lässt sich relativ einfach nach b auflösen, indem man a mit dem Kehrwert von c Potenziert: b=a 1/ c

Transkript

1 Logarithmen Die Gleichung a=b c lässt sich relativ einfach nach b auflösen, indem man a mit dem Kehrwert von c Potenziert: b=a 1/ c. Für das Auflösen nach c hingegen braucht es eine neue Funktion, den Logarithmus. Der Logarithmus ist also die Umkehrung der Potenz. log b (a) Die Logarithmus-Funktion hat wie auch die Potenz-Funktion zwei Argumente: Die Basis wird hinter der Kurzbezeichnung log tiefergestellt notiert, der Numerus in Klammern dahinter. Da die meisten Problemstellungen im Alltag ohne diese Funktion auskommen, ist sie eher unbekannt und ungewohnt. Termregeln Hinweis: Basis und Numerus eines Logarithmus müssen stets grösser Null sein, bei der Basis ist zudem die Zahl 1 verboten 1 (a>0, b>0 und b 1). Das Ergebnis eines Logarithmus kann aber aus dem ganzen reellen Zahlenraum ( R) stammen. Mit einigen Überlegungen, lassen sich die Eigenschaften dieser Funktion herleiten Da der Logarithmus die Umkehrung der Potenz ist gilt Daraus wiederum log b (b 0 )=0=log b (1). Gilt eine Regel unabhängig von der Basis b, kann man diese zur Verdeutlichung weglassen: Anhand von einfachen Zahlenbeispielen und dem Potenzgesetz a b a c =a b+c entsprechende Gesetz für den Logarithmus eines Produktes herleiten 10 1 = = = = =1000 (0.1)= 1 (1)=0 (10)=1 (100)=2 (1000)=3 (b c)= (b)+ (c) b log b(a) =a und log b (b a )=a kann man das (10)=1 (100)=2 (1000)=3= (10 100) 3=1+2 (1000)= (10)+ (100) log(1)=0 Darauf basierend kann man die wichtigsten Regeln herleiten, die denen der Potenzen sehr ähneln. Logarithmus log(b c)=log(b)+ log(c) log( b/c)=log( b) log(c) log(1/c)= log(c) Potenzen a b a c =a b+c a b /a c =a b c 1/a c =a c a=b c b=a 1/ c c=log b (a) Die nächste wichtige Regel lässt sich aus log(b c)=log(b)+log(c) herleiten. Erweitert man diese auf 3 Elemente, dafür alle gleich gross, log(b b b)=log(b)+log(b)+log(b) und fasst die Terme zusammen zu log(b 3 )=3 log(b) erkennt man die Regeln für Logarithmen von Potenzen log(b c )=c log(b) 1 Dies da für alle x 1 x = 1 gilt. Logarithmen 1/5 Jörg Mäder ( )

2 Basiswechsel Die bisherigen Regeln gingen immer davon aus, das man stets die selbe Basis verwendet. Die Regel für einen Basiswechsel wird wie folgt hergeleitet. Mit a=x b gilt zum eine b=log x (a), zum anderen log y (a)=log y ( x b )=b log y (x). Fasst man beide zusammen (b eliminieren) ergibt sich log y (a)=log x (a) log y ( x). Üblicherweise wird diese Regel wie folgt notiert: log x (a)= log y(a) log y ( x) Dank dieser Regel reicht es aus, wenn ein Taschenrechner die Logarithmen zu einer Basis berechnen kann. Alle anderen kann man mit dieser Regel ausrechnen 2. Übliche Werte für die Basis Von Wachstumsprozessen abgesehen (siehe eigenes Dokument) dominieren drei Basen: Basis Anwendung Kurzschreibweise 3 10 Vor allem in technischen Problemstellungen anzutreffen, da 10 die Basis unseres Stellenwertsystem ist (siehe auch weiter unten). lg (x)= (x) e = natürliche Zahl Vor allem in mathematischen Problemstellungen häufig. Am einfachsten zu berechnen und bei Ableitungen/Integration handhabbar. ln( x)=log e (x) 2 In der Informatik zentral, da diese binär arbeitet. ld (x)=lb( x)=log 2 (x) Logarithmische Skalen Wie oben gezeigt bleibt das Ergebnis eines Logarithmus selbst für riesige Zahlen verhältnismässig klein. Dies wird in verschiedenen Bereichen, in denen Zahlen aus grossen Wertebereichen möglich sind, ausgenutzt um eine zwar abstraktere aber handlichere Skala zu erhalten. Dazu werden die originalen Werte einfach logarithmiert, meist zur Basis 10. Die bekannteste logarithmische Skala ist die Richterskala für Erdebenstärken. Eine Differenz von 1 auf der Richterskala bedeutet ein Faktor 10 beim Ausschlag der Messnadel ( 32 bezüglich Energie), eine Differenz von 2 entsprechend Faktor 10 2 =100 (1024fache Energie). Die Erdbebenskala umfasst Werte zwischen 2 bis 10, was einem Faktor von rund 100 Millionen (10 8 ) entspricht. Andere logarithmische Skalen sind: Schalldruck (Lautstärke 4 ), Helligkeit, ph-werte (Säure/Base), Helligkeit von Sternen, Tonleitern 5. Ob und welche logarithmische Skala verwendet wird, ist aber oft historisch bedingt. 2 In der Regel kennen Taschenrechner nur die Logarithmen zur Basis 10 und e 3 Leider ist die Verwendung nicht einheitlich. Speziell log wird uneinheitlich verwendet, hier sind Branchenkenntnisse respektive vertiefte Abklärungen gefragt. 4 Der Mensch empfindet die Lautstärke näherungsweise logarithmisch. 5 Plus ein Halbton bedeutet ein Faktor bei der Frequenz, plus eine Oktave (12 Halbtöne) Faktor 2. Logarithmen 2/5 Jörg Mäder ( )

