Zahlkörper. Kapitel Rationale Zahlen

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1 Kapitel 5 Zahlkörper Das Uedliche hat wie keie adere Frage vo jeher so tief das Gemüt des Mesche bewegt; das Uedliche hat wie kaum eie adere Idee auf de Verstad so areged ud fruchtbar gewirkt; das Uedliche ist aber auch wie kei aderer Begriff so der Aufklärug bedürftig. David Hilbert Wir fasse hier die wesetliche Fakte über die ratioale ud reelle Zahle zusamme; die komplexe Zahle werde wir im Zusammehag mit Polyome eiführe. Damit lere wir die grudlegede Idee der Vollstädigkeit der reelle Zahle kee ud damit das Fudamet der Aalysis. Die Computerzahle wir gehe im ächste Kapitel darauf ei fide sich da als edliche Mege vo Zahle, die auf dem Strahl der reelle Zahle diskret liege. 5. Ratioale Zahle Ratioale Zahle kee wir als (gekürzte) Brüche gazer Zahle, geauer als Objekte Also setze wir u a b mit a Z, b N. Q := {(a,b) a Z, b N}. Klar, das Paar (,) steht für de uechte Bruch. Ei Problem etdecke wir sofort: i Q gibt es (4,2),(2,),(8,9).... Diese Paare repräsetiere zwar Brüche, aber als ratioale Zahle sollte wir sie gleichsetze. Wir erreiche dies durch eie Äquivalezrelatio: Wir setze ud defiiere (a,b) (a,b ) : ab = a b Q := {[(a,b)] a Z, b N}, wobei [(a, b)] eie Klasse bezüglich der obige Äquivalezrelatio ist. Es liegt i der Tat eie Äquivalezrelatio vor: Die Reflexivität ud Symmetrie ist klar, die Trasitivität folgt so: Aus (a,b) (a,b ),(a,b ) (a,b ), d.h. ab = a b,a b = a b folgt ab = ab b b = a bb b = a b bb = a b, d.h. (a,b) (a,b ). 66

2 Es ist also doch erlaubt, ratioale Zahle als Brüche a b mit a Z, b N azusehe. Nu ergebe sich die Grudrechearte Additio, Subtraktio, Multiplikatio, Divisio, Vergleich i wohl bekater Weise aus de etsprechede Operatioe i N bzw. Z. Seie a b, a b Q. Additio: a b + a b = ab + a b bb. Subtraktio: a b a b = ab a b bb. Multiplikatio: a b a b = aa bb. Divisio: a b /a b = ab ba, falls a 0. Vergleich a b < a b geau da, we ab < a b. Ma beachte, dass für jede Recheart achgewiese werde ka, dass die Ergebissse icht vo de gewählte Repräsetate der Brüche abhägt. Satz 5.. Die Mege Q der ratioale Zahle ist abzählbar. Es geügt die ichtegative ratioale Zahle abzuzähle, de daraus lässt sich uter Verwedug des Vorzeiches sofort eie Abzählug aller ratioale Zahle kostruiere. Wir schreibe die ratioale Zahle, d.h. die Paare (a,b),a Z,b N, wie i Abbildug 5. auf. Die Pfeile deute a, i welcher Reihefolge wir die Paare u abzähle. Ei eimal abgezähltes Paar wird icht mehr berücksichtigt. Als Erketis habe wir u, dass die ratioale Zahle icht größer als die Mege der atürliche Zahle mit ihre große Lücke ist. 5.2 Körper (, ) (2, ) (3, ) (4, ) ւ ր ւ (, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) ր ւ ր (, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) ւ ր ւ (, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) ր (, 5).. Abbildug 5.: Das Catorsche Diagoalisierugsverfahre Der ordede mathematische Begriff im Rahme der Zahlbereiche ist der des Körpers. Es sid dies Mege, i dee wir auf abstraktem Niveau die Verküpfuge Additio, Multiplikatio wiederfide. Zetral ist bei der Formulierug der Begriff der Gruppe, de wir im letzte Kapitel scho keegelert habe. Der obige Beweis weicht ab vo der aheliegede Idee, die Abzählug vo Q der Größe ach zu versuche. Dies wäre auch zum Scheiter verurteilt, de es liege ja zwische zwei ratioale Zahle auch scho wieder uedlich viele ratioale Zahle, d.h. zwische zwei ratioale Zahle stellt sich das Abzählproblem ereut. Der Ausweg ist die Beweisidee vo G. Cator. 67

3 Defiitio 5.2. Eie Mege K mit zwei Verküpfuge + : K K (a,b) a + b K, (Additio) : K K (a,b) a b K (Multiplikatio) heißt ei Körper, we gilt: a) (K,+) ist eie abelsche Gruppe mit eutralem Elemet 0. b) (K := K\{0}, ) ist eie abelsche Gruppe mit eutralem Elemet. c) Für alle a,b,c K gilt: a (b + c) = a b + a c. Die Bediguge a),b) sid us wohlvertraut. Mit der Tatsache 0 ist scho klar, dass ei Körper midestes zwei Elemete besitzt, ämlich das Nullelemet 0 (eutrales Elemet bzgl. der Additio) ud das Eiselemet (eutrales Elemet bzgl. der Multiplikatio). Die Bedigug c) heißt Distributivgesetz. Es erklärt, wie sich die beide Verküpfuge miteiader vertrage. Das Iverse vo a bzgl. der Additio schreibe wir mit a, das Iverse vo a K bezüglich der Multiplikatio schreibe wir mit a. Dies geschieht i Alehug a das Reche i Q. 2 Vo Nutze ist die folgede Schreibweise x, N 0,x K : Iduktiv für x K : 0x := 0; ( + )x := x + x, N 0. Nützlich ist auch die Potezschreibweise, die i eiem beliebigem Körper K Awedug fide ka: Iduktiv für x K = K\{0} : x 0 := ; x + := x x, N 0. Q ist offebar ei Körper mit der übliche Additio ud Multiplikatio. Weitere Körper sid Z m, we m eie Primzahl ist. Dies halte wir etwas geauer im folgede Beispiel fest. Beispiel I Z m, m N\{}, habe wir scho eie Additio ud eie Multiplikatio keegelert. Es ist u sofort eizusehe, dass Z m ei Körper geau da ist, we m eie Primzahl ist. Ist u m = p eie Primzahl, da beobachte wir i dem zugehörige Körper Z p, dass = 0 für = p ist ud keie atürliche Zahl < p diese Eigeschaft hat. Ma sagt, der Körper Z p hat die Charakteristik p. (Eiem Körper, i dem = 0 für keie atürliche Zahl gilt, wird die Charakteristik 0 zugeordet. Also hat Q die Charakteristik 0.) Ohe Beweis gebe wir a: Regel Sei K ei Körper ud seie a, b K. Es gilt: 2 Die Theorie der Körper begit im wesetliche mit E. Galois ud N.H. Abel mit der Erweiterug der Körper Q, R um Lösuge algebraischer Gleichuge (Körpererweiterug), allerdigs och i eier Formulierug, der megetheoretische Sprechweise icht zur Verfügug stehe. R. Dedekid führte 8 die Begriffe Körper, Modul ei, 893 gab da H. Weber dem Wort Körper de gleiche allgemeie Si, de es heute hat. Auf abstrakter Ebee fide wir Körper da auch bei E. Steiitz. 68

