2 Exponential- und Logarithmusfunktion

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1 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 33 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 2.0 Wiederholung und Vorschau Die Weltbevölkerung betrug Mitte 2005 etwa 6,48 Mrd. Menschen und steigt jährlich um 1,2 %(Quelle: Wie kann man diesen Sachverhalt mathematisch formulieren und veranschaulichen? Sei y n die Bevölkerungszahl im Jahr n, dann erhält man die Bevölkerungszahl y n+1 des 12 darauffolgenden Jahres durch y n+1 = y n + y n 1000 = y n 1,012 und kann dadurch eine Tabelle der Folge der Bevölkerungszahlen aufstellen. Jahr x Bevölkerung y , , , , , , , , , , Eine Darstellung der Folge, bei der das nächstfolgende Glied mit Hilfe des vorhergehenden ausgerechnet wird, heißt rekursive Darstellung. Eine Termdarstellung der Folge der Bevölkerungszahlen ist y n =6, ,012 n. Die Darstellung des Bevölkerungswachstums durch die obige Termdarstellung ist der Sache aber nicht angemessen, weil ja die Bevölkerung sozusagen in jedem Augenblick mathematisch ausgedrückt: kontinuierlich wächst und nicht sprunghaft zum Jahreswechsel. Der Sache angemessen wäre daher die Darstellung durch die reelle Funktion f: R R, y =6, ,012 x. Weil die Variable x im Exponenten steht, nennt man eine solche Funktion Exponentialfunktion. Diese Darstellung setzt allerdings voraus, dass die Potenz 1,012 x für jede beliebige reelle Zahl definiert ist! Bisher haben wir Potenzen nur für rationale Exponenten erklärt (d. h. definiert). Wir werden daher den Potenzbegriff auf reelle Exponenten ausdehnen. Eine nahe liegende Frage ist, wann die Weltbevölkerung zum Beispiel die 10-Milliarden- Grenze überschreiten wird. Die Beantwortung dieser Frage läuft darauf hinaus, die Gleichung 6, ,012 x = zu lösen. Da die gesuchte Größe im Exponenten steht, nennt man eine solche Gleichung eine Exponentialgleichung. Mit damit zusammenhängenden Fragen werden wir uns im Folgenden beschäftigen.

2 34 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 2.1 Potenzen mit reellen Exponenten Exponentialfunktionen Potenzen mit reellen Exponenten Potenzen, deren Exponent x eine endliche Dezimalzahl ist,haben wir schon in Band 2 behandelt. Beispielsweise ist 3 1,4 gleichbedeutend mit Was aber kann 3 2 bedeuten? 2 ist der Wert, dem sich die Folge < 1; 1,4; 1,41; 1,414;...> annähert (= Grenzwert). Wir legen daher 3 2 als Grenzwert der Folge < 3 1 ;3 1,4 ;3 1,41 ;3 1,414 ;... > fest. Diese Folge ist wohldefiniert, da ja jedes Folgenglied eine endliche Dezimalzahl als Exponent besitzt. Und da jedes Folgenglied größer oder gleich als das vorhergehende Glied ist und kein Folgenglied z. B. größer als 3 2 sein kann, muss es einen Grenzwert geben, dem sich die Folgenglieder annähern und den wir als 3 2 definieren. Gelten die im Vorjahr abgeleiteten Rechenregeln auch für Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten? Die Antwort ist ja. Betrachten wir dazu beispielsweise die Regel a r a s = a r+s!strebtdie Exponentenfolge <r 1 ; r 2 ; r 3 ;...> gegen r und die Exponentenfolge <s 1 ; s 2 ; s 3 ;...> gegen s, so strebt die Summenfolge <r 1 + s 1 ; r 2 + s 2 ; r 3 + s 3 ;...> gegen r + s Die Exponentialfunktion Im Abschnitt 2.0 haben wir die Entwicklung der Weltbevölkerung durch eine Funktion beschrieben, deren Termdarstellung eine Potenz enthält, deren Basis fest (nämlich 1,012) und deren Exponent variabel ist. In Verallgemeinerung dessen gibt man die Definition: Die Funktion a exp: R R, y = a x a R + heißt Exponentialfunktion zur (mit der) Basis a. Begründe an Hand der Definition der Potenzen, warum a>0 vorausgesetzt wird!

3 2.1 Potenzen mit reellen Exponenten Exponentialfunktionen 35 Beispiel A: Zeichne die Graphen der Funktionen a) y = ( 5 4 ) x, b) y = ( 4 5) x für D f =[ 5; 5] in eine Figur! Lösung: Wir stellen eine Wertetabelle (gerundet auf 2 Dezimalstellen) auf: x ( 5 4 )x 0,33 0,41 0,51 0,64 0,80 1,00 1,25 1,56 1,95 2,44 3,05 ( 4 5 )x 3,05 2,44 1,95 1,56 1,25 1,00 0,80 0,64 0,51 0,41 0,33 Beachte: 4 5 < 1 Beachte: 5 4 > 1 An Hand von Beispiel A kann man die folgenden Eigenschaften für Exponentialfunktionen feststellen: 1) Die Funktionen sind durch die x-achse nach unten beschränkt; mit anderen Worten: Sämtliche Funktionswerte sind positiv, d. h.: der Graph verläuft zur Gänze oberhalb der x-achse. 2) Die Funktionen sind nach oben unbeschränkt (außer a =1). 3) Die Funktionen enthalten stets den Punkt P (0 1). Erkläre! 4) Für a>1 ist die Funktion streng monoton wachsend, für a =1konstant, für 0 <a<1 streng monoton fallend. 5) Die Graphen der Funktionen y = a x und y =( 1 a )x liegen symmetrisch bezüglich der y-achse. 6) Für a>1 ist die negative x-achse (die einzige) Asymptote, für 0 <a<1 ist die positive x-achse (die einzige) Asymptote. Aufgaben 89. Zeichne den Graphen der folgenden Exponentialfunktion im angeführten Intervall: a) y =1,1 x ;D=[ 5; 5] b) y =1,4 x ;D=[ 5; 5] c) y =1,6 x ;D=[ 4; 4] d) y =2,4 x ;D=[ 2; 2] 90. Wie Aufg. 89! a) y =2 x ; D = [ 4; 2,5] b) y =3 x ; D = [ 2; 1,5] c) y =2 x ; D = [ 2,5; 4] d) y =3 x ;D=[ 1,5; 3] e) y =2 x ;D=[ 2,5; 2,5] f) y =3 x ; D = [ 1,5; 1,5] g) y = 1 ; D = [ 4; 4] h) y = 1 ;D=[ 3; 3] 2 x 3 x

