PARABELN KREISE TANGENTEN NORMALEN

Transkript

1 PRELN KREISE TNGENTEN UND NORMLEN Leitgerade l L Scheiteltangente 6 S p = 6 cm rennpunkt F Normale n 0 M = erührpunkt Scheitelkreis 6 Tangente t chse a. Klasse, 0 Jens Möller Owingen Tel jmoellerowingen@aol.com

2 FÜR INHLT UND PERSÖNLICHE NOTIZEN

3 DIE PREL LS GEOMETRISCHE ORTSLINIE Leitgerade l L Scheiteltangente 6 S p = 6 cm rennpunkt F Normale n 0 M = erührpunkt 6 Scheitelkreis Tangente t chse a EIGENSCHFTEN UND GESETZE Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einer festen Geraden (Leitgerade) und einem festen Punkt F (rennpunkt) gleichen bstand haben. Der bstand des rennpunktes von der Leitgeraden heißt Parameter p, dieser ist bestimmend für die Form der Parabel. Man kann beliebige Punkte der Parabel konstruieren, indem man den rennpunkt F mit einem beliebigen Punkt L (auf der Leitgeraden) verbindet, dann auf der Strecke FL das Mittellot t errichtet und dieses anschließend mit einem achsenparallelen Strahl durch L schneidet. So erhält man einen Parabelpunkt, der gleichzeitig erührpunkt für die Tangente t ist. Errichtet man in das Lot auf der Tangente t, so erhält man die sogenannte Normale n. Diese verläuft parallel zur Strecke FL. Die Steigung der Normale kann man erhalten, indem man die Steigung der Strecke FL bestimmt. Der Scheitelkreis berührt die Parabel im Scheitelpunkt S, sein Mittelpunkt M liegt auf der Parabel-chse und sein Radius ist so groß wie der Parameter: r p. Parallel zur Parabel-chse einfallende Lichtstrahlen werden so reflektiert, dass diese sich im rennpunkt F treffen. Mit einem Parabolspiegel und Sonnenlicht kann man ein Feuer entzünden. - -

4 UFGE Gegeben ist eine Parabel durch die Leitgerade = 6 und den rennpunkt F(0/0). Der Parameter ist also p = 6. estimme den Scheitelpunkt der Parabel, finde die beiden Punkte (Quadratecken), die von F und der Leitgeraden den bstand p haben. Konstruiere den Parabelpunkt (/...) und die entsprechende Parabeltagente t. Konstruiere auch die NORMLE n in. Mache eine Zeichnung mit LE = cm. estimme die Gleichung der Parabel. [nsatz: a² c, setze zwei Punkte mit bekannten Koordinaten ein.] estimme die Gleichung der Normale n in. [Suche in der Zeichnung ein geeignetes Steigungsdreieck, dann verwende: m( ).] estimme die Gleichung der Tangente t in. [Steigung der Tangente: m t ] m n Die Tangente t, die Normale n und die -chse spannen ein Dreieck auf. estimme den Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel g h Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises? [Die allgemeine Kreisgleichung lautet: )² ( )² r² ] ( M M estimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der -chse. [Setze 0 in die Kreisgleichung ein, benutze die binomischen Formeln und löse die quadratische Gleichung.] estimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden 7 0. estimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden

5 LÖSUNGEN Leitgerade 6 L Scheiteltangente S p = 6 cm F Normale n - 0 R Scheitelkreis - - M Tangente t -6 a = chse - Gleichung der Parabel: nsatz [wegen Smmetrie] a² c Scheitelpunkt S(0/) 0a c c Spezieller Punkt Q(6/0) 0 6a a [Q = Quadratecke] Die Parabelgleichung lautet: P: ² Gleichung der Normale n in (/...): us dem Dreieck FLR mit R(/0) erhält man: mn 6 us der Parabelgleichung erhält man: 6 Mit m( ) ergibt sich: ( ) n: Gleichung der Tangente t in : Steigung der Tangente: mt m n Mit m( ) ergibt sich: ( ) t: - -

6 Flächeninhalt des Dreiecks aus t, n und -chse: g h ( ) 6 66 FE Gleichung des Scheitelkreises? nsatz: )² ( )² r² mit M(0/-) und r = 6 ( M M ( 0)² ( )² 6² K : ² ( )² 6 Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der -chse: Setze = 0 in die Kreisgleichung ein: ² ( 0 )² 6 ² 9 6 ² 7 7, / N(, / 0) und N(, / 0) Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden 7 + = 0: 7 und ² gleichsetzen: 7 ² ² (/ ) und (,/ 6) Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden + = 0: einsetzen in die Kreisgleichung: ² ( )² 6 ² ( 6)² 6 ( 6) 0 0 und 6 ² ² 6 6 ² 0 ( 0/ ) und ( 6 / ) - -

7 UFGE [WIEDERHOLUNG] Gegeben ist eine Parabel durch die Leitgerade = 6 und den rennpunkt F(0/). Der Parameter ist also p =. estimme den Scheitelpunkt der Parabel, finde die beiden Punkte Q (Quadratecken), die von F und der Leitgeraden den bstand p haben. Konstruiere den Parabelpunkt (6/...) und die entsprechende Parabeltagente t. Konstruiere auch die NORMLE n in. a) Mache eine Zeichnung mit LE = cm. b) estimme die Gleichung der Parabel. [nsatz: a² c, setze zwei Punkte mit bekannten Koordinaten ein.] c) estimme die Gleichung der Normale n in. [Suche in der Zeichnung ein geeignetes Steigungsdreieck, dann verwende: m( )] d) estimme die Gleichung der Tangente t in. [Steigung der Tangente: m t ] m n e) Die Tangente t, die Normale n und die -chse spannen ein Dreieck auf. estimme den Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel g h f) Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises? [Die allgemeine Kreisgleichung lautet: )² ( )² r² ] ( M M g) estimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der -chse. [Setze 0 in die Kreisgleichung ein, benutze die binomischen Formeln und löse die quadratische Gleichung.] h) estimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden. i) estimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden. - -

8 LÖSUNGEN a) L S F Q n t b) F(0/) S(0/) Q(/) a² c ² c) 6² 0, (6/ 0,) und m FL 6 m( ) n: 0, ( 6), d) t:, e) (,,) 6 9 FE f) K: ² ² 6 0 ² 6 N ( /0) g) / h) ² ² ² 6 0 S ( / ) Q und S ( 6 / ) 9 i) ² ( )² 6 ² ² ² 0 ² 0 ausklammern ( ) 0 0 S (0 / ) und S (,69../,..) [Zur Kontrolle zeichne die Gerade ein.] - 6 -

9 UFGE C- Gegeben ist eine Parabel durch die Leitgerade und den rennpunkt F(0/). Der Parameter ist also p =. estimme den Scheitelpunkt der Parabel, finde die beiden Punkte Q (Quadratecken), die von F und der Leitgeraden den bstand p haben. Konstruiere den Parabelpunkt (0/...) und die entsprechende Parabeltagente t. Konstruiere auch die NORMLE n in. a) Mache eine Zeichnung mit LE = cm. b) estimme die Gleichung der Parabel. [nsatz: a² c, setze zwei Punkte mit bekannten Koordinaten ein.] c) estimme die Gleichung der Normale n in. [Suche in der Zeichnung ein geeignetes Steigungsdreieck, dann verwende: m( ) ] d) estimme die Gleichung der Tangente t in. [Steigung der Tangente: m t ] m n e) Die Tangente t, die Normale n und die -chse spannen ein Dreieck auf. estimme den Flächeninhalt des Dreiecks mit Hilfe der Formel g h f) Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises? [Die allgemeine Kreisgleichung lautet: )² ( )² r² ] ( M M g) estimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der -chse. [Setze 0 in die Kreisgleichung ein, benutze die binomischen Formeln und löse die quadratische Gleichung.] h) estimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden,. i) estimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden,