4 () Die Gleichug a + x = b hat die eideutige Lösug x = b + ( a). (2) ( a) = a, (a + b) = ( a) + ( b). (3) Die Gleichug a x = b hat die eideutige Lösug x = a b falls a 0. (4) (a ) = a, falls a 0. (5) (a b) = b a, falls a 0,b 0. (6) a 0 = 0. (7) a b = 0 a = 0 oder b = 0. (8) ( a) b = (a b), ( a) ( b) = a b. Die Aussage (3) ka etwas umfasseder formuliert werde: Die Gleichug a x = b hat die eideutige Lösug x = a b falls a 0, sie hat keie Lösug, falls a = 0 ud b 0, ud sie hat jedes x K als Lösug, falls a = b = 0. Ma hat dazu ur (6) herazuziehe. Satz (Biomialsatz) Seie x, y K, N, mit eiem Körper K. Da gilt (x + y) = ( ) x j y j. j Der Beweis vo Satz ka mit Iduktio erbracht werde. Wir werde bei der Eiführug der reelle Zahle im ächste Kapitel axiomatisch vorgehe. Dazu beötige wir och de Begriff des ageordete Körpers. Defiitio Ei Körper K mit Additio + ud Multiplikatio heißt ageordet, we es eie Teilmege P gibt, so dass gilt: () Für jedes x K gilt geau eie der folgede Aussage: x P, x = 0, x P. (2) Ist x P ud y P, so folgt x + y P. (Mootoie der Additio) (3) Ist x P ud y P, so folgt x y P. (Mootoie der Multiplikatio) Die Elemete vo P werde positiv geat, die Elemete x mit x P heiße egativ. Sei K (mit Additio + ud Multiplikatio ) mit der Mege P der positive Elemete. Schreibweise: Wir setze für x, y K. x > 0 : x P ; x > y : x y > 0; x y : x > y oder x = y ; x < y : y > x; x y : y x. Folgerug Seie x, y, z K. Da gilt: () Es gilt geau eie der folgede Aussage: x > 0, x = 0, x < 0. (2) x < y = x + z < y + z (3) x < y,0 < z = xz < yz 69

5 Die Aussage sid eifache Kosequeze aus der Defiitio vo > ud <. Regel Sei K ei ageordeter Körper mit der Mege P der positive Elemete. Seie v,w,x,y,z K. Wir habe:. x y,v < w = x + v < y + w. 2. x y = x y. 3. x y,z 0 = yz xz. 4. x 2 0; x 2 > 0, falls x 0; > x > 0 = x > < x y = x y. Wir skizziere die Beweise: Zu.: Mit Folgerug folgt x + v < x + w ud mit der Defiitio vo folgt x + v < x + w y + w. Zu 2.: ( x ( y)) = (y x) 0. Zu 3.: Aus 2. folgt 0 z ud damit xz yz, also yz xz. Zu 4.: Ist x 0, so folgt x 2 0 aus der Mootoie der Multiplikatio. Ist x 0, so folgt x 2 0 aus 3.. Aus = folgt daher auch > 0. Zu 5.: Aus x < 0, so folgt = = xx < 0 im Widerspruch zu 4.. Zu 6.: Aus der Mootoie bzgl. der Multiplikatio folgt xy > 0 ud damit (xy) > 0 wege 5.. Daraus folgt x = (xy) y (xy) x = y. Es ist leicht eizusehe, dass der Körper Q mit der Mege P der positive Zahle ageordet ist. Der edliche Körper Z p,p Primzahl, ka icht ageordet werde, da ja offebar als Quadrat 2 positiv ist, aber p = 0 gilt. Mit eier Aordug < bzw. i eiem Körper K köe wir Schrake für eie Teilmege vo K defiiere. Defiitio Sei K ei ageordeter Körper mit der Mege P der positive Elemete ud der damit vebudee Aordug. Sei A K. (a) b K heißt obere Schrake vo A, falls a b gilt für alle a A. Existiert eie solche obere Schrake, ee wir A ach obe beschräkt. (b) b K heißt utere Schrake vo A, falls a b gilt für alle a A. Existiert eie solche utere Schrake, ee wir A ach ute beschräkt. (c) A heißt beschräkt, falls A obere ud utere Schrake besitzt. (d) b K heißt kleiste obere Schrake oder Supremum vo A, falls b obere Schrake ist ud für jede adere obere Schrake b vo A gilt: b b ; wir schreibe b = supa = if{a a A} oder kurz b = supa. a A Ist b = supa ei Elemet vo A, so schreibe wir ud ee b das Maximum vo A. b = max a = max{a a A} oder kurz b = max A a A 70

