Lineare Algebra II D-MAVT. Serie 2. Ralph Aeschimann FS15. Lineare Algebra II D-MAVT FS15

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1 Liere lger II D-MV Serie Rlph eschim FS5 Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5

2 Orgio Vorlesug Präsez jeweils motgs vo -3 Uhr im HG E E-Mil sset rlph@studet.ethz.ch Uterlge vom ssete Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5

3 Rücklick heorie Liere Gleichugssysteme llgemeie Struktur x x Ihomogees Gleichugssystem Homogees Gleichugssystem Reduzierte Schreiweise eies LGS: x x... x m m... m m Nme m r Rg() -r m m Bedeutug zhl Gleichuge / Zeile zhl Uekte / Splte zhl Pivots, zhl Nicht-Nullzeile, Rg des LGS, zhl lier uhägiger Zeile zw. Splte zhl freie Prmeter Koeffiziete Rechte Seite Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5 3

4 Rücklick heorie Lsg vo LGS Flluterscheiduge Gleichugssystem Rg Spltevektore Lsg Bedigug Folgerug mid. i) rm ii) r<m ud Verträglichkeitsedigug erfüllt i) Für elieige rechte Seite eideutige Lsg ii) icht für el. r. S. eideutige Lsg eideutig r Edschem i Dreicksform. HLGS ht ur trivile Lsg keie r<m ud VB icht erfüllt zb: uedlich r<, rm HLGS ht icht trivile Lsg. Lösugsmege mit -r freie Prmeter ur trivile Lsg eideutige Lsg ht uedlich viele ichttrivile Lsg ht keie (VB icht erfüllt) o viele Lsg. -Prmeter für elieige lösr ht d eie Lsg, we die Verträglichkeitsediguge erfüllt sid. Spltevektore li. uhägig Spltevektore li. hägig Spltevektore erzeuged Spltevektore icht erzeuged Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5 4