10 LÖSUNGEN C- a) n C M D F S Q t L b) F(0/) S(0/,) Q(/) a² c ², ( nach oben geöffnet) 0 (0 /, ) und m m ( ) n:, c) n 0 d) (0 /, ) und m m ( ) t:, t e) (,,) 0 FE f) K : ² (,) 0 ², N (,7 / 0) g) / ²,, 0 ² ² 0 0 h) 0 S ( /) und S (0/,) 6 i) ² (,,) ² ² 9 9 ² 6 ² ² 9 9 S ( / 0,) D und S (/7,) C [Zur Kontrolle zeichne die Gerade ein.] - -

11 UFGE C- Gegeben ist eine Parabel durch die Leitgerade und den rennpunkt F(0/). Der Parameter ist also p =. estimme den Scheitelpunkt der Parabel, finde die beiden Punkte Q (Quadratecken), die von F und der Leitgeraden den bstand p haben. Konstruiere den Parabelpunkt (6/...) und die entsprechende Parabeltagente t. Konstruiere auch die Normale n in. a) Mache eine Zeichnung mit LE = cm. b) estimme die Gleichung der Parabel. [nsatz: a² c, setze zwei Punkte mit bekannten Koordinaten ein.] c) estimme die Gleichung der Normale n in. [Suche in der Zeichnung ein geeignetes Steigungsdreieck, dann verwende: m( ) ] d) estimme die Gleichung der Tangente t in. [Steigung der Tangente: m t ] m n e) Die Tangente t, die Normale n und die -chse spannen ein Dreieck auf. estimme den Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel g h f) Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises? [Die allgemeine Kreisgleichung lautet: )² ( )² r² ] ( M M g) estimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der -chse. [Setze 0 in die Kreisgleichung ein, benutze die binomischen Formeln und löse die quadratische Gleichung.] h) estimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden. i) estimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden

12 LÖSUNGEN C- a) C D F L b) F(0/) S(0/ ) Q(/) a² c ² ( nach oben geöffnet) (6 /,) und m m( ) n: 7, c) n 6 d) (6 /,) und m m( ) t:, t e) (7,,) 6 9 FE f) K : ² ( ) 6 0 ² 96 N (,6/0) g) / ² ² ² 0 h) S ( /) und S (/7) i) ² ( 7) 6 ² ² 6 6 ² 0 () 0 S (0 / 7) C und S ( / ) D [Zur Kontrolle zeichne die Gerade ein.] - 0 -

13 UFGE D [WIEDERHOLUNG DREIECK UND PREL] Ein Dreieck ist gegeben durch die drei Punkte (-/0), (/) und C(/). a) Zeichne das Dreieck (LE = cm) mit allen drei Höhen und dem Höhenschnittpunkt H. b) estimme die Gleichungen der Höhen h a und h b. c) erechne den Höhenschnittpunkt. d) Stelle die Gleichung der Parabel auf, die durch die Punkte, und C geht. e) Zeichne die Parabel mit der Gleichung 0, ², in das vorhandene Koordinatensstem ein. WERTETELLE Ergänze die fehlenden -Werte f) Wo schneidet die Parabel die -chse? g) In welchen Punkten schneidet die Gerade g mit der Gleichung = + die Parabel? - -

14 LÖSUNGEN D a) C H b) h : h : 6 h : c) a b c H ( / ) d) PRELGLEICHUNG NSTZ a² b c a b c 0 6a b c lasse zuerst c herausfallen C a b c (zweimal) Ergebnis: 0, ², e) Wertetabelle: ,9, 6,9,, 7,7 6,, Zeichnung der Parabel b b² ac Mitternachtsformel: / a f) Nullstellen: N ( / 0) und N ( / 0) g) Schnittpunkte: S ( / 0) und ( /) S - -

15 PREL UND RENNPUNKT Kann man aus einer Parabelgleichung auf die Größe des Parameters p und auf die Lage des rennpunktes F schließen? Zunächst soll eine Parabel untersucht werden, deren rennpunkt F im Koordinatenursprung und dessen Scheitel S auf der -chse liegt. So eine Parabel hat die Gleichung a² c, wobei die Koeffizienten a und c sowohl positive als auch negative Werte haben können. F Q(p/0) S - p p = 6 cm -6 L Folgende ngaben sind bekannt rennpunkt: F(0/0) Scheitelpunkt: S(0/- p ), die Parabel soll nach oben geöffnet sein. Spezieller Punkt auf der -chse: Q(p/0) hat gleichen bstand zur Leitgeraden und zu F. Daraus ergibt sich S(0/- p ) einsetzen: a² c p 0 c c Q(p/0) einsetzen: p p a² 0 ap² a p p ² p für nach oben geöffnete Parabeln. p Entsprechend p ² für nach unten geöffnete Parabeln. MERKE a p - -

16 eispiel Untersuche die Parabel mit der Gleichung ². estimme den Parameter p, den Scheitelpunkt S und den rennpunkt F. Lösung us a p folgt: p p = -6 nach unten geöffnet us c = folgt: S(0/) p us c = und folgt: F(0/0) eispiel Untersuche die Parabel mit der Gleichung ² 6. estimme den Parameter p, den Scheitelpunkt S und den rennpunkt F. Lösung p = nach oben geöffnet p c = -6 S(0/-6) p c = -6 und F(0/-) eispiel Untersuche die Parabel mit der Gleichung ². estimme den Parameter p, den Scheitelpunkt S und den rennpunkt F. Lösung p p, c = - S(0/-) c = - und p F(0/ ) nach oben geöffnet - -

17 UFGE E Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung ². estimme den Parameter p, den Scheitelpunkt S und den rennpunkt F. Zeichne die Parabel im ereich 6 6 mithilfe einer Wertetabelle. Wertetabelle: Ergänze die fehlenden -Werte 0 ± ± ± ± ± ±6 estimme in (6/...) die Gleichung der Normale n. estimme in (6/...) die Gleichung der Tangente t. Die Tangente t, die Normale n und die -chse spannen ein Dreieck auf. estimme den gh Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel. Stelle die Gleichung der Geraden g auf, die durch F und geht. In welchem Punkt schneidet die Gerade F die Parabel noch einmal? estimme einen Kreis, der die -chse, den nach oben verlängerten rennstrahl L und den Strahl F berührt. Wo liegt sein Mittelpunkt, wie groß ist sein Radius, wie lautet die Kreisgleichung? estimme im Dreieck FL auf einfache Weise den Höhenschnittpunkt (Sonderfall). - -

