Anwendungsbeispiel: Räuber-Beute-Modell

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1 Anwendngsbespel: Räber-Bete-Modell Enaches Modell, das de Poplatonsänderng n enem Prmtv-Ökosstem, bestehend as gena ener Räberspezes nd ener Betespezes, beschrebt. Vele Räber Bete nmmt ab Weng Räber Bete nmmt z Vel Bete Räber nehmen z Weng Bete Räber nehmen ab

2 Änderng der Anzahl Betetere (t) st zm enen drch de Gebrtenrate a proportonal der Anzahl Betetere, nd zm anderen ührt ene Begegnng enes Beteters mt enem Räber ((t)) z ener Verrngerng (mt Sterberate b): ẋ(t) a b Anderersets erhöht sch de Räber-Gebrtenrate drch vele Betetere, während de Abnahme der Räber von hrer Sterberate d abhängt: ẏ(t) c d Man erhält also zr Beschrebng der zetlchen Änderng der Poplaton von Räber nd Bete en DGL-Sstem:

3 ẋ(t) a(t) b(t)(t) ẏ(t) c(t)(t) d(t) ür t 0 apple t apple t n mt Startwerten ( t 0 ) 0 nd ( t0) 0 Elerverahren mt Schrttwete τ leert daür de Formel: + + τ τ a c b d oder τ + τ ( a b ) ( c d ) Fpnkte deser Vektorteraton: (,)( d/c, a/b ) 3

4 Poplatonsverla: Parameter: a.3, b.05, c.005, d. Bete Fpnkt Räber Fpnkt 4

5 ) ( c b a Bespel: Lorenzattraktor D glechngssstem as Modell ür Beschrebng der Ltzrklaton n der Erdatmosphäre.

6 We be der logstschen Parabel esteren zwe Attraktoren, zwschen denen de Lösngskrve chaotsch wechselt. Daher ührt ene mnmale Änderng, z.b. der Anangsdaten daz, dass nach krzer Zet de Lösng sch an ener völlg anderen Poston bendet 6

7 Der Flügelschlag enes Schmetterlngs n Chna genügt, m nach enger Zet z ener völlg anderen Lösng z ühren, z.b. enen Strm n Eropa aszlösen. Daher st es prnzpell nmöglch, über längeren Zetram eakte Vorhersagen z gewnnen, da lechteste Änderngen n den Anangsdaten z gänzlch anderem Lösngsverhalten ühren. Chaotsches Verhalten 7

8 Bespel ür chaotsches Verhalten: Logstsche Parabel, Iteraton mt Startwert 0 [0,] nd Fnkton Φ( ) : 4 ( ) Vergleche Orbt be Startwert 0 mt Orbt ür Startwert ^(-6) Nmersches Ergebns n MATLAB: leert nd

9 α3. α3.5 9

10 Grnd: Wederholte Aslöschng Chaos Schlecht kondtonert Bespel Wnterstrm Lothar: Ignoreren enes Messwertes Falsche Wetterprognose 0

11 Partelle Derentalglechngen

12 Notaton: # & z # & # & z z z : ),, ( Gradent ( ) F dv h g z h g h g z F h g F z # & ' # & ' # & ' : Dvergenz Nabla-Operator ( ) zz T U U U U z z U U z U U U z U U grad dv U # & ' # & ' Δ )) ( ( Laplace-Operator

13 Partelle Derentalglechngen Bespel Dson (mt Anwendng n der Bldverarbetng): De Strömng j hervorgeren drch Dchtenterschede erolgt n Rchtng des negatven Gradenten der Konzentraton j(, t) D (, t) Massenerhaltng: Änderng der Konzentraton n enem Volmenelement kann nr drch Strömng erolgen t (, t) dv ( j) j j j 3 3 3

14 Zsammen: t dv( D ) Im sotropen Fall st D ene konstante Zahl, z.b. D: Δ + t m zwedmensonalen Fall; Δ heßt Laplace-Operator. 4

15 Entelng Parteller D glechngen: Glechgewchtsgl. (ellptsche PDE) ür (,): Δ Wärmeletngsgl. (parabolsche PDE) ür (,t): Δ t Wellenglechng (hperbolsche PDE): Δ tt Her: Laplace-Operator nr ür rämlche Abletngen 5

