Teil IV. Produktion und Zeit. 12. Produktionsökonomie (1-Perioden-Modell) 13. Intertemporales Gleichgewicht (2- bzw. Mehr-Perioden-Modell)

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1 Teil IV Poduktion und Zeit 2. Poduktionsökonomie (-Peioden-Modell) 3. Intetempoales Gleichgewicht (2- bzw. Meh-Peioden-Modell) In den beiden Kapiteln 2 und 3 untesuchen wi die Rolle de Poduktion in eine Wettbewebsökonomie. Im Kapitel 2 wid die Poduktion in ein statisches Gleichgewichtsmodell als Eweiteung de Tauschökonomie im Kapitel 0 implementiet. Im Kapitel 3 wid die Poduktion im Rahmen eines intetempoalen Gleichgewichtsmodells untesucht. Diese Modelltyp bildet die mikoökonomische Fundieung fü die Makoökonomie und die Finanzieungstheoie. 3. Poduktionsökonomie Fagestellungen Effiziente Poduktionsmöglichkeiten Gleichgewicht eine Poduktionsökonomie Effizienz eine Poduktionsökonomie Effizienz und Geechtigkeit eine Poduktionsökonomie Konzepte Tansfomationskuve Existenz des Poduktionsgleichgewichts Paeto-Effizienz de Poduktionsökonomie Inhalte 2. Modellahmen 2.2 Effiziente Poduktionsmöglichkeiten 2.3 Gleichgewicht eine Poduktionsökonomie 2.4 Effizienz des Gleichgewichts eine Poduktionsökonomie 2.5 Effizienz und Geechtigkeit eines Poduktionsgleichgewichts Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 47

2 Chaakteisieung de Poduktionsökonomie Wie im Kapitel 0 (Tauschgleichgewicht) analysieen wi ein -Peioden-Modell. Das Modell des Kapitels 0 wid jedoch in folgende Weise eweitet: Die Annahme eine gegebenen Güteausstattung wid aufgegeben. Die Gütepoduktion wid in das Modell integiet. Zu Veeinfachung wid ein exogenes Faktoangebot vogegeben. (In komplexeen Modellieungen wid auch das Faktoangebot an Kapital und Abeit endogenisiet.) 2. Modellahmen Wi behalten den Modellahmen des Kapitels 0 weitgehend bei. Wi untestellen 2 Haushalte (A,B) und 2 Güte (,2). Neu ist hingegen die Annahme, dass die Güte in zwei Sektoen, die ebenfalls mit,2 indiziet weden, mit den Poduktionsfaktoen, Kapital und Abeit K,L, poduziet weden. Faktomäkte: Angebot und Nachfage Das Angebot an Poduktionsfaktoen wid nicht endogen bestimmt. Es wid vielmeh angenommen, dass die Haushalte A und B mit exogen vogegebenen Beständen an Poduktionsfaktoen - Kapital K und Abeit L - ausgestattet sind: e A = K A,L A e B = ( K B,L B ) (2.a) (2.b) Die Haushalte bieten diese Faktoen auf den Faktomäkten gegen eine Faktoentlohnung an. Das Faktoangebot de Haushalte wid mit A,B indiziet. Die Untenehmen fagen die auf den Faktomäkten Abeitsleistungen und Kapitalgüte nach, die zum Lohnsatz w und zum Kapitalzins, zu den sog. Benutzungskosten de Poduktionsfaktoen entlohnt weden. Die sektoale Nachfage nach den Faktoen wid mit,2 indiziet. Das aggegiete Faktoangebot und die aggegiete Faktonachfage müssen im Gleichgewicht folgenden Bedingungen genügen: K A + K B = K = K + K 2 (2.2a) L A + L B = L = L + L 2 (2.2b) Gütepoduktion Die beiden Güte weden in zwei Industiesektoen hegestellt, die wie die Güte mit,2 indiziet weden. Die Technologie de beiden Sektoen wid duch zwei unteschiedliche Poduktionsfunktionen efasst: X = F K,L (2.3a) X 2 = G( K 2,L 2 ) (2.3b) Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 48

3 Um eine zwangsläufige Monopolisieung de Ökonomie auszuschließen, untestellen wi konstante bzw. abnehmende Skalenetäge. De Einfachheit halbe venachlässigen wi die Abscheibung des Kapitals, i.e. de Output wid beeits in Nettogößen betachtet. Gütemäkte: Peise und Gleichgewichte Die Untenehmen bieten die poduzieten Güte auf den Gütemäkten zu Peisen p und p 2 an. Die Haushalte kaufen Güte von den Untenehmen zu diesen Peisen. Im Gleichgewicht müssen die aggegiete Nachfage x A + x B und das Güteangebot X auf beiden Gütemäkten übeeinstimmen: X x A x B = 0 X 2 x 2 A x 2 B = 0 (2.4a) (2.4b) 2.2 Effiziente Poduktionsmöglichkeiten Die effizienten Poduktionsmöglichkeiten efassen alle Kombinationen de Gütemengen, die mit den vefügbaen Faktoen und Technologien hegestellt weden können. Sie weden duch die Tansfomationskuve (Poduktionsmöglichkeitenkuve) abgebildet Heleitung de Tansfomationskuve: Effiziente Faktoeinsatz Die Poduktionsmöglichkeiten kann man emitteln, indem man den Output eines Gutes bei gegebenen Faktomengen und Technologien sowie unte Vogabe de Poduktion des andeen Gutes maximiet. Ein Punkt de Tansfomationskuve kann duch folgendes Optimieungspoblem emittelt weden: Max K,L,K 2,L 2 F K,L gegeben X 2 = G( K 2,L 2 ) K = K + K 2 (2.5) L = L + L 2 Um dieses Optimieungspoblem zu veeinfachen, empfiehlt es sich den Faktoeinsatz in de Poduktion des Gutes 2 duch die Faktoestiktionen zu esetzen. Das Poblem veeinfacht sich in diesem Fall zu Max F K K,L,L gegeben X 2 = G( K K,L L ) + λ G( K K,L L ) X 2 Duch die Maximieung de Lagange-Funktion L = F K,L egeben sich neben de Beschänkung die folgenden Bedingungen. Odnung: (2.6) Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 49

4 L K = F K λ G K 2 = 0 (2.7a) L L bzw. = F L λ G L 2 = 0 (2.7b) F K G K 2 = λ = F L G L 2 (2.8) Die Relation zwischen den Genzpodukten des Kapitals in den beiden Sektoen muss mit de Relation de Genzpodukte de Abeit in beiden Sektoen übeeinstimmen. Die Relation de maginalen Faktopoduktivitäten entspicht in beiden Sektoen dem Lagange-Multiplikato λ. Gleichung (2.8) lässt sich auch wie folgt umscheiben: MRTS = F L F K = G L 2 G K 2 = MRTS 2 (2.9) Die Bedingungen (2.8) bzw. (2.9) chaakteisieen im Vebund mit den Nebenbedingungen des Optimieungspoblems (2.5) einen Punkt de Tansfomationskuve. Indem man die Beschänkung fü X 2 in (2.5) bzw. (2.6) ändet, ehält man weitee Punkte de Tansfomationskuve. X 2 T(X,X 2. )=0 X 2 ' X ' X Die Tansfomationskuve kann als explizite X 2 = X 2 X = 0 efasst weden. T X,X Anstieg de Tansfomationskuve bzw. als implizite Funktion Den Anstieg de Tansfomationskuve bezeichnet man als Genzate de Tansfomation, bzw. maginale Rate de Tansfomation (MRT), zwischen den beiden Güten und 2, kuz MRT ( X,X 2 ). Aufgund des Satzes übe implizite Funktionen kann letztee wie folgt beechnet weden: tgα = MRT ( X,X 2 ) = dx 2 = T ( ) X (2.0) dx T ( ) X 2 Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 50

