Mechanik: Statik Statik der starren Körper

Transkript

1 ufgabe 7.1: Keil als Element zum Heben von Lasten Bemerkungen / rag Das skizzierte System soll zum Heben einer Last 0kN verwendet werden. Welche Keilkräfte K sind zum Heben und zum Senken erforderlich? nnahme: beide Keile verschieben sich die eibung im Lager kann vernachlässigt werden 0kN die Haftreibungszahlen betragen für alle eibflächen 0,1 K K 86

2 7.4 Schrauben Mechanik: Statik Bemerkungen / rag lachgewinde - Bewegungsschraube Das nziehen und Lösen einer Schraube entspricht dem Verschieben eines Körpers auf einer schiefen Ebene ( bb ). Es entspricht einem Heben und Senken von Lasten. Mutter u α α n lankenradius r n bb : Kräfteverhältnisse am lachgewinde Die Steigung der Ebene ergibt sich als Steigungwinkelα der mittleren Gewindelinie. uf die Mutter einer Schraubenverbindung wirken: die Schraubenlängskraft oder Vorspannkraft die Schraubenumfangskraft, die durch ein entsprechendes Drehmoment hervorgerufen wird und am mittleren Schraubendurchmesser bzw. lankendurchmesser oder radius ansetzt. die Schraubennormalkraft zwischen Mutter und Gewinde eibkraft im Gewinde Es wird davon ausgegangen, dass der eibungswinkel ρ größer ist als der Steigungswinkel α, d. h. es liegt Selbsthemmung vor. Wickelt man einen Gewindegang ab und trägt die wirkenden Kräfte für das nziehen und Lösen an, so wird die nalogie zu einer schiefen Ebene noch deutlicher (bb ). Die Basislänge der schiefen Ebene entspricht π r und die Höhe des entstehenden Steigungsdreiecks ist die Gewindesteigung P. Beim nziehen wirkt die Umfangskraft nach rechts und die eibkraft nach unten; beim Lösen wirkt die Umfangskraft nach links und die eibkraft nach oben. us den Kraftecken ergeben sich die Umfangskräfte für das nziehen und das Lösen. u u tan( α + ρ) nziehen tan( α ρ) Lösen (7.4.1) 87

3 u u P u n α π r n ρ ρ n u u u ρ n α α n ρ n α ρ nziehen / Heben bb : Kräfte beim nziehen und Lösen von Schrauben Lösen / Senken ρ > α Lösen / Senken ρ < α ür ür ρ > α gilt: es liegt Selbsthemmung vor, d. h. mann muß die Kraft u aufbringen, um die Last zu senken. ρ < α gilt: keine Selbsthemmung, d. h., die Last muß mit u gehalten werden. Die Umfangskraft bewirkt mit dem lankenradius r ein Moment um die Schraubenachse. Dieses Moment überwindet die Gewindereibung und führt zum Heben oder Senken der Last.Man bezeichnet dieses Moment als Gewindereibmoment: M G u r r tan( α ± ρ) (7.4.) ls Wirkungsgrad eines Schraubengetriebes bezeichnet man das Verhältnis der Nutzarbeit (Heben oder Senken der Last ) zur dafür aufgewendeten rbeit. Die Nutzarbeit, die durch eine Umdrehung geleistet wird, ist das Produkt aus der Kraft und der Steigungshöhe P. Der ufwand ergibt sich aus der Kraft u 88

4 und dem lankenumfang π r. Somit gilt für den Wirkungsgrad: Bemerkungen / rag η u P π r tan α π r tan( α ± ρ) π r tan α tan( α ± ρ) (7.4.3) 7.4. Spitz- und Trapezgewinde Spitz- und Trapezgewinde haben einen lankenwinkel β. Er bewirkt eine Neigung der Normalkraft n um den halben lankenwinkel. Die Längskraft, die Umfangskraft u und die eibungskraft liegen nicht mehr in einer Ebene mit der Normalkraft n., u β, u n β n n β bb : Vergleich der Kraftverhältnisse am Spitz- oder Trapezgewinde und am lachgewinde Die Normalkraft ist um den halben lankenwinkel ( β ) geneigt. Um Gleichgewicht zu halten, muss die Normalkarft n größer sein als die Karft n. Dies bedeutet, dass auch die eibkraft größer wird. Damit man weiterhin mit den bereits von lachgewinde her bekannten Gleichungen rechnen kann, führt man eine neue eibungszahl µ ein. Diese ergibt sich aus folgenden Beziehungen (siehe bb ): n n β cos( ) µ µ β cos( ) n µ n n (7.4.4) µ dabei gilt: µ β cos( ) ür metrisches ISO Trapezgewinde nach DIN 103 ist β 30 und damit µ 1, 04 µ für metrische ISO-Gewinde nach DIN 13 ist β 60 und damit µ 1,15 µ. ; µ der eibwinkel ρ wird aus der eibzahl µ nach folgender Gleichung ermittelt: tanρ µ. β cos( ) ; 89