18 LÖSUNGEN E us a p folgt: p p = + Die Parabel ist nach oben geöffnet. us c = - folgt: S(0/-) us c = - und p folgt: F(0/-) Wertetabelle 0 ± ± ± ± ± ±6 - -,7 -, -,7-0,, Parabel zeichnen, Tangente und Normale zeichnen 6 - C F H - p = cm n ( 6 /, ) 6, n:, t: 7, S - -6 L = 9 FE gh g: mit der Parabel gleichsetzen C( / 9) Mittelparallele: = geschnitten mit n (Winkelhalb.) ergibt: M(/,) Kreisgleichung: K: ( )² (,)² 9 Höhenschnittpunkt: Schneide t mit H( /-) - 6 -

19 UFGE F Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung ². estimme den Parameter p, den Scheitelpunkt S und den rennpunkt F. Zeichne die Parabel im ereich 6 mithilfe einer Wertetabelle. Wähle fürs Zeichnen LE = cm. Wertetabelle: Ergänze die fehlenden -Werte 0 ± ± ±6 0 estimme in (0/...) die Gleichung der Normale n. estimme in (0/...) die Gleichung der Tangente t. Die Tangente t, die Normale n und die -chse spannen ein Dreieck auf. estimme den gh Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel. Stelle die Gleichung der Geraden g auf, die durch F und geht. In welchem Punkt C schneidet die Gerade F die Parabel noch einmal? estimme einen Kreis, der die -chse, den nach oben verlängerten rennstrahl L und den reflektierten Strahl F berührt. Wo liegt sein Mittelpunkt, wie groß ist sein Radius, wie lautet die Kreisgleichung? estimme einen Kreis, der die -chse, den nach unten verlängerten rennstrahl L und den Strahl F berührt. Wo liegt sein Mittelpunkt, wie groß ist sein Radius, wie lautet die Kreisgleichung? estimme im Dreieck FL auf einfache Weise den Höhenschnittpunkt (Sonderfall). estimme den Flächeninhalt des Dreieckes FL (Sonderfall). estimme die Nullstellen der Parabel. Wo schneidet der untere Kreis die -chse? Wo schneidet der untere Kreis die Leitgerade der Parabel? Welchen bstand haben die beiden Kreise voneinander? Die Lösung ergibt sich aus der Zeichnung. Der untere Kreis schneidet die Parabel in zwei Punkten. estimme einen dieser beiden Punkte durch Rechnung, der andere Schnittpunkt ist durch elementares Rechnen zunächst nicht bestimmbar. itte unbedingt alle Ergebnisse an der Zeichnung überprüfen!! MITTERNCHTSFORMEL b b² ac a / - 7 -

20 LÖSUNGEN F Parabel: ² us a p folgt: p p = +6 Die Parabel ist nach oben geöffnet us c = - folgt: S(0/-) us c = - und p folgt: F(0/) Wertetabelle 0 ± ± ± ,67-0,67, 6, 0 Die Parabel, Tangente und Normale zeichnen (0/6 ) n: 0 t: =, FE gh Die Steigung von g erhält man aus den Punkten F und mithilfe der Formel: m g: mit der Parabel gleichsetzen C(,6/ 0,9) Mittelparallele: = geschnitten mit n (Winkelhalb.) ergibt: M (/9 ) und r = Kreisgleichung K : )² ( 9 )² ( Mittelparallele: = geschnitten mit t (Winkelhalb.) ergibt: M (/-) und r = Kreisgleichung K : ( )² ( )² Höhenschnittpunkt: Schneide t mit = H(6,/) Flächeninhalt: g h 6 FE Nullstellen der Parabel: setze = 0 N (-,9/0) und N (,9/0) Schnittstellen des Kreises mit der -chse: ( )² ² / Schnittpunkte mit der Leitgeraden: S (/-) und S (9/-) bstand der beiden Kreise: d = Schnitt Parabel / Kreis: - -

21 ( )² ( ² )² ( )² ( ²)² ² 0 ² 0 0 ausklammern ( 0 ) 0 Nullprodukt 0 Daraus ergibt sich S(0/-). t 0 n 6 D F H - 0 C - S - -6 L - 9 -

22 PREL UND STEIGUNG DER TNGENTE Um die Tangente an irgendeinem Parabelpunkt bestimmen zu können, benötigt man die Koordinaten des erührpunktes und die Steigung der Parabel am erührpunkt. Zunächst soll die Steigung an einer Parabel untersucht werden, die smmetrisch zur -chse liegt und die Gleichung a² + c hat. Zur Veranschaulichung kann man c = 0 wählen, da die Konstante c die Kurve nur verschiebt, nicht aber ihre Steigung ändert. t 0 ( /...) 6 n F p p = 6 cm L - a -6 us dem markierten Steigungsdreieck bekommt man die Steigung der Normale: mn p Durch Kehrwertbildung erhält man die Steigung der Tangente: m t m n p p us a folgt, a. Damit ergibt sich die Tangentensteigung: m a p p t p MERKE Die Tangentensteigung am Parabelpunkt ( /...) beträgt: m a. t - 0 -

23 eispiel: Gegeben ist die Parabelgleichung: ² und der Parabelpunkt (9/,7) Gesucht ist die Tangentengleichung in. a und = 9 und =,7 a 9, mt Tangentengleichung: m( ) t:,7,( 9) t:,, 7 UFGE G- Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung 6 ². estimme den Parameter p, den Scheitel S und den rennpunkt F der Parabel. Wie ist die Parabel geöffnet? erechne die beiden Nullstellen der Parabel. estimme die Gleichung der Tangente in (/...) nach dem neuen Verfahren (siehe vorige Seite). Zeichne die Tangente. estimme die Gleichung der Tangente in (-/...) nach dem neuen Verfahren (siehe vorige Seite). Zeichne die Tangente. Ergänze die fehlenden -Werte und zeichne die Parabel für : 0 ± ± ±6 ± Die Tangenten schneiden sich in einem Punkt C. estimme die Koordinaten von C. Verbindet man die Punkte und miteinander, so erhält man die Gerade c. estimme die Gleichung von c. estimme den Flächeninhalt vom Dreieck C. (Formel: siehe Formelsammlung) Konstruiert man eine Parallele zur -chse durch, so erhält man einen rennstrahl, verbindet man mit F, so erhält man den reflektierten rennstrahl. Konstruiere die Winkelhalbierende w zwischen den beiden Strahlen und bestimme ihre Gleichung. Es gibt einen Kreis K, der die -chse und den rennstrahl parallel zur -chse berührt und dessen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden w liegt. Wie lautet seine Gleichung? Wie lautet die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt M(-/-) ist und die Parabel im Punkt berührt? Wie groß ist der Radius? In welchen Punkten schneidet der Kreis K die Koordinatenachsen? - -

24 LÖSUNGEN G- Leitgerade C S c t F M t Parabel: 6 ² us a p folgt: 6 p p = - Die Parabel ist nach unten geöffnet. us c = + folgt: S(0/+) p us c = + und folgt: F(0/0) Nullstellen: Gleichung der -chse: = 0 ² N / ( /0) 0 6 Tangentensteigung: a 6 und = und = 0 6 m a ( 6 ) 6 Tangentengleichung: m( ) t: ( ) Tangentensteigung: a 6 und = - und = m a ( ) ( ) 6 t: Tangentengleichung: m( ) ( ) 6 - -