5 Die MRT gibt die Reduktion des Outputs des Gutes 2 an, de bei gegebenen Technologien und Faktoausstattungen efodelich ist, um den Output des Gutes maginal zu ehöhen. Um den Zusammenhang zwischen de MRT in (2.0) und de Gleichung (2.8) zu ekläen, muss man (2.0) auf die damit einhegehenden Faktoeinsätze zuückfühen, indem man das totale Diffeential de Tansfomationskuve T X,X 2 = 0 nach den Faktoeinsätzen bildet: T X F dk K + F dl L + T X 2 Daaus lässt sich die MRT beechnen: = T ( ) X = T ( ) X 2 MRT X,X 2 G dk K 2 + G dl 2 L 2 = 0 (2.) 2 G K2 dk 2 + G L2 dl 2 F K dk + F L dl Diese Gleichung lässt sich auf zweielei Weise umfomen: (2.2) MRT ( X,X 2 ) = G K 2 G L2 dk 2 + dl G K2 2 F K dk + F L dl F K = G K 2 F K (2.3a) MRT ( X,X 2 ) = G L 2 F L G L2 dk G K2 2 + dl 2 F L dk F K + dl = G L 2 F L Fü jede maginale Bewegung entlang de Tansfomationskuve muss wegen de Faktomaktgleichgewichte (2.2a) bzw. (2.2b) dk 2 = dk bzw. dl = dl 2 gelten. Wegen (2.9) müssen an jeden Punkt de Tansfomationskuve die Relationen de Genzpodukte de beiden Faktoen in beiden Sektoen übeeinstimmen, i. e. MRTS = MRTS 2. Ego haben die Büche in den eckigen Klammen den Wet minus Eins. (2.3b) Jede Punkt de Tansfomationskuve epäsentiet unte de Maßgabe de vefügbaen Ressoucen und Technologien eine effiziente Vewendung de Ressoucen in de Poduktion. 2.3 Gleichgewicht eine Poduktionsökonomie Existenztheoem: Es existiet ein System von Güte- und Faktopeisen p,p 2,w,, das den folgenden Bedingungen genügt:. Alle Haushalte vehalten sich ational (Nutzenoptimale Konsumnachfage). 2. Alle Untenehmen vehalten sich unte Wettbewebsbedingungen ational (Kostenminimieung und Gewinnmaximieung). 3. Die Güte- und Faktomäkte sind geäumt. Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 5

6 2.3. Rationale Haushalte Das ationale Vehalten de Haushalte auf Gütemäkten kann duch das folgende einfache Optimieungskalkül efasst weden: Max u A ( x A,x 2 A ) unte Beachtung de Budgetestiktion wl A + pk A p x A p 2 x 2 A = 0 p steht fü den Peisindex de (Kapital-)Güte. Eine nutzenmaximale Vewendung des Einkommens kann nu voliegen, wenn neben de Budgetestiktion die folgende Maginalbedingung efüllt ist: (2.4a) x A u A = p u A x 2 A p 2 (2.5a) Fü das Individuum B gibt es analoge Bedingungen zu (2.4a) und (2.5a). Dahe gilt: wl B + pk B p x B p 2 x 2 B = 0 x B u B = p u B x 2 B p 2 (2.4b) (2.5b) Aus (2.5a) und (2.5b) folgt: MRS A ( x A,x 2 A ) = p = MRS p B 2 (2.6) stimmt mit (0.0) im Skipt Miko I übeein Effiziente Wettbewebsuntenehmen ( x B,x 2 B ) (2.6) Effizientes Vehalten von Untenehmen unte Wettbewebsbedingungen kann duch dei Vehaltensbedingungen chaakteisiet weden:. Kostenminimieung (Effiziente Faktoeinsatz) 2. Gewinnmaximieung (Optimales Güteangebot) 3. Nullpofite aufgund konstante Skalenetäge (Wettbewebsbedingung) Kosten minimieende Untenehmen Effiziente Faktoeinsatz kann duch die Minimieung de Poduktionskosten Lohnkosten wl und Kapitalkosten pk beschieben weden. Die Minimieung de Kosten Min L,K wl + pk (2.7) efolgt unte de Bedingung, dass eine bestimmte Menge des Gutes hezustellen ist: = 0 X F K,L Ein Kostenminimum muss neben (2.8a) de Maginalbedingung (2.8a) Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 52

7 w p = F L = MRTS F K ( K,L ) (2.9a) genügen. Analog zu (2.8a) und (2.9a) gibt es entspechende Bedingungen fü die effiziente Poduktion de Untenehmung 2: = 0 X 2 G K 2,L 2 (2.8b) w p = G L 2 = MRTS G K 2 ( K 2,L 2 ) (2.9b) 2 Aus (2.8a) und (2.9a) bzw. (2.8b) und (2.9b) esultieen die folgenden (kosteneffizienten) Faktonachfagefunktionen: K = k L = l K 2 = g w p w p w p,x,x,x 2 mit k w p mit l w p mit g w p ( ) > 0, k X ( ) > 0 (2.20a) ( ) < 0, l X ( ) > 0 (2.20b) ( ) > 0, g X2 ( ) > 0 (2.2a) L 2 = h w p,x 2 mit h w p ( ) < 0, h X2 ( ) > 0 (2.2b) Im Falle abnehmende Skalenetäge steigen die Inputs stäke als de Output. Im Falle konstante Skalenetäge sind die Faktonachfagen linea in den Poduktionsmengen. Es liegen konstante Inputkoeffizienten fü Kapital k bzw. g ( ) und Abeit l ( ) bzw. h ( ) vo. Wenn man die Bedingungen fü den optimalen Faktoeinsatz, (2.9a) und (2.9b) zusammenfügt, esultiet eine Bedingung fü die technische Effizienz eines Untenehmenssektos unte Wettbewebsbedingungen: MRTS ( K,L ) = w p = MRTS 2 ( K 2,L 2 ) (2.22) Pofitmaximieung: Optimales Güteangebot Im Falle konstante Skalenetäge stellt sich das Gewinnmaximieungskalkül de Untenehmung wie folgt da: Max p X X pk w p,x wl w p,x (2.23) Die folgenden Bedingungen. Und 2. Odnung bilden notwendige und hineichende Voaussetzungen fü eine gewinnoptimale Ausbingungsmenge p pk X w p,x wl X w p,x = 0, (2.24a) Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 53

8 und pk X X w p,x wl X X w p,x < 0. (2.25a) Wenn man annimmt, dass die zweiten Ableitungen de Faktonachfagefunktionen positiv sind, liegt ein Gewinnmaximum vo. Diese Bedingung ist im Falle abnehmende Skalenetäge efüllt. Analog ehält man fü den Sekto 2 p 2 pg X2 w p,x 2 wh X 2 w p,x 2 = 0, (2.24b) und pg X2 X 2 w p,x 2 wh X 2 X 2 w p,x 2 < 0. (2.25b) Im Falle konstante Skalenetäge degeneieen die Bedingungen. Odnung zu Null- Pofitbedingungen p pk w p wl w p = 0, (2.26a) und p 2 pg w p wh w p = 0. (2.26b) De Peis muss mit den Duchschnittskosten übeeinstimmen. Es können nu die Kapitalkosten, jedoch keine Pofite ealisiet weden. Die Bedingung 2. Odnung veschwindet. Folglich liegt kein Pofitmaximum vo Relative Peise bei konstanten Skalenetägen unte Wettbewebsbedingungen Um die Analyse einfach zu halten, beschänken wi uns in diesem Sekto auf den Fall konstante Skalenetäge. Relative Peise und die Genzate de Tansfomation Die Null-Pofitbedingungen können benutzt weden, um die elativen Peise zu deteminieen und einen einfachen Zusammenhang zwischen den elativen Peisen und de MRT hezustellen. Die elativen Peise entspechen bei konstanten Skalenetägen den elativen Stückkosten: p p 2 = pk pg w p w p + wl w p k + wh w p = g w p w p + w p l w p + w p h w p Mit Hilfe de Maginalbedingungen de Untenehmen (2.9a) und (2.9b) kann man (2.27) umfomen zu (2.27) Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 54