6 (e) b K heißt größte utere Schrake oder Ifimum vo A, falls b utere Schrake ist ud für jede adere utere Schrake b vo A gilt: b b ; wir schreibe b = if a = if{a a A} oder kurz b = if A. a A Ist b = if A ei Elemet vo A, so schreibe wir ud ee b das Miimum vo A. b = mi a = mi{a a A} oder kurz b = mia a A Beachte, dass die Existez vo Maximum ud Miimum eier beschräkte Mege keieswegs selbstverstädlich ist. 5.3 Reelle Zahle Die Mege der reelle Zahle ist heute der für Aweduge der Mathematik wichtigste Zahlbereich: Eie Vielzahl vo (berechete) physikalische Größe wie zum Beispiel Läge, Temperatur ud Masse köe mit reelle Zahle als Maßzahl agegebe werde. Aschaulich etspricht die Mege der reelle Zahle der Mege aller Pukte der Zahlegerade. Reelle Zahle sid eie Erweiterug des Bereichs der ratioale Zahle. Diese Erweiterug ist ötig, weil die ratioale Zahle für mache Läge keie Maßzahl bereitstelle, zum Beispiel für die Diagoale eies Quadrates mit der Seiteläge (wie wir obe gesehe habe) oder für die Teilstrecke i eiem regelmäßige Füfeck mit der Seiteläge. Scho die Pythagoräer erkate die Notwedigkeit, de Zahlbegriff über die Lägeverhältisse (die durch ratioale Zahle beschriebe werde) hiaus zu erweiter. Erst die modere Mathematik hat aber de Bereich der reelle Zahle defiiert ud damit dem Grezwertbegriff ud der gesamte Aalysis ei festes Fudamet gegebe. Die Kostruktio der reelle Zahle als Zahlbereichserweiterug der ratioale Zahle war im 9. Jahrhudert ei wichtiger Schritt, um die Aalysis auf ei solides mathematisches Fudamet zu stelle. Die erste exakte Kostruktio geht wohl auf Karl Weierstraß 3 zurück. Heute gebräuchliche Kostruktioe der reelle Zahle sid: () Darstellug als Dedekidsche Schitte ratioaler Zahle. (2) Darstellug als Äquivalezklasse vo Cauchy-Folge ratioaler Zahle. (3) Darstellug als Äquivalezklasse vo Itervallschachteluge ratioaler Itervalle. Die drei geate Kostruktiosmethode führe zur (bis auf Isomorphie ) gleiche Struktur (algebraische Eigeschafte, Aordug), dem Körper der reelle Zahle. Jede der Methode beleuchtet eie adere Eigeschaft der ratioale ud reelle Zahle ud ihrer Beziehug zueiader. Wir gehe axiomatisch bei der Eiführug des Körpers der reelle Zahle vor. Später erläuter wir die Beziehug zur kostruktive Vorgehesweise. Defiitio 5.3. Ei Mege K heißt Körper der reelle Zahle, falls gilt: 3 Weierstraß, K. (85 897) 7

7 (a) K ist ei Körper (Körperaxiom) (b) K ist ei ageordeter Körper (Aordugsaxiom) (c) Jede ichtleere ach obe beschräkte Teilmege vo K besitzt eie kleiste obere Schrake (Vollstädigkeitsaxiom) Wir schreibe für eie solche Körper R ud ee die Elemete vo R reelle Zahle. Die sofort aheliegede Frage ist, i welchem Sie dieser Körper der reelle Zahle eideutig bestimmt ist: er ist eideutig bis auf eie bijektive Abbildug zu eier adere Realisierug, die zudem auch och strukturerhalted ist (Isomorphismus). Die ächste Frage ist, iwiefer R als Erweiterug vom Aufbau N über Z ach Q agesehe werde ka. Oder aders herum, wie fide wir i R die atürliche, die gaze ud ratioale Zahle wieder. Da R eie additive Gruppe ist, existiert das eutrale Elemet 0 bezüglich der Additio. Da R\{0} eie multiplikative Gruppe ist, existiert das eutrale Elemet bezüglich der Multiplikatio. Damit erfüllt N R mit N ud Nachfolgerdefiitio N = := + die Peaoaxiome. Davo ausgehed kee wir de Weg, die gaze Zahle zu erfide ud die ratioale Zahle eizuführe. Also köe wir u Q als Teilmege vo R auffasse. Die Schreibweise ab ist da der Bruch a b. Beachte: Die Mege der atürliche Zahle ist ach ute ( ist eie utere Schrake), aber icht ach obe beschräkt, de: Aahme: x R ist obere Schrake vo N. Da gibt es eie kleiste obere Schrake ud wir köe o.e. aehme: x 2 ist keie obere Schrake. Also gibt es N mit x 2. Da ist aber + > x, was ei Widerspruch zur Tatsache ist, dass x obere Schrake ist. Folgerug Seie ǫ,y,b R,ε > 0,y > 0. Da gilt: () Es gibt N mit ǫ >. (2) Es gibt N mit ε > b. (3) Falls y > ist, gibt es N mit y ǫ. (4) Falls y < ist, gibt es N mit y ǫ. Zu (): Da ǫ keie obere Schrake für N sei ka, de zu jedem k N gibt es stets ei m N mit k < m, gibt es N mit > ǫ ; also < ǫ. Zu (2): Ist b 0, so ist ichts zu beweise. Ist b > 0, wähle ach () zu ε := εb. Zu (3): Es ist y = + h mit h > 0. Da ist ach der Biomialformel y = ( + h) = ( ) h j + h ε j für alle N mit ε h. Zu (4): Es ist y >. Also gibt es ach (2) N mit ( y ) ǫ, d.h. y ǫ. Bemerkug Die Eigeschaft (2) i Folgerug heißt Archimedische Eigeschaft. 72

