7 Der Bernstein-Operator und die Sätze von Weierstraß

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1 7 Der Berstei-Operator ud die Sätze vo Weierstraß ud Korovi 6 Wir betrachte u pratisch relevate Methode der Approximatio durch Polyome. Hier steht icht mehr die Bestapproximatio im Vordergrud. Stattdesse werde lieare Approximatios-Verfahre mit zusätzliche Eigeschafte (z.b. Erhaltug vo Mootoie) verwedet, die z.b. i der grafische Dateverarbeitug eie wichtige Rolle spiele. 7.1 Defiitio. a) Für 1 ud 0 heißt p, (x) : Berstei-Grudpolyom vom Grad. ( ) x (1 x), x R, Zusätzlich defiiere wir p 0,0 1 sowie p, 0 für > oder < 0. b) Für 1 heißt der lieare Operator B : C[0,1] P mit ist gegebe durch ( ) B f : B (f) : f p,. Berstei-Operator vom Grad N. 7. Eigeschafte. Die Berstei-Grudpolyome besitze die folgede Eigeschafte: a) Die Mege {p, : 0 } bildet für N 0 eie Basis vo P, de es gilt p,0. T e 0. p, e mit de Moome e ud der reguläre obere Dreiecsmatrix T (t j ) i,j0,...,, ( )( ) ( )( ) j t j ( 1) j ( 1) j, j. j j j b) Für alle x [0,1] ist p, 0, für x (0,1) sogar p, (x) > 0, ud es gilt p, (x) 1. (TeilugderEis) 6 Sergei Nataowitsch Berstei, russischer Mathematier ; Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, deutscher Mathematier ; Pavel Korovi, russischer Mathematier,

2 c) Edpute: Es gilt p, (0) δ 0,, p, (1) δ,. d) Symmetrie: Es gilt p, (x) p, (1 x). e) Reursio: Es gilt p, (x) (1 x)p 1, (x)+xp 1, 1 (x). f) Reursio der Ableitug: Es gilt p, (x) (p 1, 1 p 1, ). Das Polyom p, immt auf dem Itervall [0,1] sei globales Maximum a der Stelle a, ist mooto wachsed i [0, ] ud mooto falled i [,1]. 7.3 de Casteljau-Algorithmus. Die Reursio 7.(e) wird zur Auswertug eies Polyoms p b p, a der Stelle t R verwedet. Für 1 ist p(t) b p, (t) b ((1 t)p 1, (t)+tp 1, 1 (t)) 1 1 b (1) (t)p 1,(t)... b () 0 (t) mit de reursiv defiierte Koeffiziete b (m) ((1 t)b +tb +1 ) }{{} b (1) (t) p 1,(t) (t) (1 t)b (m 1) (t)+tb (m 1) +1 (t), b (0) (t) b. (7.1) Diese Algorithmus versteht ma am beste i der Versio für parametrische Kurve, wobei b R Vetore sid, die sog. Kotrollpute der Kurve p : [0,1] R. Für t [0,1] defiiert die Reursio (7.1) de Put b (m) (t) auf der Verbidugsstrece der Pute b (m 1) (t) ud b (m 1) +1 (t). Dies ist im Fall 3 dargestellt i Abbildug 7.1. Schließlich ist p(t) b () 0 (t) der zu bestimmede Put der Kurve. (Weitere Eigeschaft: die Tagete i diesem Put ist p (t) (b ( 1) 1 (t) b ( 1) 0 (t)).) Dieser Algorithmus ist umerisch extrem stabil, da ur Kovex-Kombiatioe vo Pute gebildet werde. Damit ist bereits bewiese, dass die Pute p(t) der Kurve i der ovexe Hülle der Kotrollpute b liege. 110

