Wahrscheinlichkeitsrechnung. Teil 2. Einführung in die Grundbegriffe. Mehrstufige Ereignisse Baumdiagramme. Datei Nr Stand 2.

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Alexa Tiedeman
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1 Wahcheinlichkeitechnung Teil Einfühung in die Gundbegiffe Mehtufige Eeignie Baumdiagamme Datei N. 0 Stand. Mäz 009 Fiedich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Inhalt Teil befindet ich in de Datei 0 Mehtufige Expeimente. Einfühung Benoulli-Expeiment Hängende Baumdiagamm Liegende Baumdiagamm. E gibt vechiedene Aten von Wahcheinlichkeiten Bedingte und totale Wahcheinlichkeiten Unenexpeimente 6. Modell: Ziehen mit Zuücklegen 6. Modell: Ziehen ohne Zuücklegen 7. Modell: Ziehen mit geändetem Zuücklegen 8 Katen ziehen 9 Ziehen mit Zuücklegen 9 Ziehen ohne Zuücklegen 0 Pfadegeln fü Baumdiagamme Die. Pfadegel (Multiplikationegel) Die. Pfadegel (Summenegel) Die Regel fü da Gegeneeigni Muteaufgaben zu Anwendung de Pfadegeln 6 Rechentick: Teilbäume, Sammelpfade und Abbuchbäume. Teilbäume. Meh übe Sammelpfade 8. Abbuchbäume die Solange bi-aufgabe 6 Aufgaben zu höchten und mindeten 8 Die Deimal-mindeten-Aufgabe 7 Einige Anwendungaufgaben 6

3 Hinweie zum Inhalt Die Behandlung mehtufige Expeimente kann chon in 6 beginnen, denn einfache Aufgaben efoden nu einfache Buchechnen, und die Baumdiagamme mit ihen Regeln ind leicht zu handhaben. Doch je komplexe die Aufgabentellungen weden, deto höhe ollte die Klaentufe ein. Im voliegenden Text it die volle Steigeung enthalten. Da püt man vo allem in., wo Solange-Bi-Aufgaben o chwieig weden können, da man ie nu noch in de Obetufe löen ollte, weil man dazu geometiche Reihen benötigt. Dieen Schwieigkeitpung habe ich hie nicht gemacht. Vielmeh wid diee Aufgabenfom im Sondeheit aufühlich behandelt. Im 6 kommt e in 6. zu Deimal-Mindeten-Aufgabe. Diee kann eigentlich nu mit dem Einatz von Logaithmen gelöt weden, welche et ab 0 zu Vefügung tehen düften. Gegebenenfall it dahe diee Abchnitt zu übepingen. Die kleine Aufgabenammlung am Ende ( 7) oll nu einen Vogechmack geben. Weitee Aufgaben entnehme man den Aufgabenammlungen (die im Moment unte den Nummen und zu finden ind). Sie weden demnächt dieem neuen Text angepat und deutlich egänzt Fiedich Buckel im Mäz 008

4 0 Wahcheinlichkeit. Einfühung Mehtufige Expeimente Man kann ein Zufallexpeiment mehfach nacheinande aufühen, Dann eweitet ich die Vielfalt de Eeignie enom. Dazu folgen einige Beipiele (zunächt noch ohne Rechnungen), damit man eine Votellung davon bekommt. Beipiel : Man wüfelt mal mit einem Wüfel. Dann kann man die Wahcheinlichkeiten olche Eeignie beechnen: A: Man hat deimal eine 6 gewüfelt B: Man hat ingeamt die Augenumme ehalten C: Die. Zahl wa eine D: Man hat da Egebni --6 gewüfelt. Beipiel : Man wüfelt einmal mit dei Wüfeln. Haben dann die Eeignie A bi D ai Beipiel dieelben Wahcheinlichkeiten? Beipiel : Kugeln ziehen In einem Topf ind 8 Kugeln, welche die Buchtaben A, B, L, A, L, M, Z, H tagen. Man entnimmt nun de Reihe nach Kugeln und legt ie nebeneinande auf den Tich. Mit welche Wahcheinlichkeit ehält man da Wot BALL bzw. da Wot ZAHL? Wie ändet ich die Wahcheinlichkeit, wenn man nach jedem Zug die Kugel wiede in da Gefäß zuücklegt? Beipiel : Kleidechao Man kann auch ganz untechiedliche Stufen hinteeinande chalten: In de Schublade befinden ich paa chwaze Socken, Paa weiße Socken und Paa ote Socken. In Schublade befinden ich Untehemden: weiße und gaue. Pete geift im Dunkeln in die ete Schublade und entnimmt ein Paa Socken, und dann in die zweite fü ein Untehemd. Jetzt können vechiedene Kombinationen enttehen, deen Wahcheinlichkeit ich beechnen laen. Fiedich Buckel

