NACHRICHTENTECHNIK - REFERAT Hüseyin ÖZCELIK 5HNB 95/ Akustik

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1 NACHRICHTENTECHNIK - REFERAT Hüseyin ÖZCELIK 95/ Akustik

2 NT-Refeat AKUSTIK Seite 1 Höhee technische Bundeslehanstalt Wien 10 D. Jonke

3 NT-Refeat AKUSTIK Seite Inhaltsvezeichnis 1 Wellengleichungen 1.1 Heleitung de Wellengleichung in zei Diensionen Schingungen eine Meban 1.1. Zeidiensionale Wellengleichung 4 1. Heleitung de Wellengleichung in dei Diensionen 4 (Wellengleichung in de Akustik) Wellenaten 7.1 Ebene Wellen 7. Kugelellen 7 3 Akustische Stokeis Esatzschaltung 8 3. Nah- und Fenfeld 9 4 Schallintensität (Schallstäke) 10 5 Liteatuvezeichnis 11

4 NT-Refeat AKUSTIK Seite 3 1 Wellengleichungen Akustik 1.1 Heleitung de Wellengleichung in zei Diensionen Schingungen eine Meban (x,y,t)... Rückstellkaft de Meban in z-richtung qq (x,y,t)... auf de Meban lastende Duck in z-richtung T... Vospannung (Kaft po Längeneinheit) µ... Massendichte (Masse po Flächeneinheit) c... Ausbeitungsgeschindigkeit In de Gleichgeichtslage uht die Meban in de x-y-ebene, sie steht unte eine gleichäßigen Vospannung T. Die Rückstellkaft (x,y,t) ist dabei nu duch die Vospannung T gegeben. Bei eine Meban ist die Biegefestigkeit venachlässigba klein 1. Fü die Meban it den Seitenlängen x und y gilt dann: Käftezelegung: (1) µ x y T y T x + qxyt ( ) x y t x x y y x x x y y y +,, Systee, bei denen die Biegefestigkeit nicht venachlässigba klein sind, bezeichnet an als Platte.

5 NT-Refeat AKUSTIK Seite 4 duch Division duch x y ehält an: () µ 1 1 T + T t x x x y y y + + x x x y y y qxyt + (,, ) de Genzübegang x 0, y 0 egibt: µ t x +,, y (3) T + qxyt ( ) (4) + (,, ) x y µ T t Ekläung des Rechenschittes: geg.: f ( x, y) x li x 0 1 T qxyt ( 1, ) (, ) x ( + xy, ) xy (, ) x x li x ( x+ x) x x y x y x li x 0 x Einfühung von c: T c µ 1 0 x x + x x x Diensionsbetachtung: N kg kg s kg s s! (5) + (,, ) x Nabla-Opeato: + x y Nabla : + x y y 1 1 c t T qxyt

6 NT-Refeat AKUSTIK Seite (6) xyt (,, ) (,, ) c t T qxyt 1.1. Zeidiensionale Wellengleichung Die Gleichung (6) it q (x,y,t)0 id als zeidiensionale Wellengleichung bezeichnet, sie ist die allgeeine Fo de eindiensionalen Wellengleichung. 1 xyt (,, ) c t 1. Heleitung de Wellengleichung in dei Diensionen (Wellengleichung in de Akustik) pp (x,y,z,t)... Duck de Flüssigkeit ρρ (x,y,z,t)... Dichte de Flüssigkeit v... Geschindigkeit eines ateiellen Punktes de Flüssigkeit (auch Schnelle) v &... Beschleunigung eines ateiellen Punktes de Flüssigkeit ΨΨ (x,y,z,t)... Geschindigkeitspotential (auch Schnellenpotential) Zu Heleitung de Wellengleichung in dei Diensionen id eine Flüssigkeit betachtet, die duch ihen Duck pp (x,y,z,t) und ihe Dichte ρρ (x,y,z,t) chaakteisiet sind. Es id in idealisiete Fo angenoen, daß die Flüssigkeit keine Schubspannungen zuläßt und dait Ipuls- und Massenehaltung in de geschlossenen Syste gelten. Ipulsehaltung: (1) ρ v & gad p De Richtungsableitung de Maxialändeung (bz. -Steigung) des Ducks p ist die negative Beschleunigung de Dichte. it &v dv dt Die vektoielle Beschleunigung ist die zeitliche Ändeung de Geschindigkeit eines ateiellen Punktes in de Flüssigkeit. p gad p x e p y e p + + z e x y z

