Identifizierung und Optimierung technischer Prozesse

Transkript

1 Übungen zur Vorlesung Identifizierung und Optimierung technischer Prozesse Dipl.-Ing. Dino Klotz V h soll R h J( R)! min ist Sommersemester

2 Einführung zur Übung IO Ü I Einführung In diesem Übungsskript sind die Aufgaben für die Übung zur Vorlesung Identifizierung und Optimierung technischer Prozesse zusammengestellt. Für die Übungsaufgaben werden praxisnahe Beispiele herangezogen. Grundsätzlich sind folgende Schritte notwendig, die im Verlauf der Übung genauer diskutiert und durchgeführt werden: Modellbildung durch Identifikation Entwurf optimaler Regler: Entwurf eines Reglers zur Unterdrückung von Anfangsstörungen Entwurf eines Folgereglers Eines der Anwendungsbeispiele betrifft die Höhenregelung bei Verkehrsflugzeugen. Für die Bearbeitung der Aufgaben sind einige Vorkenntnisse notwendig, die an dieser Stelle kurz zusammengefasst werden. Höhenregelung bei Verkehrsflugzeugen Da ausschließlich die Längsbewegung für kleine Auslenkungen betrachtet wird, kann die Dynamik näherungsweise durch lineare Modelle beschrieben werden. Es ergibt sich folgende Zustandsdifferenzialgleichung: v α q = ϑ h X v X α 0 g 0 Z v Z α M v M α M q v 0 0 v 0 0 v α q ϑ h + X FS Z FS M FS X η Z η M η [ FS η (1) Die physikalische Bedeutung der in (1) verwendeten Variablen ist in der folgenden Aufstellung zusammengefasst. Die Zustandsgrößen und Stellgrößen sind auch in Abbildung 1 dargestellt. Die Zustandsgrößen sind v, Längsgeschwindigkeit, α, Anstellwinkel, der Winkel zwischen Tragflächen und Strömung, q, Nickgeschwindigkeit, ϑ, Längsneigung (Nicklage), h, Flughöhe.

3 Einführung zur Übung IO Ü II h v res v q w F S Abbildung 1: Größen der Längsbewegung Sämtliche Komponenten sind Abweichungen von der Ruhelage, welche dem horizontalen Geradeausflug (Reiseflug) entspricht, v 0 = 264 m/s, α 0 = 0, q 0 = 0, ϑ 0 = 0, h 0 = m. Die Stellgrößen der Längsbewegung sind zum einen der Schub der Triebwerke F S, zum anderen der Ausschlag des Höhenruders η. Die Parameter X, Z und M (der Platzhalter steht jeweils für die Variablen v, α, q, F S und η) bezeichnen die Derivativen der Kräfte in Längs- und Vertikalrichtung bzw. des Momentes um die Querachse. Es sind die Koeffizienten der Terme erster Ordnung der Taylorentwicklung der nichtlinearen Bewegungsgleichungen. Diese Größen werden durch die Konstruktion aber auch durch Flugzustand und Anströmung bestimmt und lassen sich daher nur schwer aus physikalischen Beziehungen bestimmen. Man erhält sie entweder durch Näherung oder Identifikation. Die Längsbewegung des Flugzeugs lässt sich näherungsweise durch zwei Teilbewegungen beschreiben: Das ist zunächst die Anstellwinkelschwingung, eine kurzperiodische Schwingung in α und q. In der zugehörigen Zustandsraumdarstellung kann der Einfluss von Längsgeschwindigkeit v, Längsneigung ϑ und Schub F S vernachlässigt werden, da dieser erfahrungsgemäß gering ist (siehe dazu auch [2): [ α q = [ Zα 1 M α M q [ α q [ Zη + M η η. (2) Für die Eigenfrequenz der Anstellwinkelschwingung gilt die Näherung ω 0, AS Z α M q M α 0,3 s 1. (3)

