3. Lineare Gleichungssysteme

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1 3.. Vorbemerkuge ud ege Deftoe 3 3. Lere Glechugssysteme 3.. Vorbemerkuge ud ege Deftoe Be der umersche Lösug eler Probleme der Mechk trtt ls ee Nebeufgbe de Lösug o mest sehr große lere Glechugssysteme uf. ber uch de umersche Lösug o chtlere Glechugssysteme oder o Systeme gewöhlcher Dfferetlglechuge erfordert ls Uterufgbe de (mest mehrfche) Lösug o lere Glechugssysteme. De zhl der Ubekte für typsche Glechugssysteme der Strukturmechk, z.b. m Ergebs eer Fte-Elemet- Dskretserug, legt für prktsche Probleme mest der Größeordug o 4 bs 5, k ber für komplexe Probleme schell uch de Berech o 6 bs 7 gelge. Be der Lösug o Glechugssysteme deser Größeordug kommt es besoders druf, rechezet- ud specheroptmle lgorthme zu utze. Be der uflösug ees lere Glechugssystems uterschedet m zwsche drekte Verfhre ud terte Verfhre. Be de drekte Verfhre st de Lösug x ees Glechugssystems ch brbetug eer feste zhl o Recheschrtte bekt. De terte Verfhre ermttel de Lösugsektor x usgehed o eer fgsäherug x () schrttwese durch wederholtes wede bestmmter Recheorschrfte, wobe de zhl der sgesmt beötgte Recheschrtte (Itertosschrtte) orher cht bekt st. We m o Rudugsfehler bseht, lefer de drekte Verfhre ee m Rhme der mtgeführte Stelle exkte Lösug (ergleche dzu Kptel.4.). Be terte Verfhre beötgt m zuächst ee fgsäherug (Strtektor), de d schrttwese erbessert wrd. Ddurch ergbt sch de Möglchket, de Rechug ch Erreche eer bestmmte Lösugsgeugket, de m z.b. us der relte Dfferez zweer ufederfolgeder Lösuge (gemesse eer bestmmte Norm) ermttel k, bzubreche. Wr wolle us m Kptel 3 orzugswese mt der Lösug o Glechugssysteme der Form x b (3.-) mt der qudrtsche ( )-Mtrx ud dem Vektor b der rechte Sete M M K L K O K M b b b (3.-) M b befsse. Ee (,)-Mtrx L(l k ) heßt utere Dreecksmtrx, we l k für k> glt. Se heßt ormerte utere Dreecksmtrx, we ußerdem l für lle glt. log et m ee (,)-Mtrx R(r k ) obere Dreecksmtrx, we r k für <k. glt. Stz 3.-: Jede (,)-Mtrx mt det k edeutg ds Produkt

2 4 3. Lere Glechugssysteme L R (3.-3) zerlegt werde, mt der ormerte utere Dreecksmtrx L ud der obere Dreecksmtrx R L l M L, M M O M l l K r r L r r K r R (3.-4) M M O M K r Orthogole Mtrx Ee reelle (,)-Mtrx Q heßt orthogol, flls Q Q I (3.-5) glt. Drus folgt Q Q Householder-Mtrx Es se e Vektor, I de Ehetsmtrx ud de Norm o. D st H I (3.-6) ee symmetrsche (,)-Mtrx, de ls Householder-Mtrx bezechet wrd, mt der Egeschft H H I De Bewes erbrgt m durch Esetzte o (3.-6) (3.-7). (3.-7) I I I I I 4 { Permuttosmtrx Ee (,)-Mtrx heßt Permuttosmtrx P, we eder Zele ud Splte geu ee ud (-)-Nulle orkomme. We m der Ehetsmtrx I de -te Zele mt der -te Zele ertuscht, ergbt sch e P, ds mttels P de -te ud -te Zele o ertuscht. log werde mt P de Splte ertuscht. Qudrtsche ud rechteckge Mtrze De Mtrx des Glechugssystem (3.-) k m llgemee Fll ee (m )- Mtrx se. We m glt, st de Mtrx qudrtsch.