4 36 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 91. Wie Aufg. 89! a) y =2 x+1 ; D = [ 3; 2] b) y =2 x 1 ;D=[ 3; 3,5] c) y = 1 3 2x 1 ;D=[ 1; 5] d) y = 1 3 2x+1 ;D=[ 3; 3] e) y =2 x2 ; D = [ 2; 2] f) y =2 x2 ; D = [ 2,5; 2,5] g) y =3 x3 ; D = [ 1,5; 1,5] h) y =3 x3 ; D = [ 1,5; 1,5] 92. Zeichne den Graphen der Funktion y =10 x über D=[ 1; 1]! Wähle dazu ein Koordinatensystem, bei dem die Einheitsstrecke auf der x-achse 10 cm und auf der y-achse 1cmist! 93. Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen für D=[ 4; 4] in ein Koordinatensystem: (1) y =10 x (2) y =3 x (3) y =2 x (4) y =( 8 5 )x (5) y =( 3 2 )x (6) y =1 x (7) y =( 2 3 )x (8) y =( 5 8 )x (9) y =( 1 2 )x (10) y =( 1 3 )x (11) y =( 1 10 )x! 94. Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8%jährlich. Zwei Forstleute haben heute je einen Wald mit einem Holzbestand von Festmeter. Sie nutzen den Wald unterschiedlich: A schlägt jährlich 500 Festmeter Holz heraus. B lässt den Wald 5 Jahre unbewirtschaftet, schlägt dann aber 2500 Festmeter heraus. (1) Fertige Skizzen an, die die Entwicklung des Holzbestandes der beiden wiedergeben! (2) Wie groß ist der Bestand der beiden, nachdem sie die entsprechende Schlägerung im 5. Jahr vorgenommen haben? Erkläre, warum sich die beiden Bestände voneinander unterscheiden! (3) Gute Holzpreise bringen B dazu, bereits heuer 5000 Festmeter Holz zu schlagen. Versuche durch Probieren mit dem Taschenrechner (auf eine Dezimale) zu ermitteln, wann der Holzbestand wieder seinen ursprünglichen Bestand hat! 95. Bei günstigen Bedingungen (Feuchtigkeit, Wärme und Nährstoffe) vermehren sich Bakterien relativ rasch (z. B. die des Zahnbelags). Angenommen sie verdoppeln sich alle a) 15 min, b) 30 min, c) 60 min, bzw. bei Verwendung einer Zahnpasta in d) 120 min, wie viele Bakterien entstehen dann innerhalb eines Tages aus einer einzigen? 96. Im Jahr 2005 waren die zwei bevölkerungsreichsten Staaten der Erde 1. China mit 1, Einwohnern und 2. Indien mit 1, Einwohnern. Das Bevölkerungswachstum Chinas beträgt 0,58 % jährlich und das Indiens etwa 1,5 % jährlich. (Quelle: Wikipedia 2005) (1) Ermittle die voraussichtliche Bevölkerungszahl der beiden Länder in den Jahren 2020, 2040, 2060, 2080 und 2100 und stelle sie grafisch dar! (2) Lies aus dem Schaubild ab: Wann etwa leben in Indien gleich viel Menschen wie in China? 97. In vielen Ländern der Erde wächst die Bevölkerung. In den niederösterreichischen Bezirken Gmünd und Zwettl aber nimmt die Bevölkerungszahl in den letzten 30 Jahren durchschnittlich um 0,4 % pro Jahr ab betrug sie Einwohner. (Quelle: Volkszählung 2001) (1) Gib Formeln an, um die Bevölkerungszahl nach t Jahren berechnen zu können! Nimm dazu a) eine lineare b) eine exponentielle Entwicklung an! (2) Zeichne die beiden Graphen für t [0; 100]! (3) Nach einer der beiden Annahmen müsste die Bevölkerung dieser zwei Bezirke aussterben. Wann wäre dies und wie viele Einwohner hätten sie zu diesem Zeitpunkt nach der anderen Annahme?

5 2.2 Euler sche Zahl und natürliche Exponentialfunktion Interpretiere die Sonnenaktivitäten-Funktion! Liegt eine Exponentialfunktion vor? Röntgenbild der Sonne 2.2 EULER sche Zahl und natürliche Exponentialfunktion Im Folgenden wollen wir uns mit der Verzinsung eines Kapitals beschäftigen. Gegeben sei das Kapital K (in e), das zu 100 % jährlich verzinst wird; d. h., der Zinsfuß ist 100 %. Nach einem Jahr hat man dann doppelt so viel wie zu Beginn des Jahres, also 2K. Frau Helga Schlaumeier ist das noch zu wenig und sie überlegt sich Folgendes: Angenommen, sie lässt sich das Geld mit den Zinsen bereits nach einem halben Jahr von der Bank wieder auszahlen, dann erhält sie K + K 2 = 3K 2. Dieses Geld legt sie sofort wieder ein, dann erhält sie nach einem weiteren halben Jahr an Zinsen: 3K 2 1 2, also insgesamt 3K 2 + 3K 4 = 9K 4 =2,25 K Was erhält sie, wenn sie monatlich das Geld behebt und sofort wieder einzahlt? Nach dem 1. Monat: K 1 = K K = K ( ) Nach dem 2. Monat: K 2 = K K 1 = K 1 ( )=K ( ) Nach dem 12. Monat: K 12 = K ( )12 2,613 K Ebenso leicht lässt sich berechnen, was sich (theoretisch) 20 bei einer täglichen Behebung und Einzahlung ergäbe: ( K 365 = K 1+ 1 ) 365 2,7145 K 365 Die Steigerung von 2,613 bei monatlicher Einzahlung auf 2,7145 bei täglicher Einzahlung ist eigentlich gering. Es ist daher zu vermuten, dass sich auch bei noch weiteren Steigerungen bis schließlich zu einer augenblicklichen man sagt stetigen Ein- und Auszahlung kein sehr viel höherer Wert als 2,71 ergibt. Mathematisch ausgedrückt stellt sich die Frage, ob 20 Praktisch geht das nicht, da die Verzinsungszeiträume bei einer Bank nicht beliebig klein sind.

6 38 2 Exponential- und Logarithmusfunktion der Grenzwert ( lim 1+ 1 ) n n n existiert, und wenn ja, wie groß er ist. Dass der Grenzwert existiert, ist sehr schwer zu zeigen, weswegen wir hier darauf verzichten. (Man müsste z. B. zeigen, dass die Folge monoton wächst und nach oben beschränkt ist.) Wie groß der Grenzwert ungefähr ist, lässt sich mit dem Taschenrechner unschwer feststellen: Wie? Tippe immer größere Zahlen für n ein und vergleiche die Ergebnisse! Definition: Die Zahl ( e = lim 1+ 1 n =2, n n) heißt EULER sche Zahl. Sie gibt an, auf das Wievielfache ein Kapital bei einem jährlichen Zinssatz von 100 % bei stetiger Verzinsung in einem Jahr anwächst. Bemerkung: Leonhard Euler ( ), einer der bedeutendsten Mathematiker, veröffentlichte 1748 eine umfassende Darstellung über die Bedeutung dieser Zahl. Man kann zeigen, dass e sowieπ eine irrationale und sogar transzendente Zahl ist; sie lässt sich nicht durch Wurzelausdrücke darstellen! Die Euler sche Zahl e ist die am häufigsten verwendete Basis von Exponentialfunktionen. Die Funktion e ist daher auf jedem wissenschaftlichen Taschenrechner vorhanden und mittels der Taste e x abrufbar. Vielfach muss man die Tippfolge inv ln (bzw. 2ndF ln ) verwenden. Was dabei die Taste ln bedeutet, wirst du im folgenden Abschnitt erfahren. Beispiel B: Berechne mit Hilfe des Taschenrechners a) e, b) e 2, c) e 1,5! Lösung: a) Tastenfolge 1 e x bzw. 1 inv ln ergibt 2, (e = e 1 ) b) Tastenfolge 2 e x bzw. 2 inv ln ergibt 7, c) Tastenfolge 1,5 ± e x bzw. 1,5 ± inv ln ergibt 0, Aufgaben 99. Gib die Wertetabelle von f: y =(1+ 1 x )x für x =1, 10, 10 2, 10 3, 10 5 an! 100. Berechne mit Hilfe des Taschenrechners! a) e 2,3 b) e 1,7 c) e 1,6 d) e 1,2 e) e 2π f) e 3π g) e 2 h) e Zeichne die Graphen der folgenden Exponentialfunktionen in den angeführten Intervallen in eine Figur! Was fällt dir auf? a) (1) y = e x, (2) y = e x, D f =[ 3; 3] b) (1) y = e 0,5x, (2) y = e 0,5x, D f =[ 5; 5]