8 Folgerug (Beroullische Ugleichug) Es gilt für jedes a R, a, a 0, ud N, 2, gilt ( + a) > + a. (5.) Ma beweist dies durch vollstädige Iduktio. = 2: ( + a) 2 = + 2a + a 2 > + 2a. + : Uter Berücksichtigug vo ( + a) > 0 folgt ( + a) + = ( + a) ( + a) > ( + a)( + a) = + a + a + a 2 > + a + a = + ( + )a Beispiel Wir betrachte das Verzisugsproblem. Sei x das Grudkapital ud sei x das Kapital ach Verzisug mit dem Zissatz q am Begi des Jahres. Also: Wir erhalte also iduktiv die Folge x 0 := x,x + := qx + x, N 0. (( + q) x) N. Wir erwarte, dass die Folgeglieder über alle Greze wachse. Dies legt die Frage ahe, wa sich das Kapital verdoppelt hat? Dazu habe wir die Gleichug x = 2x ach aufzulöse. Dies bedeutet ( + q) x = 2x, d.h. ( + q) = 2. Dies führt us auf Logarithme, die wir rechetechisch och gar icht im Griff habe, aber äherugsweise komme wir auch ohe sie aus. Es ist ( ) ( + q) = + q + q q 2 ud wir löse ersatzweise (Verzicht auf Ziseszis) die Gleichug + q = 2. Also wähle wir := q := max{z Z z q } oder := q := mi{z Z z q }. Diese Lösuge sid für kleie Zissätze q gar icht schlecht. Satz (Dichtheit vo Q i R) Zwische zwei verschiedee reelle Zahle liegt stets eie ratioale Zahl. Seie a,b R mit a < b gegebe. Gesucht sid m Z ud N mit a < m < b d.h. a < m < b. Wähle dazu N mit (b a) > gemäß Folgerug (). Mit m := a + Z folgt u a < m a + < b. 73

9 Die ratioale Zahle liege also dicht i R im Sie vo Satz Bisher wäre aber durchaus Q = R dekbar, ud Satz wäre trivial. Es stellt sich also die Frage: Ist Q R, d.h. ist R\Q? Die Elemete vo R\Q heiße irratioale Zahle. Als Kadidat für eie irratioale Zahl kommt 2 i Frage. Nu führe wir de Beweis, dass die Lücke i der Zahlegerade, die durch die Tatsache, dass die Gleichug x 2 = 2 i Q keie Lösug besitzt, aufgezeigt wird, i R geschlosse ist. Mehr och: Satz (Existez eier Wurzel) Sei a R, a 0, N. Die Gleichug besitzt geau eie Lösug x R mit x 0. x = a (5.2) Zuerst zur Eideutigkeit. Dazu beweise wir für x 0,y 0 die Aussage x < y x < y. iduktiv. Die Implikatio x < y = x < y ist klar, de aus x < y folgt x 2 < xy < y 2,x 3 < xy 2 < y 3,.... Die Implikatio x < y = x < y beweise wir iduktiv. = ist klar. + : Sei x + < y +. Aahme x y. Da ist x y ud daher x < x y + y y + = y. Mit der Iduktiosvoraussetzug folgt x < y. Damit folgt die Eideutigkeitsaussage so: Ist x y, so köe wir o.e. aehme x < y. Da ist x < y ud x = a = y ist icht möglich. Zur Existez. Betrachte A := {x R x 0,x < a}. A ist ichtleer, da offebar 0 i A ist. +a ist eie obere Schrake vo A, de: Sei x A. Da ist auf Grud der Beroullische Ugleichug x < a < + a < ( + a) ud es folgt aus der Überlegug zur Eideutigkeit x < + a daraus. Also existiert x := supa. Klar, x > 0. Wir behaupte x = a. Aahme: x < a. Für m N gilt (x + m ) = x + m ( ) x + m 2 ( 2 ) x m ( ) x + m ξ mit ξ > 0, wobei ξ vo m uabhägig ist, ud aus Folgerug (2) wisse wir, dass m so gewählt werde ka, dass ξ < m(a x ) gilt. Mit diesem m erhalte wir also (x + m ) < a, ud daher x+ m A im Widerspruch zur Eigeschaft vo x als kleiste obere Schrake vo A. Aahme: x > a. Sei m N mit m > x. Da ist Aus der Beroullische Ugleichug folgt ud wir habe x m > 0, t := mx. (x m ) = x ( mx ) x ( mx ) (x m ) > a, 74

10 we zusätzlich m > α := x x(x ist, was ach Folgerug (2) möglich ist. Da habe a) wir (x m ) > a. Da aber x die kleiste obere Schrake vo A ist, muss es y A gebe mit 0 < x m y x, de sost wäre x m eie obere Schrake vo A. Da folgt aber y (x m ) > a ud y < a, was sich widerspricht. Wir führe die te Wurzel 4 ei: Für a 0 setze wir a := x mit x 0,x = a. Bei = 2 schreibe wir kurz a ud ee a eie Quadratwurzel vo a. Beachte: Die Behadlug vo Wurzel aus egative Zahle ist icht eiheitlich. Es gilt beispielsweise ( 2) 3 = 8 ud - 2 ist die eizige reelle Zahl, dere dritte Potez 8 ist. Beispiel Aus der Babyloische Kultur ( 000 v. Chr.) gibt es eie Kleietafel, die belegt, dass derjeige, der sie beschriftet hat, wusste, dass das Verhältis vo Diagoale ud Seite im Quadrat gleich ist; eie erstaulich gute Näherug für 2. Die übliche Näherug zu dieser Zeit war = 2 7, eie Näherug, die wir u etlag vo Überleguge der Babyloier ableite. Sie gebe für z := a 2 + b 2 die Näherug z gemäß z = a + b2 (5.3) 2a a. Ma ka diese Formel so fide: We b 2 relativ zu a 2 klei ist, betrachte ma a als gute Näherugswert für z ud verbessere ih mit dem Korrekturterm d gemäß Bei Verachlässigug vo d 2 ergibt sich d = b2 2a a 2 + b 2 = z 2! = (a + d) 2 = a 2 + 2ad + d 2. ud daher z = a + d = a + b2 2a = z2 (a + 2 a ) (5.4) als eue Näherug. Diese Formel ist bekat als Verfahre vo Hero. 5 Etwa ergibt dies für z mit z 2 = 2 mit der Ausgagsäherug a = sukzessive z = + 2 = , z =, z = = Das Operatorsymbol stammt vo dem kleie Buchstabe r ab ud steht für radiziere. Er wurde erstmalig 525 vom deutsche Mathematiker Christoph Rudolff verwedet. 5 Hero (um 75) 75