3 3.. Vorbemerkuge ud ege Deftoe 5 Im Fll m< hdelt es sch um ee rechteckge Mtrx, ud ds Glechugssystem xb ht weger Glechuge ls Ubekte. Es lsse sch geu (-m) Uterräume kostruere, de ee Lösug ermöglche. Im Fll m> st de zhl der Glechuge größer ls zhl der Ubekte. Ds Glechugssystem ht de meste Fälle kee Lösug. Her geht m oft zu eem lere usglechsproblem über, be dem ds Mmum x* eer Norm des Resdueektors r x-b gesucht wrd: { x b : x R } x * b m (3.-8) Verllgemeerte Ierse + De letzte Betrchtug wrft de Frge ch der Ierso eer rechteckge Mtrx uf, wobe wr ehme wolle, dss de zhl der Zele m größer oder glech der zhl der Splte st. Jede m Mtrx mt m k ls ds Produkt eer splteorthogole m Mtrx U, eer Dgolmtrx S mt Elemete größer oder glech Null sowe eer Orthogolmtrx V zerlegt werde. Es glt lso für ( ) ee solche Mtrx R m de Zerlegug USV (3.-9) de ls Sgulärwertzerlegug bezechet wrd. Dbe sd de Mtrze ( m ) [ u, u,, ], R ( ) [,,, ] U K u (3.-) V K (3.-), R zwe orthogole Mtrze, mt dee uf Dgolgestlt trsformert werde k: U V S dg σ, σ,, σ (3.-) ( ) K De Mtrx U besteht us de orthoormerte Egeektore o, de m uch Lkssgulärwerte o et, ud de Mtrx V besteht us de orthoormerte Egeektore o, de sogete Rechtssgulärwerte o. De Dgolelemete der Mtrx S (3.-) et m de Sgulärwerte der Mtrx. De Pseudoerse o k etzt us der Formel mt + S dg, L, (3.-5) σ σ berechet werde. + + VS U (3.-4) Ee lterte Lösug folgt us ( ) + (3.-6) De Mtrze U ud V sd dem Se orthogol, dss hre Splte orthogol sd (V st uch zeleorthogol), d.h. es glt: m u k u l δ kl ud k l δ kl mt k, l.

4 6 3. Lere Glechugssysteme Deses Ergebs folgt us der Lösug des folgede Mmlproblems: ( b) ( x b) x x x b + b b M! x (3.-7) wobe sch us x - b x (3.-8) de Lösug x + ( ) b b ergbt mt der Pseudoerse + ( ) (3.-9) + (3.-) Lösbrket ees lere Glechugssystems Nchfolged werde Bedguge für de Lösbrket ees lere Glechugssystems xb (mt (m,), m> ud rg()r) gegebe. Ihomogee Systeme Ds homogee System x b mt b? bestzt ) geu ee Lösug, we für de Rg r glt oder b) uedlch ele Lösuge oder c) kee Lösug! 3 Homogees System Ds homogee System x bestzt etweder ) geu ee Lösug x (de trle Lösug) oder b) es gbt uedlch ele Lösuge (sehe Pukt c be homogee Systeme). Lösugskozept Zur Lösug des Glechugssystems uterschede wr drekte ud drekte Verfhre. Drekte Verfhre De Fktorserug der Systemmtrx, lefert be exkter Rechug mt eer edlche zhl o rthmetsche Opertoe de exkte Lösug. Iterte Verfhre Ds Zel besteht der Ermttlug des Fxpuktes des Glechugssysteme bzw. der Ermttlug des Mmums eer qudrtsche Fukto. Dese Opertoe erforder de meste Fälle ee uedlche Prozeß zur Ermttlug der exkte Lösug. ls grobe Rchtle für de Verfhresuswhl k folgedes gelte. Klee Systeme ud große Systeme mt usgeprägter Bdstruktur lsse sch sehr effekt mt drekte Verfhre löse. 4 Drekte Verfhre sd uch ortelhft, we Glechugssysteme mt ele rechte Sete zu löse sd. Iterte Verfhre ege sch besoders für sehr große Glechugssysteme mt eer gut kodtoerter Koeffzetemtrx. We be der Dreeckszerlegug z.b. x uftrtt, gbt es für x uedlch ele Lösuge. 3 We be der Dreeckszerlegug z.b. x b uftrtt, gbt es für x kee Lösug. 4 Dfür stehe lestugsfähge Bblotheksprogrmme zur Verfügug: LPCK-Bblothek, NG-Bblothek.