7 NT-Refeat AKUSTIK Seite 6 (,,, ) 0+ (,,, ) ( xyzt,,, ) 0+ ( xyzt,,, ) pxyzt p pxyzt ρ ρ ρ Die konstanten Gößen p 0 und ρ 0 entspechen de Ruheduck bz. de Ruhedichte, die zeitabhängigen Gößen p(x,y,z,t) und ρ(x,y,z,t) entspechen de i Noalfall deutlich kleineen Duckändeung bz. Dichteändeung. dv () ρ 0 gad p dt De Ausduck ρ(x,y,z,t) ist gegenübe ρ 0 venachlässigba klein, bei Diffeenzieen von p (Gadientenbildung) fällt das konstante p 0 eg, so daß an die lineaisiete Fo de Gleichung (1) ehält. Massenehaltung: d ρ dt (3) div ( ρv) Die Divegenz de it de Geschindigkeit v behafteten Dichte egibt eine Dichteändeung, elche definiet ist it: div e x e y e x + y + z z v exvx + eyv y + ezvz ρv v x ρ y ρv div ( ρv){ e xe x + ee y y + x { y { ee z z z div ( ρv ) ρv ρv ρv + + x y z x y z Die lineaisiete Fo de Gleichung (3) ehält an in Analogie zu (): z (4) d ρ ρ 0 div v dt Zusaenhang zischen p und ρ: dp dp d ρ dt d ρ dt

8 NT-Refeat AKUSTIK Seite 7 Einfühung von c: c dp d ρ ρ0 Diensionsbetachtung: Eingesetzt in (4): N kg kg s kg s! (5) 1 p ρ 0div v c t v gadψ Es id das Geschindigkeitspotential (bz. -Schnellenpotential) Ψ eingefüht, elches in (5) eingesetzt id: ψ (6) ρ 0 gad gad p t oaus (7) p ρ ψ 0 t folgt. as iedeu in (4) eingesetzt auf folgendes füht: (8) 1 ρ ψ 0 ρ c t 0 div gad ψ Nabla Opeato: + + x y z ψ c ψ t

9 NT-Refeat AKUSTIK Seite 8 Wellenaten.1 Ebene Wellen Die allgeeine Lösung fü die obige Wellengleichung lautet: ( ) ( ) ψ F x ct + F x + ct 1 obei F 1 und F Funktionen de Zeit sind (F 1 F 1 (t), F F (t)). Physikalisch gesehen bedeutet diese Funktion folgendes: De este Ausduck F1 ( x ct) stellt eine Wellenbeegung in positive x-richtung da. De Wet dieses Ausducks ist fü xx 0 und t0 gleich F1( x0 ), zu eine späteen Zeit tt 1 id xx 0 +ct 1, so daß de Funktionset F1( x0 + ct1 ct1) F1( x0) iede de selbe ist. D.h. die Stöung it de Wet x 0 ist in de Zeit t 1 it de Ausbeitungsgeschindigkeit c nach x 0 +ct 1 geandet. F (x+ct) stellt eine in negative x-richtung fotscheitende Welle da, die Übelegung dafü sind analog zu esten Suanden. De Velauf de Funktionen F 1 (t) und F (t) hängt von de Fo de Duckstöung ab. Fü den Fall, daß die Duckstöung duch eine sinusföig schingende Meban eegt id (vgl. Bild), bekot die Lösung die Fo [ ( c ) ] x ψ k cos ω t + ϕ an. Die Sinuselle it de Aplitude k läuft in de positiven x-richtung it de Geschindigkeit c. Die Welle ist eine Longitudinalelle, die Teilchenveschiebung efolgt in Fotpflanzungsichtung.. Kugelellen Ist sie Stöungsstelle i Mediu klein gegenübe de Wellenlänge 3, so handelt es sich u eine punktföige Schallquelle, bei de sich die Duckstöungen kugelsyetisch ausbeiten. Kontä dazu sind Tansvesalellen, bei denen die Teilchenveschiebung noal zu Fotpflanzungsichtung efolgt. Ein Beispiel dafü sind Wasseellen. 3 Die Wellenlänge ist als küzeste Entfenung zischen zei Stellen, an denen gleiche Schingungszustand hescht (z.b.: Aplitudenaxia), definiet. λ c / f

