Modellierung von Preisprozessen: Stochastische Volatilität

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1 Modellierung von Preisprozessen: Stochastische Volatilität Jochen Krebs

2 Gliederung 1. Ausgangssituation 2. Volatilitätsbegriffe 3. Ursachen von Volatilitätsschwankungen 4. Ein Volatilitäts-Informations-Modell 5. Stochastische Volatilität und die stilisierten Fakten 6. Überblick über Stochastic-Volatility Modelle 7. Das Two-State Modell 8. Das Standard-Stochastic-Volatility Modell

3 1. Ausgangssituation 1. Ausgangssituation Volatilität = Maß für die Preisvariabilität über eine Zeitspanne. Marktteilnehmer glauben nicht an konstante Volatilität. Stilisierte Fakten: Volatilitätscluster, Beträge und Quadrate der Renditen sind positiv autokorreliert. ARCH-Modelle tragen den veränderlichen Schwankungen der Renditen nur bedingt Rechnung, da die Volatilität in t nach Modellwahl vollständig durch die Prozessvergangenheit bestimmt wird. Makroökonomische Neuigkeiten verursachen einen kurzzeitigen, geringen Volatilitätsanstieg. Die Volatilität ist in Krisenzeiten hoch und in entspannten Phasen niedrig. Große Depression (Phase sehr hoher Volatilität) Watergate Affäre 1973 (Phase hoher Volatilität beendet durch Rücktritt von Nixon) Finanzkrise 1987, 11. September 2001 (den Ereignissen folgte eine Phase extrem hoher Volatilität)

4 2. Volatilitätsbegriffe 2. Volatilitätsbegriffe Beispiele für Gebrauchsformen des Volatilitätsbegriffs: 1. Die Volatilität der Siemens-Aktie ist 30 % pro Jahr. 2. Die jährliche Volatilität der Pfund-Dollar-Wechselkurs betrug %. 3. Die Volatilität einer Rendite vom 23. auf den 24. Dezember betrug (0.01) Die Volatilität eines Preisprozesses ist ein mean-reverting stochastischer Prozess. 5. Eine europäische Call-Option mit Kaufdatum , Ausübungszeitpunkt und Strike-Preis 20 Euro hat eine Volatilität von 0.15.

5 2. Volatilitätsbegriffe Unterschiedliche Interpretationen: 1. Volatilität als Parameter (z.b. der geom. Brownschen Bewegung). 2. Historische Volatilität der letzten n Renditen r t n,.., r t 1: ( ) 1 1 n 2 s = (r t i r) 2 n 1 Umfasst ein Jahr N Perioden, so kann s N als Schätzung der Ein-Jahres-Volatilität herangezogen werden. 3. Konditionale Volatilität: die Standardabweichung einer zukünftigen Rendite, gegebenen bereits bekannte Größen (frühere Renditen). Dazu benötigt man ein Zeitreihenmodell und eine vorausgehende Parameterschätzung an Hand historischer Daten. Modellwahl: z.b. ARCH. Einfachstes Beispiel: i=1 h t = w + α(r t 1 µ) 2 + βh t 1 Schätzung der Modellparameter w, α, µ, β über eine lange Zeitreihe. h t = (0.01) 2 für den Return vom auf den

6 2. Volatilitätsbegriffe 4. Stochastische Volatilität: Volatilität σ wird als nicht konstant angenommen. (σ t) t ist also ein stochastischer Prozess ( Volatilitätscluster möglich). Mit Hilfe von (r 2 t ) t, ( r t ) t lassen sich Informationen über (σ t) t gewinnen. 5. Implizierte Volatilität: im einfachsten Fall derjenige Parameter σ, für den der Marktpreis c M einer Option dem nach der Black-Scholes-Formel berechneten theoretischen Wert entspricht (dasjenige σ mit c(σ) = c M )). Allgemeiner: σ(t, K) mit c(σ(t, K)) = c M (T, K) (T Ausübungszeitpunkt, K Strike Preis). Optionspreise sind eine wichtige Vorhersagequelle für Volatilität.