5 0 Wahcheinlichkeit Von goße Bedeutung ind diejenigen Zufallexpeimente, die genau zwei mögliche Egebnie haben. Etwa: Eine Münze wefen: Baketball wefen: Gewinnen ode velieen uw. Wappen ode Zahl Teffe ode Niete Definition: Ein Zufallexpeiment mit genau zwei möglichen Augängen heißt Benoulli-Expeiment. Füht man ein Benoulliexpeiment mehfach nacheinande au, und bleiben dabei die Wahcheinlichkeiten fü die Augänge unveändet, dann picht man von eine Benoulli-Kette. Beipielweie kann man eine Münze 0 mal nacheinande wefen. Da it dann eine 0-tufige Benoulli-Kette. Ode man ehält Feiwüfe im Baketball: Zweitufige Benoulli-Kette. Definition: Ändet ich die Wahcheinlichkeit fü einen Teffe bei de Wiedeholung eine Benoulli-Expeiment nicht und wiedeholt man da Expeiment n-mal, o heißt diee Wiedeholung eine n-tufige Benoulli-Kette und kann wie ein einzige Expeiment betachtet weden Folgende Expeiment it keine Benoullikette: In einem Katentapel ind 0 ote und 8 chwaze Katen. Man zieht mal nacheinande eine Kate, liegt ie abe nicht meh zuück. E it keine -tufige Benoulli-Kette, denn die Wahcheinlichkeit fü ot ode chwaz ändet ich mit jeden Zug, weil man duch jeden Zug den Inhalt de Stapel veändet. Wüde man eine gezogene Kate wiede zuücklegen, läge eine Benoulli-Kette vo. Die Benoulliketten weden unte dem Thema Binomialveteilung noch aufühlich behandelt. Sie laen ich gut beechnen. Meh dazu in 00. An diee Stelle gehe ich noch nicht daauf ein, weil die nötigen Gundlagen (Pfadegeln) dazu et noch folgen. Fiedich Buckel

6 0 Wahcheinlichkeit Gundatzfage: Welche Egebnie hat ein mehtufige Expeiment? Beipiel : Münze wefen Eine Münze zeigt nach jedem Wuf da Egebni W und Z (Wappen und Zahl).. Duch ein Baumdiagamm kann man Übeicht übe die Egebnie z. B. deie Wüfe vechaffen. So ieht ein hängende Baumdiagamm au: W Z. Stufe W Z W Z. Stufe W Z W Z W Z W Z. Stufe Man ekennt, da nach de. Stufe beeit Egebnie vohanden ind: { } Die Egebnimenge lautet bi dahin S = ( W W ),( W Z ),( Z W ),( Z Z) ode einfache o: S = { WW, WZ, ZW, ZZ} Wichtig it, da man beachtet, da die Reihenfolge von Bedeutung it. Da Egebni WZ it etwa andee al ZW, weil de ete Buchtabe da beim. Wuf ezielte Egebni it und de. Buchtabe zum. Wuf gehöt. Beim Deifachwuf liegen dann beeit 8 Egebnie vo uw. Fiedich Buckel