10 NT-Refeat AKUSTIK Seite 9 Wellengleichung fü Kugelellen: ( ψ) ( ψ) c t Die patikuläe Lösung hat die Fo: ( ) 1 ψ f± ct & ( ) ( ) v gad ψ ψ 1 1 e f ct f ct e c p ρ ψ ρ 0 0 f ct t ( ) Die kugelföige Ausbeitung, dastellba duch kugelföige Flächen konstanten Ducks (Isobae), veusacht eine Aplitude, die it de Entfenung u den Fakto 1 / abnit. Allgeein kann an sagen, daß die eisten Schallquellen als Kugelstahle anzusehen sind. 3 Akustische Stokeis De Schallechselduck p und die Schallschnelle v entspingen als Gößen de kugelföigen Wellenausbeitung ein und deselben Quelle. In Analogie zu Oh schen Gesetz kann an nun de Schallduck die Bedeutung eine Wechselspannung, de Schnelle diejenige eines Wechselstoes zuodnen. Als ditte Göße ist ein koplexe Stahlungsidestand einzufühen, an den die Schallquelle ihe Sahlungsenegie in de Fo von Wik- und Blindleistung abgibt. 3.1 Esatzschaltung Fü eine Kugelelle u eine Schallquelle de Duckaplitude p 0 gilt:

11 NT-Refeat AKUSTIK Seite 10 Die Gleichungen bescheiben eine sich in adiale Richtung ausbeitende Kugelelle, bei de de Duck it 1 / und die Schnelle it 1 / zu Entfenung abnehen. 3. Nah- und Fenfeld Die Schnelle v eilt i Nahbeeich de Schallechselduck p u den Phaseninkel ϕactan 1 / k nach. In unittelbae Nähe de Schallquelle, d.h. >>λ (Entfenung zu Schalquelle viel kleine als Wellenlänge), ist de Realteil gegenübe de Iaginäteil venachlässigba. Außehalb des Nahbeeiches, o sich Schallechselduck und -Schnelle nahezu ohne gegenseitige Phasenveschiebung ausbeiten (ϕ 0), d.h. <<λ, läßt sich de Iaginäteil gegenübe de Realteil venachlässigen. Es entsteht nu ein Wikanteil, die Eegung pflanzt sich als ebene Welle fot, fü elche dann iede die Gleichungen in.1 gelten. 4 Schallintensität (Schallstäke) Die bei fotlaufenden Schallellen in 1 Sekunde duch eine zu Schallichtung senkechte Fläche von 1 duchtetende Enegieenge nennt an Schallintensität, auch Schallstäke. Die Schallintensität I ist eine vektoielle Göße (i Gegensatz zu Schallduck, de lediglich einen Skala dastellt). [ I ] W I pxyzt vxyzt (,,, ) (,,, ) De Mittelet des it de Geschindigkeit v beegten Schallducks p egibt den Schallduck I. Bei sinusföigen Signalveläufen kann die koplexe Scheibeise eingefüht eden, fü den Fenbeeich gilt dann: * 1 * [ ] Re[ ] [ ] [ ] p p0 e p Re p0 e v v e v Re v e j( ωt+ ϕ1) j( ωt+ ϕ1) j( ωt+ ϕ) j( ωt+ ϕ) 0 0 I Re p v p v Fü eine bestite Richtung : I p v

12 NT-Refeat AKUSTIK Seite 11 1 I p v p v ρ c I p ρ c I p ρc 5 Liteatuvezeichnis Svoboda/Tieb, Physik, Band1 Oldenboug Velag Wien F. Tendelenbug, Einfühung in die Akustik, 3. Auflage, Spinge Velag P. Hagedon, Technische Schingungslehe, Band, Spinge Velag G. Schidt, Akustik, C.Heyanns Velag Belin D. Fanz, Elektoakustik, Fanzis Velag, München