DEMO. Einführung in die Grundbegriffe. Mehrstufige Ereignisse Baumdiagramme. Datei Nr Stand 8. Januar Friedrich W.

Transkript

1 Wahcheinlichkeitechnung Teil Einfühung in die Gundegiffe Mehtufige Eeignie Baumdiagamme Datei N. 0 Stand. Janua 0 Fiedich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMTHEMTIK

2 0 Wahcheinlichkeit Hinweie zum Inhalt Die Behandlung mehtufige Expeimente kann chon in eginnen, denn einfache ufgaen efoden nu einfache Buchechnen, und die Baumdiagamme mit ihen Regeln ind leicht zu handhaen. Im voliegenden Text git e einfache i chwee ufgaen. Da püt man vo allem in., wo Solange-Bi-ufgaen o chwieig weden können, da man ie nu noch in de Oetufe löen ollte, weil man dazu geometiche Reihen enötigt. Dieen Schwieigkeitpung hae ich hie nicht gemacht. Vielmeh wid diee ufgaenfom im Sondetext aufühlich ehandelt. Die kleine ufgaenammlung am Ende ( ) oll nu einen Vogechmack geen. Weitee ufgaen entnehme man den ufgaenammlungen, die im Moment unte den Nummen und zu finden ind. Inhalt Mehtufige Expeimente. Einfühung, Benoulli-Expeiment Baumdiagamme. E git vechiedene ten von Wahcheinlichkeiten 9 Bedingte und totale Wahcheinlichkeiten 9 Unenexpeimente 0 Katen ziehen Pfadegeln fü Baumdiagamme Die Regel fü da Gegeneeigni Muteaufgaen zu nwendung de Pfadegeln 0 Zufallvaiale 0 Rechentick: Teiläume, Sammelpfade und uchäume. Teiläume. Meh üe Sammelpfade. uchäume die Solange i-ufgae ufgaen zu höchten und mindeten. utomatenpiel. Wüfeln fü die. Die Deimal-Mindete-ufgae 9 Einige nwendungaufgaen zum Üen 0

3 0 Wahcheinlichkeit Wichtige Hinweie zu Scheiweie von Eeignien Da Ziehen von Katen au einem Stapel, da mehfache Wüfeln nacheinande, ode da Emitteln von Buchtaen nacheinande, au denen man dann ein Wot ildet uw. ind mehtufige Expeimente. Weil e daei auf die Reihenfolge de einzelnen Ziehungen ankommt, mu man auch duch die Scheiweie audücken, da die Reihenfolge duch da Ziehen fetgelegt und nicht veändet weden daf. Dazu git e vechiedene Scheiweien. Die geäuchlichte ind die geodneten Paae, Tipel uw. a) Man zieht au einem Katentapel de Reine nach Katen mit den Faen ot, chwaz, ot. Dann dückt man diee Egeni duch da Tipel,, au. Güntige ind meit die Scheiweien ;; ode, vo allem dann wenn man tatt Buchtaen Zahlen hat, um nicht da Dezimalkomma zu vewecheln. Man kann ae auch wenn keine Vewechelunggefah eteht die Buchtaen zu einem Wot aneinandefügen und diee Ziehungegeni duch audücken. Falch ind jedoch die Scheiweien,, ode ;;, denn ie tellen eine Menge mit dei Elementen da, und in ih daf man die Elemente vetauchen und mu oga doppelte weglaen. Somit gilt fü Mengen:,,,,,,,,. ) Beipiel : u einem Stapel mit Katen, auf denen die Buchtaen,B,E,M,U,S aufgeduckt ind, weden Katen zufällig entnommen und nach jedem Zug wiede zuückgelegt. Man notiet die gezogenen Buchtaen und ildet daau ein Wot. Mit welche Wahcheinlichkeit ehält man ei deimaligem Ziehen von Katen diee Eeigni: E mau,aum,mumm,aum? Hie ewäht ich die aküzende Scheiweie gegenüe de geäuchlichten Fom: E m;a;u;, ;a; u;m, m;u;m;m, ;a;u;m Man daf nu nicht da Ziehungegeni aum in de Fom ;a;u;m al Menge cheien, dann it die Reihenfolge de Ziehungen nicht meh fetgelegt, denn e gilt ja: ;a;u;m m;a;u; a;u;m;... c) Beipiel : u dei Wüfelegenien kann man jeweil eine deitellige Zahl ilden: ;;;;. Die wa ein Egeni von fünf Deiewüfen. Hie wid auch kla, da in,; nu zwei Egenie tehen, nämlich die Zahl, und die Zahl! Fiedich Buckel im Noveme 009

4 0 Wahcheinlichkeit. Einfühung Mehtufige Expeimente Man kann ein Zufallexpeiment mehfach nacheinande aufühen, Dann eweitet ich die Vielfalt de Eeignie enom. Dazu folgen einige Beipiele (zunächt noch ohne Rechnungen), damit man eine Votellung davon ekommt. Beipiel : Man wüfelt -mal mit einem Wüfel. Dann kann man die Wahcheinlichkeiten olche Eeignie eechnen: : Man hat deimal eine gewüfelt B: Man hat ingeamt die ugenumme ehalten C: Die. Zahl wa eine D: Man hat da Egeni -- gewüfelt. Beipiel : Man wüfelt einmal mit dei Wüfeln. Haen dann die Eeignie i D ai Beipiel dieelen Wahcheinlichkeiten? Beipiel : Kugeln ziehen In einem Topf ind Kugeln, welche die Buchtaen, B, L,, L, M, Z, H tagen. Man entnimmt nun de Reihe nach Kugeln und legt ie neeneinande auf den Tich. Mit welche Wahcheinlichkeit ehält man da Wot BLL zw. da Wot ZHL? Wie ändet ich die Wahcheinlichkeit, wenn man nach jedem Zug die Kugel wiede in da Gefäß zuücklegt? Beipiel : Kleidechao Man kann auch ganz untechiedliche Stufen hinteeinande chalten: In de Schulade efinden ich paa chwaze Socken, Paa weiße Socken und Paa ote Socken. In Schulade efinden ich Untehemden: weiße und gaue. Pete geift im Dunkeln in die ete Schulade und entnimmt ein Paa Socken, und dann in die zweite fü ein Untehemd. Jetzt können vechiedene Kominationen enttehen, deen Wahcheinlichkeit ich eechnen laen. Fiedich Buckel

5 0 Wahcheinlichkeit Von goße Bedeutung ind diejenigen Zufallexpeimente, die genau zwei mögliche Egenie haen. Etwa: Eine Münze wefen: Wappen ode Zahl Baketall wefen: Teffe ode Niete Gewinnen ode velieen uw. Definition: Ein Zufallexpeiment mit genau zwei möglichen ugängen heißt Benoulli-Expeiment. Füht man ein Benoulliexpeiment mehfach nacheinande au, und leien daei die Wahcheinlichkeiten fü die ugänge unveändet, dann picht man von eine Benoulli-Kette. Beipielweie kann man eine Münze 0-mal nacheinande wefen. Da it dann eine 0-tufige Benoulli-Kette. Ode man ehält Feiwüfe im Baketall: Zweitufige Benoulli-Kette. Definition: Ändet ich die Wahcheinlichkeit fü einen Teffe ei de Wiedeholung eine Benoulli-Expeiment nicht und wiedeholt man da Expeiment n-mal, o heißt diee Wiedeholung eine n-tufige Benoulli-Kette und kann wie ein einzige Expeiment etachtet weden Folgende Expeiment it keine Benoullikette: In einem Katentapel ind 0 ote und chwaze Katen. Man zieht -mal nacheinande eine Kate, liegt ie ae nicht meh zuück. E it keine -tufige Benoulli-Kette, denn die Wahcheinlichkeit fü ot ode chwaz ändet ich mit jedem Zug, weil man duch jeden Zug den Inhalt de Stapel veändet. Wüde man eine gezogene Kate wiede zuücklegen, läge eine Benoulli-Kette vo. Die Benoulliketten weden unte dem Thema Binomialveteilung noch aufühlich ehandelt. Sie laen ich gut eechnen. Meh dazu in 00. n diee Stelle gehe ich noch nicht daauf ein, weil die nötigen Gundlagen (Pfadegeln) dazu et noch folgen. Fiedich Buckel