11 Die Fuktioe der Form heiße Wurzelfuktioe. f : [0, ) [0, ),x x R ( N) Bemerkug Zwische Q ud R gibt es viele Körper, aber keier dieser dazwische liegede Körper ka ageordet sei ud dem Vollstädigkeitsaxiom geüge. Nu köe wir die bei wisseschaftliche Rechuge so ützliche Mittelbilduge eiführe. Zu x,...,x R,x > 0,...,x > 0, sei defiiert: Arithmetisches Mittel: A(x,...,x ) := (x + + x ) Geometrisches Mittel: G(x,...,x ) := x x Harmoisches Mittel: H(x,...,x ) := + + x x Ma ka zeige: H(x,...,x ) G(x,...,x ) A(x,...,x ) (5.5) ud wir habe Gleichheit i (5.5) geau da, we x = = x ist. Wir verzichte auf de Beweis. 5.4 Folge, Reihe ud ihre Kovergez Wir wolle u Folge reeller Zahle studiere, wir spreche kurz vo Zahlefolge. Dabei soll eie Folge die Kurzschreibweise für die Tatsache sei, dass zu jeder atürliche Zahl N geau eie Zahl i R gegebe ist. Also köe wir eie Zahlefolge auch als eie Abbildug f : N f() K auffasse, wobei wir statt f() die Schreibweise z := f() vorziehe; z heißt das te Folgeglied. Damit habe Folge reeller Zahle (bei us) folgedes Aussehe: (z ) N. Beachte, dass wir damit auch wisse, wa zwei Folge (z ) N,(y ) N gleich sid: Sie sid gleich geau da, we die dahiter sich verbergede Abbilduge gleich sid: z = y für alle N. Etwa stellt die Folge () N eie etwas ugewöhliche Aufzählug der atürliche Zahle dar, die Folge ( ) N eie Aufzählug der Stammbrüche. Bezeichug: Ma et die Folge (( + q) z) N aus Beispiel oder allgemeier (p z) N (p,z R) eie geometrische Folge. Das schelle Wachstum eier solche Folge für p = 2 beobachtet ma etwa bei der ukleare Kettereaktio. Machmal veraschauliche wir us die reelle Zahle als Pukte eier Zahlegerade mit Ursprug 0. Zur Vorstellug der reelle Zahle als Pukte der Zahlegerade passt die Begriffsbildug Itervall. Zu a,b R setze wir [a, b] := {x R a x b} [a, b) := {x R a x b} (a, b] := {x R a < x b} (a, b) := {x R a < x < b} Abgeschlossees Itervall Halboffees Itervall Halboffees Itervall Offees Itervall mit Radpukte a, b 76

12 Diese Itervalle liefer us eie lokale Betrachtugsweise der reelle Zahlegerade. Wir sage, dass x R i eier Umgebug vo y R liegt, we es ǫ > 0 gibt mit a b y- ε y x y-e x (y ǫ,y + ǫ). Dabei habe wir atürlich kleie ǫ im Auge. Aber gibt es eigetlich kleie Zahle, d.h. solche Zahle, die a- Abbildug 5.2: Die Lupe auf der Zahlegerade he bei 0 liege? Dies habe wir i Folgerug beatwortet. Setze sig(x) :=, falls x < 0 0, falls x = 0, falls x < 0, x := { x, falls x 0 x, falls x < 0. Ma et sig(x) das Vorzeiche vo x ud x de Betrag vo x. Offebar gilt x = sig(x) x. Lemma 5.4. Seie x, y R. Da ist x y geau da, we x y ud x y gilt. Ist x 0, da ist x x = x y. Ist x < 0, da ist x < x = x y. Daraus liest ma alles ab. Lemma Seie x,y R. Es gilt: () x = 0 x = 0. (Defiitheit) (2) xy = x y. (Homogeität) (3) x + y x + y. (Dreiecksugleichug) () ud (2) sid eifach achzureche. Zu (3) Wege x x,y y folgt x+y x + y. Wege x x, y y folgt (x+y) x + y. Daraus folgt x + y x + y mit Lemma Die Eigeschafte (),(2),(3) aus Lemma belege, dass es sich bei der Betragsfuktio R x x R um eie Abstadsfuktio hadelt: x stellt de Abstad vo x zum Ursprug 0 der Zahlegerade dar. Die Dreiecksugleichug köe wir auch so eisehe: Liegt der Ursprug 0 zwische x ud y, so gilt x y = x 0 + y 0, aderefalls x y < x 0 + y 0, also isgesamt x y x + y ; Awedug auf y ergibt die Dreiecksugleichug, da y = y ist. Folgerug Seie x,y R. Es gilt: x y x y. 77

13 Wir habe mit Lemma x = (x y) + y x y + y, also x y x y, y = (y x) + x y x + x, also y x x y. Daraus liest ma die Aussage mit Lemma 5.4. ab. Folgerug Betrachte eie geometrische Folge (q x) N mit x R,x 0,q R. Es gilt: (a) Ist q >, da ist {q x N} ubeschräkt. (b) Ist q <, da gibt es zu jedem ǫ > 0 ei N N mit q x < ǫ für alle N, N. Zu (a) : Da q > gilt, gibt es h > 0 mit q = + h. Es folgt für N q x = x q = x ( + h) x ( + h) > x h. Da die Folge der atürliche Zahle ubeschräkt ist, ist die Aussage bewiese. Zu (b) : Es ist q >, also = + h mit h > 0. Es folgt für N q q x = x ( + h) x ( + h), d.h. q x + h x x h. Wähle N N mit N < x h ǫ (siehe Folgerug 5.3.2). Damit verifiziert ma die Aussage (b) wege > + > + 2 > Die obige Beobachtuge küdige die Begriffe Kovergez vo Folge ud Grezwerte vo Folge a. Sie sid die erfolgreiche Ausformulierug des Uedliche (uedlich klei, uedlich groß) als mathematischer Begriff. Defiitio Eie Zahlefolge (x ) N heißt koverget, we 6 x K ǫ > 0 N N N ( x x < ǫ) gilt. Die Zahl x K heißt Grezwert vo (x ) N ud wir schreibe x = lim x. I der Defiitio ist offe gebliebe, ob ei Grezwert x eier Folge (x ) N eideutig bestimmt ist. Dies ist so: der Grezwert eier Folge ist eideutig bestimmt. Beispiel Wir behaupte, dass die Folge der Stammbrüche ( ) N gege Null kovergiert. Sei ǫ > 0. Wähle N N mit N < ǫ gemäß Folgerug Da gilt 0 = N < ǫ für N. Die Folge (q ) N kovergiert für q < gege Null; dazu habe wir ur Folgerug azuwede. 6 Erstmals wurde diese Defiitio vo d Alembert 765 gegebe. 78

