Beispiel: Berechnung von. Allerdings ist die Auswertung in dieser Form numerisch instabil

Transkript

1 Beispiel: Berechug vo Prolemtisch? 6, ) ( f Allerdigs ist die Auswertug i dieser Form umerisch istil d Auslöschug im letzte Schritt! ) ( für cod Koditio ist OK, d (L Hospitl)

2 Etspreched lässt sich die Berechug der Epoetilfuktio für große egtive rette, idem wir ep(-) ersetze durch ep(). 6 ) ( ) )( ( Bessere Formulierug: Für keie Sutrktio mehr! Alle Eizelschritte sid gut koditioiert!

3 Beispiel: f() = - cos() für : f() ist wieder gut koditioiert ei, d cod f f si( ) cos( ) ( ), Aer ei ist cos() he ei wieder Auslöschug! I MATLAB: - cos(^(-8)) ergit ; ud mit cos(^(-)) = verliert m ei der Differez 6 sigifikte Stelle 65

4 Aderer Berechugsweg: - cos() = si () oder Reiheetwicklug des Cosius cos( ) ( 6 6 )! 6!! 6! 66

5 Beispiel: y = ei = Awedug der Epsilotik; seie, Mschiezhle: Bereche erst eide Produkte, d die Differez. 67 p p y Fehler: Eigefehler Produktfehler Differezfehler Reltiver Fehler: Nu seie uch ud fehlerhft: (+ ), (+ ) p p ) ( ) ( p p

6 Adere Art der Berechug: y = ( )( + ) 68 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * f ) ( ) ( ) ( * * d dy cod d dy cod Koditioszhle:, Prolem ist schlecht koditioiert für Reltiver Fehler i erster Näherug:

7 Vergleich mit erstem Algorithmus: Ds eue Verfhre ist esser, d i.w. ur der uvermeidre Fehler (durch Eigefehler) uftritt! Grud: Auslöschug i - geriger ls i, d Fehler i ud kleier ls i ud. 69

8 Zusmmefssug Edlichkeit des Computers führt zu edlicher Mege vo Mschiezhle. I jedem Schritt trete Rudugsfehler uf. Gefährlich sid Opertioe, ei dee m sigifikte Stelle verliert, wie z.b.: - Auslöschug (Differez fst gleicher, fehlerhfter Zhle) - Summe zwische großer Zhl ud sehr kleier Zhl, ei der die sigifikte Stelle i der kleie Zhl stecke (vgl. wiederholtes Wurzelziehe) - Allgemei Opertiosfolge mit große Zwischewerte ud kleie Edwerte (vgl. ep, Teilfuktio schlecht koditioiert). 7

9 Vorsicht! Gesudes Misstrue! Algorithmus ist OK, we die Größeordug der reltive Fehler im Resultt ugefähr gleich der Größeordug der Eigefehler leit. Umforme eies umerisch istile Verfhres durch - dere Reihefolge der Berechug - Afg der Tyloretwicklug - Trigoometrische Formel - lgerische Umformug (iomische F.) Ev. doule precisio reche, dmit trotz schlechter Koditio oder Rudugsfehler och ruchres Resultt ürigleit. 7

10 Systemtische Fehler ud große Zhl der Opertioe köe zu schlechte Ergeisse führe! (Siehe Beispiel Börseide) Ev. Modellfehler gege Rudugsfehler wäge: Feieres Modell Mehr Rechug Mehr Rudugsfehler! M muss die optimle Blce fide! Beispiel Üugsufge Differezequotiet. Gesmtfehler: Gro diskretisiert Optimum fei diskretisiert Modellfehler Rudugsfehler 7

11 Beispiel: Veresserte Fehlerlyse für de umerisch istile Fll großer Zwischewerte Zerlege Prolem f() i zwei Schritte y = f() = f (f ()) = f (z) woei z = f () großer Zwischewert ud y = f (z) kleier Edwert. f f f z y Beispiel f(,)= z = f( f(f(,),c),,z) Dher ist Teilprolem f (z) für diese Werte schlecht koditioiert, d z f (z) groß ist! Dher ist Gesmtverfhre icht umerisch stil für. 7

12 Verfhre ist umerisch stil, we für jede Zerlegug i Teilproleme f (f ()) = f (z), z = f (), f (z) stets gut koditioiert ist! Keie große Zwischewerte! Koditioszhl Gesmtprolem Numerisch stil Berechugsform 7

13 Geuere Alyse der umerische Stilität durch Bestimmug der Koditioszhle ud Aleituge ller Teilschritte: Zerlege Algorithmus i Teilproleme f() = f (f ()) ud ereche lle uftretede Koditioszhle cod(f )! Meist zu ufwädig oder umöglich. Epsilotik geügt für us: (i) (Ersetze (+ε), op y ( op y)(+ε) (ii) Streiche Terme höherer Ordug i ε, ε, ε, (iii) Bestimme dmit de rel. Fehler des Resultts (f y)f i erster Näherug ud schätze Beträge ch oe (iv) Diskutiere die eizele Terme. 75

14 Ziel: Erkee us Formel (Progrmm), zw. erechete (Zwische)werte, - o ds Prolem gut koditioiert ist, ud - o ds verwedete Verfhre umerisch stil ist, - zw. wie ds Verfhre ev. veressert werde k. Klusurufge: f()=ep()-, g()=-+ -, h()=(+ )(-cos ()) 76