3 Grössenordnung Der Alltagsbegriff Grössenordnung entspricht einem Faktor 10 und hat daher logarithmischen Charakter. Eine halbe Grössenordnung entsprechend einem Faktor 3 (3² 10) und nicht etwa 5. Münzen und Noten Eine Art logarithmische Skala gibt es bei modernen Bargeldmitteln (Münzen und Noten). Deren Werte beginnen üblicherweise mit den Zahlen 1, 2 oder 5. Das hat den Vorteil, dass der Faktor von einem Wert zum nächsthöheren entweder 2 (1 2 & 5 10) oder 2.5 (2 5) ist. Der Faktor 10 wird also in drei ähnlich grosse Abschnitte unterteilt 6, was auch die Menge an nötigem Bargeld reduziert. Würde man mit ¼-, ½- und ¾-Münzen arbeiten, was auch naheliegend wäre, bräuchte es Anzahl mässig mehr Münzen und Noten im Umlauf. Dies da der Verkäufer bei Preisen um 10 Franken in 10 Rappen Schritten arbeitet, bei Preisen um 90 Franken aber eher auf ganze Franken rundet. Lineare versus logarithmische Skala Die Frage stellt sich nun, wann eine lineare Skala, wann eine logarithmische angewendet werden soll. Eine fixe Regel gibt es nicht. Wenn aber die Spannweite an möglichen Werten im Vergleich zu den Werten selbst klein ist, ist eine lineare Skala angezeigt, ist sie gross, eine logarithmische. Beispiel linear: Über 99% der Frauen sind zwischen 150 und 190cm gross, also eine Spannweite von 40cm im Vergleich zum Durchschnitt von 163cm. Hier reicht eine lineare Skala völlig aus. Beispiel logarithmisch: Kaum jemand wird die Gewichtsdifferenz zwischen einem Gummiboot (8kg) und einem Supertanker (250'000t) berechnen, sondern den Faktor. Spannweiten in der Natur Die leichtesten Säugetiere (Etruskerspitzmaus) sind etwa 2 Gramm schwer, während es Blauwale auf bis zu 150 Tonnen bringen. Das sind über 7 Grössenordnungen. Nach aktuellen physikalischen Theorien ist die kleinste sinnvolle Länge m lang (Planck-Länge) und das Universum etwa m gross (= 78 Milliarden Lichtjahre). Das Universum umfasst also bezüglich Längen rund 60 Grössenordnungen. 6 Mathematisch ideal wäre = 10 1/3, was aber zu komischen Münzen führen würde. Logarithmen 3/5 Jörg Mäder ( )