4 Einführung zur Übung IO Ü III Die zweite Teilbewegung ist die so genannte Phygoide, eine schwach gedämpfte Schwingung in v und ϑ. Bei der Herleitung der Zustandsgleichung für die Phygoide genügt eine einfache Vernachlässigung der Koppelterme aus (1) nicht. In [1 wird die Vorgehensweise zur Gewinnung der folgenden Gleichung ausführlich erläutert. [ v ϑ = X v M v X α M α g Z v +M v Z α M α 0 [ v ϑ X FS M FS + M FS Die Eigenfrequenz der Phygoide wird angenähert zu: Z α M α X α M α M η X α M α Z η +M η Z α M α [ FS η (4) ω 0, P H 2 g v 0. (5) Abweichung von der Reiseflughöhe in m t in s Abbildung 2: Störung am ungeregelten Flugzeug

5 Übung 1: Eigenschaften von Signalen IO Ü 1-1 Aufgabe 1 In den Gleichungen (3) und (5) sind die Näherungen für die Eigenfrequenzen der Längsbewegung angegeben. 1.5 S uu (ω) ω in s 1 Abbildung 1.1: Leistungsdichte des Eingangssignals a) Bestimmen Sie für den Reiseflug mit v 0 = 264 m/s näherungsweise die Eigenfrequenz der Phygoiden. b) Begründen Sie anhand der Beziehung zwischen Eingangsautoleistungsdichte, Ausgangsautoleistungsdichte und der Übertragungsfunktion, warum ein Signal mit der in Abbildung 1.1 gezeigten Autoleistungsdichte nicht zur Identifikation der Übertragungsfunktionen der Anstellwinkelschwingung geeignet ist. Kann die Phygoide mit einem solchen Signal identifiziert werden? Hinweis: Für die Phygoide und für die Anstellwinkelschwingung kann ein PT 2 -Verhalten angenommen werden.

6 Übung 1: Eigenschaften von Signalen IO Ü 1-2 Aufgabe 2 Für die Identifikation der Übertragungsfunktion G qη (s) soll nun ein geeignetes Pseudo- Rausch-Binärsignal (PRBS) entworfen werden, welches mit minimalem Aufwand folgende Anforderungen erfüllt: ω g 1 s 1. Für die Auflösung im Frequenzbereich gilt ω n 0,2 s 1. a) Bestimmen Sie die Parameter N und λ des PRBS und skizzieren Sie für die Amplitude a = 1 die Autokorrelationsfunktion (AKF). Wie viele Stufen besitzt das Schieberegister, mit dem das Rauschen erzeugt wird? b) Für große N geht das PRBS näherungsweise in weißes Rauschen über. Geben Sie die Autokorrelationsfunktion des weißen Rauschens an und bestimmen Sie daraus das Leistungsdichtespektrum (LDS). Skizzieren Sie die AKF und das LDS des weißen Rauschens. c) In praktischen Anwendungen werden Störungen häufig durch farbiges Rauschen modelliert. Ein solches Signal kann durch Tiefpassfilterung von weißem Rauschen erzeugt werden. Gegeben sei folgende AKF: r xx (τ) = σ2 τ 2 T e T. (1.1) Skizzieren Sie diese AKF und bestimmen Sie den Frequenzgang G(jω) des Tiefpasses, mit dem dieses farbige Rauschen aus weißem Rauschen erzeugt wurde. Hinweis: e a t 2a a 2 + ω 2.

7 Übung 1: Eigenschaften von Signalen IO Ü 1-3 Aufgabe 3 Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) wird durch die folgende Formel beschrieben: X(n) = N 1 k=0 k n j 2π x(k)e N. a) Wie groß ist die Auflösung im Frequenzbereich, also der Abstand zwischen den diskreten Frequenzen? b) Zeigen Sie, dass durch x(k) = 1 N N 1 n=0 X(n)e j 2π k n N die Rücktransformation der DFT durchgeführt werden kann. Hinweis: Für eine endliche geometrische Reihen gilt der Zusammenhang N 1 n=0 q n = qn 1 q 1, q 1. c) Ist eine Rücktransformation bei einer DFT möglich, wenn das Abtasttheorem nach Shannon nicht erfüllt ist?