5 qudrtisch werde. I Nicht ivertierr Ivertierr regulär - Liksdreiecksmtrix Lmxm, mit Ei -Qudrtisch, regulär -Det() - I - LR-Zerlegug Guss lgorithmus ud- sid orthogol ud Guss - ivertierr -R< lgorithmus -B ivertierr &, liks (B)-de B-Fktore, - die m zur E eifche Im Guss lgorithmus geht es drum, ds GLS uf eie möglichst Form zu rige B orthogol flls,b orthogol - ud sid orthogol hägig uf ivertierr udchede ( ) ( Eitrges ) Im-Zeile Guss lier lgorithmus geht es drum, ds-gls eie möglichst eifche Form zu rige Pivot Form eötigt ht. F orthogol -B orthogol,b vertierr: I flls - Det ' ($ Pivot-Zeile wird sutrhiert. # + + * * *, orthogol -r (voller Rg) x x- (R mx ) Mtrix R i Zeilestufeform ) *, -I orthogol -dim(ker()) ud Zeile sid Eiheitsvektore (Läge ) -Splte/Zeile lier uhägig Splte -x & x- ML Splte ud Zeile sid orthogol ufei -Det() (weil -x eideutig für jedes + lösr, * -x ht ur die trivile Lösug det(m )det(mm)det() det() ) ± (weil det()det( )det(i) ) *' )*("II, ' Dete mtrix: lle Elemete sid -Mcht lägetreue ilduge lägetreue ilduge (Drehug) Geht ur für qudrtische Mtrize Mcht golmtrix: qudrtisch, ur i Digole sid Elemete : Dig(,,c) (Drehug) Sklrprodukt zweier Splte (Splte stehe sekrecht Nottio heitsmtrix: Elemete digol, Rest -Sklrprodukt zweier Splte ufei) Mtrix: Spltevektor (Splte stehe sekrecht R # o L #, *,det() *3 : ufei) ere/oere Dreiecksmtrix: Elemete Digole sid oerhl/uterhlt '3*6)(, ' ) d Reguläre Mtrix r rspoierte Mtrix Qudrtische Mtrix Symmetrisch Mtrix Berechug c Siguläre le Mtrix Mtrix Reguläre Mtrix det() LR # P (gleichedeuted) ivertierr Wird Digole gespiegelt m, ( Zeile-/Splte-Etwicklug ( ) regulär, für jedes lösr, symmetrisch meit: - : det() 4. Recheregel we es eie Zeile Nicht ivertierr (+B)+B Ivertierr RResultierede Empfehleswert, oere Rechtecksmtrix homogees GS ur trivile Lösug r ch,regulär - - (Rg voll) Guss lgorithmus Recheregel Mtrize -Det() I git. LMultiliktiosmtrix (B) B (icht umgekehrt) We Det() Guss lgorithmus Pivot Form: - qudrtisch Recheregel Mt -B tierr ud - -R< ivertierr &,lle (B) B-- Formsid Im Guss lgorithmus geht es drum, ds GLS uf eie möglichst eifche zu rige +B B+ PVertuschugsmtrix Splte(Zeile) li. Uh. Zusmmefssug Lilg IPivot ud IIForm: - Rlph eschim, - uhägig Im lier Gusshägig lgorithmus geht es drum, GLS Zeile uf ud eielier möglichst Form zu rige +B B+ (+B)+C d eschim, g MMXI Mtrize Splte ud sid orthogol -Zeile - ds ivertierr ( ) (-)eifche Zusmmefssug LilgLRP I ud II(Rg, - Rlph RMMXI gle +(B+C) Guss: Ker udbild vo ud sid Rg() Mtrize e h uflöse: (+B)+C e h +(B+C) flls,b Nullmtrix:Rg() lle Elemete sid hogol -x Det ' ($ für jedes lösr Ker(){} PxP $ LRxP $ LcP ch c uflöse 3. Bes f i Digolmtrix D Nullmtrix: lle Elemete sid Rg() (B)#C #(BC) - Digolmtrix: qudrtisch, ur i Digole sid Elemete : Dig(,,c) -r (voller Rg) Digolmtrix D x für jedes eideutige Lsg exiert ivertierr c f i Rxc ch x uflöse $ Lösug vo x Ker(){} #(BC) setz Digolmtrix: qudrtisch, ur i Digole sid(+b)#c Elemete : Dig(,,c) d -dim(ker()) (B)#C #C+B#C gilt Eiheitsmtrix: Elemete digol, Rest gol Ker(){} Es det(b) det(b). x ht ur trivile Lsg d Es gilt det(b) det(b) mit (+B)#C #C+B#C - Eiheitsmtrix: Elemete digol, Rest " Mtrix: Spltevektor d D dig (d, d, d33 -Splte/Zeile lier uhägig Es Spltevektor giltdet(b) ) det(b) MLB: [L,R,P]lu(); cl\(p); det(α α det(); #BB# " Mtrix: d Mtrix D dig (d, d, d33 ) -x Utere/Oere Dreiecksmtrix: Elemete oerhl/uterhlt Digole sid (weil eideutig für jedes lösr d33 #BB# Utere/Oere Dreiecksmtrix: Elemete oerhl/uterhlt Digole sid Permu echte Seite die Siguläre htdur -x die trivile Lösug Orthogole Mtrix I et(m M)det() ) Eiheitsvektore immt. 33Mtrix det(b) det() det(b) Determite getreue ilduge Orthogole Mtrix I tore x us de rechte Seite gee zu eier Orthogole Mtrix Siguläre Mtrix Reguläre - "B# Mtrix "vertus 4 3 Nicht ivertierr ge Zeile vertusche % Det wechselt Vorzeiche Orthogole Mtrix Siguläre Mtrix Reguläre Mtrix - "B# egefügt die Iverse.Iverse Mtrix im qudrtisch Sei eie qudrtische Mtrix gilt: det( )Schem: werde det( det() dukt zweier Splte Iverse Mtrix - Multipliktio eier Zeile mit % #Det Ds Vorzeiche folgt