15 Schlecht koditioierte Proleme: - Wettervorhersge - Aktieetwicklug - Chos-Theorie i dymische Gleichuge - Sprughft, chotisch, prmeterhägig, selstezüglich Vorsicht mit Vorhersge: Die eizige Vorhersge, die wirklich zutreffe sid die, die m chträglich mcht. Vorsicht ei chträglicher Bewertug vo Vorhersge! Psychologische Effekte. 77

16 III. Liere Gleichugssysteme Googles PgeRk Betrchte WWW ls gewichtete Grphe mit Kote (Weseite) ud Kte (Liks): Erstelle dzu Mtri=Telle ( = Azhl der Kote) Eitrg i,j = q, we Kte vo i ch j (isgesmt q Kte vo i) Alle dere Eiträge i i-ter Zeile d

17 Geht vo i gr keie Kte us, d i,j = für lle j. : : : : A Die Summe der Eiträge i eier Zeile stets gleich ist.

18 Rdom Wlk Strt: = (,,,).: = (,,,)

19 (+)+ (+) (+) (+) = 6 6.: = (6,,6,6)

20 6*+6+*(6+) *(6+) 6*+*(6+) 6*+*(6+) 78 = 6 9.: = (6,78,9,9)

21 Im Grezwert = (.579,.,.5,.5).5 Formulierug ls Gleichugssystem: Suche de Vektor der ei Likswedug sttioär ist: 6

22 7 Lösugsvektor ist sttioär, d.h. ei Rdom Wlkschritt liefert wieder. =A. Lieres Gleichugssystem:

23 8 I Lösugsvektor git Kompoete i die Gewichtug der i-te Weseite : PgeRk vo Seite i. Lieres Gleichugssystem: I MtriVektor-Schreiweise: Spezielle Eigeschft? google.m

24 . Dreiecksgleichugssysteme Beispiel: Uekte,, : I Mtrischreiweise:

25 Wege der Dreiecksform lässt sich ds System leicht vo ute her uflöse: ; lso.5, lso 7 7, lso ; ; ; Lösugsvektor: ; Proe durch Eisetze!

26 Allgemei: wird gelöst mittels Progrmm...: ii i j j ij i i i für,:,, ;

27 Geuso wird ds utere Dreieckssystem vo oe her gelöst mit dem Progrmm: ii i j j ij i i i für :,,, ; Wichtig: Alle, d sost System icht eideutig lösr! ii ) det( A Immer lösr?

28 . Eischu: Reche mit Mtrize Mtri A m m, m eschreit Aildug f() = A =. Mtrize ilde kommuttive Gruppe zgl. +, zw. Ivertierre -Mtrize ilde sogr Gruppe zgl. * (er icht kommuttiv! AB BA) A * A = I = Eiheitsmtri = Idetität =

29 Spezilfll: R j j j T Mtri-Multipliktio: A * B = C k r rj ir ij c ist Sklrprodukt (Ieres Produkt) der Vektore ud i

30 5 m m m T m i j i j T m j i j i T A,,,,,, Spiegelug der Huptdigole Eie ivertierre Mtri A ht volle Rg ud det(a) ls Äußeres Produkt vo ud. A = T ist Rg--Mtri, d.h. die durch A eschrieee Aildug f() ht eidimesiole Bildrum: f() = A = ( T ) = ( T ) = r()* ildet die -dim. Eee uf die Gerde durch de Vektor.

31 ... Beispiele: Aildug 6 * ) ( y y f * * Dher: ud

32 Weitere Beispiele 7 Google Pge-Rk Mtri: Telle vo Weseite-Verlikug: w w w w w w w w d c d c y y Mtri eschreit liere Aildug: Bild filter: oder eidimesiol 8

33 ... Orthoormlsis: Vektore u j, j=,..., mit u jt u k = für j k u jt u k = für j = k Dies sid lier uhägige Vektore, lso eie Bsis des R oder ei Koorditesystem. Norm: = T ist die euklid sche Läge. Eigeschfte: > für * = * für R +y <= + y ud T y <= * y Norm vo =? 8

34 Q ist orthogole Mtri, we stets Q = oder T Q T Q = T, d.h. Q T Q = I oder Q = Q T Die Splte (Zeile) vo Q ilde eie Orthoormlsis! Ei lieres Gleichugssystem A = ist lösr, flls Rg(A) = Rg(A ), d.h. ist durch Splte vo A drstellr. De mit der Lösug (flls sie eistiert) ist = A eie Lierkomitio vo Splte vo A: A A,, D ist = iv(a)* = A * Ei lieres Gleichugssystem ht etweder eideutigekeieuedlich viele Lösuge! Beispiele? 9

35 Ekurs: Eigewerte ud Eigevektore Ei Vektor u heißt Eigevektor zu Eigewert λ, we gilt: u : Au u, A Mtri Richtug u eschreit Figerde der Aildug y=a Ist A reell symmetrisch, A=A T, so gilt sogr: Es eistiere prweise orthogole Eigevektore, lso eie Orthoorml-Bsis des R, u,,u, Au j = λ j u j, u i u j für i j, u j = AU u Au Au A u u u u u U U liefert idele Bsis für A: Tcom NrrowsLodo Milleium Bridge U T AU