1. Aufgabe (26 Punkte) a) Massen in den Kammern. m 1 = p 0V 0. = m 1. b) Kraft in der Kolbenstange (Freischnitt System I): System I

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1 Musterlösung WS08 1. Aufgabe (26 Punkte) a) Massen in den Kammern b) Kraft in der Kolbenstange (Freischnitt System I): c) Gleichungssystem m 1 = p 0V 0, m 2 = p 0/4 2V 0 = m 1 RT 0 RT 0 2 F = M g Gleichgewicht: T 1 = T 2 = T (1), p 1 p 2 = F/A (2) Massenerhaltung: F mg System I F m 1 = const m 1 = p 1 V 1 /(RT ) (3) m 2 = const m 2 = p 2 V 2 /(RT ) (4) 1. Hauptsatz für das System II: 0 Q + W = U T 2 p 2 V 0 - V F V/A = U 1 + U 2 = (m 1 c v + m 2 c v ) (T T 0 ) (5) Volumenbilanz: V 1 = V 0 + V, V 2 = 2V 0 V (6, 7) T 1, p 1 V 0 + V V Wärmekapazität: c v = R/(κ 1) (8) 8 Unbekannte: T 1, T 2, p 1, p 2, V 1, V 2, V, c v d) Spezialfall M = 0 p 1 Q 1 System II T 1 = T 2 = T 0, p 1 = p 2 = p, V 1 = 2V 2, V = V 0, p = 2/3 p e) Instationäre Entropiebilanz für System II: Q 2 p 2 Integriert: DS Dt = 0 Ṡ Q + Ṡirr S irr = S 1 S 01 +S 2 S 02 = (m 1 +m 2 ) c v ln(t/t 0 )+m 1 R ln(1+ V/V 0 )+m 2 R ln(1 V/(2V 0 )) f) Ausgetauschte Wärmen und Volumenänderungsarbeiten: 1. Hauptsatz für das System 1 : Q 1 + W1 V = U 1 = m 1 c v (T T 0 ) 1. Hauptsatz für das System 2 : Q 2 + W2 V = U 2 = m 2 c v (T T 0 ) 1. Hauptsatz für Kolben (masselos): Q 2 = Q 1 Arbeitsbilanz am Kolben: W1 V + W 2 V = F/A (V 1 V 0 )

2 2. Aufgabe (42 Punkte) a) h 3 p 3 = const K 7 p 5 = const p,t = const 4 * 4 p 1 = const * 8 5 x =1 x = 0 1 h = const h 6 =h 5 s 4 *=s 3 s 8 *=s 7 s b) Temperatur nach dem Verdampfer und Druck im Verdampfer: ϑ 5 = ϑ fl,s + ϑ, aus T/D: p 4 = p 5 = p s (ϑ 5 ) Wärmebedarf des Fluides: Q fl = ṁ fl (c fl (ϑ fl,s ϑ fl,e ) + r fl ) Wärmeabgabe des abgezweigten Massenstroms: Q 45 = ṁ 5 (h 5 h 4 ) Bilanz: Q fl = Q 45 ṁ 5 = ṁ fl (c fl (ϑ fl,s ϑ fl,e ) + r fl )/(h 4 h 5 ) h 5 = h(p 5, x 5 = 0) = h (p 5 ) h 4 = h 3 + (h 4 h 3 ) η shd, Aus T/D: h 3 = h(p 3, ϑ 3 ), h 4 = h(p 5, s 4 = s 3 = s(p 3, ϑ 3 )) c) P el = ṁ (h 4 h 3 ) + (ṁ ṁ 5 ) (h 8 h 7 ) h 8 = h 7 + (h 8 h 7 ) η snd, Aus T/D: h 7 = h(p 5, ϑ 7 = ϑ 3 ), h 8 = h(p 8 = p 1, s 8 = s 7 = s(p 5, ϑ 7 = ϑ 3 )) ṁ = P el + ṁ 5 η s,nd (h 8 h 7 ) h 4 h 3 + η s,nd (h 8 h 7 ) d) Dampfgehalt: x 8 = h 8 h (p 1 ) h (p 1 ) h (p 1 ) Siehe oben: h 8 = h 7 + (h 8 h 7 ) η snd, Aus T/D: h 7 = h(p 5, ϑ 7 = ϑ 3 ), h 8 = h(p 8 = p 1, s 8 = s 7 = s(p 5, ϑ 7 = ϑ 3 ))

