Dietmar Pfeifer i Math. Kolloquium, Univ. Ulm, 10. Mai 2011

Transkript

1 Moellierung un Simulation hochimensionaler Abhängigkeiten versicherungstechnischer Risiken Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik Schwerpunkt Versicherungs- un Finanzmathematik

2 Agena Ein kurzer Blick in ie Historie Copulas Bernstein-Copulas Zerlegung-er-Eins-Copulas Von er empirischen zur Bernstein-Copula Simulationen mit Bernstein-Copulas Ein Anwenungsbeispiel Literatur

3 2 Ein kurzer Blick in ie Historie Weierstraß scher Approximationssatz: Die Menge er Polynome ist icht im Raum C [ ] 0,. Probabilistischer Beweis von S.N. Bernstein (92) mit Bernstein-Polynomen: n k n Bf = n ( x) f x ( x) n k k= 0 k n k [ ] [, ] glm. f ( x), x 0,, f C 0.

4 3 Ein kurzer Blick in ie Historie Weierstraß scher Approximationssatz: Die Menge er Polynome ist icht im Raum C Beweisiee: n k n Bf = n ( x) f x ( x) n k k= 0 k n k [ ] 0,. n = Ef = ( ) Xk Ef Xn n k= mit einer Folge { X n } stochastisch unabhängiger, B(, x) -binomialverteilter Zufallsvariablen [ Gesetz er großen Zahlen]

5 4 Ein kurzer Blick in ie Historie Weierstraß scher Approximationssatz: Die Menge er Polynome ist icht im Raum C [ ] 0,. Konvergenz-Abschätzung (mit Tschebyscheff-Ungleichung): [ ] ω δ + f C 0, Bf ( ; ), [ ] δ δ> n f f 0, n C 0, 2 2n mit em Stetigkeitsmoul { [,, ] x y } ω( f; δ ): = sup f( x) f( y) x, y 0 δ

6 5 Ein kurzer Blick in ie Historie Weierstraß scher Approximationssatz: Die Menge er Polynome ist icht im Raum C 0,. [ ] Verbesserte Abschätzung für f" C 0, : [ ] x( x) f" C[ 0,] Bf n ( x) f( x) f", x 0, C[ 0,] 2n 8n ( n ) [ ] (zugleich ist O ie bestmögliche Konvergenzornung)

7 6 Ein kurzer Blick in ie Historie Sergeij Natanovich Bernstein

8 7 Ein kurzer Blick in ie Historie Erweiterung es Approximationssatzes [Butzer (962)]: Die Menge er Polynome ist icht im Raum [ ] C 0,,. ( ) Beweisiee: für n = n,, n : k k n Bf n x x f x x n n i ki ni ki (,, ) =,, i ( i) k = 0 k = 0 n n i= k i Ef X ( n,, Xn ) = mit stochastisch unabhängigen, binomialverteilten Zufallsvariablen X i =,,, un P ik X = B, x { k } ( ) ik i

9 8 Ein kurzer Blick in ie Historie Erweiterung es Approximationssatzes [Butzer (962)]: Die Menge er Polynome ist icht im Raum [ ] C 0,,. Ähnliche Konvergenz-Abschätzungen, z.b bei genügener Glattheit: mit x = ( x,, x ): 2 f x [ 0, xi j C ] Bnf ( x) f( x), x 0, 8 n n i= j= i j [ ] [Konvergenzornung O ( m ) mit m= min { n, n }]

10 9 Ein kurzer Blick in ie Historie Erweiterung es Approximationssatzes urch Bézier un e Casteljau ( ) auf parametrische Kurven un Flächen mittels Steuerpunkten Karosseriebau bei Renault un Citroen; CAD Design er Schrifttypen in urch D. Knuth ab 977 (Beispiel aus Mathar / Pfeifer (99), S. 50)

11 0 Copulas Satz von Sklar (958): Jee mehrimensionale Verteilungsfunktion F kann zerlegt weren in eine Copula C un ihre einimensionalen Ranverteilungsfunktionen F,, F : ( ) C( ( ) ( x )) F x,, x = F x,, F Dabei beeutet eine Copula anschaulich eine -imensionale Verteilungsfunktion mit stetigen uniformen Ranverteilungsfunktionen.

