Hans Georg Hahn Elastizitätstheorie

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1 Hans Georg Hahn Elastizitätstheorie

2 Leitfäden der augewandten Mathematik und Mechanik Unter Mitwirkung von Prof. Dr. E. Becker t Prof. Dr. P. Kall, Zürieh Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. H. Görtler, Freiburg Band 62 Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München Prof. Dr. Dr. h. c. F. K. G. Odqvist t Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

3 Elastizitätstheorie Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme Von Dr. rer. nat. Hans Georg Hahn o. Professor an der üniversität Kaiserslautern Mit 109 Bildern Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1985

4 Prof. Dr. rer. nat. habil. Hans Georg Hahn Geboren 1929 in Augsburg. Studium der technischen Physik an der TH Mlinchen, 1963 Promotion und 1970 Habilitation fur Technische Mechanik. Assistent, Oberingenieur und wissenschaftlicher Rat am Mechanisch-Technischen Laboratorium der THjTU MUnchen. Seit 1965 Vorlesungstatigkeit Uber Spezialgebiete der Mechanik. Seit 1973 o. Professor fur Technische ~echanik an der Universităt Kaisers1autern. CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Hahn, Hans Georg: Elastizitătstheorie : Grundlagen d. linearen Theorie u. Anwenduugen auf eindimensionale, ebene u. răum!. Probleme / von Hans Georg Hahn. (Leitfăden der angewandten Mathematik und Mechanik ; Bd. 62) ISBN ISBN (ebook) DOI / NE:GT Das Werk ist urheberrechtlich geschtitzt. Die dadurch begrtindeten Rechte, besonders die der Ubersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ăhniichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfă1tigung ist an den Verlag gemaf. 54 UrhG eine Vergiitung zu zahlen, deren Hiihe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. Springer Fachmcdicn Wicsbadcn 1985 Ursprunglich erschienen bei B. G. Teubner, Stuttgart 1985 Satz: Elsner & Behrens GmbH, Oftersheim Zechnersche Buchdruckerei, Speyer

5 Vorwort Die,,klassische" lineare Elastizitätstheorie, wie sie in diesem Buch behandelt wird, stellt nach wie vor die wichtigste Grundlage für die meisten festigkeitsmechanischen Berechnungen in der Technik dar. Hierin liegt ihr unbestrittener Wert und auch die Veranlassung, sie heute noch zu lehren und zu lernen. Ausgehend davon ist dann der Weg frei fiir Erweiterungen und Verbesserungen der Berechnungsrundlagen, wo dies wünschenswert erscheint. Der vorliegende Text fußt auf Vorlesungen, die ich seit langem vor Ingenieurstudenten höherer Semester gehalten habe. Da es sich in diesem Buch um eine Einfuhrung handelt, bin ich bemüht gewesen, stets die Anschaulichkeit vor dem mathematischen Apparat in den Vordergrund zu stellen. Zum Verständnis genügen elementare Kenntnisse der Analysis sowie der technischen Mechanik, wie sie im Grundstudium an Technischen Universitäten vermittelt werden. Einige Bemerkungen über den Inhalt des Buchs sowie die Art der Behandlung des Stoffs fmden sich in der Einleitung. Bei der Fertigstellung des Manuskripts und der Abbildungen sowie bei der Korrektur wurde ich von meinen Assistenten, insbesondere Herrn Priv.-Dozent Dr. H. A. Richard, bestens unterstützt. Ihnen allen gebührt mein herzlicher Dank, ebenso wie Frau E. Jeblick für die Schreib- und Kopierarbeiten, ferner dem Verlag für sein Eingehen auf meine besonderen Wünsche. Das Buch möge dem Andenken meiner akademischen Lehrer Ludwig Föppl ( ) Walther Kaufmann ( ) Winfried Otto Schumann ( ) gewidmet sein! Kaiserslautern, im Herbst 1984 H. G. Hahn

6 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung Statische und kinematische Grundlagen Kontinuum und Bewegungen des Kontinuums Spannungen Spannungsprinzip Spannungstensor Normal- und Tangentialspannungen Spannungszustand in einem Punkt Eigenschaften des Spannungstensors Transformation der Komponenten des Spannungstensors Gleichgewichtsbedingungen der Spannungen Kräfte- und Momentengleichgewicht am infinitesimalen Element Alternative Herleitung der Gleichgewichtsbedingungen Gleichgewichtsbedingungen am Rand Hauptrichtungen und Rauptspannungen Hauptnormalspannungen Hauptschubspannungen Oktaederspannungen 1.3 Verschiebungen und Verzerrungen Bewegungen eines Kontinuums Lagrange sehe und Eu 1 er sehe Darstellung Verzerrungstensoren als Maß für die Verformung Lagrange scher und Eu 1 er scher Verzerrungstensor Physikalische Deutung der Verzerrung Infinitesimale Verzerrungen Hauptrichtungen und Hauptdehnungen Infmitesimale Rotation Berechnung der Verschiebung aus.den Verzerrungen Verträglichkeitsbedingungen Ces a r o -Integral Anzahl der Verträglichkeitsbedingungen 2 Stoffgesetz der Elastizitätstheorie (Beziehung zwischen Spannungen und Verzerrungen) Allgemeines über Stoffgesetze Elastisches Materialverhalten Verzerrungsenergie und elastisches Potential Linear-elastisches oder Ho o k e sches Gesetz Verallgemeinertes Ho o k e sches Gesetz