25 Wertetabelle 0 ± ± ±6 ±,7,7 0 Schnittpunkt C: C( / 6) Steigung c: m Verbindungsgerade c: m( ) c: ( ) ( ) ( )... 7 FE Dreiecksfläche: C C C Winkelhalbierende konstruieren: Die Normale zur Tangente t ist die Winkelhalbierende. Die Steigung der Normale erhält man durch Kehrwertbildung: m und ( / ) m ( ) w : Kreis K : Der Mittelpunkt muss einerseits auf der Geraden g: (Winkelhalbierende zwischen -chse und rennstrahl) andererseits auf der Geraden w : liegen. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist M(-/-). Der bstand zur -chse ist r =. Damit ergibt sich die Kreisgleichung K : ( )² ( )² 9. Kreis K : Radius = bstand von M nach : r K : ( )² ( )² mit r Schnitt mit der -chse, setze 0 ( )² ² ² 9 ² 0 Schnitt mit der -chse, N ( 7 / 0) und N ( / 0) setze = 0: rechne ebenso S 0 /, 6 und S 0 / 9, 6 - -

26 UFGE G- [WIEDERHOLUNG] Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung ². estimme den Parameter p, den Scheitel S und den rennpunkt F der Parabel. Wie ist die Parabel geöffnet? erechne die beiden Nullstellen der Parabel. estimme die Gleichung der Tangente in (/...) nach dem neuen Verfahren (siehe Musteraufgabe). Zeichne die Tangente. estimme die Gleichung der Tangente in (-/...) nach dem neuen Verfahren (siehe Musteraufgabe). Zeichne die Tangente. Ergänze die fehlenden -Werte und zeichne die Parabel für : 0 ± ± ±6 ± Die Tangenten schneiden sich in einem Punkt C. estimme die Koordinaten von C. estimme im Punkt die Gleichung der Normale n. Es gibt einen Kreis K, der die Parabel im Punkt berührt und dessen Mittelpunkt M auf der -chse liegt. Wie lautet die Kreisgleichung? estimme die Schnittpunkte dieses Kreises mit der -chse. Es gibt einen zweiten Kreis K, der die Parabel im Punkt berührt und außerdem durch die Punkte P ( /) und Q (0/) geht. estimme den Mittelpunkt. Wie lautet die Kreisgleichung? itte alle Ergebnisse an der Zeichnung prüfen. - -

27 LÖSUNGEN G- K 0 P Q M 6 K -0-0 M - - n -6 C - K : ( )² ² K : ( )² ( 6)² 0 - -

28 DIE STEIGUNG EINER ELIEIGEN PREL Die allgemeine Parabelgleichung lautet: a b c Die Gleichung besteht aus folgenden Teilen: () dem quadratischen Teil: a () dem linearen Teil: b () dem konstanten Teil: c Jedem Teil kann man seine spezielle Steigung m zuordnen: () Der quadratische Teil besitzt die Steigung einer Parabel: ma () Der lineare Teil besitzt die Steigung einer Geraden: m b () Der konstante Teil besitzt die Steigung einer Waagerechten: m 0 ZUSMMENFSSUNG Die allgemeine Parabel a b c besitzt die Steigung mab 0 eispiel : ² m m eispiel : Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung ²,. 0 estimme die Tangenten in den Punkten (/...) und (/...) durch Rechnung. nschließend zeichne die Tangenten und die Parabel. Wo liegt der Scheitelpunkt? - 6 -

29 LÖSUNG Funktionswert ², 7 0 ( / 7) Steigung m, m( ),, 0, Ebenso erhält man für m( ) 7 0, ( ) t : 0,, (/) die Tangente: t :,, ESTIMMUNG DES PRELSCHEITELS MERKE m Scheitel ist die Steigung m = 0, weil die Scheiteltangente waagerecht verläuft. m0, 07, 7, S( 7, / 7, 6) 0 S

30 UFGE H Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung ²,. estimme die Tangentengleichung im Punkt (/...). Zeichne die Tangente. estimme die Tangentengleichung im Punkt (6/...). Zeichne die Tangente. estimme den Scheitelpunkt der Parabel. (siehe Musteraufgabe auf der vorigen Seite). estimme die Nullstellen der Parabel. In welchem Punkt schneidet die Parabel die -chse? Zeichne die Parabel im ereich 0 0. Mache eine Wertetabelle erechne den Schnittpunkt C der beiden Tangenten. estimme die Geradengleichung von = c. estimme die Gleichung des Lotes von C auf die gegenüberliegende Seite c. Wo schneidet dieses Lot die -chse? Die Gerade c, die Tangente in und die -chse schließen eine dreieckige Fläche ein. estimme die Größe der Dreiecksfläche. Ein Kreis K berührt die Gerade c im Punkt Q(/,). Der Mittelpunkt M des Kreises liegt auf der -chse. estimme die Koordinaten von M. estimme den Radius. Wie lautet die Kreisgleichung? Wo schneidet der Kreis die -chse? Wo liegt der rennpunkt der Parabel? Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises? - -

31 LÖSUNGEN H 7 6 C S Q c F t M t - t t : 6 : S(/,) N (,/0) und N (,6/0) Y(0/-) C(/) c : Lot : Lotfußpunkt auf der chse 0 L( 6 / 0) gh FE Lot in Q : 7, Lotfußpunkt auf der chse 0 M (, 7 / 0) Radius = MQ =,677.. K :(, 7)² ², N (,7-,677/0) = (,07/0) und N (,7+,677/0) = (,7/0) Parameter p = -, F(/,), K : ( )² (, )² - 9 -

32 UFGE I [WIEDERHOLUNG] Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung ². estimme die Steigung der Parabel: m =.... estimme die Tangentengleichung im Punkt (0/...). Zeichne die Tangente. estimme die Tangentengleichung im Punkt (0/...). Zeichne die Tangente. estimme den Scheitelpunkt der Parabel. (siehe Musteraufgabe). Wo liegt der rennpunkt F der Parabel? Zeichne F ein. estimme die Nullstellen der Parabel. Zeichne die Parabel im ereich 0. Mache eine Wertetabelle erechne den Schnittpunkt C der beiden Tangenten. estimme die Geradengleichung von = c. Die Gerade c, die Tangente in und die -chse schließen eine dreieckige Fläche ein. estimme die Größe der Dreiecksfläche. estimme die Gleichung der Normale in. Ein Kreis K berührt die beiden rennstrahlen (F und den Parallelstrahl zur -chse) und die Parabelachse a. estimme die Kreisgleichung. Ein zweiter Kreis K hat denselben Mittelpunkt wie K und berührt die Parabel im Punkt. estimme den Radius. Wie lautet die Kreisgleichung? Wo schneidet K die -chse? - 0 -

33 LÖSUNGEN I Steigung: Scheitelpunkt: m 6 t : t : 6 Setze m = 0 S(6/-) Parameter: p = 6 F(6/) Nullstellen: N (,/0) und N (9,6/0) Schnittpunkt: C(/-) c: g h FE 6 Normale:. Kreis: Normale geschnitten mit = M(/ ) K :( )² ( )². Kreis: r = M = K : K :( )² ( )² Schnittpunkte: S (6,6/0) und S (9,7/0) 9 7 a 6 K K M c F t S n - -