3 3 de Casteljau algorithm for cubic Bezier curve, t0.5 3 de Casteljau algorithm for cubic Bezier curve, t1/3.5.5 b 1 b b 1 b b 0 0 b b 3 1 b Abbildug 7.1: de Casteljau-Algorithmus für eie ubische Kurve; Auswertug bei t 1/ (lis) ud t 1/3 (rechts) Als Vorbereitug zu de Approximatiosaussage beweise wir och folgede Eigeschaft. 7.4 Lemma. Für N, j Z setze wir ( j) 0, falls j < 0 oder j >. Für,m N ist da Beweis. Es gilt ( ) p, (x) m ( ) p, (x) m ( ) x m. m ( )( ) x (1 x) m m}{{} ( m)( m m) ( ) ( ) m x m x m (1 x) ( m) ( m) m m m ( m ( ) m )x m x (1 x) m m ( ) x m (x+(1 x)) m. m }{{} Eigeschafte. Der Berstei-Operator B : C[0,1] P hat die folgede Eigeschafte: a) B ist liear, seie Operatororm ist B op sup{ B f,[0,1] : f C[0,1], f 1} 1. De mit de Eigeschafte der p, folgt für x [0,1] ( B f(x) ) f p, (x) 1. }{{} 1 111

4 b) Edputiterpolatio: Es gilt B f(0) f(0) (wege p, (0) δ,0 ), B f(1) f(1) (wege p, (1) δ, ). c) Reprodutio liearer Polyome: Es gilt B e 0 (x) p, (x) 1, B e 1 (x) p,(x) x, also B p p für alle p P 1. (Nachweis mit Lemma 7.4) Für e (x) x erhalte wir mit Lemma 7.4 außerdem d) Positivität: B e (x) x + x(1 x). (7.) Für f 0 (das heißt f(x) 0 für alle x [0,1]) ist B f 0 auf [0,1]. Dies ist (wege der Liearität vo B ) gleichbedeuted mit Aus g f folgt B g B f auf [0,1]. e) Ableituge ud Gestalt-Erhaltug: Es gilt 1 ( ( ) ( )) +1 (B f) (x) f f }{{} 1 f( ) p 1, (x), ud für höhere Ableituge 1 l dl dx l(b f)(x) mit de Differeze l-ter Ordug Isbesodere:! l ( l)! l h f(y) h( l 1 h f)(y) l j0 l 1f ( ) p l, (x) ( ) l ( 1) l j f(y +jh). j Falls f mooto wächst (oder fällt), so ist auch B f mooto wachsed (bzw. falled). Falls f ovex (oder oav) ist, so ist auch B f ovex (bzw. oav). 11

5 Für die Aussage zur Approximatio auf C[0, 1] verwede wir die Momete des Berstei- Operators. Diese werde da gaz ählich wie i de Ergebisse zum Fejer- ud Jacso-Ker eigesetzt. 7.6 Lemma (Momete des Berstei-Operators). Für N, s N 0 ud x [0,1] sei T,s (x) B [( x) s ](x) ( ) s x p,(x). a) Es gilt T,0 (x) 1, T,1 (x) 0, T, (x) x(1 x) 1 4, T,3 (x) x(1 x)(1 x), T,3 (x) T,4 (x) (x(1 x)) ( 3 6 ) + x(1 x) , 1, 1, 1 3 1,, ud allgemei: für s N 0 existiere A s,b s > 0 so, dass für alle x [0,1] ud alle N gilt 0 T,s (x) A s s, b) Für festes x [0,1] ud δ > 0 sei { I x (δ) : : 0, 0 T,s+1(x) B s s+1. x } δ. Da gilt mit A s wie obe I x(δ) p, (x) A s s δ s. Beweis. Die Darstellug vo T,1 ud T, folgt aus Lemma 7.4. Für s N zeigt ma zuerst die Reursio durch diretes Nachreche vo T,s+1 (x) x(1 x) (T,s (x)+st,s 1(x)) T,s(x)+sT,s 1 (x) ( ) s x p,(x) ud x(1 x)p, (x) [ (1 x) p, (x) ( )x ] ( ) p, (x) x. 113