16 Also Ellptsche PDE: Gegeben snd zsätzlch Randwerte. Δ a Gebet Ω nd () a Γ, dem Rand von Ω Ω Γ Parabolsche PDE: Gegeben snd Anangs- nd Randwerte. Also a Gebet Ω nd Δ t (,0) a Γ 0 zm Zetpnkt t0, nd (,t) vorgegeben a Γ, dem Rand von Ω. t Γ Γ 0 Ω Γ 6

17 Lösngsmethoden am Bespel Laplaceglechng Δ a Gebet Ω nd () a Γ Derenzenverahren: Ersetze Derentalqotent drch Derenzenqotenten. Das Gebet Ω wrd dskretsert, d.h. drch en Pnktegtter jk, j,...,n, k,...,m, dargestellt: () jk ( jk ), am enachsten äqdstant mt konstanter Schrttwete h. 7

18 -dmensonaler Fall: - ür a < < b (a)v; (b)w; a h +. b h d d + ( ) h d d + ( ) h + 8

19 9 # & + + # & # & ) ( ) ( b h h h a h n n n n Maske: [ - - ] ergbt lneares Glechngssstem: In D: - Maske: entsprcht Derenzlter - Z Lösen: Lneares Glechngssstem

20 Anderer Ansatz: Fnte Elemente, Galerknverahren: Wähle Ansatznktonen () (z.b. lneare B-Splnes Ht-Fnkton, de gena an der Stelle glech snd, nd an den anderen Stützstellen glech 0). Setze ( ) n 0 c ( ) als Ansatz ür de geschte Lösng. Sche also Koezenten c, so dass DGL möglchst gt erüllt st. De Derentalglechng selbst st so drekt ncht erüllbar 0

21 Umormlerng der DGL als Varatonsproblem: b ( + ) v( ) d 0 ür alle v( ) + 0 a Setze n dese Glechng ür () den Ansatz mt den Bassnkton nd ür v() ebenalls alle Bassnkton. b a & # c ( ) +, ( ) k ( ) d 0 ür k 0,..., n a kj b k n 0 ' & b a, ( ) k ( ) d # c b a ( ) k ( ) d ür k 0,..., n

22 ergbt: A*c b also en lneares Glechngssstem zr Berechnng der nbekannten Koezenten c. Nach Lösen des LGS leert ( ) n 0 c ( ) ene Näherngslösng der gegebenen PDE. Ansatznktonen () snd so z wählen, dass se vernüntg d bar snd nd de Randbedngngen erüllen

23 Dsonsglechng nd Bldverarbetng: Orgnal Anahme Betrachte Bld als Momentanahme ener zetabhänggen Strömng. Man kann sch vorstellen, dass de vorlegende Anahme drch enen Dsonsprozess entstanden st. 3

24 t dv( D ) Veränderng des Bldes drch Zrückrechnen des Dsonsprozesses. (Lösng der Dsonsglechng Faltng mt Gass-Fnkton, Gass-Flter, Mttelwert- Flter,Wechzechner ) Betragsmäßg großer Gradent zegt Kanten an. Aßerdem st das Bld ev. gestört drch Raschen. Zel: Enterne Raschen nter Bebehaltng der Kanten. Wähle daher Dsonskoezent D n Abhänggket vom Gradenten: 4

25 D & dv + / λ t # Eekt: Gradent nahe be Nll ergbt D Normale Dson (entsprcht Wechzechner zr Nose-Redkton) Gradent groß Rückwärts -Dsson, Bld wrd schärer, Kanten bleben erhalten. k+,j k,j + Δt *dv(..) j t 5

26 Zsammenassng Partelle Derentalglechngen enthalten partelle Abletngen der geschten Fnkton Se können n dre Klassen ntertelt werden: ellptsche, parabolsche nd hperbolsche part. DGL Ellptsche DGL benötgen nr Randbedngngen, parabolsche nd hperbolsche benötgen Rand- nd Anangsbedngnen Es gbt (mnd.) zwe Lösngsansätze: Fnte Derenzen nd Fnte Elemente En Wechzechner n der Bldverarbetng kann als Dsonsprozess modellert werden 6