4.1 Zufallsexperimente

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "4.1 Zufallsexperimente"

Laura Gehrig
vor 7 Jahren
Abrufe

1 4.1 Zufallexpeimente 4.1 Zufallexpeimente Ein-undmehtufigeZufallexpeimente Datellung duchbaumdiagamme EgebniundEgebnimenge Expeimenteindun au dem Phyikunteicht bekannt undbezeichnen Vogänge, die man unte gleichen Bedingungen beliebig oft iedeholen kann. In de klaichen Phyik it da Egebni eine Veuche* deteminiet. Den Veuchbedingungen it eindeutig ein Egebni zugeodnet. Beipiel: Duch einen ohmchen Widetand von R =100 V fließt ein Stom de Stäke I =0,2 A, enn eine Spannung von 20 Vangelegt id. E gibt abe auch Expeimente, die bei gleichen Veuchbedingungen ein nicht vohebetimmbae Egebni haben. a) Da ohl bekanntete Zufallexpeiment it da Wefen eine Wüfel und die Fage nach de oben liegenden Augenzahl. Die möglichen Egebnie (Augänge) de Expeiment eden zu Egebnimenge S ={1,2,3,4,5,6} zuammengefat b) Beim Spiel Mench ägee dich nicht ift man iedeum einen Wüfel und fagt ich, ob die oben liegende Augenzahl ech (6) ode nicht ech (6 )it. Die möglichen Egebnie diee Expeiment haben die Egebnimenge S={6, 6 }. c) Zu Beginn eine Fußballpiel id dieplatzahl duch da Wefen eine Münze entchieden. Man fagt, ob Zahl (Z) ode Wappen (W) oben liegt. Die Egebnimenge it hie S ={Z,W }. Wid ein Wüfel ode eine Münze geofen, dann it iche, da ie liegen bleiben. Ob 1, 2,... 6bz. Zahl ode Wappen oben liegt,it vollkommen zufällig. Z 6 6 Z W W * Veuch: Einmalige Duchfühung eine Expeimente

4 Stochatik DEfinitionEn Ein Zufallexpeiment it ein Expeiment, bei dem de einzelne Augang nicht voheehba it. Da Egebni it jede mögliche Augang eine Zufallexpeiment.

2 4 Stochatik DEfinitionEn Ein Zufallexpeiment it ein Expeiment, bei dem de einzelne Augang nicht voheehba it. Da Egebni it jede mögliche Augang eine Zufallexpeiment. Wi bechänkenun tet aufexpeimentemit endlichvielenegebnien,diei mit e 1, e 2,..., e m ( m [ Nı)ymboliieen. S ={e 1,e 3,..., e m }heißt Egebnimenge (Egebniaum) de Zufallexpeiment. Bei jede Duchfühung de Zufallexpeiment mu eine de Egebnie e 1, e 2,..., e m einteten. Die Anzahl S de Egebnie de Egebnimenge heißt Mächtigkeit von S. BEiSpiEl Ein Skatblatt beteht au den 32 abgebildeten Katen: Wenn i zufälligau dieem Katenpiel einekateziehen,dann ehalten i genau eine de 32 Katen. Die Egebnimenge fü diee Expeiment hat dann ämtliche 32 Katen al Elemente. S={Keuz: A, 10e,K,,Kao:,8e,7e} Man kann auch enige mächtige Egebnimengen bilden. Ziehen eine Kate und die Fage nach de Figu de gezogenen Kate: S={König, Dame, Bube, keine Figuenkate} Ziehen eine Kate und die Fage nach de Fabe de gezogenen Kate: S={Keuz, Pik, Hez, Kao}