7 2.3 Logarithmus und Logarithmusfunktion Zeichne die Graphen der folgenden Exponentialfunktionen in eine Zeichnung: (1) y =2 x im Intervall D f =[ 3; 3], (2) y = e x in D f =[ 3; 1], (3) y =10 x in D f =[ 3; 0,7]! Was fällt dir auf? 2.3 Logarithmus und Logarithmusfunktion Definition des Logarithmus Eine immer wiederkehrende Aufgabe der Mathematik ist es, die Umkehrung von Rechenoperationen zu suchen. Ein Beispiel möge das verdeutlichen: 2+3 = 5. Bei dieser Rechenoperation sind 2 und 3 bekannt und das Ergebnis gesucht. Mathematisch lässt sich die Aufgabe als die Bestimmungsgleichung 2+3=x anschreiben. Gibt man hingegen das Ergebnis vor und einen der Summanden, z. B. 2+x =5,somussman,umx explizit ausdrücken zu können, eine neue Rechenoperation benützen, nämlich die Subtraktion. Genauso wurde das Dividieren als Umkehrung der Multiplikation eingeführt. Aus 3 2 = 6 wurde 2 x = 6 und daher x = 6 : 2. Und genauso sind wir vorgegangen, als wir das Wurzelziehen als Umkehrung des Potenzierens eingeführt haben. Betrachten wir die damaligen Überlegungen nochmals, z. B. an Hand von 2 3 =8.Danngibt es offenbar drei Möglichkeiten, daraus eine Bestimmungsgleichung zu machen: Die Gleichung 2 3 = x: Die Lösung findet man durch Potenzieren. Die Gleichung x 3 =8: Die Lösung findet man durch Wurzelziehen: x = 3 8 Die Gleichung 2 x =8: Aus dem Graphen von y =2 x (Abb. 30) kann man erkennen, dass die Gleichung genau eine Lösung hat. Um diese Lösung allgemein: die Lösung der Gleichung a x = b explizit darstellen zu können, müssen wir eine weitere Umkehroperation des Potenzierens und eine zugehörige Schreibweise und Sprechweise erfinden : Definition: Die Lösung der Gleichung a x = b (a R + \{1}, b R + )inr nennt man den Logarithmus von b zur Basis a, b heißt der Numerus. a x = b x = a log b (a R + \{1}, b R + ) d. h.: Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten: a a log b = b (a R + \{1}, b R + ) Basis Logarithmus = Numerus Bisweilen lassen sich Logarithmen unmittelbar aus ihrer Definition errechnen: Beispiel C: Berechne! a) 7 log 49 b) 2 log 1 8 c) 5 log 5 d) 0,5 log 2 Lösung: a) 7 log 49 = 2, da7 2 =49 b) 2 log 1 8 = 3, da2 3 = 1 8 c) 5 log 5= 1 2,da5 1 2 = 5 d) 0,5 log 2 = 1, da0,5 1 = ( 1 2) 1 =2

8 40 2 Exponential- und Logarithmusfunktion Ist das nicht der Fall, so kann man den Logarithmus folgendermaßen schätzen: Beispiel D: Schätze den Wert von 3 log 54! Lösung: Wir schränken die Zahl 54 zwischen zwei Potenzen von 3 mit ganzzahligen Exponenten ein: 27 < 54 < < 54 < < 3 log 54 < 4, d. h.: 3 log 54 = 3,... Im Prinzip kann man durch obiges Verfahren beliebig viele Stellen von a log b ermitteln. Für die beiden gebräuchlichsten Logarithmen es sind dies derdekadische Logarithmus (logarithmus generalis) mit der Basis 10: lg bzw. 10 log und dernatürliche Logarithmus (logarithmus naturalis) mit der Basis e: ln bzw. e log ist man nicht auf dieses Näherungsverfahren angewiesen, weil der Taschenrechner die Berechnung dieser Logarithmen auf Tastendruck erlaubt. 21 Beispiel E: Berechne mit Hilfe des Taschenrechners! a) lg 2 b) lg 0,3 c) ln 2 d) ln 0,3 Lösung: a) Tastenfolge 2 log ergibt 0, b) Tastenfolge.3 log ergibt 0, c) Tastenfolge 2 ln ergibt 0, d) Tastenfolge.3 ln ergibt 1, Der Taschenrechner berechnet die Logarithmen mit Näherungsverfahren. Der Grund hierfür liegt darin, dass Logarithmen im Allgemeinen irrationale Zahlen sind: Beispiel F: Zeige, dass lg 2 = 10 log 2 irrational ist! Lösung: Wegen 10 0 =1und 10 1 =10und der Monotonie der Exponentialfunktion gilt: 0 < 10 log 2 < 1. Angenommen, 10 log 2 wäre ein echter Bruch p q,(p,q N, q 1, p<q), dann würde gelten: 10 p q =2 10 p =2 q (2 5) p =2 q 2 p 5 p =2 q 5 p =2 q p Da 5 eine ungerade Zahl ist, ist auch die Potenz 5 p ungerade. Da 2 eine gerade Zahl ist, ist auch die Potenz 2 r mit r = q p gerade. Da keine Zahl gleichzeitig gerade und ungerade sein kann, ergibt sich ein Widerspruch. Die Annahme, dass lg 2 als Bruch dargestellt werden kann, ist daher falsch Logarithmusfunktionen Definition: Unter der Logarithmusfunktion versteht man die Funktion a log: R + R, y= a log x a R + \{1} 21 Im Gegensatz zum Taschenrechner steht bei vielen Computersprachen häufig nur der natürliche Logarithmus zur Verfügung. Er wird meist mit log aufgerufen obwohl dies am Taschenrechner üblicherweise den dekadischen Logarithmus bezeichnet.

9 2.3 Logarithmus und Logarithmusfunktion 41 Da Logarithmieren und Exponenzieren Umkehroperationen sind, zeichnen wir die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Wie wir bereits wissen, braucht man dazu nur den Graphen der Exponentialfunktion an der 1. Mediane spiegeln. Dadurch kann man die Eigenschaften der Logarithmusfunktion aus denen der Exponentialfunktion herleiten: 1. Die Funktion ist nur für positive reelle Zahlen definiert, d. h. der Graph verläuft rechts der y-achse. 2. Die Funktion ist nach unten und oben unbeschränkt. 3. Die Funktionen enthalten stets den Punkt P (1 0). 4. Für a>1 ist die Funktion streng monoton wachsend, für 0 <a<1 ist die Funktion streng monoton fallend. 5. Die Graphen der Logarithmusfunktionen zur Basis a und zur Basis 1 a liegen symmetrisch bezüglich der x-achse. 6. Für a>1 ist die negative y-achse (die einzige) Asymptote, für 0 <a<1 ist die positive y-achse (die einzige) Asymptote. Abb. 30 Abb. 31 Aufgaben 103. Schreibe die folgenden Gleichungen in logarithmischer Form: a) 4 3 =64 b) 2 5 =32 c) 7 3 = d) 10 2 =0,01 e) 3 2 = 1 9 f) 8 2 = 1 64 g) ( ) = 25 4 h) ( ) = Wie Aufg. 103 a) = 2 b) = 3 4 c) 10 0,5 = 10 d) = e) e 2 =7, f) e 3 =20, g) e 1 2 =0, h) e 1,7 =0, Begründe die Gültigkeit der angegebenen Gleichungen, d. h.: Gib die zugehörige Exponentialform an! Benutze dazu die Definition des Logarithmus! a) 3 log 9 = 2 b) 4 log 64 = 3 c) 5 log 1 = 0 d) e log 1 = 0 e) 10 log 10 = 1 f) 10 log 0,1 = 1 g) 2 log 1 16 = 4 h) e log 1 e = 3 3