12 Copulas Satz von Sklar (958): Jee mehrimensionale Verteilungsfunktion F kann zerlegt weren in eine Copula C un ihre einimensionalen Ranverteilungsfunktionen F,, F : C ( ) C( ( ) ( x )) F x,, x = F x,, F Die Copula ist eineutig bestimmt, wenn ie Ranverteilungsfunktionen stetig sin. In iesem Fall gilt auch ie Umkehrung ( u,, u ) = F( F ( u),, F ( u )) mit en Quantilfunktionen F,, F (Pseuo-Inverse).

13 2 Copulas Satz von Sklar (958): Jee mehrimensionale Verteilungsfunktion F kann zerlegt weren in eine Copula C un ihre einimensionalen Ranverteilungsfunktionen F,, F : Interpretation: ( ) C( ( ) ( x )) F x,, x = F x,, F Die Ranverteilungsfunktionen beschreiben as stochastische Verhalten er univariaten Risiken. Die Copula beschreibt ie stochastische Abhängigkeit zwischen en Risiken.

14 3 Copulas C Fréchet-Hoeffing-Schranken: + max = ui,0 : W C M i= ( u) ( u) ( u) = { u u } : min,, Fall = 2 Repräsentanten: ( X, X ) oer ( X, X ) ( X, X,, X)

15 4 Copulas Bekannte Typen von Copulas: parametrische Copulas: Elliptische Copulas ( Gauß-Copula, t-copula) Archimeische Copulas nichtparametrische Copulas: Bernstein-Copulas Zerlegung-er-Eins-Copulas ( B-Spline-Copulas)

16 5 Copulas Bekannte Typen von Copulas: genestete Copulas: Hierarchische Archimeische Copulas D-Vine Copulas ( Rosenblatt-Transformation) Generelles Problem: Fluch er Dimension : Hanhabbarkeit er Moellierung in hohen Dimensionen

17 6 Bernstein-Copulas Iee: Die Steuerpunkte es mehrimensionalen Ansatzes weren urch Gewichte aus Wahrscheinlichkeiten geeigneter iskreter multivariater Verteilungen mit uniformen Ränern ersetzt. Die Gewichte weren aus en Daten z.b. mittels er empirischen Copula geschätzt ( Kontingenztafel). Es ist eine explizite Darstellung er Copula-Dichte möglich.

18 7 Bernstein-Copulas U = U,, U U i, einer iskreten Gleichverteilung über Ti : = { 0,,, mi } mit, i =,, genügen. Ferner bezeichne mi ( ) sei ein Zufallsvektor mit Komponenten ie p ( k,, k ): = P { U = k } ( k,, k ) Dann wir über i= i i für alle T i. i= m k m Bmkz (,, ) = z ( z) k urch k m m (,, ) : = (,, ) i ( i ) [ ] cu u pk k mbm, k, u, u 0, i k = 0 k = 0 i= ie Dichte einer -imensionalen (Bernstein-)Copula efiniert. i

19 8 Bernstein-Copulas Die Copula selbst kann hieraus urch Integration gewonnen weren: (,, ) = (,, ) m m = < P { U k } B( m, k, x ) x [ ] i i i k = 0 k = 0 i= i= x x C x x c u u u u 0 0 i i, 0,. Formal ähnlich zu -imensionalem Bernstein-Polynom!

20 9 Bernstein-Copulas c betrachteten Risiken un setzt man Konvergenzverhalten: Ist ie wahre Copula-Dichte er sowie I k,, k + kj kj : =,,, j= mj m für alle k k T i i= j ( ) pk (,, k) : = P { = } U k = c( u,, u) u u i i i= Ik,, k (Glättung), so konvergiert ie Bernstein-Copula-Dichte mit wachsenem min { m,, m } gegen ie wahre Copula-Dichte.,

21 20 Zerlegung-er-Eins-Copulas Ausgangspunkt: Funktionen über [ 0, ] mit { φ( mk,, i ) 0 k m, m } Copula-Dichte: φ ( mku,, ) u= m 0 m k= 0 für k = 0,, m φ( mk,, i ) = für m. m m φ c u u P Ui ki mi mi ki ui u k = 0 k = 0 i = i= (,, ): = { = } φ(,, ), [ 0,].