5 3.. Drekte Verfhre llgemees Lösugskozept Drekte Verfhre llgemees Lösugsprzp us der große Mege der drekte Verfhre wolle wr zuächst uf ds Verfhre o Guß egehe, d ds Verfhre o Cholesky bespreche ud kurz uf ds Block-Cholesky-Verfhre ud de Frot-Lösugstechk egehe, de m Zusmmehg mt der Fte-Elemet-Methode ee Rolle spele. Dbe wrd uch uf Möglchkete der Esprug o Rechezet durch ds usutzug eer möglcherwese orhdee Bdstruktur ud düe Besetzug der Koeffzetemtrx (egl. sprse mtrx) egegge. De drekte Lösug ees lere Glechugssystems x b (3.-) mt der qudrtsche ( ) Koeffzetemtrx besteht üblcherwese us de folgede dre Schrtte:. Schrtt: Dreeckszerlegug 5 L R Dmt k ds Glechugssystems der Form geschrebe werde. (3.-) L R x b (3.-3). Schrtt: Vorwärtsesetze Mt der bkürzug R x y k de Glechug (3.-3) der Form L y b geschrebe werde. Drus ergbt sch y durch Vorwärtsesetze. 3. Schrtt: Rückwärtsesetze Mt dem so bekte y k us (3.-4) (3.-5) R x y (3.-6) schleßlch de gesuchte Lösug x durch Rückwärtsesetze gewoe werde. Im Przp rbete lle drekte Verfhre ch desem Schem, wobe durch ds usutze spezeller Egeschfte o Rechezet gesprt werde k. Um ds Glechugssystem deser Form uflöse zu köe, st de meste Fälle mdestes e Zeletusch erforderlch. Deser gegebeeflls mehrfche Zeletusch k durch de Permuttosmtrx P beschrebe werde (sehe Defto 3.-). Dmt lutet ds Glechugssystem Px Pb (3.-7) 5 Vergleche bschtt 3..

6 8 3. Lere Glechugssysteme De dre Lösugsschrtte köe d folgedermße geschrebe werde:. Dreeckszerlegug: P L R. Vorwärtsesetze: L y P b 3. Rückwärtsesetze: R x y

7 3.. Drekte Verfhre llgemees Lösugsprzp Der Gußsche lgorthmus Der klsssche Gußsche lgorthmus erzchtet uf de LR-Zerlegug, soder überführt x b (3.3-) Rx c (3.3-) Dzu st der Regel ee Spltepotserug erforderlch. We de Dreeckszerlegug bs zur -te Zele fortschrtte st r c K r K r x M O M M K K x b (3.3-3) M M O M M M K K x b wrd e Velfches der -te Glechug o der k-te Glechug subtrhert, so dss der -te Splte lle Werte uterhlb der Zele + zu Null werde 6 k k k (3.3-4) log wrd de rechte Sete modfzert. ls -te Elmtoszele wr de Zele mt dem größte Elemet m, m, beutzt. Legt ds gestffelte System or, ergbt sch x us dem Rückwärtsesetze x c rk xk,,, K, (3.3-5) r k + Für ede qudrtsche chtsguläre Mtrx exstert ee Dreeckszerlegug P LR, (3.3-6) wobe sch P us dem Produkt der ezele Permutto P P P...P (3.3-7) ergbt. Uter Verwedug der Spltepotserug wrd der Gußsche lgorthmus durchführbr. De kleste Rudugsfehler erhält m be eer Vollpotserug. 7 Ee Potserug st llerdgs ur wrkugsoll, we de Mtrx äqulbrert st, d.h. we lle Zele- ud Spltesummebeträge etw glech groß sd. 6 Um Specherpltz zu spre, k de rechte obere Dreecksmtrx R de Mtrx überschrebe. 7 Dbe wrd ewels ds bsolut größte Elemet der erblebede Submtrx ls Huptdgolelemet für de Elmto beutzt. Dzu st ewels e Zele- ud e Spltetusch erforderlch, wodurch sch uch de Rehefolge der Ubekte m Vektor x ädert ud folglch regstrert werde muß.