34 PREL US DREI PUNKTEN Gegeben ist eine Parabel durch die drei Punkte (-/0), (/) und C(/). estimme die Parabelgleichung. Wo schneidet die Parabel die -chse? Wie lautet die Tangentengleichung im Punkt? nsatz: a² b c (I) (-/0) einsetzen: a b c 0 (II) (/) einsetzen: 6a b c (III) C(/) einsetzen: a b c (-) zuerst lasse c herausfallen. Kombiniere (I) mit (III): 0 (I) a b c 0 (III) a b c b :(-) b = 6 C Ebenso kombiniere (II) mit (III): (II): 6a b c (III) a b c 60a 6b 6 : 6 0a b - 0 b = einsetzen in 0a b : a a 0, 0 0 a und b einsetzen in Gleichung (I) oder (II) oder (III): (I): ( 0,) c 0 c, Die Gleichung der Parabel lautet: 0,², Nullstellen: N ( / 0) und N ( / 0) Tangente in :, 6, - -

35 UFGE J- Gegeben ist eine Parabel durch die drei Punkte (/,), (/0) und C(/-). estimme die Parabelgleichung. [Rechnung auf der folgenden Seite. Zwischenergebnis: ² ] 6 estimme die Steigung der Parabel: m =.... estimme die Nullstellen der Parabel. estimme den Scheitelpunkt der Parabel. estimme den rennpunkt F der Parabel? estimme die Gleichung des Scheitelkreises. estimme die Gleichungen der Parabeltangenten in den beiden Nullstellen. LÖSUNGEN J- Steigung: m Nullstellen: N ( / 0) und ( / 0) Scheitel: m = 0 S(/-) rennpunkt: p = F(/) und M(/7) Scheitelkreis: ( )² ( 7)² 6 N Tangenten: M 6 F S

36 PRELGLEICHUNG ESTIMMEN nsatz: a² b c (I) (/,) einsetzen: a b c, (II) (/0) einsetzen: 6a b c 0 (-) (III) C(/-) einsetzen: 6a b c zuerst lasse c herausfallen. Kombiniere (I) mit (II): (I) a b c, (II) 6a b c 0 a b, (*) Ebenso kombiniere (II) mit (III): (II): 6a b c 0 (III) 6a b c a b a b : 0, (**) Man hat zwei neue Gleichungen (*) und (**) erhalten und lässt nun b herausfallen: a b, a b 0, a 0,7 a einsetzen in (**) 6 b 0,, b 0, b b 6 a und b einsetzen in Gleichung (I) oder (II) oder (III): (I): 6 ( ) c, c, 0, Die Gleichung der Parabel lautet: ² 6 - -

37 UFGE J- Ein Parabolspiegel ist nach oben geöffnet und besitzt den Parameter p = 0. In den Punkten (/,) und (0/,) ist der Spiegel befestigt. Wie lautet die Gleichung der Parabel? [Rechnung auf der folgenden Seite. Zwischenergebnis: ² 0,, ] 0 estimme die Steigung der Parabel: m =.... estimme den Scheitelpunkt der Parabel. Wo liegt der rennpunkt F der Parabel? estimme den Scheitelkreis der Parabel. estimme die Schnittpunkte P und Q des Scheitelkreises mit der -chse? estimme den Mittelpunktswinkel PMQ. Welchen Flächeninhalt besitzt das Dreieck PMQ? estimme die Parabeltangenten in und. Wo schneiden sich die Tangenten? - -

38 LÖSUNGEN J- nsatz wegen p = 0: ² b c 0 (/,) 0, bc, (0/,) 0bc, Zuerst lasse c herausfallen, man erhält b 0,, dann setze b ein, man erhält c, ² 0,, 0 Steigung: m 0, 0 S(/) F(/6) M(/) Kreis: K :( )² ( )² 00 P(0/) und Q(0/7) Fläche = FE Winkel: tan 6, , 7 Tangenten: 0, C(6/0,) 7 Q 6 M F P c S

39 . VORÜUNG ZUR KLSSENREIT Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung ² 0. estimme die Steigung der Parabel: m =.... P. estimme den Parameter p. P. Wo hat die Parabel ihren Scheitelpunkt? P. estimme die Nullstellen der Parabel. P. Wie lautet die Gleichung der Tangente in (/,)? P 6. Wie lautet die Gleichung der Tangente in (6/)? P 7. In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten? P. Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade = c? P 9. estimme die Gleichung des Scheitelkreises K. P 0. estimme die Nullstellen des Scheitelkreises. P. Welchen Flächeninhalt besitzt der Scheitelkreis? P. Welchen Umfang besitzt der Scheitelkreis? P. Wie groß ist die Fläche vom Dreieck C? P. Zeichne die bekannten Punkte,, S, Nullstellen, Tangenten und den Scheitelkreis in ein Koordinatensstem ein. Skizziere den Verlauf der Parabel möglichst genau im ereich 0 6. Wähle LE = cm. P. Ein zweiter Kreis K hat den Mittelpunkt M(/-) und geht durch den Ursprung. estimme die Kreisgleichung. P 6. In welchen Punkten schneidet K die -chse? P 7. Welchen Winkel bildet die Tangente in mit der Waagerechten? P = 0 P - 7 -

40 ZUSTZUFGE Der ogen einer rücke ist parabelförmig. Die Punkte D(0/), E(/) und F(6/) sind bekannt.. Stelle die Parabelgleichung auf. [Kontrolle: 6 ²... ] 6 P 9. estimme den Scheitel der Parabel. estimme die Nullstellen. P 0. Welchen Winkel bildet der Parabelbogen mit der -chse? P 6 M 0 - S - -6 C - - -

41 LÖSUNGEN Parabelgleichung: ² 0 Steigung der Parabel: m Parameter: p = + Scheitelpunkt: m = 0 = S(/-,) 0 Nullstellen: ² 0 ² / 6 0 N (,/0) und N (,9/0) 6 Tang. in und : t :, 6 t :,6 6 Schnittpunkt:, 6, 6 6 C(9/-7,) Verb.gerade c: m 0, c: 0,,, 6 Mittelpunkt: M(/-, + ) M(/,6) und r = p = Scheitelkreis: K :( )² (,6)² Nullstellen: ( )² 6,76 /, N (,7/0) N (,7/0) Fläche: r Umfang: U r 0 Dreiecksfläche: 6,6 FE Zeichnung: darf nicht fehlen Radius: r² (0)² ( 0)² 0 r, 7 Zweiter Kreis : K :( )² ( )² 0 P(0/0) und Q(0/-) Winkel: tan,6 tan Zusatzaufgabe: ² S ( / ) N (-0,7/0) N (,7/0) 6 m ( 0) tan, Winkel mit der -chse: 90 6, 7-9 -

42 ESTIMMUNG EINER WURFPREL Ein Mann steht an der Stelle = auf dem Erdboden und stößt eine Kugel unter der Richtung m = 0, so weit, dass diese bei (/0) auf dem oden auftrifft. Der bstoßpunkt ist (/,). estimme die Gleichung der Wurfparabel. Wo hat diese ihren Scheitelpunkt? Wie lautet die Gleichung der Tangente in? nsatz: ) a² b ( c m ) a ( (I) (/,) a b c, (-) (II) (/0) 6a b c 0 b (III) m () = 0, a b 0, zuerst lasse c herausfallen. Kombiniere (I) mit (II): (I) a b c, (II) 6a b c 0 60a 6b, : ( 6) (*) 0a b 0, S Kombiniere (*) mit (III): 6 (*) 0a b 0, - (III) a b 0, 6a a 0,7 : ( 6) a einsetzen in (III): b 0, b a und b einsetzen in Gleichung (I) oder (II): (I): ( ) c, c 0 Gleichung der Parabel: ² Steigung der Parabel: m Scheitelpunkt: m = 0 0 S(/ ) Tangente in : 0, - 0 -