10 42 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 106. Wie Aufg. 105! a) 2 3 log 27 8 = 3 b) 3 2 log = 4 c) 1 2 log 4 = 2 d) 1 3 log 9 = 2 e) 3 log 3= 1 2 f) 10 log 10 = 1 2 g) 2 log 3 4= 2 3 h) 3 log 3 9= Berechne ohne Taschenrechner 3 log x für: a) x =9 b) x = 243 c) x = 1 3 d) x = 1 27 e) x = 3 f) x = 3 3 g) x = h) x = Berechne ohne Taschenrechner 5 log x für: a) x =5 b) x = 125 c) x =0,04 d) x = e) x = 5 f) x = g) x = 5 1 0,008 h) x = 5 1 0, Berechne ohne Taschenrechner 10 log x für: a) x = 100 b) x = c) x =0,001 d) x =0,01 e) x = 10 f) x = g) x = h) x = Berechne ohne Taschenrechner e log x für: a) x = e 2 b) x = e 4 c) x = 3 e d) x = 5 e 2 e) x = e 3 2 f) x = e 5 7 g) x = e e h) x = e e 111. Berechne die folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner: a) 7 log 343 b) 3 log 243 c) 25 log 0,2 d) 125 log 0,04 e) 4 3 log f) 1 2 log g) 7 log 3 49 h) 10 log 0, Ermittle mit einem Taschenrechner die auf 6 Dezimalen gerundeten Werte der (1) dekadischen Logarithmen lg x, (2) natürlichen Logarithmen ln x! a) x =3 b) x =7 c) x =11 d) x =13 e) x =2,71 f) x =1,75 g) x =0,41 h) x =0, Zeichne die Graphen von y = e x für D f =[ 3; 2] und y =lnx für D f = ]0; 5] in ein Koordinatensystem! Erläutere an Hand der Figur in einigen Sätzen den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion! 114. Wie Aufg. 113 für die Graphen von y =10 x für D f =[ 3; 0,7] und von y =lgx für D f = ]0; 5]! 115. Wie Aufg. 113 für die Graphen von y =( 1 3 )x und y = 1 3 log x! 116. Erkläre, warum man am Taschenrechner a) e x mit der Tastenfolge inv ln x, b) 10 x mit der Tastenfolge inv log x erhält! 117. Begründe, warum als Basis der Logarithmusfunktionen nur positive reelle, von 1 verschiedene Zahlen in Betracht kommen! 118. Zeichne die Graphen von y = e log x und y = 10 log x für D f = ]0; 5] in ein Koordinatensystem! Skizziere in dieser Zeichnung, welche Lage dann die Graphen der Logarithmusfunktionen haben, deren Basen a) zwischen 0 und e liegen! b) zwischen e und 10 liegen! c) größer als 10 sind!

11 2.4 Rechnen mit Logarithmen Lies aus den Funktionsgraphen die Basen a der beiden Logarithmusfunktionen ab! a) y = a log x b) y = a log x 2.4 Rechnen mit Logarithmen Logarithmieren und Entlogarithmieren Bevor es elektronische Rechner gab, wurden die Logarithmen vor allem dazu verwendet, um das Multiplizieren und Dividieren zu vereinfachen. Wir erläutern die Idee an einem ganz einfachen Beispiel: Die Multiplikation 4 8 kann man wegen 4=2 2 und 8=2 3 unter Anwendung der Potenzregeln in der Form 4 8= =2 2+3 =2 5 =32 berechnen. Unter Verwendung von Logarithmen kann man dafür schreiben: 4 8=2 2 log log 8 =2 2 log 4+ 2 log 8 =2 2 log 32 =32 Man sieht: 2 log(4 8) = 2 log log 8 In Verallgemeinerung dieses Beispiels gilt: a log(u v) = a log u + a log v In Worten: Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. Diesen Sachverhalt hat man in früheren Zeiten zur Erleichterung des numerischen Rechnens ausgenützt: Um etwa zwei Zahlen u v zu multiplizieren, las man deren Logarithmen in so genannten Logarithmentafeln (Tabelle in Abb. 32) ab (man nennt den Übergang von den Numeri zu ihren Logarithmen logarithmieren) und bildete deren Summe. Anschließend suchte man (durch Zurückschlagen ) den zur Summe gehörigen Numerus (diesen Vorgang, den Übergang vom Logarithmus zum zugehörigen Numerus, nennt man entlogarithmieren), dieser war das gesuchte Produkt u v. Mit Hilfe der Logarithmen(tafel) konnte man nicht nur multiplizieren, sondern auch dividieren,potenzieren und wurzelziehen,nicht jedoch addieren und subtrahieren. Erläutere die jeweilige Vorgangsweise und begründe sie!

12 44 2 Exponential- und Logarithmusfunktion Die Idee ist sehr einfach. Da Logarithmen nur die Hochzahlen von Potenzen zu einer festen Basis a sind, gelten für sie genau jene Rechengesetze, die wir schon beim Potenzrechnen kennen gelernt haben nur eben in einer anderen Sprech- und Schreibweise: Rechenregeln für das Logarithmieren und Entlogarithmieren: 1) a log(u v) = a log u + a log v 3) a log u r = r alog u 2) a log u v = a log u a log v 4) a log r u = 1 r alog u Merkregel: Beim Logarithmieren einer Rechenoperation erniedrigt sichdieseumeinestufe,beim Entlogarithmieren erhöht sie sich um eine Stufe. Bemerkungen: Für das Logarithmieren von Summen und Differenzen gibt es keine analogen Formeln. Wie sollte man denn auch die Rechenoperationen 1. Stufe erniedrigen? Für das Entlogarithmieren von Potenzen gibt es keine analoge Formel. Wie sollte man denn auch eine Rechenoperation 3. Stufe weiter erhöhen? Beispiel G: a) Stelle log(5x 2 y z ) als Summe bzw. Differenz von Logarithmen dar! 4 b) Stelle 2 log 5 0,5 (log a +2 log b)+0,8 log c als Logarithmus eines Terms dar! Lösung: a)...= log(5 x 2 ) + log(y 1 2 ) log z 4 =log5+2 log x log y 4 log z b)...=2 log 5 0,5 log a log b log c =log52 log a 0,5 log b +logc 4 5 ( = =log ) c 4 a b Bemerkungen: 1. Bei der Lösung obigen Beispiels haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass etwa log(a b c )=loga +logb log c ist, was eigentlich zu beweisen wäre. 2. Beachte die folgenden abgekürzten Schreibweisen: log x 2 für log(x 2 ) log 2 x für (log x) 2 (aber NICHT log(log x)!) 2logx für 2 log x (schreibe zwecks Unterscheidung von 2 log x sorgfältig!) log 2x für log(2x) (vermeide die Schreibweise log 2 x; sie wird mancherorts als log(2 x) gelesen, andernorts aber als (log 2) x; dafür schreibt man besser x log 2.) Im Zweifelsfalle (sowie am Computer) sind stets Klammern zu setzen! 3. Zwecks Vereinfachung der Schreibweise lassen wir in Hinkunft überall dort, wo es gleichgültig ist, welche Basis a R + \{1} zugrunde gelegt wird (wenn es nur immer die gleiche ist), diese weg und schreiben einfach log. Weiters setzen wir voraus, dass die Variablen nur mit solchen reellen Zahlen belegt werden, für die die zugehörigen Logarithmen definiert sind.

13 2.4 Rechnen mit Logarithmen Charakteristik und Mantisse Beispiel H: lg 2 = 0, Berechne daraus ohne Taschenrechner lg 20, lg 200 und lg 2000 sowie lg 0,2, lg 0,02 und lg 0,002! Kontrolliere am Taschenrechner! Verallgemeinere für alle Zahlen x =2 10 k! Lösung: lg 20 = lg(2 10) = lg 2 + lg 10 = lg = 1, lg 200 = lg(2 100) = lg 2 + lg 100 = lg = 2, lg 2000 = lg(2 1000) = lg 2 + lg 1000 = lg = 3, lg 0,2 = lg( 2 10 ) = lg2 lg 10 = lg 2 1 lg 0,02 = lg( ) = lg2 lg 100 = lg 2 2 lg 0,002 = lg( ) = lg2 lg 1000 = lg 2 3 lg 2 10 k =... =... =lg2+k Was fällt dir auf? Begründe! Wir sehen: Die Zahlen 0,002, 0,02, 0,2, 20, 200 und 2000 unterscheiden sich von der Zahl 2 nicht in der Ziffernfolge, sondern nur im Stellenwert. Für die dekadischen Logarithmen dieser Zahlen bedeutet dies ersichtlich, dass sich ihre dekadischen Logarithmen von lg 2 jeweils nur um eine ganze Zahl k unterscheiden. Mit anderen Worten: Die Zahl k ist charakteristisch für den Stellenwert der angegebenen Zahlen x. Man nennt die Zahl k daher die Charakteristik von x. Für die Ziffernfolge von x ist hingegen lg 2 allein verantwortlich. Beispiel H und die zugehörigen Überlegungen lassen sich verallgemeinern: Satz: Für jede Zahl x, x R +, mit der Gleitkommadarstellung x = m 10 k gilt: lg(m 10 k )=lgm + k lg 10 = lg m + k 1=lgm + k In Worten: Der dekadische Logarithmus jeder Zahl ist die Summe aus dem Logarithmus der Mantisse m und der Charakteristik k. Eine einfache Anwendung des Satzes zeigt Beispiel I: Um wie viele Größenordnungen unterscheiden sich a = und b = ? } Lösung: lg ,14 6,93 5,14 = 1,79 2, lg ,93 d. h. b ist um rund 2 Größenordnungen größer als a. Man sieht: Mit Hilfe von Logarithmen kann man den Begriff des Größenordnungsunterschiedes verfeinern. Nun können wir auch genau erklären, wie man mit so einer Logarithmentafel gerechnet hat: Um etwa 4 20,93 zu berechnen, bestimmte man (1) die Charakteristik von 20,93: die ist 1, dann (2) las man die Mantisse aus der Logarithmentafel ab: Damit kannte man