6 Aus der Reursio folgt per Idutio, dass T,s ei Polyom vom Grad s ist, geauer s T,s (x) a,s,j (x(1 x)) j, j0 s T,s+1 (x) (1 x) b,s,j (x(1 x)) j. j0 Die Koeffiziete im Idutiosafag s 0 laute a,0,0 1 ud b,0,0 0. Die weitere Koeffiziete ergebe sich aus der Reursio sowie aus de Formel [x(1 x)] 1 x, (1 x) 1 4x(1 x). Wir erhalte a,s+1,0 b,s+1,0 0 ud für 1 j s+1 a,s+1,j 1 (jb,s,j (4j +)b,s,j 1 +(s+1)a,s,j 1 ), b,s+1,j 1 (ja,s+1,j +(s+)b,s,j 1 ). Isgesamt ergibt dies mit a,0,0 1 ud b,0,0 0 die Abahmerate a,s,j A s s, b,s,j B s s+1, mitgeeigetekostatea s,b s > 0.DieSchraefürT s (x) udt s+1 (x)folgedurchmultipliatio mit s j0 (x(1 x))j s j0 4 j 4/3. Die Aussage b) folgt diret aus a), de I x(δ) p, (x) I x(δ) (( ) x)s δ s p, (x) 1 δ s ( ) s x p,(x). Wir verwede de Berstei-Operator B auf dem Raum C[0,1] ählich wie die Faltug mit dem Fejer-Ker auf dem Raum C [0,1], um die Dichtheit der Polyome zu beweise. Dies liefert de Approximatiossatz vo Weierstraß mit dem Beweis vo S. N. Berstei aus dem Jahr Satz (Approximatiossatz vo Weierstraß 1885). Die Polyome liege dicht i C([a, b]), das heißt für jedes f C([a,b]) ud ε > 0 existiert ei Polyom p mit f p < ε. Beweis. Gegebe sei f C([a,b]) ud ε > 0. O.B.d.A. sei [a,b] [0,1] (sost: affie Trasformatio x a+t(b a)). Schritt 1. Weil [0,1] ompat ist, ist f auf [0,1] gleichmäßig stetig. Wähle δ > 0 mit f(x) f(y) < ε für alle x,y [0,1], x y < δ. 114

7 Schritt. Sei N ud x [0,1]. Mit der Idexmege I x (δ) aus Lemma 7.6(b) ist ( ) f(x) B f(x) f(x) f p, (x) ( ( )) f(x) f p, (x) (Teilug der Eis) ( f(x) f p, (x)+ ) ( f(x) f p, (x) ) I x(δ) }{{} I x(δ) }{{} < ε, da x f <δ ε p, (x)+ f p, (x) I x(δ) I x(δ) ε + f 1 δ. (Lemma 7.6 b) 1 Für N mit f < ε folgt da f(x) B δ f(x) < ε. Im ächste Schritt wolle wir quatitative Aussage herleite, die die Kovergezgeschwidigeit i Abhägigeit des Polyomgrads agebe. Als Maß diet hier wieder der Stetigeitsmodul. 7.8 Satz (Popoviciu ). Für f C([0,1]) ud N gilt f B f 5 ) (f, 4 ω 1. Beweis. Wie im Beweis zu Satz 7.7 erhalte wir für x [0,1] ud beliebiges δ > 0 ( f(x) B f(x) ) f(x) f p, (x) ( f(x) f p, (x)+ ) ( f(x) f p, (x). ) I x(δ) }{{} I x(δ) ω(f,δ) Für I x (δ) verwede λ : x 1 sowie λ δ 1+λ 1+λ. Da folgt ( ) f(x) f ω(f,λ δ) ( 1+λ ) ω(f,δ). Damit ist ( f(x) B f(x) ω(f,δ) p, (x) + Mit der Wahl δ 1 folgt die Behauptug. }{{} 1 ( 1+ 1 ) ω(f,δ). 4δ 7 Tiberiu Popoviciu, rumäischer Mathematier, I x(δ) ) λ p, (x) }{{} δ T, (x) 1 4δ 115

8 7.9 Bemerug. a) Die Abschätzug i 7.8 a hisichtlich der Ordug 1 im Stetigeitsmodul icht verbessert werde. Beispiel: f C[0,1], f(x) x 1/ hat de Stetigeitsmodul ω(f,δ) δ für beliebiges δ < 1/, ud speziell bei x 1/ ist ( ) 1 f(1/) B f(1/) B f(1/) b) Die bestmögliche Kostate C > 0 i der uiverselle Fehlerabschätzug ( ) 1 f B f C ω f, für alle f C[0,1] wurde vo P. C. Siema i Numerische Math. 3 (1961), S , gefude; es ist C opt sup sup f C[0,1]\P 1 N f B f ω(f,1/ ) Iteressaterweise wird diese Kostate für de Grad 6 erzielt, das heißt C opt f B 6 f sup f C[0,1]\P 1 ω(f,1/ 6). Der Beweis verwedet ähliche Methode wie i Satz 7.8; dabei wird eie sehr geaue Abschätzug der Summe i f(x) B f(x) ω(f,δ) 1+δ 1 vorgeomme. I x(δ) x / p, (x) c) Für f C 1 ([0,1]) a ma durch Awedug des Mittelwertsatzes ud der Reursiosformel der Ableitug sogar f B f 3 ( ) 4 ω f 1,. zeige. Falls also f Lipschitzstetig ist, folgt daraus das ist die Kovergezrate O( 1 ). f B f 3L 4, Beweis (s. Loretz, Berstei polyomials, 1953, S. 1): i der Summatio vo f(x) B f(x) wie im Beweis vo Satz 7.8 ist ( ) f(x) f ( x ) ( f (ξ ) x ) ( f (x)+ x ) (f (ξ ) f (x)) 116