43 UFGE K Ein Feuerwehrmann spritzt mit einem Wasserstrahl unter der Richtung m = so weit, dass dieser bei (/) auf ein brennendes Haus trifft. Der nfangspunkt des Wasserstrahles ist (0/). estimme die Gleichung der Wasserparabel. Wo hat diese ihren Scheitelpunkt? Wie lautet die Gleichung der Tangente in? Wie lautet die Gleichung der Tangente in? In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten? Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade = c? Wo trifft der Wasserstrahl die -chse? estimme die Gleichung des Scheitelkreises K. Liegt M auf der Geraden c? Mache die Punktprobe. Ein zweiter Kreis K berührt die Parabel im Punkt und hat seinen Mittelpunkt auf der -chse. estimme M und r und die Kreisgleichung. In welchen Punkten schneidet K die Parabelachse? Welchen Winkel bildet die Tangente in mit der Waagerechten? Rechne mit: tan m. C 0 S 6 M

44 LÖSUNGEN K nsatz: ) a² b ( c m ) a ( (I) (0/) c (II) (/) a b c (III) m (0) = b c und b in (II) einsetzen: a b a a Gleichung der Parabel: ² Steigung der Parabel: m Scheitelpunkt: m = 0 0 S(/0) Tangenten in und : 0 C(6/) Gerade c: Nullstelle: N(6,9/0) Scheitelkreis: K : ( )² ( 6)² 6 Punktprobe für M(/6): M in c einsetzen: stimmt Normale in : Normale geschnitten mit der -chse ergibt: M (/0) Radius: r² ( 0)² (0 )² 0 Kreis : K : ( )² ² 0 P(/) und Q(/-) Winkel: tan tan 6, - -

45 . VORÜUNG ZUR KLSSENREIT Ein Stein wird vom Punkt (-/) aus mit der Richtung m = geworfen, so dass dieser im Punkt (6/,7) auf einem etonklotz landet. estimme die Gleichung der Wurfparabel. [Kontrolle: ²,7] 6 Wo hat diese ihren Scheitelpunkt? estimme die Nullstellen der Parabel. Wie lautet die Gleichung der Tangente in? Wie lautet die Gleichung der Tangente in? In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten? Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade = c? estimme die Gleichung des Scheitelkreises K. Wo schneidet der Scheitelkreis die -chse? Zeichne die bekannten Punkte,, S, Nullstellen, Tangenten und den Scheitelkreis in ein Koordinatensstem ein. Skizziere den Verlauf der Parabel möglichst genau im ereich 6. Wähle LE = 0,cm. Welchen Winkel bildet die Tangente in mit der Waagerechten? Die Punkte (-/), (6/,7), D(6/0) und E(-/0) bilden ein Viereck. estimme den Flächeninhalt des Vierecks DE. Ein zweiter Kreis K berührt die Parabel im Punkt und hat seinen Mittelpunkt auf der -chse. estimme M und r und die Kreisgleichung. In welchen Punkten schneidet K die -chse? ZUSTZUFGE Der ogen einer rücke ist parabelförmig. Die Punkte (0/- 0,9), (/,9) und C(/,6) sind bekannt. Stelle die Parabelgleichung auf. [Kontrolle: 0 ²...] estimme den Scheitel der Parabel. estimme die Nullstellen. Welchen Winkel bildet der Parabelbogen mit der -chse? - -

46 LÖSUNGEN C S S E K D K Parabel: ²,7 6 Steigung: m Scheitel: m0 S(6/) Nullstellen: 0 N(,/ 0) und N(7,/ 0) Tangenten: t : 6 und t :,7 Schnittpkt: C(7/) Gerade: c:,7 Scheitelkreis: K : ( 6)² ² 6 Schnittstellen: 0 S(0 /,9) und S(0 /,9) Winkel mit -chse: tan,,7 Trapez:,7 FE Kreis: K : ² ( )² Schnittstellen: 0 S(0/,) und S(0/0,) - -

47 LÖSUNG ZUSTZUFGE 9 Parabel: ² S (/,) 0 0 Nullstellen: 0 N(0,/ 0) und N(, / 0) Winkel mit -chse: m ( )0 tan, 6 (0). VORÜUNG ZUR KLSSENREIT Ein Stein wird vom Punkt (/) aus mit der Richtung m = geworfen, so dass dieser im Punkt (/) auf einem Misthaufen landet.. estimme die Gleichung der Wurfparabel. 6 P [Kontrolle: ²,,]. Wo hat diese ihren Scheitelpunkt? P. estimme die Nullstellen der Parabel. P. Wie lautet die Gleichung der Tangente in? P. Wie lautet die Gleichung der Tangente in? P 6. In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten? P 7. Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade = c? P. estimme die Gleichung des Scheitelkreises K. P 9. Liegt M auf der Geraden c? Mache die Punktprobe. 0. Zeichne die bekannten Punkte,, S, Nullstellen, Tangenten und den Scheitelkreis in ein Koordinatensstem ein. Skizziere den Verlauf der Parabel möglichst genau im ereich 0 6. Wähle LE = cm. P P. Ein zweiter Kreis K berührt die Parabel im Punkt und hat seinen Mittelpunkt auf der -chse. estimme M und r und die Kreisgleichung. P. In welchen Punkten schneidet K die -chse? P. Welchen Winkel bildet die Tangente in mit der Waagerechten? P.= 0 P - -

48 ZUSTZUFGE Der ogen einer rücke ist parabelförmig. Die Punkte (0/ ), (/ ) und C(/ 7 ) sind bekannt.. Stelle die Parabelgleichung auf. [Kontrolle: ².....] 6 P. estimme den Scheitel der Parabel. estimme die Nullstellen. P 6. Welchen Winkel bildet der Parabelbogen mit der -chse? P C 0 S 6 M 0 c - LÖSUNGEN. nsatz: a² bc ab m (I) (/) a bc ( ) (II) (/) 96abc (II) minus (I): 9ab 6 (III) m () = a b ( ) 9ab 6 ab Kombiniere (*) mit (III): a 6 6 a Die Größen b und c ergeben sich durch Einsetzen

49 Parabelgleichung: ²,, mit p Steigung der Parabel: m,. Scheitelpunkt: m = 0 S(6/0). Nullstellen: N(,9/0) und N(,9/0). Tangente in : t : 6. Tangente in : t : 0 6. Schnittpunkt: C(/) 7. Verb.gerade: c: 9. Scheitelkreis: K : ( 6)² ( 6)² 6 9. Punktprobe für M(6/6): M in c einsetzen: stimmt. 0. Zeichung:. Normale in : n : 0 n chse: M (0 /0) Radius: r² (0)² (0)² Kreis: K : ² ( 0)². Schnittpunkte: P(0/,) und Q(0/7,7). Winkel: tan tan 6, 00% LÖSUNGEN ZUSTZUFGE ² S(/ ) N (,67 / 0) N (, / 0) m ( 0) tan, Winkel mit der -chse: 90 6, 7 % - 7 -