4 Exponentialschreibweise versus logarithmische Skalen Eine andere Variante um Zahlen mit extrem grosser Spannweite aufzuschreiben ist die Exponentialschreibweise 7. Die logarithmierte Skala hat aber ihr gegenüber den Vorteil, dass sie gleichmässig ist. Um dies zu veranschaulichen vergleichen wir Zahlen in beiden Schreibweisen. Exponentialschreibweise Die Mantisse in Exponentialschreibweise mit einer Nachkommastelle liegt stets zwischen 1.0 und 9.9. Die Grössenordnung wird durch den Exponenten festgelegt. Vergleicht man zwei aufeinander folgende Zahlen aus dieser Serie, bleibt die Differenz 90 mal konstant um anschliessend um Faktor 10 zu wachsen. Die Faktoren nehmen 90 mal leicht ab (von 1.1 auf ) um dann auf 1.1 zurück zu springen. Differenz und Faktor sind also nicht konstant und weisen Sprünge auf x '000 11'000 Δ f Logarithmische Skala zur Basis 10 Nimmt man eine logarithmische Skala zur Basis 10 mit 2 Nachkommastellen, was in etwa die selbe Auflösung bietet wie eine Mantisse mit einer Nachkommastelle, und vergleicht benachbarte Zahlen erkennt man, dass die Differenzen ohne Sprünge kontinuierlich ansteigen und die Faktoren sogar konstant bleiben. Dieses vorteilhafte Verhalten überwiegt in vielen Anwendungen den Nachteil der schwierigeren Interpretation. lg(x) x ' Δ f Umrechnung Exponential versus 10er-Logarithmus Zur Basis 10 logarithmierte Zahlen lassen sich relativ einfach in Exponentialschreibweise umrechnen und umgekehrt. Dies aufgrund der folgenden Beziehung lg (a 10 b )=lg (a)+lg (10 b )=lg(a)+b lg(10)=b+lg(a) Da für die Mantisse a 1 a<10 gilt, gilt für deren 10er-Log per Definition 0 lg(a)<1. Das heisst: die Nachkommastellen der logarithmierten Zahl werden einzig durch die Mantisse beeinflusst, der ganzzahlige Anteil der Zahl entspricht direkt dem Exponenten Beispiel: lg ( )= mit = oder das verwenden von Einheiten (m, μm, km...), was fast auf das gleiche herauskommt. Logarithmen 4/5 Jörg Mäder ( )

5 Merkregeln für den 10er Logarithmus Die bei der Umrechnung Exponential-Logarithmisch gefundene Beziehung, kann man nutzen um die Anfangs nicht sehr intuitiven logarithmierten Zahlen etwas zu veranschaulichen. Aus dem ganzzahligen Anteil ergibt sich die Grössenordnung. Ein dekadisch logarithmierter Wert von 6.49 liegt also irgendwo zwischen einer und zehn Millionen, da 1 Million = 10 6 gilt. Die Nachkommastellen definieren die verschiedenen Ziffern der eigentlichen Zahl. Merkregel: ein 5 wird logarithmiert zu 0.7, eine 3 zu muss also in der Gegend von 3 Millionen liegen. Die Merkregel für die Nachkommastellen kann man auch wie folgt gebrauchen: Unterscheiden sich zwei logarithmierte Werte um 0.7, liegt zwischen den originalen Werten etwa Faktor 5. Berechnung von Hand Die Berechnung des Logarithmus von Hand ist extrem aufwändig und auch Computer können ihn nur näherungsweise berechnen. Der Klassische Ansatz für dieses Verfahren funktioniert zur Basis e was auch einer der Gründe ist, warum der natürliche Logarithmus eine solch grosse Rolle spielt. ln( x+1)= x0 1 x2 2 + x3 3 x Anmerkung: Vor dem Aufkommen von Taschenrechner hat man die Werte von Logarithmen in grossen Logarithmentafeln notiert und bei Bedarf dort nachgeschlagen. Je nach Genauigkeit dieser Tafeln waren es eine einzelne Seite oder ganze Bücher. Extrem grosse Zahlen berechnen Selbst gute Taschenrechner steigen bei extrem grossen Potenzen aus 8. Mit einem kleinen Trick lässt sich diese Grenze aber umgehen. Problemstellung: Lösung: Wie sieht die Zahl in Exponentialschreibweise aus? Oder anders formuliert: Wie gross müssen a und b sein damit =a 10 b wobei b ganzzahlig ist und 1 a <10 gilt. Die gesuchte Zahl wird zuerst mit lg transformiert 9 und berechnet: lg ( )=8961 lg(45)= Dieses Ergebnis kann man gemäss obigen Abschnitt (Umrechnung Exponential versus 10er- Logarithmus) in Exponentialschreibweise umformen. Die Mantisse a lautet entsprechend a= = der Exponent b ist 14'814, beides zusammengesetzt ergibt = gilt, 8 Die meisten TR können noch berechnen ( ), bei ist aber fertig. 9 Diese Lösungstechnik (Aufgabe transformieren, im transformierten System lösen, Lösung rücktransformieren) ist in der Mathematik ein häufiges Vorgehen, Logarithmen 5/5 Jörg Mäder ( )