9 mit eiem ξ zwische x ud /. Durch Summatio über fällt der erste Term der rechte Seite weg (Lemma 7.6), für de zweite Term ergibt ξ x / x λ f(x) B f(x) ω(f,δ) x (1+λ )p, (x) ( ω(f,δ) x p,(x)+ 1 ) δ x p, (x). Die letzte Summe hat die obere Schrae 1 4, die erste Summe wird mit der Cauchy-Schwarz- Ugleichug abgeschätzt durch ( x ) p,(x) x 1/ ( ) 1/ p, (x) p, (x) 1. 4 Mit δ 1/ folgt die gewüschte Abschätzug. d) DieJacso-Sätze zeige, dassdie bestmögliche Approximatio durchp de Fehler δ δ E (f) if f p cω ( ) f, 1 p P besitzt. Deshalb sid die Berstei-Operatore icht optimal. Die Aussage i 7.9 c) legt es ahe, zu utersuche, für welche Futioe die Ordug f B f O( 1 ) übertroffe werde a. Dass dies ur für lieare Polyome f P 1 passiert, für die ja sogar f B f 0 gilt, et ma Saturatio Satz (Voroovsaya 193). Die Futio f : [0,1] R sei beschrät ud besitze a eier Stelle x [0,1] die erste ud zweite Ableitug. Da gilt lim (f(x) B f(x)) x(1 x) f (x). Beweis. Die Tayloretwiclug vo f um x ergibt f(y) f(x)+(y x)f (x)+(y x) ( f (x) ) +γ(y), ud das Restglied γ ist eie beschräte Futio mit lim y x γ(y) 0. Also ergibt sich durch Eisetze vo y B f(x) ( ) f p, (x) f(x)p, (x)+ + ( ) x f (x) f(x)+0+ f (x) ( ) x x(1 x) p, (x)+ 117 f (x)p, (x) +r (x). ( ) ( ) x γ p, (x)

10 Hierbei ist r (x) B (( x) γ)(x) B (( x) γ )(x). Zu zeige bleibt lim r (x) 0. Wir verwede die Loalisierugstechi wie i 7.8, hier aber mit dem 4. Momet T,4 : Zu beliebigem ε > 0 wähle δ > 0 mit γ(y) < ε für y x < δ wähle 0 N mit A γ δ 4 0 < ε mit A aus Lemma 7.6. Da folgt mit I x (δ) i Lemma 7.6 für alle 0 sowie I x(δ) I x(δ) ( ) ( x) x γ p, (x) < ε }{{} <ε ( ) x p,(x) ε 4 ( ) ( x) x γ p, (x) γ p, (x) 7.6 A γ δ }{{} 4 < ε. I x(δ) γ Also ist r (x) < 5 4 ε für alle Bemerug. Satz 7.10 besagt: falls a der Stelle x [0,1] die zweite Ableitug vo f ugleich 0 ist, so existiert eie Kostate c > 0 ud 0 N, so dass f(x) B f(x) c für alle 0 gilt. Die Kovergezrate O( 1 ) a also ur a Nullstelle vo f überschritte werde! 7.1 Berstei-Operatore auf C([a, b]). Mit der Koordiatetrasformatio [0,1] x t a+x(b a) [a,b] erhalte wir die Kote t a+ (b a) ud defiiere B [a,b] : C([a,b]) P, B [a,b] f(t) ( ) t a f(t )p,. (7.3) b a Damit wird der Berstei-Operator auch für Futioe i C[a, b] defiiert. Zusammefassug: B : C([0,1]) P ist ei liearer Operator. Es gelte 118