50 UFGE L- Der ogen einer rücke ist parabelförmig. Die Punkte (0/0), (/,7) und C(/) bestimmen die Parabel (ngaben jeweils in Metern). Stelle die Parabelgleichung auf. [Kontrolle: 6 ² ] estimme den Scheitel der Parabel. Eine utostraße führt in m Höhe parallel zur -chse über die rücke. Wie lautet ihre Gleichung? Wie groß ist der bstand zwischen dem Scheitelpunkt und dieser Geraden? In welchen Punkten schneidet die Parabel die -chse? LÖSUNGEN L- 6 ² m m = 0 S(/) bstand: d = m (0/0) und N(6/0) 6 rücke C S d N 0 - -

51 UFGE L- Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung ². 6 estimme die Steigung der Parabel m = Wo hat die Parabel ihren Scheitelpunkt? estimme die Nullstellen der Parabel. Wie lautet die Gleichung der Tangente in (-/...)? Wie lautet die Gleichung der Tangente in (/...)? In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten? Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade = c? estimme die Gleichung des Scheitelkreises K. Zeichne die Parabel mithilfe der bekannten Punkte,, S, Nullstellen, Tangenten und Scheitelkreis. In welchen Punkten schneidet K die -chse? Die beiden Tangenten t und t und die -chse bestimmen ein Dreieck. Wie groß ist der Flächeninhalt? LÖSUNGEN L- ² 6 m m = 0 S(6/-) Nullstellen: N (/0) und N (0/0) Tangenten: c M F ,7 - - S Schnittpunkt: C(/-) Gerade c:, 7 Scheitelkreis: K :( 6)² ( 7)² C Zeichnung: Schnitt mit -chse: Fläche: P(0/,7..) und Q(0/,) =,7 FE - 9 -

52 UFGE L- Ein Stein wird vom Punkt (/6) aus mit der Richtung m = so weit geworfen, dass dieser bei (/0) auf den oden trifft. estimme die Gleichung der Wurfparabel. [Kontrolle: ²,, ] Wo hat diese ihren Scheitelpunkt? estimme die Nullstellen der Parabel. Wie lautet die Gleichung der Tangente in? Wie lautet die Gleichung der Tangente in? In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten? Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade = c? estimme die Gleichung des Scheitelkreises K. Liegt M auf der Geraden c? Mache die Punktprobe. Ein zweiter Kreis K berührt die Parabel im Punkt und hat seinen Mittelpunkt auf der -chse. estimme M und r und die Kreisgleichung. In welchen Punkten schneidet K die -chse? Welchen Winkel bildet die Tangente in mit der Waagerechten? Rechne mit: tan m. C 0 9 S 7 6 F M c

53 LÖSUNGEN L- nsatz: a² b c a b m (I) (/6) a b c 6 (II) (/0) 96a b c 0 (III) m () = a b Rechne (II) minus (I): 9a b a b 6 : ( 6) (*) Kombiniere (*) mit (III): a a Die Größen b und c ergeben sich durch Einsetzen: Parabelgleichung: ²,, p = - Steigung der Parabel: m, Scheitelpunkt: m = 0 S(6/) Nullstellen: N(-/0) und (/0) Tangenten in und : C(/) Gerade c: 7 Scheitelkreis: K : ( 6)² ( )² 6 Punktprobe für M(6/): M in c einsetzen: 6 7 stimmt Normale in : Normale geschnitten mit der -chse ergibt: M (/0) Radius: r² ( )² (0 6)² 7 Kreis : K : ( )² ² 7 P(0/,) und Q(0/-,) Winkel: tan tan - -

54 UFGE M [LOOPINGHN] Eine Kugel rollt eine parabelförmige Loopingbahn hinunter. Sie durchläuft dabei die Punkte ( /,) und C( /), wobei die Tangente in C die Richtung m hat. estimme die Gleichung der Parabelbahn. [Kontrolle: 0,,6, ] In welchem Punkt durchstößt die Parabel die -chse? In welchen Punkten durchstößt die Parabel die -chse? estimme den Scheitelpunkt der Parabel? estimme die Gleichung der Parabeltangente im Punkt C? Die Parabelbahn hat ihren nfang im Punkt auf der Höhe = 7,6. estimme die Koordinaten von. estimme die Gleichung des Scheitelkreises K. estimme die Nullstellen des Scheitelkreises. Der Scheitelkreis hat im Punkt D ( / 0) eine Tangente t D. estimme die Tangentengleichung des Kreises. estimme den Schnittpunkt der Tangenten t C und t D. estimme die Gleichung der Verbindungsgerade CD = c. Welchen Winkel bildet t D mit der -chse. Ein zweiter Kreis K berührt die Parabel im Punkt C und hat seinen Mittelpunkt auf der -chse. estimme die Kreisgleichung. Wo schneidet K die -chse? Zeichne die bekannten Punkte,, C, S, Nullstellen, die Tangenten in C und D und den Scheitelkreis der Parabel in ein Koordinatensstem ein. Skizziere den Verlauf der Parabel möglichst genau im ereich 6. * * * Nachdem die Kugel im Scheitelpunkt der Parabel angekommen ist, durchläuft sie einmal den Scheitelkreis, macht also einen Looping und verlässt danach im Punkt D ( / 0) tangential die Loopingbahn, fliegt auf einer Wurfparabel weiter und landet schließlich auf einem Heuhaufen im Punkt H ( / ). estimme die Parabelgleichung. [Kontrolle: ]

55 freiwillig Eine Parabel mit Scheitelpunkt bei 9 geht durch den Punkt P (/ ) und hat dort die Steigung m. estimme die Parabelgleichung. Welche Koordinaten besitzt der rennpunkt? n C K K H D t C S t D E - -

56 LÖSUNGEN M GLEICHUNG DER PRELHN a b c m a b ( /,) 6abc, C( /) abc ( ) ab, m a b a b ( ) 0, b b,6... c, a 0, a 0, S (0 /,) Die Gleichung der -chse lautet: = 0 N(,/ 0) und N (,7 / 0) Die Gleichung der -chse lautet: = 0 m0,,6 m0 S( / ) t : C 7,6 einsetzen in Parabel gleichung 6 ( 6 /7,6) a p M K 0 (/) : ( ) ( ) Nullstellen: N (/ 0) und N(/ 0) D t : 6 t t E(6 / ) D c: C D tan, [Kontrolle durch Nachmessen] K : ( 9) 0 S(0/9 ) und S(0/9 ) edingungen: D( / 0) und m und H ( / ) () freiwillig: F( 9/ 0,7) 9 - -

57 EXTRUFGEN UFGE Eine Parabel besitzt die Tangenten t : und t : und die Scheiteltangente. estimme die Gleichung der Parabel. [Hinweis: Nimm die Grundkonstruktion auf Seite zur Hilfe und beachte, dass jede schräg verlaufende Tangente die Gerade FL auf der Scheiteltangente senkrecht schneidet. So findet man den rennpunkt F. lles Weitere ergibt sich dann.] estimme die Koordinaten des Scheitelpunktes. estimme die Koordinaten der erührpunkte und : estimme die Gleichung der Geraden c =. estimme den Schnittpunkt C der beiden Tangenten. Die Parabel und die Gerade c schließen eine Fläche ein. Diese beträgt / der Fläche des Dreieckes C. estimme die Fläche zwischen Parabelbogen und der Geraden c. estimme die Gleichung der Tangente im Parabelpunkt D(0 / ). Ein Strahl mit der Richtung m = wird im Punkt D an der Parabel reflektiert. Welche Gleichung hat der einfallende Strahl? Welche Gleichung hat das Lot in D? estimme die Richtung des reflektierten Strahles in D mit Hilfe der Formel tan m m. Dazu berechne zunächst den Tangenswert zwischen dem m m einfallendem Strahl und dem Lot. Dann verwende die Formel nochmals, um die neue Richtung zu bestimmen. Wie lautet die Gleichung des reflektierten Strahles? Der Strahl wird im Punkt E nochmals an der Parabel reflektiert. Welche Koordinaten hat der Punkt E? Wie lautet die Gleichung des in E reflektierten Strahles? Der ursprünglich einfallende Strahl und der zuletzt reflektierte Strahl kreuzen sich in einem Punkt G. Welche Koordinaten hat G? - -