22 2 Zerlegung-er-Eins-Copulas Spezialfälle: Bernstein-Copulas mit ( i) φ ( mk,, i ) = Bm, k, Gitter-Copulas mit φ ( mk,, i ) = ( i ) k k+, m m

23 22 Zerlegung-er-Eins-Copulas Graphische Veranschaulichung für = : m = 5 m = 0

24 23 Zerlegung-er-Eins-Copulas Graphische Veranschaulichung für = 2:

25 24 Zerlegung-er-Eins-Copulas Verallgemeinerung: für festes K Übergang zu Denn: φ φ K K j= 0 ( mk,, i ): = φ( K mk, k+ j, i ) für k = 0,, m K K ( mkuu,, ) = φ( K mk, k+ juu, ) = = K m m K 0 j= 0 0 j= 0 m K m K m φ ( m, k, i ) = φ( K m, K k+ j, i ) = φ( K m, i, i ) =. K k= 0 j= 0 k= 0 i= 0

26 25 Zerlegung-er-Eins-Copulas Graphische Veranschaulichung für = : m = 5 K = 3 K = 0

27 26 Von er empirischen zur Bernstein-Copula Empirische Copula: Analogon zur empirischen Quantilfunktion Gegeben: n unabhängige Beobachtungen z j,, z jn je Dimension j Ansatz: Transformation er Daten z,, j z jn auf ihre relati- ven Ränge rj,, rjn {,, n } Verwenung er ( ) n+ n+ r = r,, r als empirische Stichprobe i i i aus er zu Grune liegenen Copula.

28 i Dietmar Pfeifer Math. Kolloquium, Univ. Ulm, 0. Mai Von V er empirischen zur Bernstein-Copula Beispielatensatz ( = 2, n= 20 ): Nr. Schäen X Schäen Y 0,468 0, ,95 2, ,866 0, ,73 2,249 5,42 0, ,040,4 7 2,967,707 8,200, ,426,065 0,946,62 0,676 0,98 2,84, ,960 0,933 4,972,077 5,549,04 6 0,89 0, ,063 0,70 8,280,8 9 0,824 0, ,227 0,837

29 i Dietmar Pfeifer Math. Kolloquium, Univ. Ulm, 0. Mai Von V er empirischen zur Bernstein-Copula Beispielatensatz ( = 2, n= 20 ): Nr. Rang X Rang Y 0,8967 0, , , , , , , ,6852 0, , , , , , , ,4262 0, ,7352 0,7648 0, , , , , , ,7648 0, , , , , , , , , , , , ,09467

30 i Dietmar Pfeifer Math. Kolloquium, Univ. Ulm, 0. Mai Von V er empirischen zur Bernstein-Copula Beispielatensatz ( = 2, n= 20 ): Nr. Rang X Rang Y 0,8967 0, , , , , , , ,6852 0, , , , , , , ,4262 0, ,7352 0,7648 0, , , , , , ,7648 0, , , , , , , , , , , , ,09467

31 30 Von er empirischen zur Bernstein-Copula Schätzung er Gewichte ( k) pk, : 2 ob. Zell- Grenze 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Summe,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0 0, 0,9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0, 0,8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,05 0,00 0, 0,7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,05 0,00 0,00 0, 0,6 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0, 0,5 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0, 0,4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0, 0,3 0,00 0,00 0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, 0,2 0,00 0,00 0,00 0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, 0, 0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, Summe 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

32 3 Von er empirischen zur Bernstein-Copula Bernstein-Copula-Dichte: cxy (, ) = 0( x) ( y) x( x) y( y) x( x) y( y) x ( x) y ( y) x ( x) y ( y) x( x) y ( y) x ( x) y ( y) x( x) y ( y) x ( x) y ( y) y ( y) x ( x) y ( y) x ( x) y ( y) x ( x) x ( x) y ( y) x ( x) y ( y) x ( x) y ( y) + 0x y cxy (, )

33 32 Von er empirischen zur Bernstein-Copula Höhenlinien er Bernstein-Copula-Dichte überlagert mit Punkten er empirischen Copula

34 33 Von er empirischen zur Bernstein-Copula Problem: Ransummen eventuell nicht passen Optimierungsproblem zur Approximation urch eine zulässige Kontingenztafel x ij (mit m m-gitterung): min! m m m ( i= j= x ij ) 2 ij j i= j= m a unter en Nebenbeingungen m xik = x = un x, k 0 für k, =,, m. explizite Lösung rechnerisch aufwänig ( Karush-Kuhn- Tucker-Theorem)