5 7.4.3 Befestigungsschraube - Spitzgewinde d Bemerkungen / ra Bei einer Schraubenverbindung wird die die Längskraft, die die Teile miteinander verspannt, erst dann aufgebaut, wenn der Schraubenkopf und die Mutter fest auf den verbindenden Teilen aufliegen. ür das nzugsmoment gilt: a M H L mit H Handkraft L bstand vom Schraubenmittelpunkt bis zum Handangriffspunkt Schlüsselweite ca. 0,7 d Die Schraubenlängskraft wird durch eine verteilte Last von der Mutter und dem Schraubenkopf abgetragen. L r m Dem nziehmoment wirken zwei Momente entgegen: das Gewindereibmoment M G das uflagerreibmoment M a H ür das Gewindereibmoment gilt nach (7.4. und 7.4.4): M G r tan( α ± ρ ) für Stahl auf Stahl gilt bei metrischem ISO-Gewinde ρ 9 a Das uflagerreibmoment wir durch die eibzahl µ an der uflagerfläche der Mutter, die Schraubenlängskraft und den mittleren eibradius r m SW + DBohrung bestimmt. 4 M a a r m µ a r m Das nziehdrehmoment M ist die Summe aus Gewindereibmoment M G und uflagerreibmoment M a M (r tan( α ± ρ ) + µ r ) (7.4.5) a m M M G M bb : Kräfte und Momente einer Schraubenverbindung 90

6 7.5 Zapfenreibung Mechanik: Statik Bemerkungen / ra Die nachfolgenden Betrachtungen beschreiben die trockene eibung für ein System Buchse / Zapfen mit kleinem Spiel. Die Überlegungen umfassen nicht ölgeschmierte Gleitlager. Betrachtet man eine starre Buchse und einen starren Zapfen in der uhestellung, so werden sich diese an der unteren Mantellinie berühren. Eine vertikale Kraft des Zapfens bewirkt eine eaktionskraft n. Zapfen Buchse M 0 M>M 0 n µ n 0 n µ n res n res ρ 0 ρ ρ Haften Gleiten bb : System Zapfen / Buchse Bei einer durch ein Moment M hervorgerufenen Verdrehung des Zapfens, wird dieser aufgrund der Haftreibung zunächst auf der Buchse abrollen. Dies führt unter dem Moment M 0 zu einer Schrägstellung des Zapfens um den eibungswinkel ρ0 und zu einer Verlagerung der Berührungslinie. Nachfolgend wird der Zapfen rutschen, dh. es wirkt nicht mehr der Haftreibungskoeffizient sondern der kleinere Gleitreibungskoeffizient. Die Verlagerung des Zapfens wird auf den eibungswinkel ρ zurückgeführt. Bei der Schrägstellung sind die Kräfte und res gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. Bei kleinem Spiel und zunehmender Belastung wird die Berührung zwischen Buchse und Zapfen nicht mehr linienförmig sondern auf einer läche erfolgen (bb. 7.5.). Es findet eine Verteilung über dem Umfang statt, die Summe aller Teilkräfte resi mit der Kraft im Gleichgewicht stehen. ni resi cos ρ i i lle resultierenden Teilkräfte resi tangieren einen Kreis um den Mittelpunkt des Zapfens mit dem adius r cosρ. Somit gilt für das Momentengleichgewicht um den Mittelpunkt: ni M ρ ρ (Mp) M resi r sin M r sin M ni r tan ρ cosρ i ni r tanρ ni r µ M (7.5.1) i i M M ist das zur Überwindung der eibkraft erforderliche eibmoment. i i 91

7 r sin ρ Bemerkungen / ra Da die Normalspannungsverteilung ni nicht bekannt ist, führt man eine eibungszahl, die Zapfenreibungszahl µ ein, die nur auf die Zapfenbelastung bezogen ist. Es gilt: µ µ z ni i mit der Zapfenreibungszahl folgt für das eibmoment: z M r ρ M r µ (7.5.) z resi ni ρ bb.7.5.: Kräfte am Wellenzapfen Beispiel 7.: Zapfenreibung eines Hebels ( nach ssmann Techn. Mechanik Bd.I) ür den dargestellten Hebel ist die Zapfenreibung und die Kraft (näherungsweise) für eine Kraft B von 10kN und einer Zapfenreibungszahl von µ z 0,5 zu bestimmen. B B Drehrichtung M Das eibmoment hängt von der Kraft C ab. Diese ist wiederum abhängig von den Komponeneten und B. Man kann jedoch das Problem relativ schnell iterativ lösen: C sin α α C cosα 9

8 Bemerkungen / rag us der Summe aller Momente um den Drehpunkt C ohne Berücksichtigung der eibung folgt: M() B 0kN aus dem Kräftegleichgewicht folgt. H V C sin α C B 0 cosα 0 C ( sin α) C + ( C cosα) B +.4kN Nach Gleichung 7.5. ergibt sich daraus ein eibmoment von 55 M r µ z 0,5,4 308kNmm 0,308kNm us der Summe aller Momente um den Drehpunkt C jetzt unter Berücksichtigung des eibmomentes liefert für : M() B,6kN In der egel sind keine weiteren Iterationen erforderlich vom blauf her, setzt die Berechnung jetzt wieder bei der Berechnung des Kräftegleichgewichtes zur Bestimmung von C an. C M C M + 340kNmm.8kN 4,9kN B 343kNmm.9kN 4.7kN Man erkennt, dass die Lösung gegen einen Wert konvergiert. Bei einer exakten Lösung berechnet sich der Wert zu,9 kn ( siehe ssmann, Techn. Mechanik Bd I). 93