7 8 Inhaltsverzeichnis C 1 a p e y r o n sehe Formel Alternative Herleitung des verallgemeinerten Ho o k e sehen Gesetzes aus dem elastischen Potential Verallgemeinertes Ho o k e sches Gesetz ftir isotropes Material Zusammenhang mit der Verzerrungsenergie Formulierung mit alternativen elastischen Konstanten Deviatorkomponenten von Spannung und Verzerrung Thermoelastisches Stoffgesetz flir isotropes Material Grundgleichungen der Elastizitätstheorie Randwertprobleme Na vier sehe Gleichungen B e 1 t r a mi-m ich e 11 sehe Gleichungen Formulierung der Grundgleichungen in krumm1inigen Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Eindeutigkeit und Existenz der Lösungen elastischer Randwertprobleme SatzvonClapeyron Eindeutigkeitsbeweis Energiebetrachtungen (Energiesätze der Elastizitätstheorie) Thermodynamische Zusammenhänge Verzerrungsenergie für linear-elastisches Material Prinzip der virtuellen Arbeit Virtuelle Verschiebungen, virtuelle Arbeit Prinzip der virtuellen Verschiebungen Prinzip der virtuellen Kräfte Bedeutung der Prinzipien der virtuellen Arbeit Folgerungen aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip vom stationären Wert der potentiellen Energie Prinzip vom stationären Wert der Ergänzungsenergie Sätze von Cast i g 1 i an o, Engesser und M e n ab r e a Reziprozitätssätze Satz von B e t t i Satz von M a x w e 11 5 Allgemeine Lösungsansätze für die Grundgleichungen Verschiebungsfunktionen Skalar- und Vektorpotentiale L a m e sches Dehnungspotential

8 Inhaltsverzeichnis Ga 1 er kinscher Vektor Sonderfälle des Ga 1 er kinsehen Vektors, Love sehe Verschiebungsfunktion LösungsansatzvonPapkovich und Neuber Rotationssymmetrische Probleme, Lösungsansatz von Boussinesq Spannungsfunktionen M a x w e 11 sehe Spannungsfunktionen Morerasehe Spannungsfunktionen Allgemeiner Ansatz von Be 1 t r a m i, F in z i und Weber Überblick über weitere Lösungsverfahren der Elastizitätstheorie Inverse und serni-inverse Methode Methode der komplexen Spannungsfunktionen in der ebenen Elastizi tä tsthe orie Lösungen mit Integraltransformationen Allgemeines über Integraltransformationen... : Anwendungen auf Elastizitätsprobleme Näherungs- und numerische Verfahren Analytische Näherungsverfahren Ritz sches Verfahren Erweiterungen und Abwandlungen desritz sehen Verfahrens Methode der finiten Elemente (MFE) Verschiebungsmethode der MFE Die MFE als Variationsmethode Randintegralgleichungsverfahren ("Boundary Element Method", kurz BEM) Eindimensionale Probleme: Axialbelastung, Biegung und Torsion prismatischer Stäbe Problem von S t. V e n an t für homogene prismatische Körper (Zylinder) Axialbelastung Reine Biegung Verformungen bei reiner Biegung Torsion prismatischer Stäbe Elementare Grundlagen Nichtkreisförrnige Querschnitte, Verwölbungsfunktion Pr an d t 1 sehe Torsionsfunktion Zusammenhang zwischen Verwölbungsfunktion und P r a n d t 1 scher Torsionsfunktion