3 e) Bilanz am Kondensator: Q K = ṁ h 1 ṁ 5 h 6 (ṁ ṁ 5 ) h 8 h 6 = h 5 = h (p 5 ), h 1 = h (p 1 ) Siehe oben: h 8 = h 7 + (h 8 h 7 ) η snd, Aus T/D: h 7 = h(p 5, ϑ 7 = ϑ 3 ), h 8 = h(p 8 = p 1, s 8 = s 7 = s(p 5, ϑ 7 = ϑ 3 )) f) Thermischer Wirkungsgrad: η th = Nutzen/Aufwand = (P el + Q V )/ Q zu Q V = Q 45 = ṁ 5 (h 5 h 4 ) Aus T/D: h 5 = h (p 5 ), h 4 = h 3 + η s,hd (h 4 h 3 ) Q zu = ṁ (h 3 h 2 ) + (ṁ ṁ 5 ) (h 7 h 4 ), h 2 h 1 g) Entropieproduktion im Verdampfer: Ṡ irr = ṁ fl (s fl,a s fl,e ) + ṁ 5 (s 5 s 4 ) s fl,a s fl,e = c fl ln(t fl,s /T fl,e ) + r fl /T fl,s Aus T/D: s 5 = s (p 5 ), s 4 = s(p 5, h 4 ) Exergieverluststrom: Ė v = T u Ṡ irr

4 3. Aufgabe (18 Punkte) a) Aus Siedediagramm: ϑ ϑ s,ii p = p R X II = 1 X I = 0, 7, X II = 1 X I = 0, 2 Mit Hebelgesetz: n = (n I + n II ) X II X II X II, X II = n II = 1 X II n I + n II 2 ϑ R, n n = n I + n II n,, n = 0, 6 (n I + n II ) ϑ s,i b) Mit Hebelgesetz: n = (n I + n II ) X II X II X II X II 0,,, 0 X X II X 1 II II X II n = 0, 4 (n I + n II ) c) Volumen der Flüssigkeit (zur Gänze in der Flasche): V = n I M I v I(ϑ R ) + n II M II v II(ϑ R ) = (1 X II) n M I v I(ϑ R ) + X II n M II v II(ϑ R ) Volumen des Gases insgesamt (Flasche und Raum): V = (1 X II ) n M I v I (ϑ R)+X II n M II v II (ϑ R) Der in den Raum ausgetretene Anteil ist: V R = V V F = V (V F V ) = V + V V F ( ) ( ) V R = V +V V F = n (1 X II) M I v I (ϑ R )+X II M II v II(ϑ R ) +n (1 X II) M I v I(ϑ R )+X II M II v II(ϑ R ) V F Stoffmenge I im Raum: n I,R = V R /V n I = V R /V (1 X II ) n Stoffmenge II im Raum: n II,R = V R /V n II = V R /V X II n X I,R = n I,R /(n I,R + n II,R + n Luft ), X II,R = n II,R /(n I,R + n II,R + n Luft ) mit n Luft = p R V R /(R T R ), T R = ϑ R + 273, 15 K c) Verdampfungswärme für die Stoffmenge n : ( ) ( ) Q = n I M I h I (ϑ R ) h I(ϑ R ) + n II M II h II(ϑ R ) h II(ϑ R )

5 4. Aufgabe (50 Punkte) Teil A A.a) Beispiel: linksdrehender Prozess aus Isothermen und Isentropen A.b) Bei dem gewählten Beispiel treten vier Arbeiten und zwei Wärmen auf. Arbeiten lassen sich als Flächen im p, V -Diagramm, Wärmen als Flächen im T, S-Diagramm darstellen. Bem.: Es sind die Volumenänderungsarbeiten eingetragen worden, wahlweise könnten auch die technischen Arbeiten eingetragen werden. A.c) 2. Hauptsatz für reversiblen Prozess: Q zu /T zu + Q ab /T ab = 0 Leistungsziffer: ε = Nutzen/Aufwand ε KA ε WP = Q zu Q = T zu ab T ab p 3 s=const s=const 2 T=const 4 1 W zu12 W zu23 W ab34 W ab41 T Q ab23 Q zu41 T=const V S