14 46 2 Exponential- und Logarithmusfunktion den lg 20,93 = 1,3208. (Kontrolliere dies mit dem Taschenrechner!) Um die 4. Wurzel zu finden, dividierte man durch 4, also 1,3208 : 4 = 0,3302. Aus der Charakteristik 0 ergab sich der Stellenwert.,.... Jetzt brauchte man nur noch die Tafel umgekehrt verwenden, d. h. zu suchen, wo die Mantisse 3302 auftrat. Das ist hier bei Somit ist 4 20,93 = 2,139. Für das Kopfrechnen ist es günstig, die dekadischen Logarithmen von 2 und von 3 auswendig zu wissen; man kann dann leicht Größenverhältnisse im Kopf abschätzen. lg 2 0,30 lg 3 0,48 Dann weiß man auch lg 4 = lg 2 + lg 2 0,60 lg 6 = lg 2 + lg 3 0,78 lg 8 = 3 lg 2 0,90 lg 9 = 2 lg 3 0,96 Die Logarithmen von 5 und 7 liegen zwischen denen von 4 und 6 bzw. 6 und 8 und können dadurch geschätzt werden. Abb. 32 Beispiel J: Schätze, wievielstellig bzw. etwa wie groß 9 9 ist! Lösung: Wir berechnen im Kopf den dekadischen Logarithmus von 9 9 : lg 9 9 =9 lg 9 = 9 2 lg 3 = 18 lg 3 = 18 0,48 Wegen 18 0,45 < 18 0,48 < 18 0,5 gilt: 8,1 < lg 9 9 < 9, alsolg 9 9 =8,...; genauer: 8,6... Aus der Charakteristik 8 liest man ab, dass 9 9 eine 8+1= neunstellige Zahl ist. Ihr Wert kann durch entlogarithmieren von 0,6 genauer ermittelt werden: Wegen lg 4 0,6 ist Zusammenhang zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen Wie wir gesehen haben, ist für die praktische Anwendung vor allem der dekadische Logarithmus (wegen seines Zusammenhanges mit dem dekadischen Zahlensystem) und der natürliche Logarithmus (zur Darstellung kontinuierlicher Wachstumsprozesse) wichtig. Diese beiden Logarithmen sind auch am Taschenrechner unmittelbar verfügbar. Für gewisse Anwendungen sind jedoch gelegentlich auch die Logarithmen zu anderen Basen von Bedeutung, z. B. in der Informatik der Logarithmus zur Basis 2. Wegen des Zusammenhanges mit dem Dualsystem spricht man vom logarithmus dualis und schreibt ld. Alle diese Logarithmen lassen sich auf Grund des folgenden Zusammenhanges am Taschenrechner ermitteln:

15 2.4 Rechnen mit Logarithmen 47 Werden beide Seiten der Definition des Logarithmus a a log x = x bezüglich der Basis 10 logarithmiert, so erhält man a log x lg a =lgx und daraus schließlich die Umrechnungsformel von lg x auf a log x: a log x = lg x lg a Wir brauchen also nur lg x durch den dekadischen Logarithmus der Basis a zu dividieren, um den a log x zu erhalten. Mit anderen Worten: Der dekadische Logarithmus und der Logarithmus zur Basis a sind direkt proportional; den Proportionalitätsfaktor ( Umrechnungsfaktor ) 1 lg a nennt man den Modul. In analoger Weise kann man a log x mit Hilfe des natürlichen Logarithmus am Taschenrechner ermitteln. Gib die entsprechende Umrechnungsformel an (Aufg. 130)! Ganz allgemein besteht zwischen den Logarithmen a log und b log bezüglich zweier beliebiger (zulässiger) Basen a und b ein direkt proportionaler Zusammenhang. Drücke diesen Zusammenhang formal aus (Aufg. 130)! Aufgaben 120. Berechne am Taschenrechner und vergleiche die Ergebnisse! Welche allgemeine Einsicht kann man daraus gewinnen? Formuliere sie mit eigenen Worten! Kann man wie? die Zahlen 2 und 3 durch zwei andere Zahlen ersetzen, sodass die Ergebnisse übereinstimmen? a) lg 2 + lg 3 lg(2 + 3) b) lg 3 lg 2 lg(3 2) c) (lg 2) (lg 3) lg(2 3) d) lg 2 lg 3 lg 2 3 e) lg(2 3 ) (lg2) 3 f) lg lg Zerlege jeweils den gegebenen Ausdruck mit Hilfe der Regeln 1) bis 4) auf Seite 44 für das Rechnen mit Logarithmen und gib jeweils an, welche der Regeln verwendet werden! a) log a b c b) log a b c c) log a b c d) log a b c d 122. Zerlege jeweils den gegebenen Ausdruck mit Hilfe der Regeln für das Rechnen mit Logarithmen: a) log(2x 2 y) b) log(6r 2 s 3 ) c) log(a 3 b) d) log( c 3 d) e) log 4x3 y 2 f) log 3x2 y 3 g) log a b h) log c d 123. Berechne den Größenordnungsunterschied mit Hilfe von Logarithmen und runde ihn anschließend auf eine ganze Zahl! a) b) c) 0,237 0, d) 0,0976 0, e) 0, f) , Wie Aufg. 123! a) 2, , b) 3, , c) 1, , d) 2, , e) 8, , f) 1, ,

16 48 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 125. Wievielstellig bzw. etwa wie groß ist die gesuchte Größe? Kontrolliere erst nachher mit dem Taschenrechner! a) 4 20 b) 6 60 c) d) Wievielstellig bzw. etwa wie groß ist die gesuchte Größe? Kontrolliere erst nachher mit dem Taschenrechner! a) Spezifische Masse der Erde (Masse =5, kg, Durchmesser =1, km) b) Spezifische Masse der Sonne (Masse =1, kg, Durchmesser =1, km) c) Übertragungsdauer 22 einer Nachricht vom Mond zur Erde (Entfernung Mond Erde =3, km) d) Maximale und minimale Übertragungsdauer 22 einer Nachricht vom Mars zur Erde (Entfernung Mars Sonne =2, km, Entfernung Erde Sonne =1, km) 127. Gib den Umrechnungsfaktor k an! a) 3 log x = k lg x b) 2 log x = k lg x c) 5 log x = k lg x d) ln x = k lg x e) 3 log x = k ln x f) 2 log x = k ln x g) 5 log x = k ln x h) lg x = k ln x 128. Berechne die angegebenen Logarithmen sowohl mit Hilfe der (1) dekadischen, (2) natürlichen Logarithmen: a) 2 log 5 b) 2 log 12 c) 2 log 143 d) 2 log e) 2 log e f) 2 log 977,54 g) 2 log 0,5134 h) 2 log 0, Wie Aufg. 128! a) 4 log 1037 b) 4 log π c) 16 log 1,4142 d) 16 log 0,0372 e) 8 log e f) 8 log 54 g) 5 log 0,234 h) 5 log Gib eine Formel an für die Berechnung des a) a log x aus dem ln x! b) a log x aus dem b log x! 2.5 Exponential- und logarithmische Gleichungen Logarithmen kann man nicht nur zum Abschätzen verwenden, sondern man kann damit auch Gleichungen lösen, in denen die Unbekannte als Exponent vorkommt. Solche Gleichungen heißen Exponentialgleichungen. Sie lassen sich vielfach durch Logarithmieren lösen: Beispiel K: Berechne x aus 3 x =2, G=R! Lösung: Wir führen die Gleichung durch Logarithmieren zur Basis 10 in eine lineare Gleichung über: lg 3 x = lg2 x lg 3 = lg 2 Probe: 3 0, x = lg 2 lg 3 0, Bemerkung: An sich ist es gleichgültig, bezüglich welcher Basis man die Gleichung logarithmiert. Unmittelbar am Taschenrechner sind jedoch nur der dekadische bzw. der natürliche Logarithmus verfügbar, sodass man diesen im Allgemeinen den Vorzug gibt. Umgekehrt heißen Gleichungen, bei denen die Unbekannte als Numerus von Logarithmen vorkommt, logarithmische Gleichungen. Sie lassen sich oft durch Entlogarithmieren lösen: 22 Lichtgeschwindigkeit =2, m/s