9 10 Inhaltsverzeichnis Beispiele für Lösungen des Torsionsproblems flir verschiedene Querschnittsformen Elliptischer Querschnitt Näherung für schmales Rechteck Gleichseitiger Dreieckquerschnitt Rechteckquerschnitt 7.5 Formulierung des Torsionsproblems mit Funktionen komplexer Veränderlicher Komplexe Veränderliche und analytische Funktionen Grundgleichungen der Torsion in komplexer Darstellung Beispiele zur Ermittlung des komplexen Potentials Querkraftbiegung Allgemeine Formulierung des Biegeproblems und Berechnung der Schubspannungsverteilung Schubmittelpunkt Verformungen bei Querkraftbiegung Beispiele Kreisquerschnitt Ellipsenquerschnitt Rechteckquerschnitt 8 Ebene (zweidimensionale) Probleme der Elastizitätstheorie Grundgleichungen der Elastizitätstheorie flir EVZ und ESZ Ebener Verzerrungszustand Ebener Spannungszustand Grundgleichungen flir EVZ und ESZ in ebenen Polarkoordinaten A i r y sehe Spannungsfunktion Darstellung in Kartesischen Koordinaten Darstellung in ebenen Polarkoordinaten Verschiebungen Darstellung in Kartesischen Koordinaten Darstellung in Polarkoordinaten Methode der komplexen Spannungsfunktionen Grundgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie in komplexer Darstellung Ho o k e sches Gesetz und Gleichgewichtsbedingungen K o 1 o s soff sehe Formeln Randbedingungen Drehung des Koordinatensystems Transformation auf Polarkoordinaten Allgemeine Struktur der komplexen Spannungsfunktionen Einfach zusammenhängender endlicher Bereich Mehrfach zusammenhängender endlicher Bereich Unendlicher Bereich

10 Inhaltsverzeichnis Änderung der komplexen Spannungsfunktionen bei Koordinatentransformation Anwendung der konformen Abbildung Konforme Abbildung Transformation der K o 1 o s s o f f sehen Formeln und der Randbedingungen bei konformer Abbildung auf den Einheitskreis 8.5 Beispiele für Lösungen mit reellen und komplexen Spannungsfunktionen Elementare Spannungszustände Rotationssymmetrische Belastung für Kreisring und dickwandiges Rohr (Lösung von L a m e) Lösungen mit Singularitäten Die am Rand belastete Halbscheibe (Problem von F 1 a man t) und verwandte Lösungen Halbscheibe mit Momentenbelastung am Rand Einzelkräfte im Innern der unendlichen Scheibe und Halbscheibe Biegung eingespannter Kreisringsektoren Spannungskonzentration am kreisförmigen Loch in der einachsig gezogenen Scheibe (Problem von Kirsch) Allgemeine Lösung für die unendliche kreisgelochte Scheibe mittels konformer Abbildung Elliptisch gelochte unendliche Scheibe Spannungen und Verschiebungen am G r i ffi t h-riß 8.6 Lösungen ebener Elastizitätsprobleme mit Integraltransformation Formale Lösung der biharmonischen Gleichung Verteilte Lasten (Streckenlasten) am Rand der Halbscheibe Abschnittsweise konstante Normalbelastung am Rand der Halbscheibe Anwendung auf Rißprobleme M e 11 i n-transformation, Anwendung für Polarkoordinaten Fourier-Transformation und verallgemeinerte Funktionen Räumliche Elastizitätsprobleme... : Einzelkraft im unendlich ausgedehnten Körper (Problem von K e 1 v in) Green sehe Tensorfunktion Normale Einzelkraft an der Oberfläche eines Halbraums (Problem von B o u s s i n e s q) Tangentiale Einzelkraft in der Oberfläche eines Halbraums (Problem von Cer r u t i) Einzelkräfte im Innern des Halbraums (Problem von Mi n d 1 in) Räumliche Spannungskonzentrationsprobleme Problem von La m e für die Hohlkugel Kugelfönniger Hohlraum im unendlich ausgedehnten Körper bei einachsigem Zug (Problem von L e o n)

11 12 Inhaltsverzeichnis Lösungen von Neu b er in Rotationsellipsoidkoordinaten Weitere Lösungen ftir Ellipsoidhohlräume und entsprechende Einschlüsse im unendlich ausgedehnten Körper Lösung axialsymmetrischer Probleme mit Integraltransformation Allgemeines über Hanke I-Transformation Allgemeine Beziehungen ftir das axialsymmetrische Elastizitätsproblem Lösung von Te r a z a w a flir den axialsymmetrisch belasteten Halbraum Weitere Lösungen mittels Hanke I-Transformation Anhang: Kartesische Tensoren Koordinaten und Vektoren Indizesschreibweise von Koordinaten, Vektoren und Tensoren L e v i- Ci v i t a- Tensor oder Permutationssymbol Ableitungen und vektorielle Differentialoperationen Transformation von Vektor- und Tensorkomponenten bei Drehung des Koordinatensystems AbleitungvonTensoren.Integralsätzevon Gauß und Stokes Literaturverzeichnis Grundlegende Lehr- und Handbücher der Elastizitätstheorie (A) sowie Werke verwandten und mathematischen Inhalts (B) Orginalarbeiten (sowie sie im Text zitiert sind) Sachverzeichnis