7 3. Ursachen von Volatilitätsschwankungen 3. Ursachen von Volatilitätsschwankungen Inflation, Beschäftigungszahlen und industrielle Produktion beeinflussen die Volatilität von Aktien, Wechselkursen und Zinssätzen langfristig zu einem kleinen Anteil (Schwert 1989). Die Aktienvolatilität ist zu einem gewissen Anteil abhängig vom absoluten Marktwert der Aktie (Leverage Effekt: Volatilität steigt bei negativen Renditen stärker als bei entsprechenden positiven Renditen). Asymmetrische Informationen bedingen Veränderungen der Volatilität (Brock, LeBaron 1996, Timmermann 2001, Johnson 2001). Volatilität und Handelsvolumen sind positiv korreliert (aber vermutlich besteht kein direkter kausaler Zusammenhang) (Karpoff 1987, Gallant Rossi, Tauchen 1992). Neue Marktinformationen beeinflussen die Volatilität (empirisch schwer nachweisbar, da unklar ist, welche Informationen marktrelevant sind). Ökonomische Schlagzeilen haben einen signifikanten Einluß (Melvin, Yin 2000, Chang, Taylor 2003).

8 4. Ein Volatilitäts-Informations-Modell 4. Ein Volatilitäts-Informations-Modell Ziel: Erfassung der Auswirkung neuer Marktinformationen auf die Volatilität. Modellierung: Annahme eines effizienten Markts. Die täglichen Renditen r t haben den Erwartungswert µ. Die Anzahl der Neuigkeiten/Informationen in t ist eine Zufallsvariable: N t. Bei Eintreten der Neuigkeit i am Tag t ändert sich der logarithmierte Preis um ɛ i,t, wobei ɛ i,t iid N (µ, σ 2 ). Alle ɛ i,t sind untereinander unabhängig und unabhängig von N t.

9 4. Ein Volatilitäts-Informations-Modell Dann gilt: N t r t = µ + ɛ i,t mit ɛ iid i,t N (µ, σ 2 ) (1) i=1 Daher ist r t Nt =n t normalverteilt mit Varianz Var(r t N t = n t) = n tσ 2. Als Modell ergibt sich somit: r t = µ + σ tu t mit σ 2 t = N tσ 2, wobei u t iid N(0, 1) und u t unabhängig von σ t ist.

10 4. Ein Volatilitäts-Informations-Modell Die Volatilität σ t ändert sich, wenn sich die Anzahl der auf dem Markt eintreffenden Informationen ändert (aus (1)). Sind die Anzahlen von Neuigkeiten positiv autokorreliert, so sind es auch die Volatilitäten. In diesem Fall liegt ein Volatilitätsclustering vor. Unter weiteren Annahmen sind das erwartete Handelsvolumen und die Anzahl der eintreffenden Markinformationen proportional zueinander. In diesem Fall sind Volumen und Volatilität positiv korreliert. Kritik am Modell: Öffentlich zugängliche Informationen sind nicht die einzige Quelle für Preisänderungen (Insiderinformationen, Preisänderungen durch Spekulationen).

11 5. Stochastic-Volatility-Modelle und die stilisierten Fakten 5. Stochastic-Volatility-Modelle und die stilisierten Fakten Grundlegendes Stochastic-Volatility-Modell (SV-Modell): r t = µ + σ tu t, u t iid N (0, 1) σ t positive Zufallsvariable mit mehr als einem Wert (σ t) t N stationär, E(σt 4 ) < (σ t) t N positiv autokorreliert (σ t) t N, (u t) t N stochastisch unabhängig Abgrenzung zu ARCH-Modellen: Var(σ t r t 1, r t 2,..) > 0. Die Bedingung der Unabhängigkeit von (σ t) t und (u t) t impliziert: E(f 1(σ t, σ t 1,..)f 2(u t, u t 1,..)) = E(f 1(σ t, σ t 1,..))E(f 2(u t, u t 1,..))

12 5. Stochastic-Volatility-Modelle und die stilisierten Fakten Stilisierte Fakten von Preisprozessen: 1. Leptokurtische Verteilung (Kurtosis k r > 3), fat tails. 2. Renditen r t sind höchstens gering autokorreliert. 3. rt 2, r t positiv autokorreliert Volatilitätsclustering. Momente von r t: E(r t) = µ Var(r t) = E((r t µ) 2 ) = E(σ 2 t u 2 t ) = E(σ 2 t )E(u 2 t ) = E(σ 2 t ) E((r t µ) 4 ) = E((σ tu t) 4 ) = E(σ 4 t )E(u 4 t ) = 3E(σ 4 t )