dem I Nicht ivertierr Ivertierr 6 Eie Mtrix ivertierr, flls det(). qudrtisch regulär ehe sekrecht - 3 r< Ds ddiere eies Vielfche eier Splte/Zeile eie det(). Liksd -Qudrtisch, -Det() - I(x) zu Eifchster Fll I Nicht ivertierr Ivertierr Eie Mtrix ivertierr, flls regulär - LR-Zerlegug regulär ud -sidorthogol Ht Mtrix eie Nullzeile sid zwei Zeile ud - er) te Mtrix die Det vo Mtrix mit zwei Zeile -I ivertierr -R< -Bo ivertierr &, liks (B) d Zeile sid lier-hägig -Qudrtisch, regulär -Det() - gleiche - LR-Zerlegug - B orthogol flls,b orthogol ud-- sid orthogol Recheregel - ud sid orthogol -Zeile lier hägig - ivertierr ud ( ) Eie Nullzeile % Det d c -R< -B ivertier chede ierte Mtrix Qudrtische Mtrix Symmetrisch Mtrix - ivertierr ud czeile d Produkt Multpliziert m eie Mtrix mit F flls orthogol eiem B orthogol flls,b orthogol -B - orthogol,b Seie ud B ivertierr: - Isid - Det ' ($ Recheregel Det vo Dreiecksmtrix Digolelemete ud orthogol -Zeile lier hägig - ivertier # Rg) + - *Pivot-Z er Digole gespiegelt orthogol LR-Zerlegug -r (voller x x Seie m, I ud B ivertierr: pliziert orthogol Det immer gleich dem Produkt Eigewerte -B orthogol,b I flls - Det ' ($ #Mtrix ) Regel vo Srrus (3x3) regulär, für jedes lösr, symmetrisch meit: -I orthogol - -dim(ker()) - ( ) I Sivoll, we m xorthogol für festes er für verschiedee B -r (voller Rg) x x - Splte, ud Zeile sid Eiheitsvektore (Läge ) -Splte/Zeile lier uhä -x & x +B homogees GS ur trivile Lösug die ) -I orthogol Vertuscht m Zeile eier Mtrix so ät -dim(ker()) (I)( )I löse muss. Splte sid orthogol ufei (Läge -Det() (weil -x eideutig für jedes lö (icht umgekehrt) We Det() - Splte ud Zeile ud Zeile sid Eiheitsvektore ) + -x x & -Splte/Zeile li Mtrize (B) BI sche Mtrize, k m uf jede Fll )det( -x ht ur dieuch trivilesp Lös det(m)det(mm)det() det() Splte ) ± (weilud det( (Ille ) Splte(Zeile) sid li. Uh. x ) ) Zeile sid )det(i orthogol ufei -Det() ilduge (weil -x eideutig* fü )Nullmtrix: lle Elemete sid ) ( -Mcht lägetreue he Mtrix ((B) Rg() Mtrize Determite ät rgumettio: det( Mcht lägetreue ilduge (Drehug) Geht ur B )det( )det(i ) ) LRx Digole P -x ht ur die det(m)det(m M)det() ) det() ± (weil det( Digolmtrix: qudrtisch, ur i sid Elemete : Dig(,,c) (Drehug) ) ( Sklrprodukt zweier Splte (Splte stehe sekrecht )Nullmtrix: Elemete sid, Rest (Ker(){} ch/tisymmetrisch/schiefsymmetrisch ge-lle -Mcht lägetreue ilduge Nottio Eiheitsmtrix: Elemete digol Mcht lägetreue ilduge -Sklrprodukt zweier Splte Ze Ly PiDigole - exiert ivertierr ddiert m zu eier(drehug) Zeile m ds Vielfche eier Digolmtrix: qudrtisch, ur sid Elemete : Dig(,,c) Berechug ufei) (Drehug) " Mtrix: Spltevektor (Splte stehe sekrecht d R # o Sklrprodukt zweier Splte (Splte stehe sekrecht *, Es gilt det(b) det(b). ei + fg + cdh - gec - hf - id Eiheitsmtrix: Elemete digol, Rest ufei) -Sklrprodukt zweier für x-mtrize: Utere/Oere Dreiecksmtrix: Elemete oerhl/uterhlt Digole sid Splte wedug: Berechug ufei) 3 R 3# (Splte stehe sekrecht Guss-lgo Spltevektor " Mtrix: d. LR-Zerlegug rspoierte (x) det B# * PLR Reguläre Mtrix r Mtrix Qudrtische Mtrix Symmetrisch Mtrix x-mtrize: he Mtrix x für Berech ufei) Elemete oerhl/uterhlt Digole sid ussge det()dreiecksmtrix: c Siguläre Mtrix üer - Mtrize 3Guss-Edschem c dutere/oere Orthogole Mtrix Reguläre 4. Mtrix Zuerst Mtrix.d Löse Vorwärtseisetze (gleichedeuted) ivertierr Wird Digole gespiegelt m, is LyP durch Liere lger II D-MV Zeile-/S Reguläre Mtrix r rspoierte Mtrix Qudrtische Mtrix '.3.5 Symmetrisch (* M ' x-mtrize: Rlph eschimsymmetrisch 5-33* 3 3 () regulär, für jedes flls lösr, meit: Für MtrixMtrix det()reguläre 4. FS5 c d c Siguläre %sigulär det()recheregel Orthogole Mtrix Mtrix det() % GS % ur.trivile Empfehle I Nicht ivertierr Ivertierr RResultierede oere Rec ivertierr (gleichedeuted) / / (+B) +B homogees Lösug Wird Digole gespiegelt m, r (I) -Qudrtisch, I regulär - - (Rg voll) -Det() I Mtrix regulär flls det() LMultiliktiosmtrix git. ivertierr, flls det(). " " Rücklick heorie Mtrize ud ihre Eigesch. Determite regulär, ivers, orthogol 4 " Determite " " " Dete " 4 Determite 4 Determite