8 Übung 2: LS-Schätzung statischer Prozesse IO Ü 2-1 Aufgabe 1 Die Messung der Nickgeschwindigkeit q eines Flugzeugs geschieht mit Hilfe von Kreiseln [3. Das Ausgangssignal eines solchen Sensors ist eine Spannung, die durch Störungen beeinflusst wird und proportional zu der Nickgeschwindigkeit ist (u q). Im Folgenden soll nun die Kennlinie eines solchen Kreisels aus Messdaten bestimmt werden: q / (rad s 1 ) 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 u / (mv) 2,6 3,4 4,2 6,8 6,4 13,8 a) Stellen Sie die Messgleichung auf. b) Bestimmen Sie die Steigung der Kennlinie durch LS-Schätzung in Blockverarbeitung. c) Führen Sie die ersten beiden Schritte der rekursiven Schätzung durch. Wie sind die Startwerte zu wählen? d) Wie lässt sich das Ergebnis unter Verwendung der stochastischen Eigenschaften der Störung beurteilen? Welche Eigenschaften muss die Störung besitzen um eine erwartungstreue (biasfreie) Schätzung zu erhalten? e) Bestimmen Sie die Steigung der Kennlinie durch rekursive LS-Regressionsrechnung. Dabei sollen zwei unterschiedliche Verfahren zur Bestimmung der Varianz des Messrauschens untersucht werden: (1) Die Varianz wird aus dem mit Blockverarbeitung nach Aufgabenteil b) erhaltenen Schätzwert bestimmt. (2) Die Varianz wird in jedem Rechenschritt rekursiv bestimmt.

9 Übung 2: LS-Schätzung statischer Prozesse IO Ü 2-2 Aufgabe 2 (Zusatzaufgabe) Die Anfangsgeschwindigkeit v 0 = v(x(t = 0)) und der Luftwiderstandskoeffizient α eines Golfballs soll aus gemessenen, verrauschten Geschwindigkeitsdaten an festen Ortskoordinaten geschätzt werden. v( x( t)) x 0 x 0.5 x 1 x 1.5 x 2 Die zeitabhängige Ortskoordinate kann durch die Gleichung angegeben werden. x(t) = v 0 α (1 e αt ) (2.1) a) Bestimmen Sie aus Gleichung (2.1) die Geschwindigkeit v(t) des Golfballs. Geben Sie die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Ortskoordinate x(t) und den zu schätzenden Parametern v 0 und α explizit an. Stellen Sie die Messgleichung y(k) = u T a + ε(k) mit dem Messfehler ε(k) für dieses Problem auf. b) In der folgenden Tabelle sind die gemessenen Geschwindigkeiten v(t) an den bekannten Ortskoordinaten x(t) angegeben: x(t) 0,5 1 1,5 2 v(t) 75, ,87 74,92 Schätzen Sie anhand der in der Tabelle angegebenen Daten die Anfangsgeschwindigkeit v 0 und den Luftwiderstandskoeffizienten α des Golfballs. Führen Sie eine Schätzung mit der Methode der kleinsten Quadrate in Blockverarbeitung durch. x

10 Übung 3: LS-Schätzung für dynamische Prozesse IO Ü 3-1 Aufgabe 1 Im Folgenden sollen nun die Parameter der Übertragungsfunktion zwischen Höhenruderwinkel η und Nickgeschwindigkeit q des A 300 G qη (s) = M η s + (Z η M α Z α M η ) s 2 (M q + Z α ) s + (Z α M q M α ) geschätzt werden. Dazu regt der Pilot die Längsbewegung über das Höhenruder mit der in Abbildung 3.1 gezeigten Pulsfolge (siehe dazu [2) an. Einen Auszug aus den Messdaten (k = , T A = 0,1 s) zeigt die folgende Tabelle: η(k) 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035 q(k) 0-0,0126-0,0239-0,0337-0,0419-0,0483 η in Grad t in Sekunden Abbildung 3.1: Höhenruderwinkel η a) Bestimmen Sie ein zeitdiskretes Prozessmodell. Verwenden Sie dazu die Euler- Approximation s = z 1 T A. b) Stellen Sie die Messgleichung zur Identifikation in Blockverarbeitung auf. c) Warum kann mit diesem Datensatz keine Schätzung durchgeführt werden?