9 7.6 Seilreibung Mechanik: Statik Bemerkungen / ra Wenn ein Seil einen feststehenden zylindrischen Körper umschlingt, so treten im Bereich der Berührungsfläche eibungskräfte auf. Die eibungskräfte machen in Seil- und iementrieben die Übertragung von Momenten möglich. ndererseits ermöglicht die Seilreibung das Halten von Kräften, z.b. das Umschlingen eines Taus um einen Poller. Betrachtet man ein von einem Seil umschlungenes Bogenstück, so nimmt die Seilkraft in ichtung des gezogenen Endes S1 durch die auftretenden eibkräfte stetig zu (siehe bb ) α α Lageplan S S + S α n Kräfteplan α S n S 1 S S + S bb : Kräftegleichgewicht an einem Seilabschnitt us dem Kräfteplan folgt für kleine Winkel: n (S + S) α S α + S α Da S α sehr klein ist, kann dieser Term zweiter Ordnung vernachlässigt werden. Daher gilt: n S α (7,6,1) Die Zunahme der Seilkraft ergibt sich aus der eibung: µ n 0 S µ 0 n S mit Gleichung folgt: 94

10 S S α µ 0 oder Grenzüberg ang Mechanik: Statik S S ds µ 0 S lim µ 0 S α α 0 α dα Bemerkungen / ra Integration nach Trennung der Variablen: S 1 ds µ S α 0 S 0 S dα ln S 1 µ 0 S α S 1 e µ 0 α Diese Gleichung wird als Eytelwein sche ormel bezeichnet. Beispiel 7.3: Seilbremse Welche Kraft ist erforderlich, um eine Masse mit dem Gewicht G so abzubremsen, dass sie gleichförmig nach unten bewegt wird. gegeben: G 10 kn a 0,4 m b 1,4 m r a 0,4 m r i 0, m µ 0,4 α 50 4,363 r a α r i Momentengleichgewicht um den Drehpunkt: S M() 0 b + S b a us der Eytelwein schen Gleichung folgt für die Seilkraft S 1 : a S 1 S a b S1 S e µ α G 95

11 Bei einer gleichförmigen Bewegung gilt auch das Momentengleichgewicht um den Trommelmittelpunkt M: M(M) 0 Einsetzen G r r (S r + (S S ) r e S ) r S (e 1) Einsetzen b µ α r r (e 1) G i a a ri a G 0, 0,4 10 0,30kN µ α 1,745 r b (e 1) 0,4 1,4 (e 1) a i a G i µ α 1 a a µ α Bemerkungen / rag 7.7 ollwiderstand / ollreibung Durch die Deformation von olle und ollbahn entsteht eine Kontaktfläche. Vereinfacht kann man sich vorstellen, dass die olle oder das ad eine Welle vor sich her schiebt. Dabei treten nach bb folgende Kräfte auf: G G h r r res bb : Kräfte an einer olle / ad n die adlast G steht im Gleichgewicht mit der Normalkraft n die Horizontalkraft h ist zur Überwindung der eibkraft notwendig Das Momentengleichgewicht um dem Mittelpunkt ergibt: r f f r n µ n µ G 96

12 mit f µ r Mechanik: Statik Bemerkungen / ra µ ist die ollreibungszahl. Zur Bestimmung der ollreibungszahl sind Kenntnisse über f erforderlich. Hierbei spielen komplexe physikalische Zusammenhänge eine olle. f ist eine nichtlineare Größe, die von der Werkstoffpaarung, den Oberflächenbeschaffenheiten, den Härten und den ertigungsgenauigkeiten und der adlast G abhängt. ür Paarungen Stahl/Stahl, z. B. einer Kranbahn liegt der Wert in der Größenordnung f0,5. Bei gehärteten Paarungen, z. B. Wälzlagern vermindert sich dieser Wert enorm. Beispiel 7.4: ollreibung (nach ssmann Techn. Mechanik Bd. I) Die skizzierte Walze (Masse 00kg) wird mit einer Kraft 0N gezogen. Diese ist erforderlich, um eine konstante Geschwindigkeit zu erreichen. Zu bestimmen sind f und µ. Momentengleichgewicht um liefert: m g M() ( ) m g f 0 ( ) f 61, mm 00 9,81 µ 6, ,

13 ufgabe 7.: ollreibung an schiefer Ebene Bemerkungen / ra Die skizzierte olle (m10kg, r 100mm) soll durch die Kraft nach oben gezogen werden. Wie groß ist die Kraft, wenn die olle nicht durchrutscht? m g 98

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