9 p p 2 = k ( ) + F L l ( ) F K g ( ) + G L 2 h ( ) G K2 = G K 2 F K F K k G K2 g + F L l ( ) + G L2 h ( ). (2.28a) (2.27) bzw. (2.28a) können auch wie folgt umgefomt weden: p p 2 = w p k w p g + l ( ) + h ( ) = F K k ( ) + l ( ) F L G K2 g ( ) + h ( ) G L2 = G L 2 F L F K k G K2 g + F L l ( ) + G L2 h ( ). (2.28b) Aufgund de konstanten Skalenetäge sind Nenne und Zähle im echten Buch de echten Seite de Mehfachgleichungen (2.28a) und (2.28b) gleich Eins. (Aufgund des Eule- Theoems übe homogene Funktionen schöpft die Summe de Podukte de Faktoen mit ihen Genzpodukten das Podukt aus.) Die echten Seiten de Mehfachgleichung eduzieen sich auf die Genzate de Tansfomation, die gleich dem Vehältnis de Genzpodukte eines Faktos in beiden Sektoen ist. Ego müssen die elativen Wettbewebspeise und die MRT übeeinstimmen: p = G K 2 = G L 2 MRT ( X p 2 F K F L,X 2 ) (2.29) Gleichgewicht auf Güte und Faktomäkten Neben den Bedingungen, die das optimale Vehalten de Haushalte (2.4a), (2.4b), (2.5a), (2.5b) das optimale Vehalten de Untenehmen (2.8a), (2.8b), (2.9a), (2.9b) die Wettbewebsbedingungen (2.24a), (2.24b) efassen, wid das allgemeine Gleichgewicht duch deteminiet. die Gleichgewichtsbedingungen auf den Faktomäkten (2.2a), (2.2b), sowie die Gleichgewichtsbedingungen auf den Gütemäkten (2.4a) und (2.4b) Konsistenz des Gleichgewichts Es existieen 4 Gleichungen, um die folgenden 3 Vaiablen zu bestimmen: x A,x 2 A,x B,x 2 B,K,L,K 2,L 2,X,X 2, p p 2, w p 2, p 2 Es sind nu 3 Vaiable zu bestimmen, da in allen Gleichungen nu elative Peise vokommen. Die scheinbae Übedeteminietheit wid jedoch duch das Walassche Gesetz aufgelöst. Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 55

10 Walas' Gesetz Aggegiete Budgetbeschänkung des Haushaltssektos: p ( x A + x B ) + p 2 ( x 2 A + x 2 B ) = w L A + L B + p( K A + K B ) Aggegiete Budgetbeschänkung (Nullpofitbedingung) des Untenehmenssektos: p X + p 2 X 2 = w L + L 2 + p( K + K 2 ) Aus de Aggegation de sektoalen Budgets esultiet das Walassche Gesetz: p x A + x B X (2.30) (2.3) + p 2 ( x 2 A + x 2 B X 2 ) +w( L + L 2 L A L B ) + p( K + K 2 K A K B ) = 0 (2.32) Wenn die beiden Faktomäkte und de Makt fü das Gut geäumt sind, eduziet sich = 0. Weil alle Peise positiv sind, muss dahe auch de Makt (2.32) auf p 2 x 2 A + x 2 B X 2 fü Gut 2 geäumt sein. Konsequenz des Walasschen Gesetzes: Die Maktgleichgewichtsbedingung fü das Gut 2, kann o.b.d.a. venachlässigt weden. Dessen Peis, p 2, wid auf Eins nomiet, alle andeen Peise weden in Einheiten des Gutes 2 ausgedückt. Somit stehen 3 unabhängige Gleichungen zu Bestimmung de Vaiablen x A,x 2 A,x B,x 2 B,K,L,K 2,L 2,X,X 2,p,w, zu Vefügung. Das System ist wede übe- noch untedeteminiet. Allgemeines Gleichgewicht unte Wettbewebsbedingungen Aufgund de Maginalbedingungen de Haushalte (2.5a) und (2.6b) sowie de elativen Peise unte Wettbewebsbedingungen in (2.29) lassen sich die Bedingungen fü eine optimale Allokation eine Poduktionsökonomie unte Wettbewebsbedingungen wie folgt zusammenfassen: MRS A ( x A,x 2 A ) = MRS B x B,x 2 B = p p 2 = MRT X,X 2 (2.33) Um das Poduktionsgleichgewicht in eine geeigneten Gafik zu efassen, muss eine Annahme übe die Faktoausstattung getoffen weden. Übedies muss das Faktoeinkommen in Realweten (von Güten) ausgedückt weden: Tausch und Poduktion können in eine Gafik dagestellt weden: Die Faktoausstattung ist exogen. Wi nehmen an, dass sie so beschaffen ist, dass das eale Einkommen des Vebauches A auseicht um die gesamte Gütemenge X zu kaufen. Das Einkommen des Vebauches B entspicht geade dem Realwet des Gutes X 2. Das Tauschgleichgewicht mit den Maginalbedingungen des Haushaltssektos (2.6a) und (2.6b) und Budgetestiktionen de Vebauche (2.4a) und (2.4b) weden in de Edgewoth-Box efasst. Die MRS beide Haushalte stimmen aufgund Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 56

11 des Rationalvehaltens de Haushalte im Gleichgewicht mit den elativen Peisen übeein. Die Gleichgewichtsbedingungen auf Faktomäkten (2.2a), (2.2b) Maginalbedingungen (2.9a) und (2.9b) gaantieen, dass eine effiziente Poduktion de Güte auf de Tansfomationskuve efolgt. Die Gleichgewichte auf den Gütemäkten (2.4a), (2.4b) stellen siche, das die Edgewoth-Box die Tansfomationskuve tangiet. Alle Güte, die poduziet weden, weden auch vom Makt absobiet. Die Wettbewebsbedingungen des Untenehmenssektos (2.29) bilden die Budgetbeschänkung des Untenehmenssektos. (2.29) velangt, dass die Steigungen de Budgetgeaden de Untenehmen und de Vebauche übeeinstimmen. Die elativen Peise müssen fü den Haushaltessekto und den Untenehmenssekto übeeinstimmen. X 2 x B B x 2A X x 2B A x A X 2.4 Effizienz des Gleichgewichts eine Poduktionsökonomie Das Gleichgewicht eine Poduktionsökonomie ist effizient, wenn es keine Allokation gibt, die wenigstens ein Individuum besse stellt, ohne ein andes Individuum schlechte zu stellen Ableitung de effizienten Allokation Die Bedingungen fü eine effiziente Poduktion lassen sich aus dem folgenden Pogamm bestimmen: Max x A,x 2 A u A x A,x 2 A unte Beachtung de folgenden Nebenbedingungen: u B = u B ( x B,x 2 B ) (2.34) X F ( K,L ) = 0 (2.3a) Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 57

12 X 2 G( K 2,L 2 ) = 0 (2.3b) K A + K B K K 2 = 0 L A + L B L L 2 = 0 X x A x B = 0 X 2 x 2 A x 2 B = 0 (2.2a) (2.2b) (2.4a) (2.4b) Dieses Optimieungspoblem kann duch die Optimieung de folgenden Lagange-Funktion gelöst weden: ( ) L = u A ( x A,x 2 A ) + ξ u B u B x B,x 2 B + λ X F K,L + λ X 2 2 G K A + K B K,L A + L B L + µ X x A x B + µ 2 X 2 x 2 A x 2 B (2.35) Das Optimum muss neben den Beschänkungen (2.34) - (2.4b) die folgenden Bedingungen. Odnung efüllen: L x A = u A x A µ = 0 (2.36a) L x = ξ u B B ( ) x B µ = 0 (2.36b) L x2 = u A A ( ) x 2 A µ 2 = 0 (2.36c) L x2 = ξ u B B ( ) x 2 B µ 2 = 0 (2.36d) L X = λ + µ = 0 (2.36e) L X2 = λ 2 + µ 2 = 0 (2.36f) L K L L = λ F ( ) K + λ 2 G( ) K 2 = 0 (2.36g) = λ F ( ) L + λ 2 G( ) L 2 = 0 (2.36h) Da diese Bedingungen unübesichtlich sind, empfiehlt es sich, sie zu dei Kiteien zusammenzufassen Efassung de Effizienz des Poduktionsgleichgewichts Diese Bedingungen. Odnung lassen sich zu den dei folgenden Bedingungen eines effizienten Poduktionsgleichgewichts zusammenfassen: Tauscheffizienz Poduktionseffizienz Optimale Poduktmischung Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 58