11 Übung 3: LS-Schätzung für dynamische Prozesse IO Ü 3-2 Aufgabe 2 Nun soll die Phygoide identifiziert werden. Dazu wird die Übertragungsfunktion G FS η(s) diskretisiert und man erhält das zeitdiskrete Prozessmodell Y (z) = b 1F S z 1 + b 2FS z a 1 z 1 + a 2 z F S(z) + b 1η z 1 + b 2η z 2 η(z) a 1 z 1 + a 2 z 2 a) Stellen Sie die Messgleichung zur Identifikation in Blockverarbeitung auf. b) Wie müssen die Anregungssignale F S und η gewählt werden, damit das System identifiziert werden kann?

12 Übung 4: LS-Schätzung für dynamische Prozesse IO Ü 4-1 Die Übertragungsfunktion G qη (s) des A 300 nach Übung 3 soll nun mit Hilfe des Verallgemeinerten LS-Verfahrens und der Methode der Hilfsvariablen konsistent geschätzt werden. Folgende Meßwerte wurden für den Höhenruderwinkel η(k) und für die Nickgeschwindigkeit q(k) zu den Zeitpunkten k T A, (k = , T A = 0,1 s) aufgenommen: η(k) 0 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035 q(k) 0,028-0,0046-0,0149-0,02-0,0357-0,04-0,0495 Mit den angegebenen Messwerten sollen die Parameter des zeitdiskreten Modells geschätzt werden. q(z 1 ) η(z 1 ) = B(z 1 ) A(z 1 ) = b 1 z 1 + b 2 z a 1 z 1 + a 2 z 2 Aufgabe 1: Verallgemeinerte LS-Schätzung a) Geben Sie das Strukturbild der Verallgemeinerten LS-Schätzung an. b) Stellen Sie die Messgleichung auf und berechnen Sie einen Schätzwert für die Parameter des zeitdiskreten Modells mit Hilfe des LS-Verfahrens. c) Bestimmen Sie die Parameter des Formfilters F (z 1 ). Wählen Sie die Filterordnung n F = 1. d) Bestimmen Sie die gefilterten Signale q(k) und η(k) und geben Sie die Messgleichung zur Bestimmung eines verbesserten Schätzwertes an. Aufgabe 2: Methode der Hilfsvariablen a) Stellen Sie die Messgleichung auf und berechnen Sie einen Schätzwert für die Parameter des zeitdiskreten Modells mit Hilfe des LS-Verfahrens. b) Berechnen Sie mit den Parametern â ils und ˆb ils die Ausgangsgrößen ˆq(k) des Hilfsmodells. Es gelte ˆq(0) = 0, ˆq(1) = 0. Die Übertragungsfunktion des Tiefpasses sei G TP (z 1 ) = 1. c) Berechnen Sie mit der Methode der Hilfsvariablen die Parameter des zeitdiskreten Modells. Geben Sie die Matrix W explizit mit Zahlenwerten an.

13 Übung 5: Euler-Lagrange- und Hamilton-Verfahren IO Ü 5-1 Aufgabe 1 Die Flughöhe eines Flugzeugs wird näherungsweise gemäß (1) durch folgende Gleichung bestimmt: ḣ = v 0 ( α + ϑ) = v 0 γ Zum Zeitpunkt t 0 = 0 weiche der A 300 um h 0 von der vorgeschriebenen Reiseflughöhe (der Ruhelage) ab. a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Euler-Lagrange-Verfahrens die Trajektorie für den Bahnneigungswinkel γ (t), die das Flugzeug optimal im Sinne des Gütemaßes in die Ruhelage h = 0 überführt. J = 0 (q 1 h 2 + r 1 γ 2 ) dt b) Wie lautet das optimale Regelungsgesetz γ (h )? c) Zeichnen Sie den geschlossenen Regelkreis und bestimmen Sie seine Übertragungsfunktion und deren Pol. d) Bestimmen Sie die optimale Trajektorie γ (t) und das Regelungsgesetz γ (h ) mit Hilfe des Hamilton-Verfahrens. e) Aus technischen Gründen muss die Regelung für h 0 < h max folgende Randbedingungen einhalten: γ < γ max und t 95% < T max. Skizzieren Sie in der q 1 -r 1 -Ebene den Bereich für q 1 und r 1, in dem diese Anforderungen erfüllt werden.