14 Folgerug Ist die Folge (x ) N koverget, so ist die Mege {x N} beschräkt. Sei x = lim x. Sei ǫ :=. Dazu gibt es N mit x x < für alle N, d.h. x + x für N. Sei a 0 mit x j a, j N. Da gilt x a + + x für alle N. Defiitio Sei (x ) N eie reelle Folge. (a) (x ) N heißt mooto wachsed bzw. mooto falled, falls gilt: x x + für alle N bzw. x x + für alle N. (b) (x ) N heißt mooto, falls (x ) N mooto wachsed oder mooto falled ist. Satz Eie reelle Folge (x ) N, die beschräkt ud mooto ist, ist koverget ud es gilt lim x = sup{x N}. Sei (x ) N eie mooto wachsede beschräkte reelle Folge. Also x x + b, N, mit b R. Es existiert x := sup{x N} ud wir habe x b. Wir zeige x = lim x. Sei ǫ > 0. Wähle N N mit x ǫ < x N x. Da gilt für N x ǫ < x N x x < x + ǫ für N, also x x < ǫ. Beispiel Betrachte die Folge (( + ) ) N. Wir wolle uter Zuhilfeahme vo Satz die Kovergez zeige. Wir habe auf Grud des geometrische Mittels für x,x 0, + ( + x ) < ( + + x). + Nu betrachte wir a := ( + ), b := ( ), c := ( + )+ = a ( + ), N, ud wir folger mit de Ugleichuge (5.5) a a +, b b +, N, ud damit auch Da offebar c = ( + )+ ( = c +2 )+2 +, N. 0 c c 4, 0 a c 4, N gilt, folgt u mit Satz 5.4.9, dass (a ) N,(c ) N kovergiere ud dass e := lim a = lim c gilt. Diese Zahl e heißt eulersche Zahl. Es gilt e = Defiitio 5.4. Eie Zahlefolge (x ) N heißt Cauchyfolge geau da, we ǫ > 0 N N m, N ( x m x < ǫ) gilt. 79

15 Folgerug Sei (x ) N eie Zahlefolge. Es gilt: (a) Ist (x ) N eie Cauchyfolge, da ist (x ) N beschräkt. (b) Ist (x ) N eie kovergete Folge, da ist (x ) N eie Cauchyfolge. Zu (a): Sei ǫ > 0. Wähle dazu N N mit x m x < ǫ, m, N. Sei b R mit x m b, m N. Da gilt x x x N + x N ǫ + b für N ud x b ǫ + b für N. Zu (b): Sei x := lim x. Sei ǫ > 0. Wähle N N mit x x < 2 ǫ, N. Für m, N gilt da x m x x m x + x + x < 2 ǫ + 2 ǫ = ǫ. Defiitio (x k ) k N heißt Teilfolge der Zahlefolge (x ) N, we die Folge ( k ) k N eie streg mooto wachsede Folge ist, d.h. we k < k+, k N, gilt. Satz (Cauchykriterium) Sei (x ) N eie Zahlefolge. Da sid äquivalet: (a) (x ) N ist koverget. (b) (x ) N ist eie Cauchyfolge. (a) = (b) : Siehe Folgerug (b) = (a) : Sei A := {m N x < x m für > m}. Ist #A = ud A = {m k k N}, so ist (x mk ) k N eie mooto fallede Teilfolge. Ist #A <, so gibt es eie mooto wachsede Teilfolge. Da die gesamte Folge (x ) N beschräkt ist (siehe Folgerug 5.4.2), besitzt u (x ) N eie kovergete Teilfolge (x k ) k N ach Satz 5.4.9; sei x := lim k x k. Wir zeige, dass die gesamte Folge gege x kovergiert. Sei ǫ > 0. Wähle N N mit x m x < 2 ǫ für alle m, N ud x N x < 2 ǫ. Da gilt für N x x x x N + x N x < ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ. Das Cauchykriterium hat bei der Kovergezaalyse eie icht gerig eizuschätzede Bedeutug: Ma ka damit Kovergez eier Folge achweise, ohe de Grezwert zu kee. Hat ma eimal Kovergez gezeigt, so ka ma oft de Grezwert adersweitig ermittel; siehe Beispiel Folgerug (Satz vo Bolzao Weierstraß) Jede beschräkte Zahlefolge besitzt eie kovergete Teilfolge. Dies ist aus dem erste Teil des Beweises (b) = (a) zu Satz abzulese. Bisher habe wir ausser de spezielle Beispiele (q ) N ( q < ), ( ) N explizit keie kovergete Folge keegelert. Die obige Recheregel gestatte es, eue kovergete Folge zu kostruiere bzw. zu aalysiere, etwa: ( 2) N : lim 2 = 0 ; ( + ) N : lim + = lim + = ; lim + =. 80

16 Bemerkug Nachdem wir u die Kovergez vo Folge keegelert habe, köe wir erläuter, was es mit der Vervollstädigug reeller Zahle mittels Itervallschachtelug auf sich hat. Seie (a ) N,(b ) N Zahlefolge ud sei (a ) N mooto wachsed ud (b ) N mooto falled, a b für alle N. Bildet da die Differezfolge (b a ) N eie Nullfolge, so wird die Folge (J ) N der Itervalle J := [a,b ] als Itervallschachtelug bezeichet. Es gilt u, dass es für jede Itervallschachtelug ratioaler Zahle höchstes eie ratioale Zahl x gibt, die i alle Itervalle ethalte ist, die also a s b für alle N erfüllt. Es stimmt aber icht, dass jede Itervallschachtelug ratioaler Zahle midestes eie ratioale Zahl x ethält. Um eie solche Eigeschaft zu erhalte, muss ma daher die Mege der ratioale Zahle zur Mege der reelle Zahle erweiter. Dazu sagt ma, jede Itervallschachtelug defiiere eie wohlbestimmte reelle Zahl, also x := (J ) N. Dies ersetzt da user Vollstädigkeitsaxiom. Beispiel Betrachte die Folge (x ) N mit x := 3( j 2 ), N. Ma sollte sich durch die Recheregel icht dazu verleite lasse, aus j= = auf de Grezwert 0 zu schließe, de die Azahl der Summade ist icht fest, soder hägt auch vo ab. Vielmehr habe wir lim x = lim ( + )(2 + ) 6 3 = 3 ; beachte dabei (Beweis durch vollstädige Iduktio) j 2 = j= ( + )(2 + ) 6. (5.6) Beispiel Es gilt lim a = für a > 0. Für a = ist das Resultat offesichtlich. Das Resultat für a (0, ) folgt aus dem Resultat für a > aus de Recheregel. Sei also u a >. Da habe wir < a < a +, also auch < + a < a, N, durch Ziehe der ( + ) te Wurzel. Also ist die Folge ( a) N mooto falled ud ach ute beschräkt, also koverget. Sei x := lim a. Da gilt auch x := lim 2 a ud mit de Recheregel liest ma aus 2 a 2 a = 2 a 2 = a, N, x 2 = x ab. Da stets a > gilt, kommt ur x = i Frage. Beispiel Es gilt lim =, de mit Hilfe der arithmetisch geometrische Ugleichug folgt = < (2 + 2) =