13 Tauscheffizienz Wegen (2.36a)-(2.36d) müssen die MRS fü beide Individuen A und B übeeinstimmen: MRS A ( x A,x 2 A ) u x A A = µ = u x B B MRS u A x 2 A µ 2 u B x B x B,x 2 B 2 B (2.37) Effiziente Konsumallokationen müssen auf de Kontaktkuve liegen, so dass duch Tausch keine Wohlfahtsgewinne meh ealisiet weden können. Fü identische und homothetische Päfeenzen entspicht die Kontaktkuve de Hauptdiagonalen de Edgewoth-Box! Poduktionseffizienz Aufgund von (2.36g) und (2.36h) stimmen die MRTS übeein: MRTS ( K,L ) F L = G L 2 MRTS F K G K 2 ( K 2,L 2 ) (2.38) 2 Diese Bedingung ist aufgund de Kosteneffizienz gewähleistet. Bedingung (2.38) kann auch wie folgt aus gedückt weden: G L 2 = λ = G K 2 = MRT ( X F L λ 2 F K,X 2 ) (2.39) Auch diese Bedingung ist efüllt, da entlang de Tansfomationskuve poduziet wid Optimale Poduktmischung Aufgund von (2.36e) und (2.36f) müssen die MRS und die MRT übeeinstimmen. MRS A ( x A,x 2 A ) = MRS B x B,x 2 B = µ = λ = MRT X µ 2 λ,x 2 2 (2.40) Die poduktiven Ressoucen müssen auf die beiden Gütepoduktionen so aufgeteilt weden, dass die MRT mit den MRS de WISU übeeinstimmen. Dies ist duch die Bedingung fü eine effiziente Allokation (2.33) sichegestellt. In eine estbesten Welt ohne Impefektionen ist die Maktallokation Paeto effizient. Feilich wid dieses Egebnis duch mögliche Impefektionen so seh elativiet, dass ein bekannte Ökonom dieses estbeste Maktmodell als Niwana Appoach bezeichnet hat. 2.5 Effizienz und Geechtigkeit eines Poduktionsgleichgewichts Auch anhand des Poduktionsgleichgewichts kann man sich klamachen, dass Effizienz und Geechtigkeit wenig gemein haben: Ein Gleichgewicht mit eine egalitäen Veteilung de Poduktionsfaktoen ist ebenso effizient wie ein Gleichgewicht, in dem nu ein einziges Individuum die gesamte Kapitalausstattung besitzt. Auch bei extem ungleichen Veteilungen de Abeitsfähigkeit kann sich ein effizientes Gleichgewicht einstellen. Mikoökonomie II, js Poduktionsökonomie 59

14 3. Intetempoales Gleichgewicht Themenstellung Intetempoale Entscheidungen von Haushalten und Untenehmen Intetempoale Gleichgewichte (Güte- und Kapitalmäkte) Peisbestimmung eschöpfbae Ressoucen Bestimmung de Zinssätze Konzepte Reale Kapitalwet bzw. eale Nettobawet von Investitionen Risikoadjustiete Kapitalkosten bzw. Nettozahlungsstöme Hotelling-Regel fü eschöpfbae Ressoucen Kapitalmaktgleichgewicht Inhalte 3. Poblemstellung 3.2 Zwei-Peioden Modell 3.3 Multipeiodenmodell 3.4 Kapitalwet bzw. Nettobawet und Investitionsentscheidungen 3.5 Risikoadjustieung 3.6 Eschöpfbae Ressoucen 3.7 Bestimmung de Zinssätze Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 34

15 3. Poblemstellung Im Folgenden analysieen wi intetempoale ökonomische Modelle. In diesen Modellen geht es daum die optimale Vewendung de Ressoucen im Zeitablauf zu analysieen. Dabei geht es sowohl um die Entscheidungen übe den Konsum und die Espanisse in den veschiednen Peioden, als auch um die optimalen Investitionsentscheidungen de Vebauche und Untenehmen sowie die Beeitstellung des efodelichen Kapitals übe die Kapitalmäkte. De Einfachheit halbe beschänken wi uns zunächst auf eine einfache 2-Peioden Betachtung. In de Analyse diese Pobleme spielt die Zeitstuktu des Modells eine zentale Rolle. Güte können nämlich nicht nu nach ihen physischen Mekmalen, sonden auch nach dem Zeitpunkt ihe Vefügbakeit unteschieden weden: Güte, die sofot vefügba sind, können in de Gegenwat eine (konsumtiven bzw. eine investiven) Vewendung zugefüht weden. De Mitteltansfe übe die Peioden hinweg efolgt duch Investitionen in Finanzanlagen am Kapitalmakt bzw. in Finanz- und Realkapital im Untenehmenssekto (inkl. Immobilien). Güte, die est in de Zukunft vefügba sind, können est in de Zukunft eine (konsumtiven bzw. investiven) Vewendung zugefüht weden. Diese Umstand schlägt sich in de unteschiedlichen Zahlungsbeeitschaft de Konsumenten sowie Poduzenten und damit im Wet diese Güte niede. Die intetempoale Analyse muss dei Fagestellungen umfassen: Konsum- und Spa- bzw. Investitionsentscheidung de Konsumenten Investitionsentscheidung de Poduzenten Intetempoales Gleichgewicht Wi analysieen diese Pobleme im Rahmen diese Veanstaltung in zeitdisketen Modellen, in welchen die Zeit in Intevalle eingeteilt wid. Alle Vogänge, die in einem Intevall geschehen, weden ein und demselben Zeitpunkt zugeechnet. Vogänge in veschiedenen Intevallen weden veschiedenen Zeitpunkten zugeechnet (Vogehensweise des betieblichen Rechnungswesens). Dies hat Konsequenzen fü die Behandlung von Bestands- und Stomgößen: Bestandsgöße t- Bestandsgöße t Bestandsgöße t+ Stomgöße t Stomgöße t+ Zeit Zwischen den Bestandsgößen (stocks) unteschiedliche Peioden und bestimmten Stomgößen (flows) besteht folgende Zusammenhang: Δ stock stock stock = flow t t t t Neben zeitdisketen Modellen gibt es in de Ökonomie auch zeitstetige Modelle. Eigentlich wäe dies die ichtige Betachtung. In de Witschaftspaxis haben sich jedoch zeitdiskete Betachtungen duchgesetzt. Manches scheint anschauliche und einfache zu sein. Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 35

16 3.2 Zwei-Peioden Modell De Einfachheit halbe staten wi mit einem Zwei-Peioden-Modell. Die Zeitstuktu dieses Modells sieht folgendemaßen aus: Entscheidungszeitpunkt Ende Gegenwat Beginn Zukunft Ende Zukunft e e 2 e 3 c, s, i, s 2,, y 2, i 2 Gegenwat Zukunft Zeit Im Folgenden weden die oben genannten intetempoalen Pobleme im Rahmen eines Zwei- Peioden Modells analysiet. Um die Dastellung zu veeinfachen, beginnen mit de Konsumund Spaentscheidung de Konsumenten Die optimale Konsum- und Spaentscheidung de Konsumenten Die Witschaftssubjekte haben zwischen gegenwätigem und zukünftigem Konsum zu untescheiden. Sie unteliegen dabei den gegenwätigen und zukünftigen Budgetestiktionen Tempoäe und intetempoale Budgetestiktionen Wi nehmen an, dass die Espanis in Wetpapieen mit eine Laufzeit von Peiode angelegt wid, die eine feste Realvezinsung gaantieen. In de Gegenwat wid fü eine Peiode zu eine festen Realvezinsung angelegt. Zu Beginn de Zukunft wefen sie einen Etag ab, de das Nominale und die vespochene Realvezinsung enthält. Die Menge diese Papiee muss so gewählt weden, dass sie den nominalen Espanissen entspicht Ps = b. Wenn Ps = b negativ ist liegt ein Kedit (shot position) vo. Die Budgetbeschänkung fü die Gegenwat in ealen Gößen bindet den ealen Gegenwatskonsum und die ealen Espanisse an den Realwet de Ausstattung. Letztee beinhaltet alle Güte bzw. ealen Nicht-Kapitaleinkommen, die zu Beginn de Gegenwat vefügba sind. e = c + s = c + b P Die Budgetestiktion fü die Zukunft bindet den zukünftigen Konsum und die zukünftigen Espanisse an die Summe de ealen zukünftigen Ausstattung, inklusive alle Nicht- Kapitaleinkommen und des zukünftigen Realwets de gegenwätigen Espanisse. e 2 + s ( + ) = e 2 + b P + (3.) = + s 2 (3.2) Die tempoäen Budgetestiktionen lassen sich zu eine intetempoalen Budgetestiktion zusammenfassen, indem man die Espanisse aus den beiden Gleichungen eliminiet. Wegen Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 36