35 34 Von er empirischen zur Bernstein-Copula Suboptimale Lösung: äquivalentes Lagrange-Problem ohne ie Nichtnegativitätsbeingung: x ij a a a m j i = ij + m 2 2 m für i, j =,, m, Positivitäts-Korrektur: x ij a = y ij mit 2 m a { ij } a: = min 0, x i, j m Explizite suboptimale Lösung in jeer Dimension bekannt! Problem tritt nicht auf, wenn m Teiler er Datenzahl ist!

36 35 Simulationen mit Bernstein-Copulas Mehrimensionales Problem: analoges Lagrange-Problem: min! ( ) ( xi i ai i ) i i I 2 ( ) : unter x [ k] ik = xi i = k mit I ( i) : = {,, m} { i} {,, m} k ( i i ) I ( i ) k k k m Allgemeine suboptimale Lösung (vor Positivitätskorrektur): x = a a ( i ) + für ( ) { } m,,,, i i m i i i i [ k] k m k= xi i a y i i = ma mit a: = min{ 0, x i,, i m} i i

37 36 Simulationen mit Bernstein-Copulas Bernstein-Copula-Dichte c ist nach oben beschränkt (etwa urch M = m max { yi i i,, i m}) Verwerfungsmethoe:. Erzeuge + unabhängige Zufallszahlen u,, u. ( ) Falls cu,, u > Mu, gehe zu 3, anerenfalls zu. ( 3. u,, u ) ist Stichprobe er Bernstein-Copula. urchschnittliche Stichprobenrate: / M

38 37 Ein Anwenungsbeispiel Simulationsstuie zur Bestimmung es Value at Risk für as Summenportfolio im obigen Beispiel (Folie 27) unter verschieenen Moell-Annahmen (Ranverteilungen mit Q-Q- Plot geschätzt): Gauß-Copula (elliptisch) Gumbel-Copula (Archimeisch) Untere Fréchet-Hoeffing-Schranke Bernstein-Copula (nichtparameterisch) Verteilungsanpassung für Summenaten (Lognormal)

39 38 Ein Anwenungsbeispiel

40 39 Literatur [] AAS, K., CZADO, C., FRIGESSI A. AND BAKKEN, H. (2009): Pair-copula constructions of multiple epenence. Insurance, Mathematics an Economics 44, [2] T. BOUEZMARNI, J. V.K. ROMBOUTS, A. TAAMOUTI (2008): Asymptotic properties of the Bernstein ensity copula for epenent ata. CORE iscussion paper 2008/45, Leuven University, Belgium. [3] V. DURRLEMAN, A. NIKEGHBALI, T. RONCALLI (2000): Copulas approximation an new families. Groupe e Recherche Opérationelle, Créit Lyonnais, France, Working Paper. [4] G. KAUERMANN, C. SCHELLHASE, C. AND D. RUPPERT (20): Flexible Copula Density Estimation with Penalize Hierarchical B-Splines. Preprint. [5] T. KULPA (999): On approximation of copulas. Internat. J. Math. & Math. Sci. 22, [6] X. LI, P. MIKUSINSKI, H. SHERWOOD, M.D. TAYLOR (997): On approximation of copulas. In: V. Beneš an J. Štepán (Es.), Distributions with Given Marginals an Moment Problems, Kluwer Acaemic Publishers, Dorrecht. [7] O. OKHRIN, Y. OKHRIN AND W. SCHMID (20): Determining the structure an estimation of hierarchical Archimeean copulas. Uner revision in Journal of Econometrics. [8] D. PFEIFER, D. STRAßBURGER, J. PHILIPPS (20): Moelling an simulation of epenence structures in nonlife insurance with Bernstein copulas. Revise Preprint. [9] A. SANCETTA, S.E. SATCHELL (2004): The Bernstein copula an its applications to moelling an approximations of multivariate istributions. Econometric Theory 20(3), [0] M. SALMON, C. SCHLEICHER (2007): Pricing multivariate currency options with copulas. In: Copulas. From Theory to Application in Finance, J. Rank (e.), Risk Books, Lonon,