8 3 3. Lere Glechugssysteme Gußscher lgorthmus mt Dreeckszerlegug bweched om klsssche Verfhre läßt sch der Gußsche lgorthmus uch der Form eer LR-Zerlegug mt schleßedem Vorwärts-Rückwärts-Esetze durchführe (sehe bschtt 3..). 8 Dese Vorgeheswese empfehlt sch or llem d, we spätere Recheschrtte (z.b. erhlb ees Itertoslgorthmus) eue Lösuge für eue rechte Sete berechet werde müsse. Mtrxerso Flls wrklch eml de Ierse eer Mtrx X - beötgt wrd, k dese uter Nutzug des Gußsche lgorthmus folgedermße ermttelt werde. De usggsbss st ee Dreeckszerlegug XLRXI ud e Vorwärts- ud e Rückwärtsesetzte mt rechte Sete zur Berechug o X:. Schrtt: Fktorserug: LR (3.3-8). Schrtt: Vorwärtsesetze: LY I Y (3.3-9) 3. Schrtt: Rückwärtsesetze: RX Y X mt X - (3.3-) Nch Möglchket sollte m ber de Ierso eer Mtrx ermede, d dese etw de drefche Recheufwd eer Dreeckszerlegug beötgt ud ee eetuell orhdee Bdstruktur der Mtrx erlore geht. Nchfolged wolle wr de Gußsche lgorthmus mt LR-Zerlegug och etws geuer ufschrebe. Gußscher lgorthmus mt LR-Zerlegug 9 Wr strte mt dem erste Elemet ud ehme, dß ee eetuell erforderlche Spltepotserug berets usgeführt wurde. Wr erhlte r,,..., (3.3-) l r, 3,..., (3.3-) r l, 3,, (3.3-3) llgeme glt für de erste ud lle folgede Zele,,, r k k lrk k, +,..., (3.3-4) l k k lkr k +, +,..., (3.3-5) r So we der lgorthmus her otert st, fehlt de Potsuche, de ch der brbetug eer Zele ewels durchgeführt werde muß ud zu eem Zeletusch führe k. Ddurch ädert sch der lgorthmus ber cht przpell. 8 uch her köe L ud R de ursprüglche Mtrx überschrebe, wobe de Huptdgole o L, de komplett us Ese besteht, cht mt bgespechert wrd. 9 Dese Vrte wrd oft uch ls Verfhre o Crout bezechet.

9 3.4. Ds Verfhre o Cholesky Ds Verfhre o Cholesky Ds Verfhre o Cholesky st be Glechugssysteme mt eer symmetrsche post-defter Systemmtrx dem Gußsche lgorthmus orzuzehe, d es durch de usutzug der Symmetre ur etw de Hälfte der Rechezet beötgt. Wr schrebe zuächst de klsssche Vrte uf. Dreeckszerlegug R R (3.4-) mt r r k r k r rk r,...,; k(+),..., (3.4-) Vorwärtsesetze mt R yb (3.4-3) y b r y r,..., (3.4-4) Rückwärtsesetze Rxy (3.4-5) mt x y rk x r k + k,, (3.4-6) Ds Verfhre o Cholesky läßt sch uch uf Systeme mt egt-defter Koeffzetemtrx wede. Dzu wrd uf ds Wurzelzehe (3.4-) erzchtet ud ee Zerlegug der Form R DR, mt der Dgolmtrx D, erwedet. Ds Verfhre o Cholesky mt der Zerlegug R DR Zerlegug o R DR (3.4-7) mt der ormerte Rechtsdreecksmtrx R ud h r d,,...,- (3.4-8) D de Mtrx post deft st, k uch geerell uf ee Potserug erzchtet werde.