11 1. die Fehlerabschätzuge f B f 5 ) (f, 4 ω 1, ud für f C 1 ([0,1]) mit Lipschitz-stetiger Ableitug f sogar. die Saturatios-Aussage f B f O ( 1 ). lim (f(x) B (f;x)) f (x) x(1 x). Zum Abschluss des Kapitels wird die Positivität der Berstei-Operatore B och eimal i de Vordergrud gestellt. Die Approximatiosaussage i Satz 7.7 wird ereut bewiese, idem ur die Approximatio der erste Moome e 0, e 1 ud e beutzt wird Defiitio (Positive lieare Operatore). Ei liearer Operator K : C[a, b] C[a, b] heißt positiv, falls Kf 0 für alle f C[a,b] mit f 0 gilt. Dabei bedeutet f 0, dass f(x) 0 für alle x [a,b] erfüllt ist. Ma et K auch mooto, weil mit der Liearität gilt. Kf Kg für alle f,g C[a,b] mit f g 7.14 Satz (Satz vo P. P. Korovi, 1953). Es sei (K ) N eie Folge positiver liearer Operatore K : C[a,b] C[a,b]. Falls lim e j K e j 0 für die drei Moome e 0,e 1,e gilt, so folgt lim f K f 0 für alle f C[a,b]. Beweis. Schritt 1. Zu ε > 0 wähle wir δ > 0 mit f(x) f(y) < ε für x y < δ (gleichmäßige Stetigeit vo f). Da gilt die globale Abschätzug (auch für großes x y ) ( ) x y f(x) f(y) ε+ f. δ 119

12 Für beliebige x,y [a,b] ist also ) ( ( x y x y f(y) ε f f(x) f(y)+ε+ f. δ δ }{{}}{{} p y(x) P q y(x) P Schritt. Die Koeffiziete der Polyome p y (x) a y +b y x+c y x laute a y f(y) ε f y δ, b y 4 f y, c δ y f. δ Sie sid gleichmäßig (für alle y C[a,b]) beschrät, de mit r max{ a, b } ist sup y [a,b] Mit der Dreiecsugleichug folgt a y f +ε+ f r, etc. p y K p y sup a y e 0 K e 0 + sup b y e 1 K e 1 + sup c y e K e, y [a,b] y [a,b] y [a,b] also existiert 0 N mit p y K p y < ε für alle 0, y [a,b]. Die gleiche Beziehug folgt für die quadratische Polyome q y. δ ) Schritt 3. Für beliebiges y [a,b] ergibt p y f q y sowie die Mootoie vo K K p y K f K q y für alle N. Verwedug der Abschätzuge im. Schritt ergibt hieraus p y ε K f q y +ε für alle 0. Damit erfüllt die Differez f K f die Abschätzuge p y q y ε f K f q y p y +ε für alle 0. WertewirdiesaderStellexausudsetzey x,soerhaltewirwegeq x (x) p x (x) ε 3ε f(x) K f(x) 3ε für alle 0, also isgesamt f K f 3ε für alle 0. 10

13 Der Satz vo Korovi reduziert also die Überprüfug der gleichmäßige Kovergez der FolgeK f gegef aufdiedrei Testfutioe e 0,e 1 ude.fürdeberstei-operator habe wir bereits i 7.5 die Beziehuge B e 0 e 0, B e 1 e 1, B e (x) e (x)+ x(1 x) festgestellt. Der allgemeie Satz vo Korovi liefert also ereut eie Beweis des Approximatiossatzes vo Weierstraß. Es lasse sich auch quatitative Aussage zur Approximatiosgüte vo K f herleite, worauf wir hier aber verzichte. Weitere positive Operatore werde im Zusammehag mit de Berstei-Grudpolyome defiiert. Hierzu gehöre der Berstei-Durrmeyer Operator M f (+1) f,p, p,, 1 wobei f,p, f(x)p 0,(x)dx ist (s. Übug), oder der Berstei-Katorovich Operator ) K f (+1) (ˆ f(x)dx Solche Operatore sid als Alterative zum Berstei-Operator ausführlich utersucht worde. p,. 11