6 0 Wahcheinlichkeit Gundatzfage: Welche Egenie hat ein mehtufige Expeiment? Beipiel : Münze wefen Eine Münze zeigt nach jedem Wuf da Egeni W und Z (Wappen und Zahl). Duch ein Baumdiagamm kann man Üeicht üe die Egenie z. B. deie Wüfe vechaffen. So ieht ein hängende Baumdiagamm au: W Z W Z W Z W Z W Z W Z W Z Man ekennt, da nach de. Stufe eeit Egenie vohanden ind: Die Egenimenge lautet i dahin S W W, W Z, Z W, Z Z ode einfache o: S WW, WZ, ZW, ZZ Wichtig it, da man eachtet, da die Reihenfolge von Bedeutung it. Da Egeni WZ it etwa andee al ZW, weil de ete Buchtae da eim. Wuf ezielte Egeni it und de. Buchtae zum. Wuf gehöt. Beim Deifachwuf liegen dann eeit Egenie vo uw.. Stufe. Stufe. Stufe Fiedich Buckel

7 0 Wahcheinlichkeit Beipiel : Glückad dehen Ein Glückad enthält dei Felde mit Zahlen, und. E wid zweimal gedeht. Welche Eeignie git e jetzt? Diee zweitufige Benoulli-Expeiment telle ich duch ein liegende Baumdiagamm da. E hat 9 Pfade und jede Pfad tellt ein Egeni da. Tipp zum Zeichnen eine olchen Baumdiagamm: Beginne tet echt außen mit den letzten 9 Egenien. Dann zeichne die Linien dazu und füge die dei Egenie ein uw. Nu o ekommt man ein auee und gleichmäßige Baumdiagamm. Ich wede meiten liegende Diagamme vewenden, weil man ie ee echiften kann, und auch ee auf ein Blatt paen. E git auch mehtufige Expeimente, die keine Benoulli-Expeimente ind Beipiel : Rote und chwaze Katen In einem Katentapel efinden ich ote und chwaze Katen. Man entnimmt daau Katen de Reihe nach und legt ie in de Reihenfolge vo ich auf den Tich, wie man ie zieht. Becheie alle Möglichkeiten duch ein Baumdiagamm. Da ich duch da Entnehmen de Katen de Betand laufend ändet, it die zweite Ziehung eine Kate ein andee Expeiment al die ete Ziehung. Jetzt ind nu noch Katen vohanden. Im nachfolgenden Baumdiagamm hae ich vo jede Ziehung den Inhalt de Stapel angechieen. Ich mache die mit einem Zahlenpaa. ( ) Damit kann man dann chnell die Wahcheinlichkeiten fü die nächten Ziehungegenie eechnen. Jetzt haen wi die Situation, da nach dem. Zug eeit eide ote Katen gezogen ind, o da man im. Zug keine ote Kate meh ziehen kann. Fiedich Buckel

8 0 Wahcheinlichkeit ( ) Ekläung de Baumdiagamm ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) Ganz link ekennen wi den Inhalt de Stapel: ote und chwaze, alo zuammen Katen. g Dahe zieht man mit de Wahcheinlichkeit p eine ote Kate m und mit p eine chwaze Kate. *) Diee Wahcheinlichkeiten tehen an den eten eiden Pfaden. Dann folgen die Egenie de Ziehung: ode und daunte de neue Inhalt de Stapel, de ich ja duch die Ziehung geändet hat, weil nicht zuückgelegt woden it. Fü den zweiten Zug tehen jetzt noch Katen zu Vefügung. In jedem Fall kann man ot ode chwaz ziehen. Die Wahcheinlichkeiten dazu tehen an den nächten Pfaden uw. 0 *) Die Fomel zu Beechnung de Wahcheinlichkeit g nzahl de g üntigen Fälle p m nzahl de m öglichenen Fälle wude im Text 0 auf Seite eingefüht. Fiedich Buckel

9 0 Wahcheinlichkeit 9. E git vechiedene ten von Wahcheinlichkeiten! Beipiel : Nochmal ote und chwaze Katen im Stapel Die Fage Mit welche Wahcheinlichkeit zieht man eine ote Kate kann je nach Sachlage mit ganz untechiedlichen Zahlen ichtig eantwotet weden. ( ) ( ) ( ) Meint man ot eim. Zug, ehält man die ntwot: p. ( 0 ) ( ) ( ) ( ) Meint man ot eim. Zug, dann hängt da Egeni davon a, welche Kate zuvo, alo eim. Zug entnommen woden it. Hie unteliegt die Wahcheinlichkeit fü ot alo eine Bedingung: Die Wahcheinlichkeit fü ot im. Zug unte de Bedingung, da zuvo ot gezogen woden it, it. Die Wahcheinlichkeit fü ot im. Zug unte de Bedingung, da zuvo chwaz gezogen woden it, it. Die ind ogenannte edingte Wahcheinlichkeiten. Gehen wi an Ende de Baume, dann kann man dot an Stellen ot finden, denn diee Pfade fühen zu ot. Zu jedem diee Pfade, de ja ein Eeigni datellt, etwa ot-chwaz-ot, git e eine Wahcheinlichkeit, die man eechnen kann (nächte chnitt). Die Wahcheinlichkeit dafü da eine diee Fälle eintitt nennt man die totale Wahcheinlichkeit fü ot im. Zug. 0 Wichtig it jetzt et einmal, da man egiffen hat, da e nicht nu eine Wahcheinlichkeit fü da Ziehen eine oten (ode chwazen) Kate git. Fiedich Buckel

10 0 Wahcheinlichkeit 0 Beipiel Unenexpeimente Beliete Expeimente ind Unenexpeimente. Daei it eine Une igendein Gefäß, in dem Kugeln vechiedene t liegen. Sie düfen ich eim Heaugeifen nicht untecheiden, damit ein echte Zufallexpeiment voliegt. Diee Une enthält ote und laue Kugeln. (Jedenfall in eine faigen Datellung!) Da Mekmal Fae hat alo die zwei upägungen ot und lau. Beide ind nicht gleichwahcheinlich. Fü den. Zug eine Kugel au diee Une gilt: Wi denken die Kugeln zunächt al untecheida, dann geift man jede Kugel mit de Wahcheinlichkeit heau. Da e ote und laue git, folgt p = = und p =. g ot m lau Fü da Ziehen de nächten Kugeln au de Une git e vechiedene Modelle:. Modell: Ziehen mit Zuücklegen: Die Wahcheinlichkeiten fü ot ind ei jedem Zug gleich, wenn man die gezogene Kugel imme wiede zuücklegt. Entpechende gilt natülich auch fü Wahcheinlichkeit fü eine laue Kugel. Denn dann it die Situation fü die. ode. Kugel dieele wie zu Beginn fü die. Kugel. Man kann dann (auch wenn die Une nu Kugeln enthält) auch 0-mal ot ziehen.. Zug. Zug. Zug Hie liegt ein -tufige Benoulli-Expeiment vo. Von de gleichen t wäe da deimalige Wefen eine Münze, da deimalige wüfeln, wenn e nu um geade und ungeade Zahlen geht uw. Fiedich Buckel

11 0 Wahcheinlichkeit Fü den. Zug gilt wie een. Modell: Ziehen ohne Zuücklegen: p ot = und p lau =. Fü die folgenden Ziehungen hat man jedoch eine veändete ugangituation, wehal man die (edingten) Wahcheinlichkeiten fü die Folgepfade neu eechnen mu- Ekläung:. Zug. Zug. Zug Wa die ete Kugel ot, dann hat ich de Betand vo dem. Zug o veändet, da wi noch ote und laue Kugeln in de Une haen. Unte diee Bedingung ehalten wi dann fü den. Zug diee (edingten) Wahcheinlichkeiten: p = und p =. ot lau Wa jedoch die ete gezogene Kugel lau, dann gilt fü den. Zug: p ot = und denn e ind ja nun laue und ote Kugeln da. p lau =, So kann man ein ganze Sytem von Möglichkeiten duchechnen. Man kann hie maximal Kugeln ziehen, weil nicht meh zuückgelegt wid! e wenn laue gezogen ind, dann it die Wahcheinlichkeit fü eine weitee laue 0! Fiedich Buckel

12 0 Wahcheinlichkeit. Modell: Ziehen mit geändetem Zuücklegen Beipiel a): Man zieht eine Kugel und legt jeweil eine Kugel de andeen Fae zuück: Fü den. Zug gilt unveändet p ot = und p lau =. Nach eine oten Kugel gilt anchließend fü den zweiten Zug: p ot = = und p lau = =. Nach eine lauen Kugel gilt anchließend fü den zweiten Zug: p ot = = und p lau = =.. Zug. Zug. Zug Beipiel ) Man legt jeweil zwei Kugeln de gezogenen Fae zuück: Dann nach ot gilt fü den. Zug: Und nach lau:. Zug ot 9 ot 9 p = = und p = und lau 9 lau 9 p = =. p =.. Zug Zug Fiedich Buckel