10 3 3. Lere Glechugssysteme d h r (3.4-9) r hkrk (3.4-) d k Vorwärtsesetze mt R z b (3.4-) Dy z (3.4-) z b r z,,..., (3.4-3) z y (3.4-4) d Rückwärtsesetze mt Rxy x y r + x,,..., (3.4-5) Determte Wr wolle chfolged och uf de Berechug der Determte egehe. Dese ergbt sch her wege r us det det( R (det R DR) det D d )(det D)(det R) d Kd Bem klsssche Verfhre bestmmt sch de Determte us (3.4-6) det ( det R) r ( rr Kr) (3.4-7) Vortele des Verfhres o Cholesky Ds Verfhre o Cholesky rbetet umersch stbl, wobe o besoderem Vorel st, dß bem klsssche Verfhre de Mtrx uf poste Defthet überprüft wrd, d.h. we bem Wurzelzehe e Huptdgolelemet kleer ls Null wrd, st de Mtrx cht post deft! Ee orhdee Bdstruktur überträgt sch uf R, so dß de Mtrx edem Fll o R überspechert werde k. Wege der orusgesetzte Symmetre o brucht türlch uch ur ds rechte obere Dreeck bgespechert zu werde.

11 3.4. Ds Verfhre o Cholesky 33 Bespel symm ; b.36 R x R Rx b Rx y R y b Vorwärtsesetze y y.48 y 3 y y y Rückwärtsesetze x.8 x.48 x x x x Hwes Velfch st umersche lgorthme e Produkt der Form C B B zu bereche, wobe ee symmetrsche post defte Mtrx st. Be deser Berechug k de Ierso o folgedermße ermede werde: C B B B ( R R) B R ( R ) B ((R ) B) ((R ) B) Z Z De Berechug o Z k mttels Vorwärtsesetze us R Z B B (3.4-) (3.4-3) berechet werde. Dmt sd für de Berechug o C ledglch de Dreeckszerlegug o, e Vorwärtsesetze ud ee Mtrxmultplkto erforderlch.

12 34 3. Lere Glechugssysteme 3.5. Ds Block-Cholesky-Verfhre De obe beschrebee Verfhre o Guß ud Cholesky k m uch so ufschrebe, dß edes Mtrxelemet cht mehr e Sklr soder ee Submtrx st. Durch logebetrchtuge k m d de Verküpfuge o Zhle (ddto, Subtrkto, Multplkto ud Dso) etsprechede Mtrxopertoe zuorde (ddto, Subtrkto, Multplkto ud Ierso o Mtrze). Der Vortel ees derrtge Blockkozeptes besteht der bessere Verwltug o extrem große Mtrze, de cht mehr ollstädg m Kerspecher (Opertspecher) des Computers Pltz hbe, soder komplett ur och uf dem Exterspecher gehlte werde köe. M k mt eem solche Blockkozept Mtrze belebger Größe erküpfe ud zwr uch d, we der egetlche Opertspecher des Computers m Verglech zur Größe der Mtrze sehr kle st. Für de Lösug ees Glechugssystems brucht m glechzetg ur dre erschedee Submtrze m Opertspecher zu hlte. Ntürlch erfordert d de Lösug ees sehr große Glechugssystems ee elfche rsfer o Mtrze zwsche dem Opertspecher ud dem Exterspecher, so dß de Rechezet für de Lösug ees Problems sehr strk o der Geschwdgket der dfür erforderlche rsferopertoe bestmmt wrd, de mest el lgsmer ls de egetlche rthmetsche Opertoe sd. symm K K O M x x M x b b M b (3.5-) De Blöcke uf de Huptdgole müsse qudrtsch se. De wedug des Verfhres o Cholesky uf de Form der Blockmtrx (3.5-) lutet d für de erste Mtrxzele: Dreeckszerlegug wedug der üblche Dreeckszerlegug uf de Huptdgolblock lefert R RR (3.5-) D erfolgt de Berechug der Elemete R (,...,) der erste Mtrxzele ewels durch Vorwärtsesetze. R (3.5-3) R D erfolgt de Redukto der Submtrze de Zele,...,. Für de zwete Zele ergbt sch bespelswese ~ R R (3.5-4) We lle dese Zele etspreched errbetet worde, k mt der brbetug der zwete Mtrxzele fortgesetzt werde. Es erfolgt bespelswese de Dreeckszerlegug o ~ log zur Glechug (3.5-). Nch der ollstädge Dreeckszerlegug folgt e Vorwärts- ud Rückwärtsesetze zur Berechug des Lösugsektors x.