13 5. Stochastic-Volatility-Modelle und die stilisierten Fakten Kurtosis(r t) = E((rt µ)4 ) = 3E(σ4 t ) (Var(r t)) 2 (E(σt 2 )) = 3 [ (E(σ 2 t )) 2 + Var(σt 2 ) ] 2 (E(σt 2 )) 2 ( ) = Var(σ2 t ) > 3 (E(σt 2 )) 2 cov(r t, r t+τ ) = cov(σ tu t, σ t+τ u t+τ ) = E((σ tu t)(σ t+τ u t+τ )) E(σ tu t)e(σ t+τ u t+τ ) = E(σ tσ t+τ )E(u t)e(u t+τ ) E(σ t)e(u t)e(σ t+τ )E(u t+τ ) = 0 0 = 0 für alle τ N ρ r (τ) = cov(rt, rt+τ ) (Var(r t)) 2 = 0 für alle τ N

14 5. Stochastic-Volatility-Modelle und die stilisierten Fakten Korrelation von s t = (r t µ) 2 : cov(s t, s t+τ ) = cov(σt 2 ut 2, σt+τ 2 ut+τ 2 ) = E(σt 2 ut 2 σt+τ 2 ut+τ 2 ) E(σt 2 ut 2 )E(σt+τ 2 ut+τ 2 ) = E(σt 2 σt+τ 2 )E(ut 2 )E(ut+τ 2 ) E(σt 2 )E(ut 2 )E(σt+τ 2 )E(ut+τ 2 ) = E(σt 2 σt+τ 2 ) E(σt 2 )E(σt+τ 2 ) = cov(σt 2, σt+τ 2 ) > 0 für alle τ N da σ 2 t als positiv autokorreliert vorausgesetzt wurde. Also: ρ s(τ) > 0 für alle τ N Wir werden sehen: ρ s(τ) = kr 3 3(k r 1) ρ σ 2(τ). Man kann zeigen, dass auch die Beträge der erwartungsbereinigten Renditen r t µ positiv autokorreliert sind.

15 5. Stochastic-Volatility-Modelle und die stilisierten Fakten Folgerung: Die grundlegenden stilisierten Fakten werden durch die vorgestellte Klasse von SV-Prozessen abgebildet. Freiheitsgrad: Wahl von (σ t) t. Bemerkungen: Allgemeinere SV-Prozesse erhält man, wenn man die Forderung, dass (u t) t ein Gaußprozess ist, aufgibt. Auch stochastisch abhängige Prozesse (σ t) t, (u t) t sind von Interesse, da nur auf diese Weise der Leverage-Effekt der Volatilität bezüglich der Renditen modelliert werden kann. Diese Situation ist jedoch sehr viel komplizierter, was sich bereits in der Berechnung der Momente zeigt. Im Folgenden werden Zeitreihenmodelle zur Volatilitätsschätzung eingesetzt, ohne dass die genauen Bedingungsfaktoren der Volatilitätsänderungen bekannt sind. Die Schätzung der Volatilitäten σ t erfolgt über die Renditen r t. Optionspreise tragen weitere Informationen bei, die zur Vorhersage von zukünftiger Volatilität verwendet werden können.

16 5. Stochastic-Volatility-Modelle und die stilisierten Fakten Allgemeine Formel für die Kurtosis, falls (u t) t kein Gauß-Prozess ist: Kurtosis(r t) =: k r = k u E(σ 4 t ) (E(σ 2 t )) 2 Für die Autokorrelationsfunktion von s t = (r t µ) 2 ergibt sich dann: ρ s(τ) = cov(st, st+τ ) var(s t) = E(σ4 t ) (E(σ 2 t ) 2 ) var(σ 2 t u 2 t ) = cov(σ2 t, σ 2 t+τ ) var(s t) ρ σ 2(τ) = = var(σ2 t ) var(s t) cov(σ 2 t, σ 2 t+τ ) var(σ 2 t ) ( ) (E(σt 2 ))2 E(σt k u k 4 ) u k (E(σt 2 u ))2 E((σt 2 ut 2 ) 2 ) (E(σt 2 ut 2 )) 2 ρ σ 2(τ) = = k r k u k u (E(u 4 (E(σt 2))2 t )E(σt 4 ) (E(σt 2 )) 2 ) ρ σ 2(τ) k r k u k u (k (E(σ ue(σ 4 t 2))2 t ) (E(σt 2 )) 2 ) ρ σ 2(τ) = kr ku k u(k r 1) ρ σ 2(τ)