17 Beispiel Sei die Folge (x ) N iduktiv durch defiiert. Wir habe: x :=, x + := + x, N, a) 2 x, N. Iduktiv: = : Klar + : Aus x + = + x ud der Iduktiosvoraussetzug folgt 2 x +. b) Mit de Abschätzuge aus a) folgt für alle,k N, dass x +k+ x + = = + x +k + x gilt: Mittels vollstädige Iduktio folgt: Dies zeigt, dass eie Cauchyfolge vorliegt. x +k+ x + ( 4 9 ) x k x ( 4 9 ). x +k x + x +k + x 4 9 x +k x Da diese Folge u kovergiert, etwa gege x, so folgt aus de Recheregel für Grezwerte x = + x d.h. x2 + x = 0, für de Grezwert x. Die Lösuge dieser Gleichug sid gegebe durch x := 2 ( + 5),y := 2 ( 5). Da offebar x > 0 für alle N gilt, ka y als Grezwert icht i Frage komme. 7 Gegebe sei eie Zahl a > 0. Wir suche eie Zahl x, so dass gilt x x = a. Aders ausgedrückt, wir suche die Quadratwurzel aus a. Geometrisch gesehe ist die Quadratwurzel vo a, also user ebe defiiertes x, die Lösug für das folgede Problem: Ei quadratischer Platz soll erstellt werde, der geau die Fläche a hat. Welche Seiteläge hat das Quadrat? We ma die Quadratwurzel zieht, hat ma die Lösug. Die Babyloier gige de geometrische Weg: Ma begit mit eier Näherug ud verbessert diese Näherug geeiget. Was ist eie Näherug? Offebar hat das Rechteck mit de Seiteläge ud a die Fläche a. Wie kommt ma vo eier Näherug zu eier bessere Näherug? We die Näherug y größer als 7 Die Zahl x := 2 ( + 5) ist eie der aufregedste Zahle der Mathematik. Sie ist bekat als eie Zahl, die im goldee Schitt (göttliche Teilug) vo Bedeutug ist: Teilt der Pukt X die Strecke AB so, daß für die Läge AB, AX, XB der etstehede Strecke AB, AX, XB gilt, da ist für AB = AB : AX = AX : XB AB : AX = AX : XB = x ud AX = 2 ( + 5). Dieses Teilverhältis wird seit der Atike als besoders ausgewoge empfude. Die Kateläge vo Bücher etwa stehe oft i diesem göttliche Teilverhältis. Ma fidet dieses Teilverhältis auch im regelmäßige Füfeck als Verhältis, i dem sich zwei sich scheidede Diagoale teile. 82

18 a ist, ist a/y offebar kleier als a, ud umgekehrt. Also liegt es ahe, die ächste Näherug als arithmetisches Mittel vo y ud a y zu bestimme. Dies führt zur rekursive Rechevorschrift x 0 :=,y 0 := a, x + := 2 (x + y ),y + := a x +, N 0, oder x 0 :=, x + := 2 (x + a x ), N 0. Es ist zu zeige, dass die so kostruierte Folge (x ) N0 als Grezwert die Quadratwurzel aus a hat. Dazu zeigt ma. Die Folge (x ) N ist mooto falled. 2. Die Folge ist durch a ach ute beschräkt. Damit folgt da mit Satz 5.4.9, dass die Folge eie Grezwert besitzt. Deser Grezwert ka auf Grud der Rechevorschrift ud der Recheregel für Grezwerte ur eie Lösug der Gleichug x = 2 (x + a x ) sei; also x = + a, da alle x positiv sid. Die obige Behauptuge folge aus de Beobachtuge x a ( a ) 2 0; x a ( a x ) 2 0; x + x a x 2. Dieses Verfahre, Näheruge für a zu bestimme, heisst das Hero-Verfahre. Wie gut sid diese Näheruge? Dazu müsse wir x mit a vergleiche. Wir habe x + a = = 2 (x + a x ) a (x a) 2 2x 2 a (x a) 2. Damit gilt für de relative Fehler 0 x + a ( x ) 2 a. (5.7) a 2 a I Worte ausgedrückt heißt dies, dass der relative Fehler quadratisch abimmt: die Azahl der korrekte (Dezimal-)Stelle wird bei jedem Iteratiosschritt verdoppelt. 83

19 5.5 Reihe Viele Folge (x ) N sid vo der Form x = a j, N, wobei (a ) N0 selbst wieder eie Folge ist. Mit diesem Spezialfall wolle wir us u beschäftige. Solche Folge ee wir aus aheliegede Grüde Reihe ud wir schreibe dafür a j. We der Grezwert s := lim a j der Partialsumme existiert, so ee wir die Reihe koverget ud s ihre (Reihe )Wert; wir schreibe da auch s = a j. Wir schreibe das Cauchykriterium um für de Fall der Reihe; de Beweis dafür übergehe wir (ud überlasse wir dem Leser). Satz 5.5. (Cauchykriterium) Sei a j eie Reihe. Da sid äquivalet: (a) Die Reihe ist koverget. (b) ε > 0 N N m N ( m j= a j ε). Das wohl wichtigste Beispiel eier kovergete Reihe ist die geometrische Reihe, d.h. die Folge (x ) N mit x := q j, N, mit q <. Es gilt offebar belege dies mit vollstädiger Iduktio x = q+ q Daraus schließt ma wege q < sofort auf, N. lim x = q. Die geometrische Reihe diet häufig als Vergleichsreihe für zu utersuchede Reihe; siehe ute. Beispiel Wir betrachte die harmoische Reihe, d.h. die Folge (h ) N, die beim Aufsummiere der Folge der Stammbrüche etsteht; also: h := j, N. j= Diese Folge ist icht koverget, da sie icht beschräkt ist, wie folgede Überlegug zeigt: h 2 = ( ) + ( ) + + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) = = + }{{ 2} 2. mal 84