58 LÖSUNGEN G c D F E P: ² m m 0 S(/ ) p F(/ ) p Pt ( /6) Pt ( /) c: t t C(/ 9) 6, FE FE Par t : D Strahl : Lot : m m m Reflektierter Strahl in D: P Strahl E(6 / ) 9 D Reflektierter Strahl in E: G( /6)

59 UFGE Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung. estimme den rennpunkt F. Die Gerade c: schneidet die Parabel in den beiden Punkten und. estimme die Koordinaten von und. estimme die Tangenten in und. estimme den Schnittpunkt C der beiden Tangenten. Zeige, dass sich die Tangenten senkrecht schneiden. estimme den bstand, den die Gerade g: von der Parabel hat. Ein Kreis mit Mittelpunkt M(0/) berührt die -chse. estimme die Gleichung. Ein weiterer Kreis berührt den ersten Kreis und die -chse. estimme den geometrischen Ort, auf dem alle Mittelpunkte des zweiten Kreises liegen. Wie lautet die Gleichung der Parabel, die im Punkt D(-/) zur gegebenen Parabel den bstand hat? Es gibt zwei Lösungen. Verlaufen die drei Parabeln parallel zueinander? egründung? WEITERE UFGEN Gegeben ist die Parabel. Gesucht ist die Tangente im Punkt P( > 0 / ). ² t: Gegeben ist die Parabel. Gesucht ist die Tangente im Punkt P(, /.. ). Gegeben ist die Parabel ² Tangentengleichung im Punkt P( /.. ). t:, 0 ( ). Wo liegt der Scheitelpunkt? Wie lautet die S(/ ) ; t: 0, Gegeben ist die Parabel ² Tangente im Punkt P( /.. )? t: - 7 -

60 LÖSUNGEN F (0/ ) Kürzester bstand = G D F E C Geometrischer Ort aller KREISMITTELPUNKTE M ( / ): ( ), die Wurzel isolieren ( ) (...) ( ) : ² Zwei neue Parabeln: nsatz: a c und m a edingungen: ( 7) und m( 7), wegen Punkt E(-7/-) mit Steigung m = -, und, Die Parabeln sind nicht parallel zueinander, weil der bstand am Scheitel größer ist. - -

61 UFGE DER SKISPRINGER Für einen Skispringer soll eine parabelförmige Schanze gebaut werden, die folgende edingungen erfüllt: a) Die bsprungstelle liegt bei = auf der Tangente t mit der Gleichung 0,. b) Der Startpunkt liegt bei (0 /9). estimme die Parabelgleichung. Wo hat die Parabel ihren tiefsten Punkt? m bsprungpunkt folgt der Springer einer Flugparabel so, dass er am Punkt C(0/-) am Hang auftrifft. estimme die Gleichung der Flugparabel. Wo hat die Flugparabel ihren höchsten Punkt? Wie lautet die Tangentengleichung im Punkt C? Wie lautet die Gleichung der Hangparabel, die die Flugparabel in C berührt und den Parameter p = 0 hat? Wo hat die Hangparabel ihren tiefsten Punkt? estimme den Schnittpunkt der Tangente t mit der Tangente t C. Zwischen den beiden Tangenten gibt es eine Winkelhalbierende mit positiver Steigung. estimme die Steigung mit Hilfe der Tangensformel. Wie lautet die Gleichung der Winkelhalbierende? estimme einen Kreis, der den Radius besitzt und beide Tangenten berührt

62 LÖSUNGEN 6 ², 9 TP (6 / ) M M: (,, -,) Flugparabel: HP ( / ) 6, 7 t : C Hangparabel: 0 ² TP(0/ ) D ( / ) m m mm m 0 mm mm Winkelhalbierende: 0 ( ) Parallele zu t C mit bstand : p: 0 pw M(,/,) K: (,)² (,)²

63 FORMELSMMLUNG MITTELPUNKT einer Strecke: M SCHWERPUNKT eines Dreieckes: S LÄNGE einer Strecke: ( ) ( ) STEIGUNG einer Geraden: m GERDENGLEICHUNGEN llgemeine Geradengleichung: C 0 chsenabschnittsform: a b Zwei-Punkte-Form: Punkt-Richtungs-Form: m( ) 6 Normalform Steigung = m b m Steigung b Schnittstelle mit der chse b = Gerade durch den Ursprung: m Gleichung der -chse: 0 Parallele zur -chse: b Gleichung der -chse: 0 Parallele zur -chse: a SENKRECHT STEHEN (orthogonal sein): m m oder m WINKEL Gerade mit Gerade m m tan m m Gerade mit der -chse tan m m - 6 -

64 DREIECKSFLÄCHE [ ( ) ( ) ( )] g h [Sonderfall] MITTELPUNKT DES UMKREISES Schnittpunkt der Mittellote SCHERUNG EINES DREIECKES Die Dreiecksspitze wird parallel zur asis verschoben, der Flächeninhalt bleibt dabei gleich groß. ROTTIONSVOLUMEN V und V ROTTIONSOERFLÄCHE O und O S S S S PUNKTPROE Punkt in Geradengleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. NORMLPRELN nach oben geöffnet ² p q mit Faktor nach unten geöffnet ² p q mit Faktor SCHEITELFORM LLGEMEINE PRELN ( ) oder S ( ) S S S Scheitel bei / S. S S Scheitel ist nicht ablesbar. a² b c Scheitel bei S(0 / c ). a ² c mit Scheitel auf der chse M KREISGLEICHUNG r M INOMISCHE FORMELN P-Q-FORMEL MITTERNCHTSFORMEL ab a abb ab ab a b / / p p q a b b ac - 6 -

65 PREL - GESETZMÄSSIGKEITEN PRELGLEICHUNG a ² b c PRELSTEIGUNG m( ) a b SCHEITELPUNKT S m 0 PRMETER = STND RENNPUNKT LEITGERDE p STND VON S NCH F SF p FORMFKTOR DER PREL ZUSMMENHNG p und a a pa a p RDIUS DES SCHEITELKREISES MS p r NULLSTELLEN 0 setzen SCHEITELPUNKT m 0 setzen NULLPRODUKTE 0 0 oder 0 Durch usklammern kann man eine Summe / Differenz in ein Produkt verwandeln. eispiele ei quadratischen Gleichungen ohne konstantes Glied kann man ausklammern: 0 0 ( ) 0 0 oder 0 Im folgenden eispiel kann man (sin ) ausklammern: sin sin 0 sin ( sin ) 0 π sin 0 oder sin 0 oder - 6 -