17 6. Überblick über Stochastic-Volatility-Modelle 6. Überblick über Stochastic-Volatility-Modelle Rahmen aller SV-Modelle: r t µ = σ tu t In der einfachsten Situation sind (σ t) t, (u t) t stochastisch unabhängig und die Zufallsvariablen u t sind iid und standardisiert. Als Volatilitätsprozess kann z.b. eine endliche Markovkette mit zwei Zuständen gewählt werden (Two-State-Modell). Das sog. Standardmodell erhält man, wenn man den zentrierten, logarithmierten Volatilitätsprozess (log(σ t) µ log(σ) ) t als AR(1)-Prozess ansetzt. Selbst in den einfachsten Fällen ist die Parameterschätzung schwierig. Kompliziertere SV-Modelle: Heavier tails für die Verteilung von r t µ (σt ) t, (u t ) t stochastisch abhängig Multivariate SV-Modelle Kombination von SV-Modellen mit ARCH-Modellen

18 6. Überblick über Stochastic-Volatility-Modelle Vergleich von SV-Modellen mit ARCH-Modellen: SV-Modell: r t µ = σ tu t u t iid N (0, 1), σ t > 0 Var(σ t I t 1) > 0 Zwei Unsicherheitskomponenten bei gegebener Informationsmenge I t 1 = {r t 1, r t 2,...}: in u t und in σ t. ARCH-Modell: r t µ = h tz t z t iid Var(h t I t 1) = 0 Die Substitution h t := σt 2 impliziert nicht, dass SV-Modelle ARCH-Modelle sind, da Var(σ t I t 1) > 0 im Widerspruch zu Var(h t I t 1) = 0 steht.

19 7. Das Two-State-Modell 7. Das Two-State-Modell r t µ = σ tu t, u t iid N (0, 1) σ t = { σl mit Wahrscheinlichkeit p σ H mit Wahrscheinlichkeit 1 p (σ t) t Markov-Prozess: die Wahrscheinlichkeit eines Zustandswechsels hängt nur vom letzten Zustand ab. (σ t) t N stationär, E(σ 4 t ) < (σ t) t N positiv autokorreliert (σ t) t N, (u t) t N stochastisch unabhängig Bemerkungen: Einfachstes SV-Modell. Stilisierte Fakten werden bereits abgebildet. Weniger gute Beschreibung der Renditen als bei Modellen mit kontinuierlicher Volatilitätsverteilung.

20 7. Das Two-State-Modell Zustandswechsel-Wahrscheinlichkeiten: p LH := P{σ t = σ H σ t 1 = σ L } p HL := P{σ t = σ L σ t 1 = σ H } P{σ t+1 = σ L } = P{σ t = σ L σ t+1 = σ L } + P{σ t = σ H σ t+1 = σ L } = P{σ t = σ L } P{σ t+1 = σ L σ t = σ L } + P{σ t = σ H } P{σ t+1 = σ L σ t = σ H } = p(1 p LH ) + (1 p)p HL! = p Also: p HL pp LH = (1 p)p HL beziehungsweise p = P LH + p HL 5 Modellparameter: µ, σ L, σ H, p, p LH (bzw. p HL statt p LH ).

21 7. Das Two-State-Modell Momente von (r t) t: var(r t) = E(σ 2 t ) = pσ 2 L + (1 p)σ 2 H k r = Kurtosis(r t) = 3E(σ4 t ) (E(σt 2 )) = 3(pσ4 L + (1 p)σh) 4 2 (pσl 2 + (1 p)σ2 H )2 Autokorrelation von (σ 2 t ) t und (s t) t = ((r t µ) 2 ) t: ρ σ 2(τ) = φ τ mit φ := 1 p LH p HL k r 3 ρ s(τ) = 3(k r 1) φτ Der Persistenzparameter φ ist für die täglichen Renditen nahezu 1. Die Zustandswechselwahrscheinlichkeiten p LH und p HL sind daher sehr klein. Zustandswechsel sind selten Volatilitätscluster.