17 2.5 Exponential- und logarithmische Gleichungen 49 Beispiel L: Löse die Gleichung 6 (lg x) 2 +2=lgx 7 für G=R! Lösung: 6 (lg x) 2 lg x 7 +2 = 0 lgx = u 6u 2 7u +2 = 0 u u +2 = 0 7 u 1,2 = 12 ± = 7± u 1 = 3 x 1 =10 u1 = u 2 = 2 x 2 =10 u2 = 10 L = { 3 100, 10} Probe: Hier ist es günstiger, den Taschenrechner einzusetzen, damit ein eventuell gemachter Fehler beim Umformen nicht noch einmal auftritt: Für x 1 :LS=4,6667 = RS Für x 2 :LS=3,5 =RS Beispiel M: Die Atomkerne einiger Elemente wie Uran, Radium, Plutonium usw. sind instabil, d. h. sie zerfallen spontan. Die Zeit t, in der von einer vorhandenen Stoffmenge die Hälfte zerfällt, heißt Halbwertszeit. Sie liegt zwischen Bruchteilen einer Sekunde (z. B s beim Plutoniumisotop 212) und etlichen Milliarden Jahren (z. B. 4, Jahre beim Uran 238). Obwohl für keinen einzigen instabilen Atomkern der Zeitpunkt seines Zerfalls vorausgesagt werden kann, gilt für eine genügend große Anzahl solcher Kerne ein exponentielles Zerfallsgesetz, das sich von den Wachstumsgesetzen durch das Vorzeichen des Exponenten unterscheidet ( Minuswachstum ): N t : Anzahl der zum Zeitpunkt t noch vorhandenen Kerne N t = N 0 e λ t N 0 : Anzahl der ursprünglich vorhandenen Kerne λ: die Zerfallskonstante a) Drücke die Halbwertszeit τ durch λ aus! b) Berechne λ für das Plutoniumisotop 212 und für Uran 238! c) Berechne, nach welcher Zeit t nur noch 10 % der ursprünglichen Masse vorhanden ist! Lösung: a) N τ = N 0 e λτ N τ = N 0 0,5 e λτ = 0,5 ln λ τ ln e = ln0,5 Beachte: ln e =1 λ τ = 0, τ (Hier ist es praktischer, beim Logarithmieren der Gleichung den natürlichen Logarithmus zu verwenden, weil ln e = 1ist!) b) λ 0,693 τ = 0, , d. h. pro Sekunde finden durchschnittlich Zerfälle 7 statt. λ = 0,693 4,5 10 1, , d. h. pro Jahr finden durchschnittlich 1, Zerfälle 9 statt. c) N t =10% N 0 =0,1 N 0 N 0 e λt = N 0 0,1 : N 0 λ t = ln0,1 0,693 λ t = also t =0, Sekunden bzw. 1, Jahre. ln 0,1 λ = ln 10 λ

18 50 2 Exponential- und Logarithmusfunktion Aufgaben Exponentialgleichungen: 131. Löse (1) ohne Logarithmieren, (2) mit Logarithmieren zu einer günstigen Basis die gegebenen Gleichungen in R! Führe jeweils auch die Probe aus! ) x 2 = 8 27 d) ( 9 25 ) 2 x = a) 3 x = 1 9 b) 2 x = 1 16 c) ( 4 9 e) 25 2x 1 = 625 f) x =36 g) 9 x 1 =27 h) 4 1 x = Löse die gegebenen Gleichungen in R und gib die Lösung auf 5 Dezimalen gerundet an! Führe jeweils auch die Probe aus! a) 12 x =7 b) 16 x = 150 c) 8,25 x+1 =20,4 d) 7 2x =23,5 e) 9 x =11,5 f) 5 x =15,2 g) 13,7 3x 5 =35,8 h) 12,4 2x 3 =24, Wie Aufg. 132! a) 2 x = e b) 3 x = e 2 c) e 2x =13,68 d) e 3x = 1 e e) e x =5 f) 3 ex =2 g) 4,3 x = 1 e h) 5,14 2x = e 134. Wie Aufg. 132! a) 3 2x 1 =2 x+3 b) 5 x+1 =7 x 1 c) 4,25 2x+3 =6,05 x 2 d) 8,63 x 3 =5,28 2x Mittels der 14 C-Methode ist es möglich, das Alter von Fossilien zu bestimmen. Dieses Isotop, das sich (in äußerst geringen) Mengen im Kohlendioxid der Luft befindet, wurde von den Pflanzen (und über diese auch von den Tieren) aufgenommen und zerfällt mit einer Halbwertszeit von etwa 5730 Jahren. Bestimme das Alter eines Fossils, dessen gemessener 14 C-Anteil a) 1,4 %, b) 2,2 %, c) 10 %, d) 14 % des ursprünglichen Anteils ist! 136. In Holzresten aus der Höhle von Lascaux stellte man 14,5 % des ursprünglichen 14 C-Gehaltes fest. Berechne daraus das Alter dieser Holzreste (die Halbwertszeit von 14 C liegt zwischen τ 1 = 5690 und τ 2 = 5770 Jahren)! Berechne ferner bis zu welchem Alter sich die 14 C-Methode verwenden lässt, wenn man noch 1 % des ursprünglichen 14 C-Gehalts mit hinreichender Genauigkeit feststellen kann! Führe die Rechnung mit τ 1 und τ 2 durch! Logarithmische Gleichungen: 137. Löse am Taschenrechner für G=R +! a) lg x =1, b) lg x =3, c) lg x = 0, d) lg x = 0, e) lg 2x = 0, f) lg 3x = 0,6945 g) lg x 2 = 1, h) lg x 2 = 2, Wie Aufgabe 137! a) ln x =2,4578 b) ln x =3,1897 c) ln x = 0,4567 d) ln x = 2,1456 e) ln 2x =3,9845 f) ln 3x =2,1008 g) ln x 2 =3,2367 h) ln x 2 =0, Löse folgende Gleichungen in R +! Führe jeweils auch die Probe aus! a) lg x +lg4x =lg36 b) lg 2x +lg3x = lg 726 c) lg 8x +lg3x =lg96 d) lg 6x +lg2x =lg48 e) lg x +lg2x +lg4x = 3 f) lg x +lg3x +lg9x = 3 g) lg x +lg2x lg 4x =lg2 h) lg x lg 2x +lg3x =lg1, Wie Aufgabe 139! a) lg(x 3) + lg 7 = lg(x +3) b) lg(x +3) lg(x 3) = lg 4 c) lg(6x +3)=lg(3x 1) + lg 3 d) lg x +lg(x +1)=2 lg(1 x)

19 2.6 Das logistische Wachstum 51 Vermischte Aufgaben: 141. Wie Aufgabe 139! a) 2 lg x =8 b) 5 lg x = 625 c) 3 lg x =27 d) 4 lg x =64 e) 3 lg x = 1 9 f) 4 lg x = g) 2 lg x = 1 32 h) 5 lg x = Wie Aufgabe 139! a) x lg(x 3) =0,01 b) x lg(x 2) =0,1 c) 2 (lg x) 2 +2=5lgx d) (lg x) 2 +2 lg x =3 e) 6 (lg x) 2 1=lgx f) 2 (lg x) 2 +1=3 lg x g) x lg x = x h) x lg(x 2) = x Das logistische Wachstum Wird die Exponentialfunktion als Hilfsmittel verwendet, um Wachstumsvorgänge zu beschreiben, wird unbeschränktes Wachstum vorausgesetzt. Diese Annahme kann aber dann nicht einmal als Näherung befriedigende Ergebnisse liefern, wenn einerseits nur beschränkte Ressourcen vorhanden sind und andererseits diese bereits zu einem größeren Prozentsatz (Faustformel: mehr als 30 %) ausgeschöpft sind. Dadurch wird das Wachstum gebremst. Dies kann häufig durch die so genannte logistische Funktion beschrieben werden: y = ecx 1+e cx Durch Aufstellen einer Wertetabelle erhält man eine Vorstellung von der Gestalt der Kurve. Betrachten wir etwa den Graphen für c =1: x y 0,02 0,05 0,12 0,27 0,50 0,73 0,88 0,95 0,98 Wir erkennen, dass die Funktion zentrisch-symmetrisch bezüglich (0 0,5) ist, was sich auch leicht nachweisen lässt: und y( x) = y(x)+y( x) = e cx 1+e cx = 1 e cx +1 ecx 1+e cx + 1 e cx +1 =1 y( x) =1 y(x). Weiters sind die x-achse und die durch y =1gegebene Gerade Asymptoten.