13 3.5. Ds Block-Cholesky -Verfhre 35 Vorwärtsesetze Es wr mt der erste Mtrxzele begoe ud m erhält y. R y b D wrd y berechet us llgeme glt R y b - Ry (3.5-5) (3.5-6) k R y b R y (3.5-7) k k Rückwärtsesetze Es wrd mt der -te Mtrxzele begoe ud m erhält x. R x y (3.5-8) D wrd x - berechet us llgeme glt R, x y - R, x (3.5-9) R x y R (3.5-) k + kx k

14 36 3. Lere Glechugssysteme 3.6. De Frot-Methode De Frot-Methode wurde m Zusmmehg mt der FEM etwckelt ud ht besoders be solche Glechugssysteme Vortele, de us eer Dskretserug mt fte Elemete höherer Ordug stmme (sehe Bld 3.6-). De wesetlche Idee deser Methode besteht der Relserug ees Wechsels zwsche ufbu des Glechugssystems durch Especher der Elemetmtrze de Systemmtrx ud Elmto derege Zele, de berets komplett ufgebut wurde. Es k gezegt werde, dß durch dese Wechsel zwsche Especherug ud Elmto de ktuelle Bdwete be der Elmto o Glechuge m sprcht her o Frotwete kleer st ls de üblche Bdwete, de m erhält, we m ds Glechugssystem zuächst komplett ufbut. Ddurch ergbt sch ee Esprug Rechezet, d de Bdwete bektlch qudrtsche de Rechezet egeht. Bld 3.6-: D Veretzug mt -Kote-Vereckselemete Ntürlch wächst der orgstorsche ufwd be der Progrmmerug ees derrtge für de FEM zugeschttee Glechugslösers, der umttelbr mt dem ufbu des Glechugssystems, d.h. der Berechug der Elemetmtrze ud dere Especherug, erküpft werde muß. De Idee der Frot-Methode st ber or llem deshlb teresst, wel se deutlch zegt, dß m komplett ufgebute Glechuge elmere k, ubhägg do, ob de übrge Glechuge ebeflls scho komplett orlege. Ds Bespel 3.6- erdeutlcht dese Hergeheswese. Iros, B.: Frotl Soluto Progrm for Fte Elemet lyss, It. J. Num-. Meth. Eg., 97, Vol., pp. 5-3

15 3.6. De Frot-Methode 37 Bespel ddere der. Zele: ddere der 3. Zele: edgültge Lösug: R