6 Teil B h 4 p 4 = const B.a) K 4 * 4 T 2 T 2 2 * p 2 = const 5 6 p,t = const 3 6`` 1 p 1 = const h = const h 6 =h 5 x =1 x = 0 s 4 *=s 3 s 2 *=s 1 s B.b) 1. Hauptsatz: q V D + w t V D = h Verdichter 1: w12 t = h 2 h 1 = 1/η s,v D1 (h 2 h 1 ) Aus T/D: h 1 = h(p 1, ϑ s (p 1 ) + ϑ 1 ) h 2 = h(p 2, s 2 = s 1 = s(p 1, ϑ s (p 1 ) + ϑ 1 )) h 2 T = h(p 2, ϑ 2 ) q 12 + w12 t = h 2 T h 1 q 12 = h 2 T h 1 1/η s,v D1 (h 2 h 1 ) Verdichter 2: w34 t = h 4 h 3 = 1/η s,v D2 (h 4 h 3 ) Aus T/D: h 3 = h(p 2, ϑ s (p 2 )) = h (p 2 ) h 4 = h(p 4, s 4 = s 3 = s(p 2, ϑ s (p 2 )) h 4 T = h(p 4, ϑ 4 ) q 34 + w34 t = h 4 T h 3 q 34 = h 4 T h 3 1/η s,v D2 (h 4 h 3 ) B.c) Kälteleistung: q zu = q 66 = h 6 h 6 (wegen innerem Wärmeaustausch nicht h 6 statt h 1 ) Aus T/D: h 6 = h (p 1 ), h 6 = h 5 = h(p 4, ϑ s + ϑ 5 ) B.d) Leistungsziffer: ε = (q zu + q 12 + q 34 )/(w12 t + w34) t

7 5. Aufgabe (20 Punkte) a) Luftstrom: ṁ L = ρ L A L c L, ρ L = p L /(R T L ) b) Spezifische potentielle Energie: e pot,l = g (h H/2) ) c) Bilanz am offenen System: de dt = P R + Q + ṁ (h L + c2 L 2 + e pot,l) H tl de B = du B dt dt ( ) m 0 d c v (T B T ref ) dt = d(m c v (T B T ref )) dt +c v (T B T ref ) dm dt = c v (T B T ref ) dm dt = PR dm dt = ṁ, h L = u L + p L /ρ L ( ( Q = t P R + ṁ c v (T B T L ) p L c2 )) ρ L 2 e pot,l Q c) Bilanz am offenen System: ds B dt = ṠQ + ṁ s L + Ṡirr (m 0 + m) s B,2 m 0 s B,1 = Q T u + m s L + S irr S irr = p B V B /(RT B ) (s B,2 s B,1 ) Q T u ṁ t (s L s B ) s B,2 s B,1 = R ln(p L /p B ), s L s B = c p ln(t L /T B )+R ln(p L /p B ) ) Alternativ: e pot,l = gh in Verbindung mit e B = u B + e pot,b = u B + g H/2 als spezifische Energie des Behälters.

8 6. Aufgabe (12 Punkte) a) Zylinderdruck und Dichte: p Z = m K g/a Z, ρ Z = R T Z /p Z b) Massenstrom als Funktion der Machzahl Ma Z : ṁ = ρ Z A Z c Z = p Z /(R T Z ) A Z Ma Z κ R TZ c) Die Ruhetemperatur: Aus h t = h + c 2 /2 folgt T 0 = 1 + κ 1 Ma 2 Z T Z 2 Notwendige Voraussetzungen: stationär und adiabat (jede falsche Nennung bringt Punktabzug) d) Der Ruhedruck und die Ruhedichte (Isentropenbeziehung): p 0 = (1 + κ 1 Ma 2 p Z 2 Z) κ/(κ 1), ρ 0 = (1 + κ 1 Ma 2 ρ Z 2 Z) 1/(κ 1) Notwendige Voraussetzungen: stationär, adiabat und reibungsfrei (verlustlos) oder isentrop (jede falsche Nennung bringt Punktabzug) e) Druck in der Düse als Funktion der Machzahl Ma Z : Die lokale Machzahl im Austrittsquerschnitt ist Ma D = 1. Temperatur, Druck und Dichte nehmen die kritischen Werte an. p D = ( p D p 0 ) ( p 0 p Z ) p Z mit e) Aus ṁ = ρ A c = const folgt: p D 2 = ( p 0 κ + 1 ) κ κ 1 = fp (κ) und p Z A Z Ma Z κ R TZ = p D A D κ R TD R T Z R T D Ma Z = p D p Z T Z TD T D T Z A D A Z Ma Z = p D p 0 T Z T 0 TD T 0 A D p 0 p Z T 0 T D T 0 T Z A Z p 0 = (1 + κ 1 Ma 2 p Z 2 Z) κ/(κ 1)