20 52 2 Exponential- und Logarithmusfunktion Beispiel N: Die nebenstehende Tabelle gibt das Verhältnis der getöteten Zivilisten zu getöteten Soldaten in verschiedenen Kriegen an. Versuche das Verhältnis für einen eventuellen Krieg im Jahr 2050 hochzurechnen! (Quelle: errechnet aus und Lösung: Wie man sieht, passen die Funktionswerte der logistischen Funktion y = ex 1+e jedenfalls grob x bzw. qualitativ zu den in der Tabelle angegeben. Somit können wir annehmen, dass die logistische Funktion gut unseren Sachverhalt beschreibt und können den Wert für das Jahr 2050 ablesen. Wir erhalten nahezu 100 %, ein Wert, der bei einem Atomkrieg nicht unrealistisch ist. Zivilisten haben bei einem solchen praktisch keine Überlebenschancen! Krieg Jahre Zivilisten/Soldaten 1. Weltkrieg ,05 2. Weltkrieg ,48 Koreakrieg ,84 Vietnamkrieg ,92 Balkankrieg , Simulation Unter Simulation versteht man eine möglichst wirklichkeitsgetreue Nachbildung eines realen Geschehens. Dieses wird durch ein Modell ersetzt, das dann auf seine Eigenschaften hin untersucht wird. Und daraus kann dann wieder auf das ursprüngliche Geschehen zurück geschlossen werden. Dieses Modell kann technischer Natur sein, wie etwa ein Modell eines Autos im Windkanal, um seine Strömungseigenschaften zu untersuchen. Ökonomisch günstiger aber ist es, das reale Geschehen durch ein mathematisches Modell zu beschreiben. In diesen mathematischen Modellen lassen sich dann die Auswirkungen von Änderungen der Eingangsgrößen auf das Ergebnis studieren. So ist etwa ein Flugzeugsimulator ein Gerät, wo die Eingangsgrößen (Aktionen des Piloten, aber auch Wind, Feuer am Bord, Ausfall des Triebwerks usw.) in Reaktionen des (Modell-)Flugzeugs umgerechnet werden. Ähnliche Simulatoren stehen in Fahrschulen, wo man ohne Gefahr für sich, die anderen oder das Auto trainieren kann. Aus den obigen Beispielen siehst du, dass eine Simulation vor allem dort angewendet wird, wo eine Realisierung des zu untersuchenden Vorgangs zu gefährlich oder nicht möglich ist. In der Ökonometrie (mathematische Wirtschaftswissenschaft) wird die Simulation insbesondere im Bereich der Lagerhaltung, bei Warteschlangenproblemen, bei Wartungs- und Instandsetzungsvorgängen und vor allem bei volkswirtschaftlichen Vorgängen eingesetzt. So hängt etwa die Bevölkerungszahl einer bestimmten Region von der Zahl der Geburten, der Zahl der Todesfälle, der Zahl der Immigranten und der Zahl der Emigranten ab. Diese Eingangsgrößen hängen wieder von der Bevölkerungszahl, aber auch von einander ab. Erkläre! Ein anderes Beispiel ist der Gewinn bei Verkauf einer Ware. Dieser hängt ab vom Preis, von den Produktionskosten, von Steuern und Abgaben, von den Investitionskosten und usw.. Der Preis aber hängt wieder ab von der abgesetzten Menge, diese wieder usw.. Ein weiteres Beispiel sind die Zinsen, die man für ein der Bank übergebenes Kapital erhält. Jene hängen von der Höhe des Kapitals und vom Zinssatz ab. Dieser aber hängt von der Höhe des Kapitals, vom Veranlagungszeitraum, vom Risiko usw. ab.

21 2.7 Simulation 53 Dies alles sind Beispiele für dynamische Systeme. Man kann sie durch Funktionen, Formeln, (Un-)Gleichungen und Systeme von Gleichungen beschreiben. (Mehrere Gleichungen braucht man, wenn mehrere Variable zum Beschreiben des dynamischen Systems notwendig sind.) Da solche dynamische Systeme nicht nur in der Wirtschaft auftreten, wollen wir nun zeigen, wie sehr Mathematik bei allen möglichen Problemen auftreten kann. Beispiel O: In einer Kleinstadt hatten vor zwei Jahren 20 Personen ein Handy. Heute gibt es dort 50 Handybesitzer. Insgesamt rechnet man mit einer Obergrenze von K = 3000 Personen. Wir setzen ein diskretes Modell für logistisches Wachstum voraus. Die Formel dafür lautet: N(t +1) N(t) N(t) = r ( 1 N(t) ) K wobei wir r allerdings erst bestimmen müssen. Berechne folgende Werte: Für den Zeitraum t =0, 1, 2, 3, 4, 10, 15, 20 Jahre 1) die Anzahl der Handybesitzer N(t) 2) die relative Zunahme der Handybesitzer 3) die Anzahl der Personen ohne Handy (= Restkapazität ) und berechne anschließend das Verhältnis relative Zunahme zu Restkapazität! Stelle den Zusammenhang zwischen Zeit und Handy-Absatz grafisch dar! Lösung: r finden wir durch systematisches Probieren (exakter durch Intervallschachtelung), wobei wir davon ausgehen müssen, dass im 2. Jahr 50 Handybesitzer vorhanden sind. Das Ergebnis findet sich in der folgenden Tabelle: rel. Zunahme ohne Handy r Jahre mit Handy rel. Zunahme ohne Handy 0, Obergrenze , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

22 54 2 Exponential- und Logarithmusfunktion Fortsetzung von Beispiel O: Nun setzen wir kontinuierliches logistisches Wachstum voraus. Charakteristisch für diesen Wachstumsprozess ist nicht nur, dass es sich um ein gebremstes Wachstum handelt, sondern auch, dass das Verhältnis relative Zunahme der Handybesitzer : relative Abnahme der Noch-nicht-Handybesitzer einen exponentiellen Vorgang darstellt. Die Formel für dieses Wachstum lautet: N(t) = K N(0) a t N(0) a t +(K N(0)) wobei wir A berechnen müssen. Berechne folgende Werte: Für den Zeitraum t =0, 1, 2, 3, 4, 10, 15, 20 Jahre 1) die Anzahl der Handybesitzer N(t) 2) die Restkapazität K N(t) 3) das Verhältnis Handybesitzer : Obergrenze 4) das Verhältnis Handybesitzer : Restkapazität 5) das Verhältnis (Handybesitzer : Restkapazität) : (Anfangszahl : Restkapazität zu Beginn) Welchen Anstieg weist das zuletzt formulierte Verhältnis von Jahr zu Jahr auf?