7 0 Wahcheinlichkeit Beipiel 6: Glückad dehen Ein Glückad enthält dei Felde mit Zahlen, und. E wid zweimal gedeht. Welche Eeignie gibt e jetzt? Diee zweitufige Benoulli-Expeiment telle ich duch ein liegende Baumdiagamm da. E hat = 9 Pfade und jede Pfad tellt ein Egebni da. Tipp zum Zeichnen eine olchen Baumdiagamm: Beginne tet echt außen mit den letzten 9 Egebnien. Dann zeichne die Linien dazu und füge die dei Egebnie ein uw. Nu o bekommt man ein aubee und gleichmäßige Baumdiagamm. Ich wede meiten liegende Diagamme vewenden, weil man ie bee bechiften kann, auch bee auf ein Blatt paen. E gibt auch mehtufige Expeimente, die keine Benoulli-Expeimente ind Beipiel 7: Rote und chwaze Katen In einem Katentapel befinden ich ote und chwaze Katen. Man entnimmt daau Katen de Reihe nach und legt ie in de Reihenfolge vo ich auf den Tich, wie man ie zieht. Becheibe alle Möglichkeiten duch ein Baumdiagamm. Da ich duch da Entnehmen de Katen de Betand laufend ändet, it die zweite Ziehung eine Kate ein andee Expeiment al die ete Ziehung. Jetzt ind nu noch Katen vohanden. Im nachfolgenden Baumdiagamm habe ich vo jede Ziehung den Inhalt de Stapel angechieben. Ich mache die mit einem Zahlenpaa. ( ) Damit kann man dann chnell die Wahcheinlichkeiten fü die nächten Ziehungegebnie beechnen. Übigen kommt jetzt die Situation vo, da nach dem. Zug beeit beide ote Katen gezogen ind, o da man im. Zug keine ote Kate meh ziehen kann. Fiedich Buckel

8 0 Wahcheinlichkeit ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 Ekläung de Baumdiagamm Ganz link ekennen wi den Inhalt de Stapel: ote und chwaze, alo zuammen Katen. g Dahe zieht man mit de Wahcheinlichkeit p = = eine ote Kate m und mit p = eine chwaze Kate. *) Diee Wahcheinlichkeiten tehen an den eten beiden Pfaden. Dann folgen die Egebnie de Ziehung: ode und daunte de neue Inhalt de Stapel, de ich ja duch die Ziehung geändet hat, weil nicht zuückgelegt woden it. Fü den zweiten Zug tehen jetzt noch Katen zu Vefügung. In jedem Fall kann man ot ode chwaz ziehen. Die Wahcheinlichkeiten dazu tehen an den nächten Pfaden uw. *) Die Fomel zu Beechnung de Wahcheinlichkeit g Anzahl de g üntigen Fälle p = = m Anzahl de m öglichenen Fälle wude im Text 0 auf Seite eingefüht. Fiedich Buckel

9 0 Wahcheinlichkeit 6. E gibt vechiedene Aten von Wahcheinlichkeiten! Beipiel : Nochmal ote und chwaze Katen im Stapel Die Fage Mit welche Wahcheinlichkeit zieht man eine ote Kate kann je nach Sachlage mit ganz untechiedlichen Zahlen ichtig beantwotet weden. ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 Meint man ot beim. Zug, ehält man die Antwot: p =. Meint man ot beim. Zug, dann hängt da Egebni davon ab, welche Kate zuvo, alo beim. Zug entnommen woden it. Hie unteliegt die Wahcheinlichkeit fü ot alo eine Bedingung: Die Wahcheinlichkeit fü ot im. Zug unte de Bedingung, da zuvo ot gezogen woden it, it. Die Wahcheinlichkeit fü ot im. Zug unte de Bedingung, da zuvo chwaz gezogen woden it, it =. Die ind ogenannte bedingte Wahcheinlichkeiten. Gehen wi an Ende de Baume, dann kann man dot an Stellen ot finden, denn diee 7 Pfade fühen zu ot. Zu jedem diee Pfade, de ja ein Eeigni datellt, etwa ot-chwaz-ot, gibt e eine Wahcheinlichkeit, die man beechnen kann (nächte Abchnitt). Die Wahcheinlichkeit dafü da eine diee Fälle eintitt nennt man die totale Wahcheinlichkeit fü ot im. Zug. Wichtig it jetzt et einmal, da man begiffen hat, da e nicht nu eine Wahcheinlichkeit fü da Ziehen eine oten (ode chwazen) Kate gibt. Fiedich Buckel

10 0 Wahcheinlichkeit 7 Beipiel Unenexpeimente CD! Fiedich Buckel

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4.1 Zufallsexperimente 4.1 Zufallexpeimente 4.1 Zufallexpeimente 4.1.1 Ein-undmehtufigeZufallexpeimente Datellung duchbaumdiagamme EgebniundEgebnimenge Expeimenteindun au dem Phyikunteicht bekannt undbezeichnen Vogänge, die