6 " " " " we es eie Zeile/Splte mit viele Nulle Ivertierr Permuttiosmtrix P, die us GS Eiheitsmtrix durch ZeileRResultierede Empfehleswert, oere Rechtecksmtrix (+B)+B homogees ur trivile Lösug r (Rg - - I voll) "// "/"3/ "//"5 git. LMultiliktiosmtrix (B) B (icht umgekehrt) We Det() vertuschuge hervorgeht. Flls keie Zeilevertuschu - qudrtisch Reguläre LR # P "B# Mtrix #PVertuschugsmtrix 4 "-B 3 ivertierr # "/4"/ /4"3/ /"4/"5 &,lle (B) B- - Splte(Zeile) sid li. Uh. d g ge im Guss-Verfhre k P weggelsse -vorkomme, - Splte ud Zeile lier uhägig r hägig - ivertierr ud ( ) ( ) gleich) d g d g 6 5 "//6" /"3/6" //6"5 LRP 3 (Rg, Guss: Ker udbild vo R e ud h sid Rg() werde. e hch +c Det ' ($ für jedes lösr -x Ker(){} Ivertierr oerepxp $ LRxP RResultierede Rechtecksmtrix $ LcP cuflöse f i f i e h - mxm - -r (voller Rg) für jedes eideutige Liksdreiecksmtrix, mitlsg Eise uf Digole ud ch x uflöse Lexiert ivertierr c $flösug i vo x Rxc - I x LMultiliktiosmtrix LR-Zerlegug Es giltm det(b) PVertuschugsmtrix det(b). des etsprex ht ur Lsg -B ivertierr&,-dim(ker()) (B)-de B-Fktore, - trivile liks die zur Elimitio -Splte/Zeile lier uhägig MLB: [L,R,P]lu(); det(α Ker ) det(); - ivertierr ud ()-eideutig (-Eitrges ) für jedes Guss: LRP (Rg, udαbild vocl\(p); R ud sidxr\c gleich) chede eötigt ht. Fktore x: Ds x-fche -x lösr det B# - Det ' ($ + 3 immt. PxP $ LRxP $ LcP ch c uflöse -x ht ur die trivile Lösug Pivot-Zeile Mtrix wird sutrhiert. Siguläre err " " # Rg) * + * + *,"I,det(B) *, *3 det() det(b) Determite -r (voller (Resultt Rxc ch xguss-lgo) uflöse $ Lösug vo x e zu eier mx ' Mtrixivertierr R ) Nicht i Zeilestufeform ) *,"I des, ')*,( -dim(ker()) Zeile vertusche % Det wechselt Vorzeiche % % %. ge ) -Splte/Zeile lier Sei eie qudrtische Mtrix gilt: det( det() det() uhägig Multipliktio Zeile mit % #Det Ds Vorzeiche folgt dem)schem: MLB: cl\(p); xr\c eier [L,R,P]lu(); 3 r r< Ds ddiere eies VielfcheFll eier Splte/Zeile zu eier e ät die Determite ich -x eideutig für jedes Eifchster (x) + lösr, *, *3 Ht die Mtrix eie Nullzeile Det vo Mtrix mit zwei gleicheo Zeilesid zwei Zeile idetisch gilt det() -x ht ur die trivile Lösug sid lier hägig Zeile *' )*("II, ' )*( '3*6 )( Determite Eie Nullzeile % Det d c che Mtrix Symmetrisch Mtrix Mtrize Geht ur für qudrtische d Produkt Multpliziert eieczeile Mtrix mit eiem Fktor α so wird die Determit Det Detwechselt vo m Dreiecksmtrix Digolelemete Zeile vertusche % Vorzeiche e sekrecht LR-Zerlegug pliziert Nottio gleich dem Produkt Eigewerte Multipliktio eierzeile % #Det Det mit immer Regel vo Srrus (3x3) edes lösr, symmetrisch - we meit: festes B eier Splte/Zeile o R #Sivoll, L # für P verschiedee #, Dser ddiere eies Vielfche zu eier e ät die Determite icht *,det() *3m x, für GS ur trivile Lösug Vertuscht m Zeile eier Mtrix so ät die Determite ihr Vorzeiche. löse muss. Det vo ) '3*6)(, ' )*( Mtrix mitzwei gleiche Zeile sche (Zeile) sid li. Uh. x Eie Nullzeile % DetMtrize, k m uf jede Fll uch Splte vertusche, woei sich d Symmetrisch Mtrix Berechug Determite ät rgumettio: det( ) det(). Det vo Dreiecksmtrix Produkt Digolelemete LRx P LR # P sch ge (x) Det immer gleich dem Produkt Eigewerte Zeile-/Splte-Etwicklug P st ivertierr ddiert m zu eier Zeile m ds Vielfche eier Zeile so ät sich Wert symmetrisch meit:ly - Recheregel Empfehleswert, we es eie Zeile/Splte mit viele Nulle B) det(b). RResultierede oere Rechtecksmtrix ug ei + fg + cdh - gec - hf - id wedug: git. LMultiliktiosmtrix Guss-lgo det B# (x) * / 3. LR-Zerlegug PLR PVertuschugsmtrix h. 4. ussge üer Mtrize d LyP g. Löse durch Vorwärtseisetze R eud gleich) d g d + g Zuerst Mtrix is Guss-Edschem rige. D Guss: LRP (Rg, udbild vo sid h ' * (* ' * Ker (/ 3 ' 3* 3 ( e hch PxP $ LRxP sigulär det() $ LcP cuflöse f Mtrix + c % % % flls. f i i e h / / * * 3 3 c $flösug * / 9 33 i vo x Rxc ch x uflöse Mtrix regulär flls det() Rücklick heorie Determite " Berechug " " Determite Determite " 3 MLB: [L,R,P]lu(); cl\(p); xr\c det(α ) α det(); d d c d d d33 ( )Zeilevertuschuge det B# * d/ 333Mtrize Determite orthogoler Die Determite eier Dreiecksmtrix Di+ - + ' Mtrix 33* 3 d ' det() 33 * 3 ' det(i) 3* ds ( Produkt 3 (* 3 (/ 3det( Sei eie orthogole gilt ±3d ) det( ) de Zeile vertusche % Det wechselt Vorzeiche golelemete. % % %. Dreiecksmtrix 3gleich * 3 dem 3 *Produkt 33 / 3 3/ * 33 digole Sei eie qudrtische Mtrix gilt: det( det() Die Determite eier Elemete. Multipliktio eier Zeile mit % #Det Ds Vorzeiche folgt dem)schem: 3 4 Ds ddiere eies Vielfche eier Splte/Zeile zu eier e ät die Determite icht Eifchster (x) LR-Zerlegug Ht die Mtrix eie NullzeileFll o sid zwei Zeile idetisch gilt det() Det vo Mtrix mit zwei gleiche Zeile x ud PLR die LR-Zerlegug 4.4 Determite ud Gleichugssysteme Eie Nullzeile % Det d c c d det() det(p) * det(r) (-) det (R) Multpliziert m eie Zeile Mtrix mit eiem Fktor α so wird die Determite mit α multi Det vo Dreiecksmtrix Produkt Digolelemete woeiusdrücke: zhl Zeilevertuschuge ud det(r)r*r*... Es gelte folgede äquivlete pliziert Det immer gleich dem Produkt Eigewerte Regel vo Srrus (3x3) rschiedee B Vertuscht m Zeile eier Mtrix so ät die Determite ihrivertierr Vorzeiche. Bei qudrti- det(b) det() det(b) Determite Recheregel sche Mtrize, k m uf jede Fll uch Splte vertusche, woei sich ds Vorzeiche det() det(α )α det() Determite ät rgumettio: det( ) det(). det(b) det() det(b) Rgzhl Vrilie det() det() ddiert m zu eier Zeile m ds Vielfche eier Zeile so ät sich Wert Mtrix ivertierr: füricht. x für jedes eideutig lösr ei + fg + cdh - gec - hf - id Guss-lgo 3 det B# (x) * 3 / 3 3 x ht ur die trivile Lösug ussge - + lger - üer - IIMtrize 3Guss-Edschem rige. D Liere D-MVMtrix is 3 Zuerst 6 Rlph eschim.3.5 die Mtrix eie Nullzeile o sid zwei Zeile idetisch Hthomogeer FS Gleichugssysteme: üer Lösugsmege ' 33* 3 3 (* ' 33 *usge 3 3 (/ 3 ' 3* 3 ( gilt det() x %sigulär det() / / * * * % % flls