20 Folgerug Betrachte die Reihe a j. Ist sie koverget, so ist (a ) N eie Nullfolge. Sei ε > 0. Da a j koverget ist, gibt es wege Satz 5.5. N N mit a j m a j < ε,,m N, also a < ε für alle N. Beachte, dass us das Beispiel lehrt, dass die Umkehrug vo Folgerug icht gilt. Ei hilfreiches Hilfsmittel für Kovergezutersuchuge bei Reihe ist das sogeate Quotietekriterium. Es beschreibt, wie ma mit Hilfe der geometrische Reihe die Kovergez eier vorgelegte Reihe utersuche ka. Satz Betrachte die Reihe a j. Es gelte mit q [0,) : Da ist die Reihe a j koverget. Ma sieht sofort die Gültigkeit vo für alle N. Also ist für m, N, m, a + a q für alle N. (5.8) a + q a q 2 a q + N a N a j m m m a j = a j a a j j= ud ma liest u mit Hilfe der Kovergez der geometrische Reihe die Kovergez der Reihe ab. j= Die Idee des Beweises zu Satz ist ei Majorateprizip. Beispiel Die Reihe 2 m j= q j+ x j j! ist koverget ach Satz 5.5.4, de es ist ja x +! ( + )! x für alle N mit 2 x +. Defiitio Für jedes x R heißt exp(x) := x j. Die Abbildug j! x j j! R x exp(x) R das Expoetial vo x ud wir schreibe heißt Expoetialabbildug. 85

21 Bemerkug Wir habe die Zahl e := lim N ( + ) als eulersche Zahl keegelert. Wege ( + ( ) ) = k k = (k + ) ( ) k ( k)! k! k=0 k=0 k=0 ud ( + ) + + ( m ) 2! + + ( m )( 2 m ) ( m )! für m > stelle wir fest, dass e = exp() gilt. Satz Die eulersche Zahl e ist irratioal. Aahme: e = p q mit p,q N,p,q teilerfremd. Die Zahl ist eie gaze Zahl für q, da!e =! p q ist 0 < N = j=+ N :=!(e j! ) ud! (0 j ) gaze Zahle sid. Adererseits j!! j! = + + ( + )( + 2) + < was icht möglich ist, we N eie gaze Zahl ist. j= ( ) j = +, Wir schließe das Kapitel ab mit dem Beweis der Überabzählbarkeit der reelle Zahle. Es ist ei Beweis, der vo Cator ersoe wurde ud der die Deziamlabruchetwicklug reeller Zahle beutzt. Diese besagt isbesodere, dass jede reelle Zahl x i [0,] i der Form geschriebe werde ka. x = 0.d d 2 d 3... mit d i {0,,...,9} Satz Die Mege der reelle Zahle ist überabzählbar uedlich. Nehme wir a, die reelle Zahle wäre abzählbar, da wäre sicher auch die Zahle im Itervall [0, ] abzählbar uedlich. Nehme wir a, wir hätte eie Abzählug i Dezimalbruchschreibweise: r = 0.r r 2 r 3 r 4... r 2 = 0.r 2 r 22 r 23 r r 3 = 0.r 3 r 32 r 33 r =. r = 0.r r 2 r 3 r =. Jetzt kostruiere wir eie reelle Zahl, die icht i der obige Aufzählug vorkomme ka. We s = 0.s s 2 s 3 s 4... i Dezimalschreibweise gegebe ist, da soll s i = (r ii + ) mod 0 sei. Mit dieser Defiitio gilt s i r ii für alle i ud damit s r für alle im Widerspruch dazu, dass wir eie Aufzählug hatte. 86

22 5.6 Übuge.) Betrachte die Mege A := {( 0) 2 N}. Ma gebe mit Begrüdug Supremum, Ifimum, Maximum, Miimum vo A a, falls sie existiere. Hiweis: Ei Maximum (Miimum) ist ei Supremum (Ifimum) eier Mege, das zur Mege gehört. 2.) Ermittele, ob die Mege A := {2 m +,m N} ei Supremum, Ifimum, Maximum ud Miimum hat, ud bestimme gegebeefalls de geaue Wert (mit Beweis). Hiweis: Ei Maximum (Miimum) ist ei Supremum (Ifimum) eier Mege, das zur Mege gehört. 3.) Bereche de Grezwert x der Folge (x ) N, wobei x := +, N. 4.) Sei A := { + 2 N}. Zeige: A ist ach ute beschräkt ud if A = ) Zeige für a,b R : max{a,b} = 2 (a + b + a b ), mi{a,b} = 2 (a + b a b ) 6.) Beweise folgede Aussage (Archimedische Eigeschaft der reelle Zahle): Hiweis: N ist icht ach obe beschräkt. x R,x > 0 y R N (x > y) (5.9) 7.) Sei A eie Teilmege vo R mit a > 0 für alle a A. Setze A := { a a A}. Zeige: Ist if A > 0, so ist supa = (if A). 8.) Ma utersuche die Folge ( ( + )(2 ) (2 + )(3 2 + ) ) N, ( ) N, ( 2 + ( ) ) N auf Kovergez ud bestimme gegebeefalls de Grezwert. 9.) Beweise: lim ( 2) =. Hiweis: Beroullische Ugleichug. 0.) (a) Beweise: lim p = für p 0. (b) Beweise: lim p q = 0 für p, q <..) Betrachte für N d := e! ud g := d. Beweise: (a) (d ) N ist mooto falled, (g ) N ist mooto wachsed. (b) ( e ) e <! < ( e ) e 87