherug vo ud U jedes weitere Gleichugssystem i A schell gelöst werde:

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