22 7. Das Two-State-Modell Parameterschätzung im Two-State-Modell: Likelihoodfunktion L(r 1,.., r n) einer Menge von Renditen = Produkt der bedingten Dichten. Mögliches Schätzverfahren: 1. Schätze µ durch das Datenmittel 1 n n r t. 2. Bestimme das Maximum der Funktion F (σ L, σ H, p LH, p HL ) := log L σl,σ H,p LH,p HL (r 1,.., r n) durch Anwendung des mehrdimensionalen Newton-Verfahrens auf F. t=1

23 7. Das Two-State-Modell Beispiel: DM/Dollar-Wechselkurs-Tagesgewinne. Parameterbestimmung lieferte folgende Werte: µ = , σ L = , σ H = , p = , φ = , p LH = , p HL =

24 7. Das Two-State-Modell Volatilitätsprozess im Beispiel:

25 8. Das Standard-Stochastic-Volatility-Modell 8. Das Standard-Stochastic-Volatility-Modell Einfachste kontinuierliche Verteilung der Volatilität: log(σ t) N (α, β 2 ). Diese Wahl garantiert σ t > 0 für alle t, alle Momente sind berechenbar und jede beliebige Kurtosis kann modelliert werden. Die Autokorrelation des Volatilitätsprozesses ist proportional zur Autokorrelation der absoluten, erwartungsbereinigten Renditen AR(1)-Prozess als einfachste Modellierung des Volatilitätsprozesses. Modellwahl für den Volatilitätsprozess: log(σ t) α = φ(log(σ t 1) α) + η t, η iid t N (0, ση) 2 wobei α = µ log(σ) der Erwartungswert der logarithmierten Volatilität ist. φ=volatilitätsbeständigkeit (Persistenzparameter) ( 1 < φ < 1).

26 8. Das Standard-Stochastic-Volatility-Modell Standard-Stochastic-Volatility-Modell: r t = µ + σ tu t, u t iid N (0, 1) log(σ t) α = φ(log(σ t 1) α) + η t, η t iid N (0, σ 2 η) ση 2 = β 2 (1 φ 2 ) µ, α, β R, 1 < φ < 1 (σ t) t N stationär (σ t) t N positiv autokorreliert (σ t) t N, (u t) t N stochastisch unabhängig

27 8. Das Standard-Stochastic-Volatility-Modell Wichtigste Eigenschaften des Standard-SV-Modells: Alle Momente sind endlich. k r = 3e 4β2. ρ r (τ) = 0 für alle τ > 0. ρ s(τ) > 0 für alle τ > 0. Approximativ gilt: ρ s(τ) c(β)φ τ für eine positive Konstante c(β). Die Autokorrelationsfunktion von r t µ p hat approximativ dieselbe Gestalt wie die Autokorrelationsfunktion von s t = (r t µ) 2.

28 8. Das Standard-Stochastic-Volatility-Modell Linearisierte Darstellung des Standard-SV-Modells: Für l t = log( r t µ ), L t = log(σ t), ξ t = log( u t ) schreiben sich die Bestimmungsgleichungen des Standard-SV Modells als l t = L t + ξ t L t = (1 φ)α + φl t 1 + η t Diese Darstellung ermöglicht die Anwendung von Parameterschätzverfahren wie dem Kalman-Filter. Der Persistenzparameter φ liegt gewöhnlich zwischen 0.95 und 0.99, da die Prozesse r t bzw. rt 2 eine sehr hohe Autokorrelation aufweisen.

29 8. Das Standard-Stochastic-Volatility-Modell Beispiel: DM/Dollar-Wechselkurs-Tagesrenditen. Parameterbestimmung lieferte folgende Werte: µ = , α = 5.155, β = , φ =

30 8. Das Standard-Stochastic-Volatility-Modell Volatilitätsprozess im Beispiel: Starke empirische Hinweise sprechen im Beispiel der Wechselkursrenditen gegen das Two-State Modell (Taylor 1999).

31 8. Das Standard-Stochastic-Volatility-Modell Schlussbemerkung: Stochastic-Volatility Modelle sind eine wertvolle Alternative zu ARCH-Modellen, da sie die stilisierten Fakten ebenfalls nachbilden. Ihr Vorteil liegt in der umfassenderen Einbeziehung von Volatilitätseffekten. Nachteilig ist die deutlich schwierigere Parameterbestimmung selbst für die einfachste Modellwahl (Two-State-Modell).