Ausgleichsrechnung. Roman Engeli, Florian Furrer, Yannik Drapela, Fabian Geiger. Ausgleichsrechnung

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1 Ausglechsrechug Ausglechsrechug Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger

2 Ausglechsrechug Eletug De Ausglechugsrechug st ee mthemtsche Optmerugsmethode, um für ee Rehe o Messdte de ubekte Prmeter hres geometrschphysklsche Modells oder de Prmeter eer orgegebee Fukto zu bestmme ( zu schätze ). Zel der Ausglechug st, dss sch ds edgültge Modell bzw. de Fukto de Dte ud hre uermedlche klee Wdersprüche bestmöglch psst. De Methode der kleste Qudrte o Crl Fredrch Guss ( ) st de m meste erwedete Methode. Es wrd ersucht, ee Modellkure durch ee Mege o Dtepukte zu lege, so dss de Summe der Abstäde der Pukte zur Kure möglchst kle st. Sklrprodukt, Projekto Gegebe sd zwe Vektore ud b b, b b b Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger

3 Ausglechsrechug Sklrprodukt Ds Sklrprodukt st defert ls b b + b + b b b ( ) b b. Im Folgede wrd ur och de Bezechug b erwedet. Der Zusmmehg zwsche dem Zwschewkel ud dem Sklrprodukt st cos(θ ). b b Projekto De Projekto p o b uf st b p. st defert ls Der Abstd der Edpukte o b ud p d ( b)( ) ( b). ( ) De Schwrz-Uglechug folgt us der tsche, dss der Abstd zwsche zwe Pukte mmer post st. b b Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger

4 Ausglechsrechug Der Vektor stellt ee Uterrum dr. Der Vektor b k uch uf ee höher dmesole Uterrum, z.b. ee Ebee bgebldet werde. Der Vektor wrd d zu der Mtrx A mt de Splteeträge der bede Vektore, de de Ebee ufspe. Methode der kleste Qudrte Der Ausglechsrechug legt mmer dsselbe Problem zu Grude. M ht e Glechugssystem der Form Ax b. Dmt deses System lösbr wrd, muss b m Rum V lege, der o A ufgespt wrd. Spt A z.b. ee Ebee uf, muss b uf deser Ebee lege. Stmmt der Vektor b us eer Messrehe, k es se, dss de Werte Messfehler behlte ud b somt cht geu m o A ufgespte Rum legt. De Idee st, dss m de Vektor b uf V projzert um ee Lösug für ds System zu erhlte. Dbe wrd druf gechtet, dss der Abstd zwsche ud b möglchst kle gehlte wrd. Normleglechug De Normleglechug behltet de Lösug des kosstete Glechugssystems Ax b. A Ax A b Drus folgt: x ( A A) A b. Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger 4

5 Ausglechsrechug Awedug der Normlglechug Ahd des folgede Bespeles soll ee Awedug der Normlglechug gezegt werde. Weter wrd der Verglech mt eer dere Methode zur Fehlermmlserug gemcht. Problem: Gegebe se e Dreeck mt de Eckpukte A, B ud C (Abb. ). De Aufgbe st es, de Wkel x be A ud x be B möglchst geu zu bestmme. C x x B A Abb. Um de Geugket der Messug zu erhöhe, wrd uch der Wkel be C gemesse. De Messresultte sd: x x Wkel be C (x + x ) 9 Dese Messuge ergebe folgedes Glechugssystem: x x x + x 9 Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger 5

6 Ausglechsrechug Es st sofort erschtlch, dss deses Glechugssystem wdersprüchlch st ud kee Lösug bestzt. Deshlb werde u de Messfehler mtberückschtgt: x - r x - r x + x - 9 r Aders geschrebe wrd drus: x + x r 9 Ds Zel st es u, x ud x so zu bestmme, dss der Vektor r mml wrd. Des wrd u uf zwe erschedee Methode durchgeführt. Methode : Mmerug der Qudrte der Kompoete o r: E ( x x ) + ( x ) + ( x + 9) de de De Fukto E st mml we glt: dx dx Des führt zu folgedem Glechugssystem: 4x + x 4 x + 4x 4 Des führt zu de Lösuge: x x Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger

7 Ausglechsrechug Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger 7 Methode : Normlglechug De Normlglechug lutet: b A Ax A Lässt sch schrebe ls: r x 9 A A 5 A b Des ergbt ds Glechugssystem: 5 x x Aufgelöst ergbt des de Lösuge: x x Somt st erschtlch, dss de Normlglechug ud de Mmerug der Qudrte deselbe Lösuge ergebe. r x x + 9 A b

8 Ausglechsrechug Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger 8 QR-Zerlegug Als QR-Zerlegug bezechet m de Zerlegug eer Mtrx A ds Produkt R Q A wobe Q ee orthogole (QQ Q Q QQ - I ) ud R ee obere Dreecksmtrx st. Ee solche Zerlegug exstert mmer ud k mt erschedee umersche Methode berechet werde. De bekteste do sd ds Grm-Schmdtsche Orthogolserugserfhre, de Householdertrsformto ud de Ges-Rotto. Grm-Schmdtsches Orthogolserugserfhre Ds Grm-Schdtsche Orthogolserugserfhre berechet us eer Mege o ler ubhägge Vektore,,, ee Mege o prwes orthogole, resp. orthoormle Vektore,,,, de deselbe Uterektorrum ufspe. De ezele Vektore,,, des Orthogolsystems bereche sch we folgt:

9 Ausglechsrechug Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger 9 Um us de orthogole Vektore,,, e Orthoormlsystem zu erhlte, müsse se schlessed och durch hre Läge ddert werde. Um us dese orthoormle Vektore de Mtrze Q ud R zu erhlte, gbt m de Vektore bhäggket o ud : Deses Glechugsystem k u folgedermsse Mtrzeform geschrebe werde: A Q R Dbe wrd erschtlch, dss de orthoormle Vektore de Splte der orthoormle Mtrx Q blde ud dss de Mtrx R ee obere Dreecksmtrx bldet.

10 Ausglechsrechug Bedeutug für ds Ausglechsproblem Wedet m de QR-Zerlegug uf user Auglechsproblem x ( A A) A b, so erefcht sch de Lösug we folgt: x ( R Q Drus folgt: QR) R Q b ( R R) R Q b x R Q b Obwohl sch ds Ausglechsproblem erefcht, st der Aufwd ufgrud der zuor ötge QR-Zerlegug grösser ls we m de Normleglechug drekt löst. Der Vortel des Lösugsweges mt der QR-Zerlegug st, dss ds Verfhre m Gegestz zum Löse der Normleglechug umersch stbl st. Ds hesst, dss Rechugsfehler ufgrud begrezter Geugket cht zu flsche Lösuge führt. Des st or llem be Computerberechuge wchtg. S ud Zweck der QR-Zerlegug Ds Löse der Ausglechrechug führt m wesetlche dzu, e leres Glechugssystem zu löse., de sogete Normleglechug. We de Splte der Fehlerglechugsmtrx ler ubhägg sd, d bestzt de Normleglechug ee edeutge Lösug. De Normleglechug k somt mt dem Guss-Algorthmus oder mt eer Vrte deses Algorthmus der LR- Zerlegug gelöst werde. Allerdgs ergebe sch der Prxs bem Löse der Normleglechug oft Geugketsprobleme, flls dese cht o Hd ud somt mt lgebrscher Geugket gelöst wrd. Wrd de Normleglechug mt dem Computer gelöst, k es m Resultt zu grosse Fehler komme. Des legt dr, dss der Computer mt edlcher Geugket rbetet. Kokret bedeutet des, dss der Computer z.b. ur Stelle zur Verfügug ht um ee Zhl zu specher. We d ee Zhl we gespechert wrd, etstehe Rudugsfehler, welche durch ds Löse der Glechug zusätzlch erstärkt werde köe. E weteres Problem, ds bem Löse o Glechugssysteme mt der LR-Zerlegug oder dem Gusslgorthmus beobchtet wrd, Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger

11 Ausglechsrechug et sch Auslöschug. Es etsteht, we z.b. gerudet wrd, oder e schlechtes Potelemet gewählt wrd um de Glechug zu löse. Bem Auslösche bekommt e Elemet ee öllg flsche Wert, d e extremer Geugketserlust be der Subtrkto zweer fst glech grosse Zhle etsteht. Dese Probleme k m ber orussehe, dem m de Kodto der Mtrx berechet. De Kodto st ee her cht weter deferte Grösse, welche us erlubt ezuschätze, ob mt edlcher Geugket ee geue Lösug gefude werde k. Flls de Mtrx schlecht kodtoert st, st ds Löse der Glechug mt dem Guss-Algorthmus (oder der LR-Zerlegug) kee gute Idee. Be dese Algorthme werde schlecht kodtoerte Mtrze kee gute Resultte lefer, d dese Algorthme de Fehler desem Fll erstärke. Normleglechuge sd der Regel schlecht kodtoerte Mtrze, ws dzuführt, dss Computer cht der Lge sd de Lösug geu zu bereche. De Lösug des Problems legt lso dr, e umersch stbles Verfhre zu fde, welche de Fehler trotz der edlche Geugket sehr kle lässt. De QR-Zerlegug st e solches Verfhre, ud deshlb wrd für umersche Zwecke sehr oft deser Algorthmus gebrucht. Der Recheufwd wrd durch de QR-Zerlegug cht kleer, jedoch wrd de Geugket erbessert. Deshlb st de QR-Zerleguge für Rechuge, welche o Hd gelöst werde cht sehr empfehleswert, bzw. cht ötg, d kee Approxmtoe gemcht werde (lgebrsche Geugket). Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger

12 Ausglechsrechug Bespele Hstorsch gesehe wurde de Methode der kleste Qudrte für Hmmelskörper etwckelt, deshlb wrd her uch e Bespel us der Astrologe geomme. E Astrophysker beobchtet dre Stere, welche er orgellerwese, b ud c et. Dese Stere lege lle schö uf eer Gerde. Nu msst er de Dstze zwsche de Stere. Dbe erhält er folgede Messdte: Dstz (,b) Dstz (,c) 8 Dstz (b,c) Der Astrophysker bemerkt, dss er wohl ee Messfehler gemcht ht, de flls de Stere uf eer Gerde lege, so sollte Dstz (,c) Dstz (,b) + Dstz (b,c) se. Des st ber cht erfüllt! (Für müde Köpfe: + 4 8) Dummerwese wess er cht, ws er flsch gemcht ht. Allerdgs k er cht efch see Messug erwerfe oder eräder, de es köte de rchtge Messug se. Also stellt er folgedes (überbestmmtes) Glechugssystem uf: y ( Dstz (,b)) y ( Dstz (b,c)) y 8 ( Dstz (,c)) y + y y Drus etsteht folgede Fehlerglechug: y y r y 8 Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger

13 Ausglechsrechug Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger Lösug mt QR-Zerlegug Zuerst wrd us A Q ud R berechet. Dfür gbt es mehrere Wege (z.b. Grm- Schmdt Verfhre, Ges-Rottoe) Dbe glt A QR Alle chfolgede Rechuge wurde mthlfe o MALAB gemcht. M erhält Q R Dch berechet m de Vektor d mt Q c 8 Q d wobe d dch löst m de Glechug R x d. Ds bedeutet, ds ur de erste Zele gebrucht werde, desem Fll lso. De Lösug erhält m durch Rückwärtsesetze. Somt erhält m d für y 95 y 95 ud y 85. Des st de Ausglechslösug für deses Problem. Lösug mt Guss-Algorthmus Dbe wrd de Glechug A Ay A c mt dem Guss-Algorthmus gelöst. Sehe Bespel mt Normleglechug.

14 Ausglechsrechug Quelle: Lere Algebr 5. Auflge K. Npp ud D. Stoffer Strg-ler Algebr d pplctos Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger 4