17 s = b P = c + s e und dem Gegenwatsbudget (3.) egibt sich die folgende intetempoale Budgetestiktion: e + e 2 + = c s 2 + (3.3) Diese intetempoale Budgetestiktion deteminiet die Konsumstöme de Witschaftssubjekte in den beiden Peioden in Abhängigkeit von den Gegenwatsweten de ealen Ausstattungen sowie den zukünftigen Espanissen. Die intetempoale Budgetestiktion deteminiet einen lineaen Zusammenhang zwischen gegenwätigem und zukünftigem Konsum. = ( + )e + e 2 s 2 ( + )c (3.3 ) Diese Budgetestiktion kann duch die nachstehende Gafik illustiet weden: e (+) +e 2 -s 2 e 2 -s 2 tg α = - (+) α e c Päfeenzen fü gegenwätigen und zukünftigen Konsum Witschaftssubjekte haben Päfeenzen fü gegenwätigen und zukünftigen Konsum. Diese Päfeenzen lassen sich auch duch eine quasikonkave Nutzenfunktion U = u c, mit u c,u c2 > 0, u c c,u c2 < 0, u c > 0 efassen. De Einfachheit halbe wid in vielen makoökonomischen und finanzwitschaftlichen Modellen eine zeitsepaable Veeinfachung diese Nutzenfunktion vewendet: u( c, ) = u( c ) + + ρ u ( ) mit u 0, u 0, ρ 0 > < > (3.4) Die Zeitpäfeenzate dückt die Päfeenz fü gegenwätigen gegenübe zukünftigen Konsum aus. Eine Menge zukünftigen Konsums stiftet einen geingeen Gegenwatsnutzen als die gleiche Menge gegenwätigen Konsums. Man kann die Zeitpäfeenzate als Maßzahl fü die Ungeduld de Individuen auffassen. Je höhe ρ umso göße die Ungeduld de Individuen. Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 37

18 Die Päfeenzen fü gegenwätige und zukünftige Güte duch Indiffeenzkuven epäsentieen. e 2 -s 2 Autakie e c Die güne Indiffeenzkuve efasst den Autakienutzen bzw. Resevationsnutzen. Es handelt sich dabei um das Nutzenniveau, das de epäsentative Haushalt ohne Kapitalmaktopeation eeichen kann, indem e seine Ausstattung in jede Peiode konsumiet. Im Allgemeinen ist dies nicht Nutzen optimieend Optimale Intetempoale Allokation: Optimale Konsumpfad Die optimale intetempoale Entscheidung lässt sich anhand folgende Gafik vedeutlichen: * e 2 -s 2 Autakie c * e c Das intetempoale Optimum wid duch zwei Eigenschaften chaakteisiet: Die optimale Entscheidung muss de sog. Maginalbedingung genügen. De Anstieg de Indiffeenzkuve und de Budgetgeade müssen übeeinstimmen. Die optimale Entscheidung muss auf de Budgetgeaden liegen. Die optimale intetempoale Entscheidung kann auch algebaisch und mit tiefeen Einsichten als Lösung des folgenden Optimieungspoblems emittelt weden: Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 38

19 Max u c c,c2 + + ρ u( c ) 2 (3.5) unte de Beschänkung: e + e 2 + = c s 2 + (3.3) Die Ausstattungen sind exogen gegeben. Die zukünftigen Espanisse weden in de 3-Peioden Modellieung deteminiet. Im 2-Peioden Modell sind sie ebenfalls exogen gegeben. Dieses Optimieungspoblem mit eine Nebenbedingung kann duch die Maximieung de folgenden Lagangefunktion gelöst weden: e2 s2 c2 Max Λ = u( c ) + u( c2 ) + λ e + c c,, λ + ρ (3.6) Die optimalen Konsumstöme weden duch folgende Bedingungen. Odnung deteminiet: Λ = u ( c ) λ = 0 c Λ = u ( c2 ) λ = 0 c + ρ + 2 Λ e2 s2 c2 = e + c = 0 λ Die Bedingungen (3.7a) und (3.7b) deteminieen die Maginalbedingung. u ( ) = u c + ρ + bzw. ( + ρ) u c u (3.7a) (3.7b) (3.7c) = + (3.8) Die Bedingung 2. Odnung ist duch die Konkavität de Nutzenfunktion gesichet, sodass die Deteminante de geändeten Hesse-Matix positiv ist det( H ) = u c ρ u + + = u c 0 + Die ökonomische Bedeutung des Lagange-Multiplikatos ρ u ( ) > 0 (3.9) Zunächst definieen wi das Vemögen, das den Konsumstömen zugefüht weden soll: W e + e 2 + s 2 + = c + + Das totale Diffeential hievon ist (3.0) Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 39

20 dw = dc + + d. (3.) Die Ableitung des Nutzens nach dem Vemögen betägt du c,c 2 2 dc = u c + u ( c2 ) dc (3.2) dw dw + ρ dw Aufgund de Bedingungen. Odnung kann man Gleichung (3.2) umfomen zu: du( c ) 2,c dc dc 2 dc dc + 2 = λ + λ = λ + = λ dw dw + dw dw (3.3) De Lagange-Multiplikato efasst den Genznutzen des Gegenwatswets des Vemögens, das in beiden Peioden dem Konsum zugefüht weden soll Optimale Intetempoale Allokation: Optimale Investitionen Man kann die intetempoale Entscheidung zu eine Entscheidung de optimalen Anlage umfomen. Indem man die Konsumstöme in de Nutzenfunktion mit Hilfe de tempoäen Budgetestiktionen eliminiet, ehält man ein Optimieungspoblem in eine Vaiablen. b b Max u e + u e2 s2 + ( + ) b P + ρ P Die optimale Anlage muss folgende Bedingung. Odnung genügen: u e b P P + + ρ u e s b P + (3.4) P = 0 (3.5) De Genznutzen de gegenwätigen ealen Genzkosten de Investition in ein Wetpapie muss mit dem gegenwätigen Genznutzen des zukünftigen ealen Genzetags des Wetpapies übeeinstimmen. Die Bedingung 2. Odnung ist wiedeum wegen de Konkavität de Nutzenfunktion efüllt: u e b P P ρ u e s b P + 2 P 2 < 0 (3.6) Offenkundig kann man die intetempoale Optimieung de Konsumstöme duch eine Optimieung de Anlage (ealen Espanis) esetzen. Die beiden Ansätze fühen zum gleichen Egebnis und sind dahe ökonomisch äquivalent Optimale Investitionsentscheidung de Untenehmen Wi untestellen, dass die Untenehmen von Managen geleitet weden, die den Wet de Untenehmung maximieen. Analog dazu könnte man annehmen, dass Eigentüme den Vemögenswet, den die Untenehmung dastellt, maximieen. Wi untestellen eine einfache Poduktionsfunktion mit einem Input und einem Output. Inputs und Outputs sind homogene Güte (BIP). Sie fungieen als Investitionen wie als eale Etag de Poduktion. Bei den Inputs wid nicht zwischen Abeit und Kapital bzw. andeen Inputs unteschieden. Bei den Outputs wid von Meh-Gütepoduktionen abstahiet. Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 40