23 2.7 Simulation 55 Lösung: Wir gehen wie vorhin vor und finden a durch Intervallschachtelung: m. Handy Obergrenze m. Handy o. Handy a Jahre m. Handy o. Handy Verhältnis rel. Anstieg N(t) K N(t) 1, ,007 0,007 1,000 Obergrenze K ,011 0,011 1,589 1, ,017 0,017 2,525 1, ,026 0,027 4,013 1, ,041 0,043 6,378 1, ,064 0,068 10,135 1, ,098 0,108 16,107 1, ,147 0,172 25,596 1, ,214 0,273 40,676 1, ,303 0,434 64,640 1, ,408 0, ,724 1, ,523 1, ,244 1, ,635 1, ,421 1, ,735 2, ,261 1, ,815 4, ,149 1, ,875 6, ,135 1, ,917 11, ,528 1, ,946 17, ,307 1, ,966 28, ,385 1, ,978 44, ,115 1, ,986 70, ,192 1, , , ,103 1, Weltbevölkerungswachstum (Quellen: Statistisches Jahrbuch 1999/2000 und 2004) (1) Im Jahr 2000 lebten 6,06 Mrd. Menschen auf der Erde werden es vermutlich 7,38 Mrd. sein. Man nimmt an, dass 20 Mrd. eine Obergrenze für die Weltbevölkerung darstellt. Erstelle eine entsprechende Formel, indem du das logistische Wachstum laut Formel aus Bsp. O voraussetzt. Runde dabei a auf 4 Dezimalstellen! Berechne die voraussichtliche Weltbevölkerung für 2050 (in Mrd., auf 2 Dezimalstellen gerundet)! (2) Die jährliche Wachstumsrate für die Jahre betrug 1,46 %, jene für betrug 1,35 %. Setze herkömmliches exponentielles Wachstum voraus und berechne, wie viele Menschen 1990 gelebt haben! Berechne, wie viele Menschen laut diesem Modell im Jahr 2025 leben würden! (3) Setze die folgende Formel N(t) =K(1 c a t ) mit K als Kapazitätsgrenze voraus und berechne an Hand der Angaben aus (1) diekonstantena und c. Runde dabei auf 4 Dezimalstellen! (4) Berechne laut der Formel aus (3), wie viele Menschen nach diesem Modell 2050 die Erde bevölkern werden (in Mrd., auf 2 Dez. gerundet)! (5) Wann würde nach den verschiedenen Modellen aus (2) bzw. aus(3) die 10-Mrd- Grenze überschritten? (6) Stelle die verschiedenen Wachstumsmodelle grafisch dar!

24 56 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 144. Handy-Absatz (1) Ein Handy-Anbieter setzt für die Beziehung Werbeaufwand-Absatz die Formel A(x) = c(1 a x )+b voraus, wobei a,b,c > 0 gilt und A(x) die Absatzmenge (= verkaufte Handys) nach Investition eines Werbebudgets x darstellt. Wie kann man an Hand der obigen Formel erklären, dass A(x) steigt, wenn a<1 ist? (2) Zeige ganz allgemein, dass c + b eine Obergrenze für diesen Vorgang bildet! (3) Man geht davon aus, dass es in einer bestimmten Stadt höchstens a) bzw. b) 5000 Handybesitzer geben kann. Investiert der Handy-Anbieter nichts in die Werbung, so kann er a) 1000 bzw. b) 500 Handys absetzen. Investiert er hingegen a) 80 bzw. b) 90 GE (Geldeinheiten), so steigt der Absatz auf a) 2500 bzw. b) 1200 Handys. Berechne an Hand der obigen Angaben a und b und erstelle eine entsprechende Formel für dieses Beispiel. Wie kann man erklären, dass obwohl a<1 ist trotzdem ein Wachstum vorliegt? (4) Bei welchem Werbeaufwand wäre nach obiger Formel und obigen Voraussetzungen mit einem Absatz von a) 5000 bzw. b) 2500 Handys zu rechnen? (5) Welche grafische Bedeutung kommt den Konstanten b und c zu? (Erklärung in Worten oder an Hand einer ganz allgemeinen Skizze!) 145. Internet-Nutzer: Im Folgenden findest du eine Tabelle der Internet-Nutzer in a) Österreich, b) Deutschland für die Jahre 2001, 2004 und Jahr Österreich Deutschland ,8 Mio 24,63 Mio ,46 Mio 35,7 Mio ,93 Mio 40 Mio (1) Beweise/Widerlege an Hand der Tabelle, dass es sich hier um ein herkömmliches lineares Wachstum handelt! (2) Beweise/Widerlege an Hand der Tabelle, dass es sich hier um ein herkömmliches exponentielles Wachstum handelt! (3) Setze ein diskretes logistisches Wachstum voraus (siehe Beispiel O), nimm an, dass die Obergrenze für Österreich 5 Millionen, für Deutschland 50 Millionen ist und berechne aus den Daten den Faktor r sowie die voraussichtlichen Internet-Nutzer- Zahlen (Ergebnis in Personen) für 2008! (4) Setze ein kontinuierliches logistisches Wachstum voraus (siehe Beispiel O), wobei sich N 0 auf das Jahr 2001 bezieht und K(Österreich) = 5 Mio bzw. K(Deutschland) =50Mio (Personen) ist! Welche Wachstumsraten ergeben sich, wenn man für t =3(also das Jahr 2004) wählt? Simuliere das Wachstum bis ins Jahr 2010 an Hand eines TKP (Tabellenkalkulationsprogramm) und stelle es grafisch dar! Wie könnte die Abweichung der für 2005 errechneten Ergebnisse von den tatsächlichen Zahlen in der Tabelle erklärt werden? Wann werden nach diesem Modell in Österreich 4,5 Mio, in Deutschland 45 Mio Personen das Internet nutzen? Quellen: BI/bmwa/Faktenbericht 8/Abbildungen/Folie259.jpg

25 2.8 Rückblick und Ausblick Rückblick und Ausblick Historischer Rückblick Im 16. und 17. Jahrhundert war die Entwicklung der Mathematik eng mit der Entwicklung der Astronomie verknüpft. Um die neuen astronomischen Beobachtungen von Nikolaus Kopernikus ( ), Tycho de Brahe ( ), Johannes Kepler ( ) und anderen auch rechnerisch auswerten zu können und um neue Gesetzmäßigkeiten der Planetenbewegung entdecken und bestätigen zu können, waren mühsame Rechnungen erforderlich. Um diese abzukürzen, suchte man nach Wegen, die Multiplikationen durch Additionen und die Divisionen durch Subtraktionen ersetzen sollten. Man stieß dabei auf Zusammenhänge zwischen geometrischen und arithmetischen Folgen. Bei ersteren erhält man jedes weitere Glied der Folge durch Multiplikation mit einer Konstanten, bei letzteren durch Addition. N. Kopernikus J. Kepler J. Neper Michael Sti(e)fel (1486? 1567) hat bereits in seinem im Jahr 1544 erschienenen Werk arithmetica integra deutlich erkannt: Addition in der arithmetischen Folge entspricht der Multiplikation in der geometrischen, ebenso Subtraktion in jener der Division in dieser. Diesen Zusammenhang stellte er in einer aus zwei Zeilen mit je 10 Zahlen bestehenden Logarithmentafel dar: Der Erste, der eine ausführliche Logarithmentafel veröffentlichte, war der schottische Adelige Baron of Merchiston John Neper ( ), der übrigens auch als Erster das Dezimalkomma in seiner heutigen Bedeutung benutzte. Sein Tafelwerk Logarithmorum Canonis Mirifici Descriptio erschien im Jahr Er hat auch die Bezeichnung Logarithmus eingeführt. Der Schweizer Jost Bürgi ( ) hat zwar schon in den Jahren ebenfalls eine Logarithmentafel erstellt, doch wurden seine Tafeln erst im Jahr 1620 veröffentlicht, sodass Neper als der Schöpfer der ersten Logarithmentafeln gilt. Beide, sowohl Neper als auch Bürgi, waren bestrebt, alle Zahlen als Potenzwerte ein und derselben Basis darzustellen. Bei der Basis 2, die Sti(e)fel gewählt hatte, lagen die Potenzwerte zu weit auseinander. Daher wählte Neper nach mehreren Versuchen die Basis ( ) e und Bürgi die Basis ( Nepers Logarithmen unterscheiden sich in guter Näherung nur durch das Vorzeichen von den natürlichen Logarithmen, wogegen Bürgis Logarithmen mit großer Näherung gleich den natürlichen Logarithmen sind. ) 10 4 e.