3 4.1 Zufallexpeimente AufgABE 1 AufgABE 2 Geben Sie die Egebnimenge fü die Zufallexpeimente an. a) Wefen eine Reißnagel und die Fage, in elche Lage eliegen bleibt. b) Gebut eine Kinde und die Fage nach einem Gechlecht. c) Ziehen eine Loe und die Fage, ob Geinn ode Niete. d) Qualitätkontollein einepozellanmanufaktunach1.wahl,2.wahl odeau chu. GebenSiezeiodedeimöglicheEgebnimengenanfüdiefolgenden Zufallexpeimente. a) Umfage unte den Schüle/ innen nach de Religionzugehöigkeit. b) Bei eine Wahl teten die Pateien A,B,C,D,Eund Fan. c) In eine Une* liegen chaze ode eiße Kugeln mit den Ziffen 1 bi 5. Eine Kugel id gezogen. Mehtufige Zufallexpeimente Man kann vechiedene eintufige Zufallexpeimente hinteeinande ode ein Zufallexpeiment mehmal aufühen. BEiSpiElE 1.Zeimalige Wefen eine Münze Z W Da Baumdiagamm emöglicht die Egebnimenge S={( Z,Z ), ( Z,W ), ( W,Z ), ( W,W )} leicht aufzufinden. Jede Egebni entpicht einem Pfad von link nach echt duch den Baum. Bei einem zeitufigen Zufallexpe iment kann man die Egebnie al (geodnete) Paae angeben. 1. Stufe 2. Stufe Z (Z, Z) Z Pfad W (Z, W) Z (W, Z) W Baumdiagamm W (W, W) Egebnie * JakobBenoulli ( )fühte al Ete eine Une zu Simulation von Zufallexpeimenten ein. Eine Une enthält dabei gleich gefomte Kugeln, die ich nu duch die Fabe, eine Ziffe ode ein andee Mekmal untecheiden. Man zieht diekugeln o aude Une, da man et nach demziehen fettellen kann, elche MekmaldieKugel tägt

4 4 Stochatik 2. Eine Une enthält zei eiße, eine ote und zei chaze Kugeln. E id zeimal nacheinande eine Kugel (blind) gezogen und die Fabe notiet. Diee Zufallexpeiment kann auf vie vechiedene Aten duchgefüht eden. Ziehen mit Zuücklegen De Inhalt de Une bleibt bei jede Ziehung gleich. Die zuet gezogene Kugel id zuückgelegt und kann ein zeite Mal gezogen eden. a) Reihenfolge id beachtet 1. Stufe 2. Stufe Egebnie (geodnete Paae) ( ; ) ( ; ) ( ; ) * Stat ( ; ) ( ; ) ( ; ) Baumdiagamm Egebnimenge ( ; ) ( ; ) ( ; ) S 1 ={( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; )} S 1 =9 b) Reihenfolge id nicht beachtet Egebnie (ungeodnete Paae): ( ; )( ; ),( ; )( ; )und( ; )( ; )inddann gleicheegebnie. Die Egebnimenge (de Egebniaum) it hie S 2 ={(, )(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} S 2 =6 * Inhalt de Une vo de nächten Ziehung

5 4.1 Zufallexpeimente Ziehen ohne Zuücklegen De Inhalt de Une ändet ich nach jede Ziehung: Die gezogene Kugel id nicht in die Une zuückgelegt. a) Reihenfolge id beachtet Stat 1. Stufe Egebnie ind geodnete Paae (1 1 2) Eine andee Möglichkeit, eine Egebnimenge fü diee Zufallexpeiment zu geinnen, it die Mehfeldetafel. S 3 *enthält aufgundeineytematichen Kontuktion auch da Egebni (, ), da jedoch ebeno ie die Null beim Wüfeln nicht aufteten kann. Dennoch it S 3 * eine zuläige Egebnimenge. ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) Egebnimenge: S 3 = {(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ), (, ),(, )}; S 3 =8 Die ote Kugel kann kein zeite Mal gezogen eden. b) Reihenfolge id nicht beachtet ( Lottoziehung ) (2 0 2) (2 1 1) 1. Zug S 3 * Egebnie ind ungeodnete Paae. Die Paae (, ), (, )und (, ), (, )und (, ), (, )ind gleiche Egebnie. Egebnimenge: S 4 ={(, ),(, ),(, ),(, ),(, )}; S 4 =5 2. Zug 2 mal Ziehen ohne Zuücklegen 3.Weden zei Zufallexpeimente nacheinande duchgefüht, o kann man die auch al ein Zufallexpeiment auffaen. Die Egebnimenge it jedoch vechieden, je nachdem ie die Egebnie notiet eden. a) Ein Wüfel id zeimal nacheinande geofen. Nach jedem Wuf id die oben liegende Augenzahl notiet. (Entpicht dem Expeiment: Zei untecheidbae Wüfel eden zugleich geofen.)