13 0 Wahcheinlichkeit Beipiel : Ein Katenpiel Wi denken un einen Katentapel mit Katen gegeen, de ote und chwaze Katen enthält. Nun wollen wi mehfach eine Kate ziehen.. Modell: Ziehen mit Zuücklegen uf Gund de Vogaen wien wi, da die Wahcheinlichkeit fü da Ziehen eine oten Kate g g tet p und die Wahcheinlichkeit fü eine chwaze Kate tet p m m it. Da wi nach jedem Zug die Kate zuücklegen und duchmichen, hat de Katentapel anchließend wiede denelen Inhalt wie zuvo. Da edeutet, da die Wahcheinlichkeiten fü ot zw. chwaz auch ei den folgenden Ziehungen gleich goß ind, alo zw... Zug. Zug. Zug Man eachte: Da e nu die Faen ot und chwaz git, it da Ziehen eine chwazen Kate da Gegeneeigni zum Ziehen eine oten Kate. Da die Summe eide Eeigniwahcheinlichkeiten ein mu, kann man auch o echnen: p p Fiedich Buckel

14 0 Wahcheinlichkeit. Modell: Ziehen ohne Zuücklegen: Jetzt veänden wi mit jedem Zug den Katentapel, da die nzahl de Katen animmt. E folgt die Beechnung de edingten Wahcheinlichkeiten fü den. Zug:. Zug ot mit de Wahcheinlichkeit g p m Neue Betand anchließend: Fü einen. Zug ot wid Fü einen. Zug chwaz wid. Zug chwaz mit de Wahcheinlichkeit ( ) ½. g m g m p p Neue Betand anchließend: Fü einen. Zug ot wid Fü einen. Zug chwaz wid ( ) ( ) ( ) g p m ( ) ( ) ( ) ½. g m g m p p Fotgechittene vewenden diee Scheiweien fü edingte Wahcheinlichkeiten: ( ) P = edeutet: Die Wahcheinlichkeit fü ot unte de Bedingung, da zuvo chwaz gezogen woden it, it () P = und da edeutet: Die Wahcheinlichkeit fü ot unte de Bedingung, da zuvo chon ot gezogen woden it, it ( ) P = und da edeutet: Die Wahcheinlichkeit fü chwaz unte de Bedingung, da zuvo chon ot gezogen woden it, it ( ) P = edeutet: Die Wahcheinlichkeit fü chwaz unte de Bedingung, da zuvo chwaz gezogen woden it, it Tipp: Oft it e güntige, den hie auftetenden Büche NICHT zu KÜRZEN! Fiedich Buckel

15 0 Wahcheinlichkeit Pfadegeln fü Bäume Diee eiden Pfadegeln mu man wien: Beipiel : ote und chwaze Katen im Stapel ( ) Da Expeiment Man zieht dei Katen de Reihe nach au dem Stapel (und legt keine meh zuück), eitzt Egenie, die duch die Pfade de Baumdiagamm dagetellt weden. Da ete Egeni eteht au den dei Katen ot ot chwaz, kuz. l Eeigni cheit man e jedoch in gechweifte Klammen, weil Eeignie ja Mengen ind:. Die. Pfadegel (Multiplikationegel) eagt, da man die Wahcheinlichkeit eine Egenie (Pfade) duch Multiplikation de Wahcheinlichkeiten läng de Pfade eechnet. 0, 0 0 P 0, P 0, P 0, P 0, 0 ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) P 0, P 0, P 0, 0 Die Summe diee Egenie (andee git e nicht) it. Da it eine wichtige Kontolle gegen chnell gemachte Rechenfehle. Fiedich Buckel

16 0 Wahcheinlichkeit Die. Pfadegel (Summenegel) eagt, da die Wahcheinlichkeit eine Eeignie duch ddition de Wahcheinlichkeiten jene Pfade eechnet wid, die zu dieem Eeigni gehöen. Wi eechnen damit die Wahcheinlichkeiten zu folgenden Eeignien: : Die letzte gezogene Kate wa ot: P P P P 0, 0, 0, 0, B: Die zweite Kate wa ot: P B P P P 0, 0, 0, 0, C: E wuden zwei chwaze Katen nacheinande gezogen: P C P P P 0, 0, 0, 0, CHTUNG FLLE Bei C haen wi ein Polem, da ae wenige mathematiche onden meh logiche Natu it. Viele weden nämlich agen, da da Eeigni nicht zu C gehöt, denn e handelt ich hie um chwaze Katen, die Rede wa ae nu von zwei aufeinande folgenden Katen. Die Fage, o dann dei chwaze auch dazu gehöen hängt an de genauen Spachegelung: Meine man mit mindeten zwei Katen, dann it die Löung ichtig, denn wenn deimal nacheinande chwaz gezogen wid, dann waen ja auch zwei aufeinande folgende chwaze daei. Meine man ae mit genau zwei, dann mu weg leien. Man ollte alo hie genau fomulieen. Im Zweifelfall ind eide Löungen ichtig zu eweten, P C P P 0, 0, 0,. alo auch diee: Hie kann man teiten. Fiedich Buckel

17 0 Wahcheinlichkeit Beipiel : Ziehen von Kugeln mit Zuücklegen: Die Wahcheinlichkeiten fü ot zw. lau änden ich von Zug zu Zug nicht, wenn man die gezogene Kugel imme wiede zuücklegt. Denn dann it die Situation fü die. ode. Kugel dieele wie zu Beginn fü die. Kugel.. Zug. Zug. Zug Diee Baum weit Pfade auf, alo ind Egenie möglich. Nach de. Pfadegel folgt: P 0, P P P P P P P Und hie die Wahcheinlichkeiten einige Eeignie, eechnet nach de. Pfadegel : E wuden genau zwei laue Kugeln gezogen: P P P P B: Die zweite Kugel wa lau: P B P P P P 9 C: Die ditte Kugel wa ot: P C P P P P 0 Fiedich Buckel

18 0 Wahcheinlichkeit Die Regel fü da Gegeneeigni Einnet Du Dich noch: Die Summe de Wahcheinlichkeiten alle Elementaeeignie it Diee Regel hat weiteichende Konequenzen, die un viel Rechenaeit anehmen können- Beipiel : Wüfeln. Da Expeiment Wüfeln mit einem idealen Wüfeln hat al Egeniaum die Menge S ;;;;; eeignie dieele Wahcheinlichkeit :. Jede Zahl it gleich wahcheinlich. Dahe hat jede de Elementa- P P... P. Da Eeigni : Man wüfelt eine Zahl göße al ieht al Menge o au: ; E eitzt dahe die Wahcheinlichkeit P P P. Da Gegeneeigni liegt dann vo, wenn eine de Zahlen i gewüfelt wid. Fü da Gegeneeigni vewendet man die Scheiweie mit einem Quetich: ;;;. Seine Wahcheinlichkeit könnte man o eechnen: P P P P P De chnellee Weg füht üe die Summe alle Wahcheinlichkeiten. Wegen folgt P P P P P P P() P() P P P P P P P() P() Die kann man veallgemeinen: Fü jede Eeigni und ein Gegeneeigni gilt alo it P P P() P() ode P() P Fiedich Buckel

19 0 Wahcheinlichkeit 9 Beipiel : Nochmal Wüfeln Wenn e eim Wüfeln nu daum geht, o man eine wüfelt ode nicht, dann wid man nicht den volltändigen Baum zeichnen, de po Wuf Pfade enthält, und ich ei Wüfen eeit in und ich ei Wüfen ga in Pfade auffächet. Dann wif man po Wuf nu diee eiden Egenie ode ancheien. Ein olche Baum it auf Seite zu ehen. Die Wahcheinlichkeiten ind dann fü zw. fü. Beipiel : Eine Spielmünze wefen Eine Spielmünze tägt auf de einen Seite eine, auf de andeen eine. Sie wid -mal gewofen. Da folgende Baumdiagamm zeigt die Situation. m Ende wude die Summe de Zahlen eechnet und mit X ezeichnet. Man ekennt chnell, da al Summe die Zahlen i aufteten können. E ei da Eeigni: Die Summe de gewofenen Zahlen it,, ode. Zu E gehöen diee Pfade. Da wüde viel Rechenaeit edeuten. Viel chnelle it da Egeni üe da Gegeneeigni etellt: E lautet: Die Summe it. Die it nu eim. Pfad de Fall, eine Wahcheinlichkeit etägt P(E) P(X ). lo folgt fü da Eeigni E: PE PX P(E). Dazu folgen päte noch viele Beipiele. X X X X X X X X X X X X X X X X Fiedich Buckel