7 heorie Eigewertprolem Zusmmefssug Lilg I ud II - Rlph eschim, MMXI Eigewertproleme Prolem ud Lsg x x x: Eigevektor : Eigewert Eigewertproleme x x x: Eigevektor EW : Eigewert Eigewerte chrkterisches Polyom CHP lgerischeew Vielfchheit V Eigewerte Defiitio chrkterisches Polyom CHP heisst chrkterisches lgerische Vielfchheit VPolyom (CHP) xmtrix. Defiitio ei Eigewert vo,we gilt. heisst chrkterisches Polyom (CHP) xwe. eie k-fche Nullstelle vom CHP, d ht die Mtrix lgerische Vielfchheit k. V( ) Eigewert Vielfchheit EW ei vo eies,we gilt. We eie k-fche Nullstelle vom CHP, d ht die NS des CHP lgerische Vielfchheit k. Flls Fktorisierug icht erker, so k m EW errv( ) este Vielfchheit eiesmit EW te. m egit m tiefe Werte,,-,... Für Mtrize vom yp NS des CHP Flls Fktorisierug icht erker, so k m EW err det( ) te. m este egit m mit tiefe Werte,,-,... Für Mtrize vom yp fidet m die EW durch ), det( Liere lger II D-MV FS5 Regel Eigevektore EV Zusmmefssug Lilg I ud II - Rlph eschim, MMXI Eigerum E geometrische Vielfchheit gv Eigevektore EV Defiitio Eigerum E Istgeometrische ei Eigewert Vielfchheit Mtrix, d heisse gv die Lösuge E F g g Defiitio vo Eigevektore zum Eigewert. Ist ei Eigewert Mtrix, d heisse die Lösuge Die Mege Lösuge zum Eigewert et sich Eigevo Eigevektore zum Eigewert. rum E vo zum Eigewert. Die Dimesio des Eigerumes heisst geometrische VielfchDie Mege Lösuge zum Eigewert et sich Eigeheit des Eigewerts. E vodes rum zum Eigewertwird. durch die zhl li. Die Dimesio Eigerumes Die Dimesio des Eigerumes heisst geometrische Vielfchuhägiger Eigevektore pro Eigewert estimmt. Diese zhl etspricht Mege freie Prmeter. Es gilt: heit des Eigewerts. Q Die Dimesio des Eigerumes wird durch die zhl li. gv( ) zhleigevektore freie Prmeter EW estimmt. Diese uhägiger pro zum Eigewert 8 9 zhl etspricht Mege< freie x Prmeter. x vo vo ) sp,,... E Ker ( : ; gv( ) zhl freie Prmeter zum EW 8 9 x vo vo,,... E Ker ( ) sp Regel : ; Regel Ist eie reelle Mtrix ud sei ei komplexer Eigewert Rlph eschim.3.5 vo mit zugehörigem komplexe Eigevektor x. D E D D E r D D 7