6 4 Stochatik : 1(3;1) 2(3;2) 1. Wuf 2. Wuf Egebnimenge (geodnete Paae) 3(3;3) S ={(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5), 4(3;4) (1;6),(2;1),...(6;4),(6;5),(6;6)} 5(3;5) 6(3;6) S =36... b) Ein Wüfel id zeimal nacheinande geofen. E id nu die Summe de Augenzahlen au beiden Wüfen notiet. (Entpicht dem Expeiment: Zei nicht untecheidbae Wüfel eden zugleich geofen.) Mehee Augänge de Zufallexpeiment von a)gehöen zu einem Egebni. Augänge Augenumme (1;1) 2 Zu den 36 Augängen de (1;2) (2;1) 3 Zufallexpeiment von a) (1;3) (2;2) (3;1) 4 gehöt nun die Egebni (1;4) (2;3) (3;2) (4;1) 5 menge S *= (1;5) (2;4) (3;3) (4;2) (5;1) 6 {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}; (1;6) (2;5) (3;4) (4;3) (5;2) (6;1) 7 S * =11. (2;6) (3;5) (4;4) (5;3) (6;2) 8 (3;6) (4;5) (5;4) (6;3) 9 S *tellt einevegöbeung (4;6) (5;5) (6;4) 10 von S da. (5;6) (6;5) 11 (6;6) 12 Baumdiagamme Vo allem bei mehtufigen Zufallexpeimenten ind Baumdiagamme unvezichtba fü die Übeicht. Von einem Wuzelpunkt au zeichnet man Wege bz. Pfade zu den ich auchließenden Egebnien, die bei de eten Stufe de Expeiment aufteten. Von dot geht man entpechend eite zu den Egebnien de eiteen Stufen. Jedevom Wuzelpunkt zu einemendpunkt fühende Pfad entpicht einemaufall (Egebni) de mehtufigen Expeiment. n -tupel Die Egebnie bei einem 2 tufigen Expeiment heißen Paae ( e 1 ),bei einem 3 tufigenexpeiment Tipel(e 1,e 3 ). Beieinem n tufigenexpeiment ehält man al Egebnie n Tupel (e 1,...e n )

7 4.1 Zufallexpeimente 1. Stufe 2. Stufe 3. Stufe e 1 e 2 (e 1,e 3 ) e Pfad 3 Egebni AufgABE 3 AufgABE 4 AufgABE 5 AufgABE 6 AufgABE 7 Eine Münze id zeimal nacheinande geofen. a) Welche Egebnimenge ehält man, enn nach jedem Wuf die oben liegende Seite notiet id? b) Welche Egebnimenge ehält man,enn man ich nu dafü inteeiet,elche Seiten oben liegen, nicht jedoch inelchem Wuf? c) Welche Egebnimenge ehält man, enn man zei vechiedene Münzen zugleich ift? d) Welche Egebnimenge ehält man, enn man zei gleiche Münzen zuammen ift? Veanchaulichen Sie duch Baumdiagamme. Eine Une enthält dei eiße und zei chaze Kugeln. Man zieht dei Kugeln a) gleichzeitig (in einem Giff); b) nacheinande,ohne die gezogenen Kugeln zuückzulegen; c) nacheinande,indem man die gezogenen Kugeln zuücklegt. Veanchaulichen Sie mit Baumdiagammen und geben Sie die jeeiligen Egebnimengen an. Eine pivate Kankenkae möchte ihe Veicheungpämien fü Rauche und Alkoholikeanheben. WelcheTaifklaenindnötig? Veanchaulichen Sie die Taifklaen (Egebnie) al zeitufige Zufallexpeiment. Beim Heentennitunie in Bolheim geinnt de Spiele, de die eten beiden Spiele nacheinande ode zuet ingeamt dei Spiele geinnt. Welche Egebnie ind möglich? Zeichnen Sie ein Baumdiagamm. Da Zufallexpeiment Wefen eine Wüfel id o lange duchgefüht,bi eine Sech echeint, abe höchten 6 mal. Entefen Sie ein geeignete Baumdiagamm und geben Sie eine Egebnimenge an. AufgABE 8 Kinde efinden ein Zahlenlotto 3au 5. Welche Egebnie ind möglich? (Bei Lotto pielt die Reihenfolge de gezogenen Zahlen keine Rolle.) AufgABE 9 In eine Schachtel (Une) liegen die Buchtaben A, S, U. Man zieht deimal hinteeinande (ohne zuücklegen) und bildet ein Wot. Geben Sie die Menge S alle möglichen Wöte an

Ähnliche Dokumente

Lösungen I.1. 21/3 = {AA, ABA, ABB, BB, BAB, BAA} (A bzw. B steht für Person A bzw. Person B hat Satz gewonnen )

Lösungen I.1. 21/3 = {AA, ABA, ABB, BB, BAB, BAA} (A bzw. B steht für Person A bzw. Person B hat Satz gewonnen ) Löungen I.1 a) Gundbegiffe 161/1a = {0; 1;...; 9} latt/1 jede mögliche ugang eine Zufallexpeiment daf im Egebniaum nu einmal vokommen (eindeutige Zuodnung); hie gehöt abe z.. de ugang 2 geüfelt oohl zu