20 0 Wahcheinlichkeit 0 Muteaufgaen zu nwendung de Pfadegeln Beipiel a Schon wiede eine Münze wefen Eine ideale Spielmünze (Laplace-Münze ode L-Münze genannt) tägt auf den eiden Seiten die Zahlen und aufgeduckt. Sie wid viemal nacheinande gewofen. Man notiet ich da Ziehungegeni. ode Beipiel (Unenexpeiment: Ziehen mit Zuücklegen). In eine Une efinden ich zwei nicht untecheidae Kugeln mit den aufgeduckten Nummen und. Man zieht viemal eine Kugel und legt ie ofot wiede zuück. Hie da Baumdiagamm fü eide Expeimente. Hinte jedem Pfad teht (ezeichnet mit X) die Summe de Egenizahlen. X Die Beechnung de Wahcheinlichkeiten de Egenie efolgt duch nwendung de. Pfadegel. Jede Pfad eteht au Zahlen, die imme mit de Wahcheinlichkeit aufteten, alo gilt fü jeden Pfad: P. X X X X X X X X X X X X X X X ufgae: Beechne die Wahcheinlichkeiten de folgenden Eeignie (ezogen auf a): : E wid genau deimal die gewofen. B: Die Summe de gewofenen Zahlen it. C: E wid höchten -mal die gewofen, D: Die letzte Zahl it eine. E: Die. und die. Zahl ind vechieden. F: ufeinande folgende gezogene Zahlen ind vechieden. Fiedich Buckel

21 0 Wahcheinlichkeit Hie die Löung: = { ; ; ; } lo git e Pfade. Nach de. Pfadegel ehält man dahe ( ) P = = = = 0,. B = { ; ; ; ; ; } ( ) PB = = = C = { ; ; ; ; } ( ) P C = D: Genau die Hälfte alle Wüfe ollte am Ende eine haen: ( ) PD = =. E: Im. Fall lautet die zweite Zahl und die ditte Zahl dann, woei die. Zahl und die viete Zahl völlig elieig ind. Man cheit die etwa o auf: xy. x und y können alo auch wiede ode ein, alo haen wi hie mögliche Egenie. Daele gilt im. Fall: xy. lo ind e zuammen Pfade: ( ) ( ) P E = = = (die Hälfte alle Möglichkeiten). F = { ; } mit () PF = =. Vewendung von Zufallvaialen In vielen n-tufigen Expeimenten geht e daum, da man etimmte Eeignie zählt. Dazu füht man dann eine ogenannte Zählvaiale ode Zufallvaiale ein und vewendet zu küzung Goßuchtaen wie X ode Y. In uneem Beipiel kann etwa Y die Zahl de Einen edeuten. Y = echeit dann da Eeigni Bei dieen vie Ziehungen wude deimal eine gezogen. Die Wahcheinlichkeit fü diee Eeigni ezeichnet man dann mit PY. Oen wude eeit X al Summe de vie Zahlen definiet. X = edeutet dann da Eeigni: Die Summe de vie Zahlen it. Da it (wa) genau im. Pfad de Fall. lo it P X E git Pfade mit de Summe, jede hat die Wahcheinlichkeit, alo gilt: PX. Fene gilt: ( ) P X= = = ( ) P X= = = ( ) P X= = Die Zufallvaiale X hat in diee ufgae den Definitioneeich ;;;;, e wid oft mit S ezeichnet: S = ;;;;. Die oeen eechnete Lite de zu S gehöigen Wahcheinlichkeiten heißt die Wahcheinlichkeitvefeilung de Zufallvaialen X. E it eine Wetetafel fü die Wahcheinlichkeitfunktion fü alle Zahlen au dem Definitioneeich S. Diee Begiffe ollt man ich meken. Sie gehöen zu Fachpache de Stochatik. Fiedich Buckel

22 0 Wahcheinlichkeit Beipiel Eine ode keine wüfeln Ein Laplace-Wüfel wid viemal gewofen. Die it ein -tufige Benoulli- Expeiment (man agt auch Benoulli-Kette). Zunächt da Baumdiagamm: Ich wende den Tick an, da ich antelle de uninteeanten Zahlen i einfach cheie. Diee Quetich edeutet Nicht- ode keine. E it da Gegenteil zum Sechewuf. X X X X X X X X X X X X X X X X 0 m Ende wuden die Wete de Zufallvaialen X angefügt. Sie oll die Zahl de gewofenen Seche in Wüfen zählen. Un ollen diee Eeignie inteeieen: : Man ehält höchten eine B: Man ehält mindeten eine C: Die ete und die letzte Zahl it eine. D: Die ugenumme it kleine al. UFGBE: Betimme die Wahcheinlichkeit diee Eeignie und chaue dann et die Löung an! Suche dazu die paenden Pfade heau und addiee nach de. Pfadegel deen Wahcheinlichkeiten. Fiedich Buckel

23 0 Wahcheinlichkeit Löung: : Höchten eine heißt keine ode genau eine. = { ; ; ; ; } [ ] ( ) P = ( ) + ( ) = = =» 0, Bei B ( mindeten eine ) kommen alle Wüfe auße in Fage. lo echnet man unte Beechnung diee Gegeneeignie o:: ( ) ({ }) P B = - P = - ( ) = = =» 0,, 9 9 C = { ; ; ; } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 0+ P C = + + = = = = =» 0,0 9 D: Egeen alle Wüfe eine, dann it die Summe. Somit ezeichnet D da Gegeneeigni zu : ( ) ({ }) ( ) 9 P D = - P = - =» 0,999! 9 Beechnung de Wahcheinlichkeitveteilung de Zufallvaiale X Von den Weten zu PX 0 i PX oll hie nu PX eechnet weden. De Baum zeigt, da e Pfade git in denen Seche und damit auch Nicht-Seche tehen. Ich zeichne diee Pfade ioliet voneinande o auf: Man ekennt, da alle Pfade dieele Wahcheinlichkeit eitzen, alo gilt: P X 0, Go geagt wed alo im Duchchnitt ei jede 0. Seie von Wüfen zwei Seche daei ein. Hinwei: E git ein elativ einfache Beechnungvefahen fü diee ufgae, genannt die Binomialveteilung. Diee wid päte epochen und wid im Unteicht füheten in 9 ode 0 ehandelt. Fiedich Buckel

24 0 Wahcheinlichkeit Beipiel Schon wiede unee Spielkaten In einem Katentapel efinden ich ote und chwaze Katen. Man entnimmt daau Katen de Reihe nach und legt ie in diee Reihenfolge vo ich auf den Tich. (Siehe Seite ). Becheie alle Möglichkeiten duch ein Baumdiagamm. Da ich duch da Entnehmen de Katen de Betand laufend ändet, mu man vo jede Ziehung den Inhalt de Stapel ancheien. Ich mache die mittel eine Zahlenpaae: Daau wid dann die Wahcheinlichkeit fü da nächte Zug-Egeni eechnet. ( ) ( ) ( ) ( ) Dazu git e einige zu agen: ( 0 ) ( ) ( ) ( ) () Die Wahcheinlichkeiten eechnen ich tet au dem Betand. Wenn etwa ( ) angechieen teht, dann liegen im Stapel ote und chwaze Katen, alo it die g Wahcheinlichkeit fü eine ote Kate eim nächten Zug: p = =, m g denn e ind ja Möglichkeiten vohanden. nalog dazu folgt p = =. m () Da von nfang an nu ote Katen vohanden ind, kann man nicht deimal eine ote Kate entnehmen, dehal taucht im. Pfad die Wahcheinlichkeit 0 fü ot auf, da heißt man zieht mit Sicheheit chwaz (p = )! De Pfad exitiet nicht. 0 p 0 p 0 p 0 0 p 0 0 p 0 0 p 0 0 p 0 0 p 0 0 () E fällt vielleicht auf, da ich die Wahcheinlichkeiten nicht küze. Statt cheie ich alo nicht. De Gund it ganz impel: Daduch ehalten alle Egenie Wahcheinlichkeiten mit gleichem Nenne. Und de it = 0. Damit weden die Wahcheinlichkeiten ee vegleicha und addiea. Nun ollen die Wahcheinlichkeiten einige Eeignie etimmt weden. Fiedich Buckel