8 ufge. ) Eigevektore v erfülle ds Eigewertsprolem *v λ*v für eie uekte Eigewert λ ) Bestimme λ us det( λ*i)*v Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5 8

9 ufge. c) Eigewertprolem: *v λ*v Wir suche Lösug mit v Zudem gegee: λ Eigewertprolem: *v *v ht ichttrivile Lsg gdw Rg Mtrix icht voll : r< Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5 9

10 ufge. c) (iv) Beutze e iθk mit k {...,,,,,...} e ix e ix isi(x) e ix + e ix cos(x) Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5

11 ufge. ipps fel c) Beutze R (Befehl: fctor() ) o Mthemtic/wolfrmlph (Befehl: fctorize() ) um ds chrkterische Polyom zu fktorisiere. Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5

12 ufge.3 MLB-ufge Hilfe durch Documettio Ceter i MLB o olie uf c) i) Mx λx M k x... λ k x Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5

13 ufge.4 Bereche Eigewerte vo Für essere Üersichtlichkeit, eutze + R 3 R + R 3 R > Üerlege dir die lgerische (V) ud geometrische Vielfchheite (gv), woei gilt gv V Bestimme die Eigevektore Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5 3

14 ufge.4 U I U I geu d erfüllt, flls U λu, I λi exiere. Ws muss d U I für ei Vektor sei? Liere lger II D-MV FS5 Rlph eschim.3.5 4