21 Wi untestellen, dass wi homogene Investitionen vonehmen, die eine bestimmte Poduktion emöglichen. Wi untestellen zudem eine konkave Poduktionsfunktion mit abnehmenden Etägen. y 2 = f i mit f 0, f 0 > < (3.7) Alledings benötigt die Poduktion Zeit. Die Investitionen weden in de Gegenwat vogenommen, wähend de Output est in de Zukunft vefügba ist. Diese Zeitstuktu schlägt sich auch im Kalkül de Untenehmung niede. Es gilt, den Kapitalwet de Investition zu maximieen: Max NPV = P y y 2 i + Pi = P f i y i + P i i (3.8) Die optimale Investition wi duch die folgende Bedingung. Odnung bestimmt: P y f i + P i = 0 (3.9) Die optimale Investition liegt vo, wenn de maginale Kapitalwet de Investition gleich Null ist. Dies ist in diese 2-Peioden Betachtung de Fall, wenn de Gegenwatswet de Genzelöse (de maginalen Zahlungseingänge) mit dem Genzkosten de Investition (maginalen Zahlungsausgänge) übeeinstimmt. Wenn man wie in de Makoökonomie P y = P i untestellt, veeinfacht sich die Bedingung. Odnung zu eine ealen Betachtung: f i + = 0 (3.20) De eale maginale Kapitalwet muss gleich Null sein. De Gegenwatswet de ealen maginalen Etäge de Investition muss mit den ealen maginalen Kosten de Investition, i.e. Eins, übeeinstimmen. Diesen Zusammenhang kann man auch wie folgt dastellen: = + (3.20 ) f i De eale Genzetag de Investition muss mit dem ealen Buttozins übeeinstimmen. De eale Buttozins bildet den ealen Etag de Anlage eines Euos am Kapitalmakt. Die Bedingung. Odnung velangt dahe, dass de maginale eale Etag de Investition in Realkapital mit dem ealen Etag de altenativen Anlage am Kapitalmakt übeeinstimmt. Wenn de maginale Kapitalwet gleich Null ist, impliziet dies keineswegs, dass de Kapitalwet de Investition gleich Null ist. Im Gegenteil, wenn und weil abnehmende Etäge voliegen, muss de (eale) Kapitalwet de Gesamtinvestition positiv sein: P f i y NPV = Pi i > 0 + bzw. Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 4 f i RNPV = i > 0 + Gleichung (3.2) epäsentiet die Budgetbeschänkung de Untenehmung Das intetempoale Gleichgewicht (3.2) Wi betachten eine Ökonomie, in welche alle Untenehmen dieselben Technologien besitzen und das gleiche Gut (BIP) hestellen. Des Weiteen untestellen wi, dass alle Haushalte die

22 gleichen Päfeenzen und das gleiche Vemögen besitzen. Diese Witschaftssubjekte sind epäsentativ fü die gesamte Ökonomie (makoökonomische Betachtung). Die optimale Allokation des intetempoalen Gleichgewichts lässt sich auf zwei Aten emitteln:. Zentales Optimum 2. Dezentales Maktgleichgewicht Das zentale Optimum Aufgund des esten Hauptsatzes de Wohlfahtsökonomie kann die Allokation als zentales Optimum deteminiet weden. Wi stellen uns vo, dass de epäsentative Haushalt ein Untenehmehaushalt ist, de simultan Konsum- und Investitionsentscheidungen tifft. Dazu muss man die Budgetestiktionen des epäsentativen Witschaftssubjekts ein wenig modifizieen. An die Stelle de ealen Espanis titt die eale Investition: e = c + i (3.22) An die Stelle des zukünftigen ealen Wets de Anlage titt de eale Etag de Poduktion: e 2 + f i = + i 2 (3.23) Die zukünftige eale Investition sei exogen vogegeben. Sie könnte z.b. gleich Null sein, wenn wi mit Sicheheit wissen, dass die Welt am Ende de Peiode 2 untegeht. Das Optimieungspoblem kann veeinfacht weden, indem man aus den beiden Budgetestiktionen eine Tansfomationskuve zwischen gegenwätigem und zukünftigem Konsum bildet. Dazu eliminieen wi mittels (3.22) die Investitionen aus (3.23): = e 2 + f e c i 2 (3.24) Die Tansfomationskuve lässt sich wie folgt dastellen: e 2 -i 2 e c Diese intetempoale Tansfomationskuve ist aufgund de esten und zweiten Ableitung de Tansfomationskuve in Bezug auf den Konsum konkav: Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 42

23 = f e c c < 0 und (3.25a) 2 c = f e < 0 (3.25b) Das zentale Optimum kann duch das folgende Pogamm bestimmt weden: Max u c c,c2 gegeben + + ρ u( c ) 2 = e 2 + f e c (3.4) i 2 (3.24) Die Lösung kann duch den folgenden Lagange-Ansatz emittelt weden: Max Ξ = u( c ) + u( c2 ) µ e2 f ( e c ) c2 i2 c,, µ ρ Die Bedingungen. Odnung sind: Ξ = u c c (3.26) µ f ( i ) = 0 (3.27a) Ξ = + ρ u µ = 0 (3.27b) Ξ µ = e + f e 2 ( c ) i 2 = 0 (3.27c) Indem man den Lagange-Multiplikato aus (3.27a) und (3.27b) eliminiet, ehält man folgende Bedingung fü eine optimale intetempoale Allokation: u ( c ) + + ρ u f ( i ) = 0 (3.28) Optimal ist gemäß (3.28) eine intetempoale Allokation (Konsumstöme und Investitionen), wenn de Nutzenentgang des Konsumvezichts, de mit de maginalen Investitionseinheit einhegeht, duch den maginalen Gegenwatsnutzen des zukünftigen Konsums, den de Etag de maginalen Investition emöglicht, kompensiet wid, Aufgund von (3.27c) liegt das Optimum auf de Tansfomationskuve. Sie efasst alle Konsummöglichkeiten, die bei gegebene Technik und vefügbae Ressoucen ealisieba sind. Die Maginalbedingung kann wie folgt umgeschieben und intepetiet weden: = f ( i ) (3.28 ) u c +ρ u Im Optimum muss die MRS zwischen gegenwätigem und zukünftigem Konsum gleich de MRT zwischen gegenwätigem und zukünftigem Konsum sein. Die Anstiege de Indiffeenzkuve und de Tansfomationskuve müssen übeeinstimmen. Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 43

24 * y 2 e 2 i c * e c Die Bedingung fü optimale Investitionen (3.28) ehält man, indem man die Konsumstöme mittels de Restiktionen (3.22) und (3.23) die Konsumstöme aus de Nutzenfunktion eliminiet u( c, ) = u( e i ) + + ρ u ( e + f i 2 i 2 ), (3.29) und das Resultat (3.29) nach de Investition ableitet. Diese Ansatz wid in vielen Modellen im Beeich de Finanzieungstheoie vewendet Dezentales Maktgleichgewicht Wi untestellen nunmeh, dass Haushalte und Untenehmen unabhängig voneinande agieen. Untenehmen weden von Managen geleitet, die den Kapitalwet des Untenehmens maximieen. Zunächst untesuchen wi die Situation des epäsentativen Individuums. Das Vehalten de Untenehmen wid duch die Maginalbedingung f ( i ) = ( + ), (3.20) sowie die Budgetbeschänkung f i RNPV = i > 0 + efasst. (3.2) De eale Kapitalwet de Untenehmung ist Teil des Vemögens ihes Eigentümes. E muss dahe im Vemögen des Eigentümehaushalts beücksichtigt weden. Wenn man den Anteil des Haushalts an de Untenehmung mit α bezeichnet, ehält man eine modifiziete Vesion de intetempoalen Budgetestiktion e + e α RNPV = c s 2 + Das optimale Vehalten des Eigentümehaushalts kann nunmeh duch das folgende Kalkül efasst weden. (3.30) Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 44

25 Max u c c,c ρ u ( ) (3.5) s.t. e + e α RNPV = c s 2 + (3.30) Dieses Kalkül untescheidet sich vom Haushaltskalkül des Abschnitts nu duch den Nettovemögenswet de Untenehmung, de (anteilig) in de intetempoalen Budgetbeschänkung Beücksichtigung findet. Auf de Basis de Langangefunktion Λ = u( c ) + + ρ u ( ) + λ e + e 2 kann man die folgenden Bedingungen. Odnung ableiten: Λ = u c c + + α RNPV c + s 2 (3.6 ) + λ = 0 (3.7a) Λ = + ρ u λ + = 0 (3.7b) Λ λ = e + e α RNPV c + s 2 + = 0 (3.7c ) Da de Nettovemögenswet de Untenehmung nu als Konstante in das Kalkül des Eigentümehaushalts eingeht, modifizieen sich die Optimalbedingungen des Haushalts nu geingfügig. Aus den Bedingungen (3.7a), (3.7b) und (3.20) lässt sich eine Doppelgleichung emitteln, die das intetempoale Gleichgewicht bescheibt: ( + ρ) u c u = f ( i ) (3.3) = + Die intetempoale MRS (IMRS) mit dem Anstieg de intetempoalen Budgetbeschänkung des Haushalts (des Untenehmens) und dem Anstieg de Tansfomationskuve übeeinstimmen. * y 2 e 2 i c * e RNPV c Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 45