25 0 Wahcheinlichkeit UFGBE LÖSUNG Beechne die Wahcheinlichkeiten diee Eeignie: : Beim. Zug wid eine ote Kate entnommen. B: Man ehält genau chwaze Katen. C: Die letzten eiden Katen haen vechiedene Fae. D: Man zieht mindeten eine ote Kate E: Die. Kate it ot ode die. it chwaz. F: Wede die ete Kate it chwaz noch die ditte. Wi ilden die Löungen o, indem wi die paenden Egenie heauuchen und gemäß de. Pfadegel deen Wahcheinlichkeiten addieen. = { ; ; }. Man mu die Pfade im Baumdiagamm entdecken und ihe Wahcheinlichkeiten addieen: P( ) = + + = ( = 0,) B= { ;;} mit ( ) PB = + + = = = ( = 0,) C = { ; ; ; } mit ( ) P C = = ( = 0,) Nun wollen wi un gleich einen Tick einpägen: Mindeten eine ote Kate edeutet alle Ziehungen auße dejenigen, in de man keine ote Kate ehält! Und da wäe genau da Gegeneeigni D. Keine ote Kate it da Gegeneeigni D= { } mit ({ }) P = = 0, 0 Umechnung auf da Eeigni D: PD ( ) = - PD ( ) = - 0,= 0,9! Da Eeigni E it fü nfänge zu chwe. Fü Fotgechittene hie die Löung: Bei E liegt ein Ode-Eeigni vo. Die eiden Betandteile diee Eeignie ind: E : Die zweite Kate it ot, da wa da Eeigni = { ; ; } E : Die ete Kate it chwaz: E = { ; ; ; } Man mu jetzt wien, da zum ODER-Eeigni die Veeinigungmenge gehöt : E { } { } { } È E = ; ; È ; ; ; = ; ; ; ; mit PE ( È E) = = = ( = 0,) Da Polem teckt dain, da zu E dei Elemente (Egenie) gehöen, zu E vie. Zu E ode E ae nicht onden nu, weil und zu eiden gehöen und nicht doppelt gezählt weden düfen! Fiedich Buckel

26 0 Wahcheinlichkeit Dahe lenen wi in 0 den dditionatz fü da Ode-Eeigni kennen. E eückichtigt diee doppelten Vokommen von Egenien ei Ode-Eeignien daduch, da e ie einmal weglät, da it genau die Schnittmenge. So entteht diee Fomel fü Ode-Eeignie: ( ) = ( È ) = ( ) + ( )- ( Ç ) PE PE E PE PE PE E woei wi al Schnittmenge aleen: E Ç E = { ;} Die eneute Beechnung, jetzt mit diee Fomel, ieht o au: ( ) ( ) = P = 0, ( ) = = PE P E P E Ç E = = ( ) 0 0 lo folgt: PE ( È E) = + - = = ( = 0,) Noch chwee it da Eeigni F. Hie eine Löung fü Fotgechittene: F lautet: Wede die ete Kate it chwaz noch die ditte. Gehen wi die Sache wiede mengentheoetich an: Wede noch echeit die Komplementämenge zu Veeinigungmenge, alo FÈ F, woei mit F und F die Teileeignie echieen weden: F : Die ete Kate it chwaz mit F = { ; ; ; } F : Die ditte Kate it chwaz mit F = { ; ; ; }. Daau ildet man die Veeinigungmenge: F { } { } { } È F = ; ; ; È ; ; ; = ; ; ; ; ; Ich hae die Schnittmenge lau makiet, diee Egenie kommen in eiden Mengen (Eeignien) vo. Nun ilden wi da Gegeneeigni (die Komplementämenge): F È F = { } Ingeamt git e Egenie, alo gehöen zum Gegeneeigni die fehlenden zwei. Da ae nicht auftaten kann, daf man e weglaen ode in Klammen etzen. Da Eeigni F hat alo nu da eine Egeni. Wi eenden die Rechnung: ( ) { } und ( ) P F È F = P = = = 0,. 0 0 uch die wid in aufühlich ehandelt. Fiedich Buckel

27 0 Wahcheinlichkeit Beipiel (Siehe auch Seite ) Diee Une enthält ote und laue Kugeln. (Jedenfall in eine faigen Datellung!) Wi wollen Ziehungen vonehmen und die Kugeln de Reihe nach vo un hinlegen, alo nicht meh zuücklegen. Baumdiagamm fü alle möglichen Egenie. (Voüelegung zu Zeichnung, die man ja echt eginnen oll: Po Zug haen wi Egenie, ei Zügen alo m= = = Egenie. Diee cheien wi echt unteeinande, awechelnd ot und lau!) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p = =» 0,0 0 p = =» 0,0 9 0 p = =» 0,0 9 0 p = =» 0,0 0 p = =» 0,0 9 0 p = =» 0,0 0 p = =» 0,0 0 p = =» 0,0 9 0 p = =» 0, p = =» 0,0 0 0 p = =» 0,0 0 p = =» 0,0 9 0 p = =» 0,0 0 p = =» 0,0 9 0 p = =» 0,0 9 0 p = =» 0,0 0 We kann da auch o chön zeichnen??? Fiedich Buckel

28 0 Wahcheinlichkeit Beechnung von Wahcheinlichkeiten zu Eeignien: : E wid genau eine ote Kugel gezogen. B: E weden genau ote Kugeln gezogen C: E weden genau ote Kugeln gezogen D: E weden genau ote Kugeln gezogen E: E weden genau ote Kugeln gezogen F: E wid mindeten eine ote Kugel gezogen G: E wid höchten eine ote Kugel gezogen H: E weden awechelnd ote und laue Kugeln entnommen K Die eten dei Kugeln ind ot L: Die letzten Kugeln ind lau. M: Die eten Kugeln ind ot ode die letzten dei Kugeln ind lau eteht au den Egenien, zu denen die Pfade,, und fühen. lle vie haen dieele Wahcheinlichkeit! = { ; ; ; } lo folgt. ( ) 9 P = p + p + p + p = =» 0,. 0 0 B eteht au den Eeignien B = { ; ; ; ; ; }, zu denen die Pfade,,, 0,, fühen. lle haen dieele Wahcheinlichkeit 0. ( ) PB = =» 0, 0 0 C eteht au den Eeignien, zu denen die Pfade,, und 9 fühen: C = { ; ; ; } 9 lle haen dieele Wahcheinlichkeit 0 : ( ) 9 P C = =» 0, 0 0 Hinwei: Die Rechnung ei C kann man ich eigentlich paen. Da die Une gleich viele ote wie laue Kugeln enthält, entpicht die Ziehung von dei oten Kugeln de Ziehung von eine lauen. Dahe ind die Eeignie und C i auf den Namen de Fae identich! D it genau de. Pfad, alo gilt: 0 p = =» 0,0 E it nicht möglich, da man nu -mal zieht. E it da unmögliche Eeigni: {} PE = 0. E = mit ( ) F: E wid mindeten eine ote Kugel gezogen, da heißt,, ode Kugeln. Man müte alo die Wahcheinlichkeiten alle Egenie von i addieen - ode man echnet üe da Gegeneeigni, und diee heißt: F : E wid keine ote Kugel gezogen. ( ) ( ) P F = - P F = - =» 0,9 0 0 G: E wid höchten eine ote Kugel gezogen, da heißt 0 ode ote Kugel. { } 0 G = È = { ; ; ; ; } mit P( G) = + =» 0, H: E weden awechelnd ote und laue Kugeln entnommen. H = { ; } mit PH ( ) 0, = =». 0 0 Fiedich Buckel

29 0 Wahcheinlichkeit K: Die eten dei Kugeln ind ot: K = { ; } mit P( K) = =» 0, L: Die letzten Kugeln ind lau: L = { ; } mit P( L) = =» 0,0 0 0 M: Die eten Kugeln ind ot ode die letzten dei Kugeln ind lau. Hie liegt ein Ode-Eeigni vo, wi wenden alo den dditionatz an (Fotgechittene!) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P M = P K È L = P K + P L -P K Ç L = =» 0, Da K und L keine gemeinamen Egenie haen it die Schnittmenge lee und ihe Wahcheinlichkeit dahe 0. Fiedich Buckel

30 0 Wahcheinlichkeit 0 Beipiel Viele unte Smatie Wi ziehen dei Kugeln ohne Zuücklegen au eine Une, die gele, ote und laue Kugeln enthält. Beechnung de Baumumfang : Bei jedem Zug git e mögliche Egenie, alo ei Zügen m= =! E it unnötig, hie alle Wahcheinlichkeiten anzucheien. Wi eechnen ie nach Bedaf! ( g ) g ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) g g g g g g g g g Fiedich Buckel

31 0 Wahcheinlichkeit UFGBE dazu Beechne die Wahcheinlichkeiten diee Eeignie: : Man zieht de Reihe nach lau, gel und ot B: Man ehält unahängig von de Reihenfolge lau, gel und ot. C: Die. Kugel it ot Löung Beim Eeigni wid zuet lau gezogen, dazu git e in de Une laue unte Kugeln, alo it die Wahcheinlichkeit fü den eten Zug. Dann folgt eine gele Kugel. Davon ind unte den etliche noch vohanden:. Die ditte Kugel it ot. Davon haen wi : 0. P( ) = =. 0 Ich hae nun doch einmal geküzt! (Wenn ich alle Pfade eine Baume eechnen oll, küze ich nicht, weil man ee addieen kann, wenn alle Büche denelen Nenne haen! ) Zu B git e mögliche Egenie B= { g;g;g;g;g;g}. Ich eginne mit ot und ziehe dann g ode umgekeht g, dann ziehe ich zuet g und dann ode, und chließlich mit anchließenden g ode g. (Lene diee Sytem! ) lle dei eitzen dieele Wahcheinlichkeit, nämlich PB Dahe folgt: ( ) = = =., wie e ei eechnet woden it. Fü C notieen wi un alle möglichen Pfade, die e git: C= { gg;g;g;g;;; g; ; }. uch dazu git e ein Sytem: Zuet ei die ete Kugel gel, die zweite it fetgelegt al ot, dann hat man fü die ditte alle Möglichkeiten, g, ode. Daele macht man, wenn die ete Kugel ot ode lau it. Man kommt o auf 9 Pfade. Die Summe ihe Wahcheinlichkeiten (wi wenden die. Pfadegel an) it zw.. Dazu diee lange Rechnung. Wi eechnen zuet Teile davon: gg;g;g egeen zuammen (Man kann da Podukt + + = = ( + + ) g g;; egeen zuammen = auklammen, die Summe in de Klamme it dann und fällt weg.) + = + + = ( ) g = g;; egeen zuammen ( ) + + = + + = Die Endumme it dahe P( C) = + + = = =. =... Fiedich Buckel

32 0 Wahcheinlichkeit Beipiel : Ein Unenexpeiment mit eine eltamen Regel In eine Une efinden ich weiße und chwaze Kugeln. Man zieht deimal eine Kugel, notiet die Fae und legt im Falle eine weißen Kugel eine ote tatt de weißen in die Une zuück, und im Falle eine chwazen zwei ote. Zieht man eine ote Kugel, wid nicht zuückgelegt. Wi notieen den Uneninhalt al Tipel: weiß½chwaz½ ot. 0 ½½ w ½½ ½½ Un oll nun die Fage echäftigen, mit welche Wahcheinlichkeit man nach dei ktionen (Ziehungen mit entpechendem Zuücklegen) o und o viele ote Kugeln in de Une hat. Mathematike fomulieen die o: Betimme die Wahcheinlichkeitveteilung de Zufallvaialen X = nzahl de oten Kugeln nach Ziehungen in de Une. w w ½½ ½½ 0 ½½ ½½ ½½ ½½ 0 w w w w w w 0 ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ 0 ½½ ½½ ½½ ½½ 0 ½½ Duch einfache Üedenken de oen genannten Spielegel finden wi heau, da e 0 i ote Kugeln geen kann, je nachdem, wie die Ziehung veläuft. S 0;;;;;;. X eitzt damit den Definitioneeich UFGBE: Beechne die Wahcheinlichkeitveteilung fü X. Da heißt aufühlich: Beechne die Wahcheinlichkeiten de Eeignie X = 0, X = i X =! Fiedich Buckel

33 0 Wahcheinlichkeit Zuet ein Zwichenuf fü Mitdenke Zunächt halten wi fet, da X dieen Definitioneeich hat: S 0;;;;;; Zu Einneung: De Definitioneeich it die Menge de Zahlen, die man zu Beechnung von Weten in eine Funktion einetzen daf. Unee Funktion it eine Wahcheinlichkeitfunktion P. lo wäe e exakte zu agen: Die Wahcheinlichkeitfunktion P (genannt auch Wahcheinlichkeitveteilung) hat den Definitioneeich S 0;;;;;;. Manche nennen die Menge S 0;;;;;; auch Weteeeich. Damit meint man die Menge de Funktionwete eine Funktion. Nu welche Funktion? Wenn man jedem Pfad einen X-Wet zuodnet liegt auch eine Funktion vo, die nzahl-funktion. Sie odnet etwa dem Pfad w den Wet X = (ote Kugeln) zu. So geehen gilt alo: S 0;;;;;; it eineeit eine Wetmenge (die Wete de nzahlfunktion) und andeeeit die Definitionmenge de Wahcheinlichkeitveteilung P. Nun zu Löung de ufgae: X = 0 heißt Nach dei Ziehungen efindet ich keine ote Kugel in de Une, X = heißt Nach dei Ziehungen efindet ich eine ote Kugel in de Une, uw. Wi echnen de Reihe nach die zugehöigen Wahcheinlichkeiten au. P( X = 0) leen wi P fü X gleich 0 (ode Wahcheinlichkeit fü X = 0 ). Dazu eechnen wi die Wahcheinlichkeiten de zugehöigen Pfade. Die Zahl de oten Kugeln leen wi fü jeden Pfad au de. Stelle de Tipel a: ½½ eagt etwa X = ote Kugeln. P X 0 0,0 P X 0, P X 0,0 0 9 P X 0, P X 0,9 9 P X 0, 9 P X 0,09 Diee Taelle it alo die Wetetafel de Wahcheinlichkeitveteilung von X! Fiedich Buckel

34 0 Wahcheinlichkeit Beipiel Noch etwa Seltame In eine Une efinden ich eine chwaze und zwei weiße Kugeln. Man entnimmt deimal eine Kugel und legt jede Mal dei Kugeln de gleichen Fae zuück. Betimme die Wahcheinlichkeitveteilung fü die Zufallvaiale X = nzahl de chwazen Kugeln. Löung Damit kein Mivetändni entteht: Zieht man eine weiße Kugel, dann mu man ingeamt dei weiße zuücklegen, alo ehöht ich daei die Zahl de weißen Kugeln um zwei, entpechend ei chwaz. ½w ½w w ½w ½w ½w w ½ w w ½ w Pfadwahcheinlichkeiten: 0 P 0 P w P w P w P ww P ww P ww 0 P www 0 w w w w Beechnung de Wahcheinlichkeitveteilung de Zufallvaialen X = nzahl de gezogenen chwazen Kugeln. u den Pfadwahcheinlichkeiten folgt dann die Wetetafel fü die geuchte Wahcheinlichkeitveteilung: P X 0 0 0, P X 0 0,9 P X 0 0, P X 0, 0 Fiedich Buckel

35 0 Wahcheinlichkeit Rechentick: Teiläume, uchäume und Sammelpfade E it in de Regel nicht nötig, einen kompletten Baum zu zeichnen, de alle Eeignie enthält. Seh oft kann man viele Pfade weglaen. Daei ind gewie Regeln zu eachten.. Teiläume In vielen ufgaen it e ga nicht notwendig, ein komplette Baumdiagamm zu zeichnen. Diee enthält ja ekanntlich ämtliche Pfade und getattet omit die Beechnung alle möglichen Eeigni- Wahcheinlichkeiten. Meit ind nu einige davon zu eechnen, und dazu genügt e, nu die Pfade zu zeichnen, die man wiklich enötigt. Muteeipiel Bei de Poduktion von Tongefäßen ind % wegen chlechte Fom, % wegen unauee Fae und 0 % wegen ungleichmäßige Oefläche nicht ete Wahl. Teten mindeten zwei diee Fehle auf, wid da Gefäß al uchu deklaiet. Mit welche Wahcheinlichkeit titt die ein? Zu Beginn mu man Eeignie definieen. E ei M da Eeigni: Ein Topf hat eine gute Fom. E it P(M) 0, E ei O da Eeigni: Ein Topf hat eine gute Oefläche: P(O) 0,0. E ei da Eeigni: Ein Topf hat eine auee Fae: P() 0, Ich telle jetzt nu die Pfade da, die zu einem Gefäß fühen, da uchu it. Dazu lae ich die Pfade weg, auf denen nu ein Fehle ode ga keine vokommt. Fü da Diagamm vewende ich dieen ufau:. Stufe: Fom,. Stufe: Oefläche,. Stufe Fae. Hie de komplette Baum, M M O O O O hie de enötigte Teilaum 0, M M M 0, O O O O 0, Expeten zeichnen ihn gleich o: Beechne jetzt die Wahcheinlichkeit dazu! 0, M 0, 0, O O 0, 0, 0, Fiedich Buckel