16 38 3. Lere Glechugssysteme 3.7. Softwre zur Lösug o Glechugssysteme Für Progrmmerrbete stehe de Quellcodes ege Uterprogrmme zur Glechugslösug zur Verfügug. Ege der Uterprogrmm zu de Verfhre o Guß ud Cholesky sd chfolged kurz beschrebe. 3 SUBROUINE GUSS (,M,N,MH,EPS,IREG) Uterprogrmm führt de Dreeckszerlegug ch dem klsssche Gußsche lgorthmus us, wobe der (M N) Rechteckmtrx mt N>M de Mtrx der rechte Sete uf de Splte M+,...,N steht. De Mtrx k el eer größere Mtrx se, de MH Zele ufwest. We e Potelemet kleer st ls ds EPS-fche Pot der erste Splte, wrd de Rechug mt IREG bgebroche. Be erfolgrecher Rechug st BS(IREG). 4 SUBROUINE RUEEIN (R,B,X,NB,MRH,MBH,IB) Deses Uterprogrmm relsert ds Rückwärtsesetze. Deses Uterprogrmm k sowohl m Zusmmehg mt dem Gußsche lgorthmus ls uch mt dem Verfhre o Cholesky beutzt werde. Es wrd orusgesetzt, dß de (N N)-Mtrx R de rechte obere Dreecksmtrx eer der bede obe gegebe Specherrte ethält. De Mtrx B mt NB-Splte ethält spltewese de rechte Sete, ud uf der Mtrx X stehe ch der brbetug des Uterprogrmms de Lösuge e- beflls spltewese. De Mtrze B ud X müsse de gleche Größe hbe ud köe el eer ewelge größere Mtrx mt der Zelezhl MBH se. De Mtrze B ud X köe de gleche Mtrx belege, wobe d de Lösug X de rechte Sete B überschrebt. Es st ber uch möglch, dß de Mtrx B e el der Mtrx R st. I desem Fll beschrebt de Größe IB de Beg der Mtrx B erhlb o R. SUBROUINE CHOLZ (,N,MH,IPODE) Uterprogrmm zur Dreeckszerlegug eer (N N) Mtrx. Es wr orusgesetzt, dß de Mtrx folgedermße bgespechert orlegt: Vo der Mtrx st b der Posto () dem Feld ds rechte obere Dreeck ewels spltewese bs zur Huptdgole bgespechert. Es st MH zu setze. De Mtrx st el eer größere Rechteckmtrx mt der Zelezhl MH ud mmt deser Mtrx de lkere obere Ecke e. Für de Elmto wrd ur ds rechte obere Dreeck o beötgt, ds ch der brbetug des Uterprogrmms o R überschrebe wrd. Nch Verlsse des Uterprogrmms zegt e Wert IPODE<, dß de Elmto cht erfolgrech beedet wurde, wobe der bsolutwert o IPODE geu de Zele Vergleche uch Dkert, J.: Numersche Methode der Mechk, VEB Fchbucherlg Lepzg Rechezeterglech zwsche de Verfhre o Guß ud Cholesky: Gußscher lgortmus: 3 3 Multplktoe 3 6 Verfhre o Cholesky: Multplktoe 4 De Determte o läßt sch ch der Dreeckszerlegug us detireg*(,)*(,)*...*(m,m) bestmme.

17 3.7. Softwre zur Lösug o Glechugssysteme 39 zegt, be der bem Dreeckszerlege ds Huptdgolelemet ds erste Ml kleer ls Null wurde. Der Std der Zerlegug bs zu desem Recheschrtt befdet sch ch dem bbruch uf. SUBROUINE VOREIN (R,B,X,N,NB,MRH,MBH) Deses Uterprogrmm relsert ds Vorwärtsesetze. Es wrd orusgesetzt, dß de (N N)-Mtrx R de rechte obere Dreecksmtrx eer der bede obe gegebe Specherrte ethält. De Mtrx B mt NB-Splte ethält spltewese de rechte Sete, ud uf der Mtrx X stehe ch der brbetug des Uterprogrmms de Lösuge ebeflls spltewese. De Mtrze B ud X müsse de gleche Größe hbe ud köe el eer ewelge größere Mtrx mt der Zelezhl MBH se. De Mtrze B ud X köe de gleche Mtrx belege, wobe d de Lösug X de Mtrx B überschrebt. SUBROUINE CHOLB (,N,IBW,IPODE) Deses Uterprogrmm führt de Dreeckszerlegug für symmetrsche Bdmtrze durch (Bdwete IBW). De Bdmtrze sd m Formt (N IBW) ewels zelewese b der Huptdgole dem Feld gespechert. De Dreecksmtrx R überschrebt. SUBROUINE VORRUE (R,B,X,N,IBW,NB,MBH) Deses Uterprogrmm führt ds Vorwärts- ud Rückwärtsesetze für Bdmtrze durch, dere rechte obere Dreecksmtrx uf dem Feld R steht (sehe CHOLB). Im Utersched zu R müsse de Mtrx der rechte Sete B om Formt (N NB) ud de glech große Lösugsmtrx X spltewese bgespechert orlege, wobe B ud X de gleche Specherpltz belege köe.