14 Übung 6: Riccati-Regler IO Ü 6-1 Aufgabe 1 Zur Dämpfung der Phygoiden soll nun ein Riccati-Regler entworfen werden. Dazu wird von folgendem reduzierten Modell 2. Ordnung (vgl. (4)) ausgegangen: ẋ = [ 0,0173 9,807 0, x + [ 4,2753 0,7326 η. Das Verhalten des geschlossenen Regelkreises soll bezüglich des Gütemaßes optimal sein. J = (x x η 2 ) dt a) Geben Sie die Gleichung zur Bestimmung der Matrix P in Matrizenform zahlenmäßig an. Welche Eigenschaften hat die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung? b) Zeigen Sie allgemein, dass die Eigenwerte mit negativem Realteil der sogenannten Hamiltonmatrix A B R 1 B T A H = Q A T Eigenwerte des mit dem zeitinvarianten Riccati-Regler geregelten Systems sind. Hinweise: Transformieren Sie die Hamiltonmatrix mit Hilfe der Ähnlichkeitstransformation T 1 A H T mit T = [ I 0 P I. Die Determinante einer oberen Blockdreiecksmatrix entspricht dem Produkt der Determinanten der Blockmatrizen auf der Hauptdiagonalen. c) Durch numerische Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung wurde folgendes Ergebnis bestimmt: P = Bestimmen Sie die Reglermatrix K. [ 1,4088 9,5945 9, ,7621.

15 Übung 6: Riccati-Regler IO Ü 6-2 Zeigen Sie, dass das mit dem Regelgesetz η = kk x geregelte System für beliebige k = 0,5... stabil ist. d) Das Entwurfsverfahren für den Riccati-Regler ermöglicht zunächst keinen direkten Einfluss auf die Pole des geregelten Systems. Durch eine Veränderung des Gütemaßes lässt sich jedoch sicherstellen, dass der Realteil der Pole des geregelten Systems kleiner als ein fester Wert ist. Bestimmen Sie allgemein das Regelgesetz mit dem dieses Ziel durch das Gütemaß Ĵ = e 2αt ( x T Q x + u T R u ) dt mit α > 0 erreicht werden kann und zeigen Sie, dass für die Eigenwerte λ i des geregelten Systems Re{λ i } < α gilt.

16 Übung 7: LQ-Folgeregler IO Ü 7-1 Aufgabe 1 Zur Führung des Flugzeugs entlang einer vorgebenen Flugbahn soll nun auf der Grundlage des Modells q q 3,61 ϑ = ϑ + 0 η h h 0 ein bezüglich J = 1 2 optimaler Folgeregler entworfen werden. 0 (q 2 + ϑ 2 + h η 2 )dt (7.1) a) Bestimmen Sie die Solltrajektorien q soll (t), ϑ soll (t) und η soll (t) in Abhängigkeit von h soll (t) und dessen zeitlichen Ableitungen so, dass der Standard-Riccati-Regler eingesetzt werden kann. b) Bestimmen Sie die Solltrajektorien für ( ) h soll (t) = e 10 t 2 e 20 t. c) Geben Sie die Gleichung zur Bestimmung der Matrix P zahlenmäßig an. d) Durch numerische Lösung der algebraischen Matrix-Riccati-Gleichung wurde folgendes Ergebnis erzielt: 409, P = ,91 55,46. 8,76 55,46 0,65 Bestimmen Sie damit die Reglermatrix K. e) Im Folgenden wird nun für die Längsneigung ϑ folgende Solltrajektorie vorgegeben: ϑ soll,1 (t) = ϑ ( ) e 10 t + e 20 t. 264 Für die übrigen Solltrajektorien gelten die unter b) berechneten Vorgaben. Bestimmen Sie den bezüglich des Gütemaßes (7.1) optimalen Folgeregler für diese Solltrajektorien.

17 Literaturverzeichnis IO Ü I - 1 [1 R. Brockhaus. Flugregelung. Springer-Verlag. [2 V. Krebs. Mitlaufende Identifikation der Flugzeuglängsbewegung für den Aufbau eines digitalen adaptiven Stabilisierungssystems. Regelungstechnik, 11: , [3 M. Shmuel. Aerospace Sensor Systems and Applications. Springer-Verlag, New York, 1996.