36 0 Wahcheinlichkeit Nach de. Pfadegel weden die Wahcheinlichkeiten fü die Pfade duch Multiplikation eechnet. Die gechieht im. Schitt: P MO 0, 0, 0, 0,0 (. Pfad) P MO 0,0,0, 0,0 (. Pfad) P MO 0, 0, 0, 0,0 (. Pfad) P MO 0, 0, 0, 0,00 (. Pfad) P(uchu) 0,0 0,0 0,0 0,00 0,0 Nach de. Pfadegel weden die Wahcheinlichkeiten de Pfade addiet, die zu dem gefagten Eeigni gehöen. Da Egeni eagt, da in etwa 0% alle Fälle uchu poduziet wid. lo ind im Schnitt unte 00 Gefäßen 0 uchuwae. CHTUNG: Jetzt kommt eine entcheidende Veeinfachung Wenn an einem Gefäß eeit zwei Fehle nacheinande entdeckt weden, dann it e eeit uchu. Man mu alo nach den Teilegenien M und O nicht meh weite püfen, o die Fae gut ode chlecht it. Mit andeen Woten: Man kann den Baum nach O aechen: Damit ieht die Beechnung in einem Schitt o au: 0, 0, M M 0, 0, 0, O O O 0, 0, 0, 0, 0, M M 0, 0, O O EXTREM WICHTIG 0, 0, 0, P uchu 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 Man ehält daele Egeni wie in de aufühlichen Rechnung. 0, O Sind in einem Pfad a eine etimmten Stufe alle Egenie fü ein Eeigni zuläig, dann kann man dieen Pfad an diee Stelle aechen. Dazu teht im chnitt. (uchäume) meh! Fiedich Buckel

37 0 Wahcheinlichkeit Wi wollen un weitee Gedanken um diee 0, Möglichkeit machen: Nachdem man eeit M und O al 0, Egenie hat, daf jede elieige Egeni kommen, alo ode. Fü ein elieige Egeni kann man auch die Vaiale x vewenden. Und ein elieige Eeigni kommt ganz iche, alo mit de Wahcheinlichkeit. lo kann man die eiden Pfade zu ode zu einem Pfad zuammenfaen. So etwa nennt man einen Sammelpfad. Daüe wid im nächten chnitt meh eichtet! M M 0, 0, 0, O O O 0, 0, x Fü neugieige Expeten noch eine Egänzung So eweit man echneich die Richtigkeit diee Möglichkeit, den Baum vo ode azuechen. Ich eechne dazu die Summe de vie Pfade: P MO 0, 0, 0, 0,0 (. Pfad) P MO 0,0,0, 0,0 (. Pfad) P MO 0, 0, 0, 0,0 (. Pfad) P MO 0, 0, 0, 0,00 (. Pfad) Hie die Summe P uchu 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0,.Pfad.Pfad.Pfad.Pfad u den Podukten de. und. Pfade kann man 0, 0, auklammen: 0, 0, P uchu 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,.Pfad.Pfad Sammelpfad Die nach dem uklammen üig leiende Klamme hat den Wet. Und da it genau die Wahcheinlichkeit de elieigen Egenie x de oeen Baume. Somit leit üig: P uchu 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,. Pfad.Pfad Sammelpfad Den Fakto kann man natülich weglaen! Fiedich Buckel

38 0 Wahcheinlichkeit Muteeipiel (ganz chön anpuchvoll ae upe!) In eine Une efinden ich ote, laue und weiße Kugeln (We keine Unen mag, kann einen Geldeutel mit Euomünzen vewenden, ind au Faneich (R), au Belgien (B) und dei au Deutchland (W). ) a) DS. EXPERIMENT eteht dain, da man Kugeln mit Zuücklegen zieht. Dann gilt fü jeden Zug: pot, p und p w. De komplette Baum wüde po Stufe in Egenipfade auffächen, und da mal nacheinande, alo wüde man Pfade ekommen. Eeigni : Damit wid kla, da man nu die Teiläume fü die zu eechnenden Eeignie zeichnet. Man zieht genau eine laue Kugel. Die andeen vie Kugeln ind alo nicht lau, wofü wi cheien. Die laue Kugel kann an. Stelle gezogen weden, ode an. Stelle uw. lo git e olche Sammelpfade: Imme wenn da teht, wid ode w gezogen. Die kann man wie im Beipiel zuvo gezeigt zuammenfaen. (Meh dazu in.!) Weil nach jedem Zug zuückgelegt wid, änden die Wahcheinlichkeiten fü lau ode nicht lau in jedem Zug nicht. Dahe ehält man fü jeden de Pfade dieele Wahcheinlichkeit:. Somit lautet une Egeni:. Zug. Zug. Zug. Zug. Zug P 0,09 Eeigni B: Die.,. und. Kugel ind ot, die andeen ind nicht ot ae vechiedenfaig. Die it ein heliche Beipiel fü Veeinfachung. Hie zeichnen wi nu zwei Pfade: w w Beide Pfade haen die gleiche Wahcheinlichkeit, wie man leicht ekennt. Dahe folgt PB! 0,00 Fiedich Buckel

39 0 Wahcheinlichkeit 9 Eeigni C: Man zieht höchte eine laue Kugel, (Meh ufgaen zu höchten und mindeten weden in epochen) Höchte eine laue Kugel heißt doch eine ode keine. Bei Ziehungen egit da genau Pfade: Wenn genau eine laue Kugel gezogen wid, dann kann die eim. Zug gechehen, ode eim. Zug uw. Da wude im Eeigni chon epochen. Hie de Teilaum mit allen Pfaden, e entteht au dem von duch hinzufügen de letzten Pfade. Die Wahcheinlichkeit eechnet ich dahe o: PC P 0, Eeigni D: Man zieht mindeten eine laue Kugel, Den unefahenen Lee wid e vielleicht velüffen, wenn e efäht, da dazu Pfade gehöen! Die Begündung it ganz einfach. Man enötigt alle Pfade i auf einen: Nu da Eeigni, da keine laue Kugel gezogen wid, kommt nicht in Fage: Die it da Paadeeipiel dafü, da e in vielen Fällen güntige it, mit dem Gegeneeigni zu aeiten. Niemand wid die Wahcheinlichkeiten de Pfade eechnen, in denen mindeten einmal w teht. Man echnet dann o (Siehe Seite ): PD P(D) 0,. Zug. Zug. Zug. Zug. Zug Eeigni E: Die eten eiden Kugeln ind weiß, die nächten dei vechiedenfaig. Dazu diee ufgae Zeichne den zu E paenden Teilaum eltändig auf und eechne die geuchte Wahcheinlichkeit. Die Löung teht auf de Folgeeite (itte nicht picken!). Fiedich Buckel

40 0 Wahcheinlichkeit 0 Löung: (Man kann die Pfade auch ande anodnen al hie gezeigt wid.) Man mu ekennen, da jede w w Pfad weiße, eine ote und eine laue Kugel enthält. Und wegen de Zuücklegen liegt in w jede Stufe dieele Wahcheinlichkeit vo. w w w w Beechnung de Wahcheinlichkeit: PE Egeni: PE 0,0 nmekung fü Fotgechittene: Hinte den letzten dei Kugeln teckt ein Pinzip. Soll man dei vechiedene Ojekte in eine Reihe anodnen (umodnen; pemutieen); dann hat man fü den eten Platz dei Möglichkeiten (da waen hie, ode w ). In jedem diee Fälle hat man dann fü den. Platz noch zwei Möglichkeiten (da ind zuammen jetzt chon deimal = Möglichkeiten). Fü den letzten Platz leit dann nu noch da letzte Ojekt üig. Man kann alo Ojekte auf = ten anodnen. Fü diee Podukt cheit man!. Da uufezeichen liet man "Fakultät". E it die küzung fü da Podukt heunte i :! vechiedene Ojekte laen ich dahe auf! = = 0 ten anodnen uw. Die wid im Teilgeiet Kominatoik epochen: Datei. ) DS. EXPERIMENT eteht dain, da man Kugeln mit einem Giff entnimmt. Die entpicht dem Ziehen ohne Zuücklegen. Eeigni F: Die eiden Kugeln ind vechiedenfaig. Den F eteffenden Teilaum kann man aufühlich und ageküzt zeichnen: w 0 w w w 0 w w w ufgae: Beechne zu eiden Teiläumen die Wahcheinlichkeit. Fiedich Buckel

41 0 Wahcheinlichkeit Beechnung de Wahcheinlichkeit mit Hilfe de. Teilaume: PF 0 0 Gute Rechne küzen die a und faen gleich imme die zwei Pfade zuammen, die ich ei de zweiten Stufe tennen. Da ieht dann o au: PF 0 0 Vewendet man den echten Teilaum, ieht die Beechnung o au: 9 P F 0, 0 0 Man ekennt üigen, da die auch duch Zuammenfaen de letzten Rechnung entteht. Wichtige Hinwei E geht noch chnelle, wenn man tatt F da Gegeneeigni F unteucht. E heißt: Beide Kugeln ind gleichfaig. Weil e zu Fae lau ae nu eine Kugel git (e wid ja nicht meh zuückgelegt!), kann man nicht zweimal lau nacheinande ziehen, alo kommen nu diee eiden Pfade in Fage: Daau folgt: w w P(F) P(F) Beachte: We hie die Büche küzt, tut ich keinen Gefallen. Ungeküzt hat man ofot üeall denelen Nenne und kann ofot addieen!!! c) DS. EXPERIMENT it ein Spiel, ei dem zwei Kugeln mit einem Giff entnommen und dann wiede zuückgelegt weden. Waen eide Kugeln gleichfaig, daf man nochmal zwei Kugeln mit einem Giff entnehmen. Sind ie wiede gleichfaig, hat man gewonnen. Mit welche Wahcheinlichkeit gewinnt man? Ich will die zuet ganz aufühlich dalegen. Dazu zeichne ich den Gewinnaum, de alo nu die Pfade enthält, die zu einem Gewinn fühen: Gechickte Beechnen de Wahcheinlichkeit : PG. und. Pfad. und. Pfad uklammen de Klamme: PG 0 0 Da wa upetickeich und mu nicht ein. De Tachenechne findet e auch ande w w w w w w Fiedich Buckel

42 0 Wahcheinlichkeit. Meh üe Sammelpfade Beipiel : Und imme wiede wid gewüfelt a) Bei manchen Spielen hat die eine goße Bedeutung. E geht dann nicht daum, o man eine, eine ode eine wüfelt, onden nu daum, o man eine wüfelt ode nicht. Fü den eten Wuf ieht ein aufühliche Baumdiagamm o au: Duch Zuammenfaen de eten Pfade füht zu dieem kompimieten Baumdiagamm: Wenn man nicht zwichen den Wufegenien i untecheiden mu, dann eicht diee Sammelpfad völlig au: Nun zu Rechenaufgae: Wie goß it die Wahcheinlichkeit, da man ei deimaligem Wüfeln keine ehält (Eeigni ): Man zeichnet den auf einen Sammelpfad eduzieten Baum : Und ehält P() = =. ) Mit welche Wahcheinlichkeit wüfelt man de Reihe nach, keine und noch eine? Diee Sammelpfad fat Pfade zu einem zuammen: Die Wahcheinlichkeit diee Eeignie B eechnet ich au dem Sammelpfad zu PB und au dem aufühlichen Teilaum: PB (denn e liegen ja Pfade mit gleiche Wahcheinlichkeit vo. Fiedich Buckel

43 0 Wahcheinlichkeit c) Mit welche Wahcheinlichkeit ezielt man ei Wüfen al ete und letzte Zahl eine? Zuet de aufühliche Teilaum: E eteht au gleichen Pfaden mit de Wahcheinlichkeit von jeweil. lo folgt P(C). Nun eetzen wi die. Stufe, in de jede elieige Egeni elaut it duch x, Ein elieige Egeni kommt iche vo, alo mit de Wahcheinlichkeit : Die füht auf dieen Sammelpfad: P(C) mit Welche Veeinfachung! d) Wi tellen un vo, da wi 0-mal wüfeln und wollen da Eeigni E eechnen: De.,. und 9. Wuf ind, eim. und 0. titt keine auf. Dann zeichnen wi dieen Sammelpfad: Diee eetzt 9.00 Pfade! PE = = =» 0,00 Man ehält ( ) ( ) ( ) x x x x x x Fiedich Buckel

44 0 Wahcheinlichkeit Beipiel : Katen legen - die npüche teigen. Einem Katentapel mit oten, lauen und 0 chwazen Katen weden de Reihe nach Katen ohne Zuücklegen entnommen. Ein komplette Baumdiagamm dazu wüde = 9 Pfade umfaen und auf kein Papie paen, Dahe zeichnet man imme nu einen Teilaum, de die zum Eeigni paenden Pfade etifft, möglicht mit Sammelpfaden. Folgende Eeignie ollen unteucht weden: : Wi ziehen de Reihe nach ote, laue und chwaze Katen. Dazu git e einen einzigen Pfad: 0 nhand de al Tipel gechieenen Betände wuden die Wahcheinlichkeiten eechnet. E folgt P() =» 0,00 B: Die eten zwei ind ot, dann folgen nu noch nicht ote Katen: Jetzt enötigen wi einen Sammelpfad, denn nicht ot heißt entwede lau ode chwaz. Diee Vezweigungen faen wi zuammen: E folgt 0 9 P(B) =» 0,0 C: Die letzten vie Katen ind chwaz. (Dann ind die eten zwei elieig!) x x Wenn eine elieige (x) Kate gezogen wid veändet man am Inhalt nicht. Da diee fagwüdig echeinende Üelegung zum ichtigen Egeni füht, teht auf de nächten Seite! Zuet noch Wahcheinlichkeit de Sammelpfade: = P(C) = = 0,0 Fiedich Buckel

45 0 Wahcheinlichkeit Diee Kuzeechnung wollen wi duch eine aufühliche Beechnung etätigen! (Nicht leicht!) Die eten eiden Katen können ot, lau ode chwaz ein:. Kate ot. Kate lau. Kate chwaz Man tudiee genau, wie ich diee 9 Pfade angeodnet hae: Die ete Kate it deimal ot, o da die zweite alle dei Faen duchwecheln kann, uw. Beechnung de 9 Pfadwahcheinlichkeiten: Da alle Podukte denelen Nenne haen, klammee ich ihn ofot au. PC ( ) = [ ] 0 9 [ ] [ ] ( ) 09 PC= [ ( + + ) + ( + + ) + ( + + )] 0 9 ( ) 0 9 P C = [ ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) ] PC ( ) = [ + + ] PC ( ) = [ + + ] = 9 = ERGEBNIS: x x Belieige Katen teten mit de Wahcheinlichkeit auf und ind paktich wie nicht vohanden. nchließend gezogene Katen weden echneich o ehandelt wie ei eine vollen Une. (Ein Tick, den nicht viele kennen!) Dahe eginnt man in de. Stufe im Nenne mit (nzahl de Katen ei vollem Stapel) und nicht mit (weil davo chon gezogen woden it). Fiedich Buckel

46 0 Wahcheinlichkeit Da nächte Eeigni dazu: D: Die. Kate it chwaz, die. und. ei ot, die. nicht ot. De Sammelpfad dazu ieht o au: Die Wahcheinlichkeit dazu: ( ) 0 0 P D = = = = =» 0, Ekläung: Die. und. Kate ind elieig, dahe dot die Wahcheinlichkeit. Die. Kate it chwaz, davon haen wi 0 in. Die viete it ot, wi haen ote in (noch) Katen, denn eine chwaze it au. Dann kommt eine nicht ote, davon git e laue und noch 9 chwaze in Katen, chließlich noch eine ote au unte 0 Katen. Die elieigen kann man völlig ignoieen! Beipiel : x x Gewinnloe ziehen Diee Rechnung hat eine unglauliche Konequenz: In einem Lotopf efinden ich 00 Loe, daunte Hauptgewinne. Man teht nun vo einem ziemlich geleeten Lotopf und zöget: Wenn da nu noch 0 Loe din ind, dann it die Wahcheinlichkeit doch eh goß, da die Hauptgewinne chon daußen ind, wid man vielleicht denken. Weit gefehlt: Da man nicht weiß, wa z. B. mit den 0 Loen zuvo gezogen woden it, müen wi ie al elieige Loe anehen und ihnen die Wahcheinlichkeit zuweien. P =... = 0 0 Die Wahcheinlichkeit fü den Pfad Hauptteffe eim. Lo it dahe genau o goß wie eim. Lo im vollen Topf, alo 0!! x x uw x 0 H Fiedich Buckel