26 Das intetempoale Gleichgewicht wid in de obigen Gafik dagestellt. Die IMRS muss im Optimum mit dem elativen Peis zwischen gegenwätigem und zukünftigen Konsum, i.e. de Anstieg de Budgetgeaden, übeeinstimmen. Auch die MRT muss im Optimum mit dem elativen Peis zwischen gegenwätigen und zukünftigen Güten übeeinstimmen. An die Stelle de Stützebene zwischen de Indiffeenzkuve und de Tansfomationskuve titt die Budgetgeade. Sie ist die Budgetgeade des epäsentativen Haushalts und de epäsentativen Untenehmung. Zwischen dem Abszissenabschnitt diese Budgetgeaden und dem Abszissenabschnitt de Budgetgeaden des Ausstattungspunkts liegt de eale Kapitalwet de epäsentativen Untenehmung. Die Investitionen weden zu 00% aus Espanissen de Haushalte finanziet. Daübe hinaus tätigt de epäsentative Haushalt keine Espanisse. In eine geschlossenen pivaten Ökonomie muss dies de Fall sein, weil die Investitionen nu aus den Mitteln de Haushalte finanziet weden können, und die Espanisse de Haushalte nu in den Investitionen de Untenehmen veanlagt weden können. Natülich muss die Allokation des dezentalisieten intetempoalen Gleichgewichts mit de Allokation des zentalen Optimums übeeinstimmen. Schließlich muss man sich auch noch die Fage stellen, was passiet, wenn es unteschiedliche Individuen mit unteschiedlichen Päfeenzen gibt. Nehmen wi zunächst an, de Untenehmehaushalt hätte Päfeenzen fü einen höheen gegenwätigen Konsum als de epäsentative Haushalt. Die optimalen Investitionen bleiben unveändet, weil sie unabhängig sind von den Päfeenzen de Eigentümehaushalte. (Fishe sches Sepaationstheoem) Alledings wid in diesem Fall wid nu ein Teil de Investitionen aus Espanissen des Eigentümehaushalts finanziet, e c. De Rest de Investitionen (in de Gafik blau gekennzeichnet) wid femdfinanziet. * y 2 e 2 i c * e RNPV c Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 46

27 Nehmen wi nunmeh an, de Untenehmehaushalt hätte Päfeenzen fü einen geingeen gegenwätigen Konsum als de epäsentative Haushalt. Gemäß des Fisheschen Sepaationstheoems bleibt die optimale Investition wiedeum unveändet. * y 2 e 2 i c * e RNPV c De Untenehmehaushalt finanziet nicht nu 00% de Investition aus Espanissen. Daübe hinaus legt e noch Mittel im Ausmaß e i Kapitalmakt an. c * (blau gekennzeichnet) am Natülich müssen im Maktgleichgewicht das Angebot an und die Nachfage nach ausleihbaen Mitteln (Kapital) übeeinstimmen. 3.3 Multipeiodenmodell Wenn man Investitionspojekte mit eine Laufzeit übe mehee Peioden betachtet, egeben sich zwangsläufig einige Modifikationen. Zunächst hat man Investitionen, die in veschiedenen Peioden vozunehmen sind, sowie Etäge, die in veschiedenen Peioden anfallen. Zwischen den Etägen, die Investitionspojekte in veschiedenen Peioden geneieen, sowie den Investitionen, die die Etäge geneieen, bestehen funktionale Zusammenhänge. Analog zu statischen Optimieung kann man die Auszahlungen in den veschiedenen Peioden duch die Einzahlungen steuen. Die Optimieung diese Steueung ist jedoch wesentlich komplexe als im statischen Optimieungspoblem, weil man die Zeitpfade de Etäge und de Investitionen beücksichtigen muss. Die optimalen Investitionen in den veschiedenen Peioden lassen sich mit Hilfe bestimmte nichttiviale mathematische Techniken (Dynamische Optimieung) bestimmen. Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 47

28 Aufgund de Komplexität de Fagestellung und de damit vebundenen Schwieigkeiten können wi diese dynamischen Ansätze im Rahmen diese Veanstaltung nicht behandeln. Um den mathematischen Poblemen eines allgemeinen dynamischen Optimieungsansatzes zu entgehen, kann man sich mit einigen gundsätzlichen Übelegungen behelfen: Investitionspojekte mit bestimmten Investitionen in veschiedenen Peioden wefen bestimmte Etäge in den veschiedenen Peioden ab. Die Investitionen stellen bestimmte Auszahlungen da, die Etäge Einzahlungen. Die Diffeenzen zwischen Auszahlungen und Einzahlungen egeben die Nettozahlungsstöme in den veschiednen Peioden. Um die Nettozahlungsstöme, die in veschiedenen Peioden anfallen, miteinande vegleichen zu können, müssen sie auf den Refeenzzeitpunkt (Gegenwat) abdiskontiet weden. Jedes Investitionspojekt, das einen positiven Bawet bzw. diskontieten Gegenwatswet de Nettoszahlungsstöme geneiet, ehöht das Vemögen des Investos. Es kann und soll aus diesem Gund duchgefüht weden. Es stellt sich jedoch die Fage, mit welchen Zinssätzen die Zahlungsstöme abdiskontiet weden soll. In diesem Zusammenhang tauchen zwei gundsätzliche Pobleme auf: Zeitstuktu de Zinssätze: Wi können mit einheitlichen Zinssätzen (flache Zinsstuktuen) bzw. mit peiodenspezifischen Zinssätzen (nomale bzw. ausnahmsweise invese Zinsstuktu) beweten. Letztee weden dem Kapitalmakt entnommen. Risikoadjustieung: Da zukünftige Zahlungsstöme isikobehaftet sind, wi de Investo nu beeit sein in diese Zahlungsstöme zu investieen, wenn e fü die Übenahme dieses Risikos mit eine Risikopämie entlohnt wid. Wähend wi die Zeitstuktu de Zinssätze in diesem Abschnitt behandeln, wid die Risikoadjustieung de Zinssätze in einem sepaaten Abschnitt 3.5 thematisiet, weil sie nicht nu die Meh-Peioden Modelle, sonden auch die 2-Peioden Modelle betifft Bewetung isikolose Zahlungsstömen bei flache Zinsstuktu. Bewetung eines zukünftigen Euos Den Bawet (Pesent Value) eines zukünftigen Euos ehält man duch Diskontieung mit dem isikolosen Zinssatz: PV 0 = + R 2 PV 0 = ( + R) (3.32) 2 t PV 0 = ( + R) t Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 48

29 De stake Einfluss de Diskontieung auf den Bawet eines zukünftigen Euos kann de folgenden Tabelle entnommen weden: Zinssatz Jah 2 Jahe 5 Jahe 0 Jahe 20 Jahe 30 Jahe 0,0 0,990 0,980 0,95 0,905 0,820 0,742 0,05 0,952 0,907 0,784 0,64 0,377 0,23 0,0 0,909 0,826 0,62 0,386 0,49 0,057 0,5 0,870 0,756 0,497 0,247 0,06 0,05 0,20 0,833 0,694 0,402 0,62 0,026 0, Bewetung von Zahlungsstömen Wenn man das im voigen Abschnitt vogestellte Bewetungspinzip auf zukünftige Zahlungsstöme (Cashflows) anwendet, ehält man den Bawet (Pesent Value) de Zahlungsstöme. Häufig wid de Bawet de Nettozahlungsstöme (Netto-Cashflows), i.e. die Diffeenz de Zahlungseingänge (In-Flows) und de Zahlungsausgänge (Out-Flows) beechnet. Diesen bezeichnet man als Nettobawet (Net Pesent Value) de Zahlungsstöme: IF OF IF OF IF OF IF OF NPV = IF OF t t T T t T T t= 0 ( +R) ( +R) ( +R) ( +R) ( +R) NCF NCF NCF NCF = NCF (3.33) = 2 t T 0 2 t T NCF ( +R) ( +R) ( +R) ( +R) t t Daaus egeben sich Folgeungen fü die Bewetung von Anleihen. Ewige Rente Wi untestellen eine ewige Rente im Betag von je Peiode. Ih Bawet betägt: P 0 = ( +R) + +R + 2 ( +R) ++ + = 3 ( +R) t R (3.34) Rendite eine festvezinslichen Anlage Die festvezinsliche Anlage sichet dem Inhabe in jede Peiode (jedem Jahe) die Zahlung eines festgelegten Kupons zum Kuponzinssatz k bis zu Endfälligkeit, sowie endfällig die Zahlung des festgelegten Nominale N. Die Bewetung eine deatigen festvezinslichen Anleihe sieht folgendemaßen aus: P 0 = kn +R + kn 2 ( +R) ++ kn t ++ kn T 2 ( +R) t ( +R) + N T 0 ( +R) 0 (3.35) Wenn wi beispielsweise eine Anleihe mit 0-jähige Laufzeit zum Emissionszeitpunkt mit folgenden Leistungsmekmalen Nominale: 00,00 Emissionskus: 00,00 Kuponzinssatz: 0,05 Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 49

30 betachten, egibt sich: = ( +R) ( +R) ( +R) ( +R) ( +R) 2 t = ( +0,05) ( +0,05) ( +0,05) ( +0,05) ( +0,05) 2 t 0 0 (3.36) In diesem Fall ist die Rendite de Anleihe 0,05. Nahe dem Emissionszeitpunkt wid die Rendite imme in etwa de Pa-Rendite sein. Solange die Zinsen unveändet bleiben, wid de Kus auch bei küzee Restlaufzeit de Nominale entspechen. Wenn hingegen die Zinsen fallen, steigen die Kuse, und vice vesa. 5 08, ( +0,04) , ( +0,04) ( +0,04) ( +0,04) 0 (3.37) Anhand dieses Beispiels sieht man den käftigen Einfluss de Zinsen auf die Anleihenkuse Bewetung isikolose Zahlungsstömen bei nomale Zinsstuktu Nomaleweise ist die Zinsstuktu nicht flach, sonden konkav. Dies bedeutet, dass kuzfistige Anlagen mit geingeen Zinsen vegütet weden als langfistige Anlagen. Dies ist mit den gößeen Zinsisiken zu ekläen, denen langfistige Anlagen unteliegen. In diesem Fall vewendet man die -Jahes-Fowad-Zinssätze de isikolosen Anleihen am Kapitalmakt, um die Zahlungsstöme zu beweten. Wenn wi von isikolosen Anleihen spechen, meinen wi Anleihen, die fei von Adessisiken sind. Auch diese Anleihen unteliegen den Zinsisiken und sind dahe nicht fei von gänzlichen Risiken. Abe sie sind fei von Ausfallsisiken und Down-Rating Risiken etc.. Bewetung eines zukünftigen Euos Die Bewetung folgt folgendem Muste PV PV 0 = + R 0 + R = = ( + R0)( + R2 ) R τ τ 2 ( + R2 ) τ = ( + ) PV 0 = = ( + R 0 )( + R 2 )( + R t t ) t t + R t t τ = t ( + R τ τ ) (3.38) PV 0 = = ( + R 0 )( + R 2 )( + R t t ) ( + R T T ) t T + R T T τ = T ( + R τ τ ) Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 50

31 Die Beechnung de mit den Spot-Zinssätzen { R τ } koespondieenden Fowad-Zinssätze mit einjähige Laufzeit { } R τ τ wid in einem Einschub eläutet. Beechnung de -Jahes-Fowad-Zinsssätze aus den Kusen isikolose Anleihen Die -Jahes-Fowad-Zinssätze eechnen sich aus isikolosen Anleihen sukzessive wie folgt. Im esten Schitt beechnen den -Jahes-Fowad-Zins de. Peiode anhand eine Anleihe mit -peiodige (-jähige) Restlaufzeit, fü die folgende Bewetung gilt: P 0 = C + R 0 + N + R 0 Da de gegenwätige Kus P 0, die Kuponzahlung C und das Nominale N bekannt sind, ist de Zinssatz eindeutig R 0 deteminiet. Im zweiten Schitt eechnen wi den -Jahes-Fowad-Zinssatz fü die zweite Peiode anhand eine Anleihe mit 2-peiodige (2-jähige) Restlaufzeit. P 0 = C + R 0 + C 2 ( + R 0 ) + R 2 + N 2 ( + R 0 )( + R 2 ) De gegenwätige Kus P 0, die Kuponzahlungen C, C 2, das Nominale N 2 sowie de -Jahes- Fowad-Zinssatz de esten Peiode R 0 sind bekannt, dahe kann de -Jahes-Fowad- Zinssatz fü die zweite Peiode R 2 beechnet weden. Diese -Jahes-Fowad-Zinssatz ist zu untescheiden von de Rendite fü eine 2-Peiodige Anlage R 2, die ab dem Zeitpunkt 0 läuft. Analog können die -Jahes-Fowad-Zinssätze fü weitee Peioden eechnet weden. 2. Bewetung von Zahlungsstömen De Nettobawet von Zahlungsstömen betägt bei peioden-abhängigen Zinssätzen: NPV NCF NCF NCF NCF = NCF t T t T = NCF + ( + R ) ( + R ) ( + R ) ( + R ) τ τ τ τ τ τ τ τ τ = τ = τ = τ = T 0 t t= τ = NCF ( + R ) t τ τ (3.39) Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 5

32 3.4 Kapitalwet bzw. Nettobawet und Investitionsentscheidungen Wie beeits im Abschnitt 3.2 und in de Einleitung des Abschnitts 3.3 dagelegt wude, sollen alle Investitionspojekte duchgefüht weden, die die Eigentüme de Untenehmung eiche machen. Auf diesem Hintegund können einige Schlüsse gezogen weden: Alle Pojekte, die Shaeholde Value geneieen, sollen duchgefüht weden. Wenn es keine vezeenden Steuen gibt, die einen Keil zwischen die Kosten von Eigenund Femdkapital teiben, fühen alle Pojekte, die den Maktwet de Untenehmung ehöhen auch zu eine Ehöhung des (Makt-)Wets des Eigenkapitals. Auf de voliegenden Analyseebene weden keine Steuen beücksichtigt, dahe können wi im Folgenden das Investitionskiteium wie in Fom des Kapitalwets- bzw. Nettobawetskiteium kuz fassen Das Nettbawet- bzw. Kapitalwetkiteium Nettobawetkiteium wid auch kuz als NBW-Kiteium bzw. NPV-Kiteium bezeichnet. Dieses NBW-Kiteium besagt: ALLE Investitionspojekte, die einen POSITIVEN NETTOBARWERT (Net Pesent Value) geneieen, sind duchzufühen, weil sie das Vemögen de Eigentüme de Untenehmung ehöhen. Die Wikungsweise des NBW-Kiteiums kann man einfach anhand eines simplen Beispiels vedeutlichen. Wi nehmen an, dass es ein Investitionspojekt gibt, das nu im Ausgangspunkt Investitionskosten in de Höhe von C 0 veusacht und in den nächsten T Peioden peiodenspezifische Gewinnstöme π, π 2,, π t,, πt geneiet. De Nettobawet eine solchen Investition betägt: NPV π π π π = C t T t T ( +R) ( +R) ( +R) ( +R) T t 0 t t= = C + π ( +R) Gundsätzlich gilt: Wenn de Nettobawet positiv ist, wid investiet! (3.40) An einem Zahlenbeispiel kann man auch in diesem Fall die Bedeutung de Zinsen fü die Investitionsentscheidung vedeutlichen. Wi untestellen ein einfaches Investitionspojekt mit folgenden Leistungsmekmalen: Kapitalinvestition: 0 Mio. Jähliche Gewinn übe 20 Jahe: Mio. NPV = ( +R) ( +R) ( +R) ( +R) 0 2 t = 0 + t= t ( +R) (3.4) Mikoökonomie II, js 3